TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE DELLE SOSTANZEcorsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/05AXYDN/CAP8.pdf ·...

CAPITOLO OTTAVO

TRASFORMAZIONITERMODINAMICHE DELLE SOSTANZE

Trasformazioni termodinamiche

Ogni volta che varia una o due delle grandezze che definiscono lo statotermodinamico di una sostanza, si dice che la sostanza subisce unatrasformazione.

Le trasformazioni possono essere qualsiasi, ma nella maggioranza dei casiseguono una condizione definita dalla costanza di un parametro (pressione,temperatura, volume specifico, entalpia, entropia, calore specifico, ecc..); in talcaso esse vengono identificate con la dicitura: trasformazione iso.... dove alposto dei .... si indica il nome aggettivato della grandezza mantenuta costante(ad es. isobara, isoterma, isovolumica, isoentalpica, isoentropica,...). A volte lagrandezza mantenuta costante implica la costanza di un’altra grandezza edallora il nome si deriva da essa (ad es. la trasformazione politropica èpraticamente una trasformazione a calore specifico costante).

Cap. 8 Pagina 1 di 33

Trasformazioni quasi statiche

Le trasformazioni, studiate nella termodinamica classica, sono immaginateeffettuate molto lentamente in modo che, dopo ogni piccolo cambiamento, siattenda un tempo sufficiente affinché il sistema si stabilizzi.

Questa condizione è necessaria per poter considerare la trasformazione comecomposta da infiniti stati termodinamici vicini fra loro.

La termodinamica classica è in effetti una termostatica.

Trasformazioni più veloci di quelle qui considerate vengono studiate nellatermodinamica dei processi irreversibili.

La limitazione dello studio delle trasformazioni a quelle quasi statiche,deriva dalla grandissima semplificazione che consegue a tale assunzione: lacostanza in tutto il sistema delle grandezze fisiche che lo caratterizzano(pressione, temperatura, ecc..), che diventano funzioni solo del tempo, permettedi considerare l’evento come una successione di stati termodinamici esaminabilisui diagrammi di stato o con l’uso delle funzioni di stato o delle tabelle.

Questa assunzione non è molto limitativa in quanto moltissime delletrasformazioni che si riscontrano nella pratica, anche se molto veloci,soddisfano al presente requisito.

Sviluppo della trasformazione ovvero stati estremi

La trasformazione può essere vista nel suo sviluppo, e per far ciò interessa laconoscenza dello stato della sostanza in ogni condizione intermedia, oppure èsufficiente la conoscenza degli stati estremi (iniziale e finale).

Nel primo caso e in situazioni particolarmente semplici si suole fornire unarelazione analitica che lega fra loro le grandezze variabili; altrimenti ènecessario esaminare sui diagrammi, sulle tabelle o tramite le equazioni di stato,la o le grandezze che variano; i risultati, che hanno una forma tabellare, possonoessere mantenuti in tale forma, ovvero riportati su un diagramma di statoottenendo la linea della trasformazione. La linea può a sua volta essere


espressa tramite una espressione analitica che ne rappresenti in modo migliorel’andamento.

Le grandezze di stato che possono interessare sono tutte quelle qui esaminateed altre ancora; ai fini del calcolo dell’energia utilizzabile (exergia) sonosufficienti l’entalpia e l’entropia, ma per altri scopi (es. moto entro i condotti)possono esserne necessarie altre (nel caso indicato la massa specifica e laviscosità). In tal caso, dalla linea di trasformazione, tracciata per una coppia divariabili, si possono derivare, per ogni punto intermedio della trasformazione,eventualmente tramite il calcolo di qualche variabile di stato intermediaria, ivalori della variabile richiesta.

Leggi fondamentali di alcune trasformazioni

Per poter definire alcune grandezze termodinamiche che risultano utili allavalutazione della funzione exergia, è necessario anticipare la definizione dialcune trasformazioni termodinamiche e fornire le relative relazioni analitiche.Faremo riferimento ad un fluido, anche se, in linea di massima, tale restrizionenon sia indispensabile.

Trasformazione isobara

E’ una trasformazione nella quale la pressione assoluta p rimane costante:

p=cost= p1= p2

In termini differenziali:

dp=0

Trasformazione isocora

E’ una trasformazione nella quale il volume totale V, e quindi anche ilvolume specifico v, rimane costante:


v=cost=v1=v2


dv=0

Trasformazione isoterma

E’ una trasformazione caratterizzata dal mantenere il fluido ad unatemperatura costante; analiticamente:

T=cost=T 1=T 2


dT=0

Trasformazione adiabatica reversibile ed irreversibile

E’ una trasformazione definita da scambio di calore nullo con l’esterno:

dQ=0

e quindi anche:

dq=0

per ciascun elemento infinitesimo di trasformazione.


Per una trasformazione finita:

Q=0 e con riferimento alla massa unitaria di sostanza q=0 .

Se la trasformazione, oltre a non scambiare calore con l’esterno, è anchereversibile (senza attriti), non si ha produzione di entropia (vedi capitoli quartoe quinto) e pertanto l’entropia è costante.

Pertanto una trasformazione adiabatica reversibile è anche isentropica eviceversa. Nel caso contrario l’aumento di entropia corrisponde alla differenzafra lavoro degli attriti e l’exergia che la quantità di calore corrispondenteintroduce nel sistema; per l'intero sistema tale aumento è S at e per l'unità dimassa sat .

Funzioni della trasformazione: quantità di calore elavori

Le funzioni o variabili termodinamiche si distinguono in funzioni dellatrasformazione e funzioni di stato.

Le funzioni della trasformazione sono grandezze il cui valore dipendedallo stato iniziale, da quello finale e dalle trasformazioni che vengono percorseper passare da uno stato all’altro. Quando tali funzioni vengono calcolate,generalmente tramite una integrazione, oltre ai limiti dell’integrazione, indicantigli stati iniziale e finale, va precisato il tipo o i tipi di trasformazione adottati(ad esempio racchiudendo la grandezza o l’espressione fra parentesi e segnandoad indice il tipo di trasformazione scelta).

Le funzioni di stato dipendono invece solo dagli stati iniziale e finale.Alcuni Autori indicano i differenziali delle funzioni di stato come differenzialiesatti e gli altri come differenziali non esatti.

I primi vengono indicati col simbolo d mentre ai secondi viene dato ilsimbolo d ma con un trattino di distinzione. Noi non faremo distinzione disimboli.

Scopo della termodinamica degli ingegneri, interessati alle quantità di


calore ed ai lavori, (conversione del calore ad energia meccanica e viceversa),risulta quello di correlare tali grandezze, che sono funzioni dellatrasformazione, alle funzioni di stato più facilmente calcolabili.

Si definiscono tre diversi tipi di lavoro : il lavoro termodinamico ed illavoro tecnico (detto anche lavoro di una macchina a rinnovamento di fluido olavoro indicato) ed il lavoro di spostamento (quest’ultimo in effetti è unafunzione di stato).

Lavoro termodinamico

Questa grandezza rappresenta il lavoro messo in gioco in una compressioneod in una espansione di una massa costante di fluido.

Si immagina un cilindro chiuso ad una estremità con un pistone inseritonell’apertura libera (vedi figura 8.1); all’interno il fluido possiede la pressioneassoluta p ed all’esterno esiste il vuoto. La pressione p è equilibrata da unaforza che, nello schema considerato, è rappresentata da un peso F

Figura 8.1 – Schema esplicativo di lavoro termodinamico.

L’equilibrio delle forze porta a:


F= p A

essendo A l’area del pistone.

Operando una infinitesima riduzione di peso, il sistema di forze viene asquilibrarsi e pertanto il pistone si solleva: viene compiuto un lavoroinfinitesimo (che si ritrova come differente energia potenziale del peso che si èmosso) pari al prodotto della forza per lo spostamento; a meno di infinitesimi diordine superiore:

dL=F ds= p A ds= p dV .

Ma entro la cavità fra cilindro e pistone sarà contenuta una massa m di fluidoe:

m=ϱV=1v

V ,

essendo:

ϱ la massa specifica del fluido in kg/m2

v il volume specifico del fluido in m3/kg.

Il lavoro diventa quindi:

dL= p dV=m p dv

ed il lavoro specifico (riferito all’unità di massa di fluido):

dl= p dv .


Il lavoro termodinamico specifico è misurato in J/kg.

Se all’esterno esiste la pressione atmosferica il lavoro utile sarà fornito dalladifferenza fra il lavoro termodinamico precedentemente definito ed il lavoro

pa dv effettuato dall’aria atmosferica alla pressione barometrica pa .

Lavoro tecnico o lavoro di una macchina arinnovamento di fluido

Una macchina a rinnovamento di fluido è costituita da un condotto diingresso del fluido, un complesso di organi meccanici ed un condotto di uscitadello stesso fluido. Gli organi meccanici permettono di fornire all’esterno unlavoro generalmente tramite un albero rotante.

Questa macchina può essere schematizzata come una macchina alternativa(vedi figura 8.2), sottolineando che i risultati ottenuti presentano comunqueassoluta generalità per tutte le macchine di cui alla precedente definizione.

La macchina scelta è costituita da un cilindro con, all’interno, uno stantuffo(pistone), quest’ultimo collegato, tramite un sistema biella-manovella, ad unalbero motore. Il cilindro è delimitato da una chiusura (testata) collegata tramitedue condotti (di introduzione e di scarico) rispettivamente ad un serbatoiocontenente fluido a pressione maggiore p1 ed uno a pressione inferiore

p2 . I condotti sono chiusi da valvole comandate, in apertura e chiusura, daopportuni organi esterni (albero a camme).

Iniziando da quando lo stantuffo è completamente inserito nel cilindro(punto morto di sinistra) e supposto che non esista alcun volume libero frapistone e testata (spazio morto nullo), si apre la valvola di introduzione. Sullafaccia del pistone si stabilirà immediatamente la pressione p1 .


Figura 8.2 – Schema del funzionamento di una macchina a rinnovamento difluido con diagramma delle pressioni in funzione della corsa (che inproporzione rappresenta anche il volume specifico) per il calcolo del lavorotecnico.

Il pistone intanto si sposta verso destra fino ad un punto caratterizzato dallacorsa c1 nel quale si chiude la valvola di introduzione; durante taleoperazione la pressione sulla sua superficie si mantiene costante pari al valore

p1 .

Nel successivo spostamento avviene l’espansione del fluido fino alraggiungimento del punto morto di destra caratterizzato dalla corsa c2 ; intale posizione la pressione sia uguale a p2 (ciò si ottiene avendo scelto lagiusta posizione per la chiusura della valvola di introduzione).

Viene ora aperta la valvola sul condotto di scarico e lo spostamento delpistone verso il punto morto di sinistra trasferisce il fluido nel serbatoio discarico.

Al termine di questa operazione la macchina si ritrova nella stessa posizioneiniziale e può riprendere un successivo ciclo di operazioni.

Il lavoro compiuto dal fluido sul pistone risulta dalla somma algebrica di tre


componeneti:

Lx= p1 Ac1∫p1

p2

A pd c−p2 Ac2 ,

essendo:

A l’area della sezione retta del pistone

c lo spostamento del pistone rispetto alla posizione del punto morto di sinistra.

Ma Ac=V rappresenta il volume occupato dal fluido e quest’ultimo V=m /ϱ=mv è pari alla massa di fluido elaborato per il relativo volume

specifico.

Sostituendo si ottiene:

Lx=m p1 v1m∫p1

p2

p d v−m p2 v2 ,

ed il lavoro specifico:

l x= Lx

m=p1 v1∫

p1

p2

p d v− p2 v2 .

Si può constatare che, sia con riferimento al diagramma p v (ottenuto con semplici cambiamenti di scala delle ascisse rispetto al diagramma di lavoro p c), sia con semplici calcoli differenziali (vedi anche la figura 8.4), che:

l x=−∫p1

p2

vdp ;


(si nota che il segno – deriva, oltre che da considerazione analitiche, dal fattoche il lavoro è considerato positivo se prodotto dalla macchina e ciò avvienequando le pressioni diminuiscono).

Anche il lavoro tecnico specifico è misurato in J/kg.

Se all’esterno esiste la pressione atmosferica il lavoro utile non saràinfluenzato, compensandosi gli effetti fra la fase utile (movimento del pistoneda sinistra a destra) e quella passiva (movimento da destra a sinistra).

Lavoro di spostamento

Questa grandezza rappresenta il lavoro che il fluido che sta a monte di unacerta sezione imprime al fluido che sta a valle, per spostare la massa unitaria.

Con riferimento alla figura 8.3, tale lavoro risulta dallo spostamento dellasezione AA in quella BB, delimitando tali sezioni la massa infinitesima difluido.

Figura 8.3 – Schema di un condotto per il calcolo del lavoro di spostamento.

Il lavoro compiuto risulta:

dLs= pAdx ,

dxA B

A B

mentre la massa spostata risulta:

dm=ϱV=ϱ Adx=A d xv ,

essendo:

ϱ la densità del fluido in kg/m3 ;

v il volume specifico dello stesso fluido in m3/kg.

Pertanto si ottiene:

l s=dLs

dm= pϱ= p v .

Il lavoro di spostamento è una variabile di stato essendo il prodotto di duevariabili di stato.

Rappresentazione grafica dei lavori

Usando il diagramma di Clapeyron (vedi figura 8.4), che riporta le pressionisulle ordinate ed i volumi specifici sulle ascisse, il lavoro termodinamico èrappresentato dall’area fra la linea della trasformazione, l’asse delle ascisse e leordinate estreme; il lavoro tecnico è rappresentato dall’area fra la linea stessa,l’asse delle ordinate e le due ascisse estreme. Tali aree, lette in una opportunascala, per la conversione nelle unità fisiche, vanno moltiplicate per la scala delleascisse e per quella delle ordinate (es. se la scala delle ascisse è 1 cm = m3 / kge quella delle ordinata 1 cm = 100 N / m2, l’area di 100 cm2 corrisponde a:

1 x100 x 100 J/kg = 10000 J/kg).


Figura 8.4 – Rappresentazione dei lavori di spostamento (introduzione escarico), termodinamico e tecnico sul diagramma di Clapeyron.

Essendo i lavori termodinamico e tecnico funzioni della trasformazione, èbene precisare a quale si riferiscono con le notazioni:

l ad. , l xad. , l isot. , l isob. , ecc..

Dalle rappresentazioni di Clapeyron si nota che per una serie chiusa ditrasformazioni (che più avanti definiremo come ciclo):

l ciclo=l xciclo .

Quantità di calore

Essa viene scambiata dal sistema lungo una trasformazione; il suo simbolo èQ per l’intero sistema e q per la sua unità di massa. In termini infinitesimi loindichiamo con dq.

p1

p2

p

v1

v2

v

+

+

=

= lavoro termodinamicolavoro tecnico

+

+

=

= lavoro introduzionelavoro scarico


Essendo tale grandezza dipendente dalla trasformazione il suo differenziale,che viene anche detto non esatto, va associato alla indicazione dellatrasformazione; avremo così:

[dq ]isob. calore scambiato in una trasformazione isobara,

[dq ]isoc. calore scambiato in una trasformazione isocora,

[dq ]isot. calore scambiato in una trasformazione isoterma,

e cosi via.

Tali grandezze vengono normalmente calcolate tramite la conoscenza deicalori specifici, anch’esse grandezze dipendenti dalla trasformazione durante laquale il calore è scambiato; così per una trasformazione a calore specificocostante diverso da infinito (cioè senza cambiamento di stato di aggregazione ):

[dq ]cal.sp.cost=c dt e [q]cal.sp.cost=∫t1

t2

c dt=c t2−t1

ed in particolare per trasformazioni a pressione e volume costanti:

[dq ]isob.=c p dt e [q]isob.=∫t1

t2

c p dt=c pt2−t1 ;

[dq ]isoc.=cv dt e [q]isoc.=∫t1

t2

cv dt=cv t2−t1 .

Lungo una isoterma, così come lungo le precedenti trasformazioni ed altreancora, si può giungere al valore di dq attraverso relazioni che legano talegrandezza ad altre funzioni termodinamiche.

Le quantità di calore sono misurate in Joule termici (Jt) e quelle specifiche inJoule termici al chilogrammo (Jt/kg).


Funzioni di stato e relativo calcolo

Le funzioni di stato sono grandezze termodinamiche il cui valore è legatoallo stato termodinamico del sistema ma è indipendente dal percorso effettuatoper arrivare a quello stato, partendo da un altro (es. di riferimento).

Queste grandezze, per questa proprietà, vengono chiamati anche potenziali.

Se si fissa uno stato di riferimento, cui si attribuisce un valore alla funzionedi stato, risulta definito il valore della stessa funzione in qualsiasi altro stato.

Viste sotto un’altra angolazione, queste grandezze possono essere definite otramite il loro valore finito ovvero tramite una relazione differenziale: mentrenel primo caso il valore numerico è perfettamente stabilito, nel secondo, per viadell’integrazione, tale valore è determinato a meno di una costante additiva.Questa costante viene a volte stabilita fissando un valore costante (ad esempionullo) per uno stato di riferimento (generalmente per un sistemamonocomponente alla pressione di 1 bar ed alla temperatura di 0°C pari a273,15 K; per i fluidi frigorigeni a volte si adotta la stessa pressione ma latemperatura di – 80°C e per i criogenici anche quella di -273,15 °C cioé 0 K).

Partendo dallo stato di riferimento, per raggiungere quello per il quale sivuole calcolare la funzione di stato, possono essere scelte combinazioni ditrasformazioni assolutamente arbitrarie in quanto il risultato non dipende daqueste ma solo dallo stato finale.

Le funzioni di stato, sia quelle già definite e che quelle che definiremo,possono essere ricavate una dall’altra, secondo le esigenze che di volta in voltasi manifestano.

Bisogna sottolineare che, nel caso di una sostanza monocomponente, lo statotermodinamico è perfettamente definito nota una coppia di grandezze di statofra loro indipendenti; la sostanza in questione può trovarsi pertanto ad unatemperatura diversa da quella di riferimento, ma anche ad una pressione diversada quella di riferimento. Quindi essa, per passare da uno stato all’altro devescambiare non solo calore ma anche energia meccanica sotto forma di energiadi pressione.

La quantità di calore (in Jt) sarà caratterizzata da una corrispondente exergia(energia utilizzabile in J), mentre l’energia di pressione è già in J .


Vengono indicate le metodologie di calcolo delle seguenti funzioni di stato: entropia, calore interno, entalpia ed exergia, l'ordine essendo determinato dalla sequenzialità delle espressioni analitiche.

Entropia

Dalla definizione analitica di entropia si ottiene:

ds=dqT

che integrata fornisce:

s−so=∫To

T dqT .

La condizione di riferimento è generalmente so=0 nello stato termodinamico corrispondente a po=1 bar e T o=273,15 °C.

Nel caso generico di un vapore (ad es. l'acqua), l'integrale sopra scritto si suddivide in tre parti: riscaldamento del liquido, evaporazione e surriscaldamento del vapore:

s−so=∫To

T dqT

= ∫273,15

T s dqT

qevT s

∫T s

T dqT

=

= c l ∫273,15

T s dTT

qevT s

cvp∫Ts

T dTT


essendo:

T s temperatura di saturazione in K

qev il calore di evaorazione alla pressione del vapore in Jt/kg

cl e cvp i calori specifici del liquido e del vapore a pressione costante.

Nel caso di grandi variazioni di calore specifico gli integrali vengonospezzati in intervalli di temperatura entro i quali l'ipotesi calore specificocostante possa considerarsi valida.

Nella zona di liquido, vapore surriscaldato e gas, dove i calori specificipossono essere considrati costanti, l'integrale diventa:

sb−sa= c∫T a

T b dTT

= c log T b

T a

con c calore specifico della sostanza per la trasformazione considerata.

Calore interno

Questa grandezza è normalmente chiamata energia interna; non avendoperò il significato di una energia effettivamente e completamente trasformabilein lavoro, sempre nell’intento di evitare confusioni tramite l’uso di vocaboli nonappropriati, anche se diffusi, noi la chiameremo calore interno.

Esso è definito dalla relazione differenziale:

du=dq− pdv

e si dimostra essere una funzione di stato pur essendo la somma di duedifferenziali non esatti.

Per integrazione fra due condizioni 0 e 1 lungo una linea qualsiasi:


u1−u0=q−l quals

e supposto di considerare nullo il calore interno nella situazione 0caratterizzata, per una sostanza monocomponente, da p0=1 bar e

T 0=273,15 K, il calore interno ha un valore definito e calcolabile omisurabile per ogni stato termodinamico della sostanza esaminata.

Si fa notare che questa grandezza non rappresenta una energia ma bensì unaquantità di calore equivalente alla somma fra la quantità di calore scambiabiledalla sostanza fra la condizione in esame e quella di riferimento e l’energia dipressione (lavoro termodinamico), immaginata tutta convertita in calore con unprocesso del tipo di quello usato da Joule, per poterla sommare ad una quantitàdi calore.

Supponendo di percorrere, dallo stato di riferimento al generico stato inesame, una trasformazione adiabatica ed una isobara, per l’unità di massa disostanza, si ottiene:

u=[∫pa

p

p dv ]adiab[∫T x

T

dq ]isob=l adiabc pT−T x=l adqisob ,

avendo indicato con:

p e T pressione e temperatura del generico stato in esame,

T x la temperatura al termine della trasformazione adiabatica,

c p il calore specifico medio alla pressione p fra le temperature T e T x .

Le unità di misura del calore interno sono Jt /kg.

Entalpia

E’ definita dalla relazione differenziale:


dh=dqvdp=dq−dl x

e si dimostra essere anch’essa una funzione di stato essendo la somma di duedifferenziali esatti:

dh=du pdvvdp=dud pv .

Per integrare questa relazione fra gli stati 0 e 1 bisogna ricordare che, ai finidel calcolo dell’entalpia, qualsiasi percorso si scelga il risultato è identico; perragioni di semplicità possiamo seguire il percorso:

a) scambio di calore a pressione costante p0 (isobara) lungo il quale illavoro tecnico è nullo;

b) compressione senza scambio di calore con l’esterno (adiabatica) lungo ilquale il calore scambiato è nullo.

Pertanto:

h1−h0=∫dqisob−∫dl xadiab=qisob−l xadiab ,

dove:

qisob è la quantità di calore per riscaldare il sistema alla pressionep0 dalla temperatura T 0 ad una temperatura T x dalla quale, con

compressione adiabatica si possa raggiungere lo stato 1;

l xadiab è il lavoro di compressione od espansione adiabatico dallapressione p0 alla p1 . Supposto di considerare nulla l’entalpia nello stato0 caratterizzato, per una sostanza monocomponente, da p0=1 bar e

T 0=273,15 K (corrispondnte a t0=0 °C), l’entalpia ha un valore definitoe calcolabile o misurabile per ogni stato termodinamico della sostanzaesaminata.

La differenza di entalpia eguaglia la differenza, in termini di quantità dicalore (cioè in Jt ), fra i due stati termodinamici di ingresso e di uscita di una


macchina a rinnovamento di fluido.

Infatti per una macchina di tale tipo, trascurando le differenze fra le energiecinetiche e potenziali fra ingresso ed uscita, l’equazione di bilancio dellequantità di calore (vedi capitolo quinto) fornisce:

1) per una macchina a rinnovamento di fluido perfettamente adiabatica(macchina motrice od operatrice termicamente isolata):

h1−h2=l x

e per una macchina che effettui una trasformazione isobara (scambiatore dicalore):

h2−h1=q

Le unità di misura dell’entalpia sono Jt / kg.

Dalla definizione di entalpia e dalle conseguenti proprietà (legate all'uso dellavoro tecnico) deriva chiaramente che questa grandezza presenta interesseesclusivamente in quelle macchine, componenti o trasformazioni cheoperano a flusso continuo di calore o di fluido (macchine a rinnovamento difluido); presenta molti problemi ed è bene evitarne l'uso in quelletrasformazioni che si riferiscono ad una massa costante che viene elaborata enelle quali è interessato il lavoro termodinamico.

Exergia (energia utilizzabile)

Questa grandezza, stabilita una temperatura ambiente e solamente in questocaso, è considerabile come una funzione di stato (se così non fosse cadrebbel’univocità del principio di Carnot); essa può essere calcolata scegliendo il o ipercorsi più semplici per passare da uno stato all’altro.

La condizione di riferimento, corrispondente ad exergia nulla, è quella allatemperatura ambiente T a ed alla pressione pa di 1 bar.


Il modo più semplice per calcolarla è fare riferimento alla relazione:

b=h−ho−T a s−so

che implica il preventivo calcolo delle entalpie e delle entropie.

Le unità di misura sono J / kg.Si fa notare che tale grandezza risulta positiva sia per stati termodinamici

sopra la temperatura ambiente che per quelli sotto la stessa temperatura: infattiper questi ultimi il lavoro per lottenimento della bassa temperatra è speso(negativo) e la quantità di calore a bassa temperatura ( q2 ) è presa dal sistema(negativa).

Anche questa grandezza, collegata all'entalpia, presenta gli stessi interessi diquest'ultima: uso nelle macchine e componenti a flusso continuo; se nesconsiglia l'uso invece negli altri casi.

Trasformazioni tipiche

Si riportano alcune trasformazioni tipiche, prevalentemente ricavate per i gasideali, presentanti dote di semplicità; una serie integrativa di tali espressionisono riportate in Appendice.

● trasformazione isotermica o isoterma quando viene mantenuta costante latemperatura; facendo variare arbitrariamente la pressione p si devedeterminare il volume v , o viceversa.

- nel caso dei gas questa trasformazione (isoterma) è governata dalla leggedi Boyle:

pv=costante ,


in cui p è la pressione alla quale si trova il gas e v è il suo volume specifico.

- nel caso dei gas reali e dei vapori surriscaldati si usano espressionipolinomiali ovvero si utilizzano le precedenti equazioni introducendocoefficienti correttivi di derivazione sperimentale.

- nel caso di vapori saturi la trasformazione isoterma è contemporaneamenteisobara e la corrispondenza è fornita dalle relazioni di saturazione; il volumespecifico varia in conseguenza del titolo;

- nel caso di liquidi e di solidi il volume specifico varia pochissimo infunzione della pressione e normalmente se ne trascura l’effetto.

● trasformazione isobara

Si mantiene costante la pressione;

- per i gas ideali la legge che regola questa trasformazione è la prima leggedi Gay-Lussac: gli aumenti di volume ( vt ) a pressione costante di unadeterminata massa di gas a 0°C sono indipendenti dalla natura del gas, sonodirettamente proporzionali al volume iniziale del gas ( v0 ) ed agli aumenti ditemperatura ( t ). Il che vuol dire:

vt – v0= v0 t

vt=v01 t .

Se si pone:

T= 1t ,


si ottiene:

vt=v0T .

Il coefficiente , sensibilmente eguale per tutti i gas, viene dettocoefficiente di dilatazione dei gas a pressione costante e dall’esperienza siha:

= 1273,15

=0,000367

il che vuol dire che elevando la temperatura di una determinata massa di gas da0 °C a 1 °C , e mantenendo costante la pressione, il suo volume aumenta di1/273,15 del volume iniziale.

- per i gas reali ed i vapori si usano espressioni polinomiali ovvero siutilizzano le precedenti equazioni introducendo coefficienti correttivi diderivazione sperimentale.

- per i vapori saturi le trasformazioni isobare sono anche isoterme ed in esseil volume specifico varia in funzione del titolo secondo la equazione di stato.

- per i liquidi il volume specifico varia secondo la legge:

v=vot−to ,

con coefficiente di dilatazione cubica del liquido.


- per i solidi vale la stessa relazione che per i liquidi, con la differenza che è relativo al solido ed è tre volte il coefficiente di dilatazione lineare.

● trasformazione isovolumica o isocora

Si mantiene costante il volume e si varia uno qualsiasi degli altri parametri distato.

- per i gas

Il fenomeno è regolato dalla seconda legge di Gay-Lussac: a volumecostante, gli aumenti di pressione ( pt ) di una determinata massa di gas a 0 °C sono indipendenti dalla natura del gas, e sono direttamente proporzionali allapressione iniziale ( p0 ) ed agli aumenti di temperatura ( t ):

pt− p0= p0 t .

Il valore del coefficiente , coefficiente di dilatazione a volumecostante è dato dall’esperienza e risulta, almeno in prima approssimazione,indipendente dalla natura del gas e numericamente eguale al coefficiente didilatazione a pressione costante .

- per i gas reali, i vapori surriscaldati e per i vapori saturi

Le linee isocore sono tracciate sui diagrammi di stato.

- per i liquidi e per i solidi

Essendo gli incrementi di pressione elevatissimi, le relazioni analitiche sonopoco frequenti e generalmente gli incrementi di pressione vengono calcolatipassando attraverso relazioni indirette.

● trasformazione adiabatica


La trasformazione adiabatica è definita come una trasformazione senza scambio di calore con l’esterno; può invece avvenire uno scambio di lavoro.

La trasformazione adiabatica può essere reversibile ed in tal caso la produzione di entropia è nulla (trasformazione isoentropica); questa proprietà è reversibile.

Quindi:

trasformazione adiabatica + reversibile = isentropica

trasformazione isentropica + adiabatica = reversibile

Una trasformazione può però manifestarsi come isentropica anche quando la produzione di entropia, dovuta a fenomeni irreversibili, viene trasmessa all’esterno.

- per i gas ideali, reali e per i vapori

La trasformazione è caratterizzata dalla relazione:

p vk=cost= po vok ,

essendo k una costante tipica del gas chiamata esponente dell’adiabatica. I valori di tale grandezza, che si dimostra corrispondono al rapporto c p/cv fra i calori specifici a pressione costante ed a volume costante, per alcuni tipi di gas sono indicati nella tabella 8.1.

- per i vapori saturi, per i liquidi e per i solidi

Esistono valori sperimentali dell’esponente, validi entro definiti campi di pressioni e di temperature.


Tabella 8.1 – Valori dei calori specifici a pressione ed a volume costanti e della costante di elasticità.

Sistema internazionaleSostanza R M cp cv k Sostanza

J/kgK kg/kgmole kJt/kgK kJt/kgKHe 2078,0 4,002 5,190 3,110 1,67 HeH2 4124,0 2,060 14,200 10,100 1,41 H2

O2 259,8 32,000 0,917 0,656 1,4 O2

N2 296,8 28,020 1,040 0,748 1,4 N2

CO 296,8 28,010 1,040 0,743 1,4 COAria 287,0 28,970 1,010 0,717 1,4 AriaCO2 188,9 44,010 CO2

H2O 461,4 18,020 H2ONH3 448,1 17,030 NH3

● trasformazione politropica

La trasformazione politropica è caratterizzata da una relazione del tipo:

pvn=cost=po von ,

con n reale qualsiasi.

Questa trasformazione per i gas ideali corrisponde ad una trasformazione a calore specifico c costante.


Si dimostra che:

n=c−c pc−cv

.

Nella realtà queste trasformazioni vengono utilizzate per approssimare trasformazioni reali o prese nella loro interezza o eventualmente in ciascun tronco in cui vengono suddivise; i valori di po , vo ed n vengono in tal caso determinati sperimentalmente.

Si nota che tutte le trasformazioni esaminate possono essere ricondotte a politropiche pur di scegliere opportunamente il valore di n .

● trasformazione isoentalpica

E’ caratterizzata dalla relazione:

h=cost=ho .

Questa trasformazione avviene in un componente impiantistico chiamato valvola di espansione o di trafilazione.

● altre trasformazioni

Molte altre trasformazioni potrebbero essere immaginate; in tali casi le relazioni fra le variabili del fenomeno vengono derivate attraverso correlazioni che coinvolgono indirettamente altre variabili.


Quantità di calore e lavori connessi alle varietrasformazioni

Per eseguire le trasformazioni anzidette bisogna scambiare con il sistemadelle quantità di calore q o dei lavori termodinamici l o tecnici l*, dipendentidal tipo di trasformazione (i differenziali di tali grandezze non sono esatti);nella tabella in appendice vengono indicate le espressioni di alcune di esse.

A titolo esplicativo si ricava:

- lavoro termodinamico lungo una politropica di esponente n:

l=∫p1

p2

pdv= 1n−1

[1−p2

p1

n−1n ] ;

- lavoro tecnico lungo una politropica di esponente n:

l x=∫p1

p2

vdp= nn−1

[1−p2

p1

n−1n ] ;

- quantità di calore lungo una trasformazione a calore specificoc costante e diverso da zero (isoterma) o da infinito (cambiamento di stato diaggregazione):

q=∫t1

t2

dq=c∫t1

t2

dt=c t2−t1 .


Tabelle di formule

In appendice sono riportate alcune tabelle che riportano le formule utilizzateper il calcolo delle grandezze di stato, sia in espressione differenziale cheintegrata, nel caso generale ed in quello particolare dei gas ideali.

Per queste ultime sostanze sono anche indicate le espressioni analitiche utiliper il calcolo delle varie grandezze nel caso di trasformazioni specifiche. Adesplicazione di questa ultima tabella la chiave di lettura è la seguente: lagrandezza indicata alla sommità della colonna si ottiene attraverso l'espressioneindicata all'incrocio della colonna stessa con la riga indicante la trasformazionescelta. Come esempio se fosse richiesta la temperatura T lungo unatrasformazione isobara, l'espressione si troverebbe dall'incrocio della colonna Tcon la riga ISOBARA, ottenendo:

T=T 1vv1

nella quale i simboli con l'indice 1 corrispondono allo stato iniziale e i simbolisenza indice corrispondono allo stato generico che, in particolare, puòcoincidere con quello finale.

Nel caso non si conoscano le grandezze a secondo membro esse vannocalcolate con:

- le equazioni di stato corrispondenti allo stato iniziale (indice 1);

- le equazioni della trasformazione considerata quelle senza indice.

Proprietà dei diagrammi termodinamici

Si riportano alcune proprietà dei diagrammi termodinamici utili per unamigliore compensione delle elaborazioni analitiche:

Diagramma di Clapeyron


Esso rappresenta correttamente, con una opportuna scala, i lavoritermodinamico, tecnico e di spostamento (vedi figura 8.4).

Diagramma di Gibbs

Esso rappresenta correttamente le quantità di calore scambiate lungo unatrasformazione rappresentata da una opportuna linea (vedi figura 8.5).

Si fa notare che in una compressione/espansione con attriti, l'area sottostantela linea della trasformazione (non più isentropica) rappresenta il calore messo ingioco dagli attriti.

Altra osservazione molto importante è che i lavori sviluppati o assorbiti inun ciclo termodinamico si ottengono esclusivamente dalla dfferenza fra le areecorrispondenti alle quantità di calore scambiate con l'esterno.

Diagramma di Mollier

Sul diagramma di Mollier del vapore (vedi figura 8.6) si leggonoimmediatamente come differenze di entalpie:

- la quantità di calore scambiata lungo una trasformazione isobara:

q=h2−h1 ;

- il lavoro compiuto o assorbito da una macchina a rinnovamento difluido (lavoro tecnico) lungo una trasformazione adiabatica (reversibile oirreversibile):

l x=h2−h3 .

La tangente ad una linea isobara fornisce la temperatura assoluta.


Figura 8.5 – Diagramma di Gibbs con la indicazione dell’area rappresentanteil calore scambiato lungo una trasformazione ed il calore specifico in un puntodi una trasformazione.

Figura 8.6 – Diagramma di Mollier per il vapore con l’indicazione del lavorocompiuto o assorbito lungo una trasformazione adiabatica (reversibile oirreversibile), della quantità di calore scambiata lungo una trasformazioneisobara e della temperatura assoluta in un punto P di una linea isobara.

(kJ/kg)

h1

h3

h2

h

adiabatica

(kJ/kg K) s

isobara

l=h2-h3

q=h2-h1

T

3

2

1

P

T2

T1

T [K]

s1

s2

s

= calore scambiatopositivonegativo

2

1

sottotangente = calore specifico


Diagramma log p – h (a volte chiamato di Mollier a causa della funzioneentalpia introdotta da tale ricercatore)

In questo diagramma (vedi figura 8.7), utilizzato per il calcolo degli impiantifrigoriferi e delle pompe di calore, si leggono immediatamente, come differenzedi entalpia, sia il lavoro di compressione (adiabatico reversibile o non), sia lequantità di calore scambiate dal condensatore e dall’evaporatore (isobare).

Figura 8.7 – Diagramma log p - h con indicazione delle linee isobare,adiabatica ed isoentalpica componenti un ciclo inverso; le differenze di entalpieforniscono: lungo una adiabatica il lavoro di compressione e lungo le isobare lequantità di calore scambiate dal condensatore e dall’evaporatore.

Temperatura assoluta

E’ ovvio che, se ad un aumento di temperatura di un gas a volume costantecorrisponde un aumento di pressione, ad ogni abbassamento di temperatura

p2

p1

log p

h3= h

4 h

2

h

2

1

h1

3

4

q2 = h

1- h

4

l = h1- h

2


corrisponderà una diminuzione di pressione. Ci si pone il problema dideterminare a quale temperatura la pressione si annulla. Dovendo essere pt

= 0 , la legge delle isovolumiche si dovrà scrivere:

0= p01 t ;

ma, siccome p0 è costante, dovrà essere:

1 t=0 .

Per = 1273,15 , risolvendo rispetto a t, si ha t = -273,15 °C.

Cioé‚ a – 273,15 °C la pressione del gas diventa nulla. Poiché‚ non si puòavere una pressione negativa, la temperatura – 273,14°C è la più bassa possibilee prende il nome di zero assoluto.

Le temperature assolute sono contate a partire dallo zero assoluto, che è unatemperatura limite alla quale non si può giungere sperimentalmente.

Attualmente la temperatura assoluta è definita su base termodinamica,supponendo di effettuare dei cicli ideali di Carnot fra le temperature dei bagnidi riferimento e legando le temperature assolute alle quantità di calorescambiate.

Tenendo però presente che la temperatura dello zero assoluto rappresentauna temperatura limite, praticamente irraggiungibile, si adotta la convenzioneche essa sia 273,15 °C sotto lo 0 °C, quest'ultimo ottenuto da un bagnotermostatico al punto triplo dell’acqua.


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