UNO STUDIO DI FUNZIONE CON DERIVE

Con questa guida si vuol proporre un esempio di studio di funzione con Derive. La versione che ho utilizzato per questo studio è la 5.05 . Non è la più attuale, comunque lo studio di funzione si fa in ogni caso così.

Consideriamo la funzione

y(x) =

In Derive lo studio funziona al contrario rispetto al classico studio di funzione. Infatti prima si fa il grafico e poi si studiano i parametri caratteristici di esso, come massimi, minimi, flessi e asintoti.

Cominciamo con il disegnare la funzione. Digitiamo la funzione in questo modo

f(x):=x^3/(1-x^2)

nel riquadro

e premiamo Invio. Dovremmo ottenere il seguente risultato nella finestra algebrica:

Adesso tracceremo il grafico. Andiamo nella finestra grafica cliccando sul pulsante

Dovrebbe apparire la seguente finestra:

1

Adesso clicchiamo sul sesto pulsante della barra dei comandi, cioè per ottenere il grafico della funzione

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Dobbiamo adesso interpretare il grafico. Sembra che nel grafico ci siano due punti che hanno una discontinuità di prima specie, cioè hanno limite destro e sinistro finiti ma diversi. Come vedremo non è così.

Adesso procediamo allo studio “classico” di funzione seguendo questo schema:

1) DOMINIO2) POSITIVITA’ E NEGATIVITA’ DI UNA FUNZIONE3) INTERSEZIONE CON GLI ASSI4) ASINTOTI VERTICALI5) ASINTOTI ORIZZONTALI6) ASINTOTI OBLIQUI7) MASSIMI E MINIMI8) FLESSI

Partiamo dal punto 1), cioè il dominio. Il Derive non ce lo può dire direttamente e quindi dovremo ragionare un attimo. Dobbiamo impostare che ogni funzione soddisfa le disuguaglianze opportune. Ad esempio se avessimo un logaritmo dovremmo impostare che l’argomento del logaritmo sia > 0. Per quanto riguarda la funzione f(x) l’unico problema è presente se il denominatore è

nullo. Quindi impostiamo, ritornando alla finestra algebrica con il tasto , l’ultimo della barra dei comandi, che il denominatore, cioè , sia uguale a 0 e poi prendiamo l’insieme complementare che risulta. Scriviamo dunque

1 – x^2 = 0

e premiamo Invio. Otterremmo la seguente

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Adesso risolviamola. Clicchiamo sul pulsante Risolvi espressione, cioè , e otteniamo come risultato

Impostiamo il Dominio soluzione su Reale e clicchiamo sul tasto Risolvi per ottenere:

Dunque è diverso da 0 per x ≠ 1 e x ≠ -1 . Abbiamo dunque stabilito il dominio.

Adesso passiamo al punto 2), cioè la positività e la negatività della f(x). Per ottenere quando la funzione è positiva imponiamo che f(x) > 0, scrivendo in Derive che

f(x) > 0

e premiamo Invio. Poi clicchiamo sul pulsante Risolvi espressione, cioè per ottenere che f(x) è positiva per

Ragioniamo similmente per la negatività della funzione scrivendo che

f(x) < 0

e poi cliccando sul pulsante Risolvi espressione per ottenere

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Passiamo al punto 3), cioè l’intersezione con gli assi. Per ottenere l’intersezione con gli assi delle ascisse basta scrivere

f(x) = 0

e poi premere Invio. Con il pulsante Risolvi espressione si ha che

Per ottenere l’intersezione con l’asse delle ordinate basta scrivere

f(0)

e premere Invio. Poi cliccando sul pulsante Semplifica, cioè , otteniamo che

Adesso è un caso che f(0) e che gli x tali che f(x) = 0 siano formati soltanto da x=0. Quindi la funzione passa per l’origine degli assi.

Passiamo al punto 4), 5) e 6). Calcoliamo gli asintoti. Cominciamo con quelli orizzontali, cioè calcolando i limiti per x che tende a + ∞ e - ∞. Per fare questo scriviamo

f(x)

e premiamo Invio. Adesso premiamo il pulsante Calcola limite, cioè . Comparirà la seguente maschera:

Scriviamo nella cella Punto limite

inf

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e premiamo su Semplifica. Otterremmo il seguente

Ripetiamo il procedimento, però scrivendo nel Punto limite invece che inf

-inf

per ottenere il seguente:

Quindi non ci sono asintoti orizzontali.

Passiamo agli asintoti verticali. Ricordiamo che gli asintoti verticali possono stare solo per x = 1 e x = -1. Passiamo a calcolare il limite destro e sinistro in questi punti. Per farlo scriviamo

f(x)

poi clicchiamo sul pulsante Calcola limite. Nella schermata che compare otteniamo che

dovremo scrivere come Punto limite -1 e impostare il Limite da prima da Sinistra e poi rifacendo il procedimento da destra. La stessa cosa con il punto 1. Il risultato dovrebbe essere il seguente:

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Quindi quei punti che sembravano essere discontinuità di prima specie nel grafico, in realtà sono asintoti verticali. Un metodo per calcolare gli asintoti verticali, però il quale non ci dice come i limiti destri o sinistri vanno all’infinito, è scrivere la seguente istruzione:

ABS(f(x))=0

e premere Invio. Poi premere Risolvi espressione e troviamo i punti che sono di asintoto obliquo.

Dato che non ci sono asintoti orizzontali ci potrebbero essere asintoti obliqui.Scriviamo

f(x) / x

e calcoliamo il limite per x che tende a + ∞ , per ottenere il coefficiente angolare del possibile asintoto obliquo, cioè m. Risulta

Quindi potrebbe esistere l’asintoto obliquo se esiste finito il limite per ottenere l’intercetta, cioè q. Scriviamo

f(x) – ( - 1 )x

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e premiamo Invio. Calcoliamo il limite per x che tende a + ∞. Otteniamo che

Quindi y = - x è un asintoto obliquo all’infinito positivo. Procediamo allo stesso modo per - ∞. Otterremmo il seguente risultato:

Quindi anche y = - x è un asintoto obliquo per infinito negativo.

Passiamo al punto 7) e 8). La vera potenza di Derive si vedrà proprio adesso. Scriviamo

f(x)

e premiamo Invio. Calcoliamo la derivata attraverso il tasto Calcola derivata, cioè . Otteniamo come risultato, impostando l’ordine a 1:

Adesso premiamo il tasto F3 della tastiera e vedremo che la derivata si porrà nella cella dove si possono inserire i dati. Scriviamo davanti a tale espressione g(x):=

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e poi premiamo Invio.Adesso per studiare la crescenza e la decrescenza della funzione si può procedere come si è fatto prima per studiare la positività e negatività della funzione f(x), con g(x) a posto di f(x). Questo passaggio lo riportiamo solo nei risultati:

Adesso andiamo a studiare i massimi e i minimi. Poniamo g(x) = 0 . Con il pulsante Risolvi espressione otteniamo che

Per vedere se i punti in cui si annulla la derivata siano di massimo, di minimo o di flesso orizzontale basterà guardare il grafico.

Adesso andiamo a calcolare i flessi e gli intervalli di convessità e concavità, cioè il punto 8).Scriviamo g(x) e calcoliamo la derivata di ordine 1. ( Si potrebbe scrivere anche f(x) e calcolare la derivata di ordine 2 ). Otteniamo:

Per calcolare i flessi e gli intervalli di concavità e convessità ragioniamo come prima. ( per esempio chiamiamo la derivata prima di g(x) con il nome di h(x) come fatto prima attraverso il pulsante F3 della tastiera ). I risultati dovrebbero essere i seguenti:

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Notiamo che Derive ci dice che c’è un flesso in x = + ∞ e x = -∞, dato che essi sono punti di asintoto obliquo ( all’infinito la funziona si comporta come una retta e la derivata seconda di una retta, cioè di ax+b, è nulla ).

Questo conclude il nostro esempio.

Studiamo adesso in un altro esempio il dominino di una funzione, per il quale bisogna studiare due disequazioni.

La funzione in Derive si scrive

f(x) := ln(1+x) – atan(sqrt(x))

Notiamo che la f(x) è definita per

1+x > 0 , x ≥ 0

Per risolvere tale sistema in derive basta digitare

1+x > 0 AND x >= 0

premere Invio e poi Risolvi espressione.Notiamo però con tale funzione il limite di derive 5.05. Infatti la derivata di f(x) è

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Se andiamo a studiare la crescenza di tale funzione, cioè porre che essa sia > 0. derive 5.05 ci dà una espressione senza senso se tale disuguaglianza viene risolta con il tasto Risolvi espressione:

Da qua deduciamo che derive è un mezzo molto potente, ma non riesce certe volte a risolvere semplici disuguaglianze. Infatti g(x) > 0 se

quindi per .

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