SAPIENZA, UNIVERSITA' DI ROMA Ingegneria Elettrotecnica

Prova scritta di Fisica 2 – 13 gennaio 2020

Esercizio 1 (8 punti) Due conduttori cilindrici di raggio !, rettilinei, paralleli tra loro e di lunghezza infinita, posti nel vuoto a distanza " l’uno dall’altro, hanno stessa densità di carica in modulo ma di segno opposto. Nota la differenza di potenziale #$ tra di essi, determinare il modulo della carica per unità di lunghezza % ed il modulo della densità di carica superficiale & presente su ciascuno dei due conduttori. Esercizio 2 (8 punti) Una sfera di raggio !, fatta di materiale dielettrico non omogeneo, elettricamente neutra, è posta in un campo elettrico. Sapendo che "'(* = ,/. (,costante, . sia la distanza dal centro della sfera), determinare la carica totale di polarizzazione sulla superficie della sfera /012

234 . Esercizio 3 (8 punti) Un solenoide rettilineo indefinito ha sezione circolare di raggio ! e coefficiente di autoinduzione per unità di lunghezza 5$. Lungo l’asse del solenoide e per tutta la sua lunghezza viene sistemata una barra cilindrica di materiale ferromagnetico di raggio 6 = !/5; si trova allora che il coefficiente di autoinduzione (per unità di lunghezza) diventa 5 = 45$. Calcolare la permeabilità magnetica relativa 9: del materiale ferromagnetico. Esercizio 4 (8 punti) Una spira a forma di triangolo rettangolo e isoscele è complanare a un lungo filo percorso da una corrente lentamente variabile I=I0cos(ωt). Calcolare l’espressione della forza elettromotrice indotta nella spira assumendo i parametri geometrici in figura. Domanda Considerare la scarica di un condensatore carico a Q0 su una resistenza R. Ricavare (esplicitando i passaggi più significativi) l’andamento della Q(t) del condensatore e la I(t) che scorre nel circuito (disegnarne anche l’andamento delle grandezze nel tempo in maniera approssimata).

Soluzioni Esercizio 1

;$ < =%

2>?$

1<+

1" − <

! ≤ < ≤ " − !

#$ = ;$(<)"<FGH

H=

%>?$

ln" − !!

→ % =>?$#$

ln " − !!

& =%2>!

=?$#$

2! ln " − !!

Esercizio 2

0 = /M3M = /N234 +/012

234 "'(* =,.= −O234

/N234 = O234"P

0QR:H= −

,.

H

$4>.S". = −2>,!S/012

234 = −/N234 = 2>,!S

Esercizio 3

L’induttanza del solenoide nel vuoto per unità di lunghezza è 5$ = 9$TS>!S (H/m). Quando è inserita la sbarra cilindrica ferromagnetica si ha 5 = 9$9:TS>6S + 9$TS>(!S − 6S)

9: = 1 +!6

S 55$− 1 = 76

Esercizio 4

WX = −"Y"Z

= −""Z

[ ⋅ T"] = −""Z

9$^2>.

2 . − ! ".H_`

Ha=

= −9$>

"^"Z

1 −!.".

H_`

H=9$>

b^$ sinbZ ℎ − ! ln! + ℎ!

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Prova scritta di Fisica 2 – 7 febbraio 2020

Esercizio 1 (8 punti) Su una sfera isolante di raggio ! è depositata una carica la cui densità di volume varia con la legge " = $/&' con & la distanza dal centro della sfera e $ nota. Determinare l’energia del campo elettrostatico presente in tutto lo spazio. Esercizio 2 (8 punti) Tre condensatori sono disposti come in figura. Inizialmente, ad interruttore ( aperto, )' e )* sono scarichi, mentre )+ ha tensione Δ-. Successivamente si chiude (; determinare le cariche .+, .', .* e le tensioni finali ∆-+, ∆-', ∆-* dei tre condensatori () = 1nF,Δ- = 20V). Esercizio 3 (8 punti) Due fili conduttori rettilinei 1 e 2 complanari e paralleli (da considerarsi infinitamente estesi), separati da una distanza 28, sono percorsi nello stesso verso da una corrente continua 9. Si consideri un piano ortogonale ai due fili (piano in figura): si determini a quale distanza : lungo la linea di mezzeria, dal centro ; del sistema, il modulo del campo < è massimo.

Esercizio 4 (8 punti) Una spira circolare di raggio a è immersa in aria in un campo < = <= sin@A B dove B è il vettore unitario ortogonale al piano della spira. Istante per istante il campo < è uniforme. Le due metà della spira a sinistra e a destra del diametro PQ hanno resistenze diverse !+e !'. Dare l’espressione della ∆-CD = -C − -D, trascurando l’autoinduzione.

Domanda Determinare le azioni meccaniche di un campo magnetico uniforme su una spira piana rettangolare percorsa da corrente. Definire inoltre il momento magnetico.

Soluzioni

Esercizio 1

4G&'H = 1I=

$&' 4G&

'8&J

== 4G$

I=& → H = $

I=& & ≤ !

4G&'H = 1I=

$&' 4G&

'8&M

== 4GN

I=! → H = $!

I=&'(& ≥ !)

RS =I=2 H'8T

U

== 2G$'

I=8&

M

=+ 2G$

'!'I=

8&&'

U

M= 4G$

'

I=!

Esercizio 2

Nello stato finale i condensatori sono in parallelo e quindi DW*X =

DY'X =

DZX e .+ + .' + .* = 3)∆-

da cui .* = 10B), .' = 20B)\.+ = 30B) e ∆-+ = ∆-' = ∆-* = 10-

Esercizio 3

< = 2 ]=2G9& sin ^ =

]=G 9

:8' + :'

8<8: =

]=G 9

18' + :' −

2:'8' + :' '

Il massimo si ha per

_`_a = 0 ossia per : = 8.

Esercizio 4

bc A = −8d8A = − 88A <=efB@AGg' = −@<=Gg'hie@Af A = bc A

!+ + !'

La f.e.m. indotta è uniformemente distribuita sulla spira. Orientando coerentemente con la regola della mano destra la normale alla spira ed il suo verso di percorrenza, la legge di Ohm generalizzata applicata a destra di PQ risulta

Δ-CD = -C − -D = −12bc A + !'f A = −12bc A + !'!+ + !'

bc A = !+ − !'2 !+ + !'

@<=Gg'hie@A

!"σ

!

"

#

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Prova scritta di Fisica 2 – 4 maggio 2020

Esame scritto online – procedura straordinaria Risolvere 2 dei seguenti 3 esercizi 1) Sia data una semisfera di raggio ! sulla quale è presente una densità

superficiale di carica ". Una carica # di massa $ è posta inizialmente ferma al centro della semisfera. Determinare la velocità della carica quando arriva a distanza infinita dalla semisfera.

2) Determinare l’intensità del campo magnetico % prodotto da un cilindro cavo

infinito rettilineo di raggio interno & e raggio esterno ', percorso da una corrente (, in ogni punto dello spazio.

3) Si consideri un solenoide molto lungo a sezione circolare di raggio &, con )

spire per unità di lunghezza, alimentato dalla corrente quasi-stazionaria ((+) = (.sin(3+). Si calcoli la forza che subisce una carica elettrica # posta a distanza 4dall’asse del solenoide (se ne indichi anche la direzione).

Soluzioni

A1)

12$7

8 = #99 = :4<=.!

= 2<!8"4<=.!

= "!2=.

→ 7 = ?2#9$ = ?#"!$=.

A2)

@ = (<('8 − &8) 4 ≤ & → % = 0

& ≤ 4 ≤ ' → 2<4% = D.@<(48 − &8)% =D.(2<4

(48 − &8)('8 − &8)

4 ≥ ' → % = D.(2<4

A3)

La direzione del campo elettrico è la tangente alla circonferenza di raggio r.

y

x!!

!"

90°!!

"#

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Prova scritta di Fisica 2 – 10 giugno 2020

Esercizio 1 (8 punti) Una carica statica nel vuoto è distribuita su due fili come mostrato in figura: 1) su un filo semicircolare di raggio ! posto sul piano x-y, con densità " uniforme; 2) su un filo rettilineo di lunghezza infinita perpendicolare allo stesso piano, con densità "# uniforme. Si calcoli l’espressione della forza $⃗ agente sul filo semicircolare. Esercizio 2 (8 punti) Il circuito in figura si trova in condizioni stazionarie quando viene aperto l’interruttore &. Calcolare l’energia dissipata nel circuito durante tutto il transitorio che segue l’apertura di &. Esercizio 3 (8 punti) Determinare le componenti lungo ' e ( del campo di induzione magnetica )*⃗ sull’asse di un quarto di cilindro infinito di raggio + cavo (spessore trascurabile) mostrato in figura e percorso, sulla sua superficie, da una corrente di intensità ,.

Esercizio 4 (8 punti) Una spira triangolare (rettangolare ed isoscele) di resistenza R, come in figura, posta sul piano xy è sottoposta all’azione di un campo magnetico non uniforme e lentamente variabile nel tempo, la cui componente normale alla spira è espressa da )- = )-(', 1) = 3' cos(81) Si calcoli l’espressione della corrente I(t) indotta nella spira.

θα d!B1

ds1

y

x!!

!

"

#⃗ "

Soluzioni

Esercizio 1)

Per simmetria, la forza agente sulla spira è diretta lungo l’asse delle x.

9$: = 9$ cos ; = 9<= cos ; = "!9;"#

2?@A!cos ; =

""#

2?@Acos ; 9;

$: =""#

2?@AB cos ; 9;C/E

FC/E=""#

?@A

Esercizio 2) T chiuso, condizioni stazionarie:

, =G

HI + HEKL = HE, = G

HEHI + HE

Energiaimmagazzinatanelcircuito:= =12[I,E +

12\KLE =

12]

GHI + HE

^E

([I + \HEE)

Una volta aperto T, tutta l’energia immagazzinata nel circuito viene dissipata in HE e H_. Il

generatore non compie più lavoro.

Esercizio 3) Con riferimento alla figura, il filo di larghezza ds1 genera in O un campo di induzione magnetica 9)*⃗ I uguale in modulo e pari a

9)*⃗ I =`A9,2?H

con9, = ,9a?H

La componente lungo ' del campo è pari a:

9): =`A,9a2?EHE

bca; =`A,9a2?EHE

cos d?2− fg): =

`A,2?EHE

B sin f9aC/E

A

9a = H9f → ): =`A,2?EH

Per simmetria la componente del campo lungo ( è la stessa.

Esercizio 4)

Φj)*⃗ k = B )*⃗ ⋅ 9m⃗nopqr

= k cos(ωt)B '(2ℓ − ')9'Eℓ

ℓ=

… = 2k cos(ωt) ℓ_

3

, = −1H9Φ91

= 23ℓ_83H

sin(81)

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Prova scritta di Fisica 2 – 13 luglio 2020

Esercizio 1 (8 punti) Un guscio conduttore cilindrico è circondato da un guscio conduttore cilindrico coassiale, tale che l’altezza h >>(b-a). Lo spazio fra i due conduttori è riempito di un dielettrico di costante dielettrica !". Calcolare la capacità C di questo sistema di conduttori. Esercizio 2 (8 punti) Un condensatore piano rettangolare di dimensioni a e b è parzialmente riempito per un tratto x=a/3 da una lastra di dielettrico omogeneo e isotropo con !" = $. Se la carica totale sull’armatura è Qtot, calcolare la carica Qx che si dispone sulla parte di armatura superiore affacciata al dielettico. Esercizio 3 (8 punti) Un anello conduttore di raggio a è composto da due conduttori diversi, ciascuno lungo una semicirconferenza; una semicirconferanza ha resistenza R1 e l’altra ha resistenza R2; sia R1 > R2. L’anello è collegato ad un circuito in cui scorre una corrente stazionaria I. Calcolare il campo B al centro O dell’anello (oltre al modulo, indicarne direzione e verso).

Esercizio 4 (8 punti) Una spira quadrata di lato L e resistenza totale R è immersa in un campo B uniforme e costante, diretto secondo la normale alla spira (vedi figura). La spira è costituita da N avvolgimenti. Il campo B viene spento; si calcoli la quantità di carica Q che fluisce nella spira.

Esercizi C' = QIN

CAMPO filo caricoÈ

= èZITEOERI

a- È Èdé .. .. !÷ !! !÷:L:L

C' = e

lnlbla )

Esercizi d SEPARAZIONE ARMATURE

• A

Q.

Che Geco

(×

Co va - ↳ = 0¥,

• B

(x = E. Era ¥ C. = sob

d d

cnet.db-fa.IE. - e) × } Q. > = Q,

-10.

Va - V. = =

a- alsCa

Qx = Q.ro#=Q....'ri---IQoratfEr-1) ×

Esercizi DÈ = Id% E

1. TRATTI RETTILINEI sino = O 112.

t.%feorii.ae ! ! e

È.

dhàià ! ?÷r 'ÌIO) . ò ( Ra - Ra )

tse"e'Rete )

R ri -il! -9¥-

dio IIT}lott€

a- %:" .".ie?ii-:!:%deQ=.HXer-&nrne-= ¥j =È

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Prova scritta di Fisica 2 – 7 Settembre 2020

Esercizio 1 (8 punti) Una carica elettrica nel vuoto è distribuita su una corona circolare di raggio interno ! ed esterno ", con una densità superficiale # = %'(, dove ' è la distanza dal centro O. Calcolare l'espressione del lavoro necessario per portare una carica puntiforme ) dall'infinito al centro O della distribuzione. Esercizio 2 (8 punti) Un condensatore piano ha come dielettrico due lastre di materiali diversi, di spessore x1 e x2 e costante dielettrica relativa εr1 e εr2, che lo riempiono completamente (h = x1 + x2). Calcolare il rapporto fra i campi elettrici nei dielettrici, il campo elettrico in ciascun dielettrico e la somma delle densità di carica di polarizzazione sulla superficie di separazione tra i due dielettrici se la d.d.p. applicata al condensatore vale DV0. Esercizio 3 (8 punti) Un lungo conduttore cilindrico di raggio a è percorso da una corrente stazionaria I uniformemente distribuita sulla sezione. Coassiale a questo conduttore è posta una superficie conduttrice cilindrica di raggio b. La corrente che circola nel cilindro interno circola in verso opposto nella superficie cilindrica esterna. Ricavare l’espressione del campo B in tutto lo spazio. Esercizio 4 (8 punti) Un solenoide con * spire per unità di lunghezza, la cui sezione è rappresentata in figura, è percorso da una corrente +(-) = /0 cos(4-). All’interno del solenoide è presente un circuito a forma di triangolo rettangolo con 56 = 67 = '/2, dove ' è raggio del solenoide. Due lati del triangolo si trovano lungo i raggi della sezione come in figura. Le tre resistenze : sono uguali. Determinare il modulo della differenza di potenziale |<= − <?|.

29/08/20 Titolo Presentazione Pagina 2

!(#)%

%

%

&

'(

Soluzioni

Esercizio 1

@ = )<(0) = )B1

4EF0

#'GH

I=

)4EF0

B#'2E'G'

J

K=

)2F0

B #G'J

K=%)2F0

B '(G'J

K

=%)6F0

(MN − ON)

Esercizio 2

Campo elettrico normale ai conduttori ed uniforme nei due dielettrici. Quindi dalle condizioni al contorno alla separazione PQR = PQ( segue che, essendo il campo ST il campo nel mezzo j, SRS(=UV(UVR

Poiché SRWR + S(W( = Δ<0, si ricava che SR =Z[\

]^_`^`a]a

e S( =Z[\

]a_`a`^]^

La densità di carica di polarizzazione totale #b è la somma di quella nel mezzo 1 e quella nel mezzo 2 (di segno opposto) #b = |#bR − #b(| |#bR| = U0(UVR − 1)SR e |#b(| = U0(UV( − 1)S( #b = U0

UVR − UV(WRUV( + W(UVR

Δ<0

Esercizio 3

c =/

EO(

' < O2E'6 = e0cE'( → 6g⃗ =e0/'2EO(

-̂

M < ' < O2E'6 = e0/ → 6g⃗ =e0/2E'

-̂ ' > M/klmkO-nmO-O = 0 → 6g⃗ = 0

Esercizio 4

6 = e0m+(-) = e0m/0 cos(4-) o ='(

86 =

'(

8e0m/0 cos(4-)

qrs = −GoG-

='(

8e0m/04 sin(4-) / =

qrs3w

='(

24we0m/04 sin(4-)

La forza elettromotrice indotta si trova soltanto sul lato AB perché AC e BC sono perpendicolari

alle linee di forza circolari del campo elettrico. Quindi

|<= − <?| = 2w/ ='(

12e0m/04 sin(4-)