TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE

esercizi risoltiClassi quarte L.S.

In questa dispensa verrà riportato lo svolgimento di alcuni esercizi inerenti l'applicazione del primoprincipio della termodinamica, per il calcolo del lavoro prodotto in un ciclo ed il rendimento reale/idealedi una macchina termica.

Riprendiamo alcuni concetti utili.

• STATO TERMODINAMICO: Maniera di presentarsi di un qualsiasi sistema termodinamico relativamentealle tre variabili termodinamiche macroscopiche P , V , T , le quali sono correlate ad un preciso statomicroscopico del gas (collegato alle proprietà cinematiche delle sue particelle, ossia alle posizioni ealle velocità delle molecole). Sul piano di Clapeyron (V,P) è denotato da un punto.

• ENERGIA INTERNA U : Viene de�nita come somma delle varie forme di energia che il sistemapossiede. Se il sistema è particellare, come un gas perfetto, l'energia U è de�nita dalla relazione:

U =

N∑i=1

Ei

dove Ei è l'ammontare di energia della i−esima particella ed N il numero totale di particelle delgas. E' ovvio che l'energia interna è collegata allo stato termodinamico, per cui, come vedremo, ∆Usarà sempre collegato ad una variazione dello stato stesso. In tal senso si dice che U è una funzionedi stato. Nell'ipotesi che il gas segua la teoria cinetica, l'energia associata a ciascuna particella èpuramente cinetica e quindi l'energia interna è funzione della sola temperatura (ricordare la relazionedi Boltzmann fra l'energia cinetica media delle particelle e la temperatura assoluta). In tal caso∆U ∝ ∆T .

L'energia interna si può anche considerare una sorta di serbatoio energetico per il gas: la suavariazione sarà quindi dovuta ad un travaso di energia dall'ambiente a sistema, oppure ad unafuoriuscita di energia dal sistema all'ambiente (vedremo, sottoforma sia di calore acquisito/cedutoche di lavoro fatto sul/dal sistema)

• TRASFORMAZIONE TERMODINAMICA: Ogni processo o fenomeno che comporta una variazione dellostato termodinamico. Avviene sempre tra uno stato iniziale S0 ed uno �nale Sf . Essa può avvenirein vari modi:

a) trasformazione IDEALE o QUASISTATICA, quando la variazione dello stato avviene così len-tamente da far passare il sistema attraverso stati contigui di equilibrio, dando cioè tempo algas di abituarsi via via alla nuova condizione. In tal caso si parla anche di trasformazione RE-VERSIBILE, perchè mediante una trasformazione INVERSA possiamo ripristinare, a partireda Sf , lo stato iniziale S0. Sul piano di Clapeyron (V,P) è denotata da un qualsiasi tratto dicurva continua.

b) trasformazione REALE o IRREVERSIBILE: quella che avviene in modo repentino o violento,non passando attraverso stati contigui di equilibrio e quindi non essendo per essa possibileeseguire una trasformazione inversa che ritorni allo stato iniziale. Sul piano di Clapeyron(V,P) è denotata da una linea a zig-zag.

c) trasformazione CICLICA, quando lo stato �nale coincide con quello iniziale. Essa è per forzadi cose la successione di almeno due trasformazioni in sequenza. Sul piano di Clapeyron (V,P)è denotata da una qualsiasi curva chiusa.

• PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA: Relazione che esprime la variazione dell'energia internain funzione dei fenomeni che la provocano. Tale principio postula che, ai �ni della variazionedell'energia interna di un sistema termodinamico, sono equivalenti l'azione del calore Q (che puòessere fornito o sottratto al sistema) o la produzione di lavoro L (fatto dal sistema o prodotto sulsistema). Convenzionalmente, al calore fornito si dà segno positivo mentre a quello sottratto siattribuisce segno negativo. Per il lavoro, quello compiuto SUL sistema ha segno positivo, mentrequello fatto DAL sistema assume segno negativo. Matematicamente, il primo principio assume laformulazione:

∆U = Q− L

1

In generale, quindi, lo scambio di calore o la produzione di lavoro sono sempre correlati in manieraequivalente alla variazione dell'energia interna del sistema.

• TRASFORMAZIONE ISOBARA: Trasformazione dello stato di un gas che avviene senza variazione dellapressione a cui è soggetto il gas stesso (es. variazione della temperatura e quindi del volume di ungas entro cilindro con pistone mobile che esercita sul gas sempre la stessa pressione). Il legame apressione costante, tra V e T è espressa dalla prima legge di Gay-Lussac che è bene scrivere nellaforma:

V

T= cost

ove V è il volume del gas perfetto e T è la temperatura rigorosamente espressa in gradi Kelvin. Sulpiano di Clapeyron (V, P ) è denotata da un segmento orizzontale.

Una si�atta trasformazione è sempre associata alla produzione di lavoro L, dovuta alla variazionedi volume ∆V :

L = P ·∆V

Il calore Q scambiato tra sistema ed ambiente è proporzionale alla variazione di temperatura,tramite la relazione:

Q = n · CMP·∆T

ove n è il numero di moli del gas, CMPè la capacità termica molare a pressione costante (prodotto

della massa molare del gas e del calore speci�co cP a pressione costante del gas stesso).

In una trasformazione isobara, la variazione di energia interna è quindi ascrivibile sia al calore cheal lavoro. Ciò signi�ca, per esempio che se si riscalda un gas a pressione costante, l'energia immessa(sottoforma di calore Q) parte va ad aumentare l'energia interna (e quindi la T del gas) e parteserve per la produzione di lavoro da parte del gas, dovuto alla sua espansione.

• TRASFORMAZIONE ISOCORA: Trasformazione dello stato di un gas che avviene senza variazione delvolume (es. variazione della temperatura e quindi della pressione di un gas entro cilindro con pistonebloccato). Il legame a volume costante, tra T e P è espressa dalla seconda legge di Gay-Lussac cheè bene scrivere nella forma:

P

T= cost

ove P è la pressione del gas perfetto e T è la temperatura rigorosamente espressa in gradi Kelvin.Sul piano di Clapeyron (V, P ) è denotata da un segmento verticale.

Una si�atta trasformazione non è mai associata alla produzione di lavoro L, visto che la variazionedi volume ∆V è nulla, per cui L = 0.

Il calore Q scambiato tra sistema ed ambiente è proporzionale alla variazione di temperatura,tramite la relazione:

Q = n · CMV·∆T

ove n è il numero di moli del gas, CMVè la capacità termica molare a volume costante (prodotto

della massa molare del gas e del calore speci�co cV a volume costante del gas stesso).

In una trasformazione isocora, la variazione di energia interna è quindi ascrivibile solo al calore.Ciò signi�ca, per esempio che se si riscalda un gas a volume costante, l'energia immessa (sottoformadi calore Q) va totalmente ad aumentare l'energia interna (e quindi la T del gas). Di conseguenza,una stessa quantità di energia Q comunicata al medesimo gas in maniera nel primo caso isobara enel secondo isocora, produce un maggior incremento di T nel sistema a cui il calore è stato fornitoa volume costante, per cui ∆TV > ∆TP . Dunque, se Q = n · CMV

·∆TV = n · CMP·∆TP signi�ca

che CMP> CMP

ed anzi, si può dimostrare che:

CMP− CMV

= R

relazione questa, detta relazione di Mayer.

2

• TRASFORMAZIONE ISOTERMA:Trasformazione che avviene mantenendo costante la temperatura delgas, producendo quindi una variazione di pressione in seguito ad una varazione di volume o vice-versa.E' espressa dalla legge di Boyle-Mariotte :

P · V = K ⇒ P0 · V0 = P1 · V1 = ...

Sul piano di Clapeyron (V, P ) è denotata da un ramo di iperbole equilatera.

Una si�atta trasformazione è sempre associata alla produzione di lavoro L, dovuta alla variazione divolume ∆V . Si può dimostrare che il lavoro prodotto nella trasformazione isoterma alla temperaturaT tra due stati rispettivamente a V0 e Vf vale:

L = n ·R · T · ln(VfV0

)Se in tale trasformazione non si ha una variazione di temperatura, ci attendiamo che non si abbianemmeno una variazione di energia interna, per cui, se ∆U = 0 allora Q = L, cioè il calore scambiatoè pari al lavoro prodotto.

• TRASFORMAZIONE ADIABATICA: Trasformazione termodinamica che avviene senza che intervenganoscambi di calore fra il sistema e l'ambiente, quindi a Q = 0. La legge che regola una trasf. adiabaticaè la relazione di Poisson :

P0 · V γ0 = P1 · V γ1 = ... = Pf · V γf = cost

Il coe�ciente vale:

γ =CMP

CMV

ed è uguale per gas della stessa specie (mono-,bi-,tri-atomici).

Altre forme della legge di Poisson sono:

T · V γ−1 = cost, T · P1−γγ = cost

Sul piano di Clapeyron (V, P ) è denotata da un ramo di curva esponenziale a pendenza maggioredi un'isoterma.

Se in una adiabatica non possono avvenire scambi di calore, si ha produzione di lavoro solamente aspese dell'energia interna, quindi:

L = −∆U = −n · CMV·∆T

Si ha dunque una trasformazione adiabatica quando un gas produce lavoro per esempio per espan-sione, ra�reddandosi e non riversando nell'ambiente l'energia interna perduta.

• MACCHINA TERMICA E' un qualsiasi dispositivo che ha la funzione di convertire il calore Q2 prelevatoda una sorgente a temperatura T2 in lavoro L, riversando l'energia rimasta Q1 ad una sorgentepiù fredda a T1 < T2. Una macchina lavora grazie ad un �uido termodinamico, idealmente un gasperfetto, a cui viene fatta compiere una trasformazione ciclica (successione di trasformazioni ideali).

E' ovvio che L = Q2 − Q1. Importante il concetto di rendimento η, espresso come rapporto fralavoro prodotto e calore usato per alimentare la sorgente calda:

η =LprodQass

Il teorema di Carnot prevede che ci sia sempre un limite superiore al rendimento di una macchinatermica reale ηr che lavora tra due temperature di riferimento T1 e T2: detto limite corrisponde alrendimento ηC di una macchina di Carnot ideale che lavora fra le stesse due temperature (dette diesercizio):

ηr = 1− Q1

Q2< ηC = 1− T1

T2< 1

3

STUDIO DI UNA TRASFORMAZIONE ADIABATICA

1

2 litri di un gas monoatomico (γ = 1, 66) si trovano in condizioni normali di pressione e temperatura.In seguito ad una dilatazione adiabatica, arrivano ad occupare un volume �nale di 2, 8 litri. Calcolare ivalori �nali di P e T ed il lavoro fatto dal gas nell'espansione, sapendo che la sua capacità termica CMV

vale 12, 45 J/mK e che il gas è composto da 3 moli.

Secondo la legge di Poisson PV γ = cost, uguagliando i prodotti fra stato iniziale e stato �nale,abbiamo:

P0Vγ0 = Pf0V γf ⇒ Pf = P0 ·

(V0Vf

)γsostituendo i valori (che possiamo anche fare a meno di convertire in unità del S.I.), abbiamo:

Pf = 1 ·(

2

2, 8

)1,66

' 0, 57Atm

Per calcolare il valore di Tf , usiamo la seconda forma dell'equazione di Poisson, ossia:

T0Vγ−10 = TfV

γ−1f = Tf = T0 ·

(V0Vf

)γ−1

In tal caso:

Tf = 273, 16 ·(

2

2, 8

)1,66−1

= 273 · 0, 80 ' 218, 77

Per calcolare il lavoro, usiamo la formula: L = −n · CMV·∆T :

L = −3 · 12, 45 · (218, 77− 273, 16) = −37, 35 · (−54, 39) = 2031, 47 J

Come si vede, si tratta di un lavoro positivo, quindi fatto dal gas verso l'esterno a causa della suadilatazione.

2

Un gas biatomico, inizialmente a pressione atmosferica e volume V0 = 5 l è compresso adiabaticamentesino a raggiungere una pressione �nale di Pf = 1, 13Atm. Calcola il volume occupato alla �ne dellatrasformazione (γ = 1, 4)

Usando l'equazione di Poisson, si ha:

P0Vγ0 = Pf0V γf ⇒

(V0Vf

)γ=PfP0

Prendiamo ora i logaritmi di entrambi i membri:

ln

(V0Vf

)γ= ln

(PfP0

)Per le note proprietà dei logaritmi, si ha:

γ ln

(V0Vf

)= ln

(PfP0

)⇒ γ lnV0 − γ lnVf = ln

(PfP0

)= lnVf =

γ lnV0 − ln

(PfP0

)γ

Inserendo i valori numerici:

lnVf =

1, 4 ln 5− ln

(1, 13

1

)1, 4

' 1, 522

Ora, se lnVf = 1, 522, esponenziando in base e si ha, per la nota relazione fra esponenziale e logaritmodella stessa base:

elnVf = e1,522 ⇒ Vf = e1,522 ' 4, 58 l

4

STUDIO DI UNA TRASFORMAZIONE ISOTERMA

3

Due moli di gas perfetto sono compresse isotermicamente alla temperatura T0 = 15C. La pressione variada 0, 8 a 1, 6 atmosfere. Calcola il lavoro per e�ettuare tale trasformazione

Come è noto, il lavoro prodotto in una trasformazione isoterma vale:

L = nRT0 ln

(VfV0

)Il rapporto Vf/V0 si dice rapporto di compressione K. Se a temperatura costante Pf/P0 vale 2,

signi�ca che il gas ha un rapporto di compressione pari a 1/2. Dunque, osservando che 15C sono15 + 273, 16 = 288, 16K:

L = 2 · 8, 314 · 288, 16 · ln(1/2) ' −3321, 23 J

Si tratta di un lavoro negativo, dovuto alla compressione del gas, quindi eseguito sul gas stessodall'esterno.

4

Calcolare il numero di moli di un gas che a temperatura costante di T0 = 350K è compresso sino araggiungere il 35% del volume iniziale attraverso un lavoro esterno pari a L = −6KJ

Il rapporto di compressione isoterma K vale quindi 0, 35, per cui, ricordando la formula del lavoroper una trafs.isoterma, possiamo dire che:

L = nRT0 lnK ⇒ n =L

RT0 lnK

Dunque:

n =−6.000

8, 314 · 350 ln 0, 35=

−6.000

8, 314 · 350 · (−1, 05)' 1, 964moli

5

Una mole di gas occupa inizialmente un volume V0 = 8 l e compie una trasformazione isoterma allatemperatura costante di T0 = 300K, producendo un lavoro di 150 J . Quale è il volume �nale del gas?

Ricordando l'espressione del lavoro per una trasf.isoterma, possiamo scrivere che:

L = nRT0 lnK

essendo K il rapporto di compressione. Da questa formula troviamo K come segue:

lnK =L

nRT0⇒ K = e

L

nRT0

Nel nostro caso:

K = e

15

1 · 8, 314 · 300 = e0,06 ' 1, 061

Per cui, seVfV0

= 1, 061 si ha che

Vf = V0 · 1, 061 ' 8.5 l

5

STUDIO DI TRASFORMAZIONI ISOCORE ED ISOBARE

6

Un gas che, sottoposto alla pressione costante di P0 = 1Atm subisce una dilatazione ∆V = 1 l. Quale èil lavoro compiuto dal gas?

La trasformazione è ovviamente isobara. Ricordando che per una trasformazione isobara si ha:

L = P0 ·∆V

Se si vuole il lavoro in Joule, pressioni e volumi vanno convertiti in unità del S.I. Si ha che ∆V =1 · 10−3m3, P0 = 1, 013 · 105 Pa. Quindi:

L = P0 ·∆V = 1, 013 · 105 · 1 · 10−3 = 101, 3 J

7

Se vengono compiuti 20KJ di lavoro su un gas comprimendolo isobaricamente del 10%, a che pressionesi trova il gas?

Una compressione del 10% corrisponde ad una variazione di volume pari a

∆V = −100− 10

100= −1/9 = −0, 11m3

Se poi L = P0 ·∆V , ricordando che il lavoro fatto sul sistema assume segno negativo, abbiamo:

P0 =L

∆V=−20.000

−0, 11= 181818, 2Pa ' 1, 8Atm

8

8 moli di elio, contenuti entro una bombola a tenuta stagna vengono riscaldati a volume costante, subendoun incremento di temperatura pari a ∆T = 100C. Quanto vale la capacità termica molare dell'elio se ilriscaldamento è stato prodotto da una sorgente di calore con potenza K = 17W con ∆t = 10 minuti difunzionamento?

Il lavoro prodotto dalla sorgente vale ovviamente L = K ·∆t = 17 · 10 · 60 = 10.200 J .Tale lavoro equivale al calore immesso nel sistema, che causa, a volume costante, solamente l'aumento

della temperatura. Visto che è:Q = n · CMV

·∆T

allora:

CMV=

Q

n∆T=

10.200

8 · 100= 12, 75 J/mK

9

n = 1, 5 moli di azoto vengono riscaldate innalzando la temperatura del gas da T0 = 8C a Tf = 122C.Sapendo che la capacità termica molare a pressione costante vale CMP

= 29, 12 J/mK, calcola il caloreche deve essere fornito al gas nel caso in cui il riscaldamento avvenga a pressione costante e a volumecostante.

Sappiamo che sussiste di�erenza nella risposta di un gas perfetto riscaldato a volume o a pressionecostante. Per avere la stessa variazione di temperatura sappiamo che è necessario fornire maggior calore seil processo avviene a pressione costante, perchè parte di tale calore è disperso a causa del lavoro compiutodal gas per espandersi, cosa che non accade se ∆V = 0. Le formule Q = n · CM∆T si particolareggianoper i due casi distinguendo CMV

da CMP.

Ricordando la relazione di Mayer:CMP

− CMV= R

6

per cui CMV= 29, 12− 8, 314 = 20, 81 J/mK.

A pressione costante:

QP = n · CMP·∆T = 1, 5 · 29, 12 · (122− 8) = 4, 979KJ

A volume costante:QV = n · CMV

·∆T = 1, 5 · 20, 81 · (122− 8) = 3, 558KJ

CALCOLO DI RENDIMENTI

10

Un motore termico reale assorbe Q2 = 200Kcal da una sorgente di calore e cede Q1 = 135KCal al �uidodi ra�reddamento, a temperatura T1 = 270K. Calcola il rendimento reale e la minima temperatura chedovrebbe avere la sorgente calda a�nchè il rendimento uguali quello che corrisponde ad una macchina diCarnot che lavora alle stesse temperature

Per de�nizione di rendimento reale si ha:

ηr = 1− Q1

Q2= 1− 135

200= 0, 325 = 32, 5%

Ricordando il rendimento ideale di un ciclo di Carnot che lavori fra le stesse temperature di esercizio,si ha:

ηC = 1− T1T2

Uguagliando i due rendimenti:

ηr = ηC = 0, 325 = 1− T1T2⇒ 0, 325 = 1− 270

T2⇒ 0, 325 · T2 = T2 − 270⇒ T2 =

270

1− 0, 325= 400K

11

Una macchina di Carnot eroga una potenza di 4000W assorbendo 8KCal dalla sorgente calda ogni∆t = 3 s di funzionamento. Quale è il suo rendimento?

Ovviamente, anche per una macchina ideale il rendimento sarà dato dal rapporto η =L

Q, per cui,

ricordando la de�nizione di potenza W :

W =L

∆T⇒ L = W ·∆T

Nel nostro caso il lavoro vale L = 4000 · 3 = 12000 J . Del resto, il calore utilizzato, in Joule, vale:Q = 8 · 4186 = 33.488 J . Quindi:

η =12000

33.488= 0, 36 = 36%

STUDIO DI UN CICLO TERMODINAMICO

12

n = 10 moli di Argon (CMP= 20, 79 J/mK) subiscono una trasformazione ciclica ABCA composta

dall'isoterma AB a TA = 300K che parte dal valore PA = 104 Pa, dall'isobara BC a pressione PB =5 · 103 Pa e dall'isocora CA al volume VC = 2, 5m3. Calcolare le quantità di calore scambiate nelle variefasi ed il lavoro totale prodotto nel ciclo.

Distinguiamo le tre trasformazioni in sequenza:

7

1. Espansione isoterma AB. Il gas si espande a temperatura costante. Per la prima legge della ter-mod., a temperatura costante, non si ha variazione di energia interna, quindi il calore scambiatoequivale al lavoro fatto dal sistema a causa dell'espansione. Tale calore è ovviamente acquisitodall'esterno, per permettere al gas di espandersi, dunque sarà positivo. Quantitativamente, si ha:

LAB = nRTA ln

(VBVA

)Il volume iniziale, visto che la trasformazione è ciclica, equivale al volume costante dell'ultimaisocora, per cui VA = VC = 2, 5m3. Calcoliamo il volume VB con la legge di Boyle:

PA · VA = PB · VB ⇒ VB =PA · VAPB

=104 · 2, 55 · 103

= 5m3

Il lavoro sarà allora:

LAB = 10 · 8, 314 · 300 ln

(5

2, 5

)= 17.288, 5 J = QAB

2. Contrazione isobara BC. Il gas ora si contrae subendo un ra�reddamento, dimezzando il propriovolume, per cui il lavoro è ora fatto sul sistema e sarà pertanto negativo.

Essendo una trasformazione isobara, sarà:

LBC = PB ·∆V = 5 · 103 · (−2, 5) = −12.500 J.

Allo scopo di valutare il calore scambiato, troviamo la variazione di temperatura. Usiamo la primalegge di Gay-Lussac:

VBTB

=VCTC⇒ TC =

TB · VCVB

⇒ TC =300 · 2, 5

5= 150K

Si ha quindi che ∆T = −150K. Calcoliamo il calore:

QBC = n · CMP·∆T = 10 · 20, 79 · (−150) = −31.185 J

Secondo il primo principio della termod:

∆UBC = QBC − LBCquindi, se volessimo trovare di quanto è variata l'energia interna, avremmo:

∆U = −31.185− (−12.500) = −18.685 J

3. Compressione isocora CA. Il gas ora viene compresso a volume costante, riportandolo al valoreiniziale di pressione per cui, ovviamente, il lavoro prodotto dal sistema è nullo. La compressioneavviene riscaldando il gas, quindi, fornendogli una certa quantità (positiva) di calore QCA.

Se il gas recupera i valori iniziali di volume e pressione, deve recuperare anche il valore dellatemperatura, per cui TA = 300 e ∆TCA = 150.

Calcoliamo il calore, ricordando la relazione di Mayer secondo cui CMP− CMV

= R ⇒ CMV=

CMP− 8, 314 = 12, 48 J/mK:

QCA = n · CMV·∆T = 10 · 12, 48 · 150 = 18.720 J

In tal caso, il riscaldamento isocoro ha prodotto solamente un'innalzamento dell'energia internapari al calore fornito.

In�ne, il lavoro totale prodotto dal ciclo sarà:

LTOT = LAB + LBC + LAC = 17.288, 5− 12.500 + 0 = 4788, 5 J

Veri�chiamo la validità del primo principio della termodinamica: se la trasformazione è ciclica, ∆U =0⇒ QTOT = LTOT .

Il calore totale scambiato vale:

QAB +QBC +QCA = 17.288, 5− 31.185 + 18.720 = 4823, 5 J

che è numericamente simile al lavoro totale eseguito, a meno dei valori comunque approssimati per lecapacità termiche molari.

8

13

n = 15 moli di ossigeno (CMV= 20, 98 J/mK) subiscono una trasformazione ciclica ABCA composta

dall'isobara AB alla pressione PA = 105 Pa che espande il volume da VA = 0, 3m3 a VB = 0, 4m3,dall'isocora BC e dall'isoterma CA alla temperatura TC = TA. Calcolare le quantità di calore scambiatenelle varie fasi ed il lavoro totale prodotto nel ciclo.

Distinguiamo le tre trasformazioni in sequenza:

1. Espansione isobara AB. Il gas si espande a pressione costante. Il gas produce lavoro positivo inseguito ad un riscaldamento:

LAB = PA ·∆V = 105 · (0, 4− 0, 3) = 10KJ

Dall'esterno gli deve essere fornito il calore QAB , per calcolare il quale ci serve l'incremento ditemperatura ∆T .

Inizialmente, con l'equazione di stato stimiamo TA:

TA =VA · PAn ·R

=0, 3 · 105

15 · 8, 314= 240, 56K

Usando la prima legge di Gay-Lussac:

TAVA

=TBVB⇒ TB =

TA · VBVA

=240, 56 · 0, 4

0, 3= 320, 75K

Quindi: ∆TAB = 80, 19K.

Calcoliamo il calore, osservando che CMP= CMV

+R = 20, 98 + 8, 314 = 29, 37 J/mK:

QAB = n · CMP·∆TAB = 15 · 29, 37 · 80, 19 = 35.326, 2 J

2. Decompressione isocora BC. Il gas ora si contrae subendo un ra�reddamento a volume costante,per cui il lavoro è nullo. La temperatura deve diminuire in seguito alla decompressione.

Allo scopo di valutare il calore scambiato, valutiamo la variazione di temperatura. E' ovvio cheTC = TA, visto che è un ciclo, per cui ∆TBC = −∆TAB = −80, 19K:

Calcoliamo il calore:

QBC = n · CMV·∆T = 15 · 20, 98 · (−80, 19) = −25.235, 8 J

3. Compressione isoterma CA. Il gas ora viene compresso a temperatura costante, riportandolo alvalore iniziale di pressione. La compressione avviene con produzione di lavoro negativo da partedel gas, per cui, ricordando il lavoro per una trasformazione isoterma:

LCA = nRTA ln

(VAVC

)= 15 · 8, 314 · 241 · ln(0, 3/0, 4) ' −8646, 32 J

In un'isoterma, il calore è pari al lavoro, quindi il gas riversa calore nell'ambiente QCA = LCA

In�ne, il lavoro totale prodotto dal ciclo sarà:

LTOT = LAB + LBC + LAC = 10.000 + 0− 8646, 32 = 1353, 68 J

Se si tratta di una trasformazione ciclica, il lavoro prodotto è pari al calore scambiato. Quest'ultimovale:

QTOT = QAB +QBC +QCA = 35.326, 2− 25.235, 8− 8646, 32 = 1444, 08 J

valore numericamente simile a quello del lavoro prodotto, a meno degli arrotondamenti.

9

14

n = 3 moli di elio (γ = 1, 67) subiscono una trasformazione ciclica ABCA composta dall'adiabatica ABche porta il gas da una pressione PA incognita, alla pressione PB = 9, 47Atm partendo da un volumeiniziale VA = 6 l, variando la temperatura da TA = 300K a TB = 270K, dall'isobara BC e dall'isocoraCA. Calcolare il lavoro totale prodotto dal ciclo. Speci�care di quanto è variata l'energia interna e perchè.E�ettuare in�ne uno studio dei calori scambiati nelle varie fasi e stimare i rendimenti reali e ideali diquesto ciclo. Si assuma CMV

= 12, 52 J/mK.

Inizialmente, dopo aver visualizzato la trasf.sul piano di Clapeyron, ci procuriamo i valori incognitiinerenti i vari stati.

1. espansione adiabatica AB. Avviene tra i due stati le cui temperature sono note. Applichiamo

l'equazione di Poisson nelle due forme TV γ−1 = cost e TP (1−γ)/γ = cost per trovare i valori di PAe VB .

TA · V γ−1A = TBV

γ−1B ⇒ TA

TB= Kγ−1

essendo K = VB/VA il rapporto di compressione tra i volumi. Si ha TA/TB = 1, 11. Usando le noterelazioni fra esponenziali e logaritmi, si ha:

1, 11 = K0,67 ⇒ ln 1, 11 = 0, 67 · lnK ⇒ lnK =ln 1, 111

0, 67' 0, 157

Dunque:lnK = 0, 157⇒ elnK = e0,157 ⇒ K ' 1, 17

Dunque vuol dire che VB = VA · 1, 17 = 7, 02 l. Per le pressioni:

TAP(1−γ)/γA = TBP

(1−γ)/γB ⇒ TA

TB=

(PBPA

)(1−γ)/γ

Sia H =PBPA

il rapporto di compressione tra le pressioni. Si ha TA/TB = 1, 11. Analogamente a

quanto fatto per i volumi:

ln 1, 111 = ((1− γ)/γ) lnH ⇒ 0, 1052 = −0, 4011 lnH ⇒ lnH = −0, 26

Usando le note relazioni fra esponenziali e logaritmi, si ha:

lnH = −0, 26⇒ elnH = e−0,26 ⇒ H ' 0, 77

Dunque vuol dire che PA = PB/0, 77 = 12, 3Atm.

Possiamo calcolare già anche il lavoro e�ettuato DAL gas durante l'espansione:

LAB = −n · CMV·∆T = −3 · 12, 52 · (270− 300) = 1126, 8 J

Come si vede, è un lavoro positivo, quindi prodotto a spese dell'energia interna.

Essendo, in�ne, una trasformazione adiabatica, essa si svolge senza scambi di calore, quindi di sicuroQAB = 0 J .

2. Contrazione isobara BC. Il gas si contrae dal valore VB al valore VC che però è pari a VA datoche l'ultima trasformazione è a volume costante. Possiamo già calcolarci il lavoro, ricordando laformula (e convertendo le unità di misura!):

LBC = PB ·∆V = 9, 47 · 1, 013 · 105 · (VC − VB) = 959.311 · (6− 7, 02) · 10−3 = −978, 5 J

Per calcolarci il calore scambiato, usiamo la formula:

QBC = n · CMP·∆T

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Ci manca lo sbalzo di temperatura. Per calcolarla, usiamo la legge isobara:

TBVB

=TCVC⇒ TC =

TB · VCVB

=270 · 67, 02

= 230, 77K

quindi ∆T = −39, 23K: come ci si attendeva, la temperatura è calata, visto che il gas si è ridottodi volume. Con tale dato:

QBC = 3 · (12, 52 + 8, 314) · (−39, 23) = −2451, 95 J

un calore negativo in quanto legato ad un ra�reddamento.

3. riscaldamento isocoro CA. Il gas ora viene riscaldato a volume costante, dunque non si ha produ-zione di lavoro, ma solo comunicazione di calore QCA al gas stesso.

Si ha ∆TCA = 69, 23K. Con tale dato:

QCA = 3 · (12, 52) · 69, 23 = 2600, 28 J

un calore positivo in quanto legato ad un riscaldamento.

A questo punto, possiamo rispondere a tutte le domande.

1. Il lavoro totale sarà dato da:

LTOT = LAB + LBC + LCA = 1126, 8− 978, 5 + 0 = 148, 3 J

2. La variazione di energia intera è naturalmente pari a zero, visto che si tratta di una trasformazioneciclica. Stato iniziale e �nale coincidono: visto che l'energia interna dipende solo dallo stato ter-modinamico in cui si trova il gas, se di fatto, lo stato non varia, si avrà ∆U = 0. Nella realtà ciònon si realizza, perchè molte delle ipotesi del problema vengono a cadere: ci sono delle dissipazioni(nei meccanismi della macchina termica che realizzerebbe tale ciclo) e soprattutto non si può averea che fare con �uidi termodinamici ideali, ma reali, per i quali non valgono le leggi viste!.

3. Nelle varie fasi abbiamo già calcolato i calori scambiati. Il calore netto scambiato fra gas ed ambiente(di cui fanno parte le due sorgenti, quella calda e quella fredda tra cui si svolge il ciclo) vale:

QTOT = QAB +QBC +QAC = 0− 2451, 95 + 2600, 28 = 148, 33 J

Come si vede, è identico al lavoro prodotto: il calore si è quindi convertito totalmente in lavoro!

4. Il rendimento reale vale:

ηr =LprodottoQassorbito

=|Qass| − |Qceduto|

|Qass|

Il calore assorbito dall'esterno è quello della fase CA, per cui |Qass| = |QCA| = 2600, 28 J .

Il calore ceduto all'esterno è quello inerente la fase BC, quindi |Qceduto| = |QBC | = 2451, 95 J .

Il rendimento vale pertanto:

|Qass| − |Qceduto||Qass|

=2600, 28− 2451, 95

2600, 28= 0, 057 = 5, 7%

Il rendimento ideale è quello di un ciclo di Carnot equivalente che opera fra le stesse temperaturedi esercizio. Troviamo le temperature massima e minima. Sappiamo che TA = 300K, TB = 270,TC = 230, 77K.

Dunque possiamo considerare TC = Tfredda = 230, 77K, mentre TA = Tcalda = 300K. Ilrendimento ideale è pertanto:

ηC = 1− TCTA

= 1− 230, 77

300= 0, 77 = 77%

che è superiore al rendimento reale, come dovrebbe essere!

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