UNIVERSITA DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZAFacolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Dipartimento di Fisica

Dissertazione di laurea triennale in Fisica

EQUAZIONI MODELLO DELLA FISICA

NON LINEARE :

METODI PERTURBATIVI E TECNICHE

MULTISCALA

Candidato:Laura Pensatomatricola 1171695

Relatore:Prof. Paolo Maria Santini

Anno Accademico 2008-2009

Indice

Introduzione 2

1 Premessa: alcune equazioni modello della fisica lineare 5

2 ODE 8

2.1 L’oscillatore anarmonico classico: equazione di Duffing 82.2 Non uniformita del risultato perturbativo . . . . . . . . 102.3 Eliminare le secolarita: l’analisi multiscala . . . . . . . 10

3 PDE 13

3.1 Onde iperboliche e non linearita deboli:equazione di Riemann-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.1 Ordini successivi e minore generalita delle equazioni

modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Non linearita deboli e dissipazioni deboli:

equazione di Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Non linearita deboli e dispersioni deboli:

equazione di Korteweg-de Vries . . . . . . . . . . . . . 183.4 Non linearita debole e dispersione forte:

equazione di Schrodinger non lineare . . . . . . . . . . 20

4 Proprieta delle equazioni modello 25

A Derivazione delle equazioni di Korteweg-de Vries e di

Schrodinger non lineare 27

Bibliografia 31

2

Introduzione

Quando non e possibile trovare la soluzione esatta per un’equazionedifferenziale oppure la soluzione e troppo complicata per essere utile,bisogna indagarne le natura approssimata. L’analisi locale permette, inquesto senso, di ottenere risultati validi in un intorno sufficientementepiccolo di un punto. Tramite l’analisi globale e invece possibile ottenereun’approssimazione uniforme del comportamento della soluzione su unintero intervallo o poter predire come il cambiamento delle condizioniiniziali influenza quello asintotico della soluzione. I metodi dell’anal-isi globale sono di carattere perturbativo. La procedura generale diuna teoria perturbativa e di tipo iterativo, finalizzata a scomporre ilproblema in infiniti problemi piu semplici, e si basa su alcuni elementifondamentali:Il parametro " e associato alla scelta, significativa dal punto di vistafisico, di una grandezza “piccola a piacere”. Quando " e nullo (ordinezero) il problema imperturbato e risolubile. Si considera la soluzionesconosciuta come una serie perturbativa della quale si devono calcolarei coefficienti. Infine il problema originale si risolve sommando la serieperturbativa, se convergente, o traendo informazioni da un numero op-portuno di termini della serie, se essa e asintotica1.

L’analisi multiscala appartiene all’ambito dei metodi perturbativi,e si puo applicare sia ai problemi lineari che non lineari. In quest’ulti-mo caso le equazioni sono spesso non integrabili; per questo le tecnicheperturbative acquistano notevole importanza. Il termine “multiscala”si riferisce al fatto che questa teoria evidenzia nei sistemi dinamici com-portamenti caratteristici per diverse scale di lunghezza o di tempo. Ilmetodo, infatti, associa a una equazione differenziale piu equazioni, ingenere piu semplici, che si riferiscono a variabili riscalate nello spazio

1Uno sviluppo u(x, t) =∑+∞

n=0 "nu(n)(x, t) si dice asintotico se

lim"→0

∥"u(n+1)

u(n)∥= 0 ∀n, dove ∥ ⋅ ∥ e la norma uniforme rispetto a x e t.

3

o nel tempo tramite il parametro ".

L’analisi multiscala permette di risolvere problemi che possono com-parire con metodi perturbativi convenzionali, come la presenza nella se-rie perturbativa di termini secolari rapidamente crescenti nello spazioo nel tempo, tipico effetto delle non linearita. Le secolarita entrano incontrasto con la richiesta fisica che la soluzione sia limitata nel tempo,e con la richiesta matematica che la serie perturbativa sia asintotica.L’analisi multiscala riorganizza la serie perturbativa per eliminare i ter-mini secolari, e, nel farlo, seleziona altre equazioni evolutive in nuovevariabili lente.Cosı emerge uno degli aspetti piu interessanti del metodo:scelta una famiglia molto ampia di equazioni, tutti i suoi rappresentan-ti danno lugo, tramite un’opportuna riduzione multiscala, ad un’unicaequazione modello per quella famiglia, che ne descrive gli aspetti fisicipiu rilevanti su opportune scale spazio-temporali.In questa dissertazione si illustra in dettaglio la tecnica multiscala nel-l’ambito delle equazioni differenziali ordinarie; viene poi mostrata laderivazione di equazioni modello non lineari da vaste classi di equazionialle derivate parziali, e si osservano infine le proprieta importanti diquesti modelli.

4

Capitolo 1

Premessa: alcune equazioni

modello della fisica lineare

In questa premessa si vogliono brevemente richiamare alcune equazionimodello della fisica lineare in dimensione 1+1 (spazio+tempo), che ver-ranno generalizzate al caso non lineare nei capitoli seguenti. Lo studiodi queste equazioni fondamentali permette di interpretare teoricamentemolti fenomeni fisici e di risolvere problemi di larga applicazione. Ineffetti i modelli lineari sono ben noti e consolidati da tempo, esistonomolti metodi matematici per affrontarli e risolverli.Nel seguito si usa la notazione: ut = ∂tu , ux = ∂xu, con u = u(x, t).

Nell’ambito delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDEs)si introducono alcuni modelli fondamentali:La propagazione delle onde e un processo che appare in numerosi campidella fisica (fluidodinamica, acustica, elettromagnetismo. . . ).Essa e descritta, nel caso lineare, da un’equazione del secondo ordineiperbolica1:

utt − c20uxx = 0 ⇒ u = f(x− c0t) + g(x+ c0t) , (1.1)

o dalla sua variante unidirezionale del primo ordine:

ut + c0ux = 0 ⇒ u = f(x− c0t) , (1.2)

dove f e g sono funzioni arbitrarie di un solo argomento. La propagazionelineare avviene a velocita costante c0, e senza deformazioni.

1Data la generica PDE del secondo ordine auxx + 2buxt + cutt + . . . = 0, la classifi-cazione, che richiama quella per le sezioni coniche, e basata sul discriminante Δ = b2−ac:l’equazione si dice iperbolica, parabolica o ellittica se, rispettivamente, Δ > 0, Δ = 0,Δ < 0. La definizione puo essere estesa ai sistemi di PDEs del primo ordine.

5

I fenomeni di diffusione e dissipazione in un mezzo unidimension-ale omogeneo sono descritti dall’equazione del calore, che costituisceil prototipo delle equazioni differenziali alle derivate parziali di tipoparabolico:

ut = Duxx + f(x, t) , D > 0 . (1.3)

Nell’esempio della conduzione del calore, fondamentale per la derivazionestorica dell’equazione, u rappresenta la temperatura e f eventuali sor-genti di calore nel corpo. Nel caso omogeneo, in cui f = 0, si dimostrafacilmente che c’e dissipazione; infatti, se u, ux ∈ L2(ℝ), moltiplicandola (1.3) per u e integrando, si ottiene:

1

2

d

dt

(∫

ℝ

u2dx

)

= −∫

ℝ

Dux2dx < 0 ,

dove u2 rappresenta l’energia in molti contesti fisici.L’equazione e largamente applicabile: la variabile u puo rappresentareper esempio anche una concentrazione, o una densita di probabilita.

Per quanto riguarda i fenomeni dispersivi, le equazioni lineari sonodette dispersive se ammettono soluzioni in forma di onda piana monocro-matica:

u(x, t) = Aei�(x,t) + c.c., � = �x− !(k)t, A = cost. ∀� ∈ ℝ

e la relazione di dispersione, ! = !(�), soddisfa !(�) ∈ ℝ e !′′(�) ∕= 0.Per sovrapposizione, la soluzione generale di un’equazione dispersiva eil pacchetto d’onde:

u(x, t) =

∫ +∞

−∞

A(�)ei�(�)d� con A funzione arbitraria ∈ L2(ℝ).

Il termine “dispersione” si riferisce al fatto che la velocita di fase, con

cui si muovono le superfici � = cost, dipende da � : c = !(�)�

. Diversinumeri d’onda corrispondono a diverse velocita di fase, e le componentirelative a diversi k si disperdono nel tempo. Se !(0) = 0, come nel ca-

so di !(�) dispari: !(−�) = −!(�), e lim�→0!(�)�

= cost., il fenomenodispersivo e trascurabile per grandi lunghezze d’onda, e si parla alloradi “dispersione debole”.Si puo esprimere un’equazione dispersiva, lineare, del primo ordinenella variabile tempo, nella forma generale:

ut + i!(−i∂x)u = 0 (1.4)

dove ! e una funzione analitica del suo argomento e a parita definita,e le equazioni dispersive piu semplici sono:

!(�) = �2 ⇒ ut − iuxx = 0, (1.5)

!(�) = �− �3 ⇒ ut + ux + uxxx = 0. (1.6)

6

La prima e l’equazione di Schrodinger, che descrive il moto di una par-ticella libera nella meccanica quantistica non relativistica. La secondae l’equazione di Korteweg-de Vries linearizzata, prototipo di equazionecon dispersione debole.In questa dissertazione si introdurranno, tramite tecniche multiscala,le seguenti generalizzazioni non lineari delle equazioni precedentementeesposte:

ut + uux = 0 Eq. di Riemann-Hopf, (1.7)

ut + uux = uxx Eq. di Burgers, (1.8)

ut + uux + uxxx = 0 Eq. di Korteweg-de Vries (KdV), (1.9)

iut + uxx − ∣u∣2u = 0 Eq. di Schrodinger non lineare (NLS), (1.10)

equazioni modello della Fisica Matematica non lineare.

7

Capitolo 2

ODE

In questo capitolo si vogliono mostrare le caratteristiche principali delmetodo perturbativo multiscala nel contesto semplice delle equazionidifferenziali ordinarie, trattando in particolare il modello non linearedell’oscillatore anarmonico classico.

2.1 L’oscillatore anarmonico classico: equazione

di Duffing

L’equazione di Duffing generica e un’equazione differenziale ordinarianon lineare del secondo ordine:

q + �q + !20q + �q3 = cos(!t), q = q(t),

che, a seconda della scelta dei parametri, puo assumere delle formeparticolari e descrivere diverse situazioni fisiche.Se non si considerano i termini forzante ( = 0) e di smorzamento(� = 0), e si pone la frequenza propria !0 = 1, l’equazione diventa:

q + q + �q3 = 0, q = q(t),

e rappresenta il moto di un oscillatore classico anarmonico, caratteriz-zato da una forza di richiamo non lineare. All’equazione si aggiungonole condizioni iniziali:

q(0) = 1, q(0) = 0.

L’equazione puo essere risolta in modo esatto1; tuttavia, in questo caso,si vuole seguire un approccio perturbativo e quindi si sceglie il terminenon lineare come piccolo, introducendo il parametro " (� = "):

q + q + "q3 = 0 , 0 < "≪ 1 . (2.1)

1Come ogni problema Newtoniano scalare, la soluzione si puo ottenere con il metododi integrazione per quadratura:

8

Si sviluppa la soluzione sconosciuta q(t) in serie di potenze di ":

q(t) =

+∞∑

n=0

"nqn(t) , (2.2)

q0(0) = 1, q0(0) = 0, qn(0) = 0, qn(0) = 0, n > 0 . (2.3)

Si sostituisce (2.2) nell’equazione differenziale (2.1) e si eguagliano icoefficienti delle stesse potenze di ", ottenendo, ad ogni ordine, un’e-quazione differenziale, omogenea solo all’ordine O(1):

O(1) : q0 + q0 = 0 , (2.4)

l’equazione dell’ oscillatore armonico con condizioni iniziali q0(0) = 1 eq0(0) = 0, la cui soluzione e

q0(t) = cos t. (2.5)

Al primo ordine, invece

O(") : q1 + q1 + q30 = 0 ⇒ q1 + q1 + cos3t = 0, (2.6)

ossia un oscillatore armonico con termine forzante periodico di frequen-za unitaria: il sistema e in risonanza con la forzante esterna (questosi verifica quando la forzante esterna contiene una o piu soluzioni del-l’omogenea), e la soluzione ha un’ampiezza che cresce con t diventan-do illimitata per t → ∞. Se la forzante fosse semplicemente cos t lasoluzione sarebbe:

q1(t) = A cos t+B sin t +1

2t sin t ,

dove la soluzione particolare dell’equazione non omogenea e un terminesecolare. Poiche, dall’identita trigonometrica cos3 t = 3

4cos t+ 1

4cos 3t,

la forzante esterna contiene comunque la soluzione cos t dell’omogenea

q = −V′(q), in questo caso V (q) =

1

2q2 +

�

4q3.

Moltiplicando entrambi i membri per q l’equazione puo essere integrata una volta:

d

dt(q2

2+ V (q)) = 0 ⇒

q2

2+ V (q) = E0 :

dove E0, l’energia meccanica, e una costante del moto.Risolvendo l’equazione in q per separazione di variabili si ottiene:

∫ t

t0

dt =

∫ q

q0

dq√

2(E0 − V (q))⇒ t− t0 = F (q)

che definisce la soluzione in modo implicito tramite un integrale ellittico.

9

associata (2.4), la soluzione particolare della (2.6) contiene anch’essaun termine secolare, del tipo t sin t:

q1(t) = − 1

32cos t +

1

32cos 3t− 3

8t sin t. (2.7)

2.2 Non uniformita del risultato perturbativo

A causa del termine secolare lo sviluppo perturbativo al primo ordinedell’equazione di Duffing presenta una non uniformita in t: l’ampiezzadell’oscillazione q1 cresce con t, e, per t ∼ "−1, la serie perturbativa nonrispetta la condizione di asintoticita.Si puo invece facilmente dimostrare che la soluzione esatta e limitataper ogni t. Dall’equazione di Duffing e infatti possibile ricavare l’energiameccanica come integrale primo del moto:

E(t) =1

2q2 +

1

2q2 +

1

4"q4 = E0,

dove E0 si ricava dalle condizioni iniziali E0 =12+ 1

4".

Quando " > 0, 12q2 ≤ E0 ∀t; quindi ∣q(t)∣ e limitato ∀t.

Un modo piuttosto lungo (impraticabile in casi piu complicati) perrisolvere questa apparente contraddizione consiste nel sommare la serieperturbativa (2.2), concludendo che il comportamento secolare scom-pare nella somma. Seguendo questa strada si dimostra per induzione[1] che il termine secolare piu rapido, rispetto al quale tutti gli altrisono trascurabili per t = O(1

"), e nella forma

sn(t) = tn(Aneit + A∗

ne−it) , con An =

1

2

1

n!(3i

8)n

.

Quindi la somma di questi termini secolari e

+∞∑

n=0

"nsn(t) =1

2(ei"t

38 eit + e−i"t 3

8 e−it) = cos[t(1 +3

8")] , (2.8)

che rimane limitata ∀t. Si puo interpretare quindi l’effetto della forzantecubica come uno shift di fase che diventa rilevante per t = O(1

").

2.3 Eliminare le secolarita: l’analisi multiscala

L’analisi multiscala elimina le secolarita con l’introduzione di una nuovavariabile:

t1 = "t ,

10

che definisce una scala temporale “lenta”, perche t1 e non trascurabilequando t e dell’ordine di "−1 o superiore.La tecnica multiscala cerca soluzioni che sono funzioni di entrambe levariabili t e t1 trattate come indipendenti, anche se la soluzione esattaq e funzione solo di t. I termini dello sviluppo (2.2) diventano quindiqn = Qn(t, t1) :

q(t) =

+∞∑

n=0

"nQn(t, t1) ,

la derivata rispetto a t diventa una derivata totale e, poiche dt1dt

= ":

d

dt7→ ∂t + "∂t1 ⇒ d2

dt27→ ∂2t + "2∂tt1 + "2∂2t1 . (2.9)

Sostituendo gli sviluppi nell’equazione di Duffing originaria si ottieneall’ordine piu basso:

O(1) : ∂2tQ0 +Q0 = 0 , (2.10)

la cui soluzione piu generale e

Q0(t, t1) = A(t1)eit + c.c. , (2.11)

mentre, al primo ordine:

O(") : ∂2tQ1 +Q1 = −Q30 − 2∂tt1Q0 . (2.12)

Il membro di destra di quest’ultima equazione, una volta sostituitoQ0(t, t1) in (2.11) diventa:

rℎs→ [(−A3e3it − (2idA

dt1+ 3A2A∗)eit) + c.c.] .

La forzante mostra i due principali effetti della non linearita: i terminie3it e e−3it generano la terza armonica di Q0, mentre eit e e−it sonosoluzioni dell’ equazione omogenea associata, e determinerebbero lapresenza di secolarita. Per eliminarle si impone che il coefficiente dieit sia nullo, condizione che determina la funzione complessa arbitrariaA(t1):

2idA

dt1+ 3A2A∗ = 0 ; (2.13)

ne segue che Q1 e soluzione dell’equazione forzata non risonante:

∂2tQ1 +Q1 = −A3e3it + c.c. , (2.14)

11

che introduce nell’equazione la terza armonica. Si riconosce nella (2.13)la parte dell’equazione di Schrodinger non lineare (1.10) relativa alla so-la dipendenza temporale. Eliminando la secolarita, la riduzione multi-scala ha prodotto un’equazione modello: scelta una qualsiasi equazione

della classe che descrive sistemi non lineari, privi di forzanti e attri-

to, e che in approssimazione lineare riproducono l’oscillatore armoni-

co semplice, essa regola gli effetti della debole non linearita attraver-

so la modulazione dell’ampiezza A dell’oscillatore armonico per tempi

lunghi, tramite la variabile “lenta” t1. Si noti che, in questo caso uni-dimensionale semplice, l’equazione puo essere risolta esplicitamente inmodo facile: e sufficiente scrivere A(t1) in forma polare:

A(t1) = %(t1)ei�(t1) con %, � ∈ ℝ , (2.15)

e sostituirla in (2.13), uguagliando parte reale e immaginaria, perottenere:

%(t1) = �0 , �(t1) =3

2�0

2t1 + �0 , con �0, �0 costanti.

Infine:

A(t1) = �0ei( 3

2�0

2t1+�0) ,

Q0(t, t1) = 2�0 cos(t+3

2�0

2t1 + �0) ,

e, dalle condizioni iniziali, �0 = 12, �0 = 0. La soluzione, espressa

attraverso la sola variabile t, e:

q(t) = cos[t(1 +3

8")] +O(") .

Mentre nello sviluppo ordinario l’approssimazione all’ordine zero di q(t)e q(t) = cos t+O("), non valida per t grandi, il termine dominante ot-tenuto con il metodo multiscala approssima la soluzione esatta ancheper tempi lunghi. Essa mostra nella soluzione uno shift di fase di ordine", effetto non trascurabile per t = O("−1).Osservazione: Si noti che il termine ottenuto introducendo una so-la nuova scala temporale e eliminando la secolarita nell’unico modopossibile e proprio la somma degli infiniti termini secolari piu rapidi,calcolata in (2.8).

12

Capitolo 3

PDE

L’analisi multiscala puo essere applicata anche nell’ambito delle equa-zioni differenziali alle derivate parziali. Tutti i problemi fisici in cuisi studia la propagazione ondosa di alcune grandezze dipendenti dallospazio e dal tempo, interagenti fra loro e con eventuali campi esterni,conducono realisticamente a equazioni non lineari nelle ampiezze e nelleloro derivate spaziotemporali.Si esamineranno vaste classi di equazioni, nell’ipotesi di debole nonlinearita, alla quale si aggiungeranno di volta in volta le ipotesi didissipazione debole, dispersione debole e dispersione forte, evidenzian-do come l’eliminazione dei termini secolari, principale conseguenzadelle non linearita, selezioni una o piu equazioni modello, rispetto adopportune variabili spaziotemporali “lente”.

3.1 Onde iperboliche e non linearita deboli:

equazione di Riemann-Hopf

Si considera la famiglia di equazioni iperboliche del primo ordine quasi-lineari1:

ut + c(u)ux = 0 . (3.1)

Tale famiglia e, ad esempio, derivabile dall’equazione di continuitaut + qx = 0, dove u(x, t) e una densita, e q(x, t) rappresenta il flusso,quando esiste una relazione q = g(u) (equazione di struttura); alloral’equazione di continuita diventa la (3.1) con c(u) = g′(u).Il caso lineare (1.2) si ottiene per c(u) = c0 = cost. Nel caso nonlineare la velocita di propagazione del disturbo c e una funzione deldisturbo stesso. Anche se l’equazione (3.1) e risolubile (attraverso la

1Un’equazione del primo ordine e detta quasi-lineare se e non lineare in u , ma linearenelle derivate ux e ut.

13

soluzione dell’equazione non differenziale u = f(x − c(u)t)), dove f euna funzione arbitraria del suo argomento) procediamo perturbativa-mente individuando un parametro " che esprima la “piccolezza” dellaperturbazione rispetto alla soluzione di equilibrio, espressa da un valorecostante u = u(0). Allora la soluzione dell’equazione (3.1) puo esseresviluppata in serie:

u(x, t) =

+∞∑

n=0

"nu(n)(x, t) . (3.2)

Si richiede che lo sviluppo sia asintotico e che lim∣x∣→∞ u(x, t) = u(0).

Si sviluppa c(u) intorno alla soluzione di equilibrio u(0):

c(u) = c0 + c′0u(1)"+O("2) , dove c0 = c(u(0)), c′0 = c′(u(0)), etc.

Sostituendo lo sviluppo nell’equazione (3.1) si ottiene:

O(1) : u(0)t + c0u

(0)x = 0 ,

banalmente soddisfatta dalla soluzione di equilibrio u = u(0). All’ordine" si ottiene l’equazione delle onde

O(") : u(1)t + c0u

(1)x = 0, (3.3)

equazione lineare la cui soluzione e u(1) = u(1)(x− c0t) : propagazionelineare, senza deformazioni, con velocita costante c0. All’ O("2):

O("2) : u(2)t + c0u

(2)x = −c′0u(1)u(1)x = f(x− c0t) , (3.4)

dove l’ultimo passaggio sfrutta il risultato al primo ordine.Al secondo ordine la non linearita induce la presenza di un termineforzante, determinato in base alle condizioni iniziali.L’equazione puo essere risolta con il metodo delle caratteristiche:

� = x− c0t , � = t , (3.5)

da cui risulta:

u(2)� = f(�) ⇒ u(2) = �f(�) + ℎ(�) , (3.6)

con ℎ(�) determinata dalle condizioni iniziali.Esprimendo nuovamente la dipendenza da x e da t:

u(2)(x, t) = t f(x− c0t) + ℎ(x− c0t) .

Dunque il termine forzante f nell’equazione (3.4) e responsabile di unasecolarita; se f ∕= 0, allora u(2) diverge linearmente con t. D’altra parte

14

imporre f = 0 implicherebbe u(1)x = u

(1)t = 0, facendo cadere tutto lo

sviluppo perturbativo.

Come nel primo esempio trattato (Cap. 2.3), per risolvere il prob-lema si introduce una scala temporale “lenta” t1. In corrispondenza, itermini dello sviluppo (3.2) dipendono da t1 e t, trattate come variabiliindipendenti.

t1 = "t ,

u(n) = u(n)(x, t, t1) ,

∂t 7→ ∂t + "∂t1 .

Si ripete l’analisi perturbativa con questa sostituzione e si ottiene:

O(") : u(1)t + c0u

(1)x = 0 ⇒ u(1) = u(1)(x− c0t, t1) ,

dove la dipendenza da t1 non e ancora assegnata.

O("2) : u(2)t + c0u

(2)x = −(u

(1)t1

+ c′0u(1)u(1)x ) (3.7)

Come prima, tutto il membro di destra della (3.7) e una forzante riso-nante; ma ora puo essere reso nullo senza banalizzare lo sviluppo,imponendo separatamente:

u(1)t1

+ c′0u(1)u(1)x = 0 , (3.8)

u(2)t + c0u

(2)t = 0 . (3.9)

La prima equazione fissa la dipendenza di u(1) da t1. Si tratta propriodell’equazione di Riemann-Hopf (1.7) per u(1). Questa equazione sicomporta quindi come l’equazione modello per la classe delle equazioninon lineari iperboliche, nel caso di non linearita debole.Si noti che l’unico legame con il modello originario e la costante c′0, chepuo essere assorbita nella scelta di scala delle variabili, tranne nel casoin cui c′0 = 0. Se c′0 > 0, l’equazione modello e caratterizzata da unasoluzione localizzata u(1) che presenta il fenomeno del breaking : poichediversi valori di u(1) si propagano con velocita c′0u

(1), la non linearitaprovoca una distorsione nel profilo dell’onda fino all’istante t1b, il primotempo di rottura2,

t1b = min�∈ℝ

(

− 1

c′0f′(�)

)

dove f(x) = u(1)∣t1 = 0 ,

2Seguendo il metodo delle caratteristiche, l’equazione (3.8) e equivalente alle due ODEs:

du(1)

dt1= 0 ⇒ u

(1) = f(�) , �costante , (3.10)

dx

dt1= c

′

0u(1)(x, t) ⇒ x = � + c

′

0f(�)t . (3.11)

15

in cui esiste un punto x nel quale u(1)(x, t) ha derivata u(1)x infinita

[5]. Questo effetto della non linearita e incompatibile con l’ipotesi dellosviluppo perturbativo che u e le sue derivate siano dell’ordine 1; dunquelo sviluppo ha senso solo fino al tempo di rottura, tb = "−1t1b.

3.1.1 Ordini successivi e minore generalita delle equazioni

modello

Nel caso in cui c′0 = c′(u(0)) = 0, cioe c(u) e stazionario intorno allasoluzione imperturbata, gli effetti della non linearita vanno cercati all’ordine successivo:

c(u) = c0 +1

2c′′0 u

(1)2"2 +O("3),

e va introdotta una nuova variabile t2 = "2t, ancora piu “lenta”,richiedendo che u(1) = u(1)(x, t, t2). Allora si ottiene:

O("i) : u(i)t + c0u

(i)x = 0 i = 1, 2.

O("3) : u(3)t + c0u

(3)x = −(u

(1)t2

+1

2c′′0 u

(1)2u(1)x ) .

Eliminare il termine forzante, in questo caso, equivale a imporre:

u(1)t2

+1

2c′′0 u

(1)2u(1)x = 0 , (3.12)

u(3)t + c0u

(3)x = 0 . (3.13)

La prima equazione fissa la dipendenza di u(1) da t2 e individua unanuova equazione modello, meno generale della precedente (3.8).L’unico collegamento con il modello iniziale e c′′0. Se questo fosse nullo,bisognerebbe ripetere lo stesso ragionamento, cercando gli effetti dellanon linearita a ordini superiori e trovando le equazioni modello

u(1)tm

+1

m!c(m)0 (u(1))

mu(1)x = 0, sempre meno generali [2].

(lungo la curva caratteristica (3.11) il campo u(1) e costante). Risolvendo (3.11) rispettoa � e sostituendo il risultato in (3.10), si ottiene la soluzione implicita u = f(x− c′0u

(1)t1)della (3.8); inoltre, derivando (3.10) e (3.11) rispetto a x e combinandole si ottengono le

espressioni per u(1)x e quindi per tb (quando u

(1)x → ∞):

u(1)x =

f ′(�)

1 + c′0f′(�)t

⇒ t1b = −1

c′0f′(�)

.

16

3.2 Non linearita deboli e dissipazioni deboli:

equazione di Burgers

Una vasta classe di equazioni non lineari dissipative e rappresentatada:

ut + c(u)ux = (D(u)ux)x, D(u) > 0, (3.14)

con D(u) funzione arbitraria positiva.

ut + c(u)ux = D(u)uxx + E(u)u2x, (3.15)

con D(u) e E(u) = D′(u) funzioni arbitrarie.Come per l’equazione (1.3), e possibile mostrare il carattere dissipativodell’equazione attraverso la:

1

2

d

dt

(∫

ℝ

u2dx

)

= −∫

ℝ

D(u)ux2dx < 0 .

Si considera nuovamente lo sviluppo in serie di u (3.2) con u(0) = cost,e, in corrispondenza,

D(u) = D0+D′0u

(1)"+O("2), dove D0 = D(u(0)), D′0 = D′(u(0)), etc.

Al primo ordine non banale si ottiene:

O(") : u(1)t + c0u

(1)x = D0u

(1)xx , (3.16)

che, attraverso il cambiamento di variabili (3.6), si riduce all’equazione

lineare del calore u(1)� = D0u

(1)�� . Per ottenere la corrispondente equazione

modello non lineare, bisogna richiedere che u(1)t ∼ u

(1)x , e che u

(1)xx ≪

u(1)t , u

(1)x . Queste condizioni sono verificate se si ammette che u(1) dipen-

da da x e t attraverso le variabili lente x1 e t1, in modo che il termine

dissipativo u(1)xx compaia ad una scala temporale t2 ancora piu lenta,

insieme alla non linearita. Si introducono quindi le tre variabili lente:

x1 = " x , t1 = " t , t2 = "�t .

u(1) = u(1)(x1, t1, t2) ,

∂t 7→ " ∂t1 + "�∂t2 ,

∂x 7→ " ∂x1 .

Sostituendo questi sviluppi nella (3.15) si ottiene:

O(" +1) : u(1)t1

+ c0u(1)x1

= 0 ⇒ u(1) = u(1)(x1 − c0t1, t2) ,

17

in cui non compare il termine dissipativo D0u(1)xx . All’ordine successi-

vo, O(" +2), usando il principio del “massimo bilancio” [1], cruciale in

Teoria delle perturbazioni, si richiede che i termini u(1)u(1)x1 , u

(1)x1x1 e u

(1)t2,

siano dello stesso ordine, ottenendo = 1 e � = 2. Quindi, a questoordine, cioe O("3), si trova:

O("3) : u(2)t1

+ c0u(2)x1

= −(u(1)t2

+ c′0u(1)u(1)x1

−D0u(1)x1x1

).

Per annullare il termine forzante bisogna imporre separatamente:

u(1)t2

+ c′0u(1)u(1)x1

= D0u(1)x1x1

, (3.17)

u(2)t1

+ c0u(2)x1

= 0 . (3.18)

La prima condizione individua la dipendenza di u(1) da t2. Essa eproprio l’equazione di Burgers (1.8), che evidentemente si comporta daequazione modello per la famiglia di equazioni debolmente non lineari edissipative, descrivendo questi effetti su lunga scala. Essa quindi trovaapplicazione in quasi ogni campo della Fisica non lineare, in particolarein termologia e in fluidodimanica.L’introduzione degli effetti dissipativi previene il problema del break-ing, che, come visto nella sezione precedente, caratterizza le equazioniquasi-lineari iperboliche, e rende il modello piu “adeguato” dal puntodi vista fisico [5].

E importante sottolineare che l’equazione ut + uux = Duxx e integra-bile attraverso la trasformazione di Cole-Hopf: u = −2D(log')x chela trasforma nell’equazione lineare del calore 't = D'xx [6].

3.3 Non linearita deboli e dispersioni deboli:

equazione di Korteweg-de Vries

Nel Cap.1 abbiamo osservato che l’equazione (1.6) e l’esempio piu sem-plice di equazione lineare con dispersione debole. Se in tale equazionesostituiamo ogni ∂x con f(u)∂x (f(u) arbitraria), otteniamo la seguentefamiglia di equazioni non lineari:

ut + c(u)ux +K1(u)[K2(u)(K3(u)ux)x]x = 0 , (3.19)

cioe

ut + c(u)ux +D(u)uxxx + E(u)uxuxx +H(u)u3x = 0 , (3.20)

con D(u) = K2K3, E(u) = K ′2K3 + 3K2K

′3, H(u) = K ′

2K′3 + K2K

′′3

funzioni arbitrarie, al cui limite di non linearita debole e possibile asso-ciare quello di dispersione debole, nell’ipotesi di onde lunghe (o piccoli

18

numeri d’onda k = " k, tali che �(x, t) = k" k − k" t − k3"3 t =k(x1 − t1)− k3t3), che porta alll’introduzione delle variabili lente:

x1 = " x , t1 = " t , t3 = "�t . (3.21)

Il punto di partenza rimane la serie perturbativa di u (3.2), dalla qualesi ottiene all’ordine " :

O(") : u(1)t + c0u

(1)x +D0u

(1)xxx = 0 ,

che, attraverso il cambiamento di variabili (3.6) si riduce all’equazione

dispersiva lineare u(1)� +D0u

(1)��� = 0. Quindi gli effetti dispersivi com-

paiono gia al primo ordine. L’introduzione delle variabili lente (3.21)rende, come previsto, trascurabile il termine dispersivo a quest’ordine:

u(1)t ∼ u

(1)x , e u

(1)xxx ≪ u

(1)t , u

(1)x . Quindi

u(1) = u(1)(x1, t1, t3) ,

∂t 7→ " ∂t1 + "�∂t3 ,

∂x 7→ " ∂x1 ,

e sostituendo queste formule nella (3.20) si ottiene:

O(" +1) : u(1)t1

+ c0u(1)x1

= 0 ⇒ u(1) = u(1)(x1 − c0t1, t3) ,

All’ordine successivo O(" +2), richiedendo che i termini u(1)u(1)x1 , u

(1)x1x1x1

e ut3 siano dello stesso ordine, si ottiene = 12e � = 3

2.

Quindi all’ ordine 0("52 ) si trova:

0("52 ) : u

(2)t1

+ c0u(2)x1

= −(u(1)t3

+ c′0u(1)u(1)x1

+D0u(1)x1x1x1

) .

Dovendo annullare il termine forzante risonante si ottiene:

u(1)t3

+ c′0u(1)u(1)x1

+D0u(1)x1x1x1

= 0 , (3.22)

u(2)t1

+ c0u(2)x1

= 0 . (3.23)

La prima equazione, che fissa la dipendenza di u(1) da t3, e l’equazionedi Kortweg-de Vries per u(1) (1.9). Rappresenta quindi l’equazionemodello per la classe di equazioni debolmente non lineari con disper-sione debole, descrivendo questi effetti su una scala spazio-temporalesufficientemente lunga. Introdotta nel 1985 in relazione al problemadelle onde in acque poco profonde [7], la KdV ha aperto la strada aglistudi sui modelli non lineari e sulla loro integrabilita. La sua univer-salita la rende applicabile dall’idrodinamica alla fisica della materia

19

condensata e dei semiconduttori, all’ottica non lineare e alla fisica deilaser, alla fisica dei plasmi e alla meteorologia [8], [9].Se c′0 = 0 ma c′′0 ∕= 0 e dimostrabile che l’equazione modello che sideduce e:

u(1)t3

+ c′′0u(1)2u(1)x1

+D0u(1)x1x1x1

= 0 , (3.24)

detta equazione di Kortweg-de Vries modificata(mKdV).Anche le equazioni KdV e mKdV sono integrabili, ma attraverso ilcosiddetto “metodo della Trasformata Spettrale Inversa” ( [10], [11],[9]), un metodo di natura spettrale, piu complicato della trasformazionedi Cole-Hopf che si applica all’equazione di Burgers.

3.4 Non linearita debole e dispersione forte:

equazione di Schrodinger non lineare

Si vuole mostrare il seguente risultato: preso un sistema non lineare nellimite di dispersione forte, l’ampiezza complessa dell’onda (dell’armoni-ca fondamentale del pacchetto) ne risulta modulata secondo equazionedi Schrodinger non lineare. Il limite di dispersione forte corrispondeal caso in cui un sistema sia dispersivo nel limite lineare, e in cui sipossano introdurre gli effetti di nonlinearita come perturbazioni neiconfronti degli effetti dispersivi.

In questa trattazione si mostra il risultato per la classe di equazionidispersive non lineari del primo ordine nella variabile tempo, nellaforma:

ℒu = N (u, ux) , u = u(x, t) ∈ ℝ , (3.25)

dove l’operatore differenziale lineare ℒ si scrive:

ℒ = ∂t + i!(−i∂x) ,

con !(�) =∑

j=1

aj�j funzione reale analitica a parita definita.

N e una funzione reale analitica di u e della sua derivata prima, chescegliamo nella forma:

N = (f(u))x = c(u)ux con f funzione reale analitica .

La versione linearizzata di questa equazione, ℒu = 0 ammette comesoluzione elementare l’onda piana monocromatica:

u(x, t) = Aei[�x−!(�)t] + c.c. A costante.

20

Si cercano soluzioni del problema (3.25) che siano vicine a una tale ondamonocromatica di piccola ampiezza (di ordine "). Si osserva inoltreche, come nell’esempio del Cap. 2 un evidente effetto della parte nonlineare e la generazione di armoniche superiori man mano che l’ordinedi perturbazione aumenta. Si introduce quindi, per la soluzione della(3.25), lo sviluppo di Fourier in armoniche:

u(x, t) =∑

�∈ℤ

u�E� , E = ei[�x−!(�)t] , (3.26)

dove le ampiezze u� devono soddisfare la condizione di realta per u:u ∈ ℝ ⇒ u−� = u∗� . Si introducono nuove variabili “lente”, attraversodue scale temporali t = (t1, t2) e una spaziale:

t1 = "t , t2 = "2t , x1 = "x ,

∂t 7→ ∂t + "∂t1 + "2∂t2 ,

∂x 7→ ∂x + "∂x1 .

Lo scopo e determinare l’evoluzione delle ampiezze relative alle variearmoniche, in particolare la modulazione dell’ampiezza dell’armonicadominante u1(x1, t) per effetto delle deboli non linearita, che si dimostr-era essere regolata nelle variabili “lente” dalla NLS.

Si analizza prima l’azione di ℒ sulla soluzione (3.26), e grazie allalinearita ci si limita a studiare

ℒ(u�E�) = [∂t + i!(−i∂x)](u�(x1, t)E�) , (3.27)

dove!(−i∂x)(u�(x1, t)E�) = [!(��− i"∂x1)u�]E

� ,

e

!(��− i"∂x1) =∑

l⩾0

!(l)(��)

l!(−i"∂x1)

l , !(l) =dl

d�l!(�) .

Nella (3.27) si puo finalmente estrarre la dipendenza dalle armonicheE�:

ℒ(u�E�(x, t)) = [ℒ(�)u�(x1, (t)]E�. (3.28)

dove e stato definito il nuovo operatore ℒ(�), che agisce solo sullevariabili “lente”:

ℒ(�) = i(!(��)−�!(�))+∑

l⩾1

"l[

∂tl + (−1)lil+1!(l)(��)

l!∂lx1

]

. (3.29)

21

Si tratta ora la parte non lineare dell’equazione, esplicitando una dipen-denza funzionale per f basata su un generico sviluppo in potenze:

N = (au2 + bu3 + cu4 + du5 + . . . )x . (3.30)

Si calcolano solo i primi termini di N su alcuni termini, riorganizzandole serie di Fourier in modo da poter estrarre la dipendenza dalla genericaarmonica:

u2 =∑

�1,�2∈ℤ

u�1u�2E�1+�2 =

∑

�∈ℤ

(∑

�1∈ℤ

u�1u�−�1)E�,

(u2)x =∑

�∈ℤ

(∑

�1∈ℤ

(i�� + "∂x1)(u�1u�−�1))E�.

u3 =∑

�1,�2∈ℤ

u�1u�2u�3E�1+�2+�3 =

∑

�∈ℤ

(∑

�1,�2∈ℤ

u�1u�2u�−�1−�2)E�,

(u3)x =∑

�∈ℤ

(∑

�1,�2∈ℤ

(i�� + "∂x1)(u�1u�2u�−�1−�2))E�.

Dunque

N =

[

(i�� + "∂x1)

(

a∑

�1∈ℤ

u�1u�−�1 + b∑

�1,�2∈ℤ

u�1u�2u�−�1−�2

)

+ . . .

]

E�

e nella (3.25) si possono eguagliare i coefficienti delle armoniche E� constesso �, ottenendo dall’unica PDE iniziale infinite PDEs:

ℒ(�)u� =(i�� + "∂x1)

(

a∑

�1∈ℤ

u�1u�−�1 + b∑

�1,�2∈ℤ

u�1u�2u�−�1−�2

)

+ . . .

(� ∈ ℤ)

(3.31)

per le infinite armoniche dello sviluppo. A questo punto si introduconogli sviluppi in " dei coefficienti u�, e, poiche l’n-esima armonica vienegenerata all’n-esimo ordine in ", avremo che u�, u−� = O("∣�∣), � ∕= 0.Quindi

u� =∑

n=∣�∣,�∕=0

"nu(n)� + "pu(p)0 .

Per trovare lo sviluppo del coefficiente senza armonica u0, si esprimel’equazione (3.31) per � = 0 all’ordine dominante :

∂t1u0 = ∂x1(2a"2∣u(1)1 ∣2) , (3.32)

22

che corrisponde alla scelta �1 = ±1 in a∑

�1∣u�1∣2. Ne segue che

u0 =∑

n≥2

"nu(n)0 .

Passando all’armonica principale, � = 1, all’ordine piu basso O("2) si

ottiene l’equazione lineare delle onde per u(1)1 :

(∂t1 + !′(�))u(1)1 = 0 ⇒ u

(1)1 = u

(1)1 (x1 − !′(�)t1, t2) . (3.33)

All’ordine successivo O("3), invece, si ottiene

(∂t1 + !′(�)∂x1)u(2)1 = −(∂t2 − i

!′′(�)

2∂x2)u

(1)1 + i�"3[a(2u

(1)1 u

(2)0 +

+ 2u(1)−1u

(2)2 ) + 3b∣u(1)1 ∣2u(1)1 ].

(3.34)

Per studiare tale equazione, e necessario caratterizzare le funzioni u(2)2 e

u(2)0 che vi appaiono. La prima si ottiene dall’equazione per l’armonica� = 2, all’ordine piu basso O("2):

(!(2�)− 2!(�))u(2)2 = 2�a(u

(1)1 )

2 ⇒ u(2)2 =

2�a

(!(2�)− 2!(�)).

Per la seconda incognita u(2)0 si sfruttano (3.32), (3.33), deducendo che

u(2)0 (x1 − !′(�)t1), e quindi che

∂t1u(2)0 = (−!′(�))∂x1u

(2)0 = 2a∂x1(∣u(1)1 ∣2) ⇒ u

(2)0 = − 2a

!′(�)∣u(1)1 ∣2.

(3.35)Per semplificare le espressioni si puo usare una dipendenza particolareper !, per esempio !(�) = �3, ottenendo

u(2)2 = (u

(1)1 )

2 a

3�2, u

(2)0 = − 2a

3�2∣u(1)1 ∣2 .

Allora l’equazione diventa:

(∂t1+!′(�)∂x1)u

(2)1 = −

(

∂t2 − i!′′(�)

2∂x1

)

u(1)1 +i�

[

u(1)1 ∣u(1)1 ∣2(−2a2

3�2+ 3b)

]

Annullare i termini forzanti secolari (tutto il membro di destra) equivalea imporre:

(∂t2 − i!′′(�)

2∂x1)u

(1)1 = i�[u

(1)1 ∣u(1)1 ∣2(−2a2

3�2+ 3b)] ,

23

che regola l’andamento di u(1)1 nelle variabili “lente” x1 e t2. Questa e

proprio la NLS cubica (1.10) per u(1)1 :

i t2 +!′′(�)

2 x1x1 + [ ∣ ∣2�(−2a2

3�2+ 3b)] = 0, = u

(1)1 .

La NLS si comporta come un’equazione modello, in quanto gover-na la modulazione lenta dell’ampiezza dell’armonica dominante dellasoluzione di una qualunque equazione appartenente alla vasta classedi equazioni dispersive debolmente non lineari scelta all’inizio. Essaha applicazioni nella fluidodinamica, nella meccanica quantistica, nel-la superconduttivita, nella fisica dei plasmi, e regola molti prcessi nonlineari in ottica non lineare [8].La NLS, come la KdV, e integrabile con il metodo della TrasformataSpettrale Inversa [15], [9].

24

Capitolo 4

Proprieta delle equazioni

modello

Il metodo di riduzione multiscala permette di individuare delle equazionimodello che descrivono molti aspetti dei fenomeni non lineari.L’individuazione di alcune equazioni modello risponde all’esigenza diordine e semplificazione nello studio di questi fenomeni.Il carattere universale di tali equazioni e giustificato dalla proprietadi discendere da classi ampie di equazioni, raccogliendo le proprietafisiche piu significative degli elementi della classe di partenza.Le equazioni modello della fisica nonlineare derivate in questo lavorotramite sviluppi asintotici e tecniche multiscala, descrivono le piccoledeviazioni dall’approssimazione lineare su scale di spazio-temporali lunghe.Il carattere universale ne determina la larga applicabilita, poiche leequazioni della Fisica rientrano anch’esse in qeste vaste classi di equazionida cui le equazioni modello sono derivate.

E’ probabile che le equazioni modello, individuate tramite riduzionemultiscala, abbiano proprieta matematiche molto speciali e siano, in al-cuni casi, addirittura integrabili (come negli esempi forniti nel capitoloprecedente).Questo fatto potrebbe apparire sorprendente senza le riflessioni cheseguono. La tecnica riduttiva multiscala preserva l’integrabilita del-l’equazione alla quale si applica [16]. Ad esempio, se una data PDEpossiede infinite leggi di conservazione e/o simmetrie, proprieta checaratterizzano le PDEs integrabili, applicando la tecnica multiscala atale PDE, anche l’equazione derivata possiede infinite leggi di conser-vazione e/o simmetrie, ottenibili anch’esse applicando la tecnica mul-tiscala a quelle dell’equazione di partenza. Allora e sufficiente che unasola equazione della famiglia di partenza sia integrabile perche l’inte-

25

grabilita sia una proprieta dell’equazione modello stessa. E il fatto cheuna larga classe di equazioni ne possa contenere almeno una integrabilenon e cosı sorprendente [17]. Invertendo il ragionamento, se l’equazionemodello e non integrabile, allora nessuna delle equazioni della famigliada cui deriva puo esserlo. Questo fornisce utili criteri per trovare con-dizioni necessarie per l’integrabilita [18, 19].Dunque, dal punto di vista matematico, l’approccio basato sulla teoriaperturbativa e l’analisi multiscala puo essere sfruttato come metodoper indagare alcune proprieta relative all’integrabilita di PDEs note,per testare l’integrabilita di altre, e per ottenere delle nuove PDEsintegrabili [12, 19, 13].

26

Appendice A

Derivazione delle equazioni

di Korteweg-de Vries e di

Schrodinger non lineare

Nel Cap.3 sono state derivate le equazioni modello di KdV e di Scrodinger nonlineare a partire dalla generica equazione della classe di equazioni con debole nonlinearita e dispersione, nel primo caso, o con dispersione forte nel secondo. In ques-ta appendice si vuole affrontare la derivazione delle stesse equazioni modello nelcontesto di un particolare esempio fisico.Storicamente, i problemi fisici relativi alle onde d’acqua hanno stimolato i primisviluppi degli studi sulle onde dispersive [7]. Per la derivazione delle equazioni diKdV e NLS si affronta il problema classico delle onde d’acqua, aggiungendo alcuneassunzioni che caratterizzano ciascuno dei due casi [9]. Si considera un fluido omo-geneo, incomprimibile, di densita �, privo di attrito viscoso, ma soggetto a un campogravitazionale costante di accelerazione g. Date (x, y, z) le coordinate spaziali, l’ac-qua e compresa tra una superficie orizzontale impermeabile e infinitamente estesasul fondo z = −ℎ e la superficie di interfaccia con altri fluidi z = �(x, y, t) su cuiagisce una tensione di superficie T , che si considera trascurabile.Posto v il vettore velocita, e � il potenziale velocita, tale che v = ▽�, quest’ul-timo deve soddisfare l’equazione che descrive il moto irrotazionale di un fluidoincomprimibile, ovvero l’equazione di Laplace:

div v = 0 ⇒ ∇2' = 0 per − ℎ < z < �(x, y, t). (A.1)

Il potenziale ' deve inoltre rispettare le seguenti condizioni al bordo:Il fondo e impermeabile:

'z = 0, per z = −ℎ. (A.2)

Sull’interfaccia devono valere due condizioni:

�x�x + �y'y + �t = 'z, per z = � , (A.3a)

't + g� +1

2∣∇'∣2 = 0, per z = � . (A.3b)

27

dove la prima e di tipo cinematico1, la seconda di tipo dinamico2

In seguito si considera il moto lungo una sola dimensione spaziale (x). Per pro-cedere bisogna inoltre assumere che l’ampiezza d’onda sia piccola, e in prima ap-prossimazione si risolvono le equazioni eq.(A.1), (A.2), (A.3) linearizzate intornoa ∇' = 0 e � = 0. La soluzione proporzionale a ei(kx−!t) e la corrispondenterelazione di dispersione sono:

�(x, y, z, t) = Ccosℎ[k(z + ℎ)]ei(kx+ly−!t) + c.c. , (A.4)

!2 = gk tanh kℎ = gk(kℎ− 1

3(kℎ)3 +O((kℎ)

5) ⇒ (A.5)

! =√

gℎ k(1− 1

6ℎ2k2 +O(k4)) . (A.6)

Il problema linearizzato e dispersivo per tutti i �, tranne nel limite � → 0 in cuila velocita di fase tende alla costante c0 =

√gℎ. La derivazione della KdV avviene

proprio in questo limite di dispersione debole, ossia di onde lunghe rispetto allaprofondita ℎ.Le assunzioni per la derivazione della KdV sono dunque:

∙ Le ampiezze � sono piccole, vale � ≪ ℎ e su questo si basa la scelta fisica delparametro ":

" =�max

ℎ.

∙ La scala di lunghezza in direzione x e molto maggiore rispetto alla profonditadel fluido (onde lunghe in acque poco profonde): � ≫ ℎ, e si puo assumere(ℎ�)2 = O(").

Queste assunzioni suggeriscono l’introduzione di variabili riscalate q =q

q0, dove:

z0 = ℎ, x0 = � =ℎ√", �0 = �max, t0 =

�

c0=

√

ℎ

g", �0 = t0�0g.

Nell’analisi perturbativa multiscala, che procede come mostrato negli esempi deicapitoli precedenti, si introduce t1 = "t, e:

� = �(0) + "�(1) + . . . �(0) = u = u(0) + "u(1) + . . . (A.7)

dove �(0) e il termine dominante di uno sviluppo in serie di � in z = −ℎ, chesoddisfa le (A.1) e (A.2).

� = �(0) − "

2!(z + 1)2�

(0)xx +

"2

4!(z + 1)4�

(0)xxxx +O("4). (A.8)

1La condizione si ottiene uguagliando la velocita del fluido normale all’interfaccia e lavelocita normale dell’interfaccia stessa: il fluido non attraversa questa superficie.

2La risultante delle forze applicate sull’interfaccia, priva di massa, deve essere nulla:

p+ T�xixi= p0

dove p e la pressione dell’acqua, p0 quella costante del fluido esterno, T la tensione super-ficiale, che verra trascurata. Inoltre si tiene conto del teorema di Bernoulli per i fluidi nonstazionari:

p− p0 = −�('t +1

2∣∇'∣2 + g�)

.

28

In questo modo le condizioni sulla superficie libera diventano:

O(1) : �(0)

t+ u

(0)x = 0, (A.9)

u(0)

t+ �

(0)x = 0. (A.10)

dunque �(0), u(0) soddisfano l’equazione d’onda lineare in assenza di dispersione,la cui soluzione generale e rappresentata dalle due onde che si propagano senzadeformazioni in versi opposti:

�(0) = f(x− t; t1) + g(x+ t; t1), u(0) = f(x− t; t1)− g(x+ t; t1). (A.11)

All’ordine successivo:

O(") : �(1)

t+ u

(1)x = −[�

(0)t1

+ (u(0)�(0))x − 1

6u(0)xxx], (A.12)

u(1)

t+ �

(1)x = −[u

(0)t1

+ u(0)u(0)x − 1

2u(0)

xxt]. (A.13)

Queste equazioni possono essere integrate usando le coordinate caratteristiche r =x− t, l = x+ t. La soluzione contiene termini che crescono linearmente in r e l. Sesi eliminano i coefficienti di r e l nella soluzione, per eliminare queste secolarita, siottiene:

2ft1 + 3ffr +1

3frrr = 0 , −2gt1 + 3ggl +

1

3glll = 0 , (A.14)

che fissano la dipendenza di f e g, e quindi di �(0) e u(0), da t1. Queste equazionisono proprio equazioni di KdV, e descrivono l’interazione tra le onde progressiva eregressiva per tempi lunghi (t1 = "

3

2

√

gℎt).

Si puo derivare anche l’equazione di Schrodinger non lineare nello steso contestofisico, infatti la NLS e il modello per l’evoluzione di un pacchetto d’onde di superficiein acque sufficientemente profonde. Il punto di partenza rimangono le equazioni(A.1),(A.2),(A.3), mentre le assuzioni che conducono alla NLS sono diverse:

∙ Le onde sono di piccola ampiezza, quindi vale � ≪ � e in base a questoavviene la scelta fisica del parametro ":

" =�

�.

∙ L’onda e quasi monocromatica, cioe �kk

= O(").

∙ Per evitare il tipo di approssimazione che porta alla derivazione della KdV

si assume inoltre che le acque siano abbastanza profonde: (ℎ�)2 ≫ ".

In questi limiti la soluzione del problema all’ordine piu basso e la relazione didispersione sono le (A.4). Per l’analisi multiscala si sviluppano � e � introducendole nuove scale “lente” spaziali e temporali: x1 = "x, y1 = "y, t1 = "t, t2 = "2t.

All’ordine O("2) eliminare la secolarita equivale a imporre le condizioni:

At1 + vg(k)Ax1= 0, vg(k) =

d!

dk, (A.15)

�t1t1 − gℎ�x1x1= k!�1(∣A∣2)x1

, (A.16)

29

la seconda delle quali e un’equazione delle onde forzata.Quando si eliminano i termini secolari all’ordine successivo, quindi nella scala ditempo t2, emerge la NLS. Infatti, riscalando ulteriormente le variabili in modorenderle adimensionali:

x = "k(x− vg(k)t), t = "2√

gkt, A = k2√

gkA � = k21√gk

�.

e combinando le equazioni soddifatte da A e �, si ottiene :

iAt + �Axx = �∣A∣2A , (A.17)

ovvero la modulazione per tempi lunghi dell’ampiezza e regolata dall’equazione diScrodinger non lineare.

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