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SAPIENZA, UNIVERSITA' DI ROMA Ingegneria Elettrotecnica

Prova scritta di Fisica 2 - 19 gennaio 2018

Esercizio 1 (8 punti) Una carica è distribuita con densità lineare uniforme ! su un filo di lunghezza L. Determinare il campo elettrico ed il potenziale ad una distanza y dal filo come in figura. Esercizio 2 (8 punti) Due sfere conduttrici di raggi a, e 2a, poste a distanza tra loro molto superiore ad a, inizialmente scariche, sono collegate tramite un sottile filo conduttore (di capacità trascurabile), lungo il quale sono inseriti un generatore di forza elettromotrice f e un interruttore inizialmente aperto. Calcolare il lavoro che compie il generatore per raggiungere la nuova situazione stazionaria dopo la chiusura dell’interruttore. Esercizio 3 (8 punti) Un nastro conduttore di larghezza L e lunghezza infinta è percorso da una corrente "# ed è posto ad una distanza d da una spira quadrata di lato a percorsa da una corrente "$. Determinare la forza che il nastro esercita sulla spira, specificando se è attrattiva o repulsiva.

Esercizio 4 (8 punti) La corrente di un solenoide in aria, di densità d’avvolgimento n, è portata da 0 a un valore stazionario I nell’intervallo di tempo 0<t<T con legge i(t)= k t con k=I/T. Nella zona a campo uniforme all’interno del solenoide, centralmente e perpendicolarmente all’asse, è posta una spira quadrata d’area S, i cui lati hanno le resistenze indicate in figura. Si calcoli la differenza di potenziale VA–VB, nell’intervallo di tempo 0<t<T, assumendo n=103/m, I=5A, T=0,1s, S=100cm2, e supponendo trascurabile l’autoinduzione. Domanda Ricavare la II equazione di Maxwell (rotore del campo elettrico) dalla legge di Faraday-Lenz e commentarla.

!"

#

$

%

!&

Soluzioni

Esercizio 1

% & =1

4*+,

!-..$

012

0= −

!4*+,

14 + &

−1&

=!4

4*+,& 4 + &

6 & =1

4*+,

!-..

012

0=

!4*+,

log& + 4&

Esercizio 2

Esercizio 3

-:;<=>?@ =A,"#2*C

-D

4:;<=>?@(C) =

A,"#2*4

-D

4 + C − D

2

,=A,"#2*4

log4 + C

C

G = −"$H:;<=>?@ - + "$H:;<=>?@ - + H = −A,H"#"$2*4

log4 + - - + H

-(4 + - + H)

La forza è attrattiva. Esercizio 4

SAPIENZA, UNIVERSITA' DI ROMA Ingegneria Elettrotecnica

Prova scritta di Fisica 2 - 20 febbraio 2018

Esercizio 1 (8 punti) Nel vuoto, su una superficie sferica di raggio a, è uniformemente distribuita una carica elettrica con densità s. Altra carica elettrica è uniformemente distribuita in tutto il volume interno alla superficie sferica, con densità r=–3s/a. Si calcoli l’espressione del potenziale elettrostatico ! " in tutto lo spazio, ponendo ! ∞ = 0. Esercizio 2 (8 punti) Un filo rettilineo, a sezione circolare di raggio & e resistività uniforme ', è percorso da corrente (. Su un tratto lungo ℎ il filo è rivestito di una guaina dielettrica di costante *+ e spessore , piccolo rispetto ad & e ℎ. Si calcoli l’espressione del momento di dipolo elettrico. acquistato dal dielettrico, verificandone le dimensioni. Esercizio 3 (8 punti) Un solenoide lungo e compatto, di sezione circolare, lungo ℓ =30cm, è costituito da un avvolgimento con 0 =1000 spire. Sapendo che la sua induttanza 1 = 310456, si determini il raggio 8 della sua sezione circolare. Esercizio 4 (8 punti) Un disco di alluminio di raggio & ruota a velocità angolare 9 uniforme. Il disco è immerso in un campo : uniforme e collegato ad una resistenza R ed una capacità C da un interruttore che si chiude ad un istante ; = 0. Calcolare la corrente ( ; che scorre nel circuito dopo la chiusura, l’energia <= dissipata nella resistenza, <> quella immagazzinata nella capacità ed <?@ABC spesa dal motore che fa girare il disco. Trascurare la resistenza del disco e tutti gli attriti; il condensatore è scarico quando si chiude l’interruttore. Domanda Ricavare l’equazione di continuità ed usarla per dimostra la legge dei nodi in un circuito elettrico.

Soluzioni

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

1 =D E

F : = GHFI

ℓJ

K : = 0KLAM@+N : = 0 : ⋅ P,Q =RS0(

ℓAM@+N

0T8U

1 =GHI

VW=

V

ℓ 8 = L

I

Xℓ

WGH

= 1.5cm

Esercizio 4

Y!ZE = 9":," = 9":," =[EN

V

U

N

S

\C+]C

B^_`+C

( ; =[EN

V

U=a4`/c con d = 8e.

<= = 8(U,; =

fghiV

=a4U`/c

,;j

S=

j

Se[VEVNk

l= <>

<]@ABC = <= + <> = 2<=

SAPIENZA, UNIVERSITA' DI ROMA Ingegneria Elettrotecnica

Prova scritta di Fisica 2 – 23 marzo 2018

Esercizio 1 (8 punti) All'interno di un cilindro indefinito di raggio interno a e raggio esterno b è distribuita una carica elettrica con densità di volume r uniforme. Calcolare l'andamento del campo elettrico in funzione della distanza r dall'asse di simmetria della distribuzione. Esercizio 2 (8 punti) Un condensatore piano con armature di area S è riempito da due lastre di dielettrico, una di spessore d1 e di costante dielettrica ε1, l’altra di spessore d2 e costante dielettrica ε2. Ai capi del condensatore è applicata una d.d.p. V0. Calcolare i valori E1 e E2 del campo elettrico nei due dielettrici e la densità di carica totale di polarizzazione !"#$# sulla superficie di separazione dei due dielettrici Esercizio 3 (8 punti) Nel circuito in figura il tasto T viene chiuso a t=0. Ricavare l’espressione dell’energia UR dissipata in R1 dall’apertura del tasto fino a quando il sistema raggiunge nuovamente una situazione stazionaria. Esercizio 4 (8 punti) Una spira conduttrice circolare di raggio a e resistenza complessiva R è immersa in un campo B uniforme, diretto perpendicolarmente al piano della spira. Il modulo di B varia nel tempo come B=B0sin(wt). Ricavare il valore della potenza media dissipata nella spira. Domanda

Soluzioni Esercizio 1

Esercizio 2

Condizionidiraccordo/010 = /31345 = 6010 + 6313!8 = 90 = 93 = 99 = /5/:010 = /5/:313 = !810 = ;<

=>;<?=<;>45 = @A

;B;C>13 = @A

;B;C<

9 = /5/:0/:3

60/:3 + 63/:045

!"0 = ;C>D0

;C>9!"3 = ;C<D0

;C<9

!"#$# = !"0 − !"3 = /5/:0 − /:3

60/:3 + 63/:045

Esercizio 3

ConsiderandoilcircuitoequivalenteinfiguraO8 = P

Q>?Q<R0R8 = Q>Q<

Q>?Q<

ST = PAQA

1 − VDW/Y conZ = [/R8

\Q = R0SQ>3 6]^

5=

_4Q>3R0

6]^

5= _4T3

R06] =

^

5

= 0Q>

−[ =`a=W36] =^

50Q>

O83VD3W/Y^5 6] = PA<T

3Q>QA

Esercizio 4

O8b = −6c6] = − 66] de

3f5 sing] = −de3f5g cosg]

h ] = RS3 = R O8bR

3= d3eif53g3

R cos3 g]

h ] = 0# h ] 6]#

5 = 0#j<klmB<n<

Qn cos3 g]#5 6 g] = j<klmB<n<

3Q

SAPIENZA, UNIVERSITA' DI ROMA Ingegneria Elettrotecnica

Prova scritta di Fisica 2 – 15 giugno 2018

Esercizio 1 (8 punti) Una carica è distribuita su due fili come mostrato in figura: 1) su un filo semicircolare posto sul piano (x,y), con densità lineare ! uniforme; 2) su un filo rettilineo di lunghezza infinita perpendicolare allo stesso piano, con densità lineare !′ uniforme. Determinare l’espressone della forza # agente sul filo semicircolare. Esercizio 2 (8 punti) Il sistema di condensatori in figura, con l’interruttore T aperto, viene caricato con una differenza di potenziale $%. Ad un certo istante, mantenendo fisso $%, viene chiuso l’interruttore. Determinare la carica totale che passa nell’interruttore fino al raggiungimento della nuova situazione di equilibrio. Esercizio 3 (8 punti) Una particella di carica q viaggia a velocità &%. Durante il suo moto, attraversa una regione di larghezza D in cui è presente un campo di induzione magnetica ' noto e perpendicolare alla direzione della particella. Data la distanza x dalla traiettoria iniziale con la quale la particella esce dalla regione in cui è presente ', determinare la massa m della particella e la sua velocità finale &(. Determinare inoltre il valore limite della massa )*+, per cui la particella non riesce ad emergere a destra della regione suddetta. Esercizio 4 (8 punti) All'interno di un solenoide a sezione circolare, alimentato dalla densità di corrente quasi stazionaria nI(t)=nI0 sin(w t), è inserito un anello coassiale di dielettrico omogeneo di costante er, raggio r e sezione di area S<<p r2. Si calcoli l'espressione del vettore di polarizzazione - nel dielettrico. Calcolare inoltre la corrente di polarizzazione ip(t) presente nell'anello. Domanda Ricavare il potenziale di un dipolo elettrico a grande distanza, considerando nullo il potenziale all’infinto.

SAPIENZA - UNIVERSITA' DI ROMA FACOLTA' DI INGEGNERIA

1) Una carica puntiforme q = -1.0x10-8 C di massa m = 10-6 kg si

trova ad una distanza a = 20 cm dal centro di una sfera cava di raggio R = 5 cm caricata con una densità di carica superficiale σ = 3.18x10-7 C/m2. Sulla sfera è praticato un piccolo foro, di raggio trascurabile, attraverso il quale passa la carica puntiforme q. Determinare la velocità della carica q quando si trova ad una distanza di 2 cm dal centro della sfera.

2) All’interno di un guscio cilindrico indefinito di raggio interno a

e raggio esterno b è distribuita una carica elettrica con densità di volume ρ uniforme. Calcolare l’andamento del campo elettrico e del potenziale in funzione della distanza r dall’asse di simmetria della distribuzione.

3) Il sistema di condensatori in figura, con l’interruttore T aperto,

viene caricato con una differenza di potenziale V0 = 100 V. Ad un certo istante, mantenendo fisso V0, viene chiuso l’interruttore. Determinare la carica totale che passa nell’interruttore fino al raggiungimento della nuova situazione di equilibrio, con C1 = 1 µF, C2 = 3µF.

a

R

q

a b

V0

C1

C1

C2

C2 T

1

Nel circuito rappresentato in figura i raggi delle semicirconferenzesono a = 10 cm e b = 15 cm. Se la corrente vale i = 20 A, calcolare ilcampo di induzione magnetica nel centro O delle semicirconferenze.

a b

i

A B C DO

2

Una particella di carica q = 10−6 C viaggia a velocita v0 = 10 m/s.Durante il suo moto, attraversa una regione in cui e presente un campo diinduzione magnetica B di modulo pari a B = 0.2 T e perpendicolare alladirezione della particella. Nota la distanza x dalla traiettoria iniziale conla quale la particella esce dalla regione in cui e presente B, determinare lamassa m della particella e la sua velocita finale vf . Determinare inoltre ilvalore limite della massa mlim per cui la particella non riesce ad emergerea destra della regione suddetta. (D = 3 cm, x = 1 cm).

xv

vf

0

B

D

Soluzioni Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3 Esercizio 4

Soluzioni

1)

L’energia potenziale iniziale della carica q è J105.44

1 6

0

−×−==aqQUi πε

mentra quella finale

vale J108.14

1 5

0

−×−==RqQU f πε

dal momento che il potenziale dentro la sfera cava è costante.

La carica C104 82 −== σπRQ . Dalla conservazione dell’energia si ha: fi UUmv −=2

21 da cui

( )m/s2.5

2=

−=

mUU

v fi

2)

ar <<0 0=E 0=V

bra << ( )22

02ar

rE −=

ερ

+−=

araraV ln

2222

22

0ερ

rb < ( )22

02ab

rE −=

ερ ( )

−++−=

brba

ababaV lnln

222222

22

0ερ

3)

Nella situazione iniziale i due conduttori centrali di sinistra e di destra sono scarichi. I condensatori C1 e C2 sia di sinistra che di

destra sono in serie con la stessa carica 21

210 CC

CCVq+

= .

Dopo che l’interruttore T è stato chiuso, tra A e B c’è lo stesso potenziale e quindi i due condensatori C1 e C2 in alto sono in parallelo così come i due in basso. Nel ramo A-B c’è un potenziale V0/2. Ai capi dei due condensatori C1 c’è una carica

20

11VCq = , ai capi di C2 c’è una carica

20

22VCq = .

Il ramo conduttore centrale è ancora neutro, ma a destra c’è una carica q1 – q2 mentre a sinistra c’è una carica q2 – q1. Questo significa che la carica q2 – q1 è passata da destra a sinistra

attraversando l’interruttore T. Tale carica vale ( ) C102

401212

−=−=−VCCqq

V0

C1

C1

C2

C2 T

A B

Esercizio N. 1

dB =µ0

4πIdl × ∆r

∆r3BAB = BCD = 0 BDA =

µ0

4π

I

b2

! πb

0

dl =µ0I

4b

BBC = −µ0

4π

I

a2

! πa

0

dl =µ0I

4aBtot =

µ0I

4

"

1

b−

1

a

#

= −2.1×10−5 T (entrante nel foglio)

Esercizio N. 2

x

vf

B

D

R

v0

R - x

(R − x)2 + D2 = R2⇒ R =

x2 + D2

2x= 5 cm

qvB = mv2

R⇒ m =

RqB

v= 10−9 kg vf = v0

mlim si ha quando R = D ⇒ mlim = 0.6 × 10−9 kg

SAPIENZA, UNIVERSITA' DI ROMA Ingegneria Elettrotecnica

Prova scritta di Fisica 2 – 17 luglio 2018

Esercizio 1 (8 punti) Si abbiano due conduttori a forma di sfera (carica q1) e di buccia sferica (carica q2) concentriche, di dimensioni come in figura. Si calcoli il potenziale della sfera supponendo il sistema nel vuoto e assumendo nullo il potenziale all’infinito. Esercizio 2 (8 punti) Un condensatore di capacità C si scarica su una resistenza R. Dopo un tempo T, il condensatore perde 2/3 della sua energia. Calcolare il valore della resistenza. (C=4µF e T=10s) Esercizio 3 (8 punti) Una lastra piana e sottile di area S e spessore d di materiale paramagnetico di suscettività !" è inizialmente al di fuori di una regione sede di campo magnetico uniforme, i cui valore B0 è mantenuto costante. Calcolare la variazione Δ% dell’energia del campo magnetico per effetto dell’introduzione completa della lastra nel campo (posizione tratteggiata). (S=100cm2, d=0.2cm, B_0=1T, !"=3.14 10-4) Esercizio 4 (8 punti) Una spira rigida di lato ℓ=20cm e resistenza R=0.1W si muove di moto traslatorio come in figura con velocità costante v=2m/s. La spira è immersa in un campo ' di modulo variabile con x secondo la legge ' = ') + +, con a=0.5 T/m. Trascurando l’autoinduzione, calcolare il flusso Φ ' attraverso la spira, la corrente i che vi scorre e la forza ./01 che è necessario applicare alla spira stessa per mantenerla in moto uniforme. Domanda Un condensatore piano le cui armature sono distanti d, ha una densità superficiale di carica libera s. Il condensatore è riempito totalmente di un dielettrico isotropo, lineare, non omogeneo la cui !/ = +2 dove a è una costante e z è riferito ad un asse ortogonale alle armature con origine sull’armature positiva e diretto verso quella negativa. Si esprima in funzione delle grandezze date 3, 5, 67(2) (la densità di volume di carica di polarizzazione in punto del dielettrico a distanza z) e :7 0 e :7 < , ovvero la densità superficiale di carica di polarizzazione in z=0 e z=d.

~P = ✏0�e~E =

��e

1 + �ez =

�az

1 + azz

⇢p = �r · ~P = �@Pz

@z= · · · = � �a

(1 + az)2�p(0) = 0 �p(d) =

�ad

1 + ad

Soluzioni Esercizio 1

=>?/@A = 3 ⋅ <ℓC

DE=

FG4IJ)

<KKL

DM

DE+FG + FL4IJ)

<KKL

C

DN=

14IJ)

FG1PG−1PL

+ FG + FL1PR

Esercizio 2

S T = S)UV1/X con Y = PZ e S) la carica iniziale. [ T = − \]\1= ]^

D_UV1/X

L’energia persa dal condensatore in T è

%` = [L T P<T = − GL

`)

]^M

_UV

Mab − 1 = %) 1 − UV

Mab che deve essere pari ai 2/3 di quella

iniziale

%) 1 − UVMab = %)2/3. Quindi UV

Mab = 1/3 e Y = PZ = L`

efR

P =2gZhi3 = 4.6lΩ ≈ 5lΩ

Esercizio 3

La variazione di energia del campo nello spazio occupato dalla lastra è

p% =12

')L

q)(1 + !")r< −

12')L

q)r< =

12')L

q)r<

11 + !"

− 1 = −12')L

q)!"

1 + !"r< = −2.5st

Esercizio 4

Φ ' = ') + +, ℓ<, = ')ℓL +12+ℓ

L ℓ + 2uvwℓ

v

xy =\z\1= G

L+ℓL2 \v

\1= +ℓL{ [ = ?|

D= AℓM}

D= 0,4~

Laspirasubisceunaforzachelarallenta(nelversonegativodell’assex)."Aï = [ℓ' u + ℓ − [ℓ' u = [ℓL+ = 810VRó./01 = −."Aïdirettanelversopositivodell’assexDomandateoria

~E =~D

✏0(1 + �e)=

�

✏0(1 + �e)z

SAPIENZA, UNIVERSITA' DI ROMA Ingegneria Elettrotecnica

Prova scritta di Fisica 2 – 14 settembre 2018

Esercizio 1 (8 punti) Una carica puntiforme ! < 0 di massa nota m si trova ferma ad una distanza a dal centro di una sfera cava di raggio $ = &/2 caricata con densità di carica ) > 0. Sulla sfera è praticato un piccolo foro, di dimensioni trascurabili, attraverso il quale passa la carica puntiforme q. Determinare la carica totale della sfera, l’energia potenziale iniziale della carica q e quella quando la carica entra nella sfera cava (assumere il potenziale nullo all’infinito). Calcolare inoltre la velocità quando la carica q si trova ad una distanza R/2 dal centro della sfera. Esercizio 2 (8 punti) Sia dato il circuito in figura, con il semicilindro di resistività + nota e raggio interno & ed esterno ,. Riscrivere il circuito come un circuito ad una maglia, sostituendo il circuito a sinistra di A-B con il suo equivalente di Thevenin (feq e Req) ed il semicilindro con la resistenza RS. 1) Calcolare solo la Req. 2) Determinare la resistenza RS del semicilindro tra A e B in funzione di -. 3) Determinare la lunghezza - in modo da massimizzare la potenza dissipata nel semicilindro. Esercizio 3 (8 punti) Determinare il campo di induzione magnetica al centro di un ottagono regolare di lato & percorso da una corrente stazionaria .. (Suggerimento: calcolare prima il campo generato in O da un lato del circuito) Esercizio 4 (8 punti) Una spira quadrata di lato l e resistenza R, posta nel vuoto sul piano xy, come indicato in figura, è sottoposta all’azione di un campo magnetico non uniforme e lentamente variabile nel tempo la cui normale alla spira è espressa da /

0= /

01, 3 = 41cos(:3). Si

calcoli l’espressione della corrente I(t) indotta nella spira, trascurando l’autoinduzione. Domanda Enunciare e ricavare l’equazione di continuità.

SAPIENZA - UNIVERSITA' DI ROMA FACOLTA' DI INGEGNERIA

1) Una carica puntiforme q = -1.0x10-8 C di massa m = 10-6 kg si

trova ad una distanza a = 20 cm dal centro di una sfera cava di raggio R = 5 cm caricata con una densità di carica superficiale σ = 3.18x10-7 C/m2. Sulla sfera è praticato un piccolo foro, di raggio trascurabile, attraverso il quale passa la carica puntiforme q. Determinare la velocità della carica q quando si trova ad una distanza di 2 cm dal centro della sfera.

2) All’interno di un guscio cilindrico indefinito di raggio interno a

e raggio esterno b è distribuita una carica elettrica con densità di volume ρ uniforme. Calcolare l’andamento del campo elettrico e del potenziale in funzione della distanza r dall’asse di simmetria della distribuzione.

3) Il sistema di condensatori in figura, con l’interruttore T aperto,

viene caricato con una differenza di potenziale V0 = 100 V. Ad un certo istante, mantenendo fisso V0, viene chiuso l’interruttore. Determinare la carica totale che passa nell’interruttore fino al raggiungimento della nuova situazione di equilibrio, con C1 = 1 µF, C2 = 3µF.

a

R

q

a b

V0

C1

C1

C2

C2 T

!"!#$

%#$

Soluzioni Esercizio 1

< = 4>$?) = >&

?)@

A=

1

4>CD

!<

&=

&)!

4CD

@E=

1

4>CD

!<

$=

&)!

2CD

NB: il potenziale dentro la sfera cava è costante

1

2FG

?= @

E− @

A=

&)!

4CD

→ G =

&)!

2FCD

Esercizio 2 Utilizzando il teorema di Thevenin, il circuito è equivalente a

quelloinfiguracon$TU=

3

4$ +

$

8+

$

8= $

Il semicilindro può essere visto come tanti gusci di lunghezza >Y e sezione -ZY in parallelo:

1

$[

=

-ZY

+>Y

\

]

=

- ln,

&

+>→ $

[=

+>

- ln,

&

Ilmassimotrasferientodipotenzasihaquando$[= $

TU= $ → - =

+>

$ ln,

&

Esercizio 3

Il campo di induzione magnetica prodotto da un tratto di filo a distanza $ =]

?

cote

f

vale

Z/g=

hi.

4>

cos j Zk

Y?

=

hi.

4>$cos j Zj/

g=

hi.

4>$cos j Zj

e

f

le

f

=

hi.

2>$sin

>

8

=

hi.

>&

sin?>

8

cos>

8

→ /mim

= 8/g= 8

hi.

>&

sin?>

8

cos>

8

Esercizio 4