Unità 29

Sommario• Simulazione Monte Carlo

• Simulazione di eventi rari• Importance sampling

• Calcolo di integrali

Bibliografia[Bel] 5.1, 5.2

[Ros] --

[Pap] --1

Problema originario

• Sia dato un evento . Qual è la probabilità di questo evento?

• Potremmo ripetere tante volte l’esperimento casuale in maniera indipendente, e registrare tutte le volte che si verifica l’evento

• Effettuo n prove , dove :

• Per la legge dei grandi numeri

Simulazione Monte Carlo

• Abbiamo imparato a generare esperimenti aleatori con un calcolatore

• Possiamo calcolare (stimare) qualsiasi statistica• Es: media campionaria, prob. di un evento A

• Sia g(X) una qualunque statistica della v.a. X. Stima di

tramite media campionaria:

dove sono dei campioni indipendenti generati da

• Legge dei grandi numeri:

Simulazione Monte Carlo

• Sia A un qualsiasi evento associato ad un esperimento aleatorio.

• Variabile aleatoria ausiliaria

dove

• Stima di Pr(A) tramite media campionaria:

dove sono dei campioni indipendenti generati da

• Legge dei grandi numeri:

Difficoltà nello stimare eventi rari

• Le stime migliorano al crescere del numero di prove n• Errore relativo nelle stima di Pr(A):

• Stimare eventi rari, cioè , diventa dispendioso

• È possibile ridurre n, senza alzare l’errore relativo?

Importance sampling

• È possibile ridurre n, senza alzare l’errore relativo? • Idea: devo fare in modo di aumentare Pr(A)

• Modifico l’esperimento aleatorio tale da rendere l’evento A più frequente

• Sia la ddp dell’esperimento aleatorio originale, e la ddp del nuovo esperimento tale che

Importance sampling

• Stima di Pr(A):

dove sono dei campioni indipendenti generati da

• Se si sceglie tale che A accade più spesso rispetto all’esperimento originale, allora si possono risparmiare molte prove, a pari qualità della stima

Esempio: stima della coda di una Gaussiana

• Sia , vogliamo una stima Monte Carlo di

• È una probabilità piccola:

• Per avere un errore relativo di stima pari a servono

campioni generati da Z

Esempio: stima della coda di una Gaussiana

• Modifichiamo la distribuzione da cui campionare:

• Stimatore importance sampling di :

• Con il nuovo modello l’evento accade molto frequentemente:

• Stimare con Matlab l’errore relativo al variare di n. Quanti campioni servono per avere un errore relativo di ?

Importance sampling

• Vantaggi• Metodo di facile applicazione

• Può abbassare di molto la varianza della stima, a pari n

• Oppure, può abbassare di molto n, a pari varianza della stima

• Svantaggi• Bisogna trovare una ddp da cui è semplice campionare

• Bisogna trovare una ddp per cui l’evento A accada più spesso

Calcolo di integrali

• Problema: calcolo di un integrale difficile da valutare• Funzioni integrali che non hanno una forma chiusa

• Integrali multidimensionali

• Idea: usare una stima Monte Carlo dell’integrale

• Stima di a media campionaria:

dove sono campioni generati da

Esempio: stima di

• L’area colorata in figura vale

• Si può stimare l’area colorata :• Lanciare punti casuali nel quadrato

• Contare quelli che cadono dentro l’area

• Algoritmo da ripetere n volte:1. Genero punto di coordinate , con e

2. Il punto cade in se

0 1

1

Esempio: forma chiusa non nota

• Si vuole valutare

• Non si riesce a integrare in forma chiusa con funzioni elementari

• Si può valutare numericamente con Monte Carlo

• Per semplicità, usiamo un generatore di numeri casuali

• Algoritmo: genero da una ddp e valuto