Tesina Micro e Nano4

UNIVERSITÀ POLITECNICA DELLE MARCHEFACOLTÀ DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA ELETTRONICA

TESINA DEL CORSO DI MICRO E NANO ELETTRONICA

PROGETTO DI UN FILTRO PASSA BASSO,

IMPLEMENTATO MEDIANTE SWITCHED

CAPACITOR

CASCADE DESIGN,CON TECNOLOGIA UMC

90nm

Michele Paoletti

matricola:1052264

Anno accademico 2012-2013

INDICE

1.Introduzione ai filtri analogici..................

2.PROGETTO DEL FILTRO................

1-INTRODUZIONE AI FILTRI ANALOGICI

I filtri ideali sono caratterizzati da funzioni di trasferimento a modulo costante in banda passante, nullo in banda proibita e fase lineare. Poiché tali filtri non sono causali, essi possono essere soltanto “approssimati” da filtri fisicamente realizzabili. Il problema della realizzazione di filtri per una data applicazione non è quindi banale, e richiede almeno tre passi per la sua soluzione:

1. l’individuazione delle specifiche del filtro data la particolare applicazione;2. la determinazione della funzione di trasferimento di un filtro soddisfacente le specifiche individuate;3. la realizzazione fisica di un sistema la cui funzione di trasferimento coincide con quella determinata;

La determinazione di specifiche sufficientemente precise è il primo passo per ottenere un filtro da adottare per una data applicazione. Al fine di descrivere le specifiche del filtro che si intende realizzare, è necessaria la conoscenza dei parametri che permettano di valutare la qualità dell’approssimazione rispetto a un filtro ideale, quali la frequenza di taglio a 3 dB, la frequenza di stop, l’ampiezza della banda di transizione, l’attenuazione, la linearità della fase.L’individuazione del filtro viene poi ottenuta selezionando la funzione di trasferimento di un filtro causale che soddisfa le specifiche assegnate.L’ultima fase consiste nella realizzazione fisica del sistema di cui è nota la funzione di trasferimento. Le realizzazioni fisiche possono essere classificate sulla base delle componenti costituenti il sistema:

filtri a elementi RLC passivi filtri a elementi RC attivi filtri a microonde filtri a cristallo filtri elettromeccanici.

1.1-FAMIGLIE DI FILTRI CAUSALI

Abbiamo visto che un filtro ideale non è causale e quindi può essere soltanto approssimato con filtri realizzabili fisicamente. A questo riguardo abbiamo introdotto parametri che denotano la bontà nell’approssimarne il guadagno (dimensione della banda di transizione,attenuazione, oscillazioni) o la fase (linearità).La progettazione di un filtro è fortemente dipendente dall’applicazione; in certi casi (per esempio nei sistemi audio) è richiesta un’ottima risposta in fase. In altre applicazioni la linearità della fase è di scarso rilievo, mentre critica è l’accuratezza nell’approssimare il guadagno, e così via...In aiuto al progettista, sono state introdotte e analizzate varie classi di filtri usualmente disponibili in sistemi di calcolo automatico per la progettazione, l’implementazione e la simulazione di filtri, quali ad esempio le primitive in ambiente MATLAB. Le principali famiglie sono quella dei filtri di:

Butterworth Chebyschev Cauer (o ellittici) Bessel

La nostra scelta in questo progetto ricade proprio sui filtri di Bessel.

1.2-FILTRI DI BESSEL

I filtri di Bessel sono filtri a soli poli caratterizzati da avere fase massimamente lineare. Piu precisamente,il filtro prototipo di Bessel di ordine N è definito come il filtro che ha ritardo di gruppo unitario nell’origine t g(0) = 1 e ritardo di gruppo massimimamente piatto nell’origine nel senso che ha il maggior numero di derivate dn t g/d f n che si annullano nell’origine.

Si osservi che poiche la fase è una fuzione dispari di ω, il ritardo di gruppo è una funzione pari e quindi le derivate di ordine dispari del ritardo di gruppo si annullano

automaticamente. Dobbiamo quindi imporre dnt g

d f n =0 solo per n pari.

Si supponga di voler calcolare il filtro di Bessel di ordine n con ritardo unitario in ω = 0 (ossia,τg(0) = 1). A tal fine si scriva la generica funzione di trasferimento di un

filtro di ordine N a soli poli:

H (s )=b0

sn+bn−1 sn−1+… ..+b1 s+b0

=b0

D(s)

Questo viene utilizzato in quelle applicazioni dove la minimizzazione della distorsione di fase è di primaria importanza.Bessel e Butterworth sono caratterizzati appunto dall’avere la funzione di trasferimento a soli poli e quindi questo significa che non si ha un ripple nella stop band.

1.3-APPROSSIMAZIONEDI TIPO BESSEL, o THOMPSON,

(DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA)

E' utilizzata, oltre che nel campo audio, nel settore delle telecomunicazioni, quando sono presenti molti filtri in cascata e i ritardi temporali introdotti sono notevoli.Il filtro di Bessel, avendo risposta in fase massimamente lineare, e quindi tempi di ritardo costanti,non accentua la diversità fra i tempi di ritardo delle diverse componenti di segnale.E' inoltre utilizzata nel filtraggio dei segnali ad onda quadra, in risposta ai quali non genera oscillazioni (la risposta al gradino, infatti, non presenta né sovraelongazione né oscillazioni).

PREGI:

Tempi di ritardo costanti grazie alla linearità della risposta in fase, linearità che è la massima ottenibile.

CARATTERISTICHE:

Smorzamento ζ = 0,866 (poli complessi coniugati con fase φ = 30°) Nessun picco nel modulo della risposta in frequenza Assenza (come in Butterworth) di sovraelongazione e oscillazioni nella

risposta al gradino

INCONVENIENTI

Discriminazione poco netta fra banda passante e banda oscura. Comparato rispetto ai Butterworh,Chebyshev e i filtri ellittici,i filtri di Bessel

hanno un rolloff(vale a dire il modulo della f.d.t presenta una pendenza più “morbida” e quindi occorre aumentare l’ordine del filtro per poter soddisfare le specifiche di attenuazione richieste,rispetto agli altri filtri).

Risposta al gradino del filtro di Bessel

La conservazione sostanziale della forma rettangolare nella risposta al gradino è garantita dalla piattezza del modulo della risposta,che caratterizza(sia pure in una banda minore) anche il filtro di Bessel,oltre che quello di Butterworth.La forma d’onda rettangolare (caratterizzata da un contenuto armonico ricchissimo)è conservata anche nel dettaglio,perchè i ritardi temporali delle componenti armoniche a frequenza diversa sono tutti uguali,grazie alla linearità della fase della risposta in frequenza del filtro di Bessel.Gli effetti della distorsione di fase però,come già accennato,molto meno rilevanti,in campo musicale,degli effetti della distorsione di ampiezza.

1.4-TIPOLOGIA DI FILTRI SCELTI

Nel nostro progetto trattandosi di micro e nano elettronica andremo ad utilizzare,tra le varie tipologie di filtri elencati in precedenza,la classe di Filtri RC attivi. Questi filtri non contengono induttanze, ma resistenze, condensatori e amplificatori operazionali. Si prestano bene alla miniaturizzazione, ma richiedono potenza aggiuntiva. Lavorano bene da 1 Hz fino a 500 Hz.

1.5-APPROCCIO AL PROGETTO DI UN FILTRO ATTIVO DI

ORDINE SUPERIORE AL SECONDO

Un filtro di ordine superiore al secondo può essere realizzato come cascata di filtri del secondo ordine (includendo un filtro del primo ordine se N è dispari).Possiamo scegliere, per i diversi stadi del secondo ordine, la stessa topologia (Sallen-key o VCVS, reazione negativa multipla, filtro universale a variabili di stato) e lo stesso tipo di forma della risposta in frequenza effettiva (Butterworth, Chebichev, Bessel).Se però, desiderando per il filtro complessivo una certa forma di risposta effettiva (per es:Butterworth), progettiamo i singoli stadi uguali tra loro, indipendentemente uno dall'altro, senza specifici accorgimenti, la forma risultante della risposta effettiva del filtro complessivo potrebbe non avere più la forma prescelta (per es: Butterworth) e la frequenza di taglio potrebbe non essere più quella del singolo stadio.Per il mantenimento della forma prescelta bisogna usare i valori di fattore di smorzamento e di fattore di conversione indicati nella specifica tabella riportata di seguito:

Nella tabella ogni riga è relativa a un valore dell'ordine N del filtro e ci indica il numero identificativo del singolo stadio ossia nel caso di un filtro di ordine N=5(realizzabile con uno stadio di ordine 1 e due stadi di ordine 2) i numeri identificativi dei tre stadi sono: “1 2 3 ”, da cui discende il numero degli stadi

necessari alla realizzazione; per ogni stadio vengono forniti il valore del fattore di conversione fc e del fattore di smorzamento ξ (altrove chiamato ζ ).Ogni singolo stadio è del secondo ordine, a meno che, nella riga, manchi l'indicazione del valore del fattore di smorzamento ξ nel qual caso lo stadio è del primo ordine (per i filtri del primo ordine, infatti, fc è definito, ma non è definito ξ)Osserviamo esplicitamente che:

un filtro di ordine superiore con ordine N=PARI sarà formato solo da stadi del secondo ordine;

(per esempio un filtro del sesto ordine viene realizzato con tre filtri del secondo ordine: 6 (ordine totale) = 2 (ordine 1° stadio) + 2 (ordine 2° stadio) +2 (ordine 3° stadio)

un filtro di ordine superiore con ordine N=DISPARI sarà formato da UNO stadio del PRIMO ORDINE e da un certo numero di stadi del secondo ordine;

(per esempio un filtro del 5° ordine viene realizzato con un filtro del primo ordine e due filtri del secondo ordine:

5 (ordine totale) = 1 (ordine 1° stadio) + 2 (ordine 2° stadio) +2 (ordine 3° stadio)

1.6-PROGETTO DEL FILTRO DI ORDINESUPERIORE AL SECONDO

In base all'ordine N e alla forma della risposta effettiva che ci vengono richiesti (o che riteniamo opportuni), individuiamo:

la riga della tabella PER FILTRI DI ORDINE SUPERIORE AL SECONDO che ci fornisce i valori del fattore di conversione e del fattore di smorzamento

la colonna che fa riferimento alla forma della risposta effettiva (Butterworth,Chebichev, Bessel).

L'intersezione fra la riga e la colonna selezionate ci fornisce, per ciascuno stadio del filtro, i valori del fattore di conversione fc e del coefficiente di smorzamento ξ (altrove chiamato ζ ).Riguardo alla progettazione dei singoli stadi della cascata costituente il filtro “complessivo” (della topologia richiesta o desiderata), essi vengono progettati in base alle procedure di progetto descritte nell’approccio alla progettazione dei filtri del secondo ordine.

2-DEFINIZIONE DELLE SPECIFICHE DI PROGETTO

In questa relazione vengono definiti tutti i passaggi necessari per la progettazione di un filtro a capacità commutate con delle specifiche ben definite.Il filtro in considerazione,che si deve realizzare, è un filtro di tipo Bessel del quinto ordine con un Passband Ripple(PB) pari a ± 3db in banda passante,con un’attenuazione nella banda oscurata(Stop Band Attenuation) pari a 60dB,con una frequenza di stop band pari a 50Khz,con una frequenza di taglio pari ad 10 Khz utilizzando un clock con frequenza di 1Mhz.

3-PROGETTO DEL FILTRO

Il primo step nella fase di progettazione è stato quello di ricavare la f.d.t(funzione di trasferimento) nel dominio discreto Z,che soddisfi le specifiche assegnate,che sono le seguenti:

Filtro di Bessel del quinto ordine; Ripple in banda passante=±3dB,ossia ripple massimo=6dB Stop Band Attenuation=60dB; Stop Band Frequency f s=50Khz da cui ωs=314∗103 rad/s; Frequenza di taglio f c=10khz da cui ωc=62,8∗103 rad/s; Frequenza di campionamento 1Mhz; Tecnologia UMC 90nm; Tensione di alimentazione ≥ 1,8V DC; Banda passante [0÷10Khz] Banda di transizione [10Khz÷50Khz] Guadagno in DC in banda passante 0dB

Ricordiamo che la frequenza di cut-off o detta frequenza di taglio del filtro indicata

con fc rappresenta la frequenza in cui l’ampiezza del modulo della funzione di trasferimento si riduce di 3dB dal suo valore in banda passante.Q rappresenta il fattore di qualità(o fattore di merito) del filtro e ne indica appunto la bontà nell’eseguire il filtraggio.Si dice che un filtro ha un Q alto, se seleziona o inibisce un intervallo di frequenze stretto, relativamente alla sua frequenza centrale.Molte volte si definisce:

α =1Q

Questo è comunemente conosciuto come rapporto di smorzamento,e ξ Indica il valore: ξ=2α

dove ξ prende il nome di coefficiente di smorzamento.Se Q è > 0.707 ci saranno dei picchi nella risposta del filtro.Se Q è <0.707,sarà maggiore il rolloff alla frequenza di taglio.

Queste specifiche di progetto riguardano l’ampiezza,ossia il modulo della funzione di trasferimento,e non essendoci specifiche riguardanti la fase possiamo concludere che questo filtro non può essere utilizzato per esempio per segnali video.Ricavare la f.d.t manualmente sarebbe troppo oneroso per questo motivo è stato utilizzato uno specifico tool di Matlab,denominato fdatool,che in pochi passi permette di ottenere la funzione di trasferimento che deve avere il nostro filtro

affinchè soddisfi i parametri di progetto.Per essere più sicuri che le specifiche vengano soddisfatte a pieno possiamo , sovradimensionarle ,in modo da ottenere il risultato desiderato anche in presenza delle varie approssimazioni,dei vari componenti parassiti introdotti nella costruzione del layout e delle molte altre variabili che entrano in gioco e che possono alterare il funzionamento.Quindi nella scaletta di progetto i passi che dovrebbero essere rispettati sono i seguenti:

Realizzazione dello schema circuitale a livello ideale; Vedere se lo schema circuitale ideale soddisfa le specifiche ; Realizzazione dello schema circuitale a livello reale ; Dimensionamento dei componenti dello schema circuitale reale; Verifica del soddisfacimento delle specifiche attraverso le simulazioni; Disegno del layout corrispondente allo schema circuitale reale; Il cad di progettazione(cadence spectre ),effettua il matching tra lo schema

circuitale ed il layout determinando un nuovo schema circuitale che presenta elementi aggiuntivi,ossia gli elementi parassiti relativi a come è stato costruito il layout ;

Si ricontrolla se le specifiche rimangono soddisfatte ; Se la le specifiche sono soddisfatte abbiamo concluso altrimenti si deve andare

ad indagare per quale motivo non vengono soddisfatte e in relazione a ciò si prendono dei provvedimenti che nel peggiore dei casi possono comportare l’intera riprogettazione del layout;

Quindi una volta effettuati tutti questi passaggi non è detto che il risultato sia positivo,nonostante le specifiche siano state sovradimensionate,proprio perchè il tutto dipende soprattutto dalla bontà con cui è stato realizzato il layout. Infatti è proprio quest’ultimo a determinare l’aggiunta di componenti parassiti,che se non sono ridotti il più possibile con una costruzione ottimale del layout,possono assumere un entità tale da poter alterare in modo significativo il funzionamento del filtro e quindi compromettere l’intera fase di progettazione.

4-DETERMINAZIONE DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

Per ricavare la funzione di trasferimento utilizzando matlab posso procedere in due modi,utilizzando i comandi da terminale o tramite l’interfaccia grafica.Nel primo caso,per poter progettare un filtro di Bessel analogico,posso utilizzare i seguenti comandi :

>>[bra]=Bessel(n,Wn,’type’); >>[z,p,k]=Bessel(n,Wn,’type’);

>>[A,B,C,D]=Bessel(n,Wn,’type’);E nello specifico i comandi sono:

>>[bra]=Bessel(5,10000,’low’);>>[z,p,k]=Bessel(5,10000,’low’);

>>[A,B,C,D]=Bessel(5,10000,’low’);Dove:

n è l’ordine del filtro; Wn è la frequenza di taglio del filtro; b e a sono dei vettori di lunghezza n+1; Con il parametro ‘type’ possiamo scegliere il tipo di filtro,cioè se passa-

basso(‘low’),che è l’opzione di default,passa-alto(‘high’) oppure arresta-banda(‘stop’);

La seconda funzione ritorna il vettore degli zeri(z),dei poli(p) e il guadagno del filtro(k);

Infine la terza funzione ritorna le matrici A,B,C,D della rappresentazione in spazio di stato:

x˙ = Ax + Bu

y = Cx + Du

dove u `e l’ingresso, x il vettore di stato e y l’uscita del filtro.

E’ possibile visualizzare la risposta in ampiezza e fase di un filtro analogico, conoscendo i vettori del numeratore (b) e del denominatore (a). Si utilizza la funzione:

>> freqs(b,a);

Inoltre, la funzione freqs(b,a), può essere utilizzata come

>> h = freqs(bra);

>> h = freqs(b,a,w);

>> [h,w] = freqs(a,b);

>> [h,w] = freqs(a,b,n);

resistuisce la risposta complessa nel vettore h utilizzando n punti (di default, se non specificato, è n = 200). w è il vettore delle pulsazioni su cui è valutata la risposta.E’ l’analogo della funzione freqz(), utilizzata per il dominio

tempo-discreto.

Per implementare un filtro di Bessel analogico,cioè:

>> [z,p,k]=besselap(n);

restituisce il vettore p dei poli ed il guadagno K di un filtro di Bessel analogico di tipo passa-basso e di orndine n.Il vettore z degli zeri è sempre vuoto,perchè questo tipo di filtri non ha zeri:

H (s )= K(s−p1)¿¿

Nel secondo caso:andiamo su start/toolboxes/signal processing/Filter design & analisys tool(fdatool) ,si aprirà una finestra dove andremo ad impostare le specifiche del filtro.

FDATool è un’interfaccia grafica che consente all’utente di determinare i coefficienti dei filtri digitali, sia FIR che IIR, importando o esportando i risultati.

Inoltre l’interfaccia consente di selezionare tutti i parametri necessari, nonch`è consente l’iserimento o l’eliminazione a mano (disegnando) di poli e/o zeri nella funzione di trasferimento.

In aggiunta è possibile graficare la mascherea del filtro, la risposta in ampienza e in fase, il ritardo di gruppo, la risposta impulsiva e la risposta al gradino.

L’interfaccia è richiamata da linea di comando, eseguendo

>> fdatool

Si aprirà la seguente GUI:

I possibili passi da eseguire con FDATool sono i seguenti:

scelta del tipo di filtro; scelta del metodo di progetto del filtro; scelta delle specifiche del filtro; analisi del filtro; conversione della struttura del filtro; importazione ed esportazione dei coefficienti del filtro; salvataggio del filtro.

Andiamo allora ad impostare i vari parametri ed otteniamo:

[z,p,k] = besself(5,10000);num=poly(z)*kden=poly(p)sys=tf(num,den)bode(sys),grid

La cui funzione di trasferimento risulta essere:

Transfer function:

1e020-------------------------------------------------------------------------s^5 + 3.811e004 s^4 + 6.777e008 s^3 + 6.886e012 s^2 + 3.936e016 s + 1e020

Ora definisco la variabile z:

z=tf('z');

Posso andare ad effettuare il campionamento in modo da ottenere la G(z) a partire dalla G(s):

Gz=c2d(sys,10^-6,'tustin');dove 10^-6 rappresenta il tempo di campionamento pari all’inverso della frequenza di clock definita dalle specifiche:

f CLK=¿1 M h z →T CLK¿=1/10^-6=1us

Otteniamo:

Transfer function:

3.066e-012 z^5 + 1.533e-011 z^4 + 3.066e-011 z^3 + 3.066e-011 z^2 + 1.533e-011 z + 3.066e-012--------------------------------------------------------------------------------------------- z^5 - 4.962 z^4 + 9.848 z^3 - 9.774 z^2 + 4.85 z - 0.9626

Come già accennato in precedenza la funzione di trasferimento del filtro di Bessel può essere fattorizzata nel prodotto di funzioni di trasferimento di sistemi del primo e del secondo ordine,ossia il filtro di Bessel può essere espresso come una cascata di

sistemi del primo e del secondo ordine.Ricordando che un tipico sistema del secondo ordine presenta una funzione di trasferimento del tipo:

Il denominatore D(s) è spesso scritto nella forma :

dove Q è il fattore di qualità Q = 1/(2ζ).I poli hanno la forma:

Vediamo qual è il problema nell’avere una risposta massimamente piatta.Consideriamo la forma generale di una fdt H(s):

Possiamo scrivere la f.d.t nella forma:

dove m1(s ) è il polinomio delle potenze pari del numeratore e n1(s) rappresenta il il polinomio delle potenze dispari sempre del numeratore.Lo stesso vale per il denominatore dove, dove m2(s) è il polinomio delle potenze pari del denominatore e n2(s) rappresenta il il polinomio delle potenze dispari sempre del denominatore.

Il modulo della f.d.t quadro può essere scritto come:

Con n=m+1.Sviluppando in serie di Mclauren e con alcuni passaggi si ottiene che affinchè lo spettro sia massimamente piatto,si deve avere:

Il ritardo di gruppo è dato dalla seguente funzione:

Filtri a capacità commutate (Switched capacitor filters)

Lo studio e la realizzazione dei filtri a capacità commutate ha iniziato ad avere un grande interesse a partire dagli anni ’70 in cui vi fu una crescente domanda di filtri attivi monolitici a MOSFET nell’ambito delle telecomunicazioni e della strumentazione.I vantaggi associati a questa tipologia di filtri sono diversi e sono innanzitutto da trovarsi nel fatto che i componenti reattivi possono realizzarsi tutti in forma integrata senza il bisogno di ricorrere all’utilizzo di elementi reattivi esterni come induttori e condensatori discreti.In secondo luogo questi circuiti, realizzabili completamente con tecnologia integrata,permettono la realizzazione di sistemi integrati per un’elaborazione del segnale analogica e non soltanto numerica. La frequenza di risonanza di questi circuiti dipende dalla frequenza di clock e, variando quest’ultima,è possibile realizzare traslazioni in frequenza della risposta del filtro. In ultimo l’eliminazione dei resistori permette di ridurre in parte la potenza dissipata,ma non solo;la realizzazione di resistori in forma integrata infatti,determinerebbe un elevato ingrombo in termini di spazio con conseguente aumento delle dimensioni finali che ricadrebbero negativamente nella compattezza del circuito.In questa parte verrà fatta una panoramica dei circuiti di base dei filtri a capacità commutate partendo dall’analisi di quello che è l’elemento alla base,ossia:la capacità commutata.La capacità commutata rappresenta l’elemento circuitale equivalente al resistore;ma che cos’è un resistore??Un resistore è un elemento circuitale che trasferisce la carica da un nodo all’altro,in quanto fluisce una corrente ossia una variazione di carica nel tempo.Questo trasferimento di carica si può emulare ossia è equivalente ad un elemento costituito da un condensatore ed un interruttore.Se l’interruttore viene fatto commutare da un nodo all’altro con una certa frequenza,ottengo ugualmente un trasferimento di carica da un nodo all’altro.

La capacità commutataL’elemento base dei circuiti a capacità commutate è ,lo dice la parola stessa, la capacità commutata,che indicheremo brevemente anche con l’acronimo SC(dall’inglese switched capacitor). Consideriamo il circuito mostrato nella Figura 1.1(a) costituito dalla capacità C ,da due generatori di tensione V1 e V2 e uno

switch SW1. La capacità C viene connessa alternativamente dallo switch SW1 ai generatori di tensione V1 e V2. Ad ogni commutazione si ha un trasferimento

di carica pari a:

∆Q = C ∆V = C (V1 − V2) (1.1)

in cui il verso di trasferimento dipende dalla differenza delle tensioni V1, V2. Se

V1 >V2 allora si trasferisce carica da V1 → V2, viceversa se V1 <V2 si

trasferisce carica nella direzione V1 ← V2.

Quando l’interruttore è collegato col generatore di sinistra il condensatore si caricherà con una carica pari ad Q1=V 1 C mentre quando è collegato col generatore di destra,il condensatore si caricherà con una carica pari ad Q2=V 2 C .Supponiamo che l’interruttore SW1 venga commutato periodicamente con una

frequenza fclk , in tal caso la carica trasferita nell’unità di tempo dipende dalla

frequenza con cui lo switch viene commutato, ed è data da

fclk ∆Q = fclk C (V1 − V2). (1.2)

Tale carica corrisponde ad una corrente media Iavg pari a:

Iavg = C fclk (V1 − V2) (1.3)

anche se c’è da tener presente che il trasferimento di carica avviene a tutti gli effetti in maniera quantizzata.Se supponiamo però che i generatori V1 e V2 siano due generatori sinusoidali con le rispettive frequenze pari a fV1 e fV2 , il

trasferimento di carica può essere considerato continuo se vale la condizione:

fclk >> fV1 , fV2 . (1.4)

Sotto questa ipotesi la capacità C può essere considerata come un resistore la cui resistenza equivalente Req ,può essere espressa dalla seguente formula:

Req=V 1−V 2

I avg

= 1C f clk

(1.5)

Il circuito di Figura 1.1(a) può essere considerato come il suo equivalente di Figura 1.1(b).In questo modo è possibile realizzare dei circuiti in cui i resistori posso essere sostituiti da capacità commutate.Naturalmente la frequenza a cui dovrà essere commutata la capacità dipende dalla frequenza dei segnali che devono attraversarla,in accordo alla condizione (1.4).Un’implementazione reale del circuito è mostrata nella Figura 1.2(a), dove allo switch SW1 sono stati sostituiti due switch realizzati con due mos a canale

N. In tal caso i due mos sono comandati con i segnali di clock Φ e Φ mostrati in Figura 1.2(b) che non devono essere sovrapposti.I circuiti realizzabili in forma integrata con le capacità commutate sono diversi. Nelle Figure 1.3, 1.4 sono mostrate alcune applicazioni della capacità commutata. Nella Figura 1.3 è mostrato un integratore a capacità commutata,nella Figura 1.4 un integratore-sommatore a capacità commutate.L’analisi di questi circuiti va oltre lo scopo della presente trattazione.

Abbiamo 2 transistor dello stesso tipo,ossia di tipo N,pilotati da 2 clock a fasi non sovrapposte(senza overlap).Durante una fase il condensatore si carica alle tensione V 1 e durante l’altra alla tensione V 2 .

1.2 Filtri a capacità commutate

In letteratura esistono numerose topologie circuitali per la realizzazione di filtri a capacità commutate. Sostanzialmente queste possono essere classificate in tre grandi famiglie:

La prima categoria è costituita dai filtri a capacità commutate che

emulano i filtri a tempo continuo. In tal caso si sostituiscono i resistori

dei filtri attivi RC con delle capacità commutate. Esempi di queste

topologie sono i filtri di Tow-Thomas o il KHN biquad. Il maggior

svantaggio associato a queste topologie si trova nel limitato numero di

filtri disponibili e nell’impossibilità di realizzare fattori Q elevati.

La seconda famiglia è costituita dai filtri a capacità commutate di tipo

ladder. L’idea è di usare circuiti a capacità commutate per simulare la

risposta ad alto Q di una rete passiva a due porte di tipo reattivo. In

pratica si utilizza una rete RLC di tipo ladder per realizzare funzioni di

trasferimento con poli ad elevato Q. Per realizzare filtri di questo tipo

esistono due approcci. Uno consiste nel sostituire i componenti R,L,C

della rete tempo continuo con capacità commutate. Questo approccio

ha il vantaggio di mantenere la bassa sensibilità alla variazione dei

componenti delle rete originale. L’altro approccio consiste nel realizzare

una trasformazione dal dominio s al dominio z della funzione di

trasferimento del filtro originale. Una volta trasformata la funzione di

trasferimento del filtro nel dominio della trasformata Z quest’ultima viene

realizzata mappandola nei componenti tipici dei circuiti a tempo

discreto.

La terza e ultima famiglia di filtri a capacità commutate è quella delle

realizzazioni in cascata a partire da funzioni di trasferimento nel dominio della

trasformata Z.Questo famiglia prende il nome di cascade design.In tal caso,data

una funzione di trasferimento generica nel dominio z, questa viene fattorizzata

in prodotti di funzioni del primo e del secondo ordine. Ognuna di queste

funzioni viene mappata in un circuito del primo o del secondo ordine(biquad)

e queste sezioni cos`ı ottenute vengono messe in cascata per realizzare il filtro

complessivo di ordine più elevato.Questa configurazione permette di realizzare

filtri di ordine n medio-alto(3≤n≤12)con valori di Q compresi tra 1 e 30.

In questa sezione verranno prese in considerazione e analizzate due topologie di base che permettono la realizzazione di filtri a capacità commutata del primo e del secondo o r d i n e. Questi costituiscono i blocchetti funzionali dell’ultima famiglia di filtri presentata e che sarà poi la topologia utilizzata piu` avanti nel progetto.

Filtro SC del primo ordine

Una topologia di filtro SC del primo ordine,è mostrata nella Figura 1.5.

Tale topologia è del tutto generica ed è adatta a realizzare le tre

tipologie principali di filtro: passa-basso(LPF=low pass filter),passa-

alto(HPF=high pass filter) e passa-tutto(APF=all pass filter).

Le etichette presenti sugli switch permettono di capire quando questi vengono attivati. Innanzitutto le etichette Φ1, Φ2 indicano le fasi di

attivazione degli switch e corrispondono rispettivamente ai segnali Φ e Φ presentati in Figura 1.2(b). Si indicano qui con le lettere Φ1, Φ2 per

uniformità di notazione con la maggior parte dei testi di riferimento in materia. Le etichette ΦLP, ΦHP , ΦAP invece determinano se il corrispondente switch deve essere attivo per avere uno specifico comportamento del filtro. L’etichetta ΦLP indica che gli switch corrispondenti devono essere

attivati per avere un comportamento passa-basso, ΦHP per il

comportamento passa-alto e Φ AP per avere un comportamento passa-

tutto. L’utilizzo di questa convenzione rende mutevole la topologia del circuito.

Utilizzando la tecnica dell’analisi del grafo dei segnali a tempo discreto

(SFG) si ottengono le funzioni di trasferimento per i tre casi. Nel caso passa-basso la funzione di trasferimento del circuito diviene:

H LP ( z )=V OUT (z )V ¿ (z )

=C1/ (C¿¿0+C4)

z−C0

C0+C4

(1.6)¿

Per il caso passa-tutto la funzione `e pari a:

H AP ( z )=V OUT ( z )

V ¿ (z )=

−C2

C0+C4

(z−C1+C2

C2

)

z−C0/(C ¿¿0+C4)(1.7)¿

e per il caso passa-alto:

H AP ( z )=V OUT ( z )

V ¿ (z )=

−C3

C0+C4

( z−1 )

z−C0/(C ¿¿0+C4)(1.8)¿

C’`e da notare che queste funzioni hanno tutte lo stesso denominatore e pertanto possono essere derivate a partire da un funzione di trasferimento

generica del primo ordine come:

H ( z )=b1 z+b0

z−a0

dalla quale eguagliando i coefficienti del numeratore e del denominatore si ottengono i valori delle diverse capacità per realizzare i diversi tipi di filtro.

1.2.2Filtro SC del secondo ordine

Per la realizzazione di filtri switched capacitor del secondo ordine la

letteratura propone numerose soluzioni circuitali. Le funzioni di

trasferimento del secondo ordine vengono spesso chiamate funzioni

biquadratiche o brevemente biquad. Per questo motivo queste topologie

molto spesso vengono indicate col nome di celle biquad. Fra le tante

topologie esistenti in letteratura in questa sezione viene presentata

quella di Fleischer e Laker. Lo schema elettrico di tale topologia `e

mostrato in Figura 1.6.

La scelta di tale cella è stata motivata dal fatto che diverse

topologie proposte vengono ottimizzate per particolari valori del Q.

Infatti esistono celle biquad ottimizzate per valori di Q maggiori di 1

e celle ottimizzate per valori di Q minori dell’unità. La cella di

Fleischer e Laker permette di realizzare qualsiasi funzione di

trasferimento del secondo ordine senza porre nessun vincolo a priori

sulla posizione degli zeri e dei poli.

Si può notare che nello schema circuitale le capacità K ed L sono

mostrate in dei rami tratteggiati. Queste capacità vengono aggiunte per

aumentare la flessibilità del circuito e raramente vengono utilizzate

nelle soluzioni circuitali reali. La funzione di trasferimento complessiva

del circuito mostrato

in Figura 1.6 è la seguente:

V OUT ( z)V ¿ ( z )

=+−D I−[ D ( I +J )−A G ] z−1+(D J−A H ¿¿ z−2¿¿ D ( B+F )−[2BD−A (C+E )+DF ] z−1+(BD−AE ) z−2)¿

(1.10)

Dove si ha che:

G=G+L H=H+L I=I+ K J=J +L(1.11)

Nel caso in cui le capacità K ed L non vengono utilizzate le capacità G , H , I , J si trasformano nelle corrispondenti G,H,I,J e i corrispondenti rami(quelli tratteggiati) vengono aperti. Le capacitµa A, B, C e D costituiscono il loop dell'integratore principale e definiscono la posizione dei poli.Del circuito di Fleischer-Laker spesso vengono utilizzate due particolarirealizzazioni chiamate rispettivamente “Tipo 1E" e “Tipo 1F" a seconda che vengano messe a zero le capacità F oppure E. In ogni caso queste due topologie hanno le capacità K ed L poste a zero. Per la topologia 1E la funzione di trasferimento che si ottiene è la seguente:

V OUT ( z)V ¿ ( z )

=DI+( AG−DJ−DI ) z−1+( JD−AH ) z−2

BD+ ( AC+ AE−2 BD ) z−1+( BD−AE ) z−2 (1.12 )

mentre per la topologia 1F la (1.10) diviene:

V OUT ( z)V ¿ ( z )

=(CI+FG−BG )+(BG+BH+ FH−CJ ) z−1−BH z−2

( BD+ DF )+( AC−2 BD−DF ) z−1+BD z−2 (1.13)

PROGETTO DEL FILTRO

Tesina Micro e Nano4

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