1

Un percorso per la ricostruzione

della

relazione con la matematica(*) Parte prima

Manuela Moscucci

Dipartimento di Scienze Matematiche e Informatiche

’R. Magari’ – Università degli Studi di Siena

Abstract .

I sistemi di convinzioni, correlati alla matematica, rivestono un

ruolo fondamentale nella qualità dell’apprendimento della

disciplina e, in generale, nella qualità della ‘relazione’ che una

persona instaura con la disciplina.

Nella prima parte del presente lavoro viene considerata

l’opportunità di ristrutturare tale relazione prima di iniziare

qualunque percorso di insegnamento/ apprendimento riguardante

la matematica o l’educazione matematica.

Nella seconda parte viene presentato un percorso didattico

finalizzato alla ristrutturazione della relazione di una persona con

la matematica, incentrato sull’acquisizione della consapevolezza di

alcuni sistemi di convinzioni e sulla rielaborazione di convinzioni

fondamentali.

Belief systems, regarding mathematics, have great importance for

the quality of the learning of mathematics and, in general, for the

quality of the ‘relationship’ that a person establishes with

mathematics.

The first part of the paper deals with the opportunity of

restructuring such relationship before any teaching/learning

activity concerning mathematics or mathematics education.

In the second part the author presents a pattern of activities aimed

at restructuring such relationship, which is founded on acquiring

awareness of some belief systems and on reworking some

important beliefs. *Pubblicato su “L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate”, 2008.

2

Introduzione

“Io non sono portata per la matematica ed è inutile che mi ci

impegni”. Questa è l’affermazione di Elisa1, una quattordicenne

che non va molto d’accordo con la matematica, anzi diciamo pure

che Elisa desidererebbe il divorzio dalla matematica, ma l’obbligo

scolastico non glielo consente ed allora lei ha optato per la

separazione in casa, pardon a scuola. Elisa esprime in questo modo

la sua rassegnazione ad uno stato di fatto sul quale la ragazza crede

di non avere alcun potere di intervento. Lei è costretta a sopportare

la presenza scomoda di questa disciplina per tre ore alla settimana.

Ma non è stato sempre così. Nei primi anni della scuola elementare

Elisa si divertiva a fare matematica ed otteneva sempre buoni voti.

“La mia maestra ci portava sempre un gioco nuovo da fare quando

si faceva matematica”. A quarta elementare avvenne il primo

litigio: “...la maestra spiegò le frazioni…sembrava che tutto fosse

divertente… torte da tagliare, tavolette di cioccolata da dividere,

poi…ma non mi ricordo quando, si cominciarono a fare le

operazioni con le frazioni e da allora non c’ho capito più niente”.

La relazione tra Elisa e la matematica è andata avanti per altri

quattro anni senza grossi scossoni, ma senza alcun entusiasmo. La

rottura è avvenuta in terza media. “Non bastava la matematica a

rompere, l’anno scorso [ndr: terza media] si cominciò a fare anche

algebra…e, come dice la parola, non si capisce niente!”

La relazione inizia adesso ad essere fonte di sofferenza per la

ragazza, soprattutto perché Elisa dice di non essere tagliata per lo

studio in generale, di non essere abbastanza dotata ; per questo

motivo, Elisa ha deciso di proseguire gli studi in una scuola dove

“…si studia poco… e, soprattutto, c’è poca matematica”. La

riflessione sulla scelta della scuola ha condotto Elisa a pensare che

forse anche nelle scelte successive, e nelle opportunità di lavoro,

1. Il nome è di fantasia.

3

questo fattore dovrà essere preso in considerazione, ma, è stato un

pensiero fugace… a quattordici anni ciò che avverrà tra cinque anni

sembra lontano anni luce!

Torniamo all’affermazione di Elisa sulla sua predisposizione allo

studio della matematica.

Molte sono le considerazioni che potremmo fare di fronte a questa

frase, ma limitiamoci, per il momento, a due.

La prima è che la frase di Elisa può essere interpretata da un

insegnante attento e sensibile al problema delle convinzioni sulla

matematica dei propri studenti, come un indizio del fatto che la

ragazza cerca di giustificare la scarsa qualità delle sue competenze

in matematica, attribuendo le sue carenze ad un fattore fuori dal suo

controllo. Questa convinzione è senz’altro rovinosa, perché è

spesso accompagnata da un debole impegno nelle attività della

disciplina. La seconda è che tale affermazione rispecchia

manifestamente luoghi comuni, molto diffusi nella nostra società

che riguardano questa materia: ‘per riuscire in matematica occorre

essere dotati di una particolare predisposizione’, ‘la predisposizione

all’apprendimento della matematica ha carattere familiare’, ‘i

margini di intervento per modificare la propria disposizione

all’apprendimento della matematica sono ridotti’.

Circa la relazione di Elisa con la matematica possiamo dire che

essa ha avuto una evoluzione esemplare: molti ragazzi hanno,

purtroppo, storie simili.

Ma che cosa si intende con relazione con la matematica? E quando

una relazione è positiva? Perché si instaura una relazione non

positiva? E soprattutto, è possibile intervenire per ricostruire un

legame positivo con la matematica? Chi può intervenire? Chi deve

intervenire? Quando intervenire? Come intervenire?

Questo lavoro si propone, a partire da ipotesi di risposte alle

domande precedenti, di descrivere un percorso di ristrutturazione

della relazione di una persona con la matematica, sia che la persona

sia uno studente, sia un futuro insegnante di matematica, sia un

insegnante di matematica in servizio.

4

La relazione con la matematica Durante i molti anni di lavoro con studenti di tutte le età definiti ‘in

difficoltà’ dai loro insegnanti di matematica è emerso che essi

manifestano la tendenza a personificare la matematica. Questo dato

è sostenuto non solo dai disegni sulla matematica (esempi di

rappresentazione incontrati sono una vecchia strega, una anziana e

arcigna signora vestita di nero, addirittura una donna impiccata)2,

ma soprattutto dalle interviste, dai questionari e da ‘temi’ sulla

matematica, nei quali spesso gli studenti si sono riferiti alla

matematica come ci si riferisce ad una persona (“Lei mi perseguita

da tanti anni…”, “Lei è un’ossessione”, “E’ cattiva e malvagia”,

“E’ una strega”). Peraltro, la tendenza alla personificazione della

matematica non è esclusiva degli studenti ‘in difficoltà’. Infatti,

anche studenti senza problemi di profitto in matematica –tra questi,

pure studenti di Scuole di Specializzazione per l’insegnamento

superiore, ovvero futuri insegnanti- spesso hanno parlato della

matematica come di una persona: “Io sono sempre andato

d’accordo con la matematica”, “Lei, per me, ha sempre avuto un

fascino irresistibile”, “Lei non mi ha mai tradito”.

Dall’osservazione della particolarità di certe espressioni sulla

matematica, è nata l’idea di trattare il legame di una persona con la

matematica come una relazione ‘interpersonale’, cioè tra persone,

una relazione, in questo caso, tra la persona stessa e la ‘persona

immaginaria’ matematica. In questa ottica, parliamo di ‘qualità’

della relazione, in analogia a quanto avviene per le relazioni

interpersonali ed abbiamo cercato di mettere a punto una

2. Si noti che di fronte a simili rappresentazioni, alla richiesta , agli stessi studenti, di

rappresentare altre discipline quali Lettere o Scienze, si avevano raffigurazioni non

personificate, del tipo una pila di libri per Lettere, un alambicco per Scienze o altre

simili.

5

metodologia di ricostruzione/ristrutturazione3 della relazione,

ispirandoci a tecniche di rielaborazione psicologica.

Innanzitutto, precisiamo quando riteniamo che una relazione con la

matematica sia di buona qualità, ovvero che sia proficua per la

persona: diciamo che la relazione di una persona con la

matematica è ‘positiva’ se consente alla persona di fruire della

disciplina come mezzo per la promozione delle potenzialità

della persona stessa. Una disciplina acquista questo ruolo se non è

intesa solo come ‘fine’, ovvero come ‘bagaglio di conoscenze da

acquisire’ e come ambiente nel quale esercitare le proprie capacità

e abilità, ma è utilizzata nella sua complessità e nei suoi vari ambiti

esperenziali in modo da consentire alla persona di mettere in gioco

le proprie potenzialità, corroborarle, trasformarle in altre o

consentire ad altre di emergere: potremmo, forse, dire che

intendiamo la disciplina come ‘mezzo’, come una ‘palestra’, nella

quale si pratica ‘ginnastica mentale’. Per quanto concerne la

disciplina matematica, l’ambito di eccellenza che si configura come

‘palestra’ è quello nel quale si lavora intorno a situazioni

problematiche o a problemi: non solo problem solving, ma anche

problem posing, talking, finding4. Possono essere problemi che

riguardano aritmetica, algebra, geometria, per esempio, ma anche

cosiddetti ‘problemi di logica’, ovvero problemi che non trattano

oggetti o argomenti di matematica scolastica (né, ovviamente, di

matematica ‘superiore’!) e nemmeno richiedono strumenti

specifici della matematica per essere risolti.

Una prima conseguenza della definizione data di relazione positiva

è che una tale relazione non può sussistere contemporaneamente a

stati emozionali negativi -ansia, paura, frustrazione, senso di

inadeguatezza,…- perché in presenza di tali stati d’animo la

3. Parleremo indifferentemente di “ricostruire” o “ristrutturare”. In realtà, si tratta di una

“ricostruzione” nei casi nei quali la relazione ha una connotazione decisamente negativa,

e, più semplicemente, di una “ristrutturazione” in tutti gli altri casi.

4. .Per una definizione intuitiva, si può consultare il seguente indirizzo web:

http://it.wikipedia.org/wiki/Problem_finding

6

persona non è in grado di fruire pienamente delle proprie risorse

cognitive. E’ il caso di relazioni che sono fonte di disagio

psicologico o addirittura motivo di sofferenza: lo studente può

rispondere in modi diversi, più attivi e reattivi o più dimessi e

soccombenti, ma in tutti i casi il risultato è che egli non è in grado

di utilizzare né le proprie risorse, né la forza propulsiva che le

attività matematiche possono produrre sullo sviluppo della

persona.

Quindi, sono da considerarsi ‘non positive’ tutte le relazioni

accompagnate da qualunque tipo di disagio riconducibile in

qualche modo al rapporto tra la persona e la disciplina.

Una seconda conseguenza della definizione è che la qualità della

relazione è correlata anche alla visione della matematica: per

esempio, chi ‘vede’ la matematica solo come calcolo e come

insieme di regole da imparare a memoria ha stabilito una relazione

non con la matematica nel suo complesso e, pertanto, ha una

relazione con la disciplina che non può essere definita positiva.

Purtroppo, tale visione distorta della matematica è molto diffusa

non solo tra gli studenti, ma anche tra insegnanti di matematica in

servizio o in formazione, quasi sempre con un curriculum di studi

non specifico in matematica, per esempio, insegnanti di scuola

primaria o secondaria con laurea non in matematica.

L’esperienza maturata con studenti di scuole secondarie di primo e

secondo grado definiti dai loro insegnanti ‘in difficoltà’, con

studenti universitari, con insegnanti in servizio o in formazione ci

ha indotto a ritenere che in tutti i casi, nei quali una persona,

senza una cultura specifica nella disciplina, debba o intenda,

per qualunque motivo, interagire con la matematica è

opportuno provvedere alla ricostruzione/ristrutturazione della

sua relazione con la disciplina. Il lavoro di ristrutturazione,

infatti, si è dimostrato utile, per gli studenti, ad uscire dallo stato di

difficoltà, per gli insegnanti, ad acquisire consapevolezza

dell’importanza e delle implicazioni del proprio ruolo.

7

E’ necessario, prima di tutto, analizzare il rapporto tra qualità della

relazione con la matematica e ‘difficoltà in matematica’.

Nella scuola, solitamente, è definito in difficoltà uno studente che

ha un profitto insufficiente in matematica prolungato nel tempo e

non limitato a episodi isolati. In questo contesto, diciamo che uno

studente con tale tipo di difficoltà è in difficoltà scolastica in

matematica.

Mentre, definiamo uno studente, e in generale una persona, in

difficoltà in matematica se ha una relazione non positiva con la

matematica e, nel caso di uno studente, indipendentemente dal

suo profitto scolastico. Il legame tra qualità non positiva della relazione con la matematica

e difficoltà scolastica nella disciplina, ovvero profitto

insufficiente5, appare complesso.

Infatti, per esempio, al contrario di quanto ci si potrebbe

ragionevolmente aspettare, le difficoltà scolastiche in matematica

non sono accompagnate nella totalità dei casi da una relazione non

positiva con la matematica: tra i futuri insegnanti di matematica

che, in base a interviste effettuate, hanno sempre avuto una

relazione positiva con la disciplina, ne abbiamo trovati alcuni che

hanno attraversato periodi, anche lunghi, di ‘rendimento

scolastico’ insufficiente. Si tratta senz’altro di casi rari e dalla loro

analisi risulta che la qualità della relazione era talmente buona che

il legame ha resistito anche a prove protratte nel tempo e difficili

da superare. In quei casi, il profitto insufficiente, cioè la difficoltà

scolastica in matematica, era forse imputabile ad una relazione non

positiva con la matematica non degli allievi, ma dei loro insegnanti.

Ci sono poi studenti che hanno un buon profitto, a volte anche

ottimo, ma che non hanno una relazione positiva con la

matematica. Per esempio, ciò si verifica quando uno studente ha

instaurato un legame, spesso scolasticamente proficuo, non con la

5. Parleremo indifferentemente di difficoltà scolastica in matematica o di profitto

insufficiente in matematica, intendendo quest’ultimo, secondo la definizione di difficoltà

scolastica, non episodico e protratto nel tempo.

8

matematica, ma con il calcolo aritmetico-algebrico, anzi con la

manipolazione aritmetico-algebrica, che egli identifica con la

matematica. Quanto spesso è capitato di sentire uno studente che

dice: “Professoressa, domani portiamo geometria o matematica?6!

Questo tipo di relazione, come abbiamo sottolineato in precedenza,

secondo la definizione data, non è positivo, anche se è un legame

che non suscita sentimenti di disagio.

L’analisi dei casi di studenti con profitto insufficiente non dimostra

che la relazione non positiva si struttura necessariamente dopo un

periodo o durante un periodo di profitto insufficiente, come

sembrerebbe naturale dedurre, ma può, seppure raramente,

accadere l’inverso. E’ questo il caso, per fare un esempio, di una

ragazza che aveva strutturato una relazione non positiva con la

matematica a causa di un rapporto molto conflittuale con

l’insegnante della scuola elementare, anche se in tale periodo aveva

sempre ottenuto un buon profitto scolastico. In prima superiore la

ragazza ha raccontato che, alla scuola media, aveva abbandonato

completamente lo studio della disciplina, spiegando che “la

matematica fa perdere il cervello a chi ci si confonde troppo”, e ha

iniziato, da allora, ad avere pessimi voti di profitto. Nel lavoro

sulle difficoltà in matematica abbiamo incontrato molti ragazzi con

relazioni non positive con la matematica con storie simili alla

precedente che ci hanno indotto a formulare l’ipotesi che un fattore

determinante per la qualità della relazione di uno studente con la

matematica sia la qualità della relazione degli insegnanti di

matematica incontrati dagli studenti durante la loro storia. Possono

essere influenti anche la qualità della relazione di altre persone

conosciute dai ragazzi, come genitori, fratelli, parenti in genere o

amici, ma certamente gli insegnanti, secondo la nostra esperienza,

sono le persone ‘fisiologicamente’ implicate nella costruzione della

relazione e, quindi, nella sua qualità.

6. Esistono anche siti internet di ‘aiuto’ agli studenti che nella loro offerta includono

‘Matematica e Geometria’! (Es.www.lagirandola.it/lg_directory.asp?Cat=8)

9

Il caso, comunque, più diffuso, per quanto riguarda il legame tra

relazione ‘non positiva’ con la matematica e ‘difficoltà scolastiche’

nella disciplina, è senz’altro quello di studenti con profitto

insufficiente e con relazione non positiva con la matematica.

Il problema delle difficoltà scolastiche in matematica merita

particolare attenzione in ragione della sua diffusione e delle

implicazioni sociali che può avere. La difficoltà scolastica in

matematica può rappresentare una discriminante sociale. Per averne

un’idea, si possono distinguere varie tipologie di ragazzi con tale

problema:

ragazzi che compensano questa carenza con un buon

profitto nelle altre materie o discipline e che orientano, con

soddisfazione, in campo umanistico le loro scelte, prima

scolastiche e poi universitarie

ragazzi con interessi quasi esclusivi nel settore tecnico-

scientifico e con un sostegno forte da parte della famiglia,

sostegno in grado di fornire l’aiuto adeguato ad affrontare

le difficoltà incontrate nel percorso scolastico e a

rimuovere gli ostacoli al proseguimento degli studi

ragazzi con interessi quasi esclusivi nel settore tecnico-

scientifico senza un sostegno da parte della famiglia, tale

da consentire loro di affrontare e superare le difficoltà.

Sono questi ultimi, ovviamente, i soggetti destinati a subire le più

gravi conseguenze dall’avere questo tipo di problema scolastico.

Solitamente, infatti, la loro vita scolastica è fortemente

condizionata da questo fattore. Può verificarsi in certi casi

addirittura che essi rinuncino all’iscrizione a certi tipi di scuola

secondaria con programmi di matematica da loro ritenuti troppo

impegnativi. Nei casi estremi, le difficoltà scolastiche in

matematica possono addirittura costituire un fattore endogeno di

dispersione scolastica (Moscucci et al., 2005), cioè una causa di

dispersione interna alla istituzione scolastica stessa.

10

In tempi successivi, il problema delle difficoltà scolastiche in

matematica può avere ripercussioni sulla scelta del corso di laurea.

Certamente questo problema non è l’unica causa della forte

graduale diminuzione, registrata negli anni, delle iscrizioni ai corsi

di laurea di tipo scientifico. E’ ragionevole ritenere, comunque, che

ne sia una concausa e come tale occorre predisporre ogni misura

conosciuta per contrastare l’insorgere e il consolidarsi del

problema, fin dalle fasi iniziali.

Molti sono gli studi sulle difficoltà scolastiche in matematica nei

quali si analizzano qualità, grado, genesi delle difficoltà. Tali studi

si collocano nell’ambito della ricerca scientifica sull’affettività in

matematica e oggi sono disponibili anche testi monografici sul

tema (Zan, 2007).

Gli insegnanti possono trovare in queste opere una ricchezza di

stimoli alla riflessione, una occasione di acquisizione di strumenti

per l’interpretazione delle condotte scolastiche degli studenti e un

sostegno nella ricerca di mezzi operativi per contrastare le

situazioni più deteriorate. Tuttavia, è carente, nella letteratura

specializzata sull’affettività in matematica, l’offerta di strumenti di

intervento specifico, semplicemente e direttamente utilizzabili dagli

insegnanti per intraprendere azioni finalizzate al superamento delle

difficoltà scolastiche. D’altra parte sono proprio gli insegnanti che

si trovano nella pratica a dover affrontare il problema delle

difficoltà scolastiche.

Nella nostra esperienza di lavoro con studenti in difficoltà

scolastica in matematica abbiamo potuto osservare che un lavoro di

ristrutturazione della relazione con la matematica può assumere un

ruolo importante anche nel superamento delle difficoltà scolastiche.

Questo ci consente anche di chiarire la questione della diagnosi

della qualità della relazione con la matematica. Infatti, il compito

dell’insegnante non è tanto quello di ‘produrre un’analisi della

relazione’, ma di predisporre strumenti di autoanalisi che si

evolvono in strumenti di ricostruzione o di ristrutturazione. In

realtà, a fronte di non pochi casi di relazioni veramente disastrate,

11

nelle quali è necessario un intervento di totale ricostruzione, è

frequentissimo il caso di relazioni che richiedono solo un

intervento di ristrutturazione.

Ecco che allora una attività che conduca ad una riflessione anche

sulla matematica, come disciplina, e sul suo ruolo educativo, è non

solo un arricchimento culturale, ma anche un apporto cospicuo alla

costruzione di significatività dello studio della matematica, un

contributo al quale attingere per sostenere la motivazione

all’impegno nel lavoro.

Molti insegnanti affrontano tali temi nel corso del loro lavoro in

classe, ma molto spesso in modo casuale, in intervalli tra un’attività

e l’altra, senza attribuire a tali ‘intermezzi’ la dignità di lavoro

scolastico. E’ necessario, invece, riconoscere appieno la valenza

educativa di tale lavoro e conferire ad esso un ruolo ben definito

all’interno di una struttura organica.

Il lavoro qui presentato va proprio in questa direzione e intende

venire incontro alla necessità degli insegnanti di avere a

disposizione uno strumento operativo di facile gestione, da inserire

nella prassi didattica, che consenta loro di intervenire per

ristrutturare la relazione dei loro studenti con la matematica.

Dal contesto teorico alla pratica didattica

L’affettività di una persona verso la matematica viene descritta e

analizzata, fin dai primi anni ‘90 mediante i costrutti, convinzioni,

emozioni e atteggiamenti, individuati da McLeod (1992), e valori,

costrutto aggiunto successivamente da De Bellis e Goldin (1999).

In questo lavoro, sono di particolare interesse le convinzioni, per

motivi che saranno chiariti nel seguito.

L’importanza delle convinzioni nei processi di apprendimento della

matematica è largamente affermata dalla grande varietà di studi

sull’argomento presenti nella letteratura specializzata in

educazione matematica. Negli ultimi anni sono stati dedicati al

12

tema delle convinzioni sulla matematica convegni7

e pubblicazioni

monografiche (Leder, Pekhonen & Törner, 2002; Zan, 2000), con

la finalità di approfondire il dibattito tra gli studiosi interessati alla

soluzione dei ‘problemi aperti’ del settore. Il primo problema

aperto sulle convinzioni è relativo proprio alla definizione di tale

costrutto. Taluni sottolineano la natura cognitiva delle convinzioni

(Thompson, 1992), altri quella ‘ibrida’ cognitivo-emotive

(McLeod, 1985, 1992), altri ancora quella metacognitiva

(Kilpatrick, 1985; Schoenfeld, 1987). Il problema della definizione

delle convinzioni pare, quindi, identificarsi con quello dell’analisi

della natura delle convinzioni. Più recentemente, sono comunque

apparsi studi approfonditi delle varie analisi del concetto che

mettono in luce la convergenza della maggior parte degli esperti del

settore sulla coesistenza nel costrutto di fattori cognitivi e fattori

emotivi (Furinghetti & Pehkonen, 1999; 2002). Altri contributi

correlano il problema teorico della definizione del termine

‘convinzione’ al contesto di utilizzo della definizione (McLeod, D.

& McLeod, S., 2002) e sintetizzano affermando che non c’è una

singola definizione corretta del termine ‘convinzione’, ma “diversi

tipi di definizioni, che sono ‘illuminanti’ in situazioni diverse (per

differenti platee e differenti scopi)”. Gli autori chiariscono anche

che “se la finalità è la spiegazione ad un pubblico di non specialisti

è appropriata una definizione informale”. Pertanto, in questo

contesto, assumiamo, dal punto di vista teorico, il termine

‘convinzione’ come una sorta di ente primitivo all’interno della

teoria, dal momento che non esiste una definizione condivisa dai

ricercatori e come definizione informale diciamo che:

“una convinzione è una qualunque conoscenza soggettiva

decisamente radicata” acquisita, come tutte le conoscenze

7. Per esempio, “ Mathematical Beliefs and their Impact on Teaching and

Learning of Mathematics” svolto a Oberwolfach nel 1999 e i convegni del

gruppo europeo MAVI (MAthematical Views), che si incentrano sulle

convinzioni e che si svolgono di volta in volta in località diverse

(vedi: http://www.uni-duisburg.de/FB11/PROJECTS/MAVI/workshops.html)

13

soggettive, attraverso la personale esperienza e, quindi, con

componenti cognitive e con componenti emotive. Dal punto di vista

pragmatico, possiamo considerare ogni particolare convinzione,

come una sorta di assioma - un enunciato che la persona assume

senza chiedersene una dimostrazione-, che una persona fa proprio

in conseguenza della propria esperienza (Ponte, 1994). Tipici

esempi di enunciati del tipo sono: “per riuscire in matematica, a

scuola, occorre avere una particolare predisposizione”, “la

predisposizione all’apprendimento della matematica ha carattere

familiare”, “per riuscire bene in matematica occorre avere

un’ottima memoria”, “la matematica è una materia astratta”…e,

come si può ben notare, c’è un legame stretto con i luoghi comuni

sugli stessi temi.

Uno degli aspetti delle convinzioni maggiormente indagato è la

complessità delle connessioni tra le singole convinzioni coinvolte

nei processi di apprendimento/insegnamento della matematica. La

coesistenza, già rilevata da Green nel 1971, in una persona, di più

convinzioni, correlate in qualche modo, è stata ed è oggetto di

molti approfondimenti. Nel tempo si è affermato il concetto di

sistemi di convinzioni (McLeod, 1985; Pehkonen & Törner, 1996)

ad indicare che esistono insiemi di convinzioni correlate tra loro e

più insiemi riguardanti vari settori legati a loro volta. Tali

complessi legami contribuiscono alla stabilità delle convinzioni nel

loro complesso e nel tempo, seppure anche le singole convinzioni

siano dotate di notevole stabilità, dovuta, essenzialmente, alla

lentezza con la quale esse si formano (McLeod, 1985). D’altra

parte, tale stabilità non deve essere interpretata come inamovibilità

assoluta: le convinzioni, seppure con molta difficoltà, possono

cambiare nel tempo in funzione delle esperienze (Furinghetti &

Pehkonen, 2002).

Il grado di stabilità di un costrutto -emozioni, atteggiamenti,

convinzioni- è in stretta connessione con il problema della sua

modificabilità. Il problema è senz’altro complesso.

14

Le emozioni possono essere molto intense, anche se la loro

presenza nella persona è circoscritta ad un ambito temporale molto

ristretto. Tuttavia, l’intensità di un’emozione, per esempio

negativa, come la paura, può determinare addirittura l’intervento

dell’amigdala8 (LeDoux, 1995), che mette in allerta la persona

quando si trova in situazione analoga a quella nella quale la

persona ha provato l’emozione. In conclusione, le emozioni hanno,

in generale, un ‘tempo di permanenza’ breve nella persona, ma

possono avere effetti molto duraturi. Riguardo alla modificabilità,

un’emozione non si modifica, semmai si possono modificare i suoi

effetti attraverso un lavoro di ‘rielaborazione’.

Per quanto riguarda gli atteggiamenti, i ricercatori si appoggiano

essenzialmente a due definizioni: quella che vede l’atteggiamento

come una disposizione emotiva verso la disciplina con una certa

stabilità nel tempo (per es., McLeod, 1992), e quella cosiddetta

multidimensionale (per es., Leder, 1992), largamente condivisa dei

ricercatori, che vede l’atteggiamento come il risultato dell’agire di

più fattori, come risposte emotive, convinzioni e comportamento

verso la disciplina, dove, tuttavia, non si definisce

‘comportamento’. In sintesi, nella ricerca sull’affettività verso la

matematica, il problema della definizione di atteggiamento appare

analogo a quello relativo alla definizione di convinzione e analoghe

possono essere le conclusioni in proposito. Per gli scopi di questo

lavoro, non interessa tanto una sistemazione teorica del termine,

che può essere assunto anch’esso come termine primitivo. Sono

invece rilevanti i risultati delle ricerche sulla natura degli

atteggiamenti, la loro genesi e le connessioni con gli altri costrutti .

Tali studi sottolineano che gli atteggiamenti si strutturano come

conseguenza delle emozioni e delle convinzioni riguardo la

8. L’amigdala è un’area cerebrale collegata alle reazioni emotive primitive, come è la

paura. L’amigdala interviene, per esempio, quando uno stimolo è molto intenso e

necessita di una reazione estemporanea che non può attendere la mediazione dalla

corteccia prefrontale che analizza e discrimina gli stimoli. Quando per prima interviene

l’amigdala, solo successivamente lo stimolo viene analizzato dalla corteccia prefrontale e

classificato come reale allarme o falso allarme.

15

matematica (Hart, 1989) e, pertanto, la loro modificabilità può

essere ritenuta funzione della modificabilità degli altri due

costrutti. La modificabilità degli atteggiamenti, insieme al fatto che

“i sistemi di convinzioni ne costituiscono la struttura” (Pehkonen

& Törner, 1996), rende le convinzioni un costrutto dal ruolo

fondamentale nella ‘gestione’ dell’affettività di una persona verso

la matematica nel senso che verrà esplicitato di seguito.

Un contributo importante nella ricerca sull’affettività si deve a De

Bellis e Goldin (1997), che hanno introdotto il concetto di meta-

affettività9 da essi ritenuto l’aspetto più importante dell’affettività

(Goldin, 2004). Tale concetto è stato ulteriormente approfondito da

Schlöglmann (2005) che lo ha utilizzato per studiare alcune

strategie di apprendimento della matematica. Tutto questo in

analogia e coerenza con i risultati sulla metacocognizione, descritta

da Hartman (1998) come particolarmente importante per la sua

influenza sull’acquisizione, la memorizzazione e l’applicazione di

ciò che viene appreso.

Riconosciuto il ruolo della meta-affettività, si tratta, da un lato, di

proseguirne l’analisi da un punto di vista teorico e, dall’altro, di

valutarne l’impatto dal punto di vista della pratica didattica. La

ricerca in educazione matematica si differenzia da quella svolta in

altri campi, in quanto, con le dovute cautele, in questo settore è

possibile procedere quasi in simultanea tra ricerca teorica e ricerca

sperimentale, in modo da utilizzare sinergicamente i risultati

provenienti dall’uno o dall’altro settore. D’altra parte, l’invito ai

ricercatori del settore a dedicare risorse sia alla traduzione pratica

dei risultati teorici, sia alla realizzazione di canali di interazione tra

teoria e prassi, giunge da più parti (Burkhardt & Schoenfeld, 2003;

Schoenfeld, 1999), soprattutto a causa dei dati preoccupanti che

emergono da ricerche nazionali e internazionali (per es. TIMSS,

9. Ovvero ‘feelings about feelings’, letteralmente ‘sentimenti sui sentimenti’, ‘percezione

riguardo alla percezione’ (Goldin, 2002), ma non solo: anche sentimenti, sensazioni,

percezioni sulla cognizione dei sentimenti, delle percezioni e monitorizzazione della

affettività.

16

Trends in International Mathematics and Sciences Study) sulla

conoscenza della matematica da parte dei giovani.

Nell’analisi dell’affettività verso la matematica di una persona,

atteggiamenti, emozioni e convinzioni rivestono ruoli diversi in

funzione della loro natura.

Le emozioni riguardano la sfera emotiva della persona e, pertanto,

sono l’elemento più recondito, meno accessibile, più difficilmente

penetrabile e descrivibile da parte di un osservatore.

Gli atteggiamenti, per contro, sono l’elemento più accessibile dei

tre, anche se come conseguenza di emozioni e convinzioni, essi non

sono completamente espliciti, manifesti, poiché constano di

componenti sia emotive che cognitive. Se volessimo trovare una

analogia tra l’affettività di una persona verso la matematica ed una

patologia -qualora si trattasse di un legame non fisiologico- certi

elementi osservabili (per esempio, espressioni, mimica facciale,

postura, sospiri, profonde inspirazioni, sguardi, rossori, pallori e

molti altri.) riferibili in qualche senso agli atteggiamenti si

potrebbero assimilare a sintomi: potremmo allora dire che gli

atteggiamenti, nel loro complesso, e nella loro complessità, hanno

una funzione paragonabile a quella dei sintomi di una patologia.

L’agente eziologico, ovvero la causa della patologia, sono le

emozioni e le convinzioni. Purtroppo, a causa della loro natura, le

emozioni sono di difficile gestione, da parte di persone non in

possesso di strumenti specifici della professione dello psicologo.

In realtà, stiamo parlando della affettività di una persona verso la

matematica e, quindi, nella maggior parte dei casi, della affettività

verso la matematica di uno studente. Pertanto, è un insegnante colui

che, nell’intento di intervenire sulla qualità dell’affettività,

dovrebbe modificare le emozioni, ma un insegnante non è, in

generale, esperto di psicologia. In conclusione, la rimozione diretta

degli effetti delle emozioni negative appare una strada difficilmente

percorribile.

Consideriamo ora il terzo elemento sul quale si struttura

l’affettività verso la matematica, le convinzioni.

17

Le convinzioni, come abbiamo ricordato, hanno sia componenti

emotive che cognitive. In sintesi, possiamo affermare che le

convinzioni costituiscono un legame tra emozione e cognizione,

attraverso il quale è possibile agire direttamente sulle cause

primarie di eventuali problemi di affettività.

Questa loro caratteristica e il fatto che esse sono all’origine,

insieme alle emozioni, degli atteggiamenti verso la matematica,

sono gli elementi che ci hanno indirizzato a ricercare metodologie

di intervento sulla qualità della relazione con la matematica fondate

in larga parte sulla rielaborazione delle convinzioni.

In questa ottica, nel processo di ricostruzione della relazione, viene

attribuito un ruolo determinante all’acquisizione della

consapevolezza della natura dei propri sistemi di convinzioni,

poiché si riconosce nelle convinzioni una causa importante della

degenerazione della relazione (Civitelli,1993).

Ricostruzione della relazione con la matematica

Ricostruire la relazione di una persona -studente o insegnante- con

la matematica può rappresentare un fattore determinante per la

qualità dei processi di insegnamento/apprendimento della

matematica.

In questo lavoro, ci riferiremo essenzialmente al caso della

ricostruzione della relazione con la matematica di uno studente, ma

anticipiamo che il percorso che viene proposto nel seguito è adatto

a qualunque ambito e a qualunque persona di qualunque età e, in

effetti, è stato utilizzato in situazioni sia scolastiche che non

scolastiche, sia con studenti, sia con insegnanti di matematica e

non, sia con soggetti diversamente abili; sia, infine, con persone

che, per motivi diversi, hanno avuto interesse a ricostruire la

relazione. Le differenziazioni –necessarie nell’applicazione e

banalmente intuibili- in funzione dell’ambito e della persona non

coinvolgono la struttura del percorso, ma esclusivamente il grado di

complessità degli elementi utilizzati. Osserviamo inoltre che per

18

ristrutturazione intendiamo ‘avvio alla conversione’, ritenendo che

il processo di trasformazione di una relazione in relazione positiva

non possa certo ritenersi compiuto nell’ambito del percorso.

Abbiamo chiarito che cosa intendiamo per relazione positiva e non

positiva con la matematica, perché si struttura , chi può e chi deve

intervenire per ricostruirla e perché è necessario intervenire. Ma

come intervenire?

Il percorso che presentiamo nel seguito è appunto preposto alla

ristrutturazione della relazione di un persona con la matematica. La

struttura di questo percorso è stata concepita per consentirne

l’inserimento all’inizio di ogni insegnamento di matematica o di

educazione matematica. Infatti, esso si configura come

propedeutico, in quanto ideato per affrontare questioni pregiudiziali

riguardanti l’insegnamento e l’apprendimento della matematica o

della educazione matematica.

Tale percorso (mBSA, meta-Belief Systems Activity (Moscucci,

2007)) è stato sperimentato negli ultimi sette anni in contesti

diversi con persone diverse e, in particolare, con:

1. studenti del primo e secondo anno di un Istituto

professionale

2. studenti universitari frequentanti corsi di Scienze

Matematiche, Statistiche ed Informatiche di un corso di

laurea in Biotecnologie

3. studenti universitari del secondo o terzo anno dei corsi

laurea in Matematica o in Informatica, frequentanti corsi di

Didattica della matematica

4. soggetti adulti diversamente abili in terapia riabilitativa

5. laureati in matematica e non, frequentanti i corsi

dell’Indirizzo FIM (Fisico-Informatico-Matematico) e

dell’Indirizzo SN (Scienze Naturali) della SSIS (Scuola di

Specializzazione per l’Insegnamento Secondario)

6. insegnanti di matematica di scuole primarie e secondarie.

19

I risultati ottenuti dalla utilizzazione del percorso sono

incoraggianti e inducono all’approfondimento e alla divulgazione

della metodologia, con più obiettivi: valutare la valenza pratica del

percorso, analizzare gli elementi componenti il percorso, ipotizzare

e studiare possibili evoluzioni.

Un percorso per la ricostruzione della relazione con la

matematica (mBSA, metaBelief Systems Activity)

I sistemi di convinzioni riguardanti

le facoltà intellettive dell’uomo

l’apprendimento in generale

la didattica in generale

la matematica stessa

l’apprendimento della matematica

la didattica della matematica.

sono scelti come elementi centrali per la ricostruzione di una

relazione positiva con la matematica10

. Talune convinzioni su

questi argomenti possono rendere inefficace qualunque percorso di

apprendimento, in quanto, per esempio, chi è convinto che per

riuscire in matematica occorre una particolare predisposizione e,

nel contempo, ritiene di non esserne dotato, non impegnerà alcuna

energia nel tentativo di riuscire in matematica. Analogamente, un

insegnante di matematica con la stessa convinzione, potrebbe non

cercare alcuna modalità didattica per aiutare quegli studenti,

secondo lui, non sufficientemente dotati. Tale convinzione è spesso

associata a convinzioni sulla qualità delle facoltà intellettive,

ovvero dell’intelligenza della persona. Molti ritengono che

10. Osserviamo che quelli elencati sono i sistemi di convinzioni che vengono

‘esplicitamente’ trattati nel percorso. Alcuni ambiti di convinzioni, notoriamente

importanti, come, per esempio, le convinzioni su di sé, sulla propria efficacia nelle attività

matematiche, non sono trattati direttamente: in questo contesto, vengono trattati

‘implicitamente’, come verrà precisato e giustificato nel seguito.

20

chi riesce bene in matematica è molto intelligente

e da questa affermazione, taluni deducono erroneamente che

chi non riesce bene in matematica non è molto intelligente.

Nel contempo si riscontrano casi di persone che pur avendo una

buona considerazione delle proprie capacità intellettive, dichiarano

di ‘non capire niente di matematica’. Riguardo ai rapporti tra

qualità delle facoltà intellettive e capacità e abilità matematiche

sono molto diffuse convinzioni che non hanno alcun fondamento

scientifico o, addirittura, che sono in contrasto con le attuali

conoscenze scientifiche sull’argomento. “Io quella zona del

cervello dove sta il pallino della matematica ce la devo avere

malata”, ha affermato Claudia11

studentessa di una prima classe di

un Istituto professionale durante un corso di recupero in

matematica.

Non solo. Anche alcune convinzioni sull’apprendimento della

matematica e quali sono le caratteristiche della matematica

scolastica possono rendere molto difficoltoso un approccio

proficuo all’apprendimento della matematica. “A matematica

bisogna ricordarsi tante cose e io non c’ho memoria”, ha risposto

Laura12

alla domanda su quali, secondo lei, erano le cause delle sue

difficoltà in matematica.

Il percorso di ricostruzione della relazione con la matematica,

proposto in questo lavoro, si articola su tre piani:

acquisizione della consapevolezza della natura di taluni

sistemi di convinzioni correlati alla matematica

confronto tra le proprie convinzioni correlate alla

matematica e i risultati delle ricerche e i contributi degli

studi nei settori di riferimento

acquisizione della consapevolezza, durante le attività

chiamate ‘Giochi’, di essere in grado di affrontare

situazioni problematiche e problemi

11. Il nome è di fantasia.

12. Idem.

21

I primi due elementi non sono utilizzati in due momenti diversi,

uno successivo all’altro, ma i tempi d’uso si compenetrano: è

impossibile per un osservatore esterno -ma pure per la persona

stessa- distinguere la fine del primo processo dall’inizio del

secondo, anche se, nella descrizione dell’attività, si opera una tale

distinzione. Tale schematizzazione trova giustificazione nel fatto

che, ad un certo punto dell’attività, chi la organizza riconosce

elementi che dimostrano che il processo di ricostruzione ha preso

avvio e la persona alla quale è rivolta l’attività ne acquisisce

consapevolezza.

Il terzo elemento ha la funzione di condurre gradualmente le

persone che seguono il percorso alla consapevolezza di essere in

grado di “fare matematica”: durante il percorso, tra un’attività e

l’altra, viene proposto di rispondere a quesiti vari, cosiddetti

‘giochi logici’, che piano piano si evolvono, nella qualità, fino a

divenire veri e propri problemi. Le convinzioni sulla propria

autoefficacia in matematica sono fondamentali, ma nel percorso

non vengono volutamente trattate in modo esplicito: la scelta

operata è quella di portare gradualmente la persona ad analizzare le

proprie capacità e abilità, misurandosi dapprima nell’affrontare

situazioni problematiche, poi problemi la cui soluzione non

richiede conoscenze specifiche di matematica scolastica, se non

assolutamente elementari (contare, per esempio). La parola

‘problema’ è evitata con cura, si parla solo di giochi o indovinelli,

per ovviare il negativo impatto emotivo che una persona in

difficoltà in matematica ha quando è chiamata a risolvere un

problema. Riteniamo che la riflessione intima, personale sul

proprio modo di affrontare le attività matematiche sia la modalità

più efficace per condurre la persona all’utilizzo degli strumenti

metacognitivi necessari al controllo delle proprie istintive

‘pulsioni’ di fronte ad attività matematiche.

Al fine di fornire uno strumento operativo per la gestione del

percorso, abbiamo cercato di schematizzarne i passi, ben

consapevoli che tale scelta determina la perdita di dettagli e

22

sfumature anche importanti. Tuttavia, riteniamo prioritario favorire

il tentativo della divulgazione, in funzione anche della raccolta di

elementi utili ad una rivisitazione critica, in tempi successivi, della

strutturazione e della gestione dell’attività.

Prima di procedere alla descrizione dei passi, è necessario fornire

alcune indicazioni generali. Innanzitutto una considerazione. La

descrizione può indurre a ritenere che il percorso abbia una

struttura rigida: in realtà, a fronte di una struttura ben determinata

per ragioni di facile traduzione nella pratica didattica, la gestione

delle varie attività, all’interno dei passi, è duttile per essere

facilmente adattata alle varie situazioni, lasciando all’insegnante,

non solo la sua discrezionalità, ma soprattutto la sua creatività nella

gestione. L’unica raccomandazione è, semmai, di non eliminare

attività solo perché ritenute inutili a priori: solo la sperimentazione

può consentire all’insegnante di discriminare e di apportare

variazioni.

Gli strumenti utilizzati sono colloqui individuali, di gruppo,

discussioni collettive in classe, proposta di svolgimento di elaborati

scritti e contemporanea attività intorno a situazioni problematiche o

a problemi.

Sottolineiamo che, nonostante gli strumenti utilizzati siano d’uso

frequente nella didattica, essi sono collocati all’interno di una

struttura organizzata che sfrutta in modo ottimale le sinergie

scaturenti dai singoli elementi.

La struttura del percorso ne rappresenta un elemento

originale, ma l’elemento che caratterizza il percorso e, forse,

ne determina il successo, è l’utilizzo della consapevolezza della

natura dei propri sistemi di convinzioni.

Cambiare le convinzioni di una persona è un obiettivo molto

ambizioso, poiché ognuno ritiene “vere” le proprie convinzioni

(Pehkonen & Pietila, 2003). Ma agire sulle convinzioni non è

impossibile. Infatti, molte sono le occasioni in cui nell’educazione

della persona si opera sulle convinzioni. Anche convinzioni ben

radicate, perché fondate sulla percezione sensoriale, possono essere

23

superate dall’acquisizione di nuove conoscenze, pure se queste non

danno luogo ad una variazione della percezione sensoriale. Basta

pensare ad un bambino che vede sorgere il sole ad est e tramontare

ad ovest, ‘muovendosi’ tutti i giorni sulla sua testa da est ad ovest:

egli ha la ragionevole convinzione che il sole si muova e la terra

stia ferma. Eppure, arriva il momento, nella sua vita, nel quale,

attraverso un percorso di apprendimento, abbandona quella

convinzione.

Modificare una convinzione è senz’altro difficoltoso, ma lo è

soprattutto quando ci si limita ad un dibattito che, per quanto

argomentato e profondo sia, rimane nell’ambito della pura

speculazione dialettica. Quando si sposta l’attenzione sulla

coerenza delle convinzioni con conoscenze acquisite in campo

scientifico, si hanno su di esse maggiori margini di intervento.

Tuttavia, il successo del percorso qui presentato è forse da

collocarsi nel ruolo attivo che la persona riveste nel processo di

evoluzione delle proprie convinzioni.

Il percorso prevede la costruzione di un ambiente che consente

prima di tutto l’acquisizione della consapevolezza della natura dei

propri sistemi di convinzioni correlati alla matematica; poi, il

confronto delle proprie convinzioni con le conoscenze dei settori

connessi; nel contempo, la persona viene condotta ad affrontare

esperienze che, da una parte, rafforzano le nuove conoscenze e

provocano emozioni positive verso il lavoro matematico, dall’altra,

contraddicono conoscenze pregresse e relegano la negatività di

certe emozioni legate alla matematica a particolari contesti didattici

e non alla matematica come disciplina nella sua interezza.

Tutto questo, in piena coerenza con la scelta metodologica per tutte

le attività che sono organizzate e condotte ispirandosi al

costruttivismo socio-culturale. Le persone che seguono il percorso

sono gli attori principali del lavoro, mentre chi organizza le attività

ha il ruolo di allestire un ambiente di apprendimento che consenta

alle persone di costruire le proprie conoscenze quanto più possibile

24

autonomamente, ovvero di essere artefici dei propri processi di

apprendimento.

Dal punto di vista pratico, è d’aiuto, soprattutto per le prime volte

di utilizzo, che chi organizza il lavoro tenga un diario di bordo, nel

quale annotare osservazioni, considerazioni, impressioni con

l’obiettivo di riflettere sull’andamento dell’attività e indirizzare di

conseguenza il lavoro.

Il percorso consiste in una successione di attività, intervallate da un

lavoro costante, denominato ‘Giochi’, nel quale si affrontano

situazioni problematiche o problemi. Come abbiamo già

accennato, l’attività prevede la proposta di ‘giochi logici’, ovvero

quesiti vari, problemi, tutti con due caratteristiche comuni:

1. gli argomenti coinvolti non devono riguardare argomenti di

matematica scolastica, cioè temi o ambienti di tipo aritmetico,

algebrico o geometrico (tranne, ovviamente, elementi di aritmetica

o geometria davvero elementari)

2. la complessità deve essere rapportata alle possibilità di

risoluzione delle persone che seguono il percorso, e questo si

realizza iniziando con un grado di difficoltà estremamente basso da

incrementare pian piano nel procedere.

Il motivo della prima richiesta risiede nel fatto che il ruolo di

questa attività consiste in un graduale allenamento ad affrontare

problemi di argomento matematico senza che le persone che

seguono il percorso se ne rendano conto, come abbiano detto in

precedenza.

Il motivo della seconda richiesta è di consentire a tutti di prendere

parte all’attività senza frustrazioni, anzi di indirizzare ognuno verso

una partecipazione caratterizzata da sentimenti positivi13

.

13. Nell’Appendice 2 sono riportati alcuni esempi di ‘Giochi’ proposti. Si fa presente che,

per semplicità di redazione, si sono evitati esempi che richiedono rappresentazioni

grafiche, ma questa tipologia è molto efficace, soprattutto in presenza di diversabilità,

quando addirittura è consigliabile utilizzare la ‘rappresentazione teatrale’ della situazione

problematica.

25

Un percorso per la ricostruzione

della

relazione con la matematica()

Parte seconda

Manuela Moscucci

Dipartimento di Scienze Matematiche e Informatiche

’R. Magari’ – Università degli Studi di Siena

Il percorso

Il percorso è strutturato in cinque passi.

Anche se, come è stato puntualizzato in precedenza, questo lavoro

è indicato per la ristrutturazione della relazione con la matematica

di chiunque, in qualunque contesto, nella descrizione dei passi, ci

riferiremo, per semplicità di esposizione, alla situazione -forse la

più comune- di un insegnante di matematica che lavora con i suoi

studenti.

Primo passo. In questo primo passo l’insegnante, attraverso la

conversazione, cerca di individuare gli interessi degli studenti per

poterne usufruire durante il percorso e per poter dimostrare ai

ragazzi il suo reale interesse a mettere ciascuno di loro nella

condizione di dare il meglio di sé in matematica. Naturalmente se

l’insegnante conosce da tempo gli studenti, modula

opportunamente questa prima fase del passo. L’insegnante presenta

poi il percorso agli studenti ponendo enfasi sull’importanza di

questo lavoro, puntualizzando che il lavoro che verrà svolto in

Moscucci, M. (2008) . Un percorso per la ricostruzione della relazione con la

matematica. Parte seconda. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate,

Vol. 31/A, N.4, pp.407-428.

26

questa fase non ha nulla a che fare con quello che usualmente viene

fatto nelle ore di matematica, ma la cui valenza verrà riscontrata nel

seguito. L’insegnante evita sia di entrare in dettagli tecnici che

potrebbero inficiare alcune attività che il percorso prevede, sia di

far intuire ai ragazzi le proprie opinioni riguardo ai temi che

verranno trattati. Gli studenti sono spesso vittime della propria

intelligenza scolastica (Gardner, 1999; 2002): questa, tra le altre

cose, li induce a cercare di intuire le opinioni degli insegnanti per

uniformarsi ad esse, mascherando e celando le loro vere opinioni,

che, in questo modo, rimangono escluse da quella rielaborazione

che costituisce un obiettivo fondamentale del nostro lavoro. Le

esperienze di utilizzo del percorso hanno dimostrato che gran parte

del successo del lavoro dipende dalla buona riuscita di questa prima

fase.

Secondo passo. L’insegnante invita gli studenti a svolgere un

elaborato dal titolo ‘La mia storia con la matematica’, spiegando

che non deve essere inteso come un usuale tema e che non è

importante la forma linguistica. Nella traccia de ‘La mia storia con

la matematica’ si chiede, prima di tutto, di descrivere i vari

insegnanti di matematica incontrati nella propria vita scolastica.

Questa descrizione può fornire dettagli fondamentali per

comprendere qual è l’idea di matematica che ha lo studente. Infatti,

l’insegnante di matematica è l’unico mediatore tra lo studente e la

matematica, al contrario di altre materie o discipline, che hanno

altri mediatori culturali: la divulgazione matematica è rara e

possiamo affermare che raggiunge pochissimo i ragazzi , anche se

negli ultimi anni qualche tentativo è stato fatto. Nella traccia si

chiede poi di descrivere con immediatezza e spontaneità ricordi di

episodi legati alla matematica accaduti a lui/lei o ad altri, che gli/le

sono rimasti impressi nella memoria; sensazioni o emozioni legate

alla matematica, pensieri elaborati in relazione alla matematica,

momenti tristi o felici e qualunque altra cosa correlata alla

matematica, che lui/lei senta il bisogno di scrivere, senza

preoccuparsi di collegare gli episodi o di dare un ordine logico

27

all’esposizione, ma cercando di far emergere il più possibile il

proprio vissuto con la matematica .

L’importanza di questa attività è molteplice

1. l’insegnante ha l’opportunità di ricavarne elementi utili per

orientare la propria azione

2. le convinzioni che emergono14

da questi elaborati non sono

influenzate dal contesto, poiché il percorso è appena

iniziato, e, pertanto, possono essere considerate il punto di

partenza della rielaborazione di certe convinzioni

3. gli studenti iniziano a prendere coscienza di emozioni

provate in situazioni legate alla matematica e, di

conseguenza, di aspetti che hanno determinato la natura

della loro relazione con la matematica.

La riesumazione di eventuali emozioni negative provate, anche

molti anni addietro, in particolari situazioni, legate alla

matematica, avvia alla presa di coscienza dei fattori affettivi

connessi alla disciplina. Nel contempo, questo lavoro aiuta la

persona ad intraprendere l’operazione di scissione tra emozione

negativa provata in quella circostanza (l’emozione potrebbe essere,

per esempio, frustrazione, paura, delusione), e oggetto disciplinare

trattato in quella circostanza (l’oggetto potrebbe essere, per

esempio, una divisione o una equazione). Il distacco tra emozione

negativa e oggetto disciplinare inizia quando il soggetto inizia a

costruire la consapevolezza che quella attività è accompagnata da

quella emozione. Tale distacco, anche se non avviene mai in modo

completo, è ottenuto quando il soggetto raggiunge la

consapevolezza che quella emozione non è parte integrante

dell’oggetto disciplinare, non è intrinseca all’oggetto, ovvero non è

la reazione naturale che si prova di fronte a quell’oggetto

disciplinare.

14. Si osservi che si parla di convinzioni che ‘emergono’, ovvero che

l’insegnante ipotizza , nella piena consapevolezza del possibile contrasto tra

“beliefs expuosed and beliefs in practice” (Schoenfeld, 1989)

28

In questo primo passo del percorso vengono svolte altre attività

tutte funzionali all’analisi della natura della relazione con la

matematica:

descrivere immagini suscitate da parole

associare la matematica a categorie di oggetti, per

completamento di frasi

disegnare ‘la matematica’

disegnare la parola matematica con i caratteri e i colori

desiderati.

Tutte le attività di questo passo sono ‘interplementari’, nel senso

che tutte ugualmente concorrono a favorire la esternazione dei

propri sentimenti nei confronti della matematica e degli stati

d’animo che sono legati ad essa. Inoltre, le esperienze sul percorso

mostrano quanto sia utile fornire ai ragazzi la possibilità di

esprimersi in linguaggi diversi per consentire a ciascuno di

disporre del mezzo di comunicazione più congeniale alle proprie

attitudini.

Per quanto riguarda la descrizione di immagini, si chiede agli

studenti di scrivere quanto più estemporaneamente possibile e nel

minor tempo possibile che cosa viene in mente quando l’insegnante

proferisce una certa parola. E’ l’unica volta in tutto il percorso, in

cui l’insegnante chiede di agire velocemente per non consentire

alcun inquinamento alla genuinità dell’immagine suggerita dalla

parola. La scelta di far scrivere è dettata dalla necessità di avere

indicazioni individuali e di non far influenzare gli uni con gli altri

gli studenti, cosa che potrebbe accadere se le immagini personali

fossero descritte a voce.

L’insegnante nomina a voce alta, senza alcuna inflessione

particolare, un oggetto concreto di sua scelta (es. casa, gatto, cane).

Dopo poco -un minuto è sufficiente- nomina un oggetto astratto

(es. amicizia, allegria, tristezza) e procede nello stesso modo. La

terza parola che proferisce è ‘matematica’.

Nella sperimentazione del percorso, nella versione qui presentata,

questo modo di procedere si è dimostrato decisamente più proficuo

29

della modalità precedentemente adottata che prevedeva la proposta

solo della parola ‘matematica’: le descrizioni così ottenute

risultavano troppo spesso ‘retoriche’ e poco significative per il

lavoro.

Per quanto riguarda il secondo punto, le frasi che possono essere

utilizzate sono , per esempio:

-Se la matematica fosse un fiore sarebbe…

-Se la matematica fosse un sapore , sarebbe…

-Se la matematica fosse un odore, sarebbe…

-Se la matematica fosse un luogo, sarebbe…

-Se la matematica fosse una stagione, sarebbe…

Le varie attività vengono proposte in giorni diversi, in modo da

creare un clima rilassato e, nel contempo, da attribuire valore ad

ogni attività.

E’ importante lasciare sempre ad ogni partecipante il tempo

desiderato (tranne, come detto, nell’attività del primo punto).

Questa scelta ha più valenze. L’abitudine alla didattica tradizionale

può indurre gli studenti a ritenere che ancora il lavoro vero e

proprio non sia iniziato. Per questo, è importante che gli studenti

siano aiutati a percepire quello che stanno facendo come vera e

propria attività scolastica, con una certa ‘ritualità’, con ogni

possibile accorgimento utile ad entrare in un clima di vera

collaborazione con l’insegnante, un clima improntato alla libertà di

espressione, anche nella scelta dei tempi. La seconda valenza è

strategica. Infatti, poiché gli studenti finiscono il compito in tempi

diversi, avviene in modo molto naturale l’introduzione dell’attività

sui ‘Giochi’, che è proposta come semplice espediente per

sopperire alla necessità di trovare un passatempo a chi ha

terminato, mentre gli altri continuano il lavoro.

Terzo passo. Questo è il ‘passo della crisi’. Prendendo spunto da

affermazioni, situazioni, esperienze, considerazioni tratte dagli

elaborati del passo precedente, l’insegnante avvia una discussione

in classe e lascia che gli studenti guidino la conversazione. Il ruolo

dell’insegnante consiste nel mettere in luce concordanze e

30

discordanze di opinioni, contraddizioni e, soprattutto, luoghi

comuni. Eventualmente, l’insegnante rileva il rischio della

affezione alle proprie affermazioni: nel corso di una discussione è

frequente che le persone sostengano ad oltranza le proprie

affermazioni, anche se gli argomenti portati a sostegno di esse si

rivelano fragili e contraddittori. La riflessione esplicita su questo

pericolo non è garanzia di eliminazione del rischio stesso, ma

contribuisce a contenerne gli effetti deleteri sia sul clima

relazionale, che sulla proficuità del lavoro.

Moltissime sono le direzioni che può prendere la discussione, ma

l’insegnante deve cercare di estrapolare certe particolari domande,

che esplicitamente o implicitamente emergono. Questa operazione

di indirizzo non deve apparire come una forzatura o addirittura una

censura alla libera evoluzione del lavoro, ma come una semplice

scelta coerente con il contesto e le finalità. E’ cura dell’insegnante,

poi, assecondare il desiderio degli studenti di approfondire

tematiche emerse e abbandonate a favore di altre, sulle quali i

ragazzi hanno dimostrato di nutrire particolare interesse.

Le domande chiave, attorno alle quali l’insegnante fa convergere

l’attenzione, sono essenzialmente:

Quale è/dovrebbe essere il ruolo della scuola

nell’educazione della persona?

Che cosa si intende per intelligenza umana?

C’è una relazione tra l’intelligenza di una persona e il suo

successo nelle attività matematiche?

Che ruolo ha la matematica nell’educazione della persona?

Per avere successo nella matematica della scuola è

necessario avere una particolare predisposizione?

Che cos’è la predisposizione all’apprendimento della

matematica?

Che cos’è la matematica?

Che cos’è la matematica scolastica?

Ogni volta che durante la discussione scaturisce una delle

precedenti domande -o altre di analogo contenuto, oppure altre

31

attinenti- l’insegnante scrive alla lavagna la domanda in modo che

sia chiaro che quello è un quesito al quale ci si propone di fornire

una risposta15

. Per aiutare gli studenti in questa fase di

introspezione, può essere utile invitarli a completare frasi attinenti

ai temi esaminati.

Durante questa fase, gli studenti si rendono conto che stanno

affrontando questioni fondamentali per una partecipazione attiva e

consapevole alla vita scolastica, in generale, e al percorso di

apprendimento della matematica, in particolare. La crisi che prima

o poi si delinea è conseguenza della consapevolezza della loro

ingenuità e della loro ignoranza intorno a temi così vitali per la loro

educazione16

. La scelta dell’insegnante di lasciare che sorgano

molti dubbi genera una condizione ottimale per favorire

l’introspezione e, quindi, l’acquisizione della consapevolezza dello

stato delle proprie opinioni (consapevolezza dei propri sistemi di

convinzioni) passo dopo passo.

Il ruolo dei luoghi comuni è importantissimo. Molto spesso le

considerazioni dei ragazzi sono basate su luoghi comuni. Possono

essere luoghi comuni con o senza un fondamento scientifico o

culturale, ma anche, e molto frequentemente, luoghi comuni

addirittura in contrasto con risultati scientifici acquisiti. La varietà

di contraddizioni che sussistono su taluni dei temi elencati -si

pensi, ad esempio, alla ‘predisposizione all’apprendimento della

matematica’- conduce inevitabilmente la discussione ad un

impasse: la crisi viene percepita con chiarezza dagli studenti che

seguono il percorso. Essi si trovano di fronte ad un insieme di

affermazioni in apparenza tutte ugualmente sostenibili, che hanno

come conseguenza divergenti condotte sia di apprendimento, che di

15. L’insegnante osserva esplicitamente che non sono ricercate verità assolute, ma solo

risposte coerenti con le conoscenze attuali dei settori di studio di pertinenza.

16. Nel caso del percorso utilizzato con insegnanti in formazione o in aggiornamento, la

crisi è ancora più sentita in quanto il lavoro conduce a rivisitare criticamente convinzioni

sulle quali si struttura la propria professionalità, in fieri o acquisita.

32

insegnamento della matematica. Questo è il momento di far notare

agli studenti che il percorso fin lì svolto si è avvalso

esclusivamente delle loro conoscenze pregresse. E’ ora importante

che l’insegnante trasmetta agli studenti sicurezza sullo sviluppo

del lavoro, preannunciando che li guiderà alla scoperta di fonti

adatte ad approfondire e a chiarire le questioni più critiche.

Quarto passo. Questo passo del percorso prevede l’ampliamento

delle conoscenze degli studenti negli ambiti chiamati in gioco nel

passo precedente e, è scontato, limitatamente all’acquisizione degli

strumenti minimi al perseguimento delle finalità preposte. Nel

passo precedente sono nate tante domande, in questo passo si

cercano le risposte che gli esperti, gli studiosi, i ricercatori dei

relativi ambiti propongono. Naturalmente, la condizione ottimale è

quella nella quale, nella scuola in cui si opera, è possibile un lavoro

interdisciplinare con insegnanti di altre materie. Poiché questa

condizione non è frequente, l’insegnante che conduce il lavoro

sopperisce alla mancanza di competenze specifiche e guida egli

stesso gli studenti alla ricerca di documenti utili . Le risorse sono

libri, riviste, internet, ecc.. Ogni insegnante di matematica ha

senz’altro, tra le molte disponibili, le sue preferenze, ma, a titolo

d’esempio, viene fornito, in appendice, un elenco minimo di

referenze (di tipo divulgativo, facilmente reperibili) utili alla

conduzione dell’attività ed è senz’altro opportuno che l’insegnante

che intende seguire il percorso consulti queste proposte e le

confronti con le proprie.

Anche in questa fase un fattore determinante per la efficacia del

percorso è la consapevolezza da parte degli studenti di ricoprire un

ruolo attivo nella costruzione degli strumenti idonei a chiarire la

situazione.

Durante il passo precedente gli studenti hanno avuto l’opportunità

di confrontare le proprie convinzioni sui temi trattati con quelle di

altre persone. In questa fase, essi possono confrontarle con le nuove

conoscenze acquisite. Questa operazione è fondamentale per la

rielaborazione e la evoluzione delle loro convinzioni. Durante il

33

percorso viene, comunque, chiarito esplicitamente che anche

davanti ad una evidenza scientifica, una persona è naturalmente

libera di continuare ad avere una determinata convinzione,

supponiamo in netto contrasto con tale evidenza; l’importante è che

la persona sia consapevole di tale contrasto e soprattutto delle

conseguenze negative del fatto di fondare le proprie condotte su

‘pilastri’ che al momento sono ritenuti assolutamente inaffidabili.

Sarebbe saggio accettare di seguire una terapia notoriamente

inefficace, quando se ne conoscono altre di efficacia quasi

assoluta?

Per fare un esempio, la convinzione della necessità di una

particolare predisposizione all’apprendimento della matematica per

riuscire nella matematica scolastica è molto diffusa: ebbene,

l’analisi degli studi in proposito dimostra che, al momento, non c’è

alcuna ricerca che confermi tale ipotesi. Anzi molti sono gli studi

che la contraddicono.

Ricordiamo che tutto questo avviene contemporaneamente alla

saltuaria, ma costante esperienza nell’attività intorno a problemi.

La scelta di questo tipo di attività all’interno del percorso può

apparire singolare, viste le problematiche note sul rapporto tra

l’attività di risoluzione di problemi, le difficoltà scolastiche in

matematica e l’affettività (McLeod & Adams, 1989; Zan, 1998).

In realtà l’attività è proposta come gioco, insistendo molto sui

seguenti punti:

l’attività è da intendersi come una specie di ‘brain

trainer’, peraltro attualmente molto di moda, con il

vantaggio, in questo contesto, che non è finalizzata ad

alcuna ‘misurazione’

l’obiettivo ‘dichiarato esplicitamente’ è trascorrere

piacevolmente il tempo d’attesa degli altri studenti ancora

impegnati nel lavoro

l’attività non è assolutamente da intendersi come una gara

il tempo di esecuzione delle richieste non è elemento di

alcun interesse

34

se il ‘gioco’ proposto non è gradito, si può sceglierne un

altro

tutti sono invitati, in seguito, a proporre giochi da

utilizzare

L’esperienza maturata nell’utilizzo del percorso dimostra che, dopo

un primo momento di ‘atteggiamento sospettoso’, l’attività viene

accolta con disinvoltura: l’ansia da prestazione viene contrastata

soprattutto dall’atteggiamento dell’insegnante che si dimostra non

tanto interessato alle soluzioni proposte (o a fatto che qualcuno

non abbia trovato alcuna soluzione!), ma solo al grado di

divertimento e di apprezzamento del gioco. Gli studenti solitamente

accolgono con favore di intendere l’attività solo come una sorta di

‘ginnastica mentale’.

Abbiamo detto inizialmente che questa attività ha un ruolo

fondamentale nella riuscita del percorso. Infatti, è importante che

gli studenti giungano a questo punto dell’itinerario avendo

progredito anche nel loro modo di affrontare situazioni

problematiche o di risolvere problemi. Non solo per favorire un

aumento della loro autostima in questo ambito, ma soprattutto per

conferire valore all’attività Giochi, come attività matematica, anche

se i problemi trattati non riguardano argomenti di matematica

scolastica. Questo è il primo passo per la successiva riconquista di

un approccio più sereno anche all’attività di risoluzione di problemi

di matematica più usuali. Questa attività consente di lavorare anche

sulle convinzioni su sé in relazione alla matematica che non sono

trattate esplicitamente. Lo studente è portato in modo naturale a

confrontare il proprio modo di lavorare sui problemi in passato e il

modo con il quale lavora all’interno di questo itinerario. La scelta

di non trattare esplicitamente le convinzioni su sé nei confronti

della matematica, ovvero della propria efficacia nel ‘fare

matematica’ è elemento caratterizzante di questo lavoro: lo

studente è condotto gradualmente a prendere consapevolezza delle

proprie convinzioni in proposito senza la necessità di esprimerle ad

35

alcuno, ma solo a se stesso. L’avvio alla rielaborazione di tali

convinzioni avviene in modo naturale attraverso il lavoro su

situazioni problematiche o su problemi. Durante l’utilizzo del

percorso, molti sono gli episodi nei quali gli studenti hanno

manifestato sorpresa dei propri risultati e degli stati d’animo

positivi percepiti.

Quinto passo. E’ il passo della autovalutazione. L’insegnante

chiede agli studenti di rivisitare il proprio percorso e di descrivere

per scritto quello che hanno percepito durante tutto il lavoro, le

loro impressioni di massima e i momenti per loro più significativi.

Quindi viene loro proposta la rilettura dell’elaborato “La mia storia

con la matematica” e viene loro chiesto di cercare di valutare quali

siano gli eventuali cambiamenti avvenuti in loro. Di solito gli

studenti sono colpiti da quante considerazioni critiche sono adesso

in grado di fare su gran parte delle affermazioni contenute in quel

primo scritto. E non solo. Sono stupiti di comprendere adesso la

ragione del loro modo di porsi di fronte alle attività matematiche.

Prendere consapevolezza dei motivi che conducono a certe risposte

a determinati stimoli è un primo passo verso il controllo di reazioni

non produttive, così come la collocazione della responsabilità di

certi stati di fatto che li riguardano. Un esempio tra tanti.

Supponiamo che uno studente avesse, prima di seguire il percorso,

la convinzione che le sue difficoltà scolastiche fossero attribuibili

alla sua ‘mancata predisposizione’ e che ‘quindi’ non valeva la

pena di impegnarsi tanto, tanto da rifiutarsi di affrontare qualunque

problema che anche solo vagamente assomigliasse ad un problema

di matematica. Ha poi scoperto durante l’attività ‘Giochi’ che

riesce a risolvere problemi e, nel passo quattro, che per fare la

matematica scolastica, visto che non si tratta di ‘alta matematica’,

non occorre particolare predisposizione. Si apre una porta, quel

muro tra lui e la matematica ha ‘forse’ qualche varco. L’inizio

della ricostruzione della relazione dello studente con la matematica

è avvenuto. Abbiamo osservato a proposito dell’inizio del processo

di ricostruzione/ ristrutturazione della relazione con la matematica,

36

che è impossibile stabilire il momento di inizio di tale processo. In

assoluta analogia a questo, non è possibile stabilire il termine del

processo. Del resto, la finalità del percorso è quella di avviare la

ricostruzione e condurla ad un livello tale da iniziare ad usufruire

pienamente delle potenzialità educative della matematica.

L’insegnante può adesso iniziare a sperare di riuscire a ricostruire il

rapporto anche con la matematica scolastica. Il dubbio dei ragazzi,

a questo punto, è spesso manifestato con molta semplicità e molta

efficacia espressiva. Non posso riportare le parole di uno studente

particolare, perché sono stati tantissimi i casi nei quali ho sentito

dire, con tono sconsolato: “Ora ho capito molte cose17

, ma io non

ho basi di matematica18

, me lo dicono da anni e quindi non riuscirò

mai a recuperare tutto quello che mi manca”. Qui comincia un’altra

sfida. Con gli insegnanti di matematica, in primo luogo, e con i

ragazzi poi, su temi strettamente disciplinari, di aritmetica-algebra

e di geometria. Riprendere le fila di un ‘discorso matematico

spezzato’ si può e non è solo un teorema di esistenza, ma è un

teorema costruttivo. Occorre, tuttavia, avere strumenti di ‘recupero’

che non siano sterili ripetizioni di argomenti trattati. Molte sono

oggi le proposte. Io, personalmente, rinvio la trattazione del tema

del recupero nella matematica scolastica ad un’altra sede.

Conclusioni

Il percorso, come è stato già detto, è stato utilizzato in contesti

diversi: nella scuola, in corsi per insegnanti in formazione o in

servizio, in corsi universitari e con soggetti diversamente abili. In

generale, possiamo discriminare due tipologie di soggetti per i quali

si può organizzare il percorso.

17. Alludono a considerare l’attività ‘Giochi’ come vera e propria attività matematica

18. Intendono la matematica scolastica curricolare

37

L’utilizzazione usuale è quella rivolta a persone che necessitano di

ricostruire la propria relazione con la matematica per proseguire lo

studio della matematica in maniera proficua, vale a dire l’uso che

ne può fare l’insegnante di matematica in classe con studenti di

qualunque scuola.

Un’utilizzazione speciale è rivolta, invece, a insegnanti di

matematica in servizio o in formazione. Questo contesto è stato tra

l’altro l’ambiente che ha visto la genesi del percorso. Gli esiti solo

parzialmente soddisfacenti dei tanti corsi di aggiornamento per

insegnanti di matematica condotti con metodologie tradizionali

hanno indotto ad una analisi critica delle ragioni dei risultati. Da

questa analisi è emersa un’ipotesi di lavoro fondata su tre elementi

metodologia ispirata al costruttivismo socio-culturale

trattazione di sistemi di convinzioni correlati alla

matematica

acquisizione della consapevolezza della natura dei sistemi

di convinzioni.

Il percorso che è stato presentato in questo lavoro è il risultato di

diversi aggiustamenti che si sono succeduti per oltre dieci anni. La

struttura attuale è stata utilizzata, per quanto concerne l’ambito

della formazione/aggiornamento degli insegnanti, con insegnanti

di matematica, in otto corsi di aggiornamento per insegnanti in

servizio di Scuola primaria e secondaria di primo e secondo

grado, in otto corsi di didattica della matematica per gli studenti

della SSIS (Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento

Superiore) indirizzo FIM (Fisico Informatico Matematico) e

Scienze naturali.

L’utilizzo del percorso ha sempre dato risultati decisamente

incoraggianti.

Uno degli elementi del percorso maggiormente apprezzato dagli

insegnanti (definiti così anche i futuri insegnanti) è

l’esemplificazione pratica di applicazione del percorso: viene

messo a loro disposizione uno strumento didattico direttamente

utilizzabile in classe. In più, essi partecipano al percorso da

38

studenti, scoprendone gli elementi costitutivi passo dopo passo e

solo alla fine viene presentata la descrizione teorica del percorso.

L’esperienza vissuta consente loro di compenetrare appieno i

momenti cruciali. L’attività del quinto passo è, in questo caso,

particolarmente formativa, poiché consente agli insegnanti di

confrontarsi con chi ha gestito l’organizzazione del percorso:

solitamente, essi rivolgono moltissime domande di

approfondimento e chiarimento che, oltretutto, servono per

consolidare obiettivi già raggiunti durante il percorso.

Nella mia esperienza ho potuto constatare che, per quanto riguarda

gli insegnanti in formazione, la maggioranza di coloro che hanno

seguito il percorso, lo utilizza in classe non appena ne ha la

possibilità. Tra i restanti, la quasi totalità, per i primi anni di

insegnamento, ne utilizza solo alcune parti, aggiungendo elementi

di anno in anno, e motiva questa scelta sulla base dell’inesperienza

e dell’insicurezza nella gestione della classe. Solo pochissimi

hanno provato in minima parte ad utilizzarlo, dichiarandosi

timorosi del giudizio di colleghi più anziani tradizionalisti.

Per quanto riguarda, invece, gli insegnanti in servizio, si può fare

una distinzione netta tra insegnanti che utilizzano una metodologia

didattica tradizionale di tipo essenzialmente trasmissivo e quelli

che nella loro usuale didattica utilizzano metodologie innovative e

sono interessati ai risultati della ricerca in educazione matematica.

I primi accolgono il percorso con maggiore sospetto e titubanza, se

non, in qualche caso, con aperto scetticismo.

Dagli altri, invece, il percorso è sempre accolto con curiosità e

desiderio di sperimentarlo.

E’ da aggiungere che frequentemente, insegnanti inizialmente

scettici sono stati indotti a provare ad utilizzare il percorso dal

successo ottenuto da colleghi più disponibili alla innovazione.

Tuttavia, in questo caso è necessaria una importante precisazione.

Non ha senso inserire il percorso in un contesto di didattica

disciplinare che nel suo complesso non tenga conto del problema

dell’affettività in matematica.

39

Più precisamente, nella nostra esperienza, i risultati dell’utilizzo del

percorso sono decisamente soddisfacenti quando l’insegnante che

organizza l’attività ha egli per primo una relazione positiva con la

matematica. Viceversa, cioè quando l’insegnante non ha una

relazione positiva con la matematica, i risultati sono deludenti. Per

questo motivo, quando si organizzano progetti per il

superamento delle difficoltà scolastiche in matematica di

studenti attraverso la ristrutturazione della relazione con la

matematica, è necessario innanzitutto organizzare la

ristrutturazione della relazione con la matematica proprio dei

loro insegnanti. La struttura del percorso potrà subire evoluzioni future, sia in

funzione dei risultati della ricerca, sia in funzione delle indicazioni

che verranno dalle sperimentazioni.

La presentazione della attuale struttura in questo lavoro ha, quindi,

come primo obiettivo quello di invitare tutti gli interessati alla

sperimentazione e alla redazione accurata del diario di bordo, per

trarne indicazioni utili al miglioramento del percorso. Come

seconda finalità quella di suscitare interesse, anche teorico, intorno

all’elemento caratterizzante il percorso, ovvero la rielaborazione

delle convinzioni correlate all’apprendimento/insegnamento della

matematica attraverso l’acquisizione della consapevolezza di

particolari sistemi di convinzioni.

Ma la finalità più ambiziosa è quella di porre all’attenzione di tutti

coloro che hanno a cuore la riconquista di un ruolo primario della

matematica nell’educazione della persona, il problema della

ricostruzione di una relazione positiva degli studenti con la

matematica. Troppi studenti hanno una relazione non positiva con

la matematica. Se poi gli strumenti per la riconciliazione degli

studenti con la matematica saranno altri, magari cercati e trovati in

contrapposizione a quello qui presentato, non importa.

moscucci@unisi.it

40

References

Burkhardt, H. & Schoenfeld, A.H.: 2003, ‘Improving Educational

Research: Toward a More Useful, More Influential, and Better-

Funded Enterprise, Educational Researcher, 32 (9), pp. 3-14.

Civitelli, L.K.: 1993, ‘You, me, and us: Perspectives on relationship

awareness’, in S.W. Duck (Ed.), Understanding Relationship

Processes: Individual and relationship (pp.144-174). Sage Publications,

London.

DeBellis, V.A. & Goldin, G.A. 1997. The Affective Domain in

Mathematical Problem Solving. In: Pekhonen, E. (Ed.) Proceedings of

the PME 21. Vol. (pp.209-216).

DeBellis,V.A. & Goldin, G.A.: 1999,’Aspects of affect: mathematical

intimacy, mathematical integrity’, Proc. PME 25(2), Haifa (IL), 249-

256.

Furinghetti, F. & Pehkonen, E.: 1999, ‘A virtual panel evaluating

characterization of beliefs’, in Pehkonen & Törner (Eds.) Mathematical

Beliefs and Their Impact on Teaching and Learning, Oberwolfach

1999, 24-30.

Furinghetti, F. & Pehkonen, E.: 2002, ‘Rethinking Characterizations of

Beliefs’, in Leder, G., Pehkonen, E. & Törner, G. (eds.), Beliefs: A

Hidden Variable in Mathematics Education?, Kluwer, Dordrecht.

Gardner, H.: 1999, ‘Sapere per comprendere. Discipline di studio e

discipline della mente’, Feltrinelli, Milano.

Gardner, H.: 2002, Educare al comprendere, Feltrinelli, Milano.

Goldin, G.A.: 2002, ‘Affect, Meta-affect and Mathematical Belief

structures’, in Leder, G., Pehkonen, E. & Törner, G. (eds.), Beliefs: A

Hidden Variable in Mathematics Education?, Kluwer, Dordrecht.

Goldin, G.A.: 2004, Characteristics of Affect as a Systems of

Representation, Proc. PME 28(1), Bergen, NY, 109-114.

Green, T.F.: 1971, The activities of teaching, McGraw-Hill.

Hart, L.E.: 1989, ‘Describing the affective domain: saying what we mean’,

in McLeod, D.B. and Adams, V.M. (Eds), Affect and Mathematical

Problem Solving, Springer Verlag, NY, 37-45.

Hartman, H.J.: 1998, ‘Metacognition in Teaching and Learning: an

Introduction’, Instructional Sciences- International Journal of Learning

and Cognition, 26, 1-3.

Kilpatrick, J.: 1985, ‘Reflection and Recursion’, Educational Studies in

Mathematics, 16, 1-26.

Leder, G.C.,: 1992, ‘Measuring attitudes to mathematics’, PME XVI,

Durham, 2-33.

Leder, G.C., Pehkonen, E. & Törner, G. (eds.): 2002, Beliefs: A Hidden

Variable in Mathematics Education?, Kluwer, Dordrecht.

LeDoux, J.: 1995, ‘Emozioni, memoria e cervello, in ‘Apprendimento e

memoria’, Le Scienze Quaderni, n. 82.

McLeod, D.B.: 1985, Affective Issues in Research on Teaching

Mathematical Problem Solving, Teaching and Learning Mathematical

problem Solving: Multiple Research Perspective, Silver E.A. Ed.,

Hillsdale, N.Y., Lawrence Erlbaum Associates, 267-279.

McLeod, D.B. & Adams, V.M. (eds.): 1989, Affects and Mathematical

Problem Solving, Springer-Verlag, NY.

41

McLeod, D.: 1992, ‘Research on affect in mathematics education: A

reconceptualization’, in D.A. Grouws (ed), Handbook of Research on

Mathematics Teaching and Learning, Macmillan, NY, 575-596.

McLeod, D.B. & McLeod, S.: 2002, Synthesis – Beliefs and Mathematics

Education for Learning, Teaching, and Research, in Leder, G.,

Pehkonen, E. & Törner, G. (eds.), Beliefs: A Hidden Variable in

Mathematics Education?, Kluwer, Dordrecht.

Moscucci, M., Piccione, M., Rinaldi, M.G., Simoni, S., Marchini, C.: 2005,

‘Mathematical Discomfort and School Drop-out in Italy, CERME4,

Saint Feliu de Guixols, Spain.

Moscucci, M.: 2007, About Belief Systems Awareness, CERME5, Larnaca

(Cyprus).

Pehkonen, E. & Törner, G.: 1996, ‘Mathematical beliefs and different

aspects of their meaning’, International Reviews on Mathematical

Education, (ZDM)28 (4), 101-108.

Pehkonen, E. & Pietilä, A.,: 2003, ‘On the relation between beliefs and

knowledge in mathematics education’, CERME3, Bellaria, Italy.

Ponte, J.P.: 1994, Knowledge, beliefs and conceptions in Mathematics

teaching and learning, Proceedings of the 5th

international conference

of systematic cooperation between theory and practice in Mathematics

Education, Pavia, (I),

ISDAF, 167-177.

Schlöglmann, W.: 2005, ‘Meta-affect and strategies in mathematics

learning’, CERME4, Sant Feliu de Guixols, Spain.

Schoenfeld, A.H.: 1987, ‘What’s All the Fuss About Metacognition’, in

Schoenfeld, A.H.(Ed), Cognitive Sciences and Mathematics Education,

Erlbaum, NY.

Schoenfeld, A.H.: 1989, ‘Exploration of students’ mathematical beliefs and

behaviour’, Journal of Research in Mathematical Education, 20, 4.

Schoenfeld, A. H.: 1999, ‘Looking toward the 21st century: challenges of

educational theory and practice, Educational Researcher, 28(7), 4-14.

Thompson, A.: 1992, ‘Teachers’ beliefs and conceptions: A synthesis of the

research’, in A.D. Grouws (Ed.), Handbook of Research on

Mathematics Teaching and Learning, MacMillan, NY, 127-146.

Zan, R.: 1998, Problemi e convinzioni, Pitagora Editrice, Bologna (I).

Zan, R.: 2000, Le convinzioni, L’insegnamento della matematica e delle

scienze integrate, vol.23a, n.1.

Zan, R.: 2007, Difficoltà in matematica. Osservare, interpretare,

intervenire. Springer Verlag, Milano (I).

APPENDICE 1 Riferimenti utili per la conduzione del quarto passo del percorso

Butterworth, B., 1999, ‘Intelligenza matematica’, RCS libri S.p.A., Milano

(I).

Dehaene, S.: 2000, ‘Il pallino della matematica’, Arnoldo Mondatori

Editore S.p.A., Milano (I).

D’Amore, B., Ditattica della matematica, Pitagora, Bologna (I).

Devlin, K., 2002, ‘Il gene della matematica’, Longanesi & C., Milano (I).

Gallo, B.: 2003, ‘Neuroscienze e apprendimento’, Esselibri S.p.A., Napoli

(I).

Gardner, H.: 2002, Educare al comprendere, Feltrinelli, Milano (I).

42

http://www.neuroscienze.it

APPENDICE 2

L’ispirazione per la redazione di situazioni problematiche o problemi da

proporre tra le attività denominate “Giochi” può essere tratta da riviste

di enigmistica, di giochi, dal sito

http://www.math.unipr.it/~rivista/guzzoni/AVVENIMENTI/news.html

dove sono reperibili i testi della gara matematica RMT (Rallye

Matematico Transalpino) e dai tanti siti internet di giochi vari (ad

esempio, http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/libri.htm).

E’ da sottolineare che i giochi enigmistici, come per esempio il

sudoku, sono da preferirsi ai problemi. Va precisato che, nella proposta

del sudoku, è consigliabile procedere con gradualità iniziando con

schemi di 3 righe e 3 colonne con simboli diversi dalle cifre indo-arabe

(del tipo, ‘sole’, ‘luna’ e ‘stella’), aumentando successivamente il

numero delle righe e delle colonne.

Premesso tutto questo, a titolo di esempio, sono di seguito elencati

alcuni problemi.

Problemi noti o derivati da noti, o problemi qualunque, purché, almeno

inizialmente, molto semplici, del tipo

1. In una famiglia ogni figlio ha almeno un fratello ed una sorella. Qual è il

numero minimo dei figli?

Sol.: 4

2. Uno scoiattolo ha trovato un tronco di albero vuoto e ne ha fatto il

contenitore delle sue riserve alimentari. L’animaletto è preso da una

gran frenesia di procurarsi cibo e riesce ogni giorno a raddoppiare le sue

riserve. Se in 6 giorni riempie la cavità dell’albero, in quanti giorni ne

ha riempita la metà?

Sol: 5

3. In un cassetto ci sono 6 calzini bianchi, 12 neri e 24 blu. Se sono al buio

e non posso vedere il colore dei calzini, qual è il minimo numero di

calzini che dovrò prendere per essere sicuro che almeno due siano dello

stesso colore?

Sol.4

4. Due amici, Carlo e Alberto, fanno una gara di velocità in bicicletta.

Quando Alberto taglia il traguardo stabilito, Carlo è 100 metri indietro.

Carlo chiede la rivincita e Alberto accetta, proponendo di partire

quando Carlo avrà già percorso 100 metri. La gara si svolge senza altre

condizioni cambiate rispetto alla prima gara. Questa volta vincerà Carlo

o vincerà ancora Alberto, oppure taglieranno il traguardo insieme?

Sol. Alberto raggiungerà Carlo a 100 metri dal traguardo e poi, essendo

più veloce, raggiungerà per primo il traguardo anche in questa gara.

5. Cerca di ricostruire quali furono le squadre di calcio che si

classificarono ai primi cinque posti, e in quale ordine, nel campionato

italiano di calcio maschile di serie A cinquant’anni fa (1957/1958). E’

noto che il Napoli non arrivò al quinto posto e arrivò dopo il Padova. La

43

Fiorentina arrivò dopo la Juventus , prima del Padova e prima della

Roma. Una volta trovata la classifica, prova a proporre il problema

cambiando le informazioni.

Sol.: Juventus, Fiorentina, Padova, Napoli, Roma.

6. Oggi la professoressa di matematica ha voglia di giocare. Mette in testa

ad ogni studente della classe un cappello di carta, facendo in modo che

ognuno non conosca il colore del cappello che ha in testa. I cappelli

sono bianchi e rossi. Poi l’insegnante chiede ai ragazzi di mettersi in

fila, uno dietro l’altro, in modo che i colori dei cappelli non siamo

mischiati: dovranno disporsi in fila prima ragazzi con il cappello di un

colore, non importa quale, poi, a seguire, i ragazzi con il cappello

dell’altro colore. Gli studenti non possono comunicare in alcun modo

tra sé e non possono utilizzare alcun espediente: ognuno può solo

vedere il cappello di tutti gli altri. Se riusciranno ad esaudire la

richiesta, l’insegnante non assegnerà compiti per casa per la lezione

successiva. I ragazzi ci riusciranno?

Sol. Gli studenti ci riusciranno. I primi due si metteranno in fila, il terzo

se vedrà cappelli uguali si metterà dietro di loro, se vedrà cappelli

diversi si metterà tra l’uno e l’altro, analogamente si comporterà il

quarto etc.

Un esempio di ‘Gioco’ più difficile:

7. L’insegnante di matematica ha anche oggi (come seguito al n. 6) voglia

di giocare e propone un’altra sfida. Chiede agli studenti di scegliere tra

loro tre compagni ai quali affidare la sorte, si fa per dire, di tutti gli altri.

Se i tre riusciranno a rispondere ad una richiesta dell’insegnante, tutta la

classe avrà il solito premio: niente compiti a casa per la successiva

lezione. L’insegnante dispone in fila, uno dietro l’altro, i tre studenti

scelti e mette loro in testa un cappello senza che nessuno possa vedere

qual è il colore del proprio cappello. Così il primo studente non vede gli

altri due, il secondo vede il primo e il terzo vede gli altri due, che lo

precedono. I cappelli sono scelti casualmente da una busta nella quale ci

sono due cappelli bianchi e due rossi. A quel punto l’insegnante dice:

“Se almeno uno di voi tre mi dirà entro 10 minuti di che colore è il

cappello che ha in testa, tutta la classe avrà il premio. Ma attenzione, se

qualcuno di voi tre fa un’affermazione sbagliata sul colore del cappello

che ha in testa, anche se il tempo a disposizione non è terminato, il

gioco finisce e non avrete il premio!”. E’ possibile riuscire ad avere il

premio, comunque siano estratti dalla busta i cappelli?

Sol. Sì, è possibile. Se la sorte è stata magnanima, il ragazzo ultimo

della fila vedrà sulla testa dei compagni che gli stanno davanti due

cappelli dello stesso colore e potrà affermare con certezza di indossare

un cappello di colore diverso da quello. Se non sarà così, dopo qualche

minuto, lo studente che occupa il posto centrale della fila, capirà di non

essere nella situazione descritta in precedenza, ovvero che il colore del

suo cappello è diverso da quello del cappello del compagno che gli sta

davanti e quindi potrà dire con certezza qual è il colore del cappello che

indossa.

Anche problemi ‘classici’ -come quello del contadino che deve

traghettare un cavolo, un lupo ed una pecora- sono proponibili con la

sola accortezza di utilizzarli (come il n. 7) quando è consolidata l’idea

44

che i giochi di questa attività sono finalizzati alla ‘ginnastica mentale’ e

non è indispensabile giungere alla soluzione, ma soprattutto è

importante ricercare la soluzione, sperimentando varie vie, varie ipotesi

di procedimento.