Vettori e geometria analitica in R3

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Sistemi di riferimento in R3 e vettori

In fisica, grandezze fondamentali come forze, velocità, campielettrici e magnetici vengono convenientemente descrittemediante l’uso dei vettori. Dal nostro punto di vista, i vettori e leloro operazioni ci consentiranno di capire come descrivere estudiare rette, piani e altre figure geometriche mediantel’utilizzo delle coordinate cartesiane (e della trigonometria).L’ambiente geometrico più naturale nel quale introdurre ilconcetto di vettore è lo spazio euclideo tridimensionale(denotato R

3), in cui assumeremo che sia fissato un sistema diassi cartesiani.Stabiliamo una corrispondenza biunivoca tra punti dello spazioR

3 e terne ordinate di numeri reali. Scrivendo P0 = [x0,y0,z0],diremo che x0, y0, z0 sono le coordinate (cartesiane) di P0.

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Figura

x

y

z

b

bb

b

b

P0 = [x0, y0, z0]

x0

y0

z0

O

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Prime formule

Semplici formule, già viste in R2, consentono di calcolare

rispettivamente la distanza tra due punti P0, P1 e il punto medioM di un segmento P0P1.Più precisamente, siano P0 = [x0,y0,z0] e P1 = [x1,y1,z1]: allorauna doppia applicazione del Teorema di Pitagora fornisce

P0P1 =√

(x1 − x0)2 +(y1 − y0)2 +(z1 − z0)2 . (1)

Inoltre,

M =

[

x0 + x1

2,y0 + y1

2,z0 + z1

2

]

. (2)

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Vettori

Il modo più intuitivo, anche se matematicamente noncompletamente rigoroso, per introdurre questo concetto è ilseguente: diremo che un vettore ~v è identificato mediantel’assegnazione di

1 una lunghezza;

2 una direzione;

3 un verso.

La maniera più semplice per rappresentare simultaneamentequeste tre cose consiste nell’utilizzare un segmento orientato ,diciamo da un punto P0 ad un punto P1.

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Vettori rappresentati da segmenti orientati

x

y

zb

b

b

b

P0

P1

~v

P ′

0

P ′

1

~v′ = ~v

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Vettori

La lunghezza di~v coincide con la distanza fra i suoi estremi. Ladirezione di~v è quella della retta che passa per P0 e P1. Il versoè quello indicato dalla freccia.Una simbologia alternativa per~v è

−−−−−−→(P1 −P0). P0 è detto punto di

applicazione del vettore.Osservazione: se consideriamo un segmento orientato−−−−−−−→(P1

′−P0′) ottenuto da

−−−−−−→(P1 −P0) mediante traslazione rigida, ci

rendiamo conto subito che−−−−−−−→(P1

′−P0′) e

−−−−−−→(P1 −P0) hanno uguale

lunghezza, direzione e verso.In altre parole, essi costituiscono due diverse rappresentazionidello stesso vettore~v.Allora, per descrivere nel modo più semplice possibile leoperazioni con i vettori, converrà da ora in avanti fissarel’origine O come punto di applicazione dei vettori.

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Vettori

Ne segue che le coordinate di−−−−−−→(P1 −P0) sono date da

[x1 − x0,y1 − y0,z1 − z0], dove [xi,yi,zi] sono le coordinate di

Pi, i = 0,1. Questo spiega anche la simbologia−−−−−−→(P1 −P0) (si

legge P1 meno P0) per il vettore che va da P0 a P1.Per vari motivi di natura algebrica e fisica, conviene introdurreun vettore anomalo, che chiameremo vettore nullo eidentificheremo con l’origine O = [0,0,0]. Il vettore nullo, anchedenotato~0, ha lunghezza zero, direzione e verso non precisati.

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Vettori

Punto della situazione : identifichiamo dunque un vettore~vcon le coordinate del suo estremo P : di solito, scriveremo~v = [v1,v2,v3].La lunghezza di~v (detta anche modulo) si indica |~v| e, infunzione delle sue coordinate, è espressa da

|~v|=√

v21 + v2

2 + v23 . (3)

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Vettori applicati in O

x

y

z

b

b

P = [v1, v2, v3]

O

~v

~v =−−−−−→(P − O)

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Operazioni sui vettori

Le prime operazioni che possiamo definire sono la somma didue vettori e la moltiplicazione di un vettore per un numeroreale .Siano~v = [v1,v2,v3],~u = [u1,u2,u3] due vettori, e sia λ ∈ R:definiamo

~u+~v = [u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3] ; (4)

λ~v = [λv1, λv2, λv3] . (5)

Si può notare che, se λ 6= 0, λ~v ha la stessa direzione di~v everso coincidente con quello di~v se e solo se λ > 0.Inoltre, usando (9), è immediato verificare che

|λ~v|= |λ ||~v| .

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Regola del parallelogramma

Se~u e~v non sono allineati, allora~u+~v coincide con ladiagonale del parallelogramma da essi individuato.Inoltre, considerando uno dei due triangoli in cui la diagonaledivide il parallelogramma, vediamo che l’intuizione geometricasupporta la validità della seguente disuguaglianza:

|~u+~v| ≤ |~u|+ |~v| ∀~u ,~v ∈ R3 , (6)

detta, appunto, disuguaglianza triangolare.

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Versori

Definizione: Diciamo che un vettore~v è un versore se |~v|= 1.

Siano~i = [1,0,0],~j = [0,1,0] e~k = [0,0,1]. Questi tre versorisono detti versori, rispettivamente, dell’asse x, y e z. Notiamoche ogni vettore~v = [v1,v2,v3] può essere riscritto, usando le (4)e (5), come

~v = v1~i+ v2~j+ v3~k . (7)

Ciò evidenzia anche il significato di vi, i = 1,2,3, comecomponenti di~v lungo i tre assi.

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Componenti di un vettore

x

y

z

b

b

b

b

b

v1

v2

v3

~ı~

~k

~v

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Esercizio

Esercizio: Sia~v = [2, 2√

5, 5] . Determinare un versore ~wparallelo a~v.Soluzione:

~w =

[

27,2√

57

,57

]

oppure

~w =

[

−27,−2

√5

7,−5

7

]

.

Nota: si usa indicare

vers(~v) =~v|~v| . (8)

In parole, vers(~v) è quel vettore che ha modulo 1 e direzione everso coincidenti con quelli di~v.

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Prodotto scalare

DEFINIZIONE: Siano~u = [u1,u2,u3] e~v = [v1,v2,v3] due vettori.Il loro prodotto scalare , denotato~u ·~v, è definito da:

~u ·~v = u1v1 +u2v2 +u3v3 (3

∑i=1

uivi) . (9)

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Prodotto scalare

È immediato notare che

~u ·~u = |~u|2 (10)

~u ·~v =~v ·~u(λ~u) ·~v = λ (~u ·~v) =~u · (λ~v) ∀ λ ∈ R .

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Ortogonalità tra vettori

La proprietà fondamentale del prodotto scalare (che nondimostriamo) è

~u ·~v = |~u||~v|cos θ , (11)

dove abbiamo indicato con θ l’angolo formato da~u e~v, con0 ≤ θ ≤ π.In particolare, deduciamo da (11) che, se~u,~v 6=~0, allora

~u ⊥~v ⇔ ~u ·~v = 0 (12)

dove ⊥ indica che~u e~v sono tra loro ortogonali.

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Esercizio

Esercizio: Siano~v,~u due vettori non nulli. Determinare ilvettore ~w proiezione di~v lungo~u.Soluzione:

~u~w

~v

ϑ

~w = (~v ·vers(~u)) vers(~u) =(~v ·~u)|~u|2 ~u . (13)

Nota: questo risultato vale anche perπ2≤ θ ≤ π (verificarlo!).

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Prodotto vettoriale

Definizione: Siano~u = [u1,u2,u3],~v = [v1,v2,v3]. Il loro prodottovettoriale (indicato~u∧~v, oppure~u×~v) è il vettore definito da

~u∧~v = [u2v3 −u3v2, u3v1 −u1v3, u1v2 −u2v1] . (14)

• Calcolo di~u∧~v mediante il concetto di determinante di unamatrice quadrata di ordine 3.

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Proprietà del prodotto vettoriale

Proprietà algebriche:

~u∧~v =−(~v∧~u) ∀~u,~v ∈ R3 ; (15)

~u∧ (~v+~w) = (~u∧~v)+ (~u∧~w) ∀~u,~v, ~w ∈R3 ;

(λ~u)∧~v = λ (~u∧~v) =~u∧ (λ~v) ∀~u,~v ∈ R3,∀ λ ∈ R .

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Proprietà del prodotto vettoriale

Proprietà geometriche: indicando ancora con θ (0 ≤ θ ≤ π)l’angolo compreso tra~u e~v, si ha:

(i) |~u∧~v|= |~u| |~v| sinθ ;

(ii) Se~u∧~v 6=~0, allora~u∧~v è ortogonale al piano individuatoda~u e~v;

(iii) Se~u∧~v 6=~0, allora i tre vettori {~u,~v,~u∧~v} formano unaterna destrorsa.

La dimostrazione matematica completa di queste proprietàgeometriche non è elementare e perciò è omessa.

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Terna destrorsa

~u

~v

~u ∧ ~v

Eϑ

Terna destrorsa significa che l’omino solidale con~u∧~v vede~uandare a sovrapporsi su~v muovendosi in senso antiorarionell’angolo θ .

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Prodotto misto

Definizione: Siano~u,~v,~w tre vettori. Allora il loro prodotto mistoè

~u · (~v∧~w) (∈ R) . (16)

Nota: il calcolo del prodotto misto equivale a quello deldeterminante di una matrice quadrata di ordine 3.

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Prodotto misto

Volume Parallelepipedo = |~u · (~v∧~w)| .

~v

~w~u

~v ∧ ~w

αh

Dimostrazione: Volume = |~v∧~w| h = |~v∧~w||~ucosα |= |~u · (~v∧~w)| .25 / 25