Broglia, Fortuna, Luminati - Problemi Risolti Di Algebra Lineare

5/17/2018 Broglia, Fortuna, Luminati - Problemi Risolti Di Algebra Lineare

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1995 Decibel editriee, PadovaDecibel eelitrice di Giorgio Villella,via del Santo 30, 35123 Padova,telefono (049) 8756956, fax (049) 8762305ReaJ.izzare un libro e un 'operazione complessa, ebe richiede nu-merosi control li : sul testa, sulle immagini e sul le relez ioni ebesi s tabi liscono tra essi. L'esperienza suggerisce chs e pratlca-mente impossibi le pubbl icare un l ibro privo di er rorl , Saremoquindi grati a .i let tori che vor ranno segnalarce li . Per segna la -zioni 0suggerimenti relativi a questo libro rivolgersi eoDecibeleditriceD i st ri bu zi cm . e e sc lu si fJ a e c a ta lo g oZanichelli editore, via. Irnerio 34, 40126 Bologna,telefono (051) 293111, telex 521587 Zaned I,fax (OSI) 249782-293224Per legge, i diritti ill traduzione, di memorizzazione elettronica.,eli riproduzione e di adat tamento totale e parzi al e, con qual-s iasi mezzo (compresi i microfi lm e le copie fotosta tiche) sonoriservati per tutti ipa.esi . Tuttavia. l 'Editore potrA concederea pagamento l 'autorizzazione a riprodurrs, mediante fotoco-pie, una. porzione non superiore ad un decimo del presen tevolume. Le richieste eli r iproduzione vanno inoltrate all' A I 3 S O -ciazione Italiana. per iDiritti e li Riproduzione del le Opere aStampa. (AIDROS), via. delle Erbe 2, 20212 Milano, telefono(02) 86463091, fax: (02) 89010863Prima edizione settembre 1995Ristampa: questa e 1 8 0 prima stampa della prima eelizione

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Stampatoa Bologna dal la Grafica Ragno, via Piemonte 12,' Iolaradl Sotto - Ozzano Emilia

F a br iz io B ro gl ia E lis ab et ta F o rt un a D om en ic o L um in at i

P R O B L E M I R I S O L T ID I A L G E B R A L I N E A R E

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~D E C I B E LIZ A N I C H E L L I


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88-08-091f1O-.5

PrefazioneElenco dei simholiTenn inologia e richi.a.miTesti degli eserciziSoluzioni proposte

Indice

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68-08-13272-7

Prefazione

Questo libro ~ unaracc~lta di esercizi risolti di Algebra Lineare , in gran parteassegnati come testi eli problemi d'esa.me nei corsi eli Geometria I per Materna-tics e di Geometr ia per Fia ica da noi tenut i a vario t itolo presso l 'Univers it il .di Pisa negli anni com.presi fra il1980 eil1995.Lale ttera tu ra ! JUl l' argomento, i ta liana e non, e assa i ricca, e ai e ulterior-

mente arricchi ta r ecen temente, d i l ib ri d i tes ta di Algebra Lineare e di veri epropri eserciziari. E pero piuitosto dllficile trovare nelle pubblica.zioni eaisten-t i sul mercato eserc iz i ri so lt i bhe non . siano puramente calco la tivi e che va.da.nooitre 1& semplice applicaaioae di qualcb.e defini.zi.one0di qualche proposlzione.Di qu i l' idea di r accogl iere una ser le di problemi pili complessi da un punto divista teor ico, ehe potessero servi re a llo s tudente, dopa i prel iminari e necessarlesercizi calcolativi, come.aiuto aJ . completam.ento della propria preparazione.n nucleo inizia.le di problemi d'esame e stato integrato C O D . altri esercizicon almena due scopi prin.cipali. Da una pa rte ci e sembrato utile ce rcare disvincolare ilpin possibile questa raccolta sia dai corsi che I 'hanno originata slada uno specifico libro di t es to, per faci Ii tarne l 'u so anehe da parte di studentidi altri corsi di Laurea de lle Fsoolta di Sc ienzee di Ingegneria, Dall'a.ltra,abbiamo cercato di fomire allo s tuden te un quadro suf ficien temente art icolatodei pr incipal i f enomeni neIl 'ambito dell 'A lgebra . Lineare e un maggior nume-ro d i modell i el i ragionamento potenzialmente ut il i per la ri so luzione el i altriproblemi. . ...- .La. prima sezione Terminologia e Richiami non vuole esser e un ri8SSUD. todella teoria. dell ' Algebra Lineare: ha ilsolo scopo di f issare il significato dialcune espressioni usate nellibro. In ques ta sezione abb iamo inseri to alcun irisultati cbe fanno pa rte, quasi tutti, de l programma diun qualsiasi corso diAlgebra Lineare . Lo abb iamo fat to nella forma di eserc iz i svo lt i per che nel se-guito si a r B : spesso r ifer imento non solo el r isultato, rna aoche al ragionamentousato nella soluzione proposta. .


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2 PREFAZ!ONE 88-O8-1327~7 .Gl i esercizi sono presentati nel li bro senza seguire un online precis e, ne di

difficolta, ne di argomento: a.nzi spesso secede che di un problema si dianapill soluzioni ricorrendo ad argoment i t eorici diversi. Ques ta scel ta mira a n -che a mettere il pill possibile 10 studente nella situazione d'essme, quando,leggendo ites ti . degli ese rcizi del compito, non e automaticamente evidente aqual l s trument i teorici far r icorso per ar riva re ad una soluz ione . Cosi, a nostroparere , questa ra.ccol ta . puc essere mata da par te del lo studente come ver if icadella sua preparazione e come occasions per abituarsi a far uso delle proprieconoscenze nella loro globalita.Di tut ti gli eeercizi, come gi8. accennato, viene propos ta almeno una solu-

zione, Tal i soluzioni non sana certamente .Ie uni che, n e hanno la pretesa diessere, in qualehe sensa, "le pil l bel le"; anzi inv itiamo gl i studenti a cercareproprie soluzioni personali prima el i andere a leggere quel le proposte. Per sot -tol ineare questa invito, abbiamo r iuni to in una sezione i sol i tes ti degli esercizi ,r iunendo le soluz ioni in una sez ione successiva .Per concludere, vogliamo r ingraziare tut ti coloro che , anche solo con iloro

incOraggiamento, c i hanno stimolato a comple ta re questo lavoro - .

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Elenco dei simboli

N insieme dei numeri naturaliZ ins ieme dei numer i interlR campo dei numeri rea1iC campo dei numeri complessi

!R t z parte reale di z E CSin z parte immaginaria di z E CI :K campo dei numeri reali 0dei numeri complessiK [ x ] anello dei polinomi in una indeterminata a coef ficienti in KlK.n[xj spazio vet toriale ( su K) dei pol inomi in una indeterminata a coef-

ficienti in K, di grado minore 0uguale a nMnxm(~).. insieme delle matrici n x m a coef ficienti in K

Mn(K) insieme delle matrici n x n a coefficienti in KSn(K) insieme delle matrici simmetriche n x n a coef ficienti in KAn (K ) insieme delle mstrici 'antisimmetriche n x n a coefficienti in K

GLn(K) gruppo delle matrici n x n invertibili a coefficienti in KO n gruppo del le matr ic i ortogonal i (real i)U~ g T I I P P O delle matrici unitarie (complesse)

[MJiJ e lemento di posto i,j della matrice M(ai ,j) matrice ilcui elemento di posto i, je eLi,jE.;J matrice e lementare costi tu ita da tut ti 0 tranne un 1 al posto i,j,

ossia [Ei,;kj = 1 ed [Ei , j jh,k = 0 se It t= i0 k t= jIn matrice identita n x n6n gruppo delle permutazioni di n elementi


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4 ELENCO DEI SIMBOL] 8HS-13272:"'7 ..OOtA determinante della matrice Atr A traceia della matrice A .rk A range della matrice Aidv applicazione identica V ->V

Mg,(f) matrice associate. all 'applicazione lineare f :V _, W r ispetto allebasi 5 di V e 8' di W

MB(f) matrice associate, all 'applicazione lineare f :V _, V rispetto allabase 5, ossia M8(J) =Mg(f)Mg, matrice associata al cambiamento di base da 5 a 8', ossiaM g , =M g , (id)

Span{S) sottospazio generato dall'insieme SHom{V, W) spazio delle applicazioni lineari V_, W

Kar f nucleo ill fImf i .mma.gine di f

PA(t) polinomio caratteristico ill A, ossia PA(t) = det(A - tIl. E(A, j) autospazio dell'applicazione lineare f relativo all'autovalore A

E(A) autospazio relative sll'autovalore A (si sottintende l'applicazionequando non c'e ambiguita]

E{A,j) autospazio generalizzato dell'applicazione linea.re f relativo al-l'autovalore x

E'(A) autospazio generalizzato re la tive all 'autowlore , \ (si sottintendel 'applicazione quando non c'e ambiguita)

J>"n blocco illJordan illordine n relative all 'autovalore > ..J(A) forma di Jordan della matrice A E Mn(C)V~ duale di V' l>v isomorf ismo canonico tra uno spazio vettoriale di dimeusione fi-

nita V ed ilBUO biduale V~~defini to da ' l>v(v) : f H I(v) perogni v E V, f E VA

AnnS a.nnullatore eli S, ossia U E V A I f ( v ) = a ' < I v E s}( , ) gene rico prodotto scalare BU uno spazio vettoriale( , h t prodotto scalare standard di Rn( , )c prodotto hermitiano standard di enW.l ortogonale di W ~ V rispetto ad un prodo tto scalare defini tosu V

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Terminologia e richiami

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Nel testo l'espressione sposio vettoriale su un campo K dovra sempre e ssereintesa come "spazio vettoriale di dimensione finita sul ~po dei 'numeri realio su quello dei numeri complessi"; normalmente la d imens ione sara . auppos ta2 1 per evitare casi banaJi. .Le matrici diagonali 0 triangolari superiori di Mn(K) saranno rappresen-

tate ri spet tivamente nel modo seguente* ]

intendendo.che iposti vuoticontengono l'elemento zero e gli * deno tano unqualslasielemento di K. .Analogs con~ione s a r a usata per Ie matrici a blocchi: i posti vuoti con-

tengono la matric e nulla con l'opportuno numero di righe e di colonne.Una matrice n x n del tipo1

a;-le detta matrice di Vandennonde e ilsuo determinante vale I1i>/a;- aj).Chiameremo minore di una. matrice A ogni sottomatr ice quadrate eli A.. Se A e una matrice n x n, per ogni i, j E {I, ... ,n}, chiameremo eomple-mento algebrico di posto i,jilnumero (-1Hi det Aij, dove Aj denota ilminore di ordine n - 1 di A ottenuto cancellando la riga i-e sima e I8 . colonna


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6 TERMINOLOGIA E RICHIAMI . 88-08-1327~-7j-esima. La matriceA definita da [AliJ = (~l)i fi de~Aji sara. ~ata.lamatrice aggiunta eli A; essa e t ale che AA = AA'= (detA)I ..Un diagra.mma di applicazioni

V' ---+W'9

Sa.r8. detto diagramma oommutativo se 0 I=9 0 r . p .Useremo la parola operntore come sinonimo ill endomorfismo e li uno spazio

vettoriale. Dato un operatore f :V --+ V ill uno spazio vettoriale V, un sot-tosptUio f-invariante e im sottospaslo vettoriale W di V tale che feW) ~ w.A tale proposito ricordiamo:Esercizio A (Decomposizione di Fitting). Sia f :V .....V un endo~orfi-smo di uno spazio vettoriale V ill dimensione n BU K. Dimostra.re che esisteun intero k S n tale che . .

(1) Ker fr. =Ker flo+lj(2 ) Im I< = Im r= .(3 ) fhmJk : Imfl< --+ Im r e un isomorfismo;(4 ) f(Ker /" ') ~ Ker r.(5 ) IIKer Ik : Ker r --+ Ker fl< e nilpotente;(6 ) V=Kerfl


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8 TERMlNOLOGIA E RICHIAMI 88-08-13272":'7Soluzione. Una Implicazione e ovvia: Bees is te una matr ice inverubi leM taleche M- l AM = DAe M-l EM =DB, COO DA -e D.sdW.gon"al i , allora

AB = MDAM-1MDBM-l = MDAD.sM-1 ==MDBDAM-1 =MDBM-1MDAM-l =BA,

in quanto matrici diagonali commutano.Viceversa, suppon iamo che A e B commutino eproviamo che esiste una

base comune di autovettori per A e B.Siano .\1,"">'", gli autovaloridi A e E(>."A) ir ispettiVi autospazi. Dal-I'ipotesi AB = BA segue che B(E {.\i ,A )) ~ E(>."A) per ogni i= 1, ... ,kj'infatti, "Ix E E(>. .. , A) , si ha

A(Bx) =B(Ax) = B('\,x) = >.,(Bx)e quindi Bx E E(>'., A).. Inoltre, essendo A diagonaJ izzabi le , s i ha che

Kn =E ( >" l1 A ) E9'" 9 E (>"", A) .Sia 10 un autovettore per B relativo all'autovalore p.. Posaiamo scrivere w inmodo unico come w=Xl +...+ x"', can Xi E E(At, A), e quindi

Il-W = I J . X l +...+ ta lc .D'altra par te / l o W = Bw, quindi si ha anche

P .W = E Xl +...+ BXk ,con Ex, E E(>"., A) per l 'invar ianza. degli autospazi r icordata sopra,Allora, visto me la decomposizione di p.w come somma di vet tori eli

E(.\l' A), ... , E(>"I;, A) e unica , deve essereBX l = tal, ...,. Ex" = tak "

Gli Xi non nulli (ce n'e a lmeno uno perche W e un autovet to re!) sono dunqueautovettori comuni per A e B.Se applichiamo ilprocedimento partendo da una base WI, ... ,Wn eli auto-vet tor i per B, otteniamo un inaieme el i almeno n autovettori comuni. Questi

generano K", perche iWi ai scr ivono come loro combinazione l ineare , e a llorada ess i ei puo estrarre una base di Kn. 0L'insieme delle applicazioni linea.r i V -+ IK [talvolta cb.iamate funzionaJi)e uno spazic vettor ia le , det to spazio duale eli V e denotato VA. La spazio

V~ ha la steese dimensione eli V (ricordiamo che inostri spa.z i vettoriali sanasempre di dimensione finita), pertanto v.~ isomorfo a V tramite unisomor-fismo che dipende dalla scelta di una base in V. Esiste per il un isomorf ismotra V e V~~inclipendente da tale scelta: I 'applicazione oIlv : V --tV~~deinita

88-08--13272-7 TERMINOLOGIA E RICHIAMI 9da 'oIlv(v)(f} =lev). Ci r iferi remo a questo isomorf ismo come isomorjismocanonico fra V ed ilsuo biduale.Per ogni sottoinsieme S di V, l'insieme

AnnS ={f E V~'I f(x) =0 Vx E S} ,e un sot tospazio vet tor ia le d i V~, detto annullatore diSj se W e un sottospaziovet to riale d i V, si ha dim(Ann W) =dim V - dim w ..Esercizio C (Proprieta 'dell'annul la tore}. Sia V uno spaaio vettoriale sulcampo K e siano S, T ; ; V suoi so ttoins iemi . 8i d imoet ri che

'(1) S ! _ :; ; T ==:::} AnnT ~ AnnSj(2) Ann(AnnS) = Span(S ), quando si consideri VAA ldentlf lcato con V

mediante l'isomorfismo canonico.Soluzione. La (1) e ovvia conseguenza della definizi.one eli annullatore.Dimostriamo la (2). Voglia.mo far vedere che

. Ann(AonS) = I lv (S p an (S .Cominciamo a dimos tr are ques ta . uguagl ianza. nel ca.so part icola. redi un

sottospa.zio di V, ossia dlmost riamo roe, se W e un sottospa.zio 'el i V, allora;;Arr?(Ann W) = -P v(W ) .

L'inclusione Ann(Ann W) 2 tv(W) e immediata: infatti, se W E W edf E Ann W, allora delle definisioai di oIlv e di annullatore segue che '.iPv(w)(/) = I(w) = 0,

ovvero t:v(w) E Ann(AnnW).Dimost riamo ora: l 'inc lusione opposta, Sia rp E Ann(Ann W) ;; VA~ e s ia vI' un ico vet to re d i V t ale roe iPv(v) =rp . Se per assurdo v W, allora esiste-rebbe un funzionale f E V~ t ale che I(v) o F 0 ma Ilw =0, ossia. f E Ann W.Ma allor a s i avrebbe

'P(f) = iPv{v)(f) = f(v) " # 0,con tra l 'ipo tesi me rp E Ann (An n W)j dunque v EWe quiricli Ann(Ann W) ~oIlv(W), da cui Is tes i,Oeserviamo ehe, una volta. dimostrat a la prima inc lusione , si poteva far

seguire la t es i dal la formula. me legs Ie d imens ioni di un sottospaz io e de l suoannullatore. Infatti da. lla relazione dim(Ann W) = dim V - dim W segue che

dim (Ann(Ann W)) =dim V A - dim(Ann W) == dim V A - dimV + dimW = dim(iPv(W)


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10 TERMlNOLOGIA E RlCHIAMi 884)8-13277-7dove l'ultima uguaglianza vale in quanto f?1I e un isomorfismo e dim V- =dimV (da l momento che V ha dimensione finita) ...Dimostriamo ora ilClI5O. genet-ale. Osserviamo che, dall' inclusione S ~

Span{S) e dalla. (1), segue roeAnn(Spa .n(S)) ~ Ann(S) .

Da ques ta , appl icando ancora la (1) e a meno dell'identificazione data da


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12 TERMINOLOGIA E fUC,HlAMI 88-08---13272-7(3) Il fatto che ~ e una applicezione linearee una ovvia~Ca.I:'er dimo-

s trare che essa e . un lsomorf ismo bas ta provare che e iniettiva (percher) , cioeche ~(I) =0 :::::::::}=O. Supponiamo pertantoche ~(j) =r = O. Cio vuoldire che per ogni f{! E WA si ha che f{! 0 f = 0, ossia

1mf ~ n Ker e ={Ol,'l'EWA

dove l'ultima uguaglianza segue dsl fatto che se W EW e un vet to re d iverseda a , sllora esiste almeno un funzionale f{! E WA tale me f{!(w) = J a (perche'i).Abbiamo cos l dimost ra to me Irnf = {a}, cioe f = o.(4) Siano B = {V I, ... , Vn} e C = {W i, ... , wm} le due basi e sia M =

(mi,j) =M~(f), ossia f(uj) = ; :~=1 mhJwh Ricordiamo che se ' E VAle coordinate di !/ J rispetto alia base dua.le B A sono date da ' I/ J ( V 1 ) , . .. ,tJ!(vn),per cui tJ!= ; : : = 1 tJ!(v.)vi Poiche la matrice ~:(r) e la matrice che nel lacolonna j -esima ha le coordinate rispetto alla b~e B A del funzionale F(wi),:si deduce me l 'e lemento di pos ta i,jdi N= M ; A (r) e date da

IN)'J = r{wj)(v,) = wi (J(Vi) =m m

=w ; ( E ffih,iWh) = L mh,iwj(Wh) = mj,; = IM]j,;h=l h=l

che e 18 0 tesi del punto ( 4 ) .La (5) segue immediatamente della def inisione.(6 ) Dalle definizion i segue sub itci che f{! E Ker r {==? r(


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1i1!!,1' \i!!'j'

IIIj1jI1I!i

14 TERMINOLOGIA E RICHlAMI 88-08--13272-7

(2) La (1), applicata al sottospazio a+, implica che Sb(UH) = .A.nn(Ul.),da cui segue la tes i passando ell'annuliatore.e ricordando che UH= U. DSe V e W sana dueKsspazi vettoriali dotati cisscuno di un prodotto sea-

lare non degenere, ( , )v e ( , )w, per ogni f E Hom(V, W) esiste una ed unasola applicazione r E Hom(_W, V), detta l'applicazione aggiunta di I, taleche (f(u), w}w = (v, f*(wv per ogn i v E V,' w E W_ .Esercizio H(Proprieta dell'applicazione aggiunta). Siano V e W spa-zi vettoriali su un campo K e siano ( , )v e (, )w prodotti scalari non degenerir ispettivamente su V e su W_ Si ilimostri che

(1) I" = / YIE Hom{V, W);(2) se U e un altro spazio vettoriale su K dotato e li un prodot to scalare

non degenere ( , )u, allora (90j)* =r 09 per ogni IE Hom (V,W}e 9 E Hom.{W,U);

(3) Ker r = (Imf)l.(4) Im r = (Ker 1)1.. v IE Hom(V, W);V / E Hom(V, W).

1 .

Nel caso el i applicazioni IE H o m ( V , V) si dimostri che(5) un sottospazio U el i V e f-invariante se e solo se Ul. e r-invariante.Soluzione. La dimos trazione di (1) e di (2) sono delle sempl ic i veri fiche .

Le dimos trazion i di (3 ) e (4) sono del tut to s imi li t ra lora , a t itolo di esempioproviamola (4).Dato che ( , )w e non degenere, si ha v E Ker f < = = > I(v) = 0 < = = >(/(v),w)w = 0 Yw E W < = = > (v,r(wv = a Vw E W < = = > v E(1m r)1... Quind i Ker f = (Imr).l; passa.ndo all'ortogonale (e usando le

propr ie ta provate nell 'eserc iz io F) s i ha l a (4) .Si osservi che la (3 ) puo essere dedot ta dalla (4) applicate ad r, usando la

(1) e passando all 'or togonale . Ai lo stesso modo si puo dedurr e Is (4) dalla (3).Dimostriamo infiDe Is (5). Se U e I -invar iante ewE u-, allota Yu E U

0= (f(u),w}v = (u,r(wv

rquindi r(w) E o-. L 'alt ra implicazione ai o tt iene app licando quella appenaprovata ad r: Be UJ. e invariante per r, allora U.r.L e irrvariante per r*_Siconclude allora usando Is (1) ed illatto che, essendo ilprodot to scalare nondegenere, U.l..l = u,'G'G Nota. Siosserv i che led imost razioni sono mol to s imi li a. quelle dellt~,sercizio E, ed infatti le due applicazioni r e r BOnost re ttamente legate nelsensa che precieeremo tra breve.

1 - I.1

88-08-13272-7 TERMINOLOGIA E RICIDAMI 15Siano 6v': V -+V~ e Sw: W __,W~ gli isomorfismi indotti dai due pro-.do tt i scelari . Most ria .mo che r ed r sono la stessa applicazione a meno di

questi isomorf ismi, ossia che ilseguente diagramma e commutativo:w r V

6 w 1 1 6 vw~----t v~r

Dobbia .mo dunque most rare che 6v(f*(w)) = r(sw(w) per ogni wE W.Per fare questa proviamo che i due funzionali assumono 10 stesso valore suogni v E V. Ed infatti

ov(r{w) (v) = (f*(w),v)v = (w,J(vwF(6w (w)(ll) = ow(w){f(v) =(w ,/(vw .

D'altra parte se U e un sottospazio di V, allora. Ul. e Ann U Bono uguali ameno dell'isomorfismo Sv, eioe Sv(Ul.) =Ann U(cfr. esereizio G).DB.quest i due fa tt i segue allora immediatamente che le pro prieta d imos tra-

te' inquesto esercizio sono esattamente le stesse dimostrate nell'esercizio E, a .meno dell' identificazione di V con VA e di W can W~. 0Per ilteorema di Sylvester J per ogni prodotto scalare b su uno spazio vetto-

riale reale V di dimensione n sono un ivocamente determinati dei numeri interinon negativi pes tali che ogni matrice associata abe congruente alia matrice

.~.Inumeri p, s, n - (p+ s) saranno chiamati rispettivamente indice di positivita,negativittl, nulliti! di b.Se V e uno spazio euclideo (cile uno spazio vettor ia le r eale do ta to e li un

prodotto scalare def inito positive) , per ogni operatore Isimmetrico (0 autoag-g iunto) d i V esiste una base ortonormale di V fermata da autovettori per I.Questo riaultato sara citato come teorema spettrole. Ricord iamo che l 'esi -stenza d i una base ortonormale di autovet tori sussi ste anche per g li opemtori .normali in uno spazio vettoriale complesso do ta to di un prodotto hermitianodefinito positive (un operatore f e detto normale se fr =rf). Inpartico-lare dunque ilteorema spettrale vale per gli operatori hennitiani (r = f) eper gli operatori unitari (jf* =rI = = id). !Cbiameremo isometria ogni operatore I di uno spazio euclideo (V , ( , .))

t ale che ( J(x ) , f(y) = (x, y) per ogn i x, y E V. .


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Testi degli esercizi

~ercizio 1. Siano V,W,Z spazi vettoriali su un campo K e siano 1;V -_ We 9 ; V --t Z applicazioni lineari. Si dimostri che

./ "" ':~ / ..~\.~er ~,'~ 3L :W --t Z lineare tale che 9 =L 0 f .Esercizio 2. ----.-.

(1) Sia A E M,,(K) una.matrice di rango r. Si dimostri che ogni minoreB di A ottenuto scegliendo r r ighe linea.rmente indipendenti eli A e r.colonne linea.rmente lindipendenti diA e invertibila, .

(2) Si dimostri che ilrango di una. matrice Bimmetrica M coincide con ilma.ssim:o degli ordini dei minori inyertibili diM aventi la diagonalesulla diagonale diM.

Esercizio,_3. Sia.M E M~(R) una matrice triangola.re superiore tale che[MJi,i : = : ~ iper ogni i =1, . . " n. Si dimostri che, se esiste un intero k ~ 1tale che Mk =I, anora M = J. .Esercizio 4. Si consideri la seguente successione di spazi vettoria.li ed appli-cazioni lineari

O fa V h xr h fn-~ V. f ..-1 V. In 0--+ 1 --+ V2 ---+ ... ____, ,,-1 ____, ,,----->e si supponga che per ogni i =0, . .. ,n - 1 si abbia 1m/; =Ker 1Hl. Sidimostr i ehe

nL{-l)i dimV.= O .=1

Esercizio 5. Si determinino tut te le matrici A E M,,{K) tali che AB = BAper ogni matrice BE M,,{K).


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18 TESTI DEGLI ESERCIZI" 88--08-13272-7Eserciz io 6 . Calcolare ilpol1nomio ~atteri st ioo del la matrice

M = (f f i ) , " "dove A E Mn(K), B E Mm(K) e C E Mn xm (l K ):Esercizio 7. Siano V,W due spazi vettoriali sui campo K con dim V = n,dimW = m. Siano V t ;; V, WI ; ; W sottospazi vettoriaJi di dimensione nled ml r ispettivamente. Si consideri l 'insieme

!7={J E Hom(V, W) I Ker f ;2 VI ed Im I ;; WI} .Si dimos tri che !7 e un sottospazio vettonale di Hom (V , W ) e se ne caleoli ladimensione.Esercizio 8. Sia. V uno spazio vettoriale reate e b : V x V --+ R una formabilineare, Dire se esistono due funzionali I, 9 E V~ tali roe b(v, w) = f(v)g(w)"111,11.1 E V.Esercizio 9. Costruire, se esiste, una a.pplicazione lineare f : IR s --+ M3(1R)t ale che

Tm/ ;2 {A E M3(R) I rkA =2} .Esercizio 10. Si dimostri roe ogni matrice ortogonale 2 x 2 e del tipo

I4 = ( ~ i ' -Sinil)sm19 cosil (COS 1 9 sin 1 9 )oppure S (J =. '.D .0. smv -COSvcon fJ E R.Si dimost ri mol tre roe I4 e diagonal izzabi le se e so lo se 1 9 e un multiplo

intero di 'IT e che S. O e sempre diagonalizzabile.Si descr ivano geometr icamente le applicazioni date dalle matrici It" ed 8.".

Esercizio 11 . Sia f :C ......C. Dici~o roe f e C-lineare (risp. IR-lineare) aee l ineare pensando C come spazio vettoriale su C (risp. R). Che relazione c'etra l 'essere C-lineare e l 'essere IR-lineare?Esercizio 12. Si consideri l 'applicaeions

( , ) : M mxn (R ) x M m.xn (lR ) -+R( , ) : (A, B) f--+(A,B) = treAB) .

Si dimostri che ( , ) sun prodotto sca.la.re def inito positivo. Nel csso partico-lare incui n = m si determini l'ortogonale del sottospazio SnOI l ) delle matricisimmetriche.

88-08-13272-7 TESTI DEGLI ESERCIZI 19Esercizio 13. Si consideri I 'applicazione

( , ) : M n(l~) x Mn(R) -+IR( , ) : ( A , B ) f--+( A, B ) = tr(AB) .

(1 ) Si dimostri che (, ) e un prodotto scalars non degenere;(2) s i determini l 'ortogonale di 8,,(R);(3 ) si determinino gli indici dipositivita, negativitA e nullita di ( , ).

Esercizio 14. Sia N E Mn(R) una. mat rice s tr et tamente -t riangolar e supe-riore, ossia [N]" j = 0 per ogni i ~ j. Si d imos tri che NT ' = O.Supponendo che [N]i,Hi i= 0 per ogni i= 1,.


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20 TEST! DEGLI ESERCIZI @ 88-08-13272-7

Eserclzio 20. Bia AE Mmx., ,(R) una, matricedirango r. Sias = = {X E Mnxk(lIt) 1 AX = o}.

Si dimostri cheS e uno spazio vettoria. le (con Ieusuali operazioni sulle matrici)e se ne ca.lcoli la dimensione. .Esercizio 21. Sis. V uno spazio vettoriale sul campo K e sia (, ) un prodottoscalare su V. Sia W ~ V un sottospazio vettoriale tale roe ( , ) Iw sia nondegenere, Si dimostri roe .

V=WEBWl. .Esercizio 22. Sis. V uno spazio vettorlaie e siano A, B due sottospazi vet-toriali di V tali che V = A ffi B. Se I:A -+ A e 9 : B ......B sono due ap-plicazion i l ineari , s i cons ideri l 'app licezione l ineare L ; V -+ V defini ta ~aL{v) = I{a) + g(b), dove v =a + b, a E A, bE B. :Si dimostr i roe

L e diagona.lizza.bile


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;.~

i ~

22 TESTl DEGLI ESERCIZI ss-Os-:-13272-7

. Esercizio 34 (Forma canonica de: lle. II ia tr ic iorto.gona li ). Si ll . AE OnUna. matri ce ortogonal e. Si dimostri me esis te .una matrice ortogomi. le Mtale ch e

(COS 19 ;dove Ifi=1, ... , k R"t = sin 19 ,

Esercizio 35. Sill. V uno spazio vet toriale di dimensione n e sia 9 : V -; I funa. appl icazione lineare di rango r. Sia. L: Hom(V,V) -> Hom(V,V) l'appli-cazione defini ta da. L(f) = go fDimostra.re me L e lineare e calcolare dim(Ker L) e dim(Im L) ,Esercizio 36. siano M,N E M,,(K). Supponiamo che M2 =N 2 =Ie chetr M =tr N. Allora. Me simile a.N.Esercizio 37 (Triangolazione simultanea). Siano A eBma.trici quadratereali eli ordine n, aventi tut ti g li autova lori res li . Dimostrare che , seAB = BA,allora esiste una matrice ortogonale Ndi ordine n tale che N-1 AN eN-1BNsono triangolari.Esercizio 38. Sill.A E M,,(R) una matrice diagona lizzabile. 8i dimostr i che

'3 kE N tale che Ak = I * " ' * A2 = I.Esercizio 39. 8ia. A E MmxnCR) una matrice tale che [Al;,; E Z per ognii, i. Si dimost ri che Ker A poss iede una base di vet tori appart enent i a zn.Esercizio 40. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione :::::1 e sill.f :V -> V una . appl icazione l ineare tale che P = -id. Si dimostri che esisteuna base di V rispetto aJla. qua le I ll .matrice assoc ia ta ad f e

con mEN univocamente determinato.Esercizio 41. Sill. f :1t3 _ RS una applica.zione l ineare. Dimostrare che esiste un sottospazio vettoriale 'I r di its ill cl imensione 2 tale che f ( 'I r) ~ n.

TEST! DEGLI ESERCIZI 23

~"';"(' ;'7.;ln 42. Sill. V uno spazio vettoriale sul campo K e sill. f :V -+ V unaapplicazione lineare diagonalizzabile. Siano ),,1,. . ,),,1, gli au tovalori di f. Si. dimostri roe, per ogni W ~ V sot tospaz io invariante per I, si ha

essendo Wi = W nE(.\i)Es~cizio 43. Sia A EMn(R) una mat ri ce avente un autovalo re reale a: 1 = 0ill molteplicita algebrica ti.Si dimost ri che per ogn i int ero k :::::

Ak e diagonalizzabile * " ' * X e diagonalizzabile .Esercizio 44. Sia V uno spazio vettoriale reale e sia f : V -> V una appli -caz ione l ineare tale che 12 = id. .

(1 ) Esis te su V un prodotto scalare definito positivo.rispetto al quale f eautoaggiunta?

(2 ) E vero che f risulta autoaggiunt a ri spetto ad un qualsiasi prodottoscalare su V definito positive?

Esercizio 45. Sia M una. matricen x n tale ch e M2 = M e tr M = k, Sidimostri che k e intero, a Sk , S n,e che rkM = k .. ~ .Esercizio 46. Siano 1!,W E IRn,Si dimostri ch e la matrice 1!~ e simmetricase e solo se v e w sono linearmente dipendenti.Esercizio 47. Sis J un blocco di Jo rdan di ordine n relativo all'autovalore) , f= O. ' I'rova. re la forma di Jordan di Jk , per kEN........- IEsercizio 48. Sill .Y uno spazio vettoriale di dimerisione n ed f :V -> V unaapplicaz ione l ineare non nul la. Dimostra re che esiste una appl icazione l ineare:V -> V tale ch e 90f non e i denticamente nulla e (g 0f)2 = 90f.

Esercizio 49. Sis. AlIDa matrice ortogonale 3 x 3 tale che det A =1. Si di-mostri che A e una ro tazione att orno ad una. rett a di un angolo 1 9 che verificala relazione

T 3 trA-1cos = 2-Esercizio 50. Sia V uno spazio vettoriale e sia f :V -> V una applicazionelinea.re tale che P = id. 8i supponga che esistano due sot tospaz i vet torial i He K di V tal i che

v =H E E l K, f(H) ~ K e f(K) ~ H.


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l l _ .', '' j ..,.! ~ I

j'.,

i

I!: .

24 TESTI DEGL! ESERCizI ~ ~S-13272-7

Dimastrare me esiste una base di V ri spetto ella quale la mat rice associataad J e del tipo

( f f i ) Esercizio 51 (Forma di Jordan reale ). Sia A uaa metr ice di MneR) e siaJ(A) E M,,(C) l a. f orma. d i Jo rdan d i A. Allara esiste una base di! in rispettoalia quale lamatrice A assume 1 8 0 forma. J R { A ) univocamente determinata da.J(A) mediante 1 8 0 seguente costruzione:

(1) a i lasciano g li s tess i bloccb i d i Jo rdan relat iv i agl i autavalo ri real i;( 2) per ogni coppia. di autovalori compless i eon iugat i / 1 - , J i. di A, si so-

stituisce agni eoppia. di blocchi JjJ,k, l r i , k con un bloceo 2k x 2k deltipo

( HI' IHI' IHI'

)doveHjJ= (_~ ::) e 1= G ~ ) .

Esercizio 52. Trovsre tutte Ie possibili forme ill Jordan (0 di Jordan reale)di una applica.zione lineare A :R2 _1It2 t ale che A6 = id.Esercizio 53. Sia A una matrice di M.,(K} avente solo l'autova.lore 1 e tale.che Ak =AHt, per qualche kEN. Si d imost ri che A e la matrice identica..Esercizio 54. Sis V uno spazio vettoriale rea le e siano til,." . , ' v " vettor i d iV. Su V~ si consideri ilprodot ta scalare defini to da.

k(J,g) =L:f(tli)g(Vi)

;=1v i.s E v~.

Si determinino , in funzione dei Vi, l'indice dipositivita e di nullita di taleprodotto scalare.Esercizio 55. Siano A, B due matrici 2 x 2 a coefficienti complessi. ~i'di-most ri me A e B sono simili ** A e B hanna g li s tess i autovalor i e perciascuno d i ess i s i hs dimE(>..,A) = dimE(,\,B).

TEST! DEGU ESERCIZI 25

F.~,erc:izj.o 56. Siano U, V , W spazi vettoriali 8U uno stesso campo IK can..U = k, dimV = n, dimW = m e sis. 9 : U -+ V una fissata applicazione

d i r an go r. Dimos tr are che l 'ins ieme:r = {J E Hom{V, W) I fog = o}

E(A,B) = {X E Mn(K) I AX =XB}.Si dimostr i c.he

(1) E(A,B) e un sot tospazio vet tariale di M,,{ IK}j(2 ) Be Al e simile ad A e BI e simile a. B, allora E(A, B) e i somor fo aE(A1,Bt}.

Esercizio 58 (Forma canonica delle matrici antisimmetriche reaIi).Sia.A E .A,..(R) una. matrice n x n reale, antisimmetrica. Si dimostr i che esisteuna matrice ortogonale M E On t ale che

M-1AM=

oai)o .on Ha l =( 0-a.

Siano A, B matrici di M.,{K). Si dimostr i me(1) rkA + rkB ~ rkAB + n;(2) se n e dispari e AB = 0, Iillora A + tA 0B + tB e singolare.

Esercizio 60. Sia. V uno spazio vettoriale sul campo K e sia ( , ) un pro-datto scalare nondegenere au V. Sia f :V -> V una applic azione lineare .autoaggiunta. rispetto a { , ), e sia b : V x V ->K la forma bilineare def initada. b(v,w) =(f(tI);w).

(1 ) Dimostrare che l'indice di nullits di b e uguale alia dimensiane diKerf

(2) N et csso me K = lR e ( , ) sia. definito positivo, dimostrare me l 'indicedi positivita. [ r isp. negativita] di b coincide con ilnumero di autovaloripositivi [risp. negativi] di f.

===== - -----


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26 -TESTI DEGLI ESERCIZI Ss-:o&=-13272-7

Esercizio 61. Sia V uno spazio vettoria.leesil!- f ;V -t V una applicazionel inea.re tal e che 12 =r~Si ~ostd che esiste una base eli V rispetto 'allaqua.le la matrice associate a . 1e del tipo(ffi)con A2 = 0_Esercizio 62. Sia. V uno spazio vettoria.le eli dimensione n sul campo K e sia( , ) un prodotto scalare su V_ Sia v a E V tale che (va, vo) =O . 8i dimostriehe esiste una base di V contenente tlo ed ortogonale rispetto a ( , ) se e solose (Span(t1o}).L =V.Esercizio 63. Siano V e W due spazi vettoriali su K, Vl e V2 due sottospazivettoria.li di V _ Si dimostri che

(1) Hom(W, V1nV2) = Hom(W, Vi) n Bom(W, Vz)j .(2) Hom(W, V1+ V2) = Hom(W, VI) +Bom(W, \ 1 2 ) -

Esercizio 64 (Forma canonica delle forme bilinear I antisimmetriche).Sia. V uno spazio vettoriale eli dimensione n ;:::1sul campo K e sia b :V x V -+lK una forma. bili neare ant isimmetrice, Si d imos tri che esist e una base eli Vrispett o a cui 1 1 1 0 matr ice associata. a b e.ssume I l l . forma

00 oo

Esercizio 65. Sis. V uno spazio vet toria. le su K e siano h, -,f",9 elementidello spazio duale V-_Dimostrare che

k k3a; E K tal i che 9=Lu . . 1 i ::::> nRer Ii t ; ; ; ; Ker 9 .

.=1 i=1Esercizlo 66. Sia V uno spazio vettoriale,U e W duesottospazi vettorialidi V di dimensione n ed m rispett ivamente, t ali che V = U E 9 W. Siano

:fi = {1E Hom (V , V ) I f eU} t ; ; ; ; W ed I(W ) ~ u},:f2 ={J E Hom(V , V ) I I(U ) ~ u ed I(W ) ~ w} .

(1) Calcolare la dimensione di:f1 ed S'"2-(2) Dimostra.re roe Hom(V, V) =51 $'2-

TESTI DEGLI ESERCIZI 27

'. . 67. SiaV uno spazio vettoriale reale e I: V -+ V una applicazio-llneare. Sian? Wi, W2 sot tospazi vet torial i di V invarianti per 1e tal i the= Wl +W2 E vero che, se I l w l e I I w 2 hanno solo autova.lori reali, alloraha tutti' g li autovalori reali?

68. Sia A E Mn(li) una matri ce simmetrica, definita posi tive; Siehe, se esiste pEN tale che A P = I, allora A = I.69. Siano V e W due spazi vet torial i sul campo K di dimensioni n

. m rispett ivamente. Siano f :V -+ W e 9 :W -> V due applicazioni lineari. prima iniettiva, la seconda surget tiva .. S i costruisca un endomorfismo L ditale che 9 0L 01ia l 'identi tA su v.

.' .Eercizio 70. Siano E, F, G spazi vet torial i sul campo K e siano 1:F --T G,g : E -t G applica.zioni l inear i. Si dimostr i che

Im 9 t ; ; ; ; Jm I-:::::}3 L : E --T F l ineare tale che 9 = 10 L ....Jiercizio 71. Su lin si cOnsideri ilprodotto sca.1are standard e sia F ilsot-..t6spazio vettoriale di Mn(R) definito da

:F= {A E M n (]R ) I Au E (Span(vJ. '


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28 TESTl DEGLI ESERCIZI 88--0.8-13272-7Esercizio 75. Sill, V =R[x ] 10spazicdei pol inomi a . coef fic ient i rea .l i i n una 'i ndetermina te; s ia b : V x V _:. RIa. fOrIJl1l,bili.lleate definita. da b(P' Q) =I:i a;{3i, dove P(x} =I:i'o,xi e Q(x) =Ei.B,Xi. Si consideri

lib:V _VAfib: P I -- +b p

dove bp e ilfnnzionale definite cia bp.(Q) = b(P, Q). Si dimos tr i chef E 'Im lib ~ I(xi) # - a solo per un numero finito 'di indict.

Esercizio 76. Sia V uno spazio vettor iale sul campo K di dimensione n edf :V -+ lK . una . applicazione lineare. Sia w un vettore di V tale che w . Ker I.Si consideri l 'applicazione lineare L : V -+ V def in it e da L(tI)=v + f(v)w.Dire se L e diagona.lizzabile.Esercizio 77. Sia A E M.-.(R) una matr ice ant isimmetr ica.. S i d imos tr i cheA e tr iangolabil e s e e solo Be A =O .

:,'! j j 1i ; ~ ,II :iiiPInU ~!:ir l;1I"Ij1' 1II . :i =

t.il: ;!I'i WIi' I ! ;I 'j"

. ,Ii i H :'II ~1 :j' i '1:"I jJ1 '1

i: :,I'ii I ! I"/ !~~" 1 :j!:i !!jl l IiI' .'.j l !~iI'i: ! l:ii]!'j: ! r '.,I 'i ;~J lIIIId1, 1i I~ i>~ FI!!Ii!uIIl i

Esercizio 78. Siano til,'" ,tln-l vettori lineannente indipenden ti di R".Detta A la matrice (n - 1) x n avente come righe i s udde tti vet tori, si in-:dichi con t:.i (i =1 ,. .. ,n) il det erminante del minore di ordine n - 1 ottenutocancella.ndo in A la colonna i-esima.S i d imos tr i che v E R ." e ortogonale a tut ti ivettori til, .. ,Vn-l se e solose esiste A E R tale che v = A ( t: .l , -t:.2, t :.3 ,. .. , (_1),,+1 t:.,,).

Esercizio 79. Siano A,BE M,,( IR) matrici nilpo tenti e tali che An-l # - 0 eB,,-l = f O . Dire se A e B sono simili .Esercizio 80. Sia A una matrice di MnCK). Si dimostri che, se A # - AI,allora A e simile ad una mat ri ce dell a forma

(: * ~ )l ~ tr*A

Esercizio 81. Sia V uno spazio vet tori al e d i d imensione ri e sia f ;V -+ Vuna appli cazione l inea re t al e ch. edim(1m f)= k < n.Si dimos tr i che esis tono due appl icaz ioni l inea ri !l,1 2 : V -+ V tali chef = h +h ed Im Ii ~Imf per i=1, 2. .

Esercizio 82. Sia V uno spazio vettoriale sul campo K d .i dimensions n, fun endomorfi smo di V e k un numero intero tale che a


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30 TESTI DEGLIFSERctZI 88-{J8-13272-7(b) P = P';(c ) ppo =pP.

Esercizio 90. Sia A E Mn (C ) e s i supponga che esista p, 1 ~ P ~ n, t ale chetrA = = tr A2 = ... =.trAP-l = 0.

' Si d imos tri che A e nilpotente oppure ha almenop autovalori distinti.Esercizio 91. Sia A EMn(C) e si supponga che .

trA = tr A2 = ... = tr A" = 0 .Si dimostr i che allora A e nilpotente.Esercizio 92. Sia A EMn(C) e si supponga che

trA = tr A2 =... = trAn-1 =0 e tr A" 0 1 0 .Si dimostr i che allor a A e diagonalizzabile.Esercizio 93. Determinare l 'insieme delle matrici A E Mn(R) tali che

M-I AM EM . .{R) . VME GLn(C) .Esercizio 94. Sia 0' : en --+ C.. l 'applicazione I ineare che sulla base canonieaagisce nel seguente modo:

O:eil--+~+l Vi=l, ... ,n-l

Si dimostr i che 0' e diagonal izzabi le e se ne calcol ino g li autovalori ed una basedi autovettori.Esercizio 95. Per ogni a E 6n sia R" la matriee associata (rispetto alIa ba-se canonica di cn) all 'applicazione lineare che agisce permutando secondo 0'ivettori della base caaonica , ossia R"e, =ea(i)' Si dimos tri che ogn i matriceR" e diagonalizzabile.Esercizio 96. Sia 6n i l g ruppo delle permutazioni su n elementi e per ogni(J E 6 .. sia"R.,. E M,,(C) la matrice associata (rispetto alla base canonica diC"] all 'applicazione lineare che agisce permutando secondo a i vettor i dellabase caaonica, ossia i !-+ a{i)' Si dimost ri che

(1) 'R = 8pan(R" I (J E 6n) # M,,(C);(2) le re lazioni l inear i che legano i ra loro le matr ic l Ra sonog~~era( jl da

relazioni a coefficienti in Z.Si calcoli inoltre la dimenaione del sottospa.z.io R.

TEST! DEGLI ESERCIZI 31

;;'1i! .....rdzio 97. Sia V uno spazio vettoriale reale e ( , ) un prodotto scalarepos it ive su V. Sia f E Hom(V, V) tale che fr =r f. 8i dimostri

V = Ke r f (Jj Imf.

ll '",,,.-r,;,, 'in 99. SiaA E Sn{R) una matrice reale n xn s immetrica e invertibi-le; sia 9 ilprodotto scalare in R" associato ad A r ispetto alla base canonica.Si supponga che ogni matrice B E S" ( l R ) definisca, r ispetto alla base canonicsdi R", una app lieazione l ineare autoaggiunta r ispet to a g. Si dimos tri che Aha un solo autovalore.Esercizio 100. Sia A una rnatrice di Jordan in ~ .. (IR) invertibile. TrovareIs forma di Jordan di A-I"Esercizio 101. Sia


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32 TESTI DEGLI ESERCIZI 8~13272-7

Esercizio 106. Sia B E GLn( lR) . Per ogni A E Mn(R ) SI ponga A' = B-I .tA . B ed A" = CA') '. Determinare l 'insieme delle matrici B tali che A" ~ A:per ogni A E MnClR ). . . .Esercizio 101. Ogni matrice A E Mn(C) e simile alla sua. trasposta . .Esercizio 108. Sullo spazio vettoriale Mnxm(R ) si consideri ilprod otto sea-lare (X, Y) = tr(tXY). Data una matrice A E M,, ( lR) , sis C P A l'applicazionelineare

'f JA : Mnxm(R ) ---t Mnxm( lR )'PA : X I---> AX .

Determinare l 'ins ieme delle matr ic i A tali ch e 'PA e autoaggiunta rispettoa. ( , ).Esercizio 109. Sia A E M,,(C) una. matEce nilpotente e sis J la forma di .Jordan eli A. ' Irovsre la forma. di Jordan J della ma.trice

Esercizio 110. Sia A E Mn{R). Si d imost ri che A e simmetrica se e solo seAtA = tAA ed ha tut ti gl i autovalori r ea li .Esercizio 111. Sia A E Mn( lR ) una matrice tale che tr A = O. Si dimostriche eaiste una matrice invert ibi le N E Mn{ lR ) tale che N-1AN abbia tuttizeri sulla diagonale principale.Esercisio 112. Sia A E M,,(lR.) una matrice ortogonale. Dimostrare cheA - Ie nilpotente se e solo se A= I.

I IIIii

. I I'I

Esercizio 113. Sis V uno spazio vettoriale reale e sia ( , ) uri prodotto sea-lare su V t ale che ( v, v ) = F a per ogn i v E V - t o } . Si dimostri che allora (" )e definito positivo oppure def inito negativo.Esercizio 114 . Si determini l'insieme :F delle matrici A E M n (l R) taliche

VM E G L ,, (I R ) .Esercizio 115. Sia V uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto.sca-lare ( , ) definite positive. Sia f : V -t V una. app licazione l ineare e s i' ll rI'aggiunta di f. Si dimos tri ehe esiste un isomorfi smo 'P : V ~ V ta le cher = 'P-1 0 f 0 ' fJ.

TESTI DEGLI ESERClZI 33

, ...,.en ''''OU116. Si identillchi On con ilgruppo del le app licazion i IRn _. R"'. ortogonali rispetto al prodotto scalare standard. Sia A una matrice n x n' . reale, s immetrica , e sia 9 ilprodo tto scaJare su Rn associate alla ma.trice Arispetto alla base canonica.. Caratteriz.za.re il sottogruppo degli elementi ill 0" che conservano Upro-dotto scalare g."F...P,r,CIZ.IO 117. Sia f : its -+ 1R 3 una a.pplicazione lineare ortogonale (Le. che"nnl"...v .. il prodotto scalare standard). Si dimostri che f e diagonalizzabile. s a e solo se esistono due sottospazi WI = F W2 di R ,3 tali che j(W.) ~ Wi edim Wi = 2 per i=1,2.La tesi rimane vera se si toglie l'ipotesi che f sia ortogonale?

.Esercizio 118. Siano A e B matrici quadrate di ordine n. Pe r ciaseuna delleseguenti affermazioni, dire se e vera (e in tal caso dimostrarla) 0se ~ falsa (ein tal caso trovare un controesempio):

(1) AB e BA sono simili;(2) AB . e BA hannogli stessi autovalor i;(3) AB e BA hanno gli stessi autovalori con le stesse molteplicits alge-

briehe.Esercizio 119. Ogni matriee A E Mn(K) puo esserescri tt a come prodot toeli due matriei simmetriche, 4i cui almeno una inver tibile.!.Eserclsio 120. Sia V uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto 'sea-)are definito positivo. Sia f :V _. V una applicazione lineare. Dimostrareche esiste una base ortonormale eli V rispetto alla quale la matrice A = (Cli,j), . "~ f e tale w e ~J =-a,i 'rIi = F i-

Sia M E M2{R) una matrice inVertJbile.(1) Si dimostri che le quattro matrici

M, M-1,sono linearmente elipendenti.

(2 ) Dire se esiste una matrice M E M2 (R ) tale ro e l a d im e n si on e dellaspazio V = Span(M, tM, M-1, tM-1} sia esattamente 3.

Esercizio 122. Sia A E0 tale che de t A =1e tr A = -1. Si dimos tri cheallora A e simrnetrica." Esercizio 123. Sia L :MnCK) -t K (n > 1) una applicazione lineare taleche L(AB) =L(A)L(B) 'rIA,B E Mn(K) .Dimostrare che L e identicamente nulla.


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34 TESTl DEGLI ESERCIZI 8lHl8-13272-7.Esercizio 124. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su l campo K e sia/ E Hom(V, V). s i a . L ;Hom (V;V) .--+ Hom.(V, V) I 'epplicazione definita da.. .

L ; 9 I--t / 09 -9 0/ .Si dimostri me, se / I diagonalizza.bile, allora anche L loe, E vero il viceversa?Esercizio 125. Siano A, B E M n(C). Si dimost ri che A. e B hanna un au-tovalore in comune se e so lo se esiste una matrice X E Mn(C) non nu lla taleche AX= XB. .La tesi rest a ancora v e r a nel . case che si l avor i con mat ri ci rea ll ?

Esercizio 126. Sia A E Mn{IR) una matrice avente tutti gl i autovalori realie a due a due distinti e sis B E M~(R) una matr ice tale che AB = BA.

(I) Dimost ra re me B e diagonalizzabile.(2) Dimos trare che esi st e un unico pol inomio P(t) E Kltj , di grade minorea uguale a n - 1, t al e che B =peA). .

Esercizio 127. Sia C[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a caefficienti com-plessi nell'indetermmata x e sie f ;C[x] --+ C[x ] una applica.zion:e l ineare taleche f(Pq) = f(P ) . f(q ), per ogni p, q E C[x ] . Si dimostri che, se / non Iiniettiva., ellor a. /(c[x]) ~ c. .Esercizio 128. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 2n su IR e sia ( ,un prodotto scal are non degenere 8U V avente indice iii pos it iv it s, ed indice dinegativitii. uguali.

(1) 8 i trovi un sottospazio He V di d imensions uguale ad n e t8. le che( , )lH = O .(2) E possibi le determinare un sottospazio H come a l punta precedente

ma tale me dimH > n?Esercizio 129. Sia V uno spazio vet tori al e complesso di d imensione 2: 1 esiano t,s ;v --> V due appli cazioni l inea ri . Si supponga che is - 9/ = f. Sidimostri che

(i) Ker / e i nvar iante per 9;(2) esiste un autovettore comune ad f e g;(3 ) esiste una base a ventag lio comune ad f e g.

Esercizio 130. Sia V uno spazio vet to li al e rea le di d imensione n, dotato diun prodotto scalare definito positive ( , ). Sia f ;V --> V un'applicazionel inea re ta le che

,;','I ..i!1 :. 1 1 .i! 'I.I ~ I I, : I.j

(v, w ) =0 ~ (/('11), /(w)) = 0 .Si dimost ri che es is tono una i sometr ia l inea re 9 : V --> V ed un numero reale> .. ta le me f = > . . g .

TEST] DEGLI ESERCIZI 35

. i31. Per ogni a ER, sia La E (1Rn[xlf ilunzionale definite daLa : IR n [xl --t IRLa ; P t---> P(a) .

. la dimensione di Spa.n{La I a E JR).132. Siano A, B E Mn (R), B simmetrica. Si dimos tr i che a lloraP (t) = det{ A + tB) ha grado minore 0uguale a rk B.

133. Sia A E MI'(C)' Si calcoli la dimensione del sot tospaz io vet -&MI'{C)C(A) = {X E Mp{C) I AX = XA} .

134. Siano tI,w E JRn , n > L Si calcoli ilpolinomio caratteristico. ._. _ . .. . i~ A =v t . w e se ne studi I l l . diagonalizzabilita..

135. Siano a,bE lK . e si a A E Mn(K) la matrice

A= (-:: ~ Jbi -b -b a

ildeterminante di .A .136. Sis. V uno spazio vetto riale sui campo K e sia b ;V x V --+ Kbil inea.re tale che

esiste v E V t al e che b{v,v) i- 0 ;per ogni v, wE V s~ha che b(v, w) = 0 =*-b{w, v) =,137. Siano A e B due matrici real.i simmetriche, con A definlta

eB deni ta negat iva. . Si d imost ri me tr(AB)


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36 . TESTI DEGL! ESERCIZI 8&-08--13272-7Esercizio 140.S~a A E Mn{lK) n~n nulla. Si.cODSi~eril'applicazionelineare .

L : " Mn (K ) ->M . . {IK}L : X t---+ (det A)X - (tr X)A.

Si ~uta. la diagonalizzabilits di L, al variare della matrice A.Esercizio 141. Si dimostri che per ogni matrice A E Gtn(JR) esistono unamatrice ortogonale N e una matrice triangolare superiore T t ale che A= NT.Esercizio 142. Sia tr.. R ., , [x ] _ , I Itn(x) l 'applica.zione lineare "deriwta i-esi rna". Dire se i seguent i endomor fi smi del le spezio vet to riale Rnlx]

sono elem.enti ru;_earmente indipendenti in Hom{lRn[xl, Rn{x ] ) .Esercizio 143. Sia W ={X E Mn (K ) I tr X = o] e sia A una matrice diMn(lK) tale ch e tr(AX) =0 ' .. E Ktale roe A=),1.Esercizio 144. Siano V e W spazi vettoria.li su C. Si denotino

Home (V,W) = {J :V -+W I f ~C-lineare},HomR{V,W) = {J :V _, W I f e R-linea.re},Homc(V, W) = {f : V -t W I f e C-antilineare},

dove un'appJicazione f : V -+ W viene detta C-antil ineare Be 1 ( ' 1 . 1 1 + ' 1 . 1 2 ) =1 ( ' 1 . 1 1 ) + 1 ( ' 1 . 1 2 ) per ogni Vb V2 E V ed f ( > . . v ) =X I ( v ) per ogni v EVe>.. E C,Si dimost ri che Home ( V ,W ) ed Home ( V, W ) sono sottospazi vettoria.li di

HomR(V, W) (come spazi vettoria. li su lit) e cheHomR(V ,W) =Home{V, W) ~ Home (V , W ) .

Esercizio 145. Sia V uno spazio vettoriale r eale ill dimensione n dotato illun prodotto scalare ( , ) definite positive e sia I:V -+ V una. applicazionelineare. Si calcolino gli indict di nullita, positivita e negativita del prod ottoscalare b :V x V ... ..R definite de. b(x, y ) = (f(x) , I(Y) "Ix,y ~ v : _ .

. ~..Esercizio 146. Sia A E Mn(K). Si dimostri ch etr A =0 {=$> 3X, Y E Mn(K) tali che A =XY - YX .

TEST] DEGLI ESERClZI 37

",,,,.r.iz:IO 1.4r. Si dimostri che, per ogni matrice A E Mn(~), esiste una.invertibile N t ale che tut ti gl i e lem.en ti eul la d iagonals principa .le diAN sono ugual i ( e qu indi ugua. li a (l/n)trA).

li'..,.,,.,.,iizio 148.(1 ) Sia W un aottospezio vettoriale non nullo di Mn{lK) tale che

'V A E W, '< I B E Mn ( lK) ABeBAE W.. S i dimost ri cae allora W =Mn(K).(2) Si dimostri che se f :Mn(K) - Mn(K) e una applicazione linearetale ch e

f(AB) = f(A)f(B)a.Ilora I0 e un isomo~o oppure e l'applica.zione nulla.

;..E.o;;er~c:iZIIO49. Siano f e 9 due prodot ti scalari su l lo spazio vettoriale V ill.dimecsione n e si supponga che f sia non degenere. 8i supponga ino lt re ehe

una base B di V tale che Ie matrici associate ad f e 9 siano rispettiva-

F = ( A I . ' . I ), G= ( P - l , . . _ )!A n , . . , . .

.Dimostrare ehe la n-upia ( p .i / A I ) , ' . . , ( p .n / A n ) ) non dipende, a meno dell' or-dal la scelta. di una talebase B. ."''''>''(''''7.'''' 150. Si dimostri che per ogni matrice A E Mn(C) esiste una ma-

E E Mn(C) t ale che(1) AEI =EAj(2 ) il pcllnomio caratteristico PB(t) eli B coincide con ilpolinamio mini-

mo mB(t) diB.".'".".J. ,~.'!s,.,r,j",j,n151 . Siano A e B matncl n xn tali che A + hE e nilpot~te per

...... ,"'""""'.n + 1 valori distinti di h E K. 8i dimostr i che allora A e B sono nilpotenti.152~~ia V uno spazio vettorialeed f :V -+V una applicazione

l inea.r e non ident icamente nu lla. Si d imost ri che(1). Be Ie nilpotente, allora non esistano sottospazi W ; V invarianti petI e tali ehe V = W E E l Ke r I.(2) Se per ogni sottospazia W ~ V invar iante per f e non costituito dal

solo 0 si ha che W n Ker f i- {O}, allora f e nilpotente .

-II-~ ." ~ .'t".~ .~J :L


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fl R ~ I 9 (",\1 c\ 6 \ A ~"~~ ~ I

."1l r 'A~'}?k ;',;;~\

~j~~:'~~-L

;A ~ (V~r=i~g (\{i);:; 0

\. r. 1


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40. SOLUZIONI PROPOSTE @81Hl8-13272-i

per opportuni coefficienti O:i Ii. Ma allora anehercj = '"' 0:. C'Z:: 1.~J ' );=1

per cui C1, . .. , or sonogenerator i della spazio C(e). Visto roe dimC(C) =r,C1, . .O" ne sono una base. D'altra parte per ogni j=1,._.,r la eolonna .Cj coincide con la colonna Bi, pertanto Bl, . .. ,B~sono linearmente indipen-denti e quindi det B o F O . . . . . .(2) Chiamiamo r ilrange di M; sia F la famiglia dei minori inver tibili diM ..avent i la diagonale su lla d iagonals di Me indichiamo con pil massimo degli ...ordini dei minori di F. Dobbiamo dimostrare che r = Pi poiche evidentementer ?: p, basta provare che r $. p.Poiche M ha rango r , . esistono in M r. righe Mil, _ . _,Mir l inearmente in-

dipendenti. Essendo M simmetrica, le colonne u, . . . ,u sono dunquel inearmente indipendent i. Queste r righe e r colonne di Mformano un mine-re B r x r diM che ha la diagonale sulla diagonals d i Mper costruzione eche e invertibile per quanto provato alpunto (1). Abbiamo cos! visto che inF esiste a lmeno un minore diordine r, per cui p? : r. D .

Sol uzione dell 'Eserdzio 3. Per ogni jE {1, _. _ ,n - 1} chiamiamo j-emmaparollela alia diagonale principale di una matrice M l'insieme degli elementi[Mlh,i>+i con 1 $. h ::;n- j. Se denot iamo tale para llela con Pj(M), abbiamodunque roe Pj(M) e formata. dagli elementi [Mh,Hj, [Mh,2+j,-. -, [M]n-j,n.Per prima cosa vogliamo far vedere roe, per una matrice triangolare su-

periore con tutti 1 sul la diagonale, e facile descrivere Ia pr ima parallela a lladiagonale in ogn i po tenza Mh con hEN. Precisamente dimos tr iamo perinduaione su h che(1 ) [Mhji,i+1 =h[MJi,i+1 Vi = 1,. _.,n - tPer h =1 1 8 0 tesi e ovvia .. Suppon iamo che la tesi sia vera per h. D a t o chesia Mche Mh sono matr ic i t riangolari superiori avent i ent rambe tut ti 1 Bul ladiagonale principale (verificai:lo!), si ha

n - .+1h '"' h '"' hMh+1j.,Hl = [MM kHI =L)Mli,.[M ]',i+l = L_..[Mk.[M 1.,Hl =

0=1 s=i= IM]i,i[M hji,i+1 + [MJ; , i+1[M hj i+ ! ,H1 == [Mhji,Hl + [Mli,.+! ==h[M]i,i+l + [Mji , i+ ! = (h + 1 )[M] i, i+ 1 -

SOLUZIONI PROPOSTE 41

dell'esercizio, la (1) permetteintanto di ot tenere che la primaP1(M) e nulla: infatti, e51:!ndoMk = I, si ha [M k)"H1 = 0 per ognik[M);"+l = 0 per ogni ie pertanto [Mki+1 =0 per ogni i.

ottenere la tesi, dobbiamo dimostrars che tutte le parallele Pl(M),. . - ,Pn-1(M) sono nu lle. L' idea e quella di generelizzsre il ragiona-fa.tto sopra, provando che, se nella matrice M le prime j parallels. - - , P j (M ) sono nulle, allora per ogni hEN la parallela P iH (M h) e

dalla parallela PH1(M) e precisamente .[Mhh,i+j+! =[MJi,Hi+1 Vi.= 1,.-.,n - j-1 _

questo fatto per induzione su h. Per h = 1non c'e nulla da dimo-Supponiamo la t esi vera per h e calcoliamo gli elementi della parallela(Mh+1):

n .. . [Mh+1kHi+1 =[MMh]i,Hi+l =2 " ) M J i , dMh h,i+i+1 =. 1=1i-I=L[MI.,dMhlz,i+i+1 + [M);,;[Mh]i,i+i+1 +

1~1Hi .+ L [Mkj[Mhh,i+i+l + [M]i,Hj+l[Mhji+i+l,Hi+1 +1=1+1 I .n+ L [MJ;,dMhkHi+l =(h + l)[MJ"Hi+l1=i+i+2

1'ultima. uguaglienza vale in quanto..': J Iii.prima. sommatoria ha gli a.d.dendi tutti nulli dato che Me triango--lare snperiore;

[M )i ,i [Mh ]i ,i+ i+1 = h[Mh.HiH perehe [Mk. = 1 per ipotesi men-tre l'elemento [M hJi.Hi+ 1< sta in PHI (Mh) e quindi, per ipotesi diinduzione, coincide con h[M]i,Hi+l;

la seconda sommatoria e nulla perche, al var iate di 1 E {i+ 1, _ ._Ii +j}, l'elemento [Mli,1 sta nelle parallele P1(M)". -,Pj(M), che pe ripotesi sono nulle; .

[Mji,i+jH[Mhli+j+l,i+i+l = [Mji,Hi+! dato che anche Mh ha tut ti1 sulla diagonale; la terza aommatoria e nulla in quanto Mh e triangolare superiore.a questa pun to concludere la d imostr azione del l' eserc iz ia . In fa tt i ab-

gia pravato all 'inizio che P I (M ) = 0; ne segue che P2 (Mk ) =k . P2 (M)_per ipotesi Mk = I, si ha che P2(Mk) = 0 e quindi P2(M) =O. Ite-


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42 SOLUZIONI PROPOSTE

rando ilprocedimento, si deduce che P3(M) e vie. via tutte Ie paralle lediagonale di M sono n~e e dunque che M = I.Si po teva ri solvere l 'eserc iz io anche osservando che

Mk - I = (M - J)(i.,.fk-l - + - . .. + l)(perche?) e che I ll .matrice T =Mk-1 + ... + I e invertibile in quanto sommadi mat rici t riango lari superior i con tu tt i 1 sul la d iagonale , In fa tt i a llor a dallarelazione 0 =Mk - I =.(M - I)T segue subi to ch:eM - I = O. 0Soluzione dell'Esercizio 4. Ussndo Ill. relazione dim Vi = dim(Ker f ; . ) +dim(Imf.), si ottiene chen n2:(-1); dimVi = :E(-l)i(dim(Ker /;) + dim(ImM) =

< = 1 ;=1= - dim(Ker II) - dim(Im h) + dim(Ker h) +dim(Im h) ++ ... + (-1)" dim(Ker I n ) + (-1)" dim(1m I n ) .Per ipotesl sappiamo che dim(Im h)=dim(Ker fHd, che sostituita nella som-ma precedente produce

n2)-1)idimV, = -dim(Ker i1) + (_l)ndim(Im/,,).;=1

Me. In e l 'applicazione nulla, quindi dim(Imln) = O. Anche 10 e nul la , percui dim(Ker II) =dim{Imlo} =O . La tesi e e a s t provata. 0Soluzione de ll'Esercizio 5. Osserviamo che la condizione AB = BA e una.condizione lineare, e quindi e verif icata per ogni B se e solo se AE. ;, j = Ei,jAper tutte Ie me.trici elementari Ei,j (E;J e la matrice tutta nulla tranne un 1el posto i, j), le quali e ben noto che costi tuiscono una base di Mn (K).Osserviamo roe AEi,i e I l l . matrice tut ta nul la t ranne I l l . colonna i-esinia che

coinc ide con la i-esima colonna di A, mentre Ei,iA e I l l . matrice tutta nullatranne I l l . riga i -esima che coincide con la i -esima riga el i A. Dalle eondizioniAEi,i = Ei,iA per ogni isegue quindi immediatamente che la mat rice A deveesser e d iagonale . Siano A1>. .. , A n gli elementi. della diagonale principals.Cons ideriamo ora le uguagl ianze ricavate usando le matr ic i E,j con i# i.

La matrice AEi,; e tut ta nu lla t ranne I l l . j-esima colonna che e data dallacolonna i-esima di Ai dato che A e diagonale , l 'un ico elemento non nullo del lamatrice AEi,j e iltermine di posto i,j che e dato da Ai. Analogamente' E"jAe tutta nulla tranne la i-esima r iga ehe e data . dal la r iga j- es ima di A, e quindil 'un ico termine non nullo e iltermine di posto i,j che e dato da Aj .


,.rl,orliniti'lB da ques te uguagl ianze segue che Ai = Aj per ogni i,je quindi. D'al tr a parte tali matrici commutano con tut te le altre, e quindi sonoee sale le matrici cercate.altro modo per r isolvere l 'esercizio e ilseguente. Se A. e una matrice

commute con tutte Ie mstrici B el i Mn(lI{), in part icolare commute candi GLn(lK.) e allora I l l . relazione AB = BA puo essere scr it ta nella forma=A. Interpretando A come matrice associate ad una applicazionej, rispetto ad una ce rta base B = {Vb ... ,'lin}, e B come matrice el i_ di base, si vuole dunque vede re "come e fatta f" supponendo

abbia 1 8 0 stessa mat rice associata in ogni base.VIwUllll"J.Oo4L'U con ilconsiderare Is basi

Bi = {Vl, ... ,-Vi,.'.,Vn}da B cambiando segno all't-esimo vettore. Rispetto a questa nuova

. , la matrice associata ad I coincide con A; t ranne che nel la i -esima riga ei-esima colonna dove tutti gl i element i meno quello su lla d iagonale prin-sono cambiati di segno. Da tali cambiamenti el i base consegue che Aessere diagonale. Siano > . . 1 , . - . ,A;' gli elementi sulla diagonale principals

i-esimo j-e8imoda B scambiando i vettori Vi e Vj. La matrice che si ottiene per f inbase e evidentemente uguale ad A t ranne per ilfa tto che gli elementisul la diagonale sono scambiat i t ra loro . Dovendo la matr ice r estar e im-neconsegue che Ai = = Aj per ogni i,j e quindi A=AI. D'altra par te,

gia. detto, quests matrici commutano con tutte le matrici di Mn(K).In part ico1are osserv iamo che s i . e cosl dimostrato che, se V e uno spazio

su I K . , Ie applicazioni f : Y --+ V la cuimatrice associata non dipendescelte. del la base sono quel le del t ipo I(v) =A'll.Nota. Con I l l . secondadimostrazi.one dell'esercizio si e in realta dimo-

, qualcosadi piu.:Si osservi infa tti che le ma trici B E Mn(lK) cbe si sono usate per imporre' . condisione AB = BA (de. cui S 1 e dedo tto che allora A = ).,1), sono tutte

inv~n:i~ili,sim~etriche e, ~el caso in cui II{=R [risp. K = C], sonomatrici m 0" I n s p . Un]. SI sono quindi dimostrati anchs iseguentiUna matrice A E Mil(K ) commuta con tutte. Ie fflamci in-.vertibili se e solo se A = )J C On ), E lK.


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44 SOLUZIONI PROPOSTE 88-08-13272-'7 -.Una matrice A EMn(K) co~muta cpn.tutte le matrici sim~metriche (0 anche so lo c on tutte le : simmetHche invertibili) ..se e solo se A =AI con > .. E K.Una matnce A E Mn(R) lrisp. Mn{C)] commuta con tuttele matrici di Qn [nsp . Un ] se e so lo s e A =),J con ). .E lR[risp. x E ej.:D

Soluzione dell'Esercizio 6. n polinomio caratteristico di M e dato da. . . ( A -u; I C )PM(t) = det(M - tIl = det ..'DB-timquindi e ildeterminante di una. mat rice che he. la stessa " fo rma" d i M.. Osserv iamo che

per cui, usando ilt eo rema. diBinet, s i hadet M= det C ; I ~ ) det ( ~ 1 ~ )

D'sltra parte si vede facilmente chedet ( I ; I ~ ) = det B e det (~ I ~ ) =det A :

per la prima uguaglianza, basta calcolare ildeterminante sviluppando secon-do la pr ima colonna e i tera te questo procedimento n volte; per la seconda, s iragiona allo s tesso modo r ispetto perb a .l l' ul tima r iga ,Se ne deduce che det M= det A det B e quindi

(A -tin I C )PM(t) = det(M - tIl =det =o B - tIm=de t(A - tin) det(B - tIm) = PA{t)PB(t). 0

Soluzione dell'Esercizio 7. La dimostrazione che E e un sot tospazio d iHom(V, W) e una verifica (farlo!). Per calcolare la dimensione di E si puoprocedere in questa modo.Scegliamo una base { V I , . . . , Vn,} di V I ed una base { W I, " . , W m.} di WI ecompletiamole a basi Se T di V e W rispettivamente. . .Sia 0: : Hom(V, W) --+ Mmxn(K) l 'isomorf isnio indotto dalle-besi f issate

(quello che associa ad J E Hom{Y, W ) la ma trice a ssociate ad f r ispetto allebasi SeT) . Poiche dimE = dimo:(E) , basta determinare o:(E) e calcolarneIs dimensione.


s i a fEB. Poiehe V i ~ Ker j, si he, f(vl} = ... = I(v n,) = 0 e quin-. .. pr ime nl colonne della matrice a(f} sono nul le , Ino lt re la cond izione. f WI implica che ivettori f(vt) , . .. , f (vn} sono combinazione lineare

dei primi ~l vet to ri del la base T in W e quindi che ie ultime m- mldella matnce ~(f) sana nulle.: Pertanto lamatrice 0:(1) sara de l tipo

( H - % )L E Mm,x(n-n,). Viceve rsa, se la ma trice associa ta agE Hom(v: W) et ipo (1) , sllora gEE. Dunque '

::IOJlUZIODleell'Esercizio 8. Tali funzionaJi non possono esistere: infatti sew) = f(v)g(w) V'V,wE V, allora, detta { V l, . .. , V n } una base di V, la

associate. a b rispetto alia base scelta e Is. matriceB = (f(V ;):9(V l) .. . f ( V I ) g { V n )

f { V ~) g ( V I ) . . . 1(V n ) : 9 ( V n ) .,tale matrice ha rango al pin. 1nquan ta le righe BOnotut te mult ip le della( V I ) . . . 9 (V n)}. Quindi se una forma. bilineare ha rango maggiore 0a 2 , sicuramente non puo esser e scri tt a come prodo tto (nel sense del l' e-

,......,~uuu J di due funzionali, Un controesempio e fornito dalla forma bilineareche ha per mat rice G n 0

Soluzfone dell'Esercizio 9. Se


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46 SOLUZIONI PROPOSTE 88-08-13272-7 SOLUZIONI PROPOSTE 47con h, k E {1,2,3}. Se scegliamo h e ~ .in ID,!dQ che h"/: i.' e k.# j,allora lematrici Eij + Ehked E;j - Ehk'hanno range 2, come si voleva.. 0 evidente che Ps~(t) ha due radici reali distinte 1 e,-l; per cui StlSoluzione dell'Esercizio 10. Sia

A= (~ :) EM2(R)una matrice ortogona.le, cioe tale che tAA =I, Un semplice calcolo mostra che

x = ( x ) = (C?S a )y P sma

{a =cos1'hc = sin itl {b = sinil2. d = cosil2

R X = (cos~cosa - sin 'I?sin a ) . _ (cos{'I? + a ) )~ P sin ilcos a+ co s ilsin 0: - P sin(iH a)R"X e ottenuto ruotando X di un angolo 1 1 attomo all 'origine. Si notiin tal modo si motivi anche geometr ica.mente che I 'appl icazione R" e

~gO-naliZZiE!.bilee e solo se t9 e un multiplo intero di 7r.vedere come agisce S" calcoliamo isuoi autovet tori . Cominciamo cer-gli autovettori relativi all 'autovalore 1. Poiche I' autospaz io deve avere

LlJ"""JU" 1, cerchiamo un vet tore X della forma

(1 )

Le prime due relazioni sono veri fi .cat e se e solo se ipunti (a , c) e (b, d) appar-tengono aIla circonferenza unitaria del piano, e quindi se e solo se esistononumeri reali 19 1 e {}2 tali che

X= (::)Ma allora l 'ultima rela.zione di (1) e verificata B e e solo se

CO B itl sin it2 + s in i ll cos it2 =0oss ia, usando Ie ben note fo rmule di t ri gonometria, se e solo sesin(ill + ' 1 ' 12) = 0 *'* {}2 = -itl + 2k'll" oppure {}2 = ' II " - -01 + 2 k- n -

Se it2 =-1 91+2k- ir , si ha checos {12 = cos ill e .sin 19 2 = - s.iIi -01

{C0819cbsa + sin{}sina =cos asin !?cbs a :- cos 11 sin 0: =sin aIe solite formule di trigonometria, ilsistema precedente diventa- a) = coso:- a) = sin a t9*'* 1 9 - a = = 0: (mod 2 1 1 - ) *=> a:="2 (mod 2 ' 1 1 " )

e quindi A=~l'Se invece 19 2 = 1 [" - 19 1+ 2 k ' 1 1 " , si ha che

cos 19 2 = - cos itl e sin 1 92 "" sin ill (COS(!?/2))sin{iI/2) .e quindi A=S~l'I pol inomi cara tter is ticl di R " e di S o ( } sono dati da

PIt, (t) = ( c o s it - t)2 +sin2 it =t2 - 2tcosit +1ps.(t) = (cos!? -t) (-coBil- t)- sin2tJ = t2-1

Calcolando ildiscriminante del polinomio PR., (t), si vede ebe questo e non' ne-gat ivo se e solo se cos2 19= 1. Quilldi Ii{!ha autovalori reali se e solo se i I~"=. " 1 rcon k E Z, eel in tal caso si ha che Ii{! = I. Dunque Ii{! e diagonalizzabile see solo se iJ =k'll".

del tutto analogo si mostra ehe l'autospazio relative a -1 e genera-(-Sin(19/2))cos(iJ/2) .

ha qnind i ehe Sf} lascia invari at a la rett a passan te per I'ori giae e che fo rmaangola 1 9 /2 con l'asse del le ascisse, mentre inverte ilsegno dei vet tori cl ie. sulla retta ad essa ortogonale .

...In definitiva, quindi, S o ( } ' e la simmetria rispetto alia retta passante pere roe forma un angolo iJ/2 con l'asse delle ascisse.


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48 SOLUZIONI PROPOSTE 88-08-13272-7'GtQ Nota. Osserviamo che una ma,t ri~e d i,02 e del tipo R" {risp. 'Sf!) ~eH'suo determinente e 1 (risp. -1). tJSoIuzione dell'Esercislo 11. Evidentemente se f e C-linea.re' allora e ancheR-lli ieaxe. .n viceversa non e sempre vero , s i consideri ad esempio I'applicazionef : C -> C definita da J(z) = z . Cerchlamo pertanto 'di ca.ratterizzare leapplicazioni lR-lineari me BOnoC-lineaxi.Sia J : C ->C una applicazione IR-lineare e sia

la matrice associate. ad J rispetto alla base {l, i} eli C pensato come spasiovettoriale reale. , .Le uniche applicazioni C-lineari C --+ C sono quelle del tipo z 1 --+ w z conWEe, che, pensate come applicezioni lR-linear i, hanno come matrice associa-te. riBpetto alia base {I, i} la matrice(1 ) (lRtW;}mw -;}mW)lRew .Pertanto f sara . una app licazlone C-l ineare se e Bolose A e del tipo (1), cioea=deb =-c. In altre paro le le app lieazioni lR-l ineariche sono anche C-lineari BOnO tutte e sole quelle la cui matrice associate. nella base {l,i} e dellaforma

L'eserc iz io po teva anche esser e ri so ltoosservando mef e C-lineare C l'applicazione definite. de. j(z) = iz (chee ovviamente R-l ineare), abbiamo most ra to che una app licazione R-l inearef :C ->C e C-l ineare se e so lo se j 0 f = f 0j.


,'a]:lplica2:iOIlej e espressa, r ispetto alla base {I, i} di C su R, dalla matriceJ= (~ - ~ n

matrice associata ad f rispetto a tale base, J e C-linea.re se e solo se=JA e quindi se e solo se' (~ : ) (~~1)= (~ ~1)(~ :)


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~~ Nota. Osservi~6 che ., identifi c~do.Mnx1(lR) con R . n , iln.1 . . - t . . . . t+, , : ,scalsre appena definite coincide con ilprodotto seafare standard di R~:tre un semplice caleolo mostra che, se A,B.E M~xn(R),allora

Om n{A, B} = tr(tAB) = ECl)tA].,j[Blj,i) = E[Alj,i!Blj,~

\=1 ;=1

che e i1 prodotto scalare ch e si ottiene identificando nelmodo usuale M ....xncon Rfftn e conaiderando su Rmn ilprodotto scelare standard. 0Soluzione dell'Esercizio 13. Dalla l ineari ta del la traccia e del lativi ta del prodot to t ra matri ci segue immedia tamente che ( , } e bilineare.jDimostriamo che (, ) e simmetrica:

n n n(A,B) = 'LJABJi,i= L : ( 2 : = tAJi,j[B);,;) =

;=1 i~l j=1n n n=2:(2:[BI;,;[Aj;,j) = 2:!BA! J . ; = (B,A).j=1 ;=1 ; = 1

Proviamo ora me ( , ) e non degenere, e quindi l'indice di nnllita e zero. Sia Atale che (A , B ) = 0 per ogni BE M n{R ); inparticolare, prendendo B =siha we (A,tA) = tr{AtA) = 0, da cui segue (cfr. esercizio 12)we A = O.Per trovare Sn(R)l. osserviamo che, se S E Sn{lR) e A E A n( JR ), a ll or a

{A, 8)=tr(AS) = tr teAS) = treStA) == tr(S(-A)) = (S,~A) = -(A, S)

de cui segue immediataIDente che (A, S)=O . M iloallora An(R)S; Sn(R)l..Dato che ilprodotto scalare e non degenere, sihadimSn{R)l. = n2 - dimSn(R) = dimAn(R)

e quindi Sn(R)l. =An{R).Per determinare gl i indici di positivita e di negativita di ( iche, sa S E Sn(R), allora

n n(S,8) = treSS) = L: [Sk;[S];,; = L[S l 1 , j ~ 0

0,j=1 ',j =1ed e uguale a 0 se e solo se S = O. Analogamente se A E An(R.)-allor~ 0

n n(A,A) = tr(AA) =L[Akj[Ab,t ",;- LAl~,j s o

i,j",1 ',j=1

SOLUZIONI PROFOSTE 51

dell'Eserc~zio 14. P~ ~gni j .E {1 , ... , n ., I} chiamiamo j__ "lUlen aUa dtagonale prmctpale e li una matrice N l 'ins ieme degli

[N]h ,h+ i _con1'$ h' $ n - j e denotiamo tale parallela con P(N).con Po(N) la'diagonale principale di N. . JDin10S1;riamo~er induzione che per ogni k ~ 1 la matrice N i r . e aacora

supenore e le parallele Po (NIo), ... , P k-1 (N") sono nulle ossiao .. >. k '=. per o~ t _J - + 1. Evidentemente cio prova che, perla matrice N" e nulla.k = 11 & tesi non e altro che l'ipotesi ocheN sia strettamente trianzS . ~~?-pporuamo quindi che la tesi sia vera per k e dimostriamola+ 1. Dobbiamo provare che tutti gil elementi di N"+1 di ost . .k ulli S h P 0t,j con- sonon . 1 a

i-I. i=; I:[ fJ i ,h [ N I e] h ,; +h=1

nL [N!t.h[N"Jh,j.h=;-Io+1~a :nna sommator~ ~ nulla in quanto se 1s h s j - k allorat_J - k ~ h, e quindi, dato che N e strettamente triangolare su-o'y~"'~'~ [N ] . , h = 0; Ila seconda sommatoria e nulla in quanta per ipotesi di id .h > J' - k + 1 . h [N "J . _ ' inUZlone,se_ 51 a h ,j - O .prova la prima asserzione;dimostrare la secunda asserzione dimostreremo che per ogni k +k-1[Nkh,i+k = I T [Nlh,h+1h=; Vi=l:, . .. ,n-ok.

segue infatt i ~edia tamente la tesi in quanto per ogni k < nier-con.1 : :; ; .$ n - k, essendo prodotto di numeri diversi da zeroper ipotesi [N ] . 0 ...L 0 0 ''. 1,,+1 r per ogm 1= 1,... ,n - 1), sono a lorodiversi cia zero e quindi N" e non nulla.~UVH"rnn dunque Is (1) per ~duzione su k. Per k = 1 Ia (1) e ovvia.'po:riiamola (1) vera per k e dimostriamola pe k + 1. Fissiamo itale c.he


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h = .

SOLUZIONIPROPOSTE 5352 SOLUZIONI PROPOSTE

1 SiS n - (k + 1), allora" ,[Nk+1kiHH=2:[Nl i , j [Nkli;+k+l =

; = 1 . ve ttoriale eli d imens ione 1 , e li cui l 'app licazione tr e quindi unain.= 2)NJi,j[Nkl ; ,Hk+t + [Nh, i+1[N"Ji+ l , i+k+1 + L: [N] i , j [N" lJ . i+k+1.

j=l j=i+2 dell'Esercizio 16. La dimostrazione precede per induzione suV. Per n = 11a tesi e ovvia.n > 1. Dato che f ha . tutti gli autovalori in R , esiste

VI per f, che possiamo supporre e li norma L Sia W =)1 . e sia P': V -+ W la proiezione eseocieta alla decomposizione EE lW, S i con s id er i l'applicazione 9 : W -+ W definite. da .. . f lw . { W 2 , '" ,wn} una base eli W, allora la matrice associate, a. f rispetto{V' Wz,." wn} ha la forma '

Osserviamo ora. che la prima scmmatoria e nlll.bin quanto [NliJ = 0 se i~j la seconda sommatoria e nulla in quanta se j~+ 2 allora j 2:.'(i + k + 1) - k + 1 e quindi per quanto dimostrato nel punta pre-:cedente si ha che [Nklj,i+k+l = O. '

Indefinitive. si ha

h=HlA ~ ( F )i,.matrice Bela matride associate. a 9 r ispet to alla base {W2, ... , w ,,} ,

Be PACt) denote. i lpol inomio carat teri st ico eli A e PB(t) quello eliPA(t) = (Al - t)PB(t) e quindi anche g ha tutti gli autovalori in

dunque usare l 'ipotesi eli induzione per dire che esiste una ba-...., ' ,vn}di W, ortonormale rispetto al prodotto scalare ( , ) Iw (che

positive] e a ventaglio .per g. Per coricludere basta osservare che. . j v , : ; : f e una base ortonormale di V roe e a ventaglio per i: infatti,di nuovo ladecomposlzlone in somma diretta, per ogni i 2: 2 si ha= QiV + g(Vi)' dove g(v;} E S pa n(V 2, .. , ,Vi) visto che {V2, ... ,Vn}a ventag lio per g.

. 'dimostrazione si poteva fare anche usando il fatto ro e ilprocesso dilClmaalizzaziOlle di Gram-Schmidt conserve iventagli (penile?), Quin-

segue banalmente appl icando tale processo ad una' qualsiasi base aper f, la cui esistenza e garantita dal teorema. di triangolazione.

Ma p er i po te si di induzione(i+l)+k-l Hk

[N"lHl,;+k+l = II [Nlh,h+l = II[N]h,h+lequineli

i+k i+kWk+lJi,Hk+l =[Nl.,Hl IT [Nlh,hH = IT[NJh,hH' 0

Soluzione dell'Esercisio 15. Consideriamo la base di Mn(K) farmata dal-Ie matrici elementari Eid, con 1 S i,j ~n, e ricordiamo che. { o se j'"hEidEh,k = .Ei,1< se J =h.Se i # k e per qualsiasi i.s i ha allora f(Ei,k) = [(Ei,jEj ,k) =!(EikEi,j) = .[(0) = 0, mentre f(Ei,i) =f(E.,lEI,i) = I(E1,iEi,1) =f(El,l}' Posto dun-que A= !(E1 ,1), si ottiene

n nf(X) =f(L: x' ,jEi,j) = L xi,j f(Ei,j) =

i,;=l ;,;=1n n

=L: xi,d(Ei,i) = A L: X',i = ' tr X 'i=l >=1

Nota. L'esercizio dimostra. r o e se A E Mn{R) ha tut ti gli aubovalori. a Ilora esis te una matrice ortogonale M t ale che M-lAM e triangolare

basta pensare A come applica .z ione l inea .re R" -+ lRn e prendere.M la matrice di cambiamento di base dalla base canonica di Rn alia.or t ;OD(rrmi8.le a. ventaglio della tesi. 0


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Vx,v E R+'r / 0: E I ll , x E R + .

7 SOLUZIONI PROPOSTE 5554 SOLUZIONI PROPOSTE

Solusionedell'Bsercialo 17..D~ fatto che pe r o~ kEN

M k = ( ~ k r ; k )segue immedia.ta.mente che, per un qualsiasi p 'ollnomio Q(t).E K . [ t ] ,

(Q(A) 0 )

Q(M) = 0 Q(B) __Ma allora, Be Q e un polinomio tale che Q(M) = 0, necessariamente Q(A)o e Q(B) = = O. Detti quindi rnA e el mB i polinomi minimi di A e B si harnA ed mB sono dei divisori diQ. .Di conseguenza. ilminimo comune multiplo m tra rnA ed mB e anch'easodivisors di Q. Dato roe m e monica ed m(Q) = : : - 0 (perche?), dalla. dennizione;di polinomio minimo segue allors la tesi. .0 .

A ' = = ( * ) ;. dato ro e B e una base ortonormale rispetto al prodot to scalar e stan-la matrice M~ risulta essere ortogonale. Questa dimostra (1). _Dalla. (1 ) r icaviamo che

Soluzione dell'Esercizio 18. La . risposta e affermativa.prieta delle potenze di numeri rea Ii si verificano immediil.taInebte g1i 8SSLomi~di spazio vettoriale (si noti che I'elemento neutro per IB e ilnumero 1).Si puo anche osservare me l 'a.pplicazione

exp : lR ----> R +exp : x l--4 e'"

e una. b igezione e che le opera .z ion i IBe [; ]defini te au R + a .l tro non sonoIe opetazioni indotte su R+, mediante exp , .dalle operazioni standard suinfatti

( t ( I k I 0 ) .kAA)=rk or o =k=rkA. 0dell'Esercizio 20. L'applicazione 'P : Mnxk( lR) -> Mmxk (R )

-:".'P(X) =AX e lineare ed S = Ker ' - P , quindi S e uno spazio vet to -mviaIno che la matrice!n x k!

x lBy = exp(exp- l (X) + exp-l (Y))o:E]x= exp(o:exp-l(X))

. ad S se e solo se x~ E Ker A per ogni i = 1, ... , k. Dato cli .e . si ha . dim(Ker A) = n - r; sia {v I, ... , Vn-r} una base diKer A. Per. , 1 - , . .: e,n - r e per dgni j= 1, . .. , k, sia Bi J la matrice n x k aventeelement i nul li t ranne la j -esima colonna cos ti tu ita dal vettor e vi, ossia

Questo prova che ( R+ , 8 3 ,0 ) e uno spazio vettor ia le su l R e d exp e un tsomor-zfismo di R (dotato delle usua l i operazioni) can ( lR+ , IB,0). 0 S'J =( 0 I . . , I 0 IV i I 0 j . . . j 0 )1Soluzione deU'Esercizio 19. Ricord iamo che rkA = dim(ImA).mo una base ortonormale (r ispetto al prodo tto scalare standard diB = {VI, ... , v,,} di Rn t ale che {VkH, ... , vn} s ia .una base ill Ker A .ramente cio e possibi le ad esempio prendendo basi ortonorma li di Ker A e(Ker A).L_ .Eben notoche AVl, . _ . , AVk costituiscono una. base di ImA; completiamolaad una base C diRn.Sis. A' = MEAM~ (essendo [; la base canoniea di Rn) la ma trice a ssocia ta ...

all'a.pplica.zi.one lineare VHAv rispetto alla base B in pa.rtenza e C inarrive.

j..-eaimamostrare che Ie matrici Bi,j COS! definite costituiscorio una. base di Bna~'QUIndidimensione k ( n - r). 'anche l'esercizio56. 0dell'Esercizio 21. Dal fatto che {., )Iw e non degenere segue

e


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SOLUZIONI PROPOSTE 5756 . SOLUZIONI PROPOSTE

Dimostriamo ora che(1 ) d im v = dimW + dim W.L. ) - A;a. = -(g(b;) - A;bd . Poiche An B = {OJ , segue chee g(b;) =A.b .aI, ... ,an } e un insieme incui i vettori non nul li sono autovettori

parte all"" an , in quanto immagine dei vettori della basetramite la proiezione pr A : V = A$B ~ A, che e una appli-surgett iva, sono generatori d i A. Quindi- cia {al"'" an } si

una base di A, che risulta evidentemente di autovettori per f.10 stesso discorso per { b t , . . . , bn}, si prova ehe anche 9 e dlagona-

Sia k = dim W e sia B = {WI, '" , W " , } una. base di W. Allora tJ E W.i sesolo se (v , Wi) = 0 per ogni i= 1,... t k. Detta f l'applica.zione linearei :V ---t Kkf :v f--> ((v, W I ) , " . , (v, Wk)

evidentemente risulta(2 ) w- =Ker f. ~ta. Nelle ipotes i del l'eser~o si osserva subito ehe L(A) ~ A,

)3 , LIA = f e LIB = g. L'eserc iz io asseri sce quindi che, se L 'e uneVe somma. diretta eli due sottospaziL-invarianti A e B,

diagonaJizzabile se e solo Be le restrizioni L IA eLI B 10 sono, DCompletiamo la base B ad una base 81 = {Wl J . .. , Wk ,1 I} , .. . ,V n- k} di V.matrice assoc ia ta a I rispetto a tale base in partenza eli alla base canonicaarrive ha allora la forma .

del l 'Eserc iz io 23 . Ricordia. rno che il range e 18.traecia di unasono invarian ti per s imi li tud ine , per cui ogn i mat rice simi le ad A hae la s tessa tr accia d i A.e diagonalizzabile, 1 1 1 0 matrice diagonale D simile ad A, avendo rango 1,formasserviamo ora che la ma.trice A e Ia matrice associata. a ( , ) Iw rispettoalla base Bi dato che ( , ) Iw e per ipotesi non degenere; det A = F 0 e quin-.

di rk (A I B) = k, OBBiaI e surgettiva.. Me . a ll or a dalla (2) e dalla ..che lega tra loro le dimensioni de l nucleo e d~'immagine di una appncazione:lineare segue la (1) e dunque 1 8 . tesi.t Q ' G Nota. n ragionamento usato per provers la (I) mostra. anche che, nelcaso ill un prodot to scalar e quals iasi, vale a .1meno la .disuguaglianza dimV : 5 , .dim W + dimW.L. Da t ale re lazione e dal fatto che nelle ipotesi dell'eserciziojW nW.L = {O J segue immediatamente la tesi, D .Soluzione dell'Eserclzio 22. Una. implicazione e ovvia: 'se f e 9 sana dis-gonalizzabili e se {al,"" ad e {bl,' , bn-k} sono basi el i a.utovettori rispet-.,.t ivamente per f e per g, allora {aI, ,ak,bl, ... ,bn_k} e una base di V di ,autovettori per L. .Viceversa, supponiamo che L sia diagona.lizzabile. Sia {til, ... ,Vn} una ba-se el i V e li autovettori per L, e AI, ... , An ir ispettivi autavalor i. Osserviamo

che, se Vi ,; " ai + bi, con ai E A e bi E B, i= 1, . .. ,n,

. '" 0 .' Pertanto tr D =)..F O . M il o tr A = tr D, e quindi trA = F O../ supponiamo che trA = F O . D a l f at ta che rkA = 1, deduciamo cheE(O ) =Ker A ha dimensione n- 1. Sis. dunque {V b ... ,Vn-l}

el i Ker A, che completiamo ad una base B = {V I, ... , 1 In -1 , 1 1,, } diN e la matrice del cambiamento di base tra. 8 e la base canonica diaooiamo che

~ ~ 1 ) ..o " "L(v;) = L{a. + bi ) =I ( a . ; ) + g(b i} . " " e dunque autova.l.ore per N-l AN, e quindi anche per A. Inol-

'" 0 ; inf at ti an = t r (N-l AN) =tr A t- o . Allora A ha l'autovaloremc)1teplJ( :J.t .a(algebrica e geometr ica) n - 1 e un autovalore a n f. 0 di,.....'''' ..'''w" .. 1; pertanto A e dia.gonalizzabile. 0

Essendo i Vi a.utovettor i, si ha cheL{Vi) = A;v , =),,~(a;+ bi)= A i a . ; + A;b.


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X- I(x) E V_.2

SOLUZIONI PROPOSTE 598 SOLUZIONI PROPOSTE

Soluzione dell 'Esercizio 24. (1) qhl~am!lnte se f non' e iniettiva, .agior ragione r 0 f :V - V non 10 e, quindi, se r 0 f ;v --t. v e un ieomor-.fismo, Ideve essereiniettiva.. . . : .Viceversa , supponiamo che I sia i nietti va. Dato che Ker r =(1 m 1)1 . (cfr.

esercizio H), Ker I' n 1m1={OJ,quindi r h m f e iniet tiva . Ma allore r 0f for e surgettiva -:::* lor e un isomorfismo.

L'esercizio pub essere risolto anche ricorrendo al polinomio ;U -F . .. J L U . . - , essendo I radice del polinomio q(t} = t2 - 1= (t + l)(t - I),

minimo di I divide q(t) e quindi si spezza in fa.ttori lineari, Dila ma.trice di Jordan di f conterra solo blocehi di ordine 1 relati~It.ut;ova~on 1e -1. 0 .

dell'Esercizio 26. Evidentemente se Ihe. un autovalore reale, ~prendendo W = Span(v), essendo v un sutovettore per f.)OniBJIIOallora che i non abbia autovalori reaJi e sia A = a + ifJ uncomplesso. Sia f :e" --t en Is complessificata de1l'applicazione I,

LDPJlica:ZiOlle lineare definita da'ciG Nota. Nella dimostrazione di (2) abbiamo prava to che Imf = Im(l .r). Ricordiamo che le,matrice associata all 'epplicazione aggiunta di I: V _',:'W ri spetto a due basi ortonormali (supposto di avere due p rodo tti s celsri defi-.n it i posit iv i) non e al tro che la trasposta dell a matrice as soci at a ad Irispetto:ai le s tesse basi. In termini dimat ri ci as sociat e abbiamc qu indi p rovato che ';rkA = rk(AtA), ritrovando-cosl ilr isul tato del punta (2) del l' esercizio 19. o

x + f ( x ) x - f ( x )X= 2 + 2 '

dove z =u + iv E C" con u, vERn.l'a.pplicazione j ha 10 stesso po linomio carat teri stico di f (le

associate ad f ed 1ispetto alle basi canoniche di IRG e di e n sono, quindi A e un s.utovalore per 1='It+ iv e un autoVettore per 1elative a )" si ha

i rz) = T c u - IV ) = = feu) + i/( -v) == fe u) - i/(vy = 1 ( 1 1 . ) + if(v) = I(z) = A Z = Xze un autovettore rel a~vo a x . .Dato cite X f :. ) " idue autovettori z e 2

Iinearmente indipendent i. Ma a llora anche iyettori e li ]Rn 'It = ( z + z)/2- z )/2 i sono linearmente indipendenti in en e quindi, a maggiorsono linearmente indipendenti in KG . Inoltre

Soluzione dell 'Esercizio 25 . Consideri amo isottospazi vettoriali diVV+ = {x E V I I(x) = x} e V_ ={x E V I f(x) =-x} .Evidentemente V+ nV_ = {OJ; inoltre V+ ffi V_ =V, in quanto \/x E V si ha

che

x+/(x) v .2 E + e. f(u) = Jcu) = l{Z ; ~ ) ~ T c Z ) ; 1(2) = A Z ; Xz = au_ t3v

. " / ; . ( ) - 1 - ( ) . : f - ( Z - z ) Jcz) - J c z ) Az - Xz a..v - v = T= 2i =--2i- = 1-''' + av .segue allora prendendo W = Span(u, v). 0

dove

Se dunque {VI, ... , VII,} e una base di V+ e {Vk+ l, ... , vn} ~lina base di V_, e immediate vedere cite { V 1, . .. ,vn} e una base di V con la proprieta ricniesta.In par ticola re , la tes i ass icura che f e diagonaIizzabile, che ha solo gli auto-valori 1 e -1, e che V+ ed V_ sono r ispet tivamente gli eutospaz i relat ivi agl iautovalo ri 1 e -1. dell~Esercizio 21. n risultato e una fac ile conseguenza del la de-=,.


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aI ... ,ak tutti positivi se ( , ) e s emidef in ito pos it ivo, tutt i negat iv i s e e. negative. Si a v E V un vet tore t al e che ( v, v ) = = O. Se scriviamo

biVi, si ha ( v, v ) = 2:~b ' f a . . Essendo gli a. tutti positivi (0 tutti nega-i= 1, . .. , k, .dalla relazione ( v, v ) = 0 si ricava che bi = ... = b k = O.v E S p a. n {Vk+ l, . .. ,vn) =V - : . . .."-'O. W


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e quindi L e diagona.lizzabile 4=> A e diagonalizzabile.E possibile provare (3) anche nel.modo seguente.

SOLUZIONI PROPOSTE 63Soluzione del l'Esercizio 32. (1) Supponiamo che A si~ invertibile; se .Ker L, allora AX = 0,.da cui (moltiplieando asinlstra per A:-l) X = o~que L e iniettiva. .'Viceversa, supponiamo L iniettiva. Se per assurdo A non f~e im.er1;ibiMesisterebbe un vettore v f. 0 tale che Av'= O . Ma allora la matrice non

diagonalizzabile e {V1, ... , vn} e una. base di autovettori per A, alloravedere che Ie matrici

(1) j-esima

sarebbe tale che L (X) ,,; ,Ax = 0, contro ilfutto che L e iniettiva.L'implicazione ( ==? ) pub anche essere provata osservando che seL etiva, essa e anche surgettiva; in particolare I E Im L. Cib significa cheBE M,,(K) tale che AB =.I e quindi A e invertibile.Osserviamo infine che (1) e anche una . ovvia conseguenza dell'eserciziodove si e provato che dimKer L=n(n - rkA).(2) SeA e autovalore per L, esisteX EM" (K),X f. o , tale ~ AX =Per ogni colonna Xi del la matr ice X siha dunque ~J =AX'. La .X, essendo non nulla, contiene almeno una colonna X' I-O. n vettore X'

Kn e allora autovettore per A relativo all'autovalore A.Viceversa, se A e autovalore per A evE O C " e un autovettore ad essovo, si ha Av = A V . Allora lamatrice X di (1) e non nulla e tale che AX =dunque A e autovalore per L.(3) Sia A un autovalore per L, e quindi anche per A, e siano E(A,e E(A, A) gli autospazi rela.t ivi a A per Leper A. IDcordiamo che,BE M,,(K), si ha dim{X E M,,(K) I BX =o} =n(n - rkB) (cfr".cizio 20), per cui . .

base per M,,{IK) di autovettori per L. Viceversa, sia L diagonalizza-{X.,; h:Si.i:Sn una base di autovettori per L. Come giA. osservato inogni colonna non nulla delle X',j e un autovettore per A. Inoltre,v E K", la matrice

nbinazione lineare delle X'J e quindi v e combinazione lineare delle primeXl,J delle matrici X',j' Cib prova me ivettori xt; sono generatoriquindi da ess i si pub estrarre una base di K", che r isulta fermata da. per A. Pertanto A e diagonali~za.bile. 0dell 'Esercizio 33. Dire che 9 e nilpotente significa che esiste un.positive 8 tale che s'> O. In.particolars 9 non e iniettiva e quindi

g ) ;? : 1. Consideriamp la successions di sottospazi di Kn{O}~ Kergit; Kerg2 ~ ... ~ KergB =K",ilpili piccolo numero naturale tale che Ker g 1 ' =Ker gPH. Da c io segue

dimE(A,L) = dimKer(L- Aid) = dim{X E M,,(K) I (A- U)X = o } ==n(n - rk(A - AI)) = ndimE(A,A}.

,Ker g P = Ker gP+1 = ... =Ker gB = Rn (si veda 13notain fondo ellasoluzione dell'esereisio A) e quindi 91'= 0;.poiche, 'r I i.= 1,... ,p, dim(Kergi) ;? : i, si he. in particolare che'diin(KergP ) ; ? : p e quindi P::Sn.

Pertanto, se A1>.. , A k sono gli autovalori di L (e di A), abbiamo

kLdimE(,\,L) =n2 {==?,= 1

.kLdimE(A"A) =ni=1

Nota. L'applicazione g, essendo nilpotenta, ha solo l 'autovalore 0 d .i~et,licita algebrica n (perche?); quindi esiste una base a ventaglio eli Kn. alla qualela matrice T associa.ta a 9 e strettamente triangolare supe-.:Allora la tesi segue dall'esercizio 14. 0Ne segue che

; , , ~ - .

dell'Esercizio 34. Nella soluzione del presente esercizio useremoprocotto scalare standard di R" che ilprodotto hermitiano standarddiper evitare confusioni, liindicheremo rispettivamente con ( , hI e ( , }C ..,..............v ch e

(v,w)c = ( V , W } R


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e che per una matrice ortogonale A E O~ 'valgono iseguenti fatti:(Av, AW)R =(v , w } . .(Av,Aw)c ={v,w)c

Vv,w E It"Vv,w E en.

Cominciaroo ricordando alcune propriets degli autovalori e degli eutospazl:di una . matrice ortogonale: Be A EO .., sllora ' gli autovalori di A sono numeri complessi di modulo 1; , g li autospaz i comples si ' re la tiv i ad autovalor i d iBt in ti d i A sono'gonali rispetto a . ( , }c. "

lnfatti se ). e un autovalore di A evE e n e un autovettore ad esso relativo,',allora

A'X(V, v}c=(..\v,A V}c = (Av, Avk =(v, vke, dato che v 'F 0, allora A X = IAI2=L In particolare g li autovaloripossono essere soltanto 1e -1,Inoltre, Be . .\, 1 . 1 . EC sono due autovalori diatinti di A e v, wEenautove ttori rel at iv i a A e p, allora

{v,w}c = {Av, Aw)c = { A V , I .I . W ) c = Xji(v, w }c .Osservi.a.mo che X iI '" 1, perche altrimenti avremmo >.p-l = 1 e quindi A=.contro l 'ipotesi (qui si e usato ilfatto che se 1 1 1 1 =I, allora 7 Z = 1 . 1 . -1 ).Da .',segue allora che {v, w)c = o . . ' ,Se indichiamo con V+, V_ ~ J R . " gl i autospazi reali relativi agllautovalori]1-1ispettivamente, da quanto det to sopra segue inparticolare ehe V+ "

V_ sono ortogonali rispetto a ( , h, .P o s t o W = (V + E E lV_).L (ortogonale rispetto a ( , )R), si ha allora la

composizione in somma dirett a., con gli addendi a due a due ortogonal i:

Da to che A e ortogonale e V+ f f i . V_ e invariante per A, aache W e~A, ' ,Se B+, B_, Bw sono rispettivamente basi ortonormali per V+, V_ eallora B+ UB_ UBw e una. base ortonormale di R", r ispet to a ll a

Broglia, Fortuna, Luminati - Problemi Risolti Di Algebra Lineare

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