Esercizi Matriciali Risolti-rev10.2006 2435120
77
___________________________________________________ _____________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture – rev. 10.2006 Università degli studi di Lecce Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica PROGETTAZIONE A SSISTITA DELLE S TRUTTURE MECCANICHE Esercizi svolti di calcolo matriciale delle strutture a cura dell’ing. Riccardo Nobile
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Calcolo e Progetto di macchine
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________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
Universit degli studi di Lecce Facolt di Ingegneria Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
PROGETTAZIONE ASSISTITA DELLE STRUTTURE MECCANICHE
Esercizi svolti di calcolo matriciale delle strutture
a cura delling. Riccardo Nobile
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Esercizio 1 2
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
Esercizio 1 Risoluzione con metodi matriciali della struttura in figura:
Figura 1.1. Struttura assegnata Dati: h = 1500 mm b = 2000 mm A1 = 960 mm2 J1 = 3500000 mm4 A2 = 520 mm2 J2 = 900000 mm4 P = 20 kN E = 206000 N/mm2
2h
J1
b
J2
h
J1
P
A1-J1
A2-J2
A1-J1
-
Esercizio 2 3
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
Esercizio 2 Risoluzione con metodi matriciali della struttura in figura 2.1:
h
A
b
J
p
2b
Figura 2.1. Struttura assegnata
Dati h = 3000 mm b = 2000 mm A = 1200 mm2 J = 4000000 mm4 p = 2 N/mm E = 206000 N/mm2
a) Descrizione della struttura La struttura assegnata costituita da due elementi, di cui uno sollecitato prevalentemente a flessione e laltro esclusivamente a trazione compressione. Il modello sar quindi costruito utilizzando elementi trave dotati rispettivamente di rigidezza flessionale e assiale.
b) Numerazione dei nodi e degli elementi della struttura La costruzione del modello prevede la definizione del sistema di riferimento globale di struttura, lindividuazione dei nodi e degli elementi che costituiscono la struttura. Si definiscono inoltre i gradi di libert della struttura, tenendo conto che la cerniera interna costituisce una disconnessione (Figura 2.2). Si individuano tre elementi e quattro nodi.
-
Esercizio 2 4
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
c) Matrici di rigidezza di elemento Si determinano ora le matrici di rigidezza di elemento nel riferimento locale. - Asta sollecitata assialmente Lasta sollecitata esclusivamente a trazione compressione pu essere schematizzata come in Figura 2.3. La matrice di rigidezza relativa allelemento (1) la seguente:
K1E A.
h
1
1
1
1.
- Trave inflessa Lelemento trave, soggetto a flessione in un piano e considerato indeformabile assialmente, pu essere schematizzato come in Figura 2.4. Se si trascura la deformabilit a taglio, le matrici di rigidezza degli elementi (2) e (3) hanno le seguenti espressioni:
K2E J.b3
12
6 b.12
6 b.
6 b.4 b2.6 b.
2 b2.
12
6 b.12
6 b.
6 b.2 b2.6 b.
4 b2.
. K3E J.2 b( )3
12
6 2 b.( ).12
6 2 b.( ).
6 2 b.( ).4 2 b.( )2.6 2 b.( ).
2 2 b.( )2.
12
6 2 b.( ).12
6 2 b.( ).
6 2 b.( ).2 2 b.( )2.6 2 b.( ).
4 2 b.( )2.
.
Figura 2.3. Gradi di libert dellelemento asta nel riferimento locale
Figura 2.2. Nodi, elementi e gradi di libert della struttura
f1
1 2
f2
f1
f6
f2 f3
f4
f5 f7
1
2 3
N1
N2 N3 N4
-
Esercizio 2 5
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Sostituendo i rispettivi valori, si ottengono le matrici di rigidezza da utilizzare nel calcolo:
K182400
82400
82400
82400= K2
1236
1236000
1236
1236000
1236000
1648000000
1236000
824000000
1236
1236000
1236
1236000
1236000
824000000
1236000
1648000000
=
K3
154.5
309000
154.5
309000
309000
824000000
309000
412000000
154.5
309000
154.5
309000
309000
412000000
309000
824000000
=
Si pu quindi determinare la matrice di rigidezza complessiva dei tre elementi come:
K
K10
0
0
K20
0
0
K3
Essa raggruppa tutte e tre gli elementi senza tenere in conto lorientazione, n la congruenza.
K
8.24 104.8.24 104.
0
0
0
0
0
0
0
0
8.24 104.8.24 104.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.236 103.1.236 106.1.236 103.1.236 106.
0
0
0
0
0
0
1.236 106.1.648 109.1.236 106.8.24 108.
0
0
0
0
0
0
1.236 103.1.236 106.1.236 103.1.236 106.
0
0
0
0
0
0
1.236 106.8.24 108.1.236 106.1.648 109.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
154.5
3.09 105.154.5
3.09 105.
0
0
0
0
0
0
3.09 105.8.24 108.3.09 105.4.12 108.
0
0
0
0
0
0
154.5
3.09 105.154.5
3.09 105.
0
0
0
0
0
0
3.09 105.4.12 108.3.09 105.8.24 108.
Figura 2.4. Gradi di libert dellelemento trave nel riferimento locale
1 2
f3
f2 f4
f1
-
Esercizio 2 6
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d) Passaggio al riferimento globale Si esprimono ora le matrici di rigidezza di elemento nel riferimento globale, in modo da tenere conto dellorientazione relativa degli elementi. I gradi di libert del generico elemento nel riferimento globale sono riportati in Figura 2.5. Le matrici di cambiamento di riferimento per i tre elementi della struttura possono cos essere determinati:
T10
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0T2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
T3
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
Si costruisce allora la matrice T dellintero sistema costituito dai tre elementi:
Il legame tra frecce nel riferimento locale fl(i) e frecce nel riferimento globale f(i) proprio dato da:
fl(i) = T f(i) Si pu allora procedere al calcolo della KK, cio la matrice di rigidezza che contiene linformazione sullorientazione degli elementi nel riferimento globale.
KK = TT Ki T
Figura 2.5. Gradi di libert del generico elemento nel riferimento globale
T
T10
0
0
T20
0
0
T2
T
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
=
f3 f6 1 2
f4
f2 f5
f1
-
Esercizio 2 7
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
KK
0
0
0
0
0
0
0
8.24 104.0
0
8.24 104.0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8.24 104.0
0
8.24 104.0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.236 103.0
1.236 106.1.236 103.
0
1.236 106.
0
0
0
0
0
0
1.236 106.0
1.648 109.1.236 106.
0
8.24 108.
1.236 103.0
1.236 106.1.236 103.
0
1.236 106.
0
0
0
0
0
0
1.236 106.0
8.24 108.1.236 106.
0
1.648 109.
0
0
0
154.5
0
3.09 105.154.5
0
3.09 105.
0
0
0
0
0
0
3.09 105.0
8.24 108.3.09 105.
0
4.12 108.
154.5
0
3.09 105.154.5
0
3.09 105.
0
0
0
0
0
0
3.09 105.0
4.12 108.3.09 105.
0
8.24 108.
=
e) Relazioni di congruenza ed assemblaggio della matrice di rigidezza di struttura Si procede imponendo la congruenza. Con riferimento alla Figura 2.6, in cui si riportano i singoli elementi e i rispettivi spostamenti f(i) nel riferimento globale di struttura, e alla precedente Figura 2.2, occorre imporre che:
Elemento (1) Elemento (2) Elemento (3)
f(1)1 = 0 f(2)1 = 0 f(3)1 = 0 f(1)2 = f1 f(2)2 = f2 f(3)2 = f4 f(1)3 = 0 f(2)3 = f3 f(3)3 = f5 f(1)4 = 0 f(2)4 = 0 f(3)4 = 0 f(1)5 = f2 f(2)5 = f4 f(3)5 = f6 f(1)6 = 0 f(2)6 = f5 f(3)6 = f7
Risultano allora univocamente determinate le frecce del sistema complessivo f = A f, una volta definita la matrice di congruenza A:
Figura 2.6. Congruenza degli spostamenti dei nodi della struttura
f(1)2 f(1)5 1
N1 N2
2 N2
N3 f(2)1
f(2)3 f(2)6
f(2)4
3 N3
N4 f(3)1
f(3)3 f(3)6
f(3)4
-
Esercizio 2 8
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Si ricava allora la matrice di rigidezza del sistema complessivo costituito dai tre elementi, nel sistema di riferimento complessivo, nel rispetto dei vincoli di congruenza:
K = AT KK A
Tale matrice esprime il legame diretto esistente tra forze nodali F e frecce della struttura f: F = K f
K
8.24 104.8.24 104.
0
0
0
0
0
8.24 104.8.364 104.1.236 106.1.236 103.1.236 106.
0
0
0
1.236 106.1.648 109.1.236 106.8.24 108.
0
0
0
1.236 103.1.236 106.1.391 103.9.27 105.
154.5
3.09 105.
0
1.236 106.8.24 108.9.27 105.
2.472 109.3.09 105.4.12 108.
0
0
0
154.5
3.09 105.154.5
3.09 105.
0
0
0
3.09 105.4.12 108.3.09 105.8.24 108.
=
f) Applicazione dei vincoli e dei carichi e calcolo della struttura Ora occorre imporre i vincoli; la presenza dei due appoggi determina che:
f1 = 0 f4 = 0
A
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
=
-
Esercizio 2 9
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Questo vuol dire in fase di calcolo non considerare, in prima analisi, la prima e quarta equazione del sistema:
fF = K
Si deve, infine, considerare il carico: esso coincide con un carico distribuito su una lunghezza 3b di modulo pari a p. Occorre tradurlo in un carico equivalente nodale, tenendo conto della matrice delle funzioni di forma [a]:
[ ] dxpaFi l0
=
Partendo dallequazione della linea elastica relativa a travi inflesse e imponendo le condizioni al contorno, si ottengono in generale i seguenti valori di carico equivalente. Ricordando che gli elementi 2 e 3 sono rispettivamente lunghi b e 2b e sostituendo i valori si ha:
=
12l
21
12l21
plFi
=
=6
6
10322000
10322000
12b
21
12b21
pb2F
=
=6
6
10384000
10384000
12b2
21
12b221
pb23F
La congruenza della struttura determina la combinazione dei carichi agenti sui singoli elementi in base alla relazione:
Fe = AT TT Fi
=
6
3
6
3
6
3
e
1038
104
102
106
1032
102
0
F
=
000
R00
R
R 4
1
La relazione matriciale finale dunque la seguente:
-
Esercizio 2 10
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=
R1
2 103.23
106.
6 103. R42 106.4 103.83
106.
82400
82400
0
0
0
0
0
82400
83636
1236000
1236
1236000
0
0
0
1236000
1648000000
1236000
824000000
0
0
0
1236
1236000
1390.5
927000
154.5
309000
0
1236000
824000000
927000
2472000000
309000
412000000
0
0
0
154.5
309000
154.5
309000
0
0
0
309000
412000000
309000
824000000
f1f2f3f4f5f6f7
Si eliminano ora le righe e le colonne corrispondenti agli spostamenti impediti dai vincoli, cio la prima e la quarta, rendendo la struttura isostatica: la forma quadratica associata alla matrice di rigidezza definita positiva. Risolvendo il sistema ridotto cos ottenuto si ottengono i seguenti spostamenti nodali:
f
0
0.072815534
0.0056270227
0
0.0121723301
126.359223301
0.0380622977
=
f1f2f3f4f5f6f7
E quindi sostituendo nella prima e quarta equazione si ottiene:
NR 60001 = NR 180004 =
Per determinare le caratteristiche della sollecitazione, ovviamente solo nei nodi e con le convenzioni stabilite nel riferimento locale, basta poi ricalcolare il vettore Fi per ogni elemento:
Fi = T A F
-
Esercizio 3 11
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Esercizio 3 Risoluzione con metodi matriciali della struttura in figura:
P P P
b
b b b
Dati: b = 1000 mm A = 1200 mm2 P = 10 kN E = 206000 N/mm2
-
Esercizio 4 12
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Esercizio 4 Risoluzione con metodi matriciali della struttura in figura 4.1:
3060
45
P
b
Figura 4.1. Struttura assegnata
Dati: b = 2000 mm A = 1200 mm2 P = 40 kN E = 206000 N/mm2
a) Descrizione della struttura La struttura assegnata costituita da elementi sollecitati esclusivamente a trazione compressione. Il modello sar quindi costruito utilizzando elementi asta dotati di rigidezza assiale.
b) Numerazione dei nodi e degli elementi della struttura La costruzione del modello prevede la definizione del sistema di riferimento globale di struttura, lindividuazione dei nodi e degli elementi che costituiscono la struttura (Figura 4.2). Si individuano cinque elementi e sei nodi.
Figura 4.2. Numerazione dei nodi e degli elementi
-
Esercizio 4 13
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Lorientazione e la lunghezza degli elementi possono essere definiti dai due vettori e l, che sono legati dalla relazione:
lib
sin i( ):=
56
23
12
13
16
:=
l
4 1032.309 103
2 1032.309 103
4 103
=
c) Matrici di rigidezza di elemento Si determina ora la matrice di rigidezza di elemento nel riferimento locale. Lasta sollecitata esclusivamente a trazione compressione pu essere schematizzata come in Figura 4.3. Le matrici di rigidezza di ciascun elemento espresse in coordinate di elemento Ki sono quindi esprimibili come:
KeiE Sli
1
11
1
:= ossia:
Ke16.18 1046.18 104
6.18 1046.18 104
=
Ke21.07 1051.07 105
1.07 1051.07 105
=
Ke31.236 1051.236 105
1.236 1051.236 105
=
Ke41.07 1051.07 105
1.07 1051.07 105
=
Ke56.18 1046.18 104
6.18 1046.18 104
=
d) Passaggio al riferimento globale Si esprimono ora le matrici di rigidezza di elemento nel riferimento globale, in modo da tenere conto dellorientazione relativa degli elementi. I gradi di libert del generico elemento nel riferimento globale sono riportati in Figura 4.4. Per ogni elemento possibile definire i coseni direttori e quindi le matrici Ti di cambio di riferimento:
Figura 4.3. Gradi di libert dellelemento asta nel riferimento locale
f1
1 2
f2
-
Esercizio 4 14
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li = cos(i) mi = sin(i)
Ti
li
0
mi
0
0
li
0
mi
:=
T10.866
0
0.5
0
0
0.8660
0.5
= T20.50
0.866
0
0
0.50
0.866
=
T30
0
1
0
0
0
0
1
= T40.5
0
0.866
0
0
0.5
0
0.866
= T50.866
0
0.5
0
0
0.866
0
0.5
= Si osserva che le matrici Ti sono matrici 2x4. Con i dati a disposizione, ora possibile scrivere le matrici di elemento nelle coordinate di struttura Ksi il cui ordine 4x4.
Kesi TiT Kei Ti:=
Assemblando opportunamente le matrici di elemento in coordinate di struttura Ksi possibile ottenere la matrice Ks il cui ordine 20x20:
Ks
Kes1
0
0
0
0
0
Kes2
0
0
0
0
0
Kes3
0
0
0
0
0
Kes4
0
0
0
0
0
Kes5
:=
e) Relazioni di congruenza ed assemblaggio della matrice di rigidezza di struttura Si procede imponendo la congruenza. Nella Figura 4.5 si riportano i gradi di libert della struttura nel riferimento globale. I legami tra tali frecce f e quelle di ogni singolo elemento definite in Figura 4.4 sono espressi dalle seguenti relazioni:
Figura 4.4. Frecce nel sistema di riferimento globale
-
Esercizio 4 15
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
733
624
523
414
313
ff
ff
ffff
ff
=====
1254
1153
1044
943
834
ff
ff
ff
ff
ff
=====
Risultano allora univocamente determinate le frecce del sistema complessivo:
f = A f
essendo f il vettore degli spostamenti del sistema nel suo complesso.
A
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
=
Figura 4.5. Frecce globali di struttura
-
Esercizio 4 16
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
La matrice di rigidezza della struttura K :
K AT Ks A:=
il cui ordine 12x12, infatti globalmente abbiamo 6 nodi e due gradi di libert per nodo con un totale di 12 gradi di libert per lintera struttura. Tale matrice esprime il legame diretto esistente tra forze nodali F e frecce della struttura f:
F = K f
K
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1.46210 5 1.48410 -11 -4.63510 4 2.67610 4 -2.67610 4 4.63510 4 0 7.56810 -12 -2.67610 4 -4.63510 4 -4.63510 4 -2.67610 4
2.21210 -11 3.15110 5 2.67610 4 -1.54510 4 4.63510 4 -8.02810 4 7.56810 -12 -1.23610 5 -4.63510 4 -8.02810 4 -2.67610 4 -1.54510 4
-4.63510 4 2.67610 4 4.63510 4 -2.67610 4 0 0 0 0 0 0 0 0
2.67610 4 -1.54510 4 -2.67610 4 1.54510 4 0 0 0 0 0 0 0 0
-2.67610 4 4.63510 4 0 0 2.67610 4 -4.63510 4 0 0 0 0 0 0
4.63510 4 -8.02810 4 0 0 -4.63510 4 8.02810 4 0 0 0 0 0 0
0 7.56810 -12 0 0 0 0 0 7.56810 -12 0 0 0 0
7.56810 -12 -1.23610 5 0 0 0 0 7.56810 -12 1.23610 5 0 0 0 0
-2.67610 4 -4.63510 4 0 0 0 0 0 0 2.67610 4 4.63510 4 0 0
-4.63510 4 -8.02810 4 0 0 0 0 0 0 4.63510 4 8.02810 4 0 0
-4.63510 4 -2.67610 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4.63510 4 2.67610 4
-2.67610 4 -1.54510 4 0 0 0 0 0 0 0 0 2.67610 4 1.54510 4
=
f) Applicazione dei vincoli e dei carichi e calcolo della struttura Ora occorre imporre i vincoli; si osserva che i nodi 2, 3, 4, 5, 6 sono vincolati tramite appoggio, per cui le frecce f3, f4, f5, f6, f7, f8, f9, f10, f11, f12 della struttura devono essere nulle. Proprio in corrispondenza di tali nodi quindi nasceranno, come noto, le reazioni vincolari. I carichi applicati alla struttura sono :
C2
2P
22
P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
:=
Considero la matrice di rigidezza ridotta Kr ottenuta da K eliminando le colonne e le righe corrispondenti agli spostamenti nulli prima individuati e calcolo i due spostamenti incogniti f1 e f2:
Kr1.462 105
2.212 10 111.484 10 11
3.151 105
=
fr Kr 12
2P
22
P
:=
fr
0.1930.09
=
Si pu osservare che la traslazione verticale del nodo 1 minore della traslazione orizzontale del nodo stesso. Noti f1 e f2 si possono calcolare le forze nei nodi dalla relazione F = K f
-
Esercizio 4 17
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f
0.1930.090
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
F
2.828 1042.828 1046.563 1033.789 1031.015 1031.759 103
6.794 10 131.11 1049.337 1031.617 1041.137 1046.563 103
=
Inoltre possibile calcolare le sollecitazioni globali di trazione o compressione nelle aste 1, 2, 3, 4, 5 con le seguenti espressioni:
S1 F3( )2 F4( )2+:= S1 7.579 103=S2 F5( )2 F6( )2+:= S2 2.031 103=S3 F7( )2 F8( )2+:= S3 1.11 104=S4 F9( )2 F10( )2+:= S4 1.867 104=S5 F11( )2 F12( )2+:= S5 1.313 104=
Si nota che le aste 1 e 2 sono sollecitate a compressione mentre le aste 3, 4 e 5 sono sollecitate a trazione.
-
Esercizio 5 18
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Esercizio 5 Risoluzione con metodi matriciali della struttura in figura 5.1.
b
J1
b
J2
P
M
45
Figura 5.1. Struttura assegnata
Dati b = 3000 mm J1 = 2000000 mm4 J2 = 1200000 mm4 P = 10 kN M = 200 Nm E = 206000 N/mm2
a) Descrizione della struttura La struttura assegnata costituita da due elementi sollecitati prevalentemente a flessione. Se si ipotizza di trascurare la deformabilit assiale degli elementi, si pu costruire il modello utilizzando elementi trave dotati di rigidezza flessionale.
b) Numerazione dei nodi e degli elementi della struttura La schematizzazione della struttura permette di individuare tre nodi e due elementi (Figura 5.2).
c) Matrici di rigidezza di elemento Si determina ora la matrice di rigidezza di elemento nel riferimento locale.
-
Esercizio 5 19
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La struttura in esame considerata indeformabile assialmente, per cui sono state considerate i soli gradi di libert rilevanti per un elemento sollecitato a flessione (Figura 5.3). In tal caso la matrice di rigidezza i-esima per il singolo elemento la seguente:
[ ]
=22
22
3
4626612612
2646612612
bbbbbb
bbbbbb
bEJK ii
Le singole matrici di rigidezza risultano cos determinate rispettivamente per lelemento 1 e 2:
k1
12 j1
6 b j1.12 j1
6 b j1.
6 b j1.4 b2 j1
6 b j1.2 b2 j1.
12 j1
6 b j1.12 j1
6 b j1.
6 b j1.2 b2 j1.6 b j1.
4 b2 j1.
k2
12 j2
6 b j2.12 j2
6 b j2.
6 b j2.4 b2 j2
6 b j2.2 b2 j2.
12 j2
6 b j2.12 j2
6 b j2.
6 b j2.2 b2 j2.6 b j2.
4 b2 j2. d) Passaggio al riferimento globale Si esprimono ora le matrici di rigidezza di elemento nel riferimento globale, in modo da tenere conto dellorientazione relativa degli elementi. I gradi di libert del generico elemento nel riferimento globale e locale sono riportati in Figura 5.4.
Figura 5.2. Schematizzazione della struttura e individuazione dei gradi di libert
Figura 5.3. Gradi di libert dellelemento trave nel riferimento locale
f 1
f 3
f 4
f 5
f 6
f 4
f 5
f6
f1
f 3
f 2
1
2
1 2
f3
f2 f4
f1
-
Esercizio 5 20
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Elemento (1) Elemento (2)
f1 = -f1 f1 = f2 f2 = f3 f2 = f3 f3 = -f4 f3 = f5 f4 = f6 f4 = f6
Quindi, una volta definita la matrice dei coseni direttori [T], le espressioni precedenti possono essere espresse in forma matriciale: { } [ ]{ }fTf = Elemento (1) Elemento (2)
=
6
5
4
3
2
1
4
3
2
1
100000001000000100000001
ffffff
ffff
=
6
5
4
3
2
1
4
3
2
1
100000010000000100000010
ffffff
ffff
Quindi:
f1 f2
f3 f4
f1
f3
f2
f4
f5
f6
Elemento 1 Elemento 2
f1
f2
f3
f4
f1
f3
f2 f4
f5
f6
21
Figura 5.4. Orientamento degli elementi e frecce nel sistema di riferimento globale
T1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
T2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
T1T
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
= T2T
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
=
-
Esercizio 5 21
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
Considerando singolarmente gli elementi si ottiene:
La K globale : kass2.40e7 0.00 -3.60e10 -2.40e7 0.00 -3.60e10 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00-3.60e10 0.00 7.20e13 3.60e10 0.00 3.60e13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-2.40e7 0.00 3.60e10 2.40e7 0.00 3.60e13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-3.60e10 0.00 3.60e13 3.60e10 0.00 7.20e13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.44e7 2.16e10 0.00 -1.44e7 2.16e100.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.16e10 4.32e13 0.00 -2.16e10 2.16e130.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -1.44e7 -2.16e10 0.00 1.44e7 -2.16e100.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.16e10 2.16e13 0.00 -2.16e10 4.32e13
e) Relazioni di congruenza ed assemblaggio della matrice di rigidezza di struttura Si procede imponendo la congruenza. Gli spostamenti consentiti nella struttura sono 5 e sono presentati in figura 5.5. Nel nodo 2 sono possibili solo rotazioni in quanto entrambi gli elementi sono indeformabili assialmente. Per la congruenza si ha:
Elemento (1) Elemento (2) f1 = f1 f1 = 0 f2 = 0 f2 = 0 f3 = f2 f3 = f3 f4 = 0 f4 = 0 f5 = 0 f5 = f4 f6 = f3 f6 = f5
Scritto in forma matriciale si ha { } [ ]{ }fAf = , dove [A] detta matrice di congruenza.
k1t
2.4 107.0
3.6 1010.2.4 107.
0
3.6 1010.
0
0
0
0
0
0
3.6 1010.0
7.2 1013.3.6 1010.
0
3.6 1013.
2.4 107.0
3.6 1010.2.4 107.
0
3.6 1010.
0
0
0
0
0
0
3.6 1010.0
3.6 1013.3.6 1010.
0
7.2 1013.
=
k2t
0
0
0
0
0
0
0
1.44 107.2.16 1010.
0
1.44 107.2.16 1010.
0
2.16 1010.4.32 1013.
0
2.16 1010.2.16 1013.
0
0
0
0
0
0
0
1.44 107.2.16 1010.
0
1.44 107.2.16 1010.
0
2.16 1010.2.16 1013.
0
2.16 1010.4.32 1013.
=
k1t T1T k1. T1.
k2t T2T k2. T2.
-
Esercizio 5 22
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
=
5
4
3
2
1
2
6
5
4
3
2
1
1
6
5
4
3
2
1
100000100000000001000000000000001000000000000000100000000001
fffff
f
f
ffff
f
f
ffff
La matrice di rigidezza della struttura in esame :
[ ] [ ] [ ][ ]AKAK T= ed pari a:
Figura 5.5. Gradi di libert della struttura
K
2.4 107.3.6 1010.3.6 1010.
0
0
3.6 1010.7.2 1013.3.6 1013.
0
0
3.6 1010.3.6 1013.
1.152 1014.2.16 1010.2.16 1013.
0
0
2.16 1010.1.44 107.2.16 1010.
0
0
2.16 1013.2.16 1010.4.32 1013.
=
f1
f2
f3
f4
f5
1
2
N1
N2 N3
-
Esercizio 5 23
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
Il comportamento della struttura determinato dallequazione del metodo degli spostamenti: { } [ ]{ }fKF =
=
5
4
3
2
1
131013
10710
1310141310
131310
10107
5
4
3
2
1
10*32.410*16.210*16.20010*16.210*44.110*16.200
10*16.210*16.210*152.110*6.310*6.30010*6.310*2.710*6.30010*6.310*6.310*4.2
fffff
FFFFF
dove F il vettore delle forze (carichi e reazioni) e f sono gli spostamenti. Data la struttura e i vincoli presenti (incastri) si ha: f1 = 0 f2 = 0 f4 = 0 f5 = 0
Il vettore delle forze pu invece essere pensato come somma di due vettori, il primo relativo ai carichi esterni e i il secondo alle forze di reazione vincolare:
{ } { } { }
+
=+=
5
4
2
1
e
RR0
RR
00M00
RFF
In questo caso il carico P in figura 5.1 come se non agisse ai fini della deformazione, perch produrrebbe degli spostamenti assiali che non sono consentiti a questa struttura. Quindi lunico carico effettivamente agente M. Da quanto detto risulta che lunica equazione da considerare, eliminando le righe e le colonne 1, 2, 4, 5 :
3333 fkF = in cui lunica incognita la rotazione f3, che risulta, quindi, pari a :
o9143 10*736.110*152.1
200000f == Per determinare le reazioni si elimina la III riga di K, che gi stata usata per determinare f3, e si risolve il sistema del tipo x = ATb, dove: AT la Ksolve, cio la K mancante della III riga, quindi una matrice 4x5; x il vettore delle F incognite, cio delle reazioni vincolari di ordine 4; b il vettore dei termini noti composto dalle f, dove lunico elemento diverso da 0 la f3
(vettore di ordine 5).
-
Esercizio 5 24
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
b
0
0
0.000000001
0
0
Ksolve
24000000
36000000000
0
0
36000000000
72000000000000
0
0
36000000000
36000000000000
21600000000
21600000000000
0
0
14400000
21600000000
0
0
21600000000
43200000000000
NmNmmfksolveFNfksolveF
NmNmmfksolveFNfksolveF
5.3737500*500,37*
5.6262500*500,62*
3535
3434
3232
3131
=====
=====
Si pu facilmente verificare che lequilibrio alla rotazione soddisfatto:
R1 b + R2 + M R4 b + R5 = 0 Al contrario, non sono rispettate le condizioni di equilibrio alla traslazione verticale e orizzontale. Inoltre manca del tutto il contributo del carico P. Perch il modello sia capace di fornire anche queste informazioni, indispensabile considerare la deformazione assiale degli elementi.
Figura 5.6. Forze nodali
M=200Nm
R1 = 62,5 kN R2 = 62,5 Nm
R5 = 37,5 Nm
R4 = 37,5 kN
-
Esercizio 6 25
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
Esercizio 6 Risoluzione con metodi matriciali della struttura in figura:
p
b
h
J1
J2
Figura 6.1. Struttura assegnata
Dati h = 3000 mm b = 2000 mm J1 = 900000 mm4 J2 = 2800000 mm4 p = 10 N/mm E = 206000 N/mm2
a) Descrizione della struttura La struttura assegnata costituita da due elementi sollecitati prevalentemente a flessione. Se si ipotizza di trascurare la deformabilit assiale degli elementi, si pu costruire il modello utilizzando elementi trave dotati di rigidezza flessionale.
b) Numerazione dei nodi e degli elementi della struttura Si considera il telaio libero non vincolato e non soggetto al carico dato (Fig. 6.2). Si individuano due elementi inflessi e tre nodi.
-
Esercizio 6 26
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c) Matrici di rigidezza di elemento Si determina ora la matrice di rigidezza di elemento nel riferimento locale. Il singolo elemento inflesso caratterizzato dai seguenti gradi di libert: f1,f2,f3,f4. Pertanto la [K(i)] dellelemento i-mo nel sistema di riferimento locale sar di ordine 4:
K
k11
k21
k31
k41
k12
k22
k32
k42
k13
k23
k33
k43
k14
k24
k34
k44 dove kij (i,j: 1,..,4) il coefficiente di rigidezza definito come lo sforzo agente in direzione i dovuto alla freccia unitaria applicata in direzione j e solo a quella. Per i due elementi che formano la struttura in esame, le matrici di rigidezza risultano cos definite:
K 1( )EJ1
h3
12
6h
12
6h
6h
4h2
6h
2h2
12
6h
12
6h
6h
2h2
6h
4h2
K 2( )EJ2
b3
12
6 b
12
6 b
6 b
4 b2
6 b
2 b2
12
6 b
12
6 b
6 b
2 b2
6 b
4 b2 Nel caso in esame risulta:
( )
=3618181818121812
1818361818121812
*67.6866K )1(
=1612812121212128121612
12121212
*)72100(K )2(
d) Passaggio al riferimento globale Si esprimono ora le matrici di rigidezza di elemento nel riferimento globale, in modo da tenere conto dellorientazione relativa degli elementi. I gradi di libert del generico elemento nel riferimento globale
Figura 6.2. Nodi, elementi e gradi di libert di elemento
2
f1
f2
f3
f4N2
N3
1
f1 f2
f3 f4
N1
N2
-
Esercizio 6 27
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sono riportati in Figura 6.3. I due elementi hanno un sistema di riferimento diverso. Per determinare la [K] dellintera struttura, necessario introdurre un sistema di riferimento comune ai due elementi (x,y,z) e calcolare la matrice di rigidezza del singolo elemento in relazione al sistema globale introdotto (fig. 6.2). Per far ci, occorre determinare la matrice [T(i)] dei coseni direttori per il singolo elemento ([T(i)]R4x6), che consente di passare dalle frecce e dalle forze nel sistema locale a quelle nel sistema globale.
T i( )
ly i( )
0
0
0
my i( )
0
0
0
0
1
0
0
0
0
ly i( )
0
0
0
my i( )
0
0
0
0
1 Per i due elementi, i rispettivi angoli di inclinazione 1, pari a 180 e 2, pari a 90, corrispondono ai seguenti coseni direttori:
ly(1)=-1 ly(2)=0
my(1)=0 my(2)=1
Pertanto, risulta:
T 1( )
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
T 2( )
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1 Occorre ora assemblare gli elementi del sistema considerando la matrice [T]tot R8x12:
TtotT 1( )
0
0
T 2( ) T -1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
Con ovvio significato dei simboli si ha:
-
Esercizio 6 28
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=
)2(
6
)2(
5
)2(
4
)2(
3
)2(
2
)2(
1
)1(
6
)1(
5
)1(
4
)1(
3
)1(
2
)1(
1
)2(
)1(
)2(4
)2(3
)2(2
)2(1
)1(4
)1(3
)1(2
)1(1
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
T00T
f
f
f
f
f
f
f
f
La matrice [K(i)] R6x6 dellelemento i-mo nel riferimento globale ottenuta operando come segue: [K(i)] = [T(i)]T*[K(i)]*[T(i)] Per lelemento 1 risulta:
T1T K1. T1.
8.24104
0
1.236105
8.24104
0
1.236105
0
0
0
0
0
0
1.236105
0
2.472105
1.236105
0
1.236105
8.24104
0
1.236105
8.24104
0
1.236105
0
0
0
0
0
0
1.236105
0
1.236105
1.236105
0
2.472105
=
Analogamente, per lelemento 2:
T2T K2. T2.
0
0
0
0
0
0
0
8.652105
8.652105
0
8.652105
8.652105
0
8.652105
1.154106
0
8.652105
5.768105
0
0
0
0
0
0
0
8.652105
8.652105
0
8.652105
8.652105
0
8.652105
5.768105
0
8.652105
1.154106
=
-
Esercizio 6 29
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da cui si ricava la matrice [Ktot] R12x12 ottenuta assemblando la [K(1)] e la [K(2)]. K3 82400.00 0.00 -1.24e5 -82400.00 0.00 -1.24e5 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00-1.24e5 0.00 2.47e5 1.24e5 0.00 1.24e5 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-82400.00 0.00 1.24e5 82400.00 0.00 1.24e5 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.24e5 0.00 1.24e5 1.24e5 0.00 2.47e5 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.65e5 8.65e5 0.00 -8.65e5 8.65e50.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.65e5 1.15e6 0.00 -8.65e5 5.77e50.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -8.65e5 -8.65e5 0.00 8.65e5 -8.65e5
e) Relazioni di congruenza ed assemblaggio della matrice di rigidezza di struttura Occorre ora tener conto della congruenza. Con riferimento alla struttura globale in fig. 6.3, le equazioni di congruenza degli spostamenti, nellipotesi di deformazione assiale trascurabile, si scrivono come segue:
Fig. 6.3. Gradi di libert della struttura
f1(1) = f1 f2(1) = 0 f3(1) = f2 f4(1) = 0 f5(1) = 0 f6(1) = f3 f1(2) = 0 f2(2) = 0 f3(2) = f3 f4(2) = 0 f5(2) = f4 f6(2) = f5
[A] la matrice che consente di passare dalle frecce dei due elementi pensati indipendenti tra loro, alle frecce della struttura globale composta dal ritto e dal traverso. In forma matriciale si ha:
f1 f2
f3
f4
f5
x
y
-
Esercizio 6 30
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=
7
6
5
4
3
2
1
)2(
6
)2(
5
)2(
4
)2(
3
)2(
2
)2(
1
)1(
6
)1(
5
)1(
4
)1(
3
)1(
2
)1(
1
fffffff
100000100000000001000000000000001000000000000000100000000001
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
A
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
Ora, calcolata la matrice [A], possibile determinare la matrice di rigidezza [K] R5x5 dellintera struttura:
[Ktot] = [A]T*[Ktot]*[A] { }
=
115410008652005768000086520086520086520000
5768008652001401000123600123600001236002472001236000012360012360082400
K tot
f) Applicazione dei vincoli e dei carichi e calcolo della struttura Occorre ora particolarizzare la matrice di rigidezza della struttura al caso in esame tenendo conto delle condizioni di vincolo e delle ipotesi fatte. Gli spostamenti non consentiti alla struttura data sono: f1 = 0 incastro nel nodo 1 f2 = 0 f4 = 0 carrello nel nodo 3 Il vettore { }F delle forze agenti sulla struttura includer anche le reazioni vincolari in corrispondenza degli spostamenti impediti: R1,R2,R4.
-
Esercizio 6 31
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{ }
+=
eq
eq
eq
FFR
FRR
F
5
44
3
2
1
Le componenti del vettore { }F corrispondenti alle forze nodali, equivalenti al carico distribuito assegnato, possono essere ricavate applicando il Principio dei Lavori Virtuali (PLV). Si impone in pratica che il lavoro virtuale associato ad uno spostamento virtuale compiuto dal carico distribuito sia uguale a quello effettuato dalle forze equivalenti agenti nei nodi in corrispondenza di uno spostamento virtuale dei nodi medesimi. Si giunge cos alla seguente relazione:
{ } [ ] { }dxpaF Tbeq = 0
dove [ ]a la matrice delle funzioni di forma. Essendo presente un carico p distribuito sullelemento 2, si considera la prima riga della matrice delle funzioni di forma ottenendo, per le forze nodali equivalenti su un generico elemento inflesso di lunghezza l (fig. 6.4), la seguente espressione:
132 22
3
3
11 += lx
lxa
xl
xlxa +=
2
2
3
12 2
2
2
3
3
13 32 lx
lxa +=
lx
lxa
2
2
3
14 = Nel caso di studio, con riferimento alla nomenclatura utilizzata in fig. 6.3, essendo gli elementi indeformabili assialmente, esistono soltanto F3eq,F4eq, F5eq,:
+
=
NmN
Nm
FFF
eq
eq
eq
34.333310000
34.3333
5
4
3
Il sistema che risolve la struttura in esame pertanto:
Fig.6.4. Carichi nodali equivalenti
F1eq F2eq
F3eq F4eq
{ }
( )( )( )( )
=
=
b
014
b
013
b
012
b
011
eq4
eq3
eq2
eq1
dxpa
dxpa
dxpa
dxpa
F
F
F
F
F
=
2
2
eq4
eq3
eq2
eq1
pl121
pl21
pl1212pl
F
F
F
F
-
Esercizio 6 32
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=
+5
3
eq5
eq44
eq3
2
1
f0f00
115410008652005768000086520086520086520000
5768008652001401000123600123600001236002472001236000012360012360082400
F
FRFRR
Ora, eliminando le righe di [K] in corrispondenza delle frecce nulle, si ottiene la matrice [K]ridotta:
=11540005768005768001401000
K ridotta
che consente di ricavare il vettore { }xf delle frecce incognite:
{ } [ ]
=
=
5
31
5
3
FF
Kff
f ridottax
Da cui risulta:
=
3
3
5
3
10*134.510*493.4
ff
La struttura, sotto il carico assegnato e nellipotesi di indeformabilit assiale dei suoi elementi, pertanto soggetta ad una rotazione oraria di 4.493*10-3 gradi ed una antioraria di 5.134*10-3 gradi nellestremo 2 e 3 rispettivamente. Noto { }xf possibile ricavare le reazioni vincolari R1, R2, R6 ripristinando le caselle della matrice [Ktot] in corrispondenza delle reazioni vincolari incognite. Si ottiene con semplici calcoli che:
R1= 555.4 N R2 = -555.4 Nm R4 = -554.6 Nm
Le reazioni dei vincoli R1 ed R4 sono bilanciate dalle componenti di reazione trascurate per lipotesi di indeformabilit assiale, ma che sono facilmente ricavabili imponendo lequilibrio della struttura alla traslazione orizzontale e verticale. Una verifica della corretta condizione di vincolo della struttura il calcolo della forma quadratica associata alla matrice di rigidezza K:
fKfQ T **=
Affinch la struttura sia ben vincolata, vale a dire non esistano moti rigidi della stessa, necessario che K sia definita positiva, ossia risulti:
Q>0
Nel caso in esame si trova Q = 305.87 Nmm. La struttura infatti isostatica.
-
Esercizio 7 33
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Esercizio 7 Risoluzione con metodi matriciali della struttura in figura 7.1, tenendo conto sia della rigidezza assiale che di quella flessionale. Determinare, infine, le caratteristiche di sollecitazione nei nodi.
Dati: h = 1200 mm b = 1800 mm J1 = 1700000 mm4 A1 = 640 mm2 J2 = 2400000 mm4 A2 = 820 mm2 P = 20 kN E = 206000 N/mm2
a) Descrizione della struttura La struttura assegnata costituita da 3 elementi sollecitati sia a flessione che a trazione-compressione. Il modello sar, dunque, costruito utilizzando elementi trave dotati sia di rigidezza assiale che di rigidezza flessionale.
b) Numerazione dei nodi e degli elementi della struttura Introdotto il sistema di riferimento globale di struttura, si procede ad individuare i nodi e gli elementi del modello, nonch i gradi di libert della struttura stessa considerata priva di vincoli. Si individuano 3 elementi, 4 nodi e 12 frecce generalizzate di struttura (figura 7.2).
c) Matrici di rigidezza di elemento Si determina, a questo punto, la matrice di rigidezza di ciascun elemento nel proprio riferimento locale. Tutti e tre gli elementi trave sono soggetti a flessione e trazione-compressione (2 nodi x 3 gradi di libert per nodo) e possono essere schematizzati come in figura 7.3. In base a tale numerazione, la generica matrice di rigidezza di elemento in coordinate di elemento la seguente:
P
2h
h
b b
A1-J1
A1-J1A2-J2
Fig. 7.1. Struttura assegnata
-
Esercizio 7 34
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Particolarizzando per i 3 elementi si ha:
Fig. 7.3. Frecce di elemento nel riferimento locale
Fig. 7.2. Nodi, elementi e gradi di libert della struttura
f1(i) f2(i)
f3(i)
f4(i) f5(i)
f6(i)
1
2
3
f2
f7
f6 f5
f4
f3
f8
f11
f9
f12
f10
1
3 2
4
x
f1
y
-
Esercizio 7 35
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d) Passaggio al riferimento globale Si esprimono, a questo punto, le matrici di rigidezza di elemento nel riferimento globale in modo da tener conto dellorientazione relativa degli elementi. I gradi di liberta di ciascun elemento nel riferimento globale sono riportati in figura 7.4. Le matrici di cambiamento di riferimento, che permettono di passare dalle coordinate locali di elemento alle coordinate di struttura secondo la relazione { } [ ]{ })()( ii fTf = , sono riportate di seguito per i tre elementi costituenti la struttura:
Fig. 7.4. Frecce di elemento nel riferimento globale
Ke3
109866.6667
109866.66670
0
0
0
109866.6667109866.6667
0
0
0
0
0
0
2431.9444
1459166.6667
2431.94441459166.6667
0
0
1459166.6667
1167333333.3333
1459166.6667583666666.6667
0
0
2431.94441459166.66672431.9444
1459166.6667
0
0
1459166.6667
583666666.6667
1459166.66671167333333.3333
=
Ke2
46922.22222
46922.222220
0
0
0
46922.2222246922.22222
0
0
0
0
0
0
127.16049
228888.88889
127.16049228888.88889
0
0
228888.88889
549333333.33333
228888.88889274666666.66667
0
0
127.16049228888.88889127.16049
228888.88889
0
0
228888.88889
274666666.66667
228888.88889549333333.33333
=
Ke1
54933.33333
54933.333330
0
0
0
54933.3333354933.33333
0
0
0
0
0
0
303.99306
364791.66667
303.99306364791.66667
0
0
364791.66667
583666666.66667
364791.66667291833333.33333
0
0
303.99306364791.66667303.99306
364791.66667
0
0
364791.66667
291833333.33333
364791.66667583666666.66667
=
ELEMENTO 1
ELEMENTO 2
ELEMENTO 3
f1(1)
f2(1)
f3(1)
f4(1) f5(1)
f6(1)
f1(2) f2(2)
f3(2)
f4(3)
f4(2)
f5(2)
f6(2)
f1(3)f2(3)
f3(3)
f5(3) f6(3)
-
Esercizio 7 36
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
Si osserva che le matrici [ ]iT sono matrici 6x6. Le matrici di rigidezza di elemento nel riferimento di struttura sono le seguenti matrici 6x6 (si riportano solo 3 cifre significative dopo la virgola per non appesantire la notazione, mentre nel foglio di calcolo se ne sono considerate 10): [ ] [ ] [ ][ ] == 1111 TKTK eT [ ] [ ] [ ][ ] == 2222 TKTK eT [ ] [ ] [ ][ ] == 3333 TKTK eT Assemblando le matrici di rigidezza di elemento in coordinate di struttura possibile ottenere la matrice globale [ ]K relativa allintera struttura (matrice 18x18):
T3
0
0
1
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
1
:=T2
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
:=T1
0
0
10
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
10
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
:=
4.692 1040
0
4.692 1040
0
0
127.16
2.289 1050
127.162.289 105
0
2.289 1055.493 108
0
2.289 1052.747 108
4.692 1040
0
4.692 1040
0
0
127.162.289 105
0
127.16
2.289 105
0
2.289 1052.747 108
0
2.289 1055.493 108
2.432 1030
1.459 1062.432 103
0
1.459 106
0
1.099 1050
0
1.099 1050
1.459 1060
1.167 1091.459 106
0
5.837 108
2.432 1030
1.459 1062.432 103
0
1.459 106
0
1.099 1050
0
1.099 1050
1.459 1060
5.837 1081.459 106
0
1.167 109
303.993
0
3.648 105303.993
0
3.648 105
0
5.493 1040
0
5.493 1040
3.648 1050
5.837 1083.648 105
0
2.918 108
303.9930
3.648 105303.993
0
3.648 105
0
5.493 1040
0
5.493 1040
3.648 1050
2.918 1083.648 105
0
5.837 108
-
Esercizio 7 37
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
[ ] [ ] [ ] [ ]
=
3
2
1
KK
KK
Per comodit di calcolo conviene, tuttavia, mantenere separate le matrici [ ]iK relative ai singoli elementi ed imporre per ciascun elemento la congruenza con le frecce di struttura nel riferimento globale, come illustrato nella sezione successiva.
d) Relazioni di congruenza ed assemblaggio della matrice di rigidezza di struttura Si procede imponendo la congruenza per ciascun elemento; i legami tra le frecce di struttura (fig. 7.2) e le frecce di elemento nel riferimento globale (fig. 7.4), possono essere espressi nella seguente forma matriciale:
{ } [ ]{ }= fAf )1()1(
=
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
)1(6
)1(5
)1(4
)1(3
)1(2
)1(1
000000100000000000010000000000001000000000000100000000000010000000000001
ffffffffffff
ffffff
{ } [ ]{ }= fAf )2()2(
=
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
)2(6
)2(5
)2(4
)2(3
)2(2
)2(1
000100000000000010000000000001000000000000100000000000010000000000001000
ffffffffffff
ffffff
-
Esercizio 7 38
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
{ } [ ]{ }= fAf )3()3(
=
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
)3(6
)3(5
)3(4
)3(3
)3(2
)3(1
100000000000010000000000001000000000000100000000000010000000000001000000
ffffffffffff
ffffff
La matrice [ ]A di congruenza relativa allintera struttura, avente le dimensioni di 18x12, potrebbe essere ottenuta come [ ]
[ ][ ][ ]
=
)3(
)2(
)1(
AAA
A , mentre la matrice di rigidezza globale [ ]K , di dimensioni 12x12, come [ ] [ ] [ ][ ]AKAK T= . Tuttavia, anche in questo caso, per semplicit di calcolo si preferisce mantenere separati gli elementi, calcolare il contributo di ciascun elemento alla rigidezza della struttura e infine sommare i diversi termini. Si ha:
[ ] [ ] [ ][ ]== )1()1()1(1 AKAK T
=
303.993
0
3.648 105303.993
0
3.648 1050
0
0
0
0
0
0
5.493 1040
0
5.493 1040
0
0
0
0
0
0
3.648 1050
5.837 1083.648 105
0
2.918 1080
0
0
0
0
0
303.9930
3.648 105303.993
0
3.648 1050
0
0
0
0
0
0
5.493 1040
0
5.493 1040
0
0
0
0
0
0
3.648 1050
2.918 1083.648 105
0
5.837 1080
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-
Esercizio 7 39
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
[ ] [ ] [ ][ ]== )2()2()2(2 AKAK T =
[ ] [ ] [ ][ ]== )3()3()3(3 AKAK T
La matrice di rigidezza complessiva della struttura data semplicemente dalla somma delle tre matrici di rigidezza precedenti: [ ] [ ] [ ] [ ] =++= 321 KKKK
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2.432 1030
1.459 1062.432 103
0
1.459 106
0
0
0
0
0
0
0
1.099 1050
0
1.099 1050
0
0
0
0
0
0
1.459 1060
1.167 1091.459 106
0
5.837 108
0
0
0
0
0
0
2.432 1030
1.459 1062.432 103
0
1.459 106
0
0
0
0
0
0
0
1.099 1050
0
1.099 1050
0
0
0
0
0
0
1.459 1060
5.837 1081.459 106
0
1.167 109
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4.692 1040
0
4.692 1040
0
0
0
0
0
0
0
0
127.16
2.289 1050
127.162.289 105
0
0
0
0
0
0
0
2.289 1055.493 108
0
2.289 1052.747 108
0
0
0
0
0
0
4.692 1040
0
4.692 1040
0
0
0
0
0
0
0
0
127.162.289 105
0
127.16
2.289 1050
0
0
0
0
0
0
2.289 1052.747 108
0
2.289 1055.493 108
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-
Esercizio 7 40
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
La matrice di rigidezza della struttura [ ]K una 12x12 ( 4 nodi x 3 gradi di libert per nodo) ed esprime il legame diretto esistente tra forze nodali { }F e frecce di struttura { }f tramite la relazione: { } [ ]{ }fKF = e) Applicazione dei vincoli e dei carichi e calcolo della struttura La presenza di incastri nel nodo 1 e nel nodo 4 elimina tutti i gradi di libert ad essi relativi sicch si ha:
0121110321 ====== ffffff
Chiaramente in tali nodi, si svilupperanno le sei corrispondenti reazioni vincolari R1, R2, R3, R10, R11, R12. Per quanto riguarda il carico esterno esso costituito da un carico concentrato di intensit P = 20000 N applicato nella mezzeria del traverso, dove non presente un nodo. Occorre, pertanto, tradurre tale carico in uno nodale equivalente, sfruttando la relazione: { } [ ] oToeq PaF = dove [a] indica la matrice delle funzioni di forma, o il punto di applicazione del carico e Po il carico stesso. Considerando lelemento trave soggetto a presso-flessione e lequazione della sua linea elastica (in particolare gli spostamenti verticali), si ottengono in generale, con la numerazione riportata in figura, i seguenti valori del carico equivalente:
{ }
=
821
0821
0
l
lPF oeq
303.99
0
3.65 105303.99
0
3.65 1050
0
0
0
0
0
0
5.49 1040
0
5.49 1040
0
0
0
0
0
0
3.65 1050
5.84 1083.65 105
0
2.92 1080
0
0
0
0
0
303.990
3.65 1054.72 104
0
3.65 1054.69 104
0
0
0
0
0
0
5.49 1040
0
5.51 1042.29 105
0
127.162.29 105
0
0
0
3.65 1050
2.92 1083.65 1052.29 1051.13 109
0
2.29 1052.75 108
0
0
0
0
0
0
4.69 1040
0
4.94 1040
1.46 1062.43 103
0
1.46 106
0
0
0
0
127.162.29 105
0
1.1 1052.29 105
0
1.1 1050
0
0
0
0
2.29 1052.75 1081.46 1062.29 105
1.72 1091.46 106
0
5.84 108
0
0
0
0
0
0
2.43 1030
1.46 1062.43 103
0
1.46 106
0
0
0
0
0
0
0
1.1 1050
0
1.1 1050
0
0
0
0
0
0
1.46 1060
5.84 1081.46 106
0
1.17 109
-
Esercizio 7 41
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Per il caso in analisi, essendo bl 2= e PP =0 si ha:
{ }
=
6
6
10*910000
010*9
100000
eqF
Passando alle grandezze di struttura (numerazione fig. 7.2):
{ } { }00010*910000010*9100000000 66 =TeqF
Il vettore delle forze pu essere pensato come somma di due vettori, il primo relativo ai carichi esterni ed il secondo alle forze di reazione vincolare: { } { } { }RFF eq +=
{ } { }12111066321 10*910000010*9100000 RRRRRRF T =
Determinata la matrice di rigidezza di struttura e il vettore delle forze, si procede, innanzitutto, al calcolo delle frecce incognite. Partendo dal sistema { } [ ]{ }fKF = ed eliminando nella matrice [ ]K le righe e le colonne relative alle frecce impedite, si ottiene il seguente sistema residuo:
=
6
6
9
8
7
6
5
4
10*910000
010*9
100000
ffffff
che risolto per semplice inversione della matrice [ ]RK fornisce:
Fig. 7.5. Carichi nodali equivalenti
F1 F4
F2
F3 F5
F6
-
Esercizio 7 42
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=
9
8
7
6
5
4
ffffff
Determinate le frecce incognite, possibile calcolare le reazioni vincolari sfruttando le relazioni espresse dalle righe di [ ]K prima cancellate. Si ottiene:
=
12
11
10
3
2
1
RRRRRR
A conferma della correttezza dei risultati ottenuti, possibile verificare che lequilibrio della struttura alla traslazione verticale, alla traslazione orizzontale e alla rotazione intorno ad un polo qualsiasi soddisfatto a meno di infinitesimi legati ad errori di approssimazione:
equilibrio alla traslazione verticale: 00000055,0112 =+ NPRR equilibrio alla traslazione orizzontale: 00000327,0101 =+ NRR equilibrio alla rotazione : 0073,0*2** 1011123 =++ NmhRbRbPRR
Per valutare, infine, le caratteristiche di sollecitazione nei nodi, considerati appartenenti ai diversi elementi, basta moltiplicare le matrici [ ]iK di ciascun elemento per il vettore delle frecce di elemento nel riferimento di struttura (ottenibili immediatamente dalla congruenza, note le frecce di struttura). Si ha:
nodi elemento 1:
F1(1) F3(1)
F2(1)
F4(1) F6(1)
F5(1)
=
6
5
4
3
2
1
FFFFFF
-
Esercizio 7 43
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nodi elemento 2:
nodi elemento 3:
F1(2) F2(2)
F3(2)
F4(2)
F5(2) F6(2)
F4(3) F6(3)
F5(3)
F1(3) F3(3)
F2(3)
=
6
5
4
3
2
1
FFFFFF
=
6
5
4
3
2
1
FFFFFF
-
Esercizio 8 44
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Esercizio 8 Risoluzione con metodi matriciali della struttura in figura 8.1 tenendo conto della rigidezza flessionale e assiale. Determinare, infine, le caratteristiche di sollecitazione nei nodi.
Figura 8.1. Struttura assegnata
Dati: h=2700 mm b=1000 mm A1=460 mm2 J1=1400000 mm4 A2=550 mm2 J2=4000000 mm4 P=2 N/mm2 E=206000 N/mm2
a) Descrizione della struttura La struttura assegnata costituita da 5 elementi sollecitati da sforzi di tipo assiale e flessionale. Il modello sar quindi costruito utilizzando elementi dotati di rigidezza flessionale e assiale.
-
Esercizio 8 45
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b) Numerazione dei nodi e degli elementi di struttura La costruzione del modello prevede la definizione del sistema di riferimento globale di struttura, lindividuazione dei nodi e degli elementi che la costituiscono. La schematizzazione permette di individuare sei nodi e cinque elementi come mostrato in figura 8.2.
c) Matrici di rigidezza di elemento Si determina ora la matrice di rigidezza di elemento nel riferimento locale. Lelemento trave, soggetto a sforzi di tipo assiale e flessionale nel piano del disegno, pu essere schematizzato come in figura 8.3. Se si trascura la deformabilit a taglio, le matrici di rigidezza per i cinque elementi della struttura assumono la seguente forma:
Figura 8.2. Nodi ed elementi della struttura
Figura 8.3. Gradi di libert dell'elemento trave nel riferimento locale
-
Esercizio 8 46
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Sostituendo i rispettivi valori, si ottengono le matrici di rigidezza da utilizzare nel calcolo:
K 1( )
3.51 1043.51 104
0
0
0
0
3.51 1043.51 104
0
0
0
0
0
0
175.827
2.374 105175.827
2.374 105
0
0
2.374 1054.273 1082.374 105
2.136 108
0
0
175.8272.374 105
175.827
2.374 105
0
0
2.374 1052.136 1082.374 105
4.273 108
=
K 1( )
E A1h
E A1h
0
0
0
0
E A1h
E A1h
0
0
0
0
0
0
12 E J1
h3
6 E J1
h2
12 E J1
h3
6 E J1
h2
0
0
6 E J1
h2
4 E J1h
6 E J1
h2
2 E J1h
0
0
12 E J1
h3
6 E J1
h2
12 E J1
h3
6 E J1
h2
0
0
6 E J1
h2
2 E J1h
6 E J1
h2
4 E J1h
:= K 2( )
E A2b
E A2b
0
0
0
0
E A2b
E A2b
0
0
0
0
0
0
12 E J2
b3
6 E J2
b2
12 E J2
b3
6 E J2
b2
0
0
6 E J2
b2
4 E J2b
6 E J2
b2
2 E J2b
0
0
12 E J2
b3
6 E J2
b2
12 E J2
b3
6 E J2
b2
0
0
6 E J2
b2
2 E J2b
6 E J2
b2
4 E J2b
:=
K 3( )
E A12 hE A12 h
0
0
0
0
E A12 h
E A12 h
0
0
0
0
0
0
12 E J1
2 h( )36 E J1
2 h( )212 E J1
2 h( )3
6 E J1
2 h( )2
0
0
6 E J1
2 h( )24 E J1
2 h6 E J1
2 h( )2
2 E J12 h
0
0
12 E J1
2 h( )3
6 E J1
2 h( )2
12 E J1
2 h( )36 E J1
2 h( )2
0
0
6 E J1
2 h( )22 E J1
2 h6 E J1
2 h( )2
4 E J12 h
:= K 4( )
E A2b
E A2b
0
0
0
0
E A2b
E A2b
0
0
0
0
0
0
12 E J2
b3
6 E J2
b2
12 E J2
b3
6 E J2
b2
0
0
6 E J2
b2
4 E J2b
6 E J2
b2
2 E J2b
0
0
12 E J2
b3
6 E J2
b2
12 E J2
b3
6 E J2
b2
0
0
6 E J2
b2
2 E J2b
6 E J2
b2
4 E J2b
:=
K 5( )
E A1h
E A1h
0
0
0
0
E A1h
E A1h
0
0
0
0
0
0
12 E J1
h3
6 E J1
h2
12 E J1
h3
6 E J1
h2
0
0
6 E J1
h2
4 E J1h
6 E J1
h2
2 E J1h
0
0
12 E J1
h3
6 E J1
h2
12 E J1
h3
6 E J1
h2
0
0
6 E J1
h2
2 E J1h
6 E J1
h2
4 E J1h
:=
-
Esercizio 8 47
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
d) Passaggio al riferimento globale Si esprimono ora le matrici di rigidezza di elemento nel riferimento globale, in modo da tenere conto dellorientazione relativa degli elementi come indicato in figura 4. Le matrici di cambiamento di riferimento per i cinque elementi della struttura, calcolate tramite la relazione f(i)=T f(i), sono riportate di seguito:
K 5( )
3.51 1043.51 104
0
0
0
0
3.51 1043.51 104
0
0
0
0
0
0
175.827
2.374 105175.827
2.374 105
0
0
2.374 1054.273 1082.374 105
2.136 108
0
0
175.8272.374 105
175.827
2.374 105
0
0
2.374 1052.136 1082.374 105
4.273 108
=
K 4( )
1.133 1051.133 105
0
0
0
0
1.133 1051.133 105
0
0
0
0
0
0
9.888 1034.944 1069.888 103
4.944 106
0
0
4.944 1063.296 1094.944 106
1.648 109
0
0
9.888 1034.944 106
9.888 1034.944 106
0
0
4.944 1061.648 1094.944 106
3.296 109
=
K 3( )
1.755 1041.755 104
0
0
0
0
1.755 1041.755 104
0
0
0
0
0
0
21.978
5.934 10421.978
5.934 104
0
0
5.934 1042.136 1085.934 104
1.068 108
0
0
21.9785.934 104
21.978
5.934 104
0
0
5.934 1041.068 1085.934 104
2.136 108
=
K 2( )
1.133 1051.133 105
0
0
0
0
1.133 1051.133 105
0
0
0
0
0
0
9.888 1034.944 1069.888 103
4.944 106
0
0
4.944 1063.296 1094.944 106
1.648 109
0
0
9.888 1034.944 106
9.888 1034.944 106
0
0
4.944 1061.648 1094.944 106
3.296 109
=
T1
0
0
10
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
10
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
:= T2
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
:= T3
0
0
10
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
10
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
:=
-
Esercizio 8 48
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
Si pu allora procedere al calcolo delle matrici di rigidezza KK che contengono linformazione sullorientazione degli elementi nel riferimento globale.
[ ] [ ] [ ][ ]i)i(Tii TKTKK =
Figura 8.4. Frecce di elemento nel sistema di riferimento globale
KK1
175.827
0
2.374 105175.827
0
2.374 105
0
3.51 1040
0
3.51 1040
2.374 1050
4.273 1082.374 105
0
2.136 108
175.8270
2.374 105175.827
0
2.374 105
0
3.51 1040
0
3.51 1040
2.374 1050
2.136 1082.374 105
0
4.273 108
=
T4
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
:= T5
0
0
10
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
10
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
:=
-
Esercizio 8 49
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
e)Relazioni di congruenza ed assemblaggio della matrice di rigidezza di struttura Si procede imponendo la congruenza. Gli spostamenti consentiti nella struttura sono diciotto e sono rappresentati in figura 8.5. La congruenza si impone mettendo a confronto la figura 8.5 con la figura 8.4. Si possono cos definire le matrici [A] che permettono di esprimere la congruenza tra frecce di elemento e frecce della struttura globale:
KK3
21.978
0
5.934 10421.978
0
5.934 104
0
1.755 1040
0
1.755 1040
5.934 1040
2.136 1085.934 104
0
1.068 108
21.9780
5.934 10421.978
0
5.934 104
0
1.755 1040
0
1.755 1040
5.934 1040
1.068 1085.934 104
0
2.136 108
=
KK4
1.133 1050
0
1.133 1050
0
0
9.888 1034.944 106
0
9.888 1034.944 106
0
4.944 1063.296 109
0
4.944 1061.648 109
1.133 1050
0
1.133 1050
0
0
9.888 1034.944 106
0
9.888 1034.944 106
0
4.944 1061.648 109
0
4.944 1063.296 109
=
KK5
175.827
0
2.374 105175.827
0
2.374 105
0
3.51 1040
0
3.51 1040
2.374 1050
4.273 1082.374 105
0
2.136 108
175.8270
2.374 105175.827
0
2.374 105
0
3.51 1040
0
3.51 1040
2.374 1050
2.136 1082.374 105
0
4.273 108
=
KK2
1.133 1050
0
1.133 1050
0
0
9.888 1034.944 106
0
9.888 1034.944 106
0
4.944 1063.296 109
0
4.944 1061.648 109
1.133 1050
0
1.133 1050
0
0
9.888 1034.944 106
0
9.888 1034.944 106
0
4.944 1061.648 109
0
4.944 1063.296 109
=
-
Esercizio 8 50
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
A1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
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0
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0
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1
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0
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0
0
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1
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0
0
0
0
0
1
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0
0
0
0
0
0
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A2
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0
0
0
0
0
0
0
:=
Figura 8.5. Frecce globali di struttura
-
Esercizio 8 51
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
A3
0
0
0
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1
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0
0
0
0
0
1
0
0
0
:=
Si ricava allora la matrice di rigidezza complessiva della struttura costituita dai cinque elementi, nel sistema di riferimento globale, nel rispetto dei vincoli di congruenza:
K AT KK A:= Tale matrice esprime il legame diretto esistente tra forze nodali F e frecce della struttura f: [ ]{ }fKF =
f) Applicazione dei vincoli e dei carichi e calcolo della struttura Si passa ora a imporre i vincoli; la presenza delle tre cerniere determina che:
-
Esercizio 8 52
________________________________________________________________________________________________ Calcolo Matriciale delle Strutture rev. 10.2006
f1=0 f2=0 f10=0 f11=0 f1
