Test 02 - 1 / 83 Lezione 7 i Test statistici. Test 02 - 2 / 83 Nella parte 1 … test sullipotesi...

Test 02 - 1 / 83

Lezione 7

i Test statistici

Test 02 - 2 / 83

Nella parte 1 …

test sull’ipotesi principale H0: prestazioni del

criterio decisionale

rischio di errore di 1 specie; fiducia del criterio decisionale

significatività del test

Test 02 - 3 / 83

parte 2i test

sulla media:H0 e H1

Test 02 - 4 / 83

per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:

1. scelta della numerosità del campione;

2. costruzione della variabile casuale X

3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;

4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;

5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;

6. definizione della affidabilità richiesta ;

7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;

8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;

9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;

formulazione di test con H0 e H1 sulla media

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3. si individua l’ipotesi H0 (ipotesi principale) che deve essere sottoposta a test.esempio:

H0 : = 0 ;

oppure:

H0 : 0 ;

4. si definisce, in contrasto alla ipotesi principale, una (o più di una) “ipotesi alternativa” H1 (, H2 );esempio:

H1 : 1 ;

oppure:

H1 : 1 ;


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Test 02 - 7 / 83

5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test:

se la varianza 2 è nota e se il campione è numeroso (n 30) si possono usare indifferentemente:

- la media campionaria

che ha distribuzione normale con media e varianza 2 /n;

- la variabile

che ha distribuzione normale standard.

n

jjn X

nX

1

1

n

XZ n

0


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5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la distribuzione è normale e la varianza 2 è incognita si usa:

- la variabile

che ha distribuzione t di Student con n - 1 g.d.l.

n

SX

Tn

n 0

se il campione è numeroso ( n > 30) la T può essere approssimata con la:

che ha distribuzione normale standard

n

SX

Zn

n 0


Test 02 - 9 / 83












Test 02 - 10 / 83

6. si stabiliscono i valori

del rischio di errore di 1ª specie che si è disposti a

correre e 1 - del livello di fiducia richiesto.

criterio di scelta:

la scelta del valore di rischio accettabile richiede considerazioni di vario tipo, non

solamente tecniche ma, molto spesso, economiche, di politica aziendale, di immagine, ecc.

La probabilità di commettere un errore di 1ª specie viene

chiamata “livello di significatività” al quale si intende condurre il test.


Test 02 - 11 / 83

6. si stabiliscono i valori

del rischio di errore di 1ª specie che si è disposti a

correre e 1 - del livello di fiducia richiesto.


Test 02 - 12 / 83












Test 02 - 13 / 83

7. si stabilisce il valore minimo accettabile della potenza contro l’ipotesi alternativa che si vuole contrapporre alla ipotesi fondamentale (nel caso di più ipotesi alternative si stabilisce la potenza contro ciascuna di esse).

Questa scelta equivale a fissare il massimo valore del rischio di

errore di 2ª specie che si intende accettare nella conduzione del test.

Il valore del rischio di errore di 2ª specie risulta funzione:

– della differenza fra le due ipotesi H0 e H1,

– di (valore del rischio di errore di 1ª specie) – della numerosità del campione su cui è stato condotto il test.


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7. si stabilisce il valore minimo accettabile della potenza contro l’ipotesi alternativa che si vuole contrapporre alla ipotesi fondamentale (nel caso di più ipotesi alternative si stabilisce la potenza contro ciascuna di esse).

Questa scelta equivale a fissare il massimo valore

del rischio di

errore di 2ª specie che si intende accettare nella conduzione del test.


Test 02 - 15 / 83

7. aumentare la numerosità del campione provoca una riduzione della varianza dello stimatore media campionaria che consente di aumentare la potenza del test senza diminuire la sua affidabilità.


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8. in base a ciò che si è stabilito nei punti precedenti, si identifica il valore critico (o la coppia di valori critici) del parametro campionario che individua nel dominio la “regione di rifiuto” dell’ipotesi principale H0


Test 02 - 18 / 83












Test 02 - 19 / 83

9. si stimano quindi i valori del rischio di errore di seconda specie a cui il test verrà condotto e, se tali valori non rispettano le scelta fatte per la potenza del test si modificano i parametri del test da cui tale rischio dipende (in particolare la numerosità minima del campione. )


Test 02 - 20 / 83

Significato della “potenza contro H1”

regione di rifiuto per H0

regione di non accettazione

per H1

100

Test 02 - 21 / 83

Significato della “potenza contro H1”

regione di rifiuto per H0

regione di esclusione per H1

Test 02 - 22 / 83

conduzione di test con H0 e H1 sulla media

10. dopo aver formulato il test:- si procede alla composizione del campione con numerosità

pari a quella stabilita, - si conducono le prove sperimentali,- si determina il valore dello stimatore campionario precelto,

Test 02 - 23 / 83

conduzione di test con H0 e H1 sulla media

10. se la stima cade nella regione di rifiuto si respinge l’ipotesi principale H0 con un rischio pari ad di commettere un errore:

- il valore 1 - della probabilità di non accettare le ipotesi alternative H1 quando esse sono realmente false viene detto: “ potenza del test ”

Test 02 - 24 / 83

la determinazionedi e

usando la variabile casuale Xn

Test 02 - 25 / 83

Per meglio comprendere il significato ed il metodo di calcolo del rischio di errore di seconda specie esaminiamo il caso di una ipotesi fondamentale H0 e di due ipotesi alternative: H1 e H2

H0 : = 0 ; H1 : = 1 ; H2 : = 2

con 2 < 0 < 1

Come è semplice notare le tre ipotesi sono formalmente identiche: in

tutti i casi si ipotizza che la media della variabile casuale X possa assumere un prestabilito valore. Come vedremo fra poco, però, l’ipotesi fondamentale H0 viene trattata in maniera ben diversa dalle due ipotesi alternative H1 e H2

la determinazione di e con Xn

Test 02 - 26 / 83

La figura mostra la distribuzione della media campionaria nel caso in cui l’ipotesi

fondamentale H0 : = 0 sia vera:

Le due regioni “campite” (cioè colorate) in giallo individuano la regione di rifiuto per H0 :

si cncn xXxX


Test 02 - 27 / 83

Se lo stimatore campionario risulta oppure se risulta

rifiuteremo l’ipotesi principale H0

icn xX scn xX


Test 02 - 28 / 83

Sappiamo però che, qualora H0 sia vera, c’è una probabilità

pari ad /2 che lo stimatore campionario risulti

per effetto del caso con cui si estrae il campione dalla popolazione (regione 1).

scn xX




icn xX scn xX

Test 02 - 29 / 83

Analogamente sappiamo che, con H0 vera, c’è una probabilità pari ad /2 che lo stimatore campionario risulti

per effetto del caso con cui si estrae il campione dalla popolazione (regione 2).

icn xX




icn xX scn xX

Test 02 - 30 / 83

Se lo stimatore campionario risulta

il test non fornisce informazioni tali da consentirci di rifiutare H0

si cnc xXx

Chiediamoci però, nel caso in cui H0 sia falsa ed H1 sia vera, quale sia la

probabilità di trovare un valore dello stimatore compreso nell’intervallo a causa della aleatorietà con cui si estrae il campione.

si cnc xXx


Test 02 - 31 / 83

La regione 3 campita in viola rappresenta la probabilità che,

malgrado sia vera l’ipotesi alternativa H1 : = 1 , il valore

della media campionaria risulti .scn xX


Test 02 - 32 / 83

E’ evidente che, anche se l’ipotesi fondamentale H0 : = 0

e l’ipotesi alternativa H1 : = 1 sono espresse nella stessa

forma, lo studio che si conduce è diverso tra l’una e l’altra.


Test 02 - 33 / 83

Un analogo ragionamento viene poi condotto in relazione alla

seconda ipotesi alternativa: H2 : = 2

Chiediamoci, nel caso in cui H0 sia falsa ed H2 sia vera, quale

sia la probabilità di trovare un valore dello stimatore compreso nell’intervallo a causa della aleatorietà con cui si estrae il campione.

si cnc xXx


Test 02 - 34 / 83

Un analogo ragionamento viene poi condotto in relazione alla

seconda ipotesi alternativa: H2 : = 2

La regione 4 campita in viola nella figura successiva rappresenta la probabilità che, malgrado sia vera

l’ipotesi alternativa H2 : = 2 , il valore della

media campionaria risulti

si cnc xXx


Test 02 - 35 / 83

se H1 : = 1 vera

se H2 : = 2 vera

la distribuzione di Xn per H0, H1, H2

se H0 : = 0 vera

Test 02 - 36 / 83

la determinazionedi e

usando la variabile casuale T

Test 02 - 37 / 83

la determinazione di e con T

se H0 : = 0 vera

se H1 : = 1 vera

Test 02 - 38 / 83

0,05

-1,753

0,05

1,753


Facciamo due considerazioni generali:

1)

nS

XT

n

n

• dal valore di desiderato si ricava il valore critico T0c

che individua la regione di rifiuto della H0

cn

nc

n

nc Tn

SX

nS

XT 00c

• dal valore critico T0c si ricava il corrispondente valore critico per la media campionaria:

Test 02 - 39 / 83

La seconda considerazione generale è la seguente:

2)

il valore assunto da T per uno stesso valore della media campionaria dipende dal valore ipotizzato per la media della popolazione.

nS

XT

nS

XT

nS

XT

n

n

n

n

n

n

11

00


Test 02 - 40 / 83


di conseguenza: il valore critico assunto da T in corrispondenza del valore critico per la media campionaria dipende dal valore ipotizzato per la media della popolazione.

nS

XT

nS

XT

nS

XT

n

ncc

n

ncc

n

nc

11

00

Test 02 - 41 / 83

nS

XT

nS

XT

nS

XT

n

n

n

n

n

n

11

00

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ


di conseguenza: il valore assunto da T in corrispondenza del valore critico per la media campionaria dipende dal valore ipotizzato per la media della popolazione.

nS

XT

n

ncc

11

nS

XT

n

ncc

00

Test 02 - 42 / 83


dato che :

possiamo anche scrivere:

nSnS

XT

Tn

SX

nS

XT

nS

XT

nn

ncc

cn

nc

n

ncc

n

ncc

11

00

11

00

nST

nS

nS

nSnSnS

Tn

S

Tn

c

n

n

nnn

cn

c1

001

00

1

nSTT

n

cc10

01

Test 02 - 43 / 83

0,05

-1,753- 2,387

0,015


cT0

0,05

1,753

dal valore che si è stabilito di poter accettare per il rischio di errore di prima specie:

c

n

c TnS

T 110

0

Test 02 - 44 / 83

la determinazione di e con Z

dato che :

possiamo anche scrivere:

nSnS

XZ

Zn

SX

nS

XZ

nS

XZ

nn

ncc

cn

nc

n

ncc

n

ncc

11

00

11

00

nSZ

nS

nS

nSnSnS

Zn

S

Zn

c

n

n

nnn

cn

c1

001

00

1

nSZZ

n

cc10

01

Test 02 - 45 / 83

5° test sulla media: H0 con H1

varianza nota, rischio di errore di seconda specie

Test 02 - 46 / 83

Test di ipotesi sulla media (con 2 nota)

• Si è riprogettato un OpAmp in produzione da tempo e si è realizzata una preserie del nuovo dispositivo.

• Ci si interroga sulla possibilità che il valore tipico della corrente di offset sia passato dai 50 nA del “vecchio” progetto a meno di 40 nA.

Test 02 - 47 / 83

formulazione del test











Test 02 - 48 / 83


1. Stabiliamo di operare con un campione di 36 amplificatori.

2. Costruiamo la variabile casuale X stabilendo che essa assuma valore uguale a quello della corrente di offset di ciascun elemento della popolazione misurata in nA.

La varianza 2 della X per l’intera popolazione si suppone nota:

2 = 225

3. H0 : < 0 40 ;

4. H1 : = 1 = 50 ;

5. scegliamo come variabile campionaria la media campionaria che, se n è sufficientemente elevato,

segue la distribuzione normale con varianza pari a 2 / n;

Test 02 - 49 / 83


6. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: = 0,10 ( che comporta un “livello di fiducia” del 90% );;

7. stabiliamo un valore richiesto della potenza non inferiore a 99% ;

8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria che individua la regioni di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di prestabilito (0,10);

0,10

Test 02 - 50 / 83


abbiamo utilizzato la distribuzione a una coda in quanto l’ipotesi

principale viene rigettata solo se la media è maggiore di 0 ;

0,10

Test 02 - 51 / 83


regione di rifiuto di H0 : 204,4336 X

0,10

Test 02 - 52 / 83


regione di rifiuto di H0 :

quale è il valore del rischio di errore di II specie

determinato da H1 : = 1 = 50

204,4336 X

Test 02 - 53 / 83


0,003

rischio di errore di II specie : 0,003

potenza contro H1 : 99,7%

204,4336 Xregione di rifiuto di H0 :

Test 02 - 54 / 83


riassumendo:


rischio di errore di I specie : 0,10


0,10

204,4336 X

0,003

Test 02 - 55 / 83

0,100,003


riassumendo:


rischio di errore di I specie : 0,10rischio di errore di II specie : 0,003

204,43

0,43

36

36

X

X

Test 02 - 56 / 83


non cade nella


0,4336 X204,4336 X

0,100,003

Test 02 - 57 / 83


non cade nella


devo non rifiutare l’ipotesi principale: H0 : 40,0 ;

0,4336 X

0,100,003

204,4336 X

Test 02 - 58 / 83


non cade nella



il test ha un livello di fiducia del 90% per H0

0,100,003

0,4336 X204,4336 X

Test 02 - 59 / 83


non cade nella




ed una potenza del 99,7% nei confronti di H1

0,100,003

0,4336 X204,4336 X

Test 02 - 60 / 83

0,100,003


non cade nella




ed una potenza del 99,7% nei confronti di H1

Ripetiamo il test imponendo un livello di fiducia più alto per esaminare le conseguenze di questa scelta.

0,4336 X204,4336 X

Test 02 - 61 / 83

6° test sulla media: H0 con H1

varianza nota, rischio di errore di seconda specie

Test 02 - 62 / 83

formulazione del test











Test 02 - 63 / 83


1. Stabiliamo di operare con un campione di 36 amplificatori.

2. Costruiamo la variabile casuale X stabilendo che essa assuma valore uguale a quello della corrente di offset di ciascun elemento della popolazione misurata in nA.

La varianza 2 della X per l’intera popolazione si suppone nota:

2 = 225

3. H0 : < 0 40 ;

4. H1 : = 1 = 50 ;

5. scegliamo come variabile campionaria la media campionaria che, se n è sufficientemente elevato,

segue la distribuzione normale con varianza pari a 2 / n;

Test 02 - 64 / 83


6. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: = 0,05 ( che comporta un “livello di fiducia” del 95% );

7. stabiliamo un valore richiesto della potenza non inferiore a 99% ;

8. calcoliamo il valore critico della statistica campionaria che individua la regioni di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di prestabilito (0,05);

0,05

Test 02 - 65 / 83


abbiamo utilizzato la distribuzione a una coda in quanto l’ipotesi

principale viene rigettata solo se la media è maggiore di 0 ;

0,05

Test 02 - 66 / 83



0,05

Test 02 - 67 / 83



quale è il valore del rischio di errore di II specie

determinato da H1 : = 1 = 50

112,4436 X

Test 02 - 68 / 83


0,0093


potenza contro H1 : 99,07%


Test 02 - 69 / 83


riassumendo:




0,05

112,4436 X

0,0093

Test 02 - 70 / 83


aver voluto portare il livello di fiducia del test dal 90% al 95% per

H0, senza cambiare il numero di elementi del campione,

ha fatto diminuire la potenza nei confronti di H1 ed aumentare il

rischio di errore di II specie fino a sfiorare il limite prefissato!!!

0,050,0093

Test 02 - 71 / 83


se invece aumentassi da 36 a 45 il numero degli elementi del

campione potrei portare il livello di fiducia del test al 95% per H0

senza diminuire la potenza nei confronti di H1 : il rischio di errore di II specie scenderebbe a meno di 0,0025

0,050,0093 0,050,0023

Test 02 - 72 / 83

7° test sulla media

varianza incognitavariabile T di Student

rischio di errore di seconda specie

Test 02 - 73 / 83

Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita )

• In base alla scheda tecnica del costruttore, l’induttore HQL ha un valore del fattore di merito Q maggiore di 75 (valore tipico).

• Un altro costruttore afferma che tale valore non è raggiunto e sostiene che il valore tipico dell’HQL prodotto dal suo concorrente è uguale a quello tipico del modello “TL” da lui prodotto (Q = 60).

• Dato che l’induttore “HQL” ha un prezzo di acquisto maggiore del “TL”, si desidera verificare l’ipotesi che il valore tipico del fattore di merito Q dell’induttore “HQL” sia effettivamente “maggiore o uguale” di 75 contro l’ipotesi che sia uguale a 60.

Tramite un “”acquirente non conosciuto dal venditore” (per non ricevere un campione selezionato ad hoc) si acquista un lotto di induttori modello “HQL” per procedere ad un test di ipotesi sulla media.

Test 02 - 74 / 83


1. costruiamo la variabile casuale X il cui valore coincide con quello del fattore Q degli induttori Mod. HQL

2. H0 : 0 = 75 ;

3. H1 : = 1 = 60 ;

4. dato che 2 è incognita si ricorre alla statistica

che segue la distribuzione t di Student con n -1 gradi di libertà;

nS

XT

n

n

Test 02 - 75 / 83


5. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: = 0,05 ( che comporta un “livello di fiducia” del 95% );

6. stabiliamo di operare con un campione di 16 induttori HQL ;

7. fissiamo il livello accettabile per < 2%;

8. il nostro scopo è quello di individuare il valore critico della statistica campionaria che individua la regione di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di che è stato prestabilito (0,05);

per fare ciò utilizzeremo la t di Student “ad una coda” in quanto

l’ipotesi principale (H0 : 0 = 75) è falsa solamente se la

media della popolazione risulta minore di 0

Test 02 - 76 / 83


individuiamo, dai dati del problema, il valore critico della T:

• n = 16 ; g.d.l. = 15

• = 0,05 ; distribuzione ad una coda ( inferiore )

dalle tabelle si ricava:

753,1 0 cT

Test 02 - 77 / 83


valore critico :


753,10̂ T

0̂TT

0,05

-1,753

Test 02 - 78 / 83

9. composto il campione si misura il valore del fattore di merito Q degli induttori “Mod. HQL”

- si calcolano poi i valori degli stimatori campionari :


144

3,70

162

16

S

X

nSTT

n

1001ˆˆ

247,35753,1ˆ

12

415753,1

1612

6075753,1ˆ

1

1

T

T

Test 02 - 79 / 83

3,247

9. composto il campione si misura il valore del fattore di merito Q degli induttori “Mod. HQL”

- si calcolano poi i valori degli stimatori campionari :


144

3,70

162

16

S

X

nSTT

n

1001ˆˆ

Test 02 - 80 / 83

-1,753 3,247

< 0,0050,05


247,31612

6075753,1ˆˆ 10

01

nS

TTn

05,0 005,00̂T 110

0ˆˆ T

nST

n

Test 02 - 81 / 83

Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita )riassumendo:


regione di non accettazione di H1 :


rischio di errore di II specie : < 0,005

753,10 T

247,31 T

-1,753 3,247

< 0,005

Test 02 - 82 / 83

Test di ipotesi sulla media ( 2 incognita )riassumendo:





753,10 T

247,31 T

determiniamo infine il valore assunto dalla variabile T0 in corrispondenza dei valori

degli stimatori media campionaria

e varianza campionaria corretta:

567,116144

753,70

144

3,700

0

162

16

nS

XT

S

X

n

n

Test 02 - 83 / 83

-1,753 3,247

< 0,005






567,10 T

753,10 T

247,31 T

Test 02 - 84 / 83


non cade nella regione di rifiuto di H0 :

devo quindi astenermi dal rifiutare l’ipotesi principale: H0 : 75 ;

il test ha un livello di significatività del 5% per H0

ed una potenza superiore al 99,5% nei confronti di H1

567,10 T 753,10 T

-1,753 3,247

< 0,005

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