• Un evento si dice casuale, o aleatorio, se il suo verificarsi dipende esclusivamente dal caso.

• La probabilità matematica p di un evento aleatorio è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli f e il numero di tutti i casi ugualmente possibili n:

n

fp

• La probabilità matematica p (E) di un evento E qualsiasi è sempre:

1

1)(2

1

0)(

p

Ep

Ep evento impossibile

evento probabile

evento certo

Due eventi casuali E1 ed E2 possono essere:

• incompatibili, quando il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro, ovvero se è impossibile che si verifichino entrambi contemporaneamente; può anche accadere che nessuno dei due si verifichi;

• compatibili, quando il verificarsi dell’uno non esclude il verificarsi dell’altro, ovvero se è possibile che si verificano entrambi contemporaneamente;

• complementari, se sono tale che il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro, ma uno dei due si verificherà certamente.

A volte l’evento può essere composto di due o più eventi, per esempio il lancio di due dadi, l’estrazione di due o più numeri. Si parla allora di eventi composti e la relativa probabilità è detta probabilità composta.

Lancio di una moneta

T C

(C,C) (C,T) (T,T) (T,C)

2

1)( 1 Ep

E1:”esce testa (T)” E2:”esce croce (C)”

2

1)( 2 Ep

2

1)( 1 Ep +

2

1)( 2 Ep = 1

Lancio di due monete

Nel lancio di due monete deduciamo che:

• i casi possibili sono 4;

• Il caso favorevole E(T,T) è 1;

• La probabilità dell’evento E(T,T) è p(E) = ¼.

Consideriamo un sacchetto con 2 palline rosse e 1 verde, un altro sacchetto 2 rosse e 2 verdi, tutte uguali per forma e dimensione.

Estraendo a caso una pallina da ogni sacchetto, qual è la probabilità dell’evento E “escono due palline rosse”?

Indichiamo l’evento che vogliamo considerare E( , )

Rappresentiamo i casi che si possono verificare con un grafo ad albero.

L’osservazione del grafo ci dice che i casi possibili sono 12 e i casi favorevoli sono 4 , quindi avremo:

3

1

12

4)( Ep

Possiamo chiederci qual è l’evento più probabile fra:

• E: “escono due palline rosse” E( )

• E1: “escono due palline verdi” E1 ( )

• E2: “escono una pallina rossa e una verde indipendentemente dall’ordine” E2 ( )

3

1

12

4)( Ep

6

1

12

2)( 1 Ep

2

1

12

6)( 2 Ep

L’evento più probabile è l’evento E2.

Negli esempi che abbiamo visto gli eventi di cui ci siamo interessati, cioè E(T,T) ed E( , ), vengono chiamati eventi composti, in quanto ciascuno di essi è il risultato di due eventi, detti eventi semplici, indipendenti fra loro.

L’evento composto E(T,T) è quindi il risultato dei due eventi semplici E1(T), E2(T) di cui sappiamo che:

2

1)(

2

1)( 21 EpeEp

Confrontiamo la probabilità di E, , con queste due

probabilità: constatiamo che p(E) è data dal prodotto p(E1) x p(E2) 4

1)( Ep

La probabilità di un evento E, composto da due eventi semplici indipendenti fra loro E1 ed E2, è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi (regola della probabilità composta).

Consideriamo adesso la probabilità di un evento composto da due eventi semplici dipendenti tra loro.

Per esempio, da un sacchetto contenente 5 biglie rosse e 10 biglie nere estraiamo successivamente due biglie, senza rimettere la prima nel sacchetto.

Vogliamo calcolare la probabilità che le biglie estratte siano entrambe rosse.

L’evento che vogliamo considerare E(R,R) è un evento composto da due eventi semplici dipendenti: il verificarsi del primo modifica infatti la probabilità del secondo evento, perché nella seconda estrazione è variato il numero totale dei casi possibili e dei casi favorevoli.

Calcoliamo quindi la probabilità composta dei due eventi semplici dipendenti, considerando che:

• alla prima estrazione i casi possibili sono 15 e i casi favorevoli sono 5, per cui:

• Alla seconda estrazione, supposto di avere estratto la biglia rossa alla prima estrazione, i casi possibili sono 14 e i casi favorevoli sono 4, per cui:

3

1

15

5)( 1 Ep

7

2

14

4)( 2 Ep

Per la legge della probabilità composta, avremo:

21

2

7

2

3

1)()()( 21 EpEpEp

La probabilità di un evento E, composto da due eventi semplici dipendenti fra loro E1 ed E2, è data dal prodotto della probabilità del primo evento per la probabilità del secondo evento, supponendo che si sia verificato il primo.

Lanciamo due monete e consideriamo la probabilità dei casi che si possono presentare: (T,T), (T,C), (C,T) e (C,C).

T C

T TT TC

C CT CC

2°

lan

cio

2ª

Mo

net

a

1° lancio

1ª moneta

1. Con una tabella a doppia entrata, dove in riga indicheremo le possibilità del lancio della prima moneta e in colonna le possibilità del lancio della seconda moneta.

2. Completando gli incroci avremo i seguenti casi:

4

1),(

4

1),(

4

1),(

4

1),( CCpTCpCTpTTp

2. Rappresentiamo lo stesso esempio con un grafo ad albero:

T

T C

C

C

T

T

T T T C C C C

1ª m

on

eta

(o la

nci

o)

2ª m

on

eta

(o la

nci

o)

Anche con il grafo ad albero è immediata la valutazione dei vari casi possibili.

Secondo il concetto di probabilità classica, la probabilità matematica di un evento aleatorio, come abbiamo visto, è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero di tutti i casi ugualmente possibili. Per esempio, la probabilità di ottenere 2 nel lancio di un dado è 1/6 perché 1 è il caso favorevole e 6 sono tutti i casi ugualmente possibili.

Secondo il concetto di probabilità frequentista, “la probabilità è la frequenza relativa dell’evento quando il numero di prove è estremamente grande, infinito”. L’impossibilità di ripetere le prove all’infinito, o di ripeterle sempre nelle stesse condizioni, ha messo in crisi anche questa definizione di probabilità.

Il tentativo di superare le critiche alla concezione classica e a quella frequentista della probabilità ha portato alla definizione di probabilità soggettivista o soggettiva. Secondo tale interpretazione “la probabilità di un evento aleatorio è il grado di fiducia che una persona, in base alle sue conoscenze, ha nel verificarsi dell’evento in questione”. Una definizione ampiamente criticata perché, come puoi capire anche tu, non è per niente oggettiva ma dipende proprio da un’intuizione di ciascuno di noi nel valutare in un certo modo e in un dato momento un evento.

In conclusione possiamo affermare che, le tre definizioni concordano su un punto: la probabilità di un evento è la misura della sua incertezza, ed è 0 se l’evento è impossibile, 1 se è certo. E negli altri casi?

Valuteremo l’evento e applicheremo una delle tre probabilità, fidandoci anche del nostro intuito.