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Dottorato in Scienze Attuariali: Valutazione delle riserve tecniche e reserve risk - Clemente Gian Paolo

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA «LA SAPIENZA»SEMINARI PER DOTTORATO DI RICERCA IN SCIENZE ATTUARIALI

Valutazione delle riserve tecniche e reserve risk

Dott. Gian Paolo ClementeAttuario e RicercatoreDocente di Tecnica Attuariale delle Assicurazioni Danni e Matematica AttuarialeUniversità Cattolica del Sacro [email protected]

Roma – 11 Novembre 2016

1. La valutazione delle riserve sinistri e del requisito di capitale per il reserve risk

nel contesto Solvency II

Dottorato in Scienze Attuariali: Valutazione delle riserve tecniche e reserve risk - Clemente Gian Paolo 2

La Direttiva Solvency II (si veda Direttiva 2009/138/CE e Direttiva2014/51/UE) introduce una valutazione market consistent di attivi epassivi:

le Attività sono valutate all’importo al quale potrebbero essere scambiatetra parti consapevoli e consenzienti in un’operazione svolta alle normalicondizioni di mercato;

le Passività sono valutate all’importo al quale potrebbero essere trasferite,o regolate, tra parti consapevoli e consenzienti in un’operazione svolta allenormali condizioni di mercato.

L’interpretazione delle passività è legata al concetto di current exitvalue:o il valore delle riserve tecniche dovrebbe corrispondere all’ammontare che un’altra

impresa di assicurazione o di riassicurazione richiederebbe per far fronte ai rischiassociati a tale passività.

La valutazione di attività e passività


Per tutti i prodotti appartenenti a questa categoria (ramo I,ramo III con garanzie o con caricamenti per spese, riservedanni), il valore delle riserve è pari a:

Se i futuri cash flows associatiagli impegni contrattualipossono essere interamentereplicati utilizzando strumentifinanziari, allora il valore delleriserve tecniche è ottenibile perintero (“as a whole”) sulla basedel valore di mercato dellostrumento finanziario (ad es.Prodotti di ramo III senzagaranzie ).

LIABILITIES

Hedgeable Non-Hedgeable

Best Estimate Risk Margin+“La best estimate corrisponde allamedia dei flussi di cassa futuriponderata con la probabilità,tenendo conto del valore temporaledel denaro (valore attuale atteso deiflussi di cassa futuri) sulla base dellapertinente struttura per scadenzadei tassi di interesse privi dirischio.” (Art. 77).

“Il risk margin è tale da garantireche il valore delle riservetecniche sia equivalenteall’importo di cui le imprese diassicurazione e di riassicurazioneavrebbero bisogno per assumersie onorare le obbligazioni diassicurazione e diriassicurazione.” (Art. 77).

Le Passività:Hedgeable e Non-Hedgeable


Calcolo della Best EstimatePrincipali commenti

La valutazione della componente Best Estimate verrà dunque compiuta sulla base di informazioni credibili e ipotesirealistiche alla data di valutazione (basi di secondo ordine).

Nei cash-flow devono essere inclusi tutti i flussi in entrata e in uscita derivanti dai contratti assicurativi e diriassicurazione sottoscritti fino alla completa estinzione dell’impegno.

La valutazione della best estimate dovrebbe essereeffettuata analiticamente (sinistro per sinistro opolizza per polizza). Se la valutazione è effettuata permodel point, il raggruppamento considerato nondeve rendere «distorta» la valutazione delle riservetecniche (l’impresa è inoltre tenuta a verificare evalidare le tecniche di raggruppamento utilizzate).

La Best Estimate deve essere valutata al netto dellariassicurazione. Il valore netto è ottenuto sottraendoalla BE calcolata in assenza di riassicurazione passiva(BE lorda) la quota di BE a carico del riassicuratore.Nel QIS5 (e nel LTGA) il valore della BE a carico deiriassicuratori deve essere corretto per considerare laprobabilità di default del riassicuratore e l’eventualerecovery rate.


Best Estimate - Riserva Sinistri

La valutazione della BE della Riserva Sinistri è basata sulla determinazione del valore attuale atteso dei sinistri edelle spese di liquidazione al netto dei recuperi derivanti dai sinistri già accaduti alla data di valutazione(comprensiva dunque dei sinistri IBNR).

In particolare si segnala l’eliminazione di elementi di prudenzialità nella valutazione, l’introduzione di unacomponente di attualizzazione e l’effetto dei recuperi.

La somma degli importi nelle celle di ciascuna diagonale rappresenta il cash-flowatteso relativo al pagamento dei sinistri (già avvenuti alla data di valutazione) neifuturi anni di calendario.

Gli importi di ogni diagonale saranno riportati finanziariamente alla data divalutazione utilizzando la struttura dei tassi di attualizzazione

I cash-flow in uscita considerano l’ammontare dei sinistri pagati, le relative spesedi liquidazione, le eventuali somme da recuperare.

“Aspettativa” di pagamentodei sinistri della generazione2007 nel 2017.

Anno di valutazione: 2013

Cash-Flow atteso (2014) per i soli sinistri già avvenuti entro il 31.12.2013

Cash-Flow atteso (2015) per i soli sinistri già avvenuti entro il 31.12.2013

An

no

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azio

ne

Anno di sviluppo


Stato dell’arteAtti Delegati e Documentazione tecnica

• Dopo la pubblicazione di Atti Delegati, EIOPA ha pubblicato le specifiche tecniche adottate per la definizione dellacurva risk free e degli adjustment previsti dalla normativa.

• In accordo alla Documentazione Tecnica dell’EIOPA sulla risk-free interest rate term structures (ultima versione30.09.2016) e alla Commission Implementing Regulation 2016/165, si ha:

– Una curva dei tassi di interesse risk free calcolata per differenti scadenze e valute:

• Calibrati principalmente sui tassi swap (dove disponibili);

• Correzione per l’eliminazione del rischio di credito (Credit Risk Adjustment);

• Basata su dati fino al Last liquid point (fissato dall’EIOPA) e successivamente estrapolato fino all’ultimateforward rate (UFR) (fissato dall’EIOPA).

– Una correzione (Volatility Adjustment) per la parte liquida della curva risk free (fino a LLP) allo scopo di ridurrel’impatto della volatilità di mercato nel breve periodo:

• Fornito dall’EIOPA;

• Specifica per ogni valuta e paese di riferimento.

– Un diverso aggiustamento (Matching Adjustment) è fatto per le passività prevedibili del portafoglio:

• Un’impresa può assegnare a copertura di specifici impegni degli asset con un prefissato cash flows che siintende detenere fino a scadenza;

• L’ EIOPA fornirà una stima di quanta parte dello spread di tali attività detenute fino a scadenza, rispetto altasso di interesse risk-free, è dovuta ai rischi di default o di downgrade (fundamental spread).

• Si applica a tutta la curva (shift parallelo)


0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

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0,05

1 7

13

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25

31

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9

11

5

12

1

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3

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14

5

Forward rates

Risk-Free Rates al 31.12.2015

VA: 22 bp fino al 20 anno e successivamente decrescente fino a zero.(Curva da utilizzare per il periodo 01.01.16-31.03.16)

- Riportiamo l’ultima curva calibrata al 31.12.2015 deiprincipali paesi UE (Austria, Francia, Germania, Italia,Olanda, Portogallo e Spagna):

Fonte: rielaborazione da Risk-free interest rate term structure, 05.02.2016 - EIOPA

UFR=4.2%


Gli step di calcolo del Risk MarginCoC Approach

• Il Risk Margin (Atti delegati) è ottenuto da:

1. Proiezione del SCR fino al completo run-off delle passività (ipotesi di diversificazione). Il SCR considera solo alcuni dei rischi presenti nella standard formula:

- underwriting risk (solo existing business)

- default risk rispetto ai contratti di riassicurazione, intermediari, assicurati e altre esposizioni collegate agli impegni esistenti.

- operational risk

- material market risk: non materiale per le passività non-life

2. Determinazione del costo del capitale annuo (6%* SCRt)

3. Attualizzazione mediante la curva risk-free senza adjustments (no VA o MA)

SCR

Cost of Holding future SCR

RM

T

t

tSCRtvCoCRM0

)1,0(


I risultati del QIS5 mostrano (per “Solo” Insurers) i seguenti rapporti:

RM/BE Italia UE

MTPL 4%-5% 5.62%

GTPL 4%-5% 6.83%

MOD 6%-7% 7.85%

9

Differenti time-horizonsSCR e valutazione delle passività

Nell’ambito del progetto Solvency II, la valutazione delle riserve inun’ottica coerente con il concetto di current exit value (bestestimate + risk margin) e la determinazione del requisito di capitaleper il reserve risk sono ottenuti con due orizzonti temporali diversi.

In particolare la direttiva afferma:“… the risk margin shall be calculated by determining the cost of providing an amountof eligible own funds equal to the Solvency Capital Requirement necessary to supportthe insurance and reinsurance obligations over the lifetime thereof” (art 76)

“…the Solvency Capital Requirement should be determined as the economic capital tobe held by insurance and reinsurance undertakings in order to ensure that ruin occursno more often than once in every 200 cases or, alternatively, that those undertakingswill still be in a position, with a probability of at least 99,5%, to meet their obligations topolicyholders and beneficiaries over the forthcoming 12 months”. (par 37)


One-Year vs Total Run-Off

Total Run-Off Approach (or Ultimate View):

One-Year Approach (or One-Year View):


n

i

n

in

jiPR1 2

, nDRE |ˆ nDR |ˆ2

1

1

2,

nn D

n

i

ini

DRPRCDR nDDRCE |ˆ nDDRC |ˆ2

• i = anno di generazione i = 1,2, … n

• j = anno di sviluppo (antidurata) j = 1,2, … n, n+1,…

• Pi,j = Importo Sinistri Pagati INCREMENTALI corrispondente all’ammontare annuo dei sinistri della generazione i-esima pagati nel j-esimo anno di sviluppo

1|,

)( njiCD ji

n D(n) stato di informazione al tempo N(ovvero conoscenza del triangolo superiore)

11

One-Year Approach

Tratto da AISAM – ACME (2007), “Study on non-life long tail liabilities”

Area A: contiene le informazioni disponibili al momento della valutazione.

Area B: corrisponde al cosiddetto shock period, ovvero rappresenta i pagamenti effettuati nelcorso dell’anno successivo..

Si avrà dunque che, stimata la riserva iniziale(RT=0), nel corso dell’anno si osserveranno due fonti di variabilità:- i pagamenti effettuati nel corso dell’anno 1, ovvero gli elementi che stanno sulla diagonale successiva del triangolo (PT=1);-la nuova riserva stimata in T=1 (31.12.N+1) condizionatamente alle informazioni aggiuntive in possesso nel corso dell’anno(RT=1).

Il reserve risk cattura le differenze tra RT=0 e PT=1+RT=1


Requisito di capitale per reserve risk

• USP per reserve risk:

1. Determina la standard deviation del rapporto tra yt/xt.

• yt: somma di best estimate alla fine dell’anno e dei pagamenti dell’anno per sinistri già avvenuti all’inizio dell’anno.

• xt: best estimate riserva sinistri iniziale.

• Distribuzione lognormale e metodologia basata sulla massima verosimiglianza.

2. Determina il rapporto tra la radice del mean square error prediction (valutato con formula di Merz e Wuthrich) e la BE del metodo Chain-Ladder Paid.

Per dettagli si vedano Annexes del Delegated Commission Regulation 2015/35/UE del 10 ottobre 2014


nlnlrespr VSCR 3&

),,(),,(),( 1 lobresMloblobresUloblobres cc loblobres BEV ),(

Con riferimento al solo reserve risk si ha:

clob: credibility coefficient variabile in funzione del ramo e della

lunghezza della serie storica utilizzata

2. Metodi a Totale Run-Off:

la valutazione del “Prediction Error”


Modelli stocastici per la Riserva Sinistri

• La letteratura ha proposto molti approcci per la valutazione della riserva sinistri.

• In particolare possiamo elencare:– Formule chiuse per ottenere la variabilità della stima con il metodo Chain-Ladder (ad es. Mack

(1993, 1994, 1997), Merz e Wüthrich (2008), Buchwalder, Bühlmann, Merz, Wüthrich (2008),Bühlmann, De Felice, Gisler, Moriconi, Wüthrich (2009) )

– Formule chiuse per ottenere la variabilità della stima con utilizzando le informazioni PAID eINCURRED ed il metodo Chain-Ladder (ad es. Quarg e Mack (2004), Dahms (2008), Merz andWüthrich (2010))

– Formule chiuse per ottenere la variabilità della stima con il metodo Bornhuetter-Ferguson (Mack(2006, 2008), Wüthrich et al. (2010, 2011), Saluz, Gisler, Wüthrich (2011))

– GLM (Renshaw (1994), Renshaw e Verrall (1998), England, Verrall (2006), Gigante, Picech, Sigalotti(2012))

– Bootstrapping (England, Verrall (1999), England (2002), Pinheiro, Andrade, Centeno (2003),England, Verrall (2006))

– Metodi Bayesiani (Scollnick (2001), England, Verrall (2006), Verrall (2009), England, Verrall,Wüthrich (2012))

– Collective risk model (Hayne(1989), IAA (2004), Cummins, McDonald, Merrill (2004), Meyers(2008), Clemente, Savelli (2009 e 2010), Hayne (2010), Clemente, Ricotta (2016)


2.1. La formula di MackDistribution-free calculation

of the standard error of chain-ladder reserve estimates, T. Mack.

(Astin Bullettin, 23(2) - 1993)


Il modello di MackDistribution Free Chain-Ladder (DFCL)

• Il modello di Mack, estendendo la struttura classica del modello Chain-Ladder, mira a stimare il “prediction error”,ovvero la radice dell’errore medio di previsione (msep).

• In particolare la variabilità totale (Varianza di previsione) viene scomposta in due componenti:

- la varianza del processo, variabilità insita nel processo stocastico sottostante;

- la varianza della stima, incertezza nella stima dei parametri del modello.


2

,,1, | jjijiji CCCVar

jjijiji CCCE ,,1, |

Le ipotesi principali

• Si ipotizza che:

esistano j e j tali che, per ogni i=1,…,n e j=1,…,n-1, valgano le due relazioni seguenti:

Ipotesi base del Chain-Ladder


Le variabili Ci,1,Ci,2,…Ci,n e Cj,1,Cj,2,…Cj,n siano indipendenti (per ogni i diverso da j)

jjii

ji

jiCC

C

CE

,1,

,

1,,...,|

Successivamente è stato dimostrato che è possibile ottenere formulazioni analoghe ipotizzando che le v.a. (Ci,j)j sono una catena di markov per ogni i compreso nell’intervallo (1,n)

• Si ipotizza inoltre che:

NB:Ci,j v.a. pagamenti cumulatiNo tail

18

Gli stimatori di Media e Varianza dei valori cumulati Ci,j

j

• Secondo il Modello di Mack, Media e Varianza del valore cumulato Ci,j sono fornite dalle seguenti relazioni:

• Mack fornisce i seguenti stimatori per e 2

j

jijjiji CCCE ,,1, )|( jijjiji CCC ,

2

,1,

2 )|(

1ˆ,ˆ,ˆ

ˆminˆ

2,....,2,1)ˆ(1

1ˆ

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22

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4

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1

,,

njper

njperfwjn

C

CfeCwdove

w

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nj

jn

i

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ji

ji

jijijijn

i

ji

jn

i

jiji

j

Individual Development

FactorMedia dei fattori f(i,j) ponderati

con i pagamenti cumulati

Ci,j

Formula suggerita daMack, basata sull’ipotesidi un andamentoesponenzialedecrescente dei j

2

(ipotesi forte)

j

Stimatore non distorto di 2


Alcune Proprietà

• Sotto le ipotesi del modello si dimostra:a) La non distorsione dello stimatore condizionatamente alle informazioni note:

b) La non distorsione dello stimatore (unconditionally unbiased):

c) L’incorrelazione (non indipendenza) tra gli stimatori:

d) La non distorsione dello stimatore del costo ultimo:

e) Lo stimatore classico ha varianza minima (condizionata) fra tutte le combinazioni di stimatori non distorti:

f) La non distorsione dello stimatore della varianza condizionamente (e unconditionally) alle informazioni:

j

n

j DE )(|ˆ

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kjconDE kj

n

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j DfVARDVARi

jn

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1

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n

j DE 22ˆjjE


Mean Square Error Prediction

2)(

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n

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n

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nn

nini

n

nini

n

ni

n

i

DCECDCVAR

DDCECEDDCECE

DCCEDCmsepDRmsep

Movimenti del processo sottostante.

La radice quadrata di tale componente descrive il process risk

Errore di stima

La radice quadrata di tale componente descrive l’estimation risk

L’ultimo passaggio deriva dall’ipotesi che

e

siano deterministici condizionatamente alle informazioni.

niC ,ˆ )(

, | n

ni DCE


Per una specifica realizzazione (insieme di dati) D(n) il MSEP della riserva della generazione i-sima condizionato alle informazioni è pari a:

21

Il Prediction Error per la Riserva Sinistri della singola generazione

• Per la Riserva Sinistri di ogni singolo anno di generazione, Mack ha individuato la seguente approssimazione:

PV = Process Variance:

EV = Estimation Variance:

da cui ricaviamo:

msep (o Prediction Variance) = PV + EV =

1

1 ,

2

2

2

,

)(

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ˆˆ|

n

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j

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ij

n

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n

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nn

i

i

nn

i

i

DCCCovDCmsep

DCCCov

DCVarDCVar

CDCECDCE

CDCEDCVar

CDCEDCVar

DRVarDRmsep

Si ipotizza indipendenza tra i

costi delle diverse generazioni.

Mentre i pagamenti stimati

sono correlati attraverso i

fattori di sviluppo. Si osserva,

infatti, che l’estimation

variance complessiva è

funzione anche della

covarianza tra gli stimatori.


Proc. Var. Est. Var.

23

n

i

n

injjn

h

jhj

jn

ih

nhni

n

i

n

i

n

i

C

CCDRmsepDRmsep2

1

1

1

,

2

2

1

,,

)(

2

)(

ˆ

ˆˆˆ2|ˆ|ˆ

il Prediction Error della Riserva Sinistri nel suo complesso, è ottenuto sulla base della radice quadrata della seguente espressione che individua la msep (prediction variance):


Si osservi che l’ultimo termine implicitamente indica che:

ihconDCVarC

CDCCCov n

ni

ni

nhn

ninh

)|ˆ(

ˆ

ˆ)|ˆ,ˆ( )(

,

,

,)(

,,

Da cui si può ricavare agevolmente il coefficiente di correlazione tra ogni coppia di variabili

24

Triangolo Taylor-Ashe

Triangolo Taylor-Ashe (1983) – Pagamenti Incrementali

N.B. Disponibile in R. Library(ChainLadder)


Triangolo tratto da: TAYLOR, G. C and ASHE, F R. (1983) Second Moments of Estimates of Outstanding Claims. Journal of Econometrics 23,

37-61. Utilizzato in numerosi articoli in ambito attuariale.

j

2j



AccidentYear

LatestCum

CDF Ultimate ClaimsReserve

ProcessError

EstimationError

PredictionError

CV ProcessVar/Pred. Var

1 3.901.463 1,0000 3.901.463 0 0 0 0 -

2 5.339.085 0,9826 5.433.719 94.634 48.832 57.628 75.535 0,7982 41,79%

3 4.909.315 0,9127 5.378.826 469.511 90.524 81.338 121.699 0,2592 55,33%

4 4.588.268 0,8661 5.297.906 709.638 102.622 85.464 133.549 0,1882 59,05%

5 3.873.311 0,7973 4.858.200 984.889 227.880 128.078 261.406 0,2654 75,99%

6 3.691.712 0,7223 5.111.171 1.419.459 366.582 185.867 411.010 0,2896 79,55%

7 3.483.130 0,6153 5.660.771 2.177.641 500.202 248.023 558.317 0,2564 80,27%

8 2.864.498 0,4222 6.784.799 3.920.301 785.741 385.759 875.328 0,2233 80,58%

9 1.363.294 0,2416 5.642.266 4.278.972 895.570 375.893 971.258 0,2270 85,02%

10 344.014 0,0692 4.969.825 4.625.811 1.284.882 455.270 1.363.155 0,2947 88,85%

Totals 34.358.090 0,6478 53.038.946 18.680.856 1.878.292 1.568.532 2.447.095 0,1310 58,91%

Indipendenza 2.038.397 0,1091

Piena correlazione tra EV 2.746.137 0,1470

Piena correlazione tra EV e PV 4.771.256 0,2554

Un secondo esempioMack (1993)

• Consideriamo il seguente Triangolo di Run-Off di Pagamenti Incrementali utilizzato da T. Mackin un suo lavoro (con n=10)

Automatic Facultative General Liability(Asbestosi e Rischi Ambientali esclusi)

Importi incrementali



i,j

j ln2j)

31

Il Prediction Error


Il Prediction Error per generazione


• Da cui mediante le formule mostrate in precedenza ricaviamo il “Prediction error” della nostra stima di riserva per ogni singola generazione, che varia dal 40-50% circa per le generazioni centrali mentre per le generazioni 2-3 e 10 assume valori tra il 100 ed il 150%

• Come già osservato nella tabella precedente, con riferimento al Prediction Error della Riserva Sinistri nel suo

complesso, si ottiene un Prediction Error pari a 26.909 unità, pari al 52% della stima della riserva sinistri (52.135

unità), ottenuto semplicemente sulla base della radice quadrata della precedente espressione di PRV.

33

2.2. The Over-dispersed Poisson ModelStandard Errors of Prediction in Claims Reserving:

a comparison of methods, P. England, R. Verrall (1998)


La struttura moltiplicativa

• England, Verrall (1998), Verrall (2000) e England, Verrall (2002) introducono una struttura moltiplicativa per descrivere i pagamenti incrementali:

• Si ipotizza che i singoli pagamenti incrementali siano v.a. indipendenti e distribuite secondo una distribuzione di Poisson:

• Sotto questa ipotesi è agevole dimostrare (ad es. sfruttando le proprietà delle f.g.c.) che:

• Inoltre dovrà valere che Pi,j >0 e dunque yj>0

jiji yxPE )( , 11

n

j

jy

ini xCE )( ,


)(~, jiji yxPoissP

)(~1

,, i

n

j

jini xPoissPC

35


• Le assunzioni dunque inducono ad interpretare:- xi come l’ammontare complessivo atteso dei sinistri nella generazione i-sima (aspettativa del costo ultimo)- yj come la proporzione del costo ultimo atteso pagata nell’antidurata j

• Si osservi inoltre che il pattern atteso dei pagamenti non dipende dall’anno di generazione i:

• Vale inoltre che:

11,

,

)(

)(

y

y

PE

PE j

i

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n

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hiiniinii

n

inh

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n

ni yxCCCPECDCE2

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36


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0,

1

1

ji

ji

j

in

j

jyx

Pyy

Eguagliando a zero le derivate prime rispetto ai parametri (2n derivate)

1

1

,

1

1

ˆˆin

j

ji

in

j

ji Pyx

Derivandorispetto ai singoli yj

Derivandorispetto ai singoli xi

1

1

,

1

1

ˆˆjn

i

ji

jn

i

ij Pxy

Sistema di Equazioni (MLE).

37

Poisson vs CL


1

1

1

2

1

3

1

1

1

2

1

1,1

1

11,

21

1

1,

1,

2

1,,

ˆ

ˆ

...

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆn

j

j

n

j

j

in

j

j

in

j

j

in

j

j

in

j

j

iniin

h

h

n

h

h

ini

n

inh

hin

h

h

ini

ini

n

inh

hiinini

y

y

y

y

y

y

C

y

y

Cy

y

CCyxCC

Hp Poisson:

1

1

,

1

1

ˆˆin

j

jij

in

j

i Pyx

),...,2(

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆˆ

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

,

1

1

1

,

1

1

1

1

,

1

1 1

,

1

1

1,

1

1

,

1 nj

y

y

xy

xy

P

P

P

P

C

C

j

h

h

j

h

h

j

h

jn

i

ih

j

h

jn

i

ih

j

h

jn

i

hi

j

h

jn

i

hi

jn

i

j

h

hi

jn

i

j

h

hi

jn

i

ji

jn

i

ji

j

1

1

,

1

1

ˆˆjn

i

jij

jn

i

i Pyx

Eq. 1 MLE

Eq. 2 MLE

38


CL

nininininin

j

j

n

j

j

in

j

j

in

j

j

in

j

j

in

j

j

ini

MLE

ni CC

y

y

y

y

y

y

CC ,1211,1

1

1

2

1

3

1

1

1

2

1

1,,ˆˆˆˆ

ˆ

ˆ

...

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Hp Poisson:

N.B.: Verrall (2000) dimostra che se i pagamenti incrementali sono distribuiti secondo una Poisson con media pari al valore atteso dei pagamenti incrementali stessi, lo stimatore di massima verosimiglianza del costo ultimo, coincide con lo stima ottenuta applicando il CHL classico.

1

1

1,

,

ˆ

ˆin

h

h

ini

ni

y

CC

Hp CHL:

1

1

1,,ˆˆ

n

inh

hinini CC 1

1

1

1

1ˆ

1

ˆ

1ˆ

in

n

inh

h

in

h

hDFC

y

39

• Partendo da questo risultato, England e Verrall (2002) propongono il seguente modello del tipo Over Dispersed Poisson (ODP):

con f parametro di sovradispersione (incognito e stimato dai dati) che non incide sulla stima puntuale della riserva (ma influenza la standard deviation) .

• La non negatività dei parametri yj è qui confermata dalla dipendenza implicita della varianza dalla media.

• La relazione tra il valore atteso e i parametri è moltiplicativa e dunque la soluzione viene identificata tramite modelli lineari generalizzati (GLM).

• Gli autori determinano una formula chiusa funzione dei dati e dei parametri per ottenere la stima del msep.

jiij yxPE )( ijij PEP f )(2


Generalized Linear Models (GLM)


jijiij yxPE ,)( p

jiijP ,

2 )( f ijji ,ln jiij c

Al variare di p si applica un diverso modello GLM (p=1 Poisson, p=2 Gamma, p=3 Inverse Gaussian).

Si dimostra che l’errore di previsione è complessivo è pari a:

2211

221121

,,

,,,,

2 2

,

22

,

2 2

,

)( )ˆ,ˆ(ˆˆˆˆˆˆ|ˆ

jiji

jijijiji

n

i

n

inj

jiji

n

i

n

inj

p

ji

n CovDRmsep f

Est. Variance )ˆ(2 Proc. Variance

2

2

, ,

,,

)( ˆ

ˆPN

Dji ji

jiji

n

P

f

)12(2

)1(

ˆ

ˆ

ˆ

2

, ,

,,

)(

nnn

P

nDji ji

jiji

f


GLMTaylor Ashe Triangle

ODP GAMMACompound

Poisson(Intercept) 12.5064 12.5595 12.5144factor(origin)2 0.3313 0.3173 0.3267factor(origin)3 0.3211 0.2834 0.3145factor(origin)4 0.3060 0.1654 0.2900factor(origin)5 0.2193 0.2306 0.2187factor(origin)6 0.2701 0.2730 0.2687factor(origin)7 0.3722 0.3523 0.3683factor(origin)8 0.5533 0.4619 0.5430factor(origin)9 0.3689 0.3071 0.3608factor(origin)10 0.2420 0.1889 0.2340factor(dev)2 0.9125 0.9086 0.9112factor(dev)3 0.9588 0.9316 0.9554factor(dev)4 1.0260 0.9975 1.0214factor(dev)5 0.4353 0.4145 0.4335factor(dev)6 0.0801 0.1108 0.0836factor(dev)7 -0.0064 -0.0542 -0.0107factor(dev)8 -0.3945 -0.4497 -0.4005factor(dev)9 0.0094 -0.0594 0.0015factor(dev)10 -1.3799 -1.4330 -1.3879


Mack

Latest Dev.To.Date Ultimate IBNR S.E CVUltimate Reserve Pred. Error CV Ultimate Reserve Pred. Error CV Ultimate Reserve Pred. Error CV CV

1 3.901.463 0 0 - 3.901.463 0 0 - 3.901.463 0 0 - -

2 5.433.719 94.634 110.100 1,1634 5.432.401 93.316 45.166 0,4840 5.433.287 94.202 91.599 0,9724 0,7982

3 5.378.826 469.511 216.043 0,4601 5.355.822 446.507 160.557 0,3596 5.375.802 466.487 186.546 0,3999 0,2592

4 5.297.906 709.638 260.872 0,3676 5.199.415 611.147 177.625 0,2906 5.287.244 698.976 223.723 0,3201 0,1882

5 4.858.200 984.889 303.550 0,3082 4.865.338 992.027 254.471 0,2565 4.859.313 986.002 264.763 0,2685 0,2654

6 5.111.171 1.419.459 375.014 0,2642 5.144.798 1.453.086 351.334 0,2418 5.115.506 1.423.794 333.247 0,2341 0,2896

7 5.660.771 2.177.641 495.378 0,2275 5.669.292 2.186.162 526.288 0,2407 5.663.087 2.179.957 452.934 0,2078 0,2564

8 6.784.799 3.920.301 789.961 0,2015 6.529.570 3.665.072 941.322 0,2568 6.761.729 3.897.231 754.581 0,1936 0,2233

9 5.642.266 4.278.972 1.046.514 0,2446 5.485.699 4.122.405 1.175.946 0,2853 5.626.542 4.263.248 1.019.459 0,2391 0,2270

10 4.969.825 4.625.811 1.980.101 0,4281 4.860.096 4.516.082 1.667.392 0,3692 4.955.325 4.611.311 1.910.991 0,4144 0,2947

total 53.038.946 18.680.856 2.945.661 0,1577 52.443.894 18.085.805 2.702.710 0,1494 52.979.298 18.621.208 2.831.456 0,1521 0,1310

ODP Gamma Compound Poisson

2.3. Bootstrapping method

Analytic and bootstrap estimates of prediction errors in claims reserving. England, P. and Verrall, R., Insurance Mathematics and

Economics, 25:281-293, 1999.

Addendum to analytic and bootstrap estimates of prediction errors in claim reserving. England, P. Insurance Mathematics and

Economics, 31:461-466, 2002.


– Una tecnica alternativa utilizzata per ottenere una distribuzione simulata diprobabilità è rappresentata dal Bootstrapping. Tale tecnica ovvial’inconveniente di dover trattare con formule complesse per il calcolo delprediction error.

– Il Bootstrapping è una tecnica potente ed allo stesso tempo semplice applicataper ottenere una serie di informazioni da un campione di dati, in alternativaall’utilizzo di tecniche analitiche.

– La metodologia fa riferimento alla tecnica del campionamento con ripetizionedei dati osservati, in modo da creare un gran numero di insiemi di pseudo-datiche risultino coerenti con la distribuzione sottostante.

– In vari articoli scientifici (si segnalano in particolare gli autori England e Verrall)il metodo è stato utilizzato per simulare il Process Error, oltre all’utilizzo delbootstrapping al fine di ottenere l’Estimation Error da cui poter ricavare una“predictive distribution”.


• Il Bootstrap è una metodologia introdotta da Efron (1979) allo scopo di ottenere proprietà di uno stimatore attraverso l’estrazione (con ricampionamento) da una distribuzione empirica.

• Dato un insieme di osservazioni assunte i.i.d., è possibile estrarre con ripetizione dalla distribuzione empirica un numero N di resampled dataset di dimensione pari al dataset osservato.

• Tale approccio risulta interessante quando:– La distribuzione dello stimatore è ignota o difficile da ottenere

– La distribuzione del campione è limitata per fare inferenza

• Approcci alternativi sono basati sul bootstrap applicato ai residui e sul parametricbootstrap.


I primi step

Ipotizzando un triangolo di dimensione n con i=1,2…n e j=1,2…n

E’ possibile applicare la metodologia mediante le seguenti fasi:

1. Calcolare i fattori di sviluppo dai dati cumulati mediante il metodo Chain-Ladderstandard

jn

i

ij

jn

i

ji

j

C

C

1

1

1,

2. Ottenere in modo ricorsivo, partendo dai pagamenti cumulati sulla diagonale, a ritroso i dati cumulati utilizzando i fattori di sviluppo j

1

1,,ˆ*

jjiji CC

3. Calcolare i dati incrementali del nuovo triangolo stimati

1,, jijiij CCP


Il calcolo dei residui

4. Calcolare gli scarti del Pearson

ji

jijiP

ji

P

PPr

,

,,

,

5. Calcolare gli scarti del Pearson corretti (i cosiddetti residui adjusted)

)12(2

)1(2

)1(

,,

nnn

nn

rr P

ji

adj

ji

Aggiustamento per considerare i gradi di libertà


Il campionamento e il nuovo triangolo inferiore

6. Compiere un numero N sufficientemente grande di simulazioni, in cui in ogni simulazione h:

– si crea un nuovo triangolo di residui corretti mediante un campionamento con reinserimento

– si ricostruisce il triangolo di dati incrementali mediante la seguente relazione inversa

jiji

h

ji

h

ji PPrP ,,,,

- si costruisce il triangolo dei dati cumulati e si ricava la riserva applicando il

metodo Chain-Ladder


• Il Bootstrapping permette (come evidenziato in England&Verrall 1999) di stimare

unicamente la componente di estimation error relative al prediction error.

• Allo scopo di considerare anche il process error, viene proposta inizialmente una formula

chiusa (England e Verrall 1999) e successivamente (England 2002) un algoritmo simulativo

da implementare sui risultati del Bootstrapping allo scopo di ottenere la distribuzione

complessiva.

• La formula chiusa proposta nel 1999 prevede che il prediction error sia ottenuto nel modo

seguente:


)(

)12(2

)1(2

)1(

)~

( 2 R

nnn

nn

RRPRV Bootf

1212

1

1

2

nnn

rnji

P

ij

f

ProcessVariance

EstimationVariance

2Boot(R): varianza ottenuta dal

Bootstrapping (senza correzione sui residui)

Fattore di correzione dei residui per considerare i gradi di libertà

Scale Parameter

50

Over Dispersed Poisson

• England e Verrall propongono una simulazione basata su una distribuzione OverDispersed Poisson (ODP)

• Ipotizzando indipendenza tra le celle del triangolo di run-off, si procede allasimulazione del costo pagato in ogni singola cella, utilizzando la distribuzione ODPproposta da England e Verrall basata sui seguenti momenti:

• Come evidenziato da De Felice e Moriconi (nel loro articolo del 2003), il pagatoincrementale in ogni singola cella può essere simulato mediante una distribuzionedi Poisson con parametro pari a Pij/f e moltiplicando il risultato ottenuto per f

In alternativa è possibile simulare da una Binomiale Negativa con media evarianza descritti dalla formule definite sopra.

ijij PPE )ˆ( ijij PP f )ˆ(2


Alcuni Commenti

• La procedura originale è stata poi oggetto di numerosi sviluppi:

– Analisi sui residui (Pinheiro et al. 2003)

– Bootstrapping Mack Model (England&Verrall 2006)

– Introduzione di un parametro fj differenziato per antidurata (England&Verrall 2006)

– Correzione per considerare eventuali dati negativi (De Felice&Moriconi 2003)



Bootstrap ODPTaylor Ashe triangle

Ultimate Reserve Pred. Error CV Skewness 75% quantile 95% quantile

1 3,901,463 0 0 - - 0 0

2 5,436,511 97,426 116,359 1.1943 1.2106 152,120 317,081

3 5,382,536 473,221 218,115 0.4609 0.6926 602,047 874,450

4 5,303,728 715,460 265,791 0.3715 0.6145 881,564 1,195,919

5 4,864,759 991,448 306,935 0.3096 0.5672 1,177,007 1,545,239

6 5,131,505 1,439,793 377,960 0.2625 0.5033 1,673,782 2,113,663

7 5,669,229 2,186,099 493,450 0.2257 0.4444 2,495,467 3,054,625

8 6,825,739 3,961,241 792,448 0.2001 0.4087 4,467,966 5,352,175

9 5,688,602 4,325,308 1,036,779 0.2397 0.4648 4,968,791 6,136,817

10 5,083,406 4,739,392 2,034,179 0.4292 0.6825 5,945,196 8,274,462

Total 53,287,478 18,929,388 3,004,437 0.1587 0.4517 20,773,257 24,188,300

10.000 sim.

Ultimate Reserve Pred. Error CV Skewness 75% quantile 95% quantile

1 3,901,463 0 0 0 0

2 5,434,918 95,833 114,132 1.1910 1.2227 150,209 313,824

3 5,381,887 472,572 219,075 0.4636 0.7393 600,557 872,979

4 5,303,633 715,365 263,773 0.3687 0.6186 874,403 1,189,445

5 4,863,612 990,301 305,203 0.3082 0.5410 1,178,610 1,534,719

6 5,118,843 1,427,131 378,221 0.2650 0.4789 1,662,318 2,095,669

7 5,671,674 2,188,544 497,013 0.2271 0.4226 2,502,003 3,063,648

8 6,811,175 3,946,677 796,826 0.2019 0.4063 4,449,967 5,340,988

9 5,677,902 4,314,608 1,054,340 0.2444 0.4749 4,961,891 6,171,266

10 5,047,774 4,703,760 2,045,422 0.4348 0.6925 5,884,632 8,276,082

Total 53,212,880 18,854,790 3,006,426 0.1595 0.4294 20,702,258 24,087,019

100.000 sim.

Riserva CHL PAID: 18.680

3. One-Year approach


3.1. La formula di Merz e WuthrichModelling the Claims Development Result

for Solvency Purposes

(CAS E-Forum, Fall 2008)


Claims Development Results

Considerando un triangolo senza coda (i=1,2,..n e j=1,2…n) (i risultati valgono anche per unnumero di righe maggiore del numero di colonne), e indicando con Dn le informazionidisponibili al tempo n, è possibile definire la seguente grandezza, denominata ClaimsDevelopment Result (CDR):

)( 2,1

ini

D

i

D

ii PRRCDR nn

Pari alle differenze tra la riserva iniziale (deterministica e funzione delle informazioni noteal tempo I) e la somma dei pagamenti incrementali P effettuati nel corso dell’anno e dellanuova riserva stimata in funzione delle nuove osservazioni al tempo n+1.


Ipotizzando di utilizzare un metodo stocastico basato sul chain-ladder classico, saràpossibile stimare i fattori di sviluppo alle epoche n e n+1:

1,...,2,1ˆ

1

,

1

1,

nj

C

C

in

i

ji

in

i

jin

j 1,...,2ˆ1

1

,

1

1

1,1

nj

C

C

in

i

ji

in

i

jin

j

Si dimostra agevolmente che, in queste ipotesi,vale:

)()( 2,1

ini

D

i

D

i PRERE nn


n

n

j

n

j DE |ˆˆ 1

58

Il prediction error del CDR relativo alla i-esima generazione è definito come la radicequadrata della seguente espressione:

jn

k

jk

n

jjn

injjn

k

jk

jjn

i

k

ink

n

inin

ini

n

ininni

n

n

ni

n

nini

DnDRC

CC

C

CC

C

DCCEDnDRCE

msepni

1

,

221

21

1

,

,1

1

1

1,

2

1

2

1

1,

2

1

2

12

,

21

,,

2

)0()|1(ˆ

ˆ/ˆˆ/ˆˆ/ˆˆ

|ˆˆ|0)1(ˆ


Pari a 0 per i=1Pari a 0 per i=1 e 2

Pari a 0 per i=1

59

Il prediction error aggregato è ottenuto come la radice della somma delle predictionvariance delle singole generazioni più un termine correttivo che considera la dipendenzatra generazioni:

jn

k

jk

n

jjn

injjn

k

jk

jjn

i

k

ink

n

inin

li

n

nl

n

ni

iDnDRCDnDRC

CC

C

C

CC

msepmsepni

i

ni

1

,

221

21

1

,

,1

1

1

1,

2

1

2

1,,

)0()|1(ˆ)0()|1(ˆ

ˆ/ˆˆ/ˆˆˆ2


Pari a 0 per i=1 Pari a 0 per i=1 e 2

60


Merz-Wuthrich formula vs Mack formulaTaylor Ashe Triangle

Mack vs Merz-

Wuthrich

Pred. Error CV

Claims Reserve CDR R P.E. CDR /P.E. R CDR R

1 0 0 0

2 94,634 75,535 75,535 100.00% 0.7982 0.7982

3 469,511 105,309 121,699 86.53% 0.2243 0.2592

4 709,638 79,846 133,549 59.79% 0.1125 0.1882

5 984,889 235,115 261,406 89.94% 0.2387 0.2654

6 1,419,459 318,427 411,010 77.47% 0.2243 0.2896

7 2,177,641 361,089 558,317 64.67% 0.1658 0.2564

8 3,920,301 629,681 875,328 71.94% 0.1606 0.2233

9 4,278,972 588,662 971,258 60.61% 0.1376 0.2270

10 4,625,811 1,029,925 1,363,155 75.55% 0.2226 0.2947

Total 18,680,856 1,778,968 2,447,095 72.70% 0.0952 0.1310

Alcuni EsempiTriangolo di Merz e Wuthrich

(CAS E-Forum 2008)


1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

62

Triangolo di Merz e Wuthrich(tratto da presentazione Università ULM 2008)


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

63

Triangolo di Merz e Wuthrich(tratto da presentazione Università ULM 2008)


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

64

3.2. L’approccio re-reserving


Re-Reserving

L’approccio simulativo, denominato re-reserving, prevede che mediante il modello stocastico è possibilesimulare i pagamenti sulla diagonale (PT=1).

In ogni simulazione, sarà possibile ottenere la stima della riserva al tempo 1 (RT=1) condizionatamente allenuove informazioni; ovvero applicando il metodo deterministico (a cui si appoggia il metodo stocastico econ ipotesi analoghe a quelle usate al tempo 0) al nuovo triangolo (con una diagonale in più rispetto altriangolo originario e stessi anni di sviluppo e di generazione).

Sarà così possibile ottenere i momenti e la distribuzione della v.a. (PT=1+ RT=1)

Tratto da “Stochastic Re-Reserving in multi-year internal models”, Diers (2009)



Mack vs Merz-

Wuthrich

Pred. Error CV

Claims Reserve CDR R P.E. CDR /P.E. R CDR R

1 0 0 0

2 94,634 75,535 75,535 100.00% 0.7982 0.7982

3 469,511 105,309 121,699 86.53% 0.2243 0.2592

4 709,638 79,846 133,549 59.79% 0.1125 0.1882

5 984,889 235,115 261,406 89.94% 0.2387 0.2654

6 1,419,459 318,427 411,010 77.47% 0.2243 0.2896

7 2,177,641 361,089 558,317 64.67% 0.1658 0.2564

8 3,920,301 629,681 875,328 71.94% 0.1606 0.2233

9 4,278,972 588,662 971,258 60.61% 0.1376 0.2270

10 4,625,811 1,029,925 1,363,155 75.55% 0.2226 0.2947

Total 18,680,856 1,778,968 2,447,095 72.70% 0.0952 0.1310

ODP Bootstrap vs

Re-Reserving

Pred. Error CV Skewness

Claims Reserve CDR R P.E. CDR/P.E R CDR R CDR R

1 0 0 0

2 95,833 114,132 114,132 100.00% 1.1910 1.1910 1.181 1.223

3 472,572 198,270 219,075 90.50% 0.4196 0.4636 0.728 0.739

4 715,365 176,490 263,773 66.91% 0.2467 0.3687 0.702 0.619

5 990,301 200,289 305,203 65.62% 0.2023 0.3082 0.658 0.541

6 1,427,131 230,968 378,221 61.07% 0.1618 0.2650 0.623 0.479

7 2,188,544 316,032 497,013 63.59% 0.1444 0.2271 0.537 0.423

8 3,946,677 586,450 796,826 73.60% 0.1486 0.2019 0.474 0.406

9 4,314,608 789,581 1,054,340 74.89% 0.1830 0.2444 0.564 0.475

10 4,703,760 1,771,744 2,045,422 86.62% 0.3767 0.4348 0.759 0.692

Total 18,854,790 2,413,787 3,006,426 80.29% 0.1280 0.1595 0.479 0.429

3.3. Un esempio di calcolo di Best Estimate e Risk Margin


Stima CHL Costo Ultimo 18,680,856

BE CHL Attualizzato 18,748,033

BE/Costo Ultimo 100.35%


Best Estimate e SCR

Cash

FlowUndiscountedDiscounted Tasso spot att. BE Smontamento

2017 5,226,536 5,236,013 -0.181% 2016 18,748,033

2018 4,179,394 4,195,742 -0.195% 2017 13,487,563 71.94%

2019 3,131,668 3,150,249 -0.197% 2018 9,279,980 49.50%

2020 2,127,272 2,142,314 -0.176% 2019 6,129,660 32.69%

2021 1,561,879 1,571,992 -0.129% 2020 3,995,463 21.31%

2022 1,177,744 1,182,134 -0.062% 2021 2,435,950 12.99%

2023 744,287 743,194 0.021% 2022 1,264,873 6.75%

2024 445,521 441,444 0.115% 2023 527,169 2.81%

2025 86,555 84,951 0.208% 2024 85,736 0.46%

18,680,856 18,748,033

-1,00%

-0,50%

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

1 9

17

25

33

41

49

57

65

73

81

89

97

10

5

11

3

12

1

12

9

13

7

14

5

30.09.2016

"basic risk-free" "basic risk-free + VA"

Stima CHL Costo Ultimo 18,680,856

BE CHL Attualizzato 18,748,033

BE/Costo Ultimo 100.35%

Req. Capital Re-Reserving (VaR99.5%-BE)/BE 40.81%

Std Formula Market Wide /BE 33%

Std Formula USP 2 (Merz-Wuthrich) /BE 29.72%

Risk Margin (calcolato su SCR IM) 1,682,087 (8,97% BE)

(BE+RM)/ Costo Ultimo 108.61%


Best Estimate e SCR

Si assume che il triangolo sia del ramo RCGenerale:- volatility factors 11%,

- credibility factors per 10 anni 74%- standard deviation USP=9.9%- (VaR99.5%-BE)/σ(CDR)=3.16Risk Margin calcolato considerando Reserve Risk e Operational Risk (no default)

4. Bornhuetter-FergusonThe Prediction Error of Bornhuetter-Ferguson, T. Mack.

(Casualty Actuarial Society, E-Forum, Fall, 2008)


BF PAID

• Tale metodo può essere visto dunque come un mix pesato di due metodi (Chain-Ladder e Expected Claims) con coefficiente di credibilità compreso tra 0 e 1 e variabile al variare della generazione:

72

)1( i

EC

ii

CL

ii cUcUU

Con: - Ui: ultimate cost generazione i-sima- Ui

CL: ultimate cost generazione i-sima stimato mediante il Chain-Ladder PAID

- UiEC: ultimate cost generazione i-sima stimato mediante Expected

Claims Technique (es. S/P a priori per premi di competenza)- ci: coefficiente di credibilità (percentuale di sinistri liquidati ad una

particolare data).


Il coefficiente di credibilità e la stima della riserva

73

niconCDF

cin

i ,...,21

1

11, inini

CL

i CDFCU

1

1

1

n

inj

jinCDF

i

i

EC

i BB

SU

1

1,

11)1(

in

EC

iinii

EC

ii

CL

i

BF

iCDF

UCcUcUU

1

1,

11

in

EC

iini

BF

i

BF

iCDF

UCUR

L’estremo superiore della produttoria varia in presenza di coda.


jiji yxPE ,

Le ipotesi principali

• Si ipotizza che:

esistano yj e j tali che, per ogni i=1,…,n e j=1,…,n, valgano le due relazioni seguenti:


- Le variabili Pi,1,Pi,2,…Pi,n di una stessa generazione sono indipendenti- Pi,1,Pi,2,…Pi,n e Pj,1,Pj,2,…Pj,n siano indipendenti (per ogni i diverso da j)

• Si ipotizza inoltre che:

74

2

, jiji sxPVar

jiji zxCE ,11

n

j

jy

j

h

hj yz1

ii UEx

n

j

jii sxUVar1

2

Var(Ui) proportionale a xi

ii Ux ˆˆ

Priorestimate

75

12ˆ1ˆˆ...ˆˆ

ininini

BF

i zUyyURE


nj

U

P

yjn

i

i

jn

i

ji

j ,...,2,1,ˆ

ˆ1

1

1

1

,

Stimatore a varianza minima e non distorto

1,...,2,1,

ˆ

ˆˆ1ˆ

1

1

2

,2

njU

yUP

jns

jn

i i

jiji

jStimatore non distorto

2ˆns Ottenibile mediante estrapolazione


Prediction Variance

2

111

2

2

2 )ˆ1()ˆ()ˆ()ˆ()ˆ()ˆ(ˆˆ

)ˆ()()ˆ(

iniiniini

n

inj

ji

BF

iii

zEUVarzVarUVarzVarUEsU

RVarRVarRmsep

𝑉𝑎𝑟 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋2𝑉𝑎𝑟 𝑌 + 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑉𝑎𝑟 𝑌 + 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝐸 𝑌

2con X e Y indipendenti

211

2

2

2 )ˆ(1)ˆ()ˆ()ˆ()ˆ(ˆˆ)ˆ(

iniinii

n

inj

jii zEUVarzVarUVarUEsURmsep

PV EV Parameters EV Ultimate Cost (Prior)

2

1

ˆˆ

1)ˆ(

qB

UB

n

BUVar

j

jn

j

ji

i

n

j

j

n

j

j

B

U

q

1

1

ˆ

ˆ Media ponderata ultimate loss ratios a priori

n

inh

h

in

h

hinin yVaryVarzVarzVar2

1

1

11ˆˆ)ˆ()ˆ(

1

1

2

21

1

1

1

2

1

1

1

1

,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

hn

i

i

h

hn

i

i

hn

i

ih

hn

i

i

hn

i

hi

h

U

s

U

Us

U

P

VaryVar

Il peso dei due EV varia al variare di z (e dunque della generazione)


n

i nji

BF

j

BF

ii RRCovRmsepRmsep1 1

ˆ,ˆ2)ˆ()ˆ(

11ˆ1ˆ,ˆ1ˆˆ,ˆ

jnjini

BF

j

BF

i zUzUCovRRCov

𝐶𝑜𝑣 𝑋𝑌,𝑊𝑍 = 𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑊 𝐸 𝑌 𝐸 𝑍 + 𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑊 𝐶𝑜𝑣 𝑌; 𝑍 + 𝐸 𝑋 𝐸 𝑊 𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑍

𝐶𝑜𝑣 𝑈𝑖 1 − 𝑧𝑛+𝑖−1 , 𝑈𝑗 1 − 𝑧𝑛−𝑗+1 = 𝜌𝑖𝑗𝑈𝜎 𝑈𝑖 𝜎 𝑈𝑗 1 − 𝑧𝑛+𝑖−1 1 − 𝑧𝑛+𝑗−1 + 𝜌𝑖𝑗

𝑧 𝑉𝑎𝑟( 𝑧𝑛−𝑖+1 𝑉𝑎𝑟( 𝑧𝑛−𝑗+1 𝑈𝑖 𝑈𝑗

𝜌𝑖𝑗𝑈 =

𝐶𝑜𝑣 𝑈𝑖 , 𝑈𝑗

𝑉𝑎𝑟 𝑈𝑖 𝑉𝑎𝑟 𝑈𝑗

=

1

𝑛1

1 + 𝑖 − 𝑗

𝜌𝑖𝑗𝑧 =

𝐶𝑜𝑣 1 − 𝑧𝑛−𝑖+1, 1 − 𝑧𝑛−𝑗+1

𝑉𝑎𝑟( 𝑧𝑛−𝑖+1 𝑉𝑎𝑟( 𝑧𝑛−𝑗+1

=

𝑧𝑛−𝑗+1 1 − 𝑧𝑛−𝑖+1

𝑧𝑛−𝑖+1(1 − 𝑧𝑛−𝑗+1

hp: costante

hp: decrescente


Un esempioTaylor-Ashe Triangle

Accident Year

ClaimsReserv

e

ProcessError

EstimationError

Prediction

Error

CV

1 0 0 0 0 -

2 94.634 73.338 86.550 113.443 1,1988

3 469.511 101.001 100.749 142.659 0,3038

4 709.638 108.421 102.284 149.054 0,2100

5 984.889 190.933 122.600 226.906 0,2304

6 1.419.459 291.915 143.579 325.314 0,2292

7 2.177.641 363.812 134.593 387.911 0,1781

8 3.920.301 509.798 82.152 516.375 0,1317

9 4.278.972 483.716 47.889 486.080 0,1136

10 4.625.811 467.831 21.422 468.321 0,1012

Totals 18.680.856 997.048 422.560 1.082.895 0,0580

Calcolato ipotizzando ELR=70% e UEC=UCL

Calcolato ipotizzando ELR variabilie UEC=UCL

Accident Year

ClaimsReserv

e

ProcessError

EstimationError

Prediction

Error

CV

1 0 0 0 0 -

2 94.634 73.338 90.091 116.167 1,2275

3 469.511 101.001 129.592 164.303 0,3499

4 709.638 108.421 181.707 211.595 0,2982

5 984.889 190.933 238.594 305.586 0,3103

6 1.419.459 291.915 304.332 421.702 0,2971

7 2.177.641 363.812 438.036 569.417 0,2615

8 3.920.301 509.798 769.467 923.024 0,2354

9 4.278.972 483.716 869.911 995.352 0,2326

10 4.625.811 467.831 1.000.685 1.104.643 0,2388

Totals 18.680.856 997.048 2.080.597 2.307.160 0,1235

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA «LA SAPIENZA» … · Valutazione delle riserve tecniche e...

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