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STUDIO DEL SEGNO DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO Consideriamo il trinomio di secondo grado in forma normale: ! + + , , ∈ ≠ 0 Ci proponiamo di studiare come varia il segno di questo trinomio al variare della variabile x. In altre parole vogliamo vedere: • per quali valori della x il trinomio assume valori positivi • per quali valori della x il trinomio assume valori negativi • per quali valori della x il trinomio si annulla (cioè vale zero) Per fare questo consideriamo l’equazione associata ottenuta uguagliando a zero il trinomio dato: ! + + = 0 Calcoliamo il discriminante di questa equazione: ∆= ! − 4 ∙ ∙ Vi sono tre possibilità: 1. Δ>0 l’equazione ha due radici (soluzioni) x1 ex2 una diversa dall’altra 2. Δ=0 l’equazione ha una sola radice (soluzione) x1 3. Δ<0 l’equazione non ha nessuna radice (soluzione) A questo punto possiamo dire che il trinomio di secondo grado: ! + + , quando è: 1. Δ > 0, assume valori di segno concorde al suo primo coefficiente a, per tutti e soli i valori della x esterni all’intervallo che ha per estremi le sue due radici x1 ex2, mentre assume valori di segno contrario ad a per tutti e soli i valori della x interni a detto intervallo. Naturalmente per x = x1 e per x=x2 il trinomio si annulla, cioè è uguale a zero 2. Δ = 0, assume valori di segno concorde al suo primo coefficiente a, per tutti i valori della x ad eccezione di x = x1 per il quale il trinomio si annulla, cioè è uguale a zero 3. Δ < 0, assume sempre valori di segno concorde al suo primo coefficiente a e non si annulla mai
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STUDIODELSEGNODIUNTRINOMIODISECONDOGRADOConsideriamoiltrinomiodisecondogradoinformanormale:
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑹 𝑒 𝑎 ≠ 0Ciproponiamodistudiarecomevariailsegnodiquestotrinomioalvariaredellavariabilex.Inaltreparolevogliamovedere:
• perqualivaloridellaxiltrinomioassumevaloripositivi• perqualivaloridellaxiltrinomioassumevalorinegativi• perqualivaloridellaxiltrinomiosiannulla(cioèvalezero)
Perfarequestoconsideriamol’equazioneassociataottenutauguagliandoazeroiltrinomiodato:
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0Calcoliamoildiscriminantediquestaequazione:
∆= 𝑏! − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐Visonotrepossibilità:1. Δ>0 l’equazionehadueradici(soluzioni)x1ex2unadiversadall’altra2. Δ=0 l’equazionehaunasolaradice(soluzione)x13. Δ<0 l’equazionenonhanessunaradice(soluzione)Aquestopuntopossiamodirecheiltrinomiodisecondogrado:𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐,quandoè:
1. Δ> 0, assume valori di segno concorde al suoprimo coefficientea, pertuttiesoli ivaloridellaxesterniall’intervallochehaperestremi lesuedueradicix1ex2,mentreassumevaloridisegnocontrarioadapertuttiesoliivaloridellaxinterniadettointervallo.Naturalmenteperx=x1eperx=x2iltrinomiosiannulla,cioèèugualeazero
2. Δ= 0, assume valori di segno concorde al suoprimo coefficientea, pertutti i valori della x ad eccezione di x = x1 per il quale il trinomio siannulla,cioèèugualeazero
3. Δ<0,assumesemprevaloridisegnoconcordealsuoprimocoefficientea
enonsiannullamai
Esempion.1Determinareilsegnodeltrinomiodisecondogrado:
𝑥! + 3𝑥 + 2Consideriamo l’equazione associata ottenuta uguagliando a zero il trinomiodato:
𝑥! + 3𝑥 + 2 = 0Icoefficientidell’equazionesono:𝑎 = +1𝑏 = +3𝑐 = +2
Calcoliamoildiscriminantedell’equazione:
∆= 𝑏! − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = +3 ! − 4 ∙ +1 ∙ +2 = +9− 8 = +1PoichéΔèmaggioredizero,l’equazionehadueradici,unadiversadall’altra,chetroviamoconlaseguenteformula:
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏! − 4𝑎𝑐
2𝑎 = − +3 ± 12 ∙ +1 =
−3± 12
quindi:
𝑥! =−3+ 12 =
−2+2 = −1
𝑥! =−3− 12 =
−4+2 = −2
Iltrinomiosaràpositivonell’intervallo: −∞;−2 enell’intervallo: −1;+∞ mentresarànegativonell’intervallo: −2;−1 Questaèlarappresentazionegrafica: -2 -1
