Esercizi Risolti (CONTINUI)

8/12/2019 Esercizi Risolti (CONTINUI)

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Sistemi Vibranti - Esercizi (Rev. 11 gennaio 2007) 1

Esercizio 1

Determinare la legge di movimento di una corda uniforme di lunghezza l, fissata ad entrambe le estremita, cheviene pizzicata in corrispondenza del suo punto medio, come indicato in Figura 1, e successivamente rilasciata.

x

w (x) = w(x,0)0

h

l/2 l/2

Figura 1:

Soluzione

Indichiamo conT il tiro, supposto costante, a cui e soggetta la corda e con la densita lineare (massa per unitadi lunghezza) della corda stessa.La velocita c di propagazione dellonda lungo la corda risulta:

c=

T

(1)

mentre lequazione di moto e data dalla seguente espressione:

w(x, t) = W(x)f(t) =

A cos

x

c + B sin

x

c

(Ccos t + D sin t) (2)

Poiche la corda e fissata ad entrambe le estremita, possiamo scrivere le condizioni ad contorno sotto riportate: w(0, t) = 0

w(l, t) = 0 (3)

Poiche la funzione f(t) risulta, in generale, diversa da zero, le condizioni (3) si trasformano nelle seguenti: W(0) = 0

W(l) = 0 (4)

Dalla prima delle (4) si ricava A = 0, mentre dalla seconda delle (4) si ha:

sin

l

c = 0 (5)

dovendo risultare B = 0, al fine di non ottenere una soluzione identicamente nulla.Risolvendo la (5) si ottengono i valori delle pulsazioni proprie:

nl

c =n n =

nc

l (n= 1, 2, . . .) (6)

Ln-esimo modo di vibrare risulta pertanto definito dallequazione:

wn(x, t) = Wn(x)fn(t) = sinnx

l

Cncos

nc

l t + Dnsin

nc

l t

(7)

La legge di movimento della corda si ottiene per sovrapposizione degli infiniti modi di vibrare wn(x, t); si hapertanto:

w(x, t) =

n=1

wn(x, t) =

n=1

sinnxl

Cncosnc

l t + Dnsinnc

l t

(8)


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2

Derivando la (8) si ricava lespressione della velocita per i vari punti della corda:

w(x, t) =n=1

sinnx

l

nc

l Cnsin

nc

l t +

n c

l Dncos

nc

l t

(9)

Indichiamo ora conw0(x) la configurazione iniziale deformata della corda:

w0(x) = w(x, 0) (10)

Poiche la corda e in quiete allistante iniziale si ha:

w0(x) = w(x, 0) = 0 (11)

Applicando le condizioni iniziali (10) e (11) alle (8) e (9) si ricavano le seguenti relazioni:

n=1

Cnsinnx

l =w0(x)

n=1

nc

l Dnsin

nx

l = 0 (12)

Dalla seconda delle (12) si deduce immediatamente che deve essere:

Dn = 0 per n= 1, 2, 3, . . . (13)

l calcolo dei coefficienti Cnsi puo effettuare moltiplicando la prima delle (12) per sinmx

l ed integrando rispetto

ad x da 0 ad l ; il risultato che si ottiene e il seguente1:

Cn =2

l

l0

w0(x)sinnx

l dx (14)

Lespressione analitica della deformata iniziale, necessaria per il calcolo dellintegrale al secondo membro della(14), si deduce dalla Figura 1:

w0(x) =

2h

l x per 0 x

l

2

2h

l (l x) per

l

2< x l

(15)

Dalla (14), tenendo conto della (15), si ricava:

Cn = 2

l

l/20

2h

l x sin

nx

l dx +

ll/2

2h

l (l x)sin

nx

l dx

=

4h

n22

2sin

n

2 sin n

(16)

1Illustriamo nel dettaglio i passaggi da effettuare per ricavare i coefficienti Cn a partire dalla prima delle (12):

moltiplichiamo la prima delle (12) per sinmx

l :

sinmx

l

n=1

Cnsinnx

l

=w0(x)sinmx

l

n=1

Cnsinnx

l sin

mx

l =w0(x)sin

mx

l

integriamo fra 0 ed l : l

0

n=1

Cnsinnx

l sin

mx

l

dx=

l

0

w0(x)sinmx

l dx

applichiamo la proprieta di linearita degli integrali (lintegrale di un sommatoria di funzioni e uguale alla sommatoria degliintegrali delle singole funzioni):

n=1

Cn

l

0

sinnx

l sin

mx

l

dx=

l

0

w0(x)sinmx

l dx

si osserva che: l

0

sinnx

l sin

mx

l dx=

l/2 per m = n0 per m =n

quindi, di tutti i termini della sommatoria, rimane solo quello corrispondente a m = n; in definitiva si ottiene:

Cn l2

=

l

0

w0(x)sin nxl dx Cn = 2

l

l

0

w0(x)sin nxl dx


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Poiche risulta sin n= 0 per n = 1, 2, 3, . . ., si ha:

Cn = 8h

n22sin

n

2 per n= 1, 2, 3, . . . (17)

Osservando ora che:sin

n

2 =

(1)(n1)/2 per n= 1, 3, 5, . . .

0 pern= 2, 4, 6, . . . (18)

possiamo scrivere:

Cn =

(1)(n1)/2

8h

n22 per n = 1, 3, 5, . . .

0 pern = 2, 4, 6, . . .(19)

In definitiva, tenendo conto della (13) e della (19), lequazione (8) pu o essere riscritta nella forma:

w(x, t) = C1sinx

l cos

c

l t + C3sin

3x

l cos

3c

l t + C5sin

5x

l cos

5c

l t + . . .

= 8h

2 sinx

l cos

c

l t

1

9sin

3x

l cos

3c

l t +

1

25sin

5x

l cos

5c

l t . . .

(20)


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4

Esercizio 2

Si considerino le vibrazioni assiali di unasta omogenea di lunghezza l, avente sezione trasversale uniforme diareaAs, vincolata nei modi indicati in Figura 1:

a)

b)

c)

Figura 1: Condizioni di vincolo: a) incastro - estremo libero; b) estremo libero - estremo libero;c) incastro - incastro.

Siano ed E rispettivamente la densita ed il modulo di Young del materiale costituente lasta; per ciascunadelle condizioni di vincolo specificate si chiede di determinare:

le condizioni al contorno; lequazione delle frequenze; le pulsazioni proprie; i modi principali di vibrare.

Soluzione

Indicando conu(x, t) lo spostamento assiale di una generica sezione dellasta, lequazione delle vibrazioni assialirisulta:

u(x, t) =U(x)f(t) = A cosxc

+ B sinx

c (Ccos t + D sin t) (1)

dove

c=

E

(2)

rappresenta la velocita di propagazione dellonda lungo lasta.Esaminiamo ora le condizioni di vincolo sopra riportate.

Caso a): Incastro - estremo libero

x

l

Figura 2:

Condizioni al contorno

In x = 0 lo spostamento e nullo, quindi:u(0, t) = 0 (3)

In x = l la forza assiale N e nulla, quindi:

N(l, t) =EAs ux

(l, t) = 0 ux

(l, t) = 0 (4)


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Equazione delle frequenze

Per ricavare lequazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate:

u(x, t) =

A cos

x

c + B sin

x

c f(t) u(0, t) = Af(t) = 0 (5)

u

x(x, t) =

cA sin

x

c +

cB cos

x

c

f(t)

u

x(l, t) =

cB cos

l

c

f(t) = 0 (6)

Dalla (5) si deduce che deve essere A = 0, mentre dalla (6) si ricava lequazione delle frequenze:

cosl

c = 0 (7)

Pulsazioni proprieLe pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (7) rispetto ad :

l

c = (2n + 1)

2 =

(2n + 1)c

2l n= 0, 1, 2, 3, . . . (8)

Modi principali di vibrareTenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, lespressione analitica delln-esimo modo principale di vibrare Un(x) risulta:

Un(x) =Cnsin(2n + 1)x

2l (9)

dove Cn rappresenta una generica costante.

Caso b): Estremo libero - estremo libero

x

l

Figura 3:


In x = 0 la forza assiale N e nulla, quindi:

N(0, t) =E Asu

x(0, t) = 0

u

x(0, t) = 0 (10)

In x = l la forza assiale N e nulla, quindi:

N(l, t) =EAs ux (l, t) = 0 ux (l, t) = 0 (11)



u

x(x, t) =

cA sin

x

c +

cB cos

x

c

f(t)

u

x(0, t) =

cBf(t) = 0

u

x(l, t) =

cA sin

l

c +

cB cos

l

c

f(t) = 0

(12)Dalla prima delle (12) si ottiene B = 0, mentre dalla seconda si ricava lequazione delle frequenze:

sinlc

= 0 (13)


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Pulsazioni proprie

Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (13) rispetto ad :

l

c =n =

nc

l n= 1, 2, 3, . . . (14)

Modi principali di vibrare

Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, lespressione analitica delln-esimo modo principale divibrareUn(x) risulta:

Un(x) =Cncosnx

l (15)


Caso c): Incastro - incastro

x

l

Figura 4:


In x = 0 lo spostamento e nullo, quindi:u(0, t) = 0 (16)

In x = l lo spostamento e nullo, quindi: u(l, t) = 0 (17)



u(x, t) =

A cosx

c + B sin

x

c

f(t)

u(0, t) = Af(t) = 0

u(l, t) =

A cos

l

c + B sin

l

c

f(t) = 0

(18)

Dalla prima delle (18) si ottiene A = 0, mentre dalla seconda si ricava lequazione delle frequenze:

sin

l

c = 0 (19)

Pulsazioni proprie

Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (19) rispetto ad :

l

c =n =

nc

l n= 1, 2, 3, . . . (20)

Modi principali di vibrare

Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, lespressione analitica delln-esimo modo principale divibrareUn(x) risulta:

Un(x) =Cnsinnx

l (21)



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Esercizio 3

Calcolare le prime tre frequenze proprie relative alle vibrazioni longitudinali delle aste di acciaio riportate nellefigure seguenti:

Caso a)

x

l

k

Figura 1:

Caso b)

x

l

kk1 2

Figura 2:

Dati

L u n g h e z z a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l= 1, 5 m Modulo di Young dellacciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E= 206000 N/mm2

Densita d e l l a c c i a i o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= 7800 kg/mm3

D i a m e t r o d e l l a s e z i o n e t r a s v e r s a l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 10 mm Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k= 3 107 N/m k1= 5 107 N/m k2= 8 107 N/m

Soluzione

Assumiamo per convenzione lo spostamento assialeupositivo verso destra e lazione assiale Npositiva a trazione(vedi Figura 3).

N N+u+

Figura 3:

Lequazione delle vibrazioni assiali e la seguente:

u(x, t) =U(x)f(t) =

A cosx

c + B sin

x

c

(Ccos t + D sin t) (1)

dove

c=

E

(2)

rappresenta la velocita di propagazione delle onde.Esaminiamo ora separatamente i due casi.


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8

Caso a)

x

l

k

Figura 4:

La condizione al contorno relativa allestremo sinistro (x= 0) e:

u(0, t) = 0 (3)

Imponendo tale condizione si ricava:

u(0, t) = Af(t) = 0 A= 0 (4)

La condizione sullestremo destro (x= l) si puo ottenere esprimendo lequilibrio delle forze agenti sullelementoterminale dellasta: tali forze sono rappresentate dallazione assiale N(l, t) e dalla forza elasticaku(l, t) esercitatadalla molla (vedi Figura 5).

u(l,t)

x______N(l,t) = EAs

k u(l,t)

Figura 5: Estremo destro dellasta

Se As indica larea della sezione trasversale dellasta, la condizione di equilibrio suddetta risulta:

EAsu

x (l, t) + ku(l, t) = 0 (5)

Tenendo conto della (4), la funzione u(x, t) e la sua derivata parziale rispetto ad x risultano:

u(x, t) =

B sinx

c

f(t)

u

x(x, t) =

c

B cosx

c

f(t) (6)

Sostituendo le espressioni (6), calcolate inx = l, nella (5) e semplificando il termine Bf(t) si ricava lequazionedelle frequenze per il sistema in esame:

EAs

ccos

l

c + k sin

l

c = 0 (7)

Ponendo ora

= lc =l

E (8)

lequazione (7) puo essere riscritta nella forma:

tan = EAs

kl (9)

Lequazione (9), risolta per via numerica, consente di ricavare i valori di corrispondenti alle pulsazioni propriedel sistema; per localizzare le soluzioni e conveniente rappresentare in forma grafica i due membri della (9):Si osservi che, essendo >0, si considera solo il semiasse orizzontale positivo.Indichiamo con 1, 2 e3 le prime tre soluzioni della (9): dal grafico sopra riportato si deduce che:

2 < 1<

3

2 < 2< 2

5

2 < 3< 3 (10)

Con i dati numerici forniti dal testo si ottengono i seguenti risultati:


9/40


0 2 3

1 2 3

Figura 6:

Area della sezione trasversale dellasta:

As= d

2

4 = 0, 01

2

4 = 7, 85 105 m2 (11)

Coefficiente angolare della retta:

b= EAs

kl =

206000 106 7, 85 105

3 107 1, 5 = 0, 36 (12)

Risolvendo numericamente la (9) si ottengono i valori di sotto riportati:

1= 2, 425 2= 5, 203 3= 8, 182 (13)

La velocita di propagazione delle onde si ricava dalla relazione (2):

c=

E

=

206000 106

7800 = 5139 m/s (14)

Le pulsazioni proprie risultano pertanto:

1= 1c

l = 2, 425

5139

1, 5 = 8307 rad/s

2= 2c

l = 5, 203

5139

1, 5 = 17827 rad/s

3= 3c

l = 8, 1825139

1, 5 = 28031 rad/s

(15)


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10

e le corrispondenti frequenze:

f1= 12

=8307

2 = 1322 Hz

f2= 22

=17827

2 = 2837 Hz

f3= 32

=28031

2 = 4461 Hz

(16)

Caso b)

x

l

kk1 2

Figura 7:

Le condizioni al contorno si ottengono mediante considerazioni di equilibrio per entrambi gli estremi; le forze ingioco sono evidenziate nelle figure seguenti:

______u(0,t)

xN(0,t) = EA

sk u(0,t)

1

Figura 8: Estremo sinistro dellasta.

u(l,t)

x______N(l,t) = EAs

k u(l,t)2

Figura 9: Estremo destro dellasta.

Si ha pertanto:

EAsu

x(0, t) k1u(0, t) = 0

EAsu

x(l, t) + k2u(l, t) = 0

(17)

La funzione u(x, t) e la sua derivata parziale rispetto ad x risultano:

u(x, t) =

A cosx

c + B sin

x

c

f(t)

u

x(x, t) =

cA sin

x

c +

cB cos

x

c

f(t)

(18)

Dalle (17) e (18), semplificando il termine f(t), si ottiene il seguente sistema di equazioni:

EAs

cB k1A= 0

EAs

c A sinl

c +

c B cosl

c

+ k2

A cosl

c + B sinl

c

= 0

(19)


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Per determinare lequazione delle frequenze si puo ricavare la costante A dalla prima delle (19) e sostituire ilvalore cos ottenuto nella seconda equazione; dopo alcuni passaggi algebrici si perviene al seguente risultato:

tan =

a1 +k2k1

k2 a2

k12

(20)

in cui e dato dalla (8), mentre la costante a e definita dalla relazione:

a=EAs

l (21)

Possiamo osservare subito che, per k1 ek2= k, lequazione (20) si trasforma nella (9); cio era prevedibile,dal momento che una molla di rigidezza infinita impedisce qualsiasi spostamento assiale e risulta pertantoequivalente ad un incastro.

Anche in questo caso lequazione delle frequenze (20) deve essere risolta per via numerica; per localizzare lesoluzioni rappresentiamo graficamente i due membri dellequazione suddetta:

0 2 3

1 2

3

Figura 10:

Indichiamo con 1, 2 e3 le prime tre soluzioni della (20): dal grafico sopra riportato si deduce che:

2 < 1<

3

2 < 2< 2 2 < 30, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo.Indichiamo con 1, 2 e3 le prime tre soluzioni della (11): dal grafico sopra riportato si deduce che:

0< 1

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