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Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo

LEZIONE N° 1

Richiami sui metodi di misura della sicurezza Metodo delle tensioni ammissibiliMetodo semiprobabilistico agli stati limite

Stato limite ultimo di sezioni in c.a. soggette a pressoflessione

SLU per sezioni rettangolari in c.a. condoppia armatura

determinazione del campo di rotturadeterminazione del momento ultimo

Esempio: verifica di sezione rettangolare a doppia armaturaPrescrizioni normative


Metodi di misura della sicurezza (richiami)

La valutazione della sicurezza strutturale è il primo passo del processo progettuale che condiziona tutte le scelte successive. In particolare il dimensionamento delle strutture, i rischi assunti e i costi in genere.I livelli di rischio implicitamente prefissati dalla normativa rendono il progettista direttamente responsabile delle scelte sulla sicurezza avendo esso la facoltà di scelta sul metodo di progetto da adottare.In particolare la normativa fa riferimento a due metodi di progetto che corrispondono ai metodi così detti di livello 0 e 1:

• Metodo delle Tensioni Ammissibili• Metodo Semi-Probabilistico agli Stati Limite


Metodi di misura della sicurezza (richiami)Metodo delle Tensioni Ammissibili

Consiste nel determinare le tensioni massime ideali (σid) prodotte nella struttura dalle azioni esterne, sotto l’ipotesi di comportamento elastico-lineare omogeneo e isotropo del materiale. Le tensioni così valutate devono risultare minori di una tensione detta “tensione ammissibile” (σadm) ricavata dalla tensione di rottura del materiale ridotta mediante un opportuno coefficiente di sicurezza γ che mette in conto le diverse incertezze:

σid ≤ σR/γ = σadm

Le tensioni σid sono riferite ad uno stato di tensione monoassiale ideale equivalente allo stato di tensione reale, in genere pluriassiale.



Al metodo si possono muovere le seguenti critiche:

1. L’analisi è puramente deterministica2. I coefficienti di sicurezza γ impiegati sono ampi e ciò può indurre

pericolosi effetti psicologici negli attori del processo progettuale e realizzativo, dando la sensazione (per altro errata) di ampi margini di sicurezza.

3. La verifica delle tensioni locali non è detto che sia il modo più conveniente per il dimensionamento di una struttura.

4. Non è possibile effettuare verifiche per eventualità che non dipendono dallo stato di tensione (corrosione, incendio etc..)

5. Non è ragionevole scartare un struttura solamente perché la verifica delle tensioni locali elastiche non è rispettata, anche se in tal modo si sta operando certamente a favore di sicurezza.



Al contrario il metodo presenta alcuni importanti vantaggi

1. Possibilità di utilizzare il “principio della sovrapposizione degli effetti” potendo assumere come lineare il comportamento della struttura.

2. Buona attendibilità delle sollecitazioni calcolate con tale metodo (almeno per azioni statiche)

3. Buon comportamento mostrato dalle strutture progettate in passato col MTA


Metodi di misura della sicurezza (richiami)Metodo Semi-Probabilistico agli Stati limite

Il termine semi-probabilistico sta ad indicare che le aleatorietàcomunemente presenti nella definizione del modello strutturale edelle azioni vengono parzialmente tenute in conto attraverso l’utilizzo di valori di resistenza e ad azioni detti “caratteristici”, ossia che corrispondono a determinate probabilità di occorrenza, prefissate sulla base della probabilità di rovina che si vuole ottenere.

La verifica viene effettuata con riferimento ad uno stato limite a partire dal quale la struttura cessa di assolvere, parzialmente o totalmente, le funzioni per cui era stata progettata. Essi vengono generalmente suddivisi in due categorie

• SLU - Stati limite Ultimi• SLE - Stati limite di Esercizio



STATO LIMITE ULTIMOPer stato limite ultimo si intende lo stato oltre il quale sussiste la rovina

dell’intera struttura o di una sua parte, con eventuale perdita di vite umane. Si possono citare: Rottuta Localizzata di Elementi, collasso strutturale per l’occorrenza di cinematismi, Fenomeni di Instabilità, crisi per fatica in strutture soggette a cicli ripetuti, collasso incrementale per azioni dinamiche eccezionali (ad es. sisma).

STATO LIMITE DI ESERCIZIOStato oltre il quale si determina la perdita di funzionalità di uno o più

elementi della struttura senza pericolo per l’incolumità pubblica. Si possono citare: Deformazioni Eccessive, Fessurazioni Eccessive in costruzioni in c.a. o c.a.p., fenomeni di corrosione in elementi non fondamentali dal punto di vista statico.



Carichi e Sollecitazioni di progettoIn ogni caso utilizzando il MSPSL è fatto obbligo di determinare la

combinazione dei carichi (permanenti e accidentali) più sfavorevole, in grado cioè di provocare le sollecitazioni massime. Tale operazione porta alla individuazione dei carichi di progetto Fd:

combinando con opportuni coefficienti (γg γq) i carichi permanenti e accidentali che trasformano i valori caratteristici in valori caratteristici in valori di calcolo. I pedici k stanno ad indicare che le grandezze sono considerate con i loro valori caratteristici. Dai carichi Fd con analisi lineari si determinano le sollecitazioni di progetto Sd

++= ∑

=

n

iikikikqkgd QQGF

1ψγγ



Valutazione della Resistenza di progettoPer ogni stato limite considerato occorre, ai fini della verifica,

determinare la resistenza di progetto associata (Rd). Tale operazione deve essere obbligatoriamente effettuata considerando le resistenze dei materiali ridotte mediante opportuni coefficienti di sicurezza (γM).

Ad esempio nel caso di SLU di flessione per una trave in c.a. occorre determinare il momento massimo (ultimo) associato ad determinatomeccanismo di rottura, considerando le seguenti resistenze di progetto, dove i coefficienti γ sono ovviamente differenziati per calcestruzzo e acciaio.

)(Acciaiof

fs

ykyd γ= )(85.083.0 ClsRf

c

ckcd γ

×=



VerificaUna volta definiti i carichi di progetto, ovvero le relative sollecitazioni

(Sd), e le resistenze (Rd), la verifica di sicurezza è positiva se risulta:

Ad esempio nel caso di una trave in c.a. soggetta a flessione occorre verificare che il momento di progetto provocato dalla più sfavorevole combinazione dei carichi sia inferiore al momento massimo (ultimo) che la trave è capace di esplicare.

dd RS ≤


Metodi di misura della sicurezza (richiami)Metodo Semi-Probabilistico agli Stati Limite

I principali vantaggi del MSPSL sono i seguenti:

1. Vengono considerate, anche se parzialmente, le cause di aleatorietàdel modello strutturale e delle azioni.

2. Per la stima delle resistenze, ove necessario, si mette in conto il comportamento non lineare dei materiali e delle strutture.

3. Possono essere considerati stati limite di differente natura checoinvolgono sia fenomeni di rovina strutturale che fenomeni legati alla funzionalità della stessa struttura.


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDefinizione del Problema

Si consideri una sezione rettangolare in c.a. con doppia armatura soggetta a pressione applicata al centro di pressione c con eccentricità e. Ragioni di equivalenza statica permettono di considerare la sollecitazione come composta da una forza applicata al baricentro della sezione e un momento flettente pari a M=N×e.Si vuole effettuare la verifica di resistenza allo stato limite ultimo, valutando quindi lo sforzo Normale e il Momento ultimo che la sezione è capace di esplicare nel rispetto delle condizioni di equilibrio e di congruenza della sezione.

N

ec


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDefinizione del Problema

Naturalmente esistono infinite coppie N,M che rispettano tali condizioni. Resta dunque individuata una regione detta dominio di resistenza al di fuori del quale il limite ultimo della sezione viene superato.

La verifica consiste dunque nel verificare che

Mu(Nd) ≥ Md

controllando che Nd non superi il valore massimo esplicabile dalla sezione.

Mu

Nd

Esempio di dominio di Resistenza


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (generali)

1. Le sezioni si conservano piane (legge lineare delle deformazioni)

2. Il calcestruzzo teso non è reagente

3. Non vi è scorrimento relativo tra acciaio e cls (perfetta aderenza)


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (allo stato limite ultimo)

Legge costitutiva del Cls



Legge costitutiva dell’acciaio



Legge costitutiva del CLS

2%° 3.5%°

σ

ε

cdf

Tratto parabolico

Leggi costitutive del Cls e dell’AcciaioD.M. 09.01.1996

fyd/Es10%°

σ

ε

ydf

Legge costitutiva dell’acciaio


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaCampi di rottura (D.M. 09.01.1996)

(0) piccola eccentricità (Compressione)(1) sez. fortemente armata(2) Sez. normalmente armata(3) Sez. debolmente armata(4) Piccola eccentricità (Trazione)

(4)(3)

(2)

εsl εsy

εcu

εc1

3/7 h

h

b

(1)(0)

Campi di Rottura

d’

(0’) s

ydsy

000

sl

000

cu

Ef

105.3

=ε

=ε=ε


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura

Il campo di rottura associato ad una determinata sezione dipendeoltre che dalla quantità di armatura (come succede nella flessione semplice) anche dall’entità dello sforzo normale N. All’aumentare di N si passa da sezioni duttili a sezioni fragili fino a schiacciamento per compressione uniforme, che per sezioni simmetriche corrisponde al caso di pressione centrata.Come per il caso di flessione è utile poter determinare a priori il campo di rottura associato ad una determinata armatura e sforzo normale. A tale scopo è sufficiente determinare il valore di N che corrisponde alle linee di separazione tra i diversi campi di rottura. Sarà sufficiente confrontare il valore di calcolo Nd con i vari N prima calcolati per individuare in quale intervallo ci si colloca.


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura Piccola eccentricità : compressione centrata

Nel caso di compressione centrata l’equilibrio alla traslazione della sezione conduce alla seguente equazione:

ydsscd fAAfbhN )'(8.0max ++=C’

C’’

)'()1(8.0maxmax ss

cdfbdNn µµδ +++==

dd '

=δ

fcd

Dovrà ovviamente risultare che nd<nmax altrimenti l’equilibrio alla traslazione sarà impossibile

C C’+C’’

C

Il coeffciente 0.8 nella componente associata al csl dipende dal fatto che la normativa impone nel caso di compressione centrata che il coefficiente γc venga aumentato del 25%.


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura

Piccola eccentricità : sezione interamente compressa

Nel passaggio tra campo 0 e campo 1 la sezione risulta ancora interamente compressa con l’asse neutro passante per il lembo inferiore della sezione.

ydssscd fAAfbhN '8.00 ++= σ

La deformazione dell’acciaio inferiorè immediatamente ricavabile da semplici considerazioni geometriche

δδεε+

=1cus

fcdεcu

C’

C’’a.n.

'1

)1(8.0n sus0 µδ

δαµδ ++

++=

C

In termini adimensionalizzati si ha:

sy

cuu ε

εα =



Grande eccentricità : retta di separazione campo 0 e campo 1

Nel passaggio tra campo 0 e campo 1 la sezione risulta parzializzata con l’asse neutro che taglia la sezione in corrispondenza dell’armatura tesa.

εcu ydscd fAfbdN '8.0'0 +=

C’

a.n.'8.0'0 sn µ+=

In termini adimensionalizzatisi ha la semplice espressione:

C



C’


Nel passaggio tra campo 1 e campo 2 la sezione risulta parzializzata con l’asse neutro che taglia la sezione ad una distanza yc dal lembo superiore. L’acciaio inferiore risulta essere teso e snervato.

ydsydscdc fAfAfbyN −+= '8.01

dysycu

cuc εε

ε+

=

L’asse neutro yc si trova con semplici proporzioni geometriche

εcu

yc

'8.0n sssycu

cu1 µµ

εεε

+−+

=

a.n.C

T

εy




Nel passaggio tra campo 2 e campo 3 la sezione risulta essere in condizioni di rottura bilanciata, ossia sia il cls che l’acciaio hanno raggiunto la loro tensione massima. Inoltre l’acciaio inferiore è naturalmente snervato.

C’

εsu

a.n.

εcuydsssscdc fAAfbyN −+= )'('8.02 εσ

dKddysucu

cuc 259.0==

+=

εεε

Cyc

'f

'207.0n s

yd

ss2 µ

σµ +−=

T

)857.31(0035.0' δεδε −×=−

= cus KK L’acciaio compresso risulta in genere

snervato per travi con h>30 cm



Grande eccentricità : Esempio di rottura in campo 2




Nel passaggio tra campo 3 e campo 4 la sezione risulta essere completamente tesa. La resistenza è affidata alle sole armature.

εsl

slsls d'd' δεεε ==

a.n.

εcuydssss fAAN −−= )'('3 εσ

ssln µδµα −−= '3

sy

sll ε

εα =T’ C

TL’acciaio superiore risulta in genere non snervato per travi con h>20 cm


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento Ultimo

Per la determinazione del Momento Ultimo della sezione considerata occorre seguire in sequenza i seguenti due passi:

1. Determinazione della posizione dell’asse neutro

2. Determinazione del valore del Momento Ultimo

Nelle prossime slide si fornisce una espressione del MomentoUltimo in relazione al campo di rottura precedentemente determinato



Piccola eccentricità : compressione eccentrica (n0 < n < nmax)

2%° Determinazione asse neutro

C’

C’’

a.n.

yc

εc fcd La posizione dell’asse neutro yc si determina a partire dall’equazione dei equilibrio alla traslazione della sezione. L’acciaio inferiore risulta generalmente non snervato per cui:

C)('8.0 sssydscdud AfAfbhNN εσ++==

s

ss

s

ydscddss EA

f'Afbh8.0N)(

σεεσ =

−−=

hyKhdK

yydy

cc

ccc /'

/'

01

01 −

−=

−−

= εεε1')7/3()/(

'1

1 >−−

= KhdKsc

sc

εεεε K’=yc/h




∫−

−+=

0)(0

yy

hycd

c

c

dybfbyC εσ

−= cyCM (

=∞=

==

1'

81.01'

cd

cd

fbdCK

fbdCK

cdfbdC 8.0max =

Il valore max di C è limitato dalla massima resistenza a compressione ammessa per il cls

C

C’

C’’

2%°

fcd

a.n.

εc

yc




Determinazione Momento Ultimo

L’equazione di equilibrio alla rotazione attorno al baricentro geometrico della sezione ci fornisce il Momento Ultimo della sezione

C

C’

C’’

2%°

fcd

a.n.

εc

yc

( )22

3'7147160

−=

KfbhM cdc

∫−

−+

−+

−+

−+=

0)(

22)('

2' 0

0

yy

hyccdsssyds

c

c

ydybyyfbydhAdhfAM εσεσ



Grande eccentricità : Collasso nel campo 1 (n1 < n < n0)

Determinazione Asse neutro

C’

a.n. yc

εcu

C

T

fcd La posizione dell’asse neutro yc si determina a partire dall’equazione dei equilibrio alla traslazione della sezione. L’acciaio inferiore risulta certamente non snervato. L’equilibrio alla traslazione si scrive come segue:

)(Af'Afby81.0NN sssydscdcud εσ−+==εs< εsy

dyK

KKE

ydyE c

cusc

ccusss =

−=

−= ;1)( εεεσEquazione algebrica di 2° grado

0)'(81.0 2 =−−++ usduss nKK αµαµµ Sostituendo la precedente nella equazione di equilibrio alla traslazione si ha:





C’

a.n. yc

εcu

C

T

fcd L’equazione di equilibrio alla rotazione attorno al baricentro geometrico della sezione ci fornisce il Momento Ultimo della sezione.

KK

cus1−

= εεεs< εsy

−+

−+

−= dhAdhfAyhfbyM sssydsccdcu 2

)('2

'416.02

81.0 εσ





C’

a.n. yc

HP: acciaio compresso snervato

εcu fcd La posizione dell’asse neutro yc si determina a partire dall’equazione dei equilibrio alla traslazione della sezione. L’acciaio inferiore risulta certamente snervato e quindi nell’ipotesi che anche l’acciaio compresso sia snervato l’equilibrio alla traslazione si scrive :

C

εs> εsy T

81.0'ssdnK µµ −+

= ydsydscdud fAf'Afby81.0NN ++==





C’

a.n. yc

2%°

εcu

C

T

fcd Nel caso l’ipotesi di armatura compressa snervata non sia verificata occorre esprimere l’equazione alla traslazione in funzione di K ottenendo l’equazione di secondo grado con incognita la stessa K

εs> εsy

Equazione per la determinazione dell’asseNeutro nel caso che l’armatura compressanon risulti snervata

0')'(81.0 2 =−−+− δαµαµµ usussdnKK





C’

a.n. yc

εcu

C

T

fcd L’equazione di equilibrio alla rotazione attorno al baricentro geometrico della sezione ci fornisce il Momento Ultimo della sezione.

KK

cus1−

= εεεs> εsy

−+

−+

−= dhfAdhAyhfbyM ydssssccdcu 2

'2

)'('416.02

81.0 εσ





C’a.n.

ε c<εcu

εs= εsu

Cfcd La posizione dell’asse neutro yc si determina

a partire dall’equazione dei equilibrio alla traslazione della sezione. L’acciaio inferiore risulta certamente snervato e quindi nell’ipotesi che anche l’acciaio compresso sia snervato l’equilibrio alla traslazione si scrive :

yc

T

81.0'ssdnK µµ −+

=Equazione per la determinazione dell’asseNeutro nel caso che l’armatura compressarisulti snervata




Determinazione Asse neutroNel caso l’ipotesi di armatura compressa snervata non sia verificata occorre esprimere l’equazione alla traslazione in funzione di K ottenendo l’equazione di secondo grano con incognita la stessa K

0n')'8.0n(KK8.0 dslslssd2 =++++++− µδαµαµµ

CC’

fcd

a.n.

ε c<εcu

εs= εsu

Equazione per la determinazione dell’asseNeutro nel caso che l’armatura compressarisulti non snervata

yc

T





−+

−+

−= dhfAdhAyhfbyM ydssssccdcu 2

'2

)'('416.02

81.0 εσ

C’a.n.

ε c<εcu

εs= εsu

Cfcd L’equazione di equilibrio alla rotazione

attorno al baricentro geometrico della sezione ci fornisce il Momento Ultimo della sezione. yc

KK

sus −−

=1

δεεT

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