STUDIODELSEGNODIUNTRINOMIODISECONDOGRADOConsideriamoiltrinomiodisecondogradoinformanormale:

𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑹 𝑒 𝑎 ≠ 0Ciproponiamodistudiarecomevariailsegnodiquestotrinomioalvariaredellavariabilex.Inaltreparolevogliamovedere:

• perqualivaloridellaxiltrinomioassumevaloripositivi• perqualivaloridellaxiltrinomioassumevalorinegativi• perqualivaloridellaxiltrinomiosiannulla(cioèvalezero)

Perfarequestoconsideriamol’equazioneassociataottenutauguagliandoazeroiltrinomiodato:

𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0Calcoliamoildiscriminantediquestaequazione:

∆= 𝑏! − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐Visonotrepossibilità:1. Δ>0 l’equazionehadueradici(soluzioni)x1ex2unadiversadall’altra2. Δ=0 l’equazionehaunasolaradice(soluzione)x13. Δ<0 l’equazionenonhanessunaradice(soluzione)Aquestopuntopossiamodirecheiltrinomiodisecondogrado:𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐,quandoè:

1. Δ> 0, assume valori di segno concorde al suoprimo coefficientea, pertuttiesoli ivaloridellaxesterniall’intervallochehaperestremi lesuedueradicix1ex2,mentreassumevaloridisegnocontrarioadapertuttiesoliivaloridellaxinterniadettointervallo.Naturalmenteperx=x1eperx=x2iltrinomiosiannulla,cioèèugualeazero

2. Δ= 0, assume valori di segno concorde al suoprimo coefficientea, pertutti i valori della x ad eccezione di x = x1 per il quale il trinomio siannulla,cioèèugualeazero

3. Δ<0,assumesemprevaloridisegnoconcordealsuoprimocoefficientea

enonsiannullamai

Esempion.1Determinareilsegnodeltrinomiodisecondogrado:

𝑥! + 3𝑥 + 2Consideriamo l’equazione associata ottenuta uguagliando a zero il trinomiodato:

𝑥! + 3𝑥 + 2 = 0Icoefficientidell’equazionesono:𝑎 = +1𝑏 = +3𝑐 = +2

Calcoliamoildiscriminantedell’equazione:

∆= 𝑏! − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = +3 ! − 4 ∙ +1 ∙ +2 = +9− 8 = +1PoichéΔèmaggioredizero,l’equazionehadueradici,unadiversadall’altra,chetroviamoconlaseguenteformula:

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏! − 4𝑎𝑐

2𝑎 = − +3 ± 12 ∙ +1 =

−3± 12

quindi:

𝑥! =−3+ 12 =

−2+2 = −1

𝑥! =−3− 12 =

−4+2 = −2

Iltrinomiosaràpositivonell’intervallo: −∞;−2 enell’intervallo: −1;+∞ mentresarànegativonell’intervallo: −2;−1 Questaèlarappresentazionegrafica: -2 -1