ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2011/12 -...

ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2011/12

ANDREA RATTO

Sommario. In questo file presentiamo esercitazioni ed esami rela-tivi al Corso Integrato di Matematica per Scienze dell’Architettura.

1. Esame del 16 Gennaio 2012

Tempo a disposizione: 60 minuti

Esercizio 1.1. (4+4 punti) Si consideri la matrice

A =

0 0 00 0 11 0 0

.

(i) Determinare gli autovalori di A .(ii) Stabilire se A e diagonalizzabile.

Esercizio 1.2. (8 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:

y′′(x)− y(x) = x2 + 1y(0) = 0y′(0) = 1

Suggerimento: imporre che la soluzione particolare y∗(x) sia un po-linomio di secondo grado.

Esercizio 1.3. (8 punti) Siano P0 e r rispettivamente il punto dicoordinate [1, 0, 0] e la retta di equazione

(1.1)

2x− z − 1 = 0y − 2 = 0 .

Calcolare dist(P0, r).

Esercizio 1.4. (4+4 punti) Si consideri la funzione f : R → R

definita da:f(x) = x2 · (x3 − 1) .

1

2 ANDREA RATTO

(i) Determinare i punti di flesso di f .(ii) Per ciascuno dei flessi trovati, scrivere l’equazione della retta

tangente al grafico di f .

Soluzioni:

Soluzione dell’Es. 1.1: (i) Un calcolo elementare fornisce il polinomiocaratteristico:

P (λ) = −λ3 ,

per cui abbiamo un unico autovalore λ1 = 0 .(ii) Poiche ma(λ1) = 3 e mg(λ1) = 1 , la matrice A non risultadiagonalizzabile.

Soluzione dell’Es. 1.2:

y(x) = 2 ex + e−x − x2 − 3 , x ∈ R .


dist(P0, r) =

√

21

5.

Soluzione dell’Es. 1.4: (i) Si calcolano:

f ′(x) = x (5x3 − 2) , f ′′(x) = 2 (10 x3 − 1) , x ∈ R .

Quindi si deduce che esiste un unico punto di flesso:

x0 =3

√

1

10(= 10−(1/3) ) .

(ii) In corrispondenza del flesso, l’equazione della retta tangente algrafico di f e:

y = f(x0) + f ′(x0) (x− x0) ,

dove

f(x0) = − 9

1010−(2/3) ; f ′(x0) = − 3

210−(1/3) .

ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2011/12 3

2. Prova Bonus del 30 Gennaio 2012


Esercizio 2.1. (2+2+2+2+2+2 punti)

Si considerino i vettori ~u = [1, 1, 2] e ~v = [0, 1, 3] .

(i) Calcolare l’area del parallelogramma individuato da ~u e ~v.(ii) Calcolare cos θ , dove θ e l’angolo formato da ~u e ~v .(iii) Scrivere l’equazione del piano π che passa per P = [1, 2, 3] ed e

parallelo a ~u e ~v .(iv) Scrivere un sistema di equazioni che definisce la retta r passante

per l’origine e parallela a ~v .(v) Scrivere l’equazione della sfera S avente centro l’origine e pas-

sante per il punto P di cui al (iii) sopra.(vi) Scrivere l’equazione del piano π∗ che contiene P ∗ = [2, 1, 4] e la

retta r di cui al (iv) sopra.

Esercizio 2.2. (4 punti)Risolvere in C :

(z2 + 4) · (z4 + 4) = 0

Esercizio 2.3. (4 punti)Calcolare:

limx→0

ex2 − 1

sin2(4x) cos(3x)

Bonus = Max 0, somma punti − 12

Soluzioni:


(i) Area del parallelogramma =√11 .

(ii) cos θ = [ 7/(2√15)] .

(iii) π : x− 3y + z + 2 = 0 .

4 ANDREA RATTO

(iv)

x = 03y − z = 0

.

(v) S : x2 + y2 + z2 = 14 .(vi) π∗ : x+ 6y − 2z = 0 .

Soluzione dell’Es. 2.2: Abbiamo 6 soluzioni:

± 2 i ; −1 ± i ; 1± i .

Soluzione dell’Es. 2.3:1

16.

3. Esame dell’ 1 Febbraio 2012



A =

0 0 01 0 11 0 0

.

(i) Determinare gli autovalori di A .(ii) Stabilire se A e diagonalizzabile.


y′′(x) + y(x) = x+ 1y(0) = 0y′(0) = 1

Esercizio 3.3. (8 punti) Siano P0 e r rispettivamente il punto dicoordinate [1, 0, 0] e la retta di equazione

(3.1)

2x+ z = 0y − z − 2 = 0 .

Calcolare dist(P0, r).


Esercizio 3.4. (8 punti) Si consideri la funzione f : R2 → R definitada:

f(x, y) = y x2 .

Calcolare

I =

∫∫

Ω

f(x, y) dx dy ,

dove

Ω =

[x, y] ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ y + y2

.

Soluzioni:


P (λ) = −λ3 ,

per cui abbiamo un unico autovalore λ1 = 0 .(ii) Poiche ma(λ1) = 3 e mg(λ1) = 1 , la matrice A non risultadiagonalizzabile.


y(x) = − cosx+ x+ 1 , x ∈ R .

Soluzione dell’Es. 3.3: La proiezione ortogonale di P0 su r risultaessere il punto

Q =

[

5

9,8

9, − 10

9

]

.

Da cio si calcola

dist(P0, r) = dist(P0, Q) =

√20

3.


I =

∫ 1

0

[

y

∫ y2+y

y

x2 dx

]

dy

=

∫ 1

0

[ y

3[(y + y2)3 − y3]

]

dy = . . . =59

168.

6 ANDREA RATTO

4. Esame del 22 Febbraio 2012



A =

[

0 −1−1 0

]

.

(i) Determinare gli autovalori di A, indicando per ciascuno di essiil valore della molteplicita algebrica e della molteplicita geome-trica.

(ii) Determinare (se possibile) una matrice invertibile P ∈ M2(R)tale che P−1 · A · P sia una matrice diagonale.


y′′(x) + y(x) = x2

y(0) = 0y′(0) = 0

Esercizio 4.3. (7 punti) Siano P0 e Π rispettivamente il punto dicoordinate [1, 1, 2] e il piano di equazione

Π : x+ 2z − 1 = 0 .

Determinare le coordinate del punto P ′ simmetrico di P rispetto a Π .

Esercizio 4.4. (7 punti) Si consideri la funzione f : R2 → R definitada:

f(x, y) = y2 x .

Calcolare

I =

∫∫

Ω

f(x, y) dx dy ,

dove

Ω =

[x, y] ∈ R2 : 0 ≤ x2 + y2 ≤ 1 , x ≤ 0 , y ≥ 0

.


Soluzioni:


P (λ) = λ2 − 1 ,

per cui abbiamo due autovalori λ1 = 1 e λ2 = −1 , ognuno dei qualicon molteplicita algebrica e geometrica pari a uno (si veda [1] p.352).(ii) (si veda [1] p.357 e p.360) Dal calcolo in (i) si conclude che A ediagonalizzabile e si determina:

P =

[

1 1−1 1

]

.

Soluzione dell’Es. 4.2: (Si veda [1] p.330 e p.335).

y(x) = 2 cosx+ x2 − 2 , x ∈ R .

Soluzione dell’Es. 4.3: (Si veda [1] p.107). La proiezione ortogonaledi P0 su Π risulta essere il punto

Q =

[

1

5, 1,

2

5

]

.

Da cio si calcola

P ′ = 2Q− P =

[

− 3

5, 1, − 6

5

]

.

Soluzione dell’Es. 4.4: Conviene usare le coordinate polari (si veda[1] p.466 e p.474).

I =

∫ 1

0

ρ4 dρ ·∫ π

(π/2)

sin2 θ cos θ dθ = − 1

15.

8 ANDREA RATTO

5. Prova Bonus del 12 Marzo 2012


Esercizio 5.1. (2+2+2+2+2+2 punti)

Si considerino i vettori ~u = [1,−1, 2] e ~v = [4, 1, 3] .

(i) Calcolare l’area A del parallelogramma individuato da ~u e ~v.(ii) Calcolare il volume V del parallelepipedo individuato da ~u , ~v

e ~k .(iii) Scrivere l’equazione del piano π che passa per P = [0, 2, 3] ed e

parallelo a ~u e ~v .(iv) Scrivere un sistema di equazioni che definisce la retta r passante

per l’origine e parallela a ~v .(v) Scrivere l’equazione della sfera S avente centro l’origine e pas-

sante per il punto P di cui al (iii) sopra.(vi) Scrivere l’equazione del piano π∗ che contiene P ∗ = [2, 1, 4] e la

retta r di cui al (iv) sopra.

Esercizio 5.2. (4 punti)Risolvere in C :

(z2 +√7 z + 4) · (z4 − 4) = 0

Esercizio 5.3. (2 punti) Sia z = 3− 4i : calcolare

Re(1/z) e Im(1/z) .

Bonus = Max 0, somma punti − 12


Soluzioni:


(i) A = 5√3 .

(ii) V = 5 .(iii) π : x− y − z + 5 = 0 .(iv)

x− 4y = 03y − z = 0

.

(v) S : x2 + y2 + z2 = 13 .(vi) π∗ : x− 10y + 2z = 0 .

Soluzione dell’Es. 5.2: Abbiamo 6 soluzioni:

−√7± 3 i

2; ±

√2 ; ±

√2 i .


Re(1/z) =3

25e Im(1/z) =

4

25.

10 ANDREA RATTO

6. Esame del 18 Aprile 2012

(Tempo a disposizione: 50 minuti)


y′′(x) + 2y′(x) + y(x) = x ;y(0) = 0 ;y′(0) = 1 .

Esercizio 6.2. (10 punti) La lastra Ω ha la forma di triangolo, convertici di coordinate P1 = [0, 0], P2 = [3, 1] e P3 = [3, 3]. Supponendoche Ω sia realizzata con materiale omogeneo, determinare le coordinatedel suo baricentro.

Esercizio 6.3. (10 punti) Sia f(x), x ∈ R, la funzione definita da:

f(x) = cos(3 x2) .

Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 3 di f(x), centrato in x0 = 0.

Soluzioni:

Soluzione dell’Es. 6.1: Il procedimento di soluzione e illustrato in[1], pp.330-337. L’integrale generale risulta essere:

y(x) = c1 e−x + c2 x e

−x + y∗(x) ,

dove, cercando la soluzione particolare sotto forma di polinomio diprimo grado, si ottiene:

y∗(x) = x− 2 .

Ora, imponendo le condizioni iniziali, si perviene all’unica soluzione delproblema di Cauchy:

y(x) = 2 e−x + 2 x e−x + x− 2 , x ∈ R .



Ω =

[x, y] ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3 , (1/3) x ≤ y ≤ x

.

Dato che la densita e costante, le coordinate del baricentro di Ω sonodate da (si veda [1], p. 472):

[xB , yB] =

[

1

Area(Ω)

∫∫

Ω

x dx dy ,1

Area(Ω)

∫∫

Ω

y dx dy

]

.

Quindi si calcola: Area(Ω) = 3 e poi:

[xB , yB] =

[

2,4

3

]

.

Soluzione dell’Es. 6.3: Come illustrato in [1], p.224:

P T0,3 (x) = f(0) + f ′(0) x+ f ′′(0)

x2

2+ f ′′′(0)

x3

6.

Calcolando le derivate si ricava:

f(0) = 1 ; f ′(0) = 0 ; f ′′(0) = 0 ; f ′′′(0) = 0 .

Ne segue che il polinomio richiesto e costante uguale a 1 .

12 ANDREA RATTO

7. Esercitazione del 31 Maggio 2012

Esercizio 7.1. (10 punti) La regione Ω ha la forma di triangolo, convertici di coordinate P1 = [0, 0], P2 = [3, 1] e P3 = [3, 3]. Calcolare:

I =

∫∫

Ω

x dx dy .

Esercizio 7.2. (10 punti) Calcolare:

I =

∫∫

Ω

x y dx dy ,

doveΩ =

[x, y] ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4 , x ≥ 0 e y ≤ 0

.

Esercizio 7.3. (10 punti) Studiare gli estremi locali del campo scalaref : R2 → R definito da:

f(x, y) = x2 − xy + y2 .


8. Esame dell’11 giugno 2012



y′′(x) + y(x) = x2 ;y(0) = 1 ;y′(0) = 1 .

Esercizio 8.2. (10 punti) La regione Ω ha la forma di triangolo, convertici di coordinate P1 = [0, 0], P2 = [3, 1] e P3 = [3, 3]. Calcolare:

I =

∫∫

Ω

x dx dy .

Esercizio 8.3. (7 punti) Determinare le soluzioni del seguente siste-ma lineare:

x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 + x2 − 2x3 − x4 = 0

Esercizio 8.4. (7 punti) Stabilire se la seguente matrice e diagona-lizzabile:

0 0 10 1 0−1 0 0

14 ANDREA RATTO

Soluzioni:

Soluzione dell’Es. 8.1: L’integrale generale e:

y(x) = c1 cos x + c2 sin x + x2 − 2 .

La soluzione dell’esercizio e:

y(x) = 3 cos x + sin x + x2 − 2 .


Ω =

[x, y] ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3 , (1/3) x ≤ y ≤ x

.

I = 6 .


t[−x2 − (1/3) x4, x2, − (2/3) x4, x4 ] ∈ R4 : x2, x4 ∈ R

Soluzione dell’Es. 8.4: Si verifica che il polinomio caratteristico haradici NON reali ± i , per cui la matrice non e diagonalizzabile.


9. Esame del 28 giugno 2012



y′′(x) + y(x) = x+ 2 ;y(0) = 0 ;y′(0) = 1 .

Esercizio 9.2. (8 punti) Calcolare

I =

∫∫

Ω

x dx dy ,

doveΩ =

[x, y] ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 , x ≤ 0 , y ≥ 0

.

Esercizio 9.3. (8 punti) Determinare le soluzioni del seguente siste-ma lineare:

x1 + x2 − 2x3 = 0x1 − 2x2 + x3 = 0x1 + x2 − 2x3 = 0

Esercizio 9.4. (8 punti) Sia

A =

1 1 11 1 11 1 1

Determinare gli autovalori di A , indicando per ciascuno di essi lamolteplicita algebrica e quella geometrica.

16 ANDREA RATTO

Soluzioni:

Soluzione dell’Es. 9.1: L’integrale generale e:

y(x) = c1 cos x + c2 sin x + x + 2 .

Imponendo le condizioni iniziali si trova facilmente la soluzione dell’e-sercizio:

y(x) = −2 cosx + x + 2 .


I = − 1

3.


t[ x3, x3, x3 ] ∈ R3 : x3 ∈ R

.

Soluzione dell’Es. 9.4: Si trova:

λ1 = 0 ,

con ma(λ1) = 2 = mg(λ1) , e

λ2 = 3 ,

con ma(λ2) = 1 = mg(λ2) (la matrice A e diagonalizzabile, fatto peraltro ovvio dato che si tratta di una matrice simmetrica).


10. Esame del 13 Luglio 2012



y′(x) = 2 x [ y(x) ]−2 ;y(0) = 1 .

Esercizio 10.2. (8 punti) Calcolare

I =

∫∫

Ω

y dx dy ,

doveΩ =

[x, y] ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , y ≥ 0

.

Esercizio 10.3. (6 punti) Risolvere (se possibile) il seguente sistemalineare:

x1 + x2 − 2x3 = 0x1 − 2x2 + x3 = 0x1 + x2 − x3 = 1

Esercizio 10.4. (10 punti) Siano rispettivamente f il campo scalaresu R2 definito da f(x, y) = y − x , e γ la curva parametrizzata da:

γ =

x = 2 ty = 3 t , 0 ≤ t ≤ 1 .

Calcolare∫

γ

f ds .

18 ANDREA RATTO

Soluzioni:

Soluzione dell’Es. 10.1: Si tratta di un’equazione differenziale avariabili separabili (si veda [1] pp. 337-339). La soluzione richiesta e:

y(x) =3√

3x2 + 1 , x ∈ R .

Soluzione dell’Es. 10.2: Si procede utilizzando le coordinate polari(si veda [1] pp. 464, 474). Si ottiene:

I =14

3.

Soluzione dell’Es. 10.3: Si tratta di un sistema di Cramer di ordine3. L’unica soluzione di questo sistema e:

t[ 1, 1, 1 ] .

Soluzione dell’Es. 10.4: Si tratta di un semplice integrale di lineadi prima specie (si veda [1] p. 390):

∫

γ

f ds =

∫ 1

0

f(γ(t)) |γ ′ (t)| dt =

∫ 1

0

t√13 dt =

√13

2.


11. Esame del 4 Settembre 2012

Esercizio 11.1. (10 punti) La regione Ω ha la forma di triangolo,con vertici di coordinate P1 = [0, 0], P2 = [1, 1] e P3 = [1, 2]. Calcolare:

I =

∫∫

Ω

x dx dy .


y′′(x)− 2y′(x) + y(x) = x ;y(0) = 2 ;y′(0) = 1 .

Esercizio 11.3. (10 punti) Studiare gli estremi locali del camposcalare f : R2 → R definito da:

f(x, y) = x2 − xy + y2 .

20 ANDREA RATTO

Soluzioni:


Ω =

[ x, y ] ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 , x ≤ y ≤ 2x

; I =1

3.


y(x) = x+ 2 , x ∈ R .


Il campo scalare f ha un solo punto critico P = [0, 0] : si verificafacilmente, attraverso lo studio della matrice Hessiana, che P e unpunto di minimo locale.

Lo studente diligente potrebbe poi cercare di dimostrare che, in realta,P e un minimo assoluto (questo, non difficile, lavoro non e pero richiestoal momento dell’esame).


12. Esame del 20 Settembre 2012

Esercizio 12.1. (10 punti) Calcolare:

I =

∫∫

Ω

x y2 dx dy ,

doveΩ =

[x, y] ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9 , x ≤ 0 e y ≤ 0

.


y′′(x) + 2y′(x) + y(x) = 1 + x ;y(0) = 0 ;y′(0) = 0 .

Esercizio 12.3. (10 punti) Risolvere (se possibile) il seguente sistemalineare:

x1 + x2 − x3 + x4 = 02x1 − x2 + x3 − x4 = 0x1 = 1 .

22 ANDREA RATTO

Soluzioni:


I = − 81

5.


y(x) = e−x + x− 1 .


Il sistema lineare non ammette alcuna soluzione.

Riferimenti bibliografici

[1] A. Ratto, A. Cazzani. Matematica per le Scuole di Architettura, LiguoriEditore, Napoli (2010) pp.1-636.

Universita degli Studi di Cagliari, Dipartimento di Matematica e In-

formatica, Viale Merello 93, 09123 Cagliari, Italia

E-mail address : [email protected]

ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2011/12 -...

Documents

Transcript of ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2011/12 -...