LICEO delle SCIENZE UMANE “B. PASCAL” · 1.3 Trinomio scomponibile nel quadrato di un binomio...
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LICEO delle SCIENZE UMANE “B. PASCAL” Prof. Loredana Mannarino
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LICEO delle SCIENZE UMANE
“B. PASCAL”
Prof. Loredana Mannarino
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INDICE
1. Scomposizione di polinomi 1.1 Raccoglimento totale a fattor comune…………………………………………………………………………..3 1.2 Raccoglimento parziale a fattor comune…………………………………………………………………………3 1.3 Trinomio scomponibile nel quadrato di un binomio….……………………………………………………3 1.4 Polinomio scomponibile nel quadrato di un trinomio…………………………………………………....4 1.5 Differenza di due quadrati................................................................................................4 1.6 Quadrinomio scomponibile nel cubo di un binomio………………………………………………………..4 1.7 Scomposizione del trinomio notevole………………………………..………………………………………..….5 1.8 Somma e differenza di cubi……………………………………….…………………………………………………….5
2. Frazioni algebriche 2.1 Operazioni con le frazioni algebriche…………………………………………………………………..............6
3. Il secondo grado 3.1 Equazioni di secondo grado complete……………………………………………………………………………..9 3.2 Equazioni di secondo grado incomplete…………………………………………..………………………….…10 3.3 Disequazioni di secondo grado…………………………………………………….………………………..........11
4. Il piano cartesiano 4.1 La Parabola……………………………………………………………………………………………………….............13
4.2 La Circonferenza……………………………………….…………………………………………………………………..15
4.3 L’Ellisse……………………………………………………..………………………………………………………………….16
4.4 L’Iperbole………………………………………………………………………………………………………………….....17
5. Statistica 5.1 Dipendenza statistica correlazione e regressione…………………………………………………………..18
3
1. Scomposizione di polinomi
DEFINIZIONE : Scomporre significa trasformare un polinomio di partenza nel prodotto di altri polinomi di grado inferiore rispetto al polinomio di partenza, uno dei quali può anche essere un monomio. Ad esempio, ricordando il prodotto notevole: (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 𝑏 si può anche scrivere l’uguaglianza: 𝒂 − 𝒃 = (𝒂 + 𝒃) ∙ (𝒂 − 𝒃) in cui il polinomio 𝑎 − 𝑏 è il prodotto dei due fattori di primo grado: (a+b) e (a-b) DEFINIZIONE: polinomio riducibile: si dice che un polinomio è riducibile quando può essere scomposto in fattori ciascuno dei quali di grado inferiore a quello del polinomio dato. DEFINIZIONE: polinomio irriducibile: si dice che un polinomio è irriducibile quando non può essere scomposto in fattori. Di seguito vengono riportati i vari metodi per scomporre un polinomio in fattori: 1.1 Raccoglimento totale a fattor comune
Si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione cioè: 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐴𝐷 = 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶 + 𝐷) ; A è un fattore comune a tutti i termini del polinomio e viene messo in evidenza, raccolto. A è di solito il MCD dei termini del polinomio da scomporre. Il polinomio B+C+D è il quoziente tra il polinomio dato e il termine A: Es: 2𝑥 + 6𝑥𝑦 + 4𝑥 = 𝒙 ∙ 𝑥 + 𝒙 ∙ 3𝑦 + 𝒙 ∙ 2 = 𝒙 ∙ (𝑥 + 3𝑦 + 2)
𝑨 ∙ 𝐵 + 𝑨 ∙ 𝐶 + 𝑨 ∙ 𝐷 = 𝑨 ∙ (𝐵 + 𝐶 + 𝐷)
1.2 Raccoglimento parziale a fattor comune Si applica quando è possibile effettuare dei raccoglimenti parziali tra gruppi di termini in modo tale che successivamente sia possibile mettere in evidenza un fattor comune. Il raccoglimento parziale deve sempre condurre ad un successivo raccoglimento totale: Es: 𝑎𝒙 − 3𝒙 + 𝑎𝒚 − 3𝒚 = 𝒙(𝒂 − 𝟑) + 𝒚(𝒂 − 𝟑) = (𝒂 − 𝟑) ∙ (𝒙 + 𝒚) Dopo aver raccolto tra i primi due termini il fattore comune x e, tra il terzo e il quarto termine il fattore comune y, di osserva che il fattore (𝒂 − 𝟑) è comune ai due termini restanti e perciò può ancora essere messo in evidenza attraverso un raccoglimento totale. 1.3 Trinomio scomponibile nel quadrato di un binomio Ricordando lo sviluppo del quadrato di un binomio (I prodotto notevole) dato dalla relazione: (𝐴 + 𝐵)2=𝐴2 + 2 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐵2; leggendo l’uguaglianza da destra verso sinistra si può scrivere:
𝐴2 + 2 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐵2 = (𝐴 + 𝐵)2
Esempio:
P Polinomio
Scomposizione di P
4
4𝑥 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦 = (2𝑥 + 3𝑦) essendo:
A2=4x2= (2x)2 quindi A =2x
B2=9y2= (3y)2 quindi B =3y
2∙ 𝑨 ∙ 𝑩 = ∙ 𝒙 ∙ 𝟑𝒚 = 𝟏 𝒙𝒚
Analogamente, ricordando lo sviluppo del quadrato di un trinomio vale la scomposizione di seguito:
1.4 Polinomio scomponibile nel quadrato di un trinomio
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 2𝐴𝐵 + 2𝐴𝐶 + 2𝐵𝐶 = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)
Esempio: 𝑎 + 9𝑏 + 4𝑐 − 6𝑎𝑏 − 4𝑎𝑐 + 12𝑏𝑐 = (𝑎 − 3𝑏 − 2𝑐) poiché:
A2=a2= (a)2 quindi A =a
B2=9b2= (-3b)2 quindi B =-3b
C2= 4c2=(-2c)2 quindi C=-2c
2∙ 𝑨 ∙ 𝑩 = ∙ 𝒂 ∙ (−𝟑𝒃) = −𝟔𝒂𝒃
2∙ 𝑨 ∙ 𝑪 = ∙ 𝒂 ∙ (− 𝒄) = −𝟒𝒂𝒄
2∙ 𝑩 ∙ 𝑪 = ∙ (−𝟑𝒃) ∙ (− 𝒄) = +𝟏 𝒃𝒄
1.5 Differenza di due quadrati Ricordando il prodotto notevole somma per differenza, si ha: 𝐴 − 𝐵 = (𝐴 + 𝐵) ∙ (𝐴 − 𝐵) Esempio: 25𝑥 − 9𝑦 = (5𝑥 + 3𝑦) ∙ (5𝑥 − 3𝑦) essendo:
A2=25x2= (5x)2 quindi A =5x
B2=9y2= (3y)2 quindi B =3y
1.6 Quadrinomio scomponibile nel cubo di un binomio Ricordando il prodotto notevole cubo di un binomio 𝐴 + 𝐵 + 3𝐴 𝐵 + 3𝐴𝐵 = (𝐴 + 𝐵) Esempio: 27𝑥 + 54𝑥 𝑦 + 36𝑥𝑦 + 8𝑦 = (3𝑥 + 2𝑦) essendo:
5
A3=27x3= (3x)3 quindi A =3x
B3=8y3= (2y)3 quindi B =2y
3∙ 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝟑 ∙ (𝟑𝒙) ∙ ( 𝒚) = 𝟓𝟒𝒙 𝒚
3∙ 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝟑 ∙ (𝟑𝒙) ∙ ( 𝒚) = 𝟑𝟔𝒙𝒚
1.7 Scomposizione del trinomio notevole
Chiamiamo trinomio notevole o trinomio particolare un trinomio della forma: 𝑥 + (𝐴 + 𝐵)𝑥 + 𝐴 ∙ 𝐵 = (𝑥 + 𝐴) ∙ (𝑥 + 𝐵) dove A e B sono due numeri. Un trinomio notevole è: - di secondo grado rispetto ad una lettera, nel nostro caso la x; - ha il primo coefficiente, cioè il coefficiente di x2 =1; - ha il secondo coefficiente, cioè il coefficiente di x, uguale alla somma dei due numeri A e B - ha il terzo coefficiente (termine noto), uguale al prodotto dei due numeri A e B. in pratica un trinomio notevole è nella forma:
𝑥 + 𝑺𝑥 + 𝑷 𝑐𝑜𝑛 𝑺 = 𝑨 + 𝑩 𝑒 𝑷 = 𝐴 ∙ 𝑩 Esempio: 𝑥 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 + 3) essendo S=5 =A+B= 2+3 P=6 = A∙ 𝑩= 2∙ 3 1.8 Somma e differenza di cubi
𝐴 + 𝐵 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐴𝐵 + 𝐵 ) la somma di cubi si scompone in un prodotto di due fattori in cui il primo fattore è dato dalla somma delle basi e il secondo fattore da un polinomio ottenuto dal quadrato del primo termine, dal quadrato del secondo termine e dal semplice prodotto del primo per il secondo termine cambiato di segno (il secondo fattore è chiamato falso quadrato) 𝐴 − 𝐵 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐴𝐵 + 𝐵 ) La differenza di cubi si scompone in un prodotto di due fattori in cui, il primo fattore è dato dalla differenza delle basi e il secondo fattore da un polinomio ottenuto dal quadrato del primo termine, dal quadrato del secondo termine e dal semplice prodotto del primo per il secondo termine cambiato di segno (il secondo fattore è chiamato falso quadrato) Esempi:
6
8𝑥 + 27𝑏 = (2𝑥 + 3𝑏) ∙ (4𝑥 − 6𝑏𝑥 + 9𝑏 ) somma di cubi
𝑨 = 8𝑥 = ( 𝒙) quindi A = 2x e A2=4x2
𝑩 = 27𝑏 = (𝟑𝒃) quindi B = 3b e B2=9b2
8𝑥 − 27𝑏 = (2𝑥 − 3𝑏) ∙ (4𝑥 + 6𝑏𝑥 + 9𝑏 ) differenza di cubi
2. Frazioni algebriche
Definizione: è un’espressione letterale della forma 𝐴/𝐵 𝑐𝑜𝑛 𝐵≠0 dove 𝐴 𝑒 𝐵 sono polinomi e B è
diverso dal polinomio nullo; 𝐴 𝑒 𝐵 sono i termini della frazione, 𝐴 è il numeratore e 𝐵 è il
denominatore
Condizioni di esistenza di una frazione algebrica
Una frazione algebrica ha significato per i valori numerici che, attribuiti alle lettere che figurano in
essa, non annullano il suo denominatore
𝑎 + 2
𝑎 + 4 𝑎 𝑛 𝑐𝑎 𝑜 𝑒 𝑎 −4 𝐶 𝑎 −4
Proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo il numeratore e il denominatore di una frazione
algebrica per uno stesso polinomio non nullo, si ottiene una frazione algebrica equivalente alla data
Semplificazione di una frazione algebrica: è necessario dividere il numeratore e il denominatore per
un divisore comune
𝐴
𝐵=
𝑎 𝑏𝑥 − 𝑎 𝑏𝑦
3𝑎 𝑏=
𝑎 𝑏(𝑥 − 𝑦)
3𝑎 𝑏=
𝑥 − 𝑦
3𝑎 𝑎 𝑏
Riduzione di più frazioni algebriche allo stesso denominatore
a. Si semplificano le frazioni date
b. Il denominatore comune cercato è il mcm dei denominatori
c. Si divide il denominatore comune per il denominatore di ciascuna frazione
d. Si moltiplica il numeratore di ciascuna frazione per il corrispondente quoziente determinato al
punto c. I prodotti così ottenuti sono i numeratori delle frazioni richieste il cui denominatore comune
è quello determinato al punto B
Nota: il procedimento di riduzione è analogo a quello usato per le frazioni numeriche.
7
Esempio:
ridurre allo stesso denominatore le seguenti frazioni algebriche:
3𝑎
𝑎 − 𝑏
2
𝑏 − 𝑎
𝑎 − 𝑏
𝑎 + 𝑏
Si può osservare che la seconda frazione può essere scritta nella forma : −
quindi il m.c.d. è
(a-b)(a+b)
3𝑎
𝑎 − 𝑏=
3𝑎(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) −
2
𝑎 − 𝑏=
−2(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
𝑎 − 𝑏
𝑎 + 𝑏 =
(𝑎 − 𝑏)
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
2.1 Operazioni con le frazioni algebriche
Le operazioni con le frazioni algebriche seguono le stesse regole viste per le frazioni numeriche
Somma algebrica
La somma algebrica di due o più frazioni algebriche con lo stesso denominatore è la frazione che ha
per denominatore lo stesso denominatore delle frazioni date e per numeratore la somma algebrica
dei numeratori: 𝐴
𝐶+
𝐵
𝐶=
𝐴 + 𝐵
𝐶
Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, prima di sommarle occorre ridurle a denominatore
comune.
Esempio:
1
𝑎 + 1+
3
2𝑎 + 2=
1
𝑎 + 1+
3
2(𝑎 + 1)=
2 + 3
2(𝑎 + 1)=
5
2(𝑎 + 1)
Prodotto
Il prodotto di due o più frazioni algebriche è la frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto
dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori
𝐴
𝐵∙𝐶
𝐷=
𝐴 ∙ 𝐶
𝐵 ∙ 𝐷
Di solito prima di procedere alla moltiplicazione, oltre a semplificare le singole frazioni è opportuno
eseguire anche le semplificazioni in croce: i fattori che compaiono alo numeratore di una frazione
possono essere semplificati con i fattori che compaiono al denominatore dell’altra.
Esempio:
8
2𝑎 + 2
3∙
6
5𝑎 + 5∙5
8=
2(𝑎 + 1)
3∙
6
5(𝑎 + 1)∙5
8=
1
2
Reciproco
Due frazioni algebriche si dicono reciproche se il loro prodotto è =1. Il reciproco di una frazione
algebrica si ottiene scambiando tra loro il numeratore e il denominatore della frazione data:
(𝐴
𝐵)
=𝐵
𝐴
Quoziente
Il quoziente di due frazioni algebriche è il prodotto della prima per il reciproco della seconda 𝐴
𝐵 𝐶
𝐷=
𝐴
𝐵∙𝐷
𝐶
Esempio:
1
3𝑎 + 3𝑥
2𝑥
𝑎 + 𝑥=
1
3(𝑎 + 𝑥)∙𝑎 + 𝑥
2𝑥=
1
6𝑥
Potenza
La potenza di una frazione algebrica è la frazione algebrica che ha per numeratore la potenza del
numeratore e per denominatore la potenza del denominatore
(𝐴
𝐵)
=𝐴
𝐵
Se l’esponente è negativo, si ha :
(𝐴
𝐵)
= (𝐵
𝐴)
=𝐵
𝐴
Esempio:
(3𝑎𝑏
4𝑐)
∙ (2𝑐
𝑎 𝑏)
=4𝑐
3𝑎𝑏 ∙ (
𝑎 𝑏
2𝑐)
=4𝑐
3𝑎𝑏 ∙𝑎 𝑏
4𝑐 =
𝑎
3𝑐
9
3. Il secondo grado
3.1 Equazioni di secondo grado complete
Premesso che un’equazione algebrica intera nell’incognita x può essere scritta nella forma detta
NORMALE o CANONICA: P(x) =0 in cui P(x) è un polinomio,
Si definisce equazione di II grado un’equazione in cui P(x) è un polinomio di secondo grado.
La forma canonica di un’equazione di II grado è quindi:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
a, b e c sono detti rispettivamente coefficienti del termine di II grado, di I grado e termine noto
Se tutti i coefficienti, a, b e c sono ≠ da 0 l’equazione di dice completa
Se b = 0 l’equazione diventa incompleta ax 2+c=0 ed è detta pura
Se c = 0 l’equazione diventa incompleta ax 2+bx=0 ed è detta spuria
Se a=0 l’equazione diventa bx +c =0, cioè un’equazione di I grado.
E’ possibile dimostrare che un’equazione di II grado, quando è risolvibile ha sempre due soluzioni in
campo reale.
Nel caso dell’equazione completa: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 le soluzioni sono date dalla formula:
𝑥 =−𝑏 √𝑏 − 4𝑎𝑐
2𝑎
con 𝑥 = √
e 𝑥 =
√
La quantità sotto la radice quadrata: 𝑏 − 4𝑎𝑐 è spesso indicata con il simbolo Δ (delta) che sta per
discriminante, quindi Δ = 𝑏 − 4𝑎𝑐. La radice quadrata di un numero esiste se il radicando è ≥ 0,
perciò si possono fare le seguenti considerazioni in relazione al valore del Δ:
- Se 𝑏 − 4𝑎𝑐 0 cioè Δ>0 l’equazione ammette due soluzioni distinte: 𝑥 𝑥 ;
- se 𝑏 − 4𝑎𝑐 = 0 cioè Δ=0 l’equazione ammette due soluzioni coincidenti: 𝑥 = 𝑥 ;
- se 𝑏 − 4𝑎𝑐 0 cioè Δ<0 l’equazione non ammette soluzioni in campo reale, si dice che è
impossibile in R.
Esempi: risolvere x2 + 2x +2=0; x
2 -7x+10=0; 4𝑥 + 12𝑥 + 9 = 0
Applicando la formula, per la prima equazione si ottiene:
10
𝑥 = √
=
√( ) ∙( )∙( )
∙( )=
√(
=
√( )
ed essendo -4 <0 (Δ<0) l’equazione è
impossibile in R.
Applicando la formula, per la seconda equazione si ottiene
𝑥 = √
=
( ) √( ) ∙( )∙( )
∙( )=
√(
=
√
𝑛 𝑥 =
=
= 2 𝑒 𝑥 =
= 5; essendo il Δ>0 si ottengono due soluzioni che sono rispettivamente x1=2 e x2 =5
Applicando la formula, per la terza equazione si ottiene
𝑥 = √
=
√( ) ∙( )∙( )
∙( )=
√
=
√
𝑛 𝑥 = 𝑥 =
= −
;
essendo il Δ=0 si ottengono due soluzioni coincidenti x1= x2 = −
3.2 Equazioni di secondo grado incomplete
Nel caso di equazioni di secondo grado incomplete, anziché utilizzare la formula precedente si
procede più velocemente come di seguito:
- equazione spuria (c=0) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 0
si procede raccogliendo un fattore comune (in generale x) e poi applicando la legge di annullamento del prodotto: 𝑥 ∙ (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 da cui, annullando ciascun fattore, cioè ponendo x=0 e ax+b=0, si ottengono le
due soluzioni 𝑥 = 0 𝑥 = −
- equazione pura (b=0) 𝑎𝑥 + 𝑐 = 0
si può scrivere, isolando la x
𝑎𝑥 = −𝑐 e quindi 𝑥 = −
ricordando che un quadrato deve essere sempre positivo, si può
concludere che :
se -
0 l’equazione è impossibile
se -
0 l’equazione ha due soluzioni distinte 𝑥 = √−
Esempi: risolvere 2𝑥 + 10𝑥 = 0; 𝑥 − 64 = 0; 5𝑥 + 125 = 0
2𝑥 + 10𝑥 = 0 2x ∙ (𝑥 + 5) = 0 2𝑥 = 0 𝑥 = 0 𝑜 𝑒 𝑥 + 5 = 0 𝑥 = −5
11
𝑥 − 64 = 0 𝑥 = 64 𝑥 = √64 𝑥 = 8
5𝑥 + 125 = 0 𝑥 + 25 = 0 𝑥 = −25 𝑚 𝑜 𝑏 𝑙𝑒
3.3 Disequazioni di secondo grado
Sono disequazioni che si presentano in una delle seguenti forme:
- 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 0
- 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 0
- 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 0
- 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 0
Si risolvono passando alla equazione di secondo grado associata, cioè l’equazione che si ottiene
ponendo il primo membro della disequazione uguale a zero, e tenendo presente la tabella di seguito
riportata, nella quale x1 e x2 sono le soluzioni dell’equazioni di II grado associata.
Considerando il segno del primo coefficiente a con il segno della disequazione (> o < ) si dice che a e
la disequazione sono concordi se a è positivo e il segno della disequazione è > , discordi se a è
negativo e il segno della disequazione è > e viceversa (concordi se a è negativo e il segno della
disequazione è < , discordi se a è positivo e il segno della disequazione è < )
Riprendiamo ad esempio le equazioni complete risolte in precedenza di cui sappiamo già le soluzioni x
2 + 2x +2=0 → impossibile in R ( quindi Δ<0)
x2 -7x+10=0;→ x1=2 e x2 =5 (quindi Δ>0)
Δ= b2-4ac
Primo coefficiente e segno della
disequazione
ax2
+bx+c>0
ax2
+bx+c<0
ax2
+bx+c≥0
ax2
+bx+c≤0
Δ > 0 concordi x<x1 o x>x2 x ≤ x1 o x ≥ x2
discordi x1<x<x2 x1≤ x ≤ x2
Δ =0 concordi qualunque x≠x1=x2 qualunque x
discordi nessuna x= x1 =x2
Δ < 0 concordi qualunque x qualunque x
discordi nessuna nessuna
12
4𝑥 + 12𝑥 + 9 = 0 x1=x2= −
(quindi Δ=0)
ci proponiamo di risolvere: - x2 + 2x +2>0
essendo a e la disequazioni concordi e Δ<0, si può dire che la disequazione è sempre verificata - x
2 -7x+10>0
essendo a e la disequazioni concordi e Δ>0, si può dire che la disequazione è verificata per valori esterni all’intervallo delle soluzioni dell’equazione di secondo grado associata: x<2 e x >5
- 4𝑥 + 12𝑥 + 9 0
essendo a e la disequazioni concordi e Δ=0, si può dire che la disequazione è verificata per tutti i
valori di R ad esclusione del valore x= −
( valore per cui il polinomio 4𝑥 + 12𝑥 + 9 diventa =0)
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4. Il piano cartesiano 4.1 La Parabola Definizione: è il luogo dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso detto fuoco (F) e da una retta fissa detta direttrice . A partire dalla definizione, è possibile dimostrare che l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse y è: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Vertice, fuoco, asse di simmetria e direttrice sono determinabili, a partire dall’equazione della parabola, dalle relazioni:
𝑉 = (−
−
)
𝐹 = (−𝑏
2𝑎 1 −
4𝑎)
𝑥 = −
𝑦 = −
In cui Δ= b2-4ac Se nell’equazione della parabola si pone y=0, (equazione dell’asse x ne piano cartesiano) l’equazione diventa un’equazione di secondo grado; si comprende allora come risolvere un’equazione di secondo grado significa determinare i valori delle x in cui la parabola interseca l’asse x. Esercizio: rappresenta graficamente la parabola dopo aver determinato vertice, fuoco, asse di simmetria, direttrice e intersezione con gli assi coordinati.
𝑦 =
𝑥 + 𝑥 − 4 è evidente che a=1/2; b=1; c=-4.
Applicando le formule sopra indicate si ottiene: Δ= b2-4ac= 12-4∙(1/2)∙(-4)=9
14
𝑉 = (−𝑏
2𝑎 −
4𝑎) = (−
1
2 ∙12
−9
4 ∙12
) = (−1 −9
2)
𝐹 = (−𝑏
2𝑎 1 −
4𝑎) = (−1
1 − 9
2) = (−1 −4)
𝑥 = −𝑏
2𝑎 𝑥 = −1 𝑎 𝑒 𝑚𝑚𝑒 𝑎
𝑦 = −1 +
4𝑎= −
1 + 9
2= −5 𝑦 = −5 𝑒 𝑐𝑒
Intersezione con asse y
{𝑥 = 0
𝑦 =
𝑥 + 𝑥 − 4 {
𝑥 = 0𝑦 = −4
Intersezione con asse x
{𝑦 = 0
𝑦 =1
2𝑥 + 𝑥 − 4
{𝑦 = 0
0 =1
2𝑥 + 𝑥 − 4
𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛 𝑜 𝑙 𝑒 𝑎𝑧 𝑜𝑛𝑒 𝐼𝐼 𝑎 𝑜
Si ottiene x1=-4 e x2=2; perciò la parabola interseca l’asse x nei due punti di coordinate
{𝑥 = −4𝑦 = 0
e {𝑥 = 2𝑦 = 0
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4.2 La Circonferenza
Definizione: è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. A partire dalla definizione, note le coordinate del centro C(a; b) e il raggio r , si può pertanto scrivere: (𝑥 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏) =
Dalla equazioni indicata sopra è evidente che se la circonferenza ha il centro nell’origine degli assi cartesiano, l’equazione diventa: 𝑥 + 𝑦 = Nel caso generale, sviluppando i calcoli si ottiene: 𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 Da cui è possibile ricavare le coordinate del centro e il valore del raggio
𝐶 = (−
−
) = √(−
)
+ (−
)
− 𝑐
Esercizio: determinare centro e raggio della circonferenza di equazione 𝑥 + 𝑦 + 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 Si ha: a=2; b=4; c=1 pertanto:
𝐶 = (−
−
) = (−
−
) = (−1 −2)
= √(−
)
+ (−
)
− 𝑐 = √(−1) + (−2) − 1 = √1 + 4 − 1 = 2
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4.3 L’ Ellisse Definizione: è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Applicando la definizione nel caso particolare di ellisse con centro nell’origine degli assi e fuochi sull’asse x, è possibile dimostrare che l’equazione dell’ellisse è : 𝑥
𝑎 +
𝑦
𝑏 = 1 𝑐𝑜𝑛 𝑎 0 𝑒 𝑏 0
𝐹 𝐹 ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 2𝑐 𝑐𝑜𝑛 0 𝑐 𝑎 𝐴 𝐴 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 2𝑎 𝑎 𝑒 𝑚𝑎 𝑜 𝑒 𝐵 𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 2𝑏 𝑎 𝑒 𝑚 𝑛𝑜 𝑒 𝑐 = 𝑎 − 𝑏
𝐹 = (−√𝑎 − 𝑏 0) = (−𝑐 0)
𝐹 = (√𝑎 − 𝑏 0) = (𝑐 0)
A1=(-a; 0) ( -A in figura)
A2=( a; 0) (A in figura)
B1=(0; -b) (-B in figura)
B2=( 0; b) (B in figura)
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Esercizio: determinare l’equazione canonica di un’ellisse, con i fuochi sull’asse x, sapendo che i suoi assi misurano 10 e 6. L’equazione dell’ellisse sarà, per quanto detto in precedenza: 𝑥
𝑎 +
𝑦
𝑏 = 1 𝑐𝑜𝑛 𝑎 0 𝑒 𝑏 0
Poiché l’asse maggiore vale 10; quindi 2a=10; quindi a=5 e b=3 si avrà 𝑥
25+
𝑦
9= 1
4.4 L’Iperbole
Definizione: è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza ( in valore assoluto) delle distanze da due punti fissi detti fuochi Applicando la definizione nel caso particolare di iperbole con centro nell’origine degli assi e fuochi sull’asse x, è possibile dimostrare che l’equazione è : 𝑥
𝑎 −
𝑦
𝑏 = 1 𝑐𝑜𝑛 𝑎 0 𝑒 𝑏 0
𝐹 𝐹 ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 2𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑐 𝑎 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 c è la semi-distanza focale
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𝐹 = (−√𝑎 + 𝑏 0) = (−𝑐 0)
𝐹 = (√𝑎 + 𝑏 0) = (𝑐 0)
V1=(-a; 0)
V2=( a; 0)
B1=(0; -b)
B2=( 0; b)
V1V2 è detto asse trasverso
B1B2 è detto asse non trasverso
L’iperbole è esterna al rettangolo delimitato dalle rette x=a; x=-a ; y=b; y=-b
Le rette 𝑦 =
𝑥 sono dette asintoti.
Esercizio: determinare vertici, assi, fuochi e asintoti dell’iperbole di equazione: 4x2-9y2-36=0.
Innanzitutto scriviamo l’equazione in forma canonica, dividendo per 36 ambo i membri e portando il
termine noto a secondo membro, si ottiene:
−
= 1 quindi a2=9 e b2=4 si ricava quindi a=3; b=2; c2=a2+b2=13; c =√13.
I vertici dell’iperbole sono: V1=(-3; 0) ; V2=(3; 0); B1 =(0; -2); B2=(0; 2) l’asse non trasverso misura 4;
l’asse trasverso misura 6. I fuochi sono i punti F1=(−√13 0); F2= (√13 0) la distanza focale vale
2c=2√13. Gli asintoti sono le rette 𝑦 =
𝑥 =
𝑥
5. Statistica
5.1 Dipendenza statistica correlazione e regressione
INTERPOLAZIONE: date due distribuzioni statistiche
x1, x
2, …..x
n; e y
1, y
2,….y
n il problema della interpolazione consiste nel determinare una funzione
y=f(x) detta funzione interpolante che descriva la relazione tra i valori di x e di y. Nel caso in cui la funzione interpolante passi esattamente per i punti (x1;y1) (x2; y2)…(xn; yn) si parla di interpolazione matematica ( o interpolazione per punti)
19
La figura mostra come il problema consista nel determinare il grafico della funzione che passa per i
punti (x1;y1); (x2; y2)…(xn; yn) .
Dal punto di vista statistico ha maggiore interesse, anziché l’interpolazione matematica,
l’interpolazione statistica, di seguito definita.
INTERPOLAZIONE STATISTICA ( O REGRESSIONE) : il problema della REGRESSIONE consiste nel determinare all’interno di una classe di funzioni (lineare, esponenziale, polinomiale …) quella i cui valori f(x
1), f(x
2), f(x
3)…. f(x
n) meglio approssimano i dati y
1; y
2; y
3;……y
n
Nella figura i dati: y1; y
2; y
3;……y
n sono rappresentati dai punti rossi e la retta in blu rappresenta la funzione lineare che approssima i dati indicati
Nel caso in cui i dati siano ben interpolati da una retta si parla di regressione lineare.
REGRESSIONE LINEARE : il problema consiste nel determinare l’equazione della retta ( detta RETTA DI REGRESSIONE) i cui punti meglio approssimano i valori (x
1;y
1), (x
2; y
2), ……..(x
n ; y
n).
L’equazione della retta di regressione si determina attraverso la seguente relazione :
y - M y = a ∙ ( x – M
x )
in cui My; Mx e a (coefficiente angolare della retta) sono calcolati rispettivamente con:
n
x
M
n
i
i
x
1
20
Mx è il valore medio dei valori x
1,x
2,….. x
n
M
y è il valore medio dei valori y
1,y
2,….. y
n
il coefficiente angolare della retta si determina svolgendo la divisione tra la somma dei prodotti degli scarti dalla media e la somma dei quadrati degli scarti dalla media degli x
i valori
CORRELAZIONE: è il termine che in statistica indica se le variazioni di due caratteri quantitativi X e Y sono collegate tra loro. Se al crescere di X cresce anche Y si parla di correlazione positiva; se al crescere di X , Y decresce si parla di correlazione negativa L’indice di correlazione di Pearson, r : è un coefficiente che permette di stabilire se due caratteri quantitativi sono correlati tra loro. E’ dato da dove σXY; σx ; σY sono dati da:
r assume valori compresi tra -1 e 1: -1≤ r ≤ 1
se r =-1 la correlazione è negativa;
se r = 1 la correlazione è positiva;
se r =0 non c’è correlazione tra i due caratteri quantitativi Esercizio: determina l’equazione della retta che interpola i seguenti valori
x 1 2 3 4 5
y 0 2 1 6 5
Per svolgere più agevolmente i calcoli è opportuno impostare una tabella come di seguito:
n
y
M
n
i
i
y
1
n
i
xi
n
i
yixi
Mx
MyMx
a
1
2
1
YX
XYr
yi
n
i
xiXY MyMxn
1
1
2
1
1
y
n
i
iY Myn
2
1
1
x
n
i
iX Mxn
21
x y x-Mx y-My (x-Mx)∙(y-My) (x-Mx)^2
1 0 -2 -2,8 5,6 4
2 2 -1 -0,8 0,8 1
3 1 0 -1,8 0 0
4 6 1 3,2 3,2 1
5 5 2 2,2 4,4 4
Mx=3 My=2,8 Σ(x-Mx)∙(y-My)=14 Σ(x-Mx)^2=10
Dalla quale, ricordando che: si ottiene a= 14/10=1.4 per la retta, applicando la relazione: y - M
y = a ∙ ( x – M
x ) si ricava y=1.4x-1.4
il grafico seguente mostra i vari punti e la retta di regressione calcolata.
y = 1,4x - 1,4
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6
n
i
xi
n
i
yixi
Mx
MyMx
a
1
2
1
