UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIADEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Matematica II Pauta Certamen GLOBALLunes 15 de Diciembre 2008

1. Sea p > 0, sin calcular el lmite, determine si el siguiente lmite existe

lmn

(1

(p+1)(p+2) +1

(p+2)(p+3) + . . .+1

(n+p)(n+p+1)

)Desarrollo:

lmn

(1

(p+1)(p+2) +1

(p+2)(p+3) + . . .+1

(n+p)(n+p+1)

)= lm

n

nk=1

1(p+ k)(p+ k + 1)

Por otro lado,kk=1

1(p+ n)(p+ k + 1)

=nk=1

(1

k + p 1k + p+ 1

)=

11 + p

1n+ 1 + p

luego,

lmn

nk=1

1(p+ k)(p+ k + 1)

=1

1 + p

2. a) Sean V = {f C[0, 1]/ 10 f(x)dx = 0} y W = {f C[0, 1]/f(x) = f

2(x)}, dossubespacios vectoriales, determine la dimension de V WDesarrollo:Sea f V W, luego, f(x) = f2(x) 0, x [0, 1] y

10 f(x)dx = 0 f 0, por

tanto, V W = {0}, de donde, la dimension es cerob) Calcular la longitud del arco de la parte de la parabola r = asec2( 2) cortada por la

recta vertical que pasa por el polo.Desarrollo:r = a sec2 ( 2)

drd = a sec

2 ( 2) tan(2 )

r2 + (drd )

2 = a sec3 ( 2), luego,

L =

2

2

r2 +

(drd

)2d =

2

2a sec3

(2

)d = a[sec( 2) tan(

2)ln | sec

2 + tan

2 |]2

2

luego, L = a(2

2 + ln(3 2

2))

3. a) Calcule la siguiente integral 1

0

x1 + x4

dx

Desarrollo:Sea u = x2 du = 2xdx, si x = 0 u = 0 y si x = 1 u = 1, luego, 10

x1+x4

dx = 12 10

du1+u2

, ahora, si u = tan z, entonces, du = sec2 (z)dz, si u = 0 z = 0 y si u = 1 z = 4 , con lo que obtenemos: 10

du1+u2

=

40 sec (z)dz = ln | sec (z) + tan (z)|

40

= ln (

2 + 1), por lo tanto: 10

x1+x4

dx = 12 ln (

2 + 1)

b) Encuentre una funcion continua definida para cualquier x [4,[ de modo que elarea encerrada por ella y el eje x sea divergente, pero el volumen cuando la mismafuncion gira en torno al eje x sea convergente. De la funcion y verifique su afirma-cion.

Desarrollo:Sea f(x) = 1x definida en [4,[, para la que tenemos:

1) A =4

dxx = lma

a4dxx = lma(ln a ln 4), luego, el area A, diverge.

2) V =4

x2dx = lm

a

a4

x2dx = lm

axa4

= lma

4

1a =

4 , es decir, el

volumen converge.

4. Dada la sucesion de numeros reales (an)nN cuyo termino general esta definido por laformula an = 4n + (1)n, n N. Se define la serie de potencias

n=0

an xn

a) Compruebe que su radio de convergencia es 14Desarrollo:r = lm

n

anan+1 = lmn 4n+(1)n4n+1+(1)n+1 = lmn 1+( 14 )n4( 14 )n = 14b) Analice la convergencia de la serie en 14 y en

14

Desarrollo:Para x = 14

n=0(4n+(1)n) (1)

n

4n =

n=0((1)n+14n ), que por el Criterio del Termino General

diverge ya que lmn

((1)n + 14n ) No Existe.Para x = 14

n=0(4n + (1)n) 14n =

n=0(1 +

(1)n4n ), que por el Criterio del Termino General

diverge ya que lmn

(1 + (14)n) = 1 6= 0

c) Descomponiendo la serie como suma de series geometrica, compruebe que para to-

do x tal que 14 < x