(versione del 9-12-2010) - · istante dipendono solo dai valori delle grandezze ... cariche dei...

Circuiti dinamici

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm

(versione del 9-12-2010)

2

Circuiti resistivi e circuiti dinamici

● Circuiti resistivi: circuiti formati esclusivamente da componenti resistivi

le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni algebriche

i valori delle tensioni e delle correnti (risposte) in un certo istante dipendono solo dai valori delle grandezze impresse dei generatori indipendenti (ingressi) allo stesso istante

● Circuiti dinamici: circuiti che contengono almeno un componen-te dinamico (induttore o condensatore)

le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni differenziali

i valori delle risposte a un certo istante dipendono anche dagliandamenti degli ingressi negli istanti precedenti

3

Equazioni di un circuito dinamico lineare

● Ipotesi:

Circuito lineare

Numero di lati: l

Numero di lati corrispondenti a componenti dinamici: ND

Equazioni:

LKV, LKI l equazioni lineari algebriche omogenee

Componenti resistivi l ND equazioni lineari algebriche

Componenti dinamici ND equazioni differenziali lineari

dt

dLt k

kk

i)(v

dt

dCt k

kk

v)(i

InduttoriCondensatori

4

Stato di un circuito dinamico

● La determinazione dell’andamento della risposta di un circuito dinamico a partire da un istante iniziale t0 richiede la conoscenza

dell’andamento per t ≥ t0 delle grandezze impresse dei generatori (ingressi)

di ND condizioni iniziali corrispondenti ai valori all’istante t0delle grandezze che compaiono sotto il segno di derivata nelle equazioni del circuito (tensioni dei condensatori e correnti degli induttori)

● Stato del circuito all’istante t t0: insieme di informazioni che assieme all’andamento degli ingressi per t ≥ t0 consentono di determinare la risposta del circuito per t ≥ t0

Le condizioni iniziali rappresentano lo stato iniziale del circuito

5

Variabili di stato

● Variabili di stato: insieme di variabili mediante le quali èrappresentato lo stato del circuito

lo stato può essere rappresentato mediante le tensioni dei condensatori e le correnti degli induttori

la stessa informazione può essere rappresentata mediante le cariche dei condensatori e i flussi degli induttori

● Le variabili di stato determinano l’energia accumulata nei componenti dinamici

L’energia accumulata nel circuito è una funzione dello stato

● Stato zero: stato caratterizzato da valori nulli di tutte le tensioni dei condensatori e di tutte le correnti degli induttori

Nello stato zero l’energia accumulata nel circuito è nulla

6

Ordine di un circuito

● Ordine di un circuito: N numero di variabili indipendenti necessarie per descrivere lo stato del circuito

normalmente coincide con il numero di componenti dinamici (induttori e condensatori) contenuti nel circuito N ND

● In casi particolari è possibile che, a causa della struttura del circuito, le variabili di stato non siano indipendenti tra loro

N ND

questo può avvenire, ad esempio, se nel circuito è presente una maglia i cui lati tutti sono condensatori o generatori di

tensione un taglio i cui lati sono tutti induttori o generatori di

corrente

i circuiti in cui si verifica questa situazione sono detti degeneri

7

Equazione risolvente

● Risolvendo le equazioni di un circuito dinamico lineare rispettoalla tensione o alla corrente di un lato, indicata con y(t), si ottiene un’equazione differenziale del tipo

L’ordine dell’equazione differenziale generalmente coincide con l’ordine del circuito

Il secondo membro è una combinazione lineare degli ingressi e di loro derivate rispetto al tempo

I coefficienti ak sono funzione dei parametri dei componenti diversi dai generatori indipendenti

)f()y()y()y()y(

011

1

1 ttadt

tda

dt

tda

dt

tda

N

N

NN

N

N

8

Ordine dell’equazione risolvente

● In casi particolari l’equazione risolvente può essere di ordine inferiore all’ordine del circuito

● Ciò avviene quando la struttura del circuito è tale da rendere nulla l’interazione tra alcune risposte e alcune variabili di stato

Esempio

La tensione e la corrente diL e R1 non dipendono da vC

la tensione e la corrente diC e R2 non dipendono da vL

L’analisi del circuito richiede la risoluzione di due equazioni del primo ordine disaccoppiate

9

Condizioni iniziali

● Per determinare la risposta per t > t0 si devono associare all’equazione N condizioni iniziali del tipo

● I valori iniziali di y(t) e delle sue derivate possono essere determinati se sono noti i valori per t t0 delle variabili di stato

)1(01

1

)1(0

00

0

0

y

y

)y(

N

t

N

N

t

Ydt

d

Ydt

d

Yt

costanti )1(

0)1(

00 ,,, NYYY

10

Circuiti elementari del primo ordine

● Circuito del primo ordine: circuito il cui stato è definito mediante una sola variabile

La determinazione della risposta richiede la risoluzione di un’equazione differenziale del primo ordine

● Escludendo i casi degeneri, rientrano in questa categoria i circuiti che contengono un solo bipolo dinamico (condensatore o induttore)

I casi più semplici sono i seguenti

Circuito RC Circuito RL

11

Circuiti elementari del primo ordine

● Si assume che siano noti

gli andamenti degli ingressi ( = grandezze impresse dai generatori indipendenti: vGt e iGt ) per t t0

i valori delle variabili di stato per t t0

vCt0 VC0

iLt0 IL0

● Si vogliono determinare le risposte dei circuiti per t t0

● Senza perdita di generalità ci si può limitare a considerare il caso particolare in cui t0 0

● Le espressioni delle tensioni e delle correnti nel caso t0 0 si possono ottenere da quelle ricavate per t0 0 sostituendo t con t t0

12

Circuito RC elementare

● LKI:

● LKV:

● Componenti:

● All’equazione si deve associare la condizione iniziale

)()()( tititi CR )()()( tvtvtv GCR

)(1

)(1

tvRC

tvRCdt

dvGC

C

dt

dvCti c)(

dt

dvRCtRitv c

R )()(

0)0( CC Vv

)(1

)(1

tvtvdt

dvGC

C

RC

13

Circuito RL elementare

● LKI:

● LKV:

● Componenti:

● All’equazione si deve associare la condizione iniziale

)()()( tititi GLR )()()( tvtvtv LR

dt

di

R

L

R

tvti L

R )(

)(

)()( tiL

Rti

L

R

dt

diGL

L

0)0( LL Ii

dt

diLtv L

L )(

)(1

)(1

titidt

diGL

L

R

L

14

Equazione differenziale

● In entrambi i casi si è ottenuta un’equazione differenziale del tipo

● f(t) grandezza impressa del generatore indipendente

● costante di tempo

circuito RC RC

circuito RL L/R LG

0)0(

)f(1

)(1

Xx

ttxdt

dx

][][

][

][

][

][

][]][[ T

I

Q

V

Q

I

VCR

][][

][

][

][

][

][

][

][T

VV

I

IR

L

15

Risoluzione dell’equazione differenziale

● L’integrale generale dell’equazione di stato può essere espresso come

xH(t) integrale generale dell’equazione omogenea associata

xP(t) soluzione particolare dell’equazione differenziale

● Per determinare xH(t) si risolve l’equazione caratteristica

● Quindi l’integrale generale dell’equazione omogenea associata è

)()()( txtxtx PHG

t

H ketx )(

10

1

16

Soluzione particolare – ingresso costante

● Se la tensione o la corrente impressa del generatore indipenden-te è una costante (indicata con F), l’equazione diviene

● In questo caso è immediato riconoscere che l’equazione ammette la soluzione particolare costante

Ftxdt

dx

1)(

1

FtxP )(

17

Soluzione particolare - ingresso sinusoidale

● Se la tensione o la corrente impressa del generatore indipendente è una funzione sinusoidale di pulsazione

l’equazione ammette una soluzione particolare del tipo

● Per ricavare XM e si sostituisce xP(t) nell’equazione differenziale

● Si applica la trasformata di Steinmetz al primo e al secondo membro dell’equazione differenziale

)cos()f( tFt M

)f(1

)(1

ttxdt

dxP

P

FXX

11

PPj

jMPP

jM

XtxFt

e)(e)f(

SS

XF

)cos()( tXtx Mp

18

Soluzione particolare - Ingresso sinusoidale

Si determina il fasore di xP(t)

● Si antitrasforma:

Quindi la soluzione particolare è

)arctg(cos1

)(22

tX

tx Mp

)arctg()1arg()arg()arg(1 22

j

FX

P

MPM

FX

X

jp 1

FX

19

Espressione della soluzione

● L’integrale generale dell’equazione differenziale

● La costante k si determina imponendo che x(t) soddisfi la condizione iniziale

L’espressione della soluzione (per t 0) è

)()()()( txketxtxtx P

t

PHG

)0()0()0( 00 PP xXkXxkx

)()0()( 0 txexXtx P

t

P

20

Componente transitoria e componente di regime

● Se 0 il primo termine tende a zero per t componente transitoria

la componente transitoria dipende sia dall’ingresso che dallo stato iniziale

● Per t la risposta tende ad identificarsi con il secondo termine

componente di regime

la componente di regime dipende solo dall’ingresso

)()0()( 0 txexXtx P

t

P

Componentetransitoria

Componentedi regime

(Se 0)

21

Risposta libera e risposta forzata

● La risposta con ingresso zero (risposta libera) è dovuta all’energia immagazzinata nel circuito all’istante

iniziale dipende solo dallo stato iniziale tende a zero per t (se > 0)

● La risposta nello stato zero (risposta forzata) dipende solo dall’ingresso tende alla componente di regime per t (se > 0)

t

PP

t

extxeXtx )0()()( 0

Risposta coningresso zero

Risposta nellostato zero

22

Espressione della soluzione

● Se l’ingresso è costante la soluzione completa (per t 0) è

● Se l’ingresso è sinusoidale si ottiene

dove

FeFXtxt

0)(

)cos(11

cos)(

22220

t

Fe

FXtx M

tM

)arctg(

23

Risposta con ingresso costante

24

Costante di tempo

● La costante di tempo è un indice della velocità con cui la componente transitoria della risposta tende a zero

● In un tempo pari alla costante di tempo la componente transitoria si riduce al 37%circa del suo valore iniziale

● In un tempo pari a 5 si riduce a meno dell’1%del valore iniziale

● In un tempo pari a 7 si riduce a meno dello0.1% del valore iniziale

In pratica si può assumere che componentetransitoria si annulli in un tempo dell’ordinedi 5-7 volte la costante di tempo 0.00097

0.00256

0.00675

0.01834

0.04983

0.13532

0.36791.00000

t /te

25

Costante di tempo

● La retta tangente nel punto iniziale alla curva che rappresenta la risposta raggiunge il valore asintotico F per t

● Dato che

● L’equazione della retta tangente nel punto (0, X0) è

Quindi si ha xR(t) F per t

00

00

)()( X

t

FXXt

dt

dxtx

tR

FeFXtxt

)()( 0

26

Risposta con ingresso sinusoidale

● Se 0, per t abbastanza grande (5-7 costanti di tempo) l’andamento della risposta è praticamente sinusoidale

● La risposta a regime è indipendente dal valore di X0

27

Circuiti con un solo condensatore

● Normalmente un circuito formato da un condensatore e da componenti resistivi può essere ricondotto a un circuito RC elementare mediante il teorema di Thévenin

● Quindi l’espressione della tensione del condensatore per t 0 è

)()0()( 0 tvevVtv P

t

PCC

CReq

28

Circuiti con un solo condensatore

● Fa eccezione il caso particolare in cui il bipolo resistivo equivale a un generatore di corrente, e quindi non ammette la rappresentazioneequivalente di Thévenin (ma solo quella di Norton con Geq 0)

● In questo caso la tensione del condensatore si può ottenere direttamen-te integrando la corrente del generatore

t

ccCC

CC

ccC

dxxiC

VtvVv

tidt

dvC

0

0

0

)(1

)()0(

)(

29

Circuiti con un solo induttore

● Normalmente un circuito formato da un induttore e da compo-nenti resistivi può essere ricondotto a un circuito RL elementare mediante il teorema di Norton

● Quindi l’espressione della corrente dell’induttore per t 0 è

)()0()( 0 tieiIti P

t

PLL

eqR

L

30

Circuiti con un solo induttore

● Fa eccezione il caso particolare in cui il bipolo resistivo equivale a un generatore di tensione, e quindi non ammette la rappresentazioneequivalente di Norton (ma solo quella di Thévenin con Req 0)

● In questo caso la corrente dell’induttore condensatore si può ottenere direttamente integrando la tensione del generatore

t

LL

LL

L

dxxvL

ItiIi

tvdt

diL

0

00

0

0 )(1

)()0(

)(

31

Espressioni delle altre risposte

● Circuito RC: essendo nota vC(t) si può sostituire il condensatore con un generatore di tensione

● Circuito RL: essendo nota iL(t) si può sostituire l’induttore con un generatore di corrente

Le altre tensioni e correnti possono essere determinate risolvendo un circuito resistivo

● Dato che il circuito è lineare, ogni risposta può essere scomposta in un termine proporzionale a vC(t) o iL(t) e in un termine propor-zionale alle grandezze impresse dei generatori indipendenti

● Ogni risposta del circuito ha un’espressione (per t 0) del tipo

con la stessa costante di tempo

)()0()( 0 tyeyYty P

t

P

32

Stabilità

● Se 0 il termine esponenziale tende a zero per t Il circuito è asintoticamente stabile

Per t tende ad una condizione di regime dipendente solo dagli ingressi

Questa situazione si verifica se i parametri R, L e C sono positivi ( componenti passivi)

● Se < 0 il termine esponenziale diverge per t Il circuito è instabile

Questa condizione si verifica, ad esempio, se R < 0, come può accadere se R rappresenta la resistenza equivalente di un bipolo che contiene generatori dipendenti

33

Esempio - risposta con ingressi costanti per

34

Regime stazionario

● Per t , un circuito asintoticamente stabile con ingressi costantitende ad una condizione di regime in cui le tensioni e le correnti di tutti i componenti sono costanti nel tempo (regime stazionario)

● In condizioni di regime stazionario, dalle relazioni costitutive del condensatore e dell’induttore, si ottiene

i condensatori si comportano come circuiti aperti gli induttori si comportano come cortocircuiti

0

0

dt

diLv

dt

dvCi

LL

CC

35

Regime stazionario

● La risposta a regime in condizioni stazionarie può essere ottenuta direttamente, senza utilizzare le equazioni differenziali, analizzando il circuito resistivo che si ottiene sostituendo i condensatori con circuiti aperti e gli induttori con cortocircuiti ( analisi in continua)

● In particolare si può notare che

in un circuito RC, la tensione a regime del condensatore coincide con la tensione a vuoto della sottorete resistiva (quindi con la tensione del generatore equivalente di Thévenin)

in un circuito RL, la corrente a regime dell’induttore coincide con la corrente di cortocircuito della sottorete resistiva (quindi con la corrente del generatore equivalente di Norton)

36

Analisi in continua - Esempio

● VG = costante

● Determinare i valori a regime delle tensioni e delle correnti

● Risoluzione:

GC

GRRC

GRR

GLRR

RLR

RCR

VV

RR

RVIRVV

RR

RVIRV

RR

VIII

IVV

VII

2

21

22221

21

1111

2121

44

323

A 0V 0

V 0A 0

37

Regime sinusoidale

● Per t , un circuito asintoticamente stabile con ingressi sinu-soidali isofrequenziali di pulsazione tende ad una condizione di regime in cui le tensioni e le correnti di tutti i componenti sono sinusoidali con la stessa pulsazione (regime sinusoidale)

● La risposta a regime sinusoidale di un circuito può essere ottenuta direttamente, senza utilizzare le equazioni differenziali, mediante il metodo simbolico basato sulla trasformata di Steinmetz

38

Condizioni iniziali

Interruttori

● In genere le condizioni iniziali non sono direttamente disponibili, ma devono essere determinate a partire da informazioni di tipo diverso

● Spesso è noto il comportamento del circuito prima di un istante iniziale t0 in corrispondenza del quale si ha una perturbazione dovuta alla commutazione di uno o più interruttori o a disconti-nuità delle grandezze impresse dei generatori

39

Discontinuità

● All’istante t0 alcune tensioni o correnti nel circuito possono presentare una discontinuità di prima specie (cioè un “salto”) il loro valore per t t0 non è definito

● In questo caso si definiscono i valori relativi agli istanti t0 e t0

)f(lim)f(

)f(lim)f(

0

0

0

0

0

0

tt

tt

tttt

tttt

40

Dati iniziali e condizioni iniziali

● Spesso, nello studio dei circuiti dinamici in condizioni transitorie ènoto il comportamento del circuito per t t0

sono noti i valori delle tensioni e delle correnti all’istante t0

(dati iniziali)

● Per determinare la risposta per t t0 occorrono i valori delle funzioni incognite e (delle loro derivate, per i circuiti di ordine superiore al primo) all’istante t0

(condizioni iniziali)

● All’istante t0 le tensioni e le correnti (e le loro derivate) possono essere discontinue

i valori a t0in genere non coincidono con quelli a t0

Occorre determinare la relazione tra i dati iniziali e le condizioni iniziali

41

Continuità delle variabili di stato

● Proprietà di continuità

Se la corrente di un condensatore è limitata, la tensione è una funzione continua del tempo

Se la tensione di un induttore è limitata, la corrente è una funzione continua del tempo

● Per un circuito non degenere si può dimostrare che, se le grandezze impresse dei generatori sono limitate, anche le tensioni e le correnti di tutti i lati sono limitate (tensioni o correnti non limitate sono incompatibili con le equazioni del circuito)

Se gli ingressi sono limitati, le variabili di stato di un circuito non degenere sono continue

i loro valori all’istante t0 coincidono con quelli a t0

sono definiti i valori delle variabili di stato per t t0

42

Determinazione delle condizioni iniziali

Calcolo dei valori a t0 delle tensioni e correnti

● Studiando il circuito per t t0 si determinano i valori per t t0

delle variabili di stato

● All’istante t0, essendo note le tensioni dei condensatori e le

correnti degli induttori, si possono sostituire

i condensatori con generatori di tensione

gli induttori con generatori di corrente

● In questo modo si ottiene un circuito resistivo, studiando il quale si possono determinare i valori all’istante t0

delle altre tensioni e correnti

43

Determinazione delle condizioni iniziali - Esempio

● Per t < 0 il circuito rappresentato in figura è in condizioni di regime

● All’istante t 0 l’interruttore passa dalla posizione A alla posizione B

● Si vogliono determinare i valori negli istanti 0 e 0+ di:

V 12

H 5.0

F 5.0

2

2

4

3

2

1

GV

L

C

R

R

R

)(),(),(),(),(),(),( 321 tvtitvtitititi CCLLRRR

44


● Determinazione dei valori all’istante t 0

Il circuito è in condizioni di regime stazionario

Si esegue un’analisi in continua

V 6)0(

A 6)0()0()0(

A 3)0()0(

A 3)0(

32

3

31

3232

11

RR

RVv

iiiRR

Vii

R

Vi

GC

RRL

GRR

GR

V 0)0(A 0)0( LC vi

45


● Determinazione dei valori all’istante t 0

V 4)0()0(

A 8)0(

)(

)()0()0(

A 5)0()0(

)0(

A 3)0(

)0(

A 1)0()0(

)0(

11

31

1

312

321

31

1

313

22

31

3

311

RL

LCC

LCR

CR

LCR

iRvRR

Ri

RRR

RRRvi

RR

Ri

RR

vi

R

vi

RR

Ri

RR

vi

A 6)0(V 6)0( LC iv

46

Analisi di circuiti del 1° ordine – Metodo diretto (1)

● La risposta di un circuito del primo ordine a partire da un istante

iniziale t0 0

è determinata da tre informazioni

il valore al’istante t 0+: Y0

la costante di tempo: la soluzione particolare: yP(t)

● In molti casi di interesse pratico (es. circuiti con ingressi costanti o ingressi sinusoidali) queste informazioni possono essere ricavate direttamente, quindi la risposta può essere ottenuta senza fare uso delle equazioni differenziali

)()0()( 0 tyeyYty P

t

P

47


● Determinazione di Y0

Mediante un’analisi per t 0 si determina il valore iniziale della variabile di stato ( vC(0) o iL(0) )

Se la risposta y(t) che si vuole determinare non coincide con la variabile di stato, si calcola Y0 y(0) analizzando il circuito resistivo ottenuto sostituendo

il condensatore con un generatore di tensione vC(0) l’induttore con un generatore di corrente iL(0)

● Determinazione di Si calcola la resistenza equivalente della parte resistiva del

circuito con i generatori indipendenti azzerati, quindi si pone

ReqC per i circuiti RC

L/Req per i circuiti RL

48


● Determinazione della soluzione particolare

Ingressi costanti

Si esegue un’analisi in continua del circuito(nella configurazione per t 0, cioè con gli eventuali interruttori nella posizione successiva alla commutazione che avviene all’istante iniziale)

Nell’analisi in continua• il condensatore è sostituito da un circuito aperto• l’induttore è sostituito da un cortocircuito

Ingressi sinusoidali

Si analizza il circuito (nella configurazione per t 0) con il metodo simbolico

49

Circuiti degeneri

● Si considerano i casi limite in cui

R 0 nel circuito RC elementare

G 1/R 0 nel circuito RL elementare

● In queste condizioni i circuiti sono degeneri e la variabile di stato (vC o iL) coincide con l’ingresso (vG o iG), quindi il circuito non ha variabili di stato indipendenti (ordine 0)

50

Gradino unitario

● Si considera il caso in cui l’ingresso èuna funzione del tipo

● Per 0, la funzione f(t) tende allafunzione gradino unitario U(t)

t

t

tt

t

per

per

per

1

0

00

)(f

01

00)U(

t

tt

per

per

51

Impulso di Dirac

● La corrente nel condensatore e la tensione dell’induttore sono

● La derivata dell’ingresso è rappresen-tata da un impulso rettangolare di du-rata e ampiezza 1/ (e quindi area unitaria)

t

t

t

tdt

d

per

per

per

0

01

00

)(pf

dt

tdLtv

dt

tdCti

L

C

)(f)(

)(f)(

52

Impulso di Dirac

● Intuitivamente, il limite per 0 di p(t) è un impulso di area unitaria avente durata nulla e ampiezza infinita

Il limite è rappresentato dall’impulso di Dirac, (t), caratterizzato dalle seguenti proprietà

● Queste proprietà non possono essere soddisfatte da una funzione ordinaria (per una funzione ordinaria la prima proprietà implica che l’integrale su un qualunque intervallo sia nullo)

● (t) non è una funzione ordinaria ma è una distribuzione (o funzione generalizzata)

0

00)(

t

tt

persingolare

per

01)( dtt ( “area” unitaria)

53

Impulso di Dirac

● L’integrale dell’impulso di Dirac è il gradino unitario

● Quindi, formalmente, si può porre

L’impulso di Dirac è la derivata generalizzata del gradino unitario(non si può parlare semplicemente di derivata, perché U(t)non è derivabile in senso ordinario, essendo discontinua)

)(tdt

dU

01

00)(

t

td

t

per

per )()( tUd

t

54

Impulsi di corrente e di tensione

● In un condensatore a una discontinuità della tensione corrisponde un impulso di corrente ( corrente non limitata)

● In un induttore a una discontinuità della corrente corrisponde un impulso di tensione ( tensione non limitata)

)(v

)(i

)()(v)(v

)()(v

CC

GC

G

tCdt

dCt

tUtt

tUt

)(i

)(v

)()(i)(i

)()(i

LL

GL

G

tLdt

dLt

tUtt

tUt

55

Circuiti elementari del secondo ordine

● Circuiti del secondo ordine: circuiti contenenti due bipoli dinamici

La determinazione della risposta richiede la risoluzione di un’equazione differenziale del secondo ordine

Circuito RLC serie Circuito RLC parallelo

56

Circuito RLC serie

● LKI:

● LKV:

● Componenti:

)(i)(i)(i ttt RLC )(v)(v)(v)(v tttt GCLR

dt

dCt C

C

v)(i

dt

dRCtRt C

RR

v)(i)(v

)(v)(vvv

2

2

ttdt

dRC

dt

dLC GC

CC

2

2 vi)(v

dt

dLC

dt

dLt CL

L

57

Circuito RLC serie

● All’equazione si devono associare le condizioni iniziali relative al valore all’istante t 0 della tensione vC e della sua derivata

● Quest’ultima condizione può essere ottenuta a partire dai valori iniziali delle variabili di stato

infatti si ha0

0

)0(i

)0(v

LL

CC

I

V

)(i)(i

v)(i

ttdt

dCt

LC

CC

C

I

CCdt

d LLC

t

C 0

0

)0(i1

)0(i1v

58

Circuito RLC parallelo

● LKI:

● LKV:

● Componenti:

)(v)(v)(v ttt RLC )(i)(i)(i)(i tttt GCLR

dt

dLt L

L

i)(v

dt

d

R

L

R

tti LR

R

i)(v)(

)(i)(iii

2

2

ttdt

d

R

L

dt

dLC GL

LL

2

2 iv)(i

dt

dLC

dt

dCt LC

C

59

Circuito RLC parallelo

● All’equazione si devono associare le condizioni iniziali relative al valore all’istante t 0 della corrente iL e della sua derivata

● Quest’ultima condizione può essere ottenuta a partire dai valori iniziali delle variabili di stato

infatti si ha0

0

)0(i

)0(v

LL

CC

I

V

)(v)(v

i)(v

ttdt

dLt

CL

LL

L

V

LLdt

d CCL

t

L 0

0

)0(v1

)0(v1i

60

Circuiti del secondo ordine

● I circuiti del 2° ordine sono descritti da equazioni differenziali del tipo

● coefficiente di smorzamento

circuito RLC serie

circuito RLC parallelo

● 0 pulsazione naturale

circuito RLC serie e parallelo

00

0

202

2

y)0y(

)f()y(y

2y

Ydt

dY

ttdt

d

dt

d

t

L

R

2

LC

120

RC2

1

0,0,0 CLR

0,0 20

61

Risposta di un circuito del secondo ordine

● Integrale generale dell’equazione differenzialey(t) yH(t) + yP(t)

yH(t) integrale generale dell’equazione omogenea associata

yP(t) soluzione particolare dell’equazione differenziale

● Per determinare yH(t) si risolve l’equazione caratteristica

● Si distinguono tre casi caratterizzati da valore positivo, nullo o negativo del discriminante

caso sovrasmorzato:

caso con smorzamento critico:

caso sottosmorzato:

02 20

2

20

2 20

20 20

20 20

20

62

Caso sovrasmorzato

● L’equazione caratteristica ha due soluzioni reali distinte

Se , dato che d < , risulta 1, 2 < 0

Il circuito è asintoticamente stabile

● Integrale generale dell’equazione omogenea associata:

● Espressione della risposta:

k1 e k2 si determinano imponendo le condizioni iniziali

2

120

221,

d

020

2

)(y)y( 2121 tekekt p

tt

ttH ekekt 21

21)(y

0,0 20

63


Caso sovrasmorzatoIngresso costante

64


Caso sovrasmorzatoIngresso costante

65

Smorzamento critico

● L’equazione caratteristica ha due soluzioni reali coincidenti

Anche in questo caso se > 0, le soluzioni sono negative


● Espressione della risposta:

k1 e k2 si determinano imponendo le condizioni iniziali

21

020

2

)(y)y( 21 ttekekt ptt

ttH tekekt 21)(y

66


Smorzamento criticoIngresso costante

67


Smorzamento criticoIngresso costante

68

Caso sottosmorzato

● L’equazione ha due soluzioni complesse coniugate


● Affinché yH(t) sia reale occorre che sia

● Si pone

djj 22021,

020

2

tjtjH

dd ekekt )(2

)(1)(y

*12 kk

jj eA

kARAeA

k2

)0,,(2 21

69

Caso sottosmorzato

● Utilizzando la formula di Eulero si ottiene

Espressione della risposta:

Anche in questo caso si devono determinare due costanti reali ( A e ) imponendo le condizioni iniziali

)(y)cos()y( ttAet pdt

tAe

eeAe

eeA

eeA

ekekty

dt

tjtjt

tjjtjj

tjtjH

dd

dd

dd

cos

2

22

)(

)()(

)()(

)(2

)(1

70


Caso sottosmorzatoIngresso costante

71

Caso senza perdite

● Questo caso corrisponde all’assenza di componenti in grado di dissipare energia

00,0 20

2

02

0 L

RR 0

2

1

RCR

RLC serie LC serie RLC parallelo LC parallelo

72

Caso senza perdite

● In queste condizioni l’equazione differenziale è

● L’equazione caratteristica ha due soluzioni immaginarie coniugate

● L’integrale generale dell’equazione omogenea è una funzione sinusoidale di pulsazione

non si annulla per t ma rimane limitata

in questo caso il circuito è semplicemente stabile

● L’espressione della risposta completa è

021 j

)(y)cos()y( 0 ttAt P

)cos()(y 0 tAtH

)f()y(y 2

02

2

ttdt

d

73


Caso senza perditeIngresso costante

74

Oscillatore armonico

● Se l’ingresso è nullo, i circuiti LC serie e parallelo si riducono al circuito seguente

● Considerando (per esempio) l’equazione in vC si ottiene

● Quindi si ha anche

● La tensione e la corrente sono sinusoidali con pulsazione 0

)cos()(v)(v 0 VMLC tVtt

)sen(v

)(i)(i 00 VMC

CL tCVdt

dCtt

75

Oscillatore armonico

● Energia accumulata nel condensatore

● Energia accumulata nell’induttore

● Energia totale

● L’energia totale è costante e coincide con i valori massimi assunti da wC(t) e da wL(t)

● wC(t) è massima quando wL(t) si annulla e viceversa

Si ha uno scambio continuo di energia, senza perdite, tra il condensatore e l’induttore

)(cos2

1)(v

2

1)(w 0

222VMCC tCVtCt

)(sen2

1)(sen

2

1)(i

2

1)(w 0

220

22220

2 tCVtVCLtLt MMLL

22220

2

2

1

2

1

2

1)(w)(ww MMMLCT LIVCLCVtt

76

Oscillatore smorzato

● Si inserisce un resistore di resistenza Rs in serie a L e C oppure un resistore di conduttanza Gp in parallelo a L e C

● A partire dalla condizione Rs 0 oppure Gp 0 si aumenta il valore di Rs o di Gp

Aumenta il valore di che nei due casi èC

G

L

R ps

22 o

77

Oscillatore smorzato

● Inizialmente il circuito è sottosmorzato a causa della dissipazione nel resistore l’energia accumulata nel

circuito tende a zero per t l’ampiezza delle oscillazioni decresce come et

la pulsazione diminuisce all’aumentare di Rs o Gp

● Aumentando si raggiunge la condizione di smorzamento critico per

in queste condizioni la pulsazione d è uguale a zero a partire da questo punto le risposte del circuito non hanno più

andamento oscillante

● Aumentando ulteriormente il circuito diviene sovrasmorzato al crescere di una delle soluzioni dell’equazione caratteristica

tende a mentre l’altra tende a zero per t la risposta tende a zero sempre più lentamente

220 d

L

CG

C

LR ps 220

78

Luogo delle soluzioni dell’equazione caratteristica

(versione del 9-12-2010) - · istante dipendono solo dai valori delle grandezze ... cariche dei...

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