Tesina Atmosfera
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8202019 Tesina Atmosfera
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Universitagrave degli Studi di LrsquoAquila
Tesina di Fisica dellrsquoAtmosfera
Circolazione Atmosferica Tropicale
Autore
Maddalena Cataldo
Professore
Guido Visconti
5 agosto 2014
8202019 Tesina Atmosfera
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Indice
1 Introduzione 2
2 Circolazione di Hadley 4
21 Circolazione simmetrica non lineare 5
22 Grafici ed altre considerazioni 1023 Vorticitagrave 1224 Grafici 15
3 Risoluzione per via numerica 17
31 Programma 1732 Risultati 19
4 Appendice 25
41 Vento termico 2542 Approssimazione di Shallow Water 26
43 Metodo Perturbativo 2744 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica 2745 Media Zonale 29
5 Bibliografia 30
1
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1 Introduzione
La regione equatoriale della Terra egrave maggiormente insoleggiata rispetto alle regioni polariquesto provoca un maggiore riscaldamento dellrsquoatmosfera che si trova al di sopra di essaLa differenza di temperatura rispetto allrsquoaria che si trova a quote maggiori fa sigrave che lrsquoariacalda piugrave leggera tenda a salire in quota in questo suo movimento viene perograve deviata dalla
accelerazione di Coriolis provocata dal moto di rotazione della Terra che la trasporta versolatitudini maggiori Cosigrave vengono a generarsi dei getti di corrente detta zonale nella zonasubtropicale che rimane localizzata al di sotto del tropico
Esaminando lrsquoemisfero nord si osserva che la forza di Coriolis provoca una deviazioneverso destra di questa massa di aria Lrsquoaria che egrave salita di quota nel suo percorso tendea raffreddarsi arrivata intorno a 30 gradi Nord tende nuovamente a ridiscendere essendodiventata piugrave pesante il movimento della discesa viene deviato e si sviluppa in direzioneequatoriale Il moto di questa massa drsquoaria contrario al primo genera dei caratteristiciventi chiamati alisei
Il processo completo rappresenta un moto convettivo della massa drsquoaria che prende il
nome di circolazione di Hadley e ne parleremo nel prossimo paragrafoLo stesso processo si sviluppa nellrsquoemisfero meridionale con delle celle convettive la cuiestensione partendo dallrsquoequatore arriva fino al tropico del Sud e rimane al di sopra diquesto fino a circa 30 gradi Sud Il moto di circolazione complessivo risulta simmetricorispetto alla linea equatoriale e localizzato nella fascia tropicale Nel moto convettivo sigenerano due celle macroscopiche denominate celle di Hadley
La regione in cui le due circolazioni settentrionale e meridionale si incontrano non coin-cide esattamente con il parallelo zero La simmetria non egrave esattamente rispetto allrsquoequatorein quanto ci sono diversi altri effetti che ne provocano delle variazioni Questa regione vienedenominata zona di convergenza intertropicale generalmente abbreviata con ITCZ I suoispostamenti sono variabili annualmente la posizione media dellrsquoITCZ si trova leggermentea Nord dellrsquoEquatore ma nel mese di Ottobre si sposta verso Sud e nel mese di Aprile versoNord Nella figura sono riportati i due diversi andamenti della linea ITCZ a seconda delperiodo dellrsquoanno
2
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Figura 1 Differenti andamenti della linea di ITCZ durante i mesi di giugno (linea continua)e di luglio (linea tratteggiata) messi a confronto fra loro
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2 Circolazione di Hadley
Il nome della cella egrave stato assegnato in onore di George Hadley un avvocato inglese emeteorologo amatoriale del 1700 che per primo interpretograve correttamente la causa delladirezione prevalentemente occidentale degli alisei nelle regioni subtropicali Come abbiamovisto la circolazione complessiva egrave quasi interamente determinata dagli effetti della forza di
CoriolisI venti che spirano da queste aree sono costanti e diretti verso lrsquoEquatore dove esiste
una fascia di basse pressioni a causa dellrsquoelevatissima temperatura Essi subiscono unadeviazione verso Ovest che li orienta da Nord-Est nellrsquoemisfero settentrionale e da Sud-Estnellrsquoemisfero meridionale si tratta rispettivamente degli Alisei di Nord-Est che soffianoregolarmente nellrsquoemisfero settentrionale e degli Alisei di Sud-Est che soffiano regolarmentenellrsquoemisfero meridionale per tutto lrsquoanno con velocitagrave pressocheacute costante intorno ai 12nodi
Spirano con direzione opposta alla rotazione della terra e tendono quindi a rallentarla Ilmomento angolare totale deve essere infatti costante La circolazione cosigrave descritta egrave anche
detta diretta percheacute dovuta al riscaldamento differenziale dei tropiciNellrsquoimmagine seguente egrave riportato uno schema delle celle di Hadley che si sviluppano
simmetricamente rispetto allrsquoequatore e che si estendono fino ad una latitudine di circa 30o
Sud e 30o Nord Si vede inoltre il sistema di riferimento che verragrave utilizzato durante tuttala trattazione
Mentre in quella successiva viene riportato un dettaglio del processo che fa sigrave che la celladi Hadley si metta in moto osserviamo come il tutto sia provocato dalla forza di Coriolische agisce sulle masse drsquoaria in moto verso quote piugrave basse o piugrave alte
Figura 2 Schema della circolazione di Hadley simmetrica rispetto allrsquoequatore Viene inoltre
presentato il sistema di coordinate che viene utilizzato in tutta la trattazione
4
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Figura 3 Semplice schema dei processi che danno origine alla circolazione di Hadley Notia-mo lrsquoeffetto della forte insolazione nella zona equatoriale e gli spostamenti simmetrici dellemasse drsquoaria in seguito allrsquoazione della forza di Coriolis
21 Circolazione simmetrica non lineare
Il modello della circolazione simmetrica non lineare egrave stato proposto nel 2001 da Sobel et alper studiare la circolazione di Hadley Si basa sullrsquoapprossimazione di Debole Gradiente di
Temperatura generalmente abbraviata con WTG (Weak Temperature Gradient ) che rappre-senta un modello di equilibrio caratteristico dei tropici Questa approssimazione impone cheil gradiente di temperatura ai tropici sia molto basso e viene posto nullo al fine di risolverele equazioni in maniera semplificata
Il problema di cui ci occupiamo egrave ricavare lrsquoequazione del moto di una generica cella diHadley durante la convezione basandoci su un modello molto esemplificato che non rispecchiala realtagrave ma che fornisce unrsquoidea delle linee generali del processo
La soluzione piugrave semplice egrave ricavata escludendo in un primo momento lrsquoattrito viscosodella cella di Hadley con il suolo terrestre
Premettiamo che in questo scritto svilupperemo la trattazione utilizzando sempre le coor-dinate locali (xyz ) e non quelle sferiche (φ z ) per una questione di comoditagrave e soprattuttodal momento che verragrave ribadita piugrave volte lrsquoapprossimazione di piccoli angoli per cui vale lasemplice relazione dy ≃ adφ
La prima equazione necessaria egrave quella del vento termico che viene ricavata dalle equazionidi vento geostrofico
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
dove u egrave la velocitagrave al livello piugrave in alto T egrave la temperatura g lrsquoaccelerazione di gravitagrave ed f
il parametro di Coriolis definito come f = 2Ωsinφ Integrando fino ad unrsquoaltezza H costante
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otteniamo
minusf u = gH
T 0
partT
party
dove T 0 egrave la temperatura al livello zero Assumo ora lrsquoapprossimazione del piano β in cuif = f 0 + βy ed essendoci posti vicino allrsquoequilibrio allora vale f 0 ≃ 0 da cui lrsquoequazionediventa
minusβyu = gH T 0
partT party
La seconda equazione deriva dalla conservazione dellrsquoimpulso o legge del moto
partu
partt + u
partu
partx + v
partu
party = f v minus 1
ρ
partp
partx
in cui p egrave la pressione e ρ la densitagrave del fluido Applichiamo la media zonale (vedi Appendice(35)) e valutiamo lo stato stazionario viene cosigrave eliminata la derivata rispetto alla coordinatax e rispetto al tempo
v983080
partuparty minus f
983081 = 0
Lrsquoultima equazione necessaria per la risoluzione egrave quella relativa alla termodinamica del siste-ma che determina la variazione totale della temperatura potenziale θ (definita nellrsquoAppendice34)
Dθ
Dt =
θE minus θ
τ
Abbiamo assunto cosigrave lrsquoapprossimazione di Cooling Newtoniano in cui il profilo della tempe-ratura di equilibrio egrave θE e il sistema tende a rilassare fino a questa in un tempo caratteristico
indicato con τ Questo determina che in zone in cui la temperatura effettiva θ egrave maggiore diquella di equilibrio allora la derivata completa egrave positiva e il sistema si raffredda e viceversase la θ egrave minore di θE il sistema si scalda per arrivare allrsquoequilibrio (vedi Fig4)
Esplicitando la derivata totale e ponendoci in condizioni stazionarie si ottiene u partθpartx
+v partθparty
=θEminusθτ
Sapendo che partupartx
+partvparty
= 0 allora si ottiene facilmente che lrsquoequazione precedente egrave uguale
a part (uθ)partx
+ part (vθ)party
= θEminusθτ
imponendo poi la media zonale si elimina la derivata in x Integrandodalla latitudine zero fino ad H e supponendo che il termine θE minus θ sia costante con la quotae che il primo membro sia diverso da zero nello spessore di aria δ che egrave quello che si trova inalta quota rispetto alla complessiva altezza della troposfera e di cui stiamo considerando ilmoto otteniamo
δ ∆zpartv
party =
H
τ (θE minus θ)
dove ∆z egrave la differenza di temperatura potenziale tra la superficie e lo strato superiore dialtezza H Tenendo presente che la temperatura T egrave legata alla temperatura potenziale dallarelazione seguente
T = θ( ptps)RC p
Dove pt e ps sono rispettivamente i valori delle pressioni della superficie e della tropopausalrsquoequazione risulta corretta
Abbiamo allora presentato le equazioni fondamentali Le soluzioni che descrivono ilproblema sono gli andamenti della velocitagrave meridionale v della temperatura potenziale θ (che
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successivamente indicheremo con η) della velocitagrave zonale u in funzione della coordinata yLa risoluzione numerica viene presentata nel prossimo capitolo in questo invece ne otteniamola soluzione analiticamente
La prima equazione egrave possibile integrarla banalmente ottenendo la semplice equazionedella conservazione del momento angolare
u = 1
2βy2 + cost
Infatti sostituendo β = 2Ωcosφa sim 2Ωa e y sim asinφ dove a rappresenta il raggio terrestre
u = 1
2
2Ω
a (asinφ)2 = Ωasin2φ
e ricordando lrsquoequazione del momento angolare Ωa2 = acosφ(Ωacosφ + u) vediamo chericavando la velocitagrave u ed imponendo il limite di angoli piccoli per cui sinφ sim φ si ottieneesattamente la stessa equazione
u = aΩsin2φcosφ ≃ Ωaφ2
Dalle osservazioni sulla temperatura si evince che lrsquoandamento del rapporto tra θE e unatemperatura di riferimento θ0 in funzione della coordinata y egrave approssimabile ad una funzioneanalitica del tipo
θE (φ z )
θ0= 1minus 2
3∆yP 2(sinφ) + ∆z
983080 z
H minus 1
2
983081Dove P 2 egrave il secondo polinomio di Legendre P 2(sinφ) = (3sin2φminus 1)2 ∆y egrave la differenza ditemperatura tra il polo e lrsquoequatore Per cui si vede che per z = H2 e nellrsquoapprossimazionedi piccoli angoli y = asinφ
≃aφ e una volta applicata una media verticale
θE θ0
= 1 + 1
3∆y minus∆y
(y
2
10486172
espressione che puograve essere anche scritta come
θE = θE 0 minus ∆θy
2
2
in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y
Tornando allrsquoequazione del vento termico che avevamo trovato possiamo ora integrarla
imponendo le condizione al contorno Fissiamo che oltre una determinata latitudine indicatacon yH la cella di Hadley non puograve sconfinare perciograve per y ge yH vale v = 0 Alla stessalatitudine vale inoltre che θ = θE Lrsquoequazione del vento termico integrata egrave
minus1
2β 2y3 =
gH
T 0
partT
party rArr
partT
party = minus T 0
2gH β 2y3 = minus T 0
2L4ρ
y3
dove con Lρ = (radic
gHb)12 indichiamo il raggio di Rossby equatoriale Lrsquointegrazione su ye la sostituzione di T con la sua espressione in funzione della temperatura potenziale ci dagrave
unrsquoequazione per questrsquoultimaθ = C minus Dy4
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dove C egrave la costante che deriva dallrsquointegrazione determinata imponendo le precendenticondizioni e D egrave definita come
D =
983080 ps pt
983081RC p T 08L4
ρ
Ricaviamo cosigrave lrsquoespressione totale della θ
θ = θE (yH ) + D(y4H + y4) = θE 0 minus ∆θ
983080yH a
2983081
+ D(y4H + y4)
In questo modo posso ricavare la velocitagrave meridionale v in funzione di y sostituendo laprecedente espressione
v(y) = H
δ ∆zτ
983131∆θ
a2
983080y2H y minus
y3
3
983081+ D
983080y5
5 minus y4
H y
983081983133 (1)
la costante di integrazione egrave stata posta nulla percheacute allrsquoequatore per ragioni di simmetriav = 0 Inoltre come giagrave detto v = 0 anche per y = yH da cui si ottiene
yH =
983080 5∆θ
6a2D
98308112
Imponendo che oltre la cella di Hadley la velocitagrave zonale egrave quella che corrisponde allatemperatura di equilibrio q E otteniamo
uE = gH ∆y
Ωθ0a
In questo modo abbiamo trovato anche lrsquoandamento delle velocitagrave in quota dove vieneconservato il momento angolare mentre ora vogliamo trovare lrsquoandamento di quella zonalein prossimitagrave della superficie terrestre In questa regione perograve entra in gioco lrsquoattrito conil suolo e bisogna includere la sua influenza sulle equazioni del moto e termodinamiche Inquesta regione stiamo quindi trattando il moto degli alisei
Riscriviamo allora lrsquoequazione del moto sostituendo la derivata della velocitagrave v rispettoalla latitudine y
partu
partt + v
partu
party minus uv
a tanφ = f v +
part
partz 983080K partu
partz 983081
Questa equazione puograve essere vista come se al parametro di Coriolis f si vada a sostituireun parametro di Coriolis formato da un termine aggiuntivo f + utanφa Ricordiamoche il parametro f vale f = 2Ωsinφ e che quindi allrsquoequatore va a zero In questo modo iltermine aggiuntivo presente fa sigrave che le forze di Coriolis e di pressione non sono piugrave bilanciateSecondo questa visione la forza di Coriolis ha assunto quindi il valore pari a uvacosφ
partu
partt + v
partu
party minus v
(u
atanφ + f
1048617 =
part
partz
983080K
partu
partz
983081
Il termine al secondo membro reppresenta la derivata del flusso della quantitagrave di moto Il
fluido al suo interno presenta un gradiente di velocitagrave partupartz questo provoca quindi un flussodi quantitagrave di moto dalla superficie verso il fondo Per la legge di diffusione consideriamo il
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flusso come proporzionale al gradiente di velocitagrave con costante K La derivata si giustificapoicheacute si osserva che il primo membro dellrsquoequazione rappresenta la divergenza del momentoassociato allrsquoatomosfera Infatti sappiamo che lrsquoequazione complessiva deve rappresentare laconservazione del momento angolare totale del sistema aria-superficie terrestre che si indicain generale con la divergenza del momento angolare posta uguale a zero
nabla middotM = 0
di conseguenza nel nostro caso il primo membro rappresenta la divergenza del momentodellrsquoatmosfera e il secondo membro il momento dissipato dalla superficie In altre parole egravelrsquouguaglianza tra la divergenza orizzontale e quella verticale
Possiamo ora riscrivere lrsquoequazione utilizzando la divergenza e ricordando che nabla middot u = 0
nabla middot (uu) minus uv
a tanφ minus f v minus part
partz
983080K
partu
partz
983081 = 0 (2)
percheacute osserviamo che nabla middot (uu) = u middot nablau + unabla middot u = u middot nablau = u(partupartx) + v(partuparty)
Lrsquoespressione del momento M egrave M = Ωa2
cos2
φ+uacosφ da questo e dal fatto che M prop usi ottiene che lrsquoequazione precedente puograve essere riscritta nel seguente modo
nabla middot (uM ) = K part 2M
partz 2 (3)
Integrando questa equazione rispetto alla quota z ed indicando con U la velocitagrave u integratatra gli estremi z = 0 e z = H
nabla middot (UM ) = K partM
partz
che equivale a scrivere
U partM partx
+ V part M party
= K partM partz
e facendo la media zonale si elimina la derivata in x In questo modo possiamo ricavarelrsquoandamento della velocitagrave u in prossimitagrave del suolo u(0) Innanzitutto osserviamo che
V part M
party =
partvM
party
e per la definizione del momento angolare si ottengono le seguenti uguaglianze
part (vM )
party sim part
party (vau) = K
partM
partz = K
partau
partz = minusaCu(0)
dove abbiamo imposto le condizioni al contorno in superficie e alla sommitagrave per cui la velocitagravezonale risulta nulla In questo modo si ottiene che lrsquoeffetto dellrsquoattrito relativo allrsquointerazionecon la superficie terrestre egrave proporzionale al raggio della Terra a e alla velocitagrave in prossimitagravedel suolo u(z = 0) Ricaviamo allora lrsquoandamento di questrsquoultima in funzione della latitudinederivando lrsquoequazione della velocitagrave v che avevamo precedentemente ricavato
Ottenendo infine
u(0) = minus 5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
1048667983080
y
yH 9830812
minus 10
3 983080 y
yH 9830814
+ 7
3 983080 y
yH 98308161048669
(4)
Abbiamo cosigrave ricavato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in prossimitagrave della superficie
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22 Grafici ed altre considerazioni
Riportiamo nel primo grafico lrsquoandamento della temperatura potenziale in funzione dellalatitudine y Nel secondo grafico egrave presentato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in quota esulla superficie terrestre rispettivamente di colori rosso e blu
Egrave stato utile normalizzare le grandezze tramite degli opportuni fattori La velocitagrave zonale
in quota viene divisa per il valore di uE precedentemente ricavato
uE = gH ∆y
Ωθ0a
mentre sulla superficie viene normalizzata tramite il fattore
5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
y
theta
Etheta
340
330
320
310
T e m
p e r a t u r e ( K )
Figura 4 Temperatura potenziale Viene riportata in questo grafico il profilo di temperatura
potenziale della cella di Hadley in funzione della coordinata y e il profilo di temperatura diequilibrio indicato con thetaE Entrambi non sono normalizzati la temperatura egrave misuratain gradi Kelvin
10
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15
10
05
y
00
u(0)
u(H)
Figura 5 Velocitagrave zonale normalizzata Viene riportata in questo grafico la velocitagrave zonalenormalizzata con i coefficienti appena presentati nei due andamenti a quota H (linea rossa)e al livello del mare di altitudine 0 (linea blu) Si noti nel primo plot inizialmente lrsquoandamentoparabolico e successivamente la discontinuitagrave in corrispondenza della latitudne limite dellacella di Hadley (il valore del quale in questo grafico non egrave indicato percheacute non indicativonelle dimensioni del plot in questione ma che successivamente verragrave ricavato)
Osserviamo nel primo grafico la latitudine limite indicata nello scritto come yH (nonindicata sul grafico) punto in cui le due temperature si uguagliano dopo delle appenaaccennate oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio Nel secondo grafico osserviamoinnanzitutto lrsquoandamento della velocitagrave in quota che per il tipo di equazione introdottarisulta avere una discontinuitagrave proprio nel punto yH dopo del quale assume il valore costante10 essendo normalizzata ad uE Nello stesso grafico osserviamo poi la differente scala dellavelocitagrave zonale sulla superficie che pur con la costante di normalizzazione diversa risultaessere di intensitagrave molto minore In particolare di questo plot si osserva la presenza di valori
positivi e negativi questi ultimi rappresentano le masse drsquoaria che prendono il nome di alisei
A questo punto prima di procedere egrave interessante evidenziare la validitagrave dei risultatiottenuti tramite lrsquointroduzione di alcuni dati osservativi Dallrsquoarticolo di Sobel e Schneider(vedi Bibliografia) pervengono i seguenti valori
τ = 37days H = 16km δ = 4km T 0 = 300K ∆z = 60K ∆y = 100K θ0 = 330K
sostituendoli otteniamoyH ≃ 27000Km
che tramite lrsquoequazione del cambio di coordinate definisce la latitudine limite come φH ≃ 24oQuesto egrave abbastanza importante perchegrave riconferma lrsquoipotesi di piccoli angoli che avevamo
11
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introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y
23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione
Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido
Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)
Du
Dt minusf v =
minus
1
ρ
partP
partx
=
minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti
Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi
L =
radic g
f
T = 1
f
Allora la velocitagrave normalizzata saragrave
vprime = f 2radic
gv
Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partvpartt
+ v partvparty
+ f u = minusg parthparty minus αv (5)
A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave
parth
partt +
part
partx
9831319830801 +
h
H
983081u
983133+
part
party
9831319830801 +
h
H
983081v
983133 = 0
Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH
partηpartt
+ part partx
[(1 + η) u] + part party
[(1 + η) v] = 0 (6)
12
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
16
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
17
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 1931
Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
18
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2031
xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2131
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
20
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2231
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
21
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
22
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
23
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
24
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
26
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
27
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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Indice
1 Introduzione 2
2 Circolazione di Hadley 4
21 Circolazione simmetrica non lineare 5
22 Grafici ed altre considerazioni 1023 Vorticitagrave 1224 Grafici 15
3 Risoluzione per via numerica 17
31 Programma 1732 Risultati 19
4 Appendice 25
41 Vento termico 2542 Approssimazione di Shallow Water 26
43 Metodo Perturbativo 2744 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica 2745 Media Zonale 29
5 Bibliografia 30
1
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1 Introduzione
La regione equatoriale della Terra egrave maggiormente insoleggiata rispetto alle regioni polariquesto provoca un maggiore riscaldamento dellrsquoatmosfera che si trova al di sopra di essaLa differenza di temperatura rispetto allrsquoaria che si trova a quote maggiori fa sigrave che lrsquoariacalda piugrave leggera tenda a salire in quota in questo suo movimento viene perograve deviata dalla
accelerazione di Coriolis provocata dal moto di rotazione della Terra che la trasporta versolatitudini maggiori Cosigrave vengono a generarsi dei getti di corrente detta zonale nella zonasubtropicale che rimane localizzata al di sotto del tropico
Esaminando lrsquoemisfero nord si osserva che la forza di Coriolis provoca una deviazioneverso destra di questa massa di aria Lrsquoaria che egrave salita di quota nel suo percorso tendea raffreddarsi arrivata intorno a 30 gradi Nord tende nuovamente a ridiscendere essendodiventata piugrave pesante il movimento della discesa viene deviato e si sviluppa in direzioneequatoriale Il moto di questa massa drsquoaria contrario al primo genera dei caratteristiciventi chiamati alisei
Il processo completo rappresenta un moto convettivo della massa drsquoaria che prende il
nome di circolazione di Hadley e ne parleremo nel prossimo paragrafoLo stesso processo si sviluppa nellrsquoemisfero meridionale con delle celle convettive la cuiestensione partendo dallrsquoequatore arriva fino al tropico del Sud e rimane al di sopra diquesto fino a circa 30 gradi Sud Il moto di circolazione complessivo risulta simmetricorispetto alla linea equatoriale e localizzato nella fascia tropicale Nel moto convettivo sigenerano due celle macroscopiche denominate celle di Hadley
La regione in cui le due circolazioni settentrionale e meridionale si incontrano non coin-cide esattamente con il parallelo zero La simmetria non egrave esattamente rispetto allrsquoequatorein quanto ci sono diversi altri effetti che ne provocano delle variazioni Questa regione vienedenominata zona di convergenza intertropicale generalmente abbreviata con ITCZ I suoispostamenti sono variabili annualmente la posizione media dellrsquoITCZ si trova leggermentea Nord dellrsquoEquatore ma nel mese di Ottobre si sposta verso Sud e nel mese di Aprile versoNord Nella figura sono riportati i due diversi andamenti della linea ITCZ a seconda delperiodo dellrsquoanno
2
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Figura 1 Differenti andamenti della linea di ITCZ durante i mesi di giugno (linea continua)e di luglio (linea tratteggiata) messi a confronto fra loro
3
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2 Circolazione di Hadley
Il nome della cella egrave stato assegnato in onore di George Hadley un avvocato inglese emeteorologo amatoriale del 1700 che per primo interpretograve correttamente la causa delladirezione prevalentemente occidentale degli alisei nelle regioni subtropicali Come abbiamovisto la circolazione complessiva egrave quasi interamente determinata dagli effetti della forza di
CoriolisI venti che spirano da queste aree sono costanti e diretti verso lrsquoEquatore dove esiste
una fascia di basse pressioni a causa dellrsquoelevatissima temperatura Essi subiscono unadeviazione verso Ovest che li orienta da Nord-Est nellrsquoemisfero settentrionale e da Sud-Estnellrsquoemisfero meridionale si tratta rispettivamente degli Alisei di Nord-Est che soffianoregolarmente nellrsquoemisfero settentrionale e degli Alisei di Sud-Est che soffiano regolarmentenellrsquoemisfero meridionale per tutto lrsquoanno con velocitagrave pressocheacute costante intorno ai 12nodi
Spirano con direzione opposta alla rotazione della terra e tendono quindi a rallentarla Ilmomento angolare totale deve essere infatti costante La circolazione cosigrave descritta egrave anche
detta diretta percheacute dovuta al riscaldamento differenziale dei tropiciNellrsquoimmagine seguente egrave riportato uno schema delle celle di Hadley che si sviluppano
simmetricamente rispetto allrsquoequatore e che si estendono fino ad una latitudine di circa 30o
Sud e 30o Nord Si vede inoltre il sistema di riferimento che verragrave utilizzato durante tuttala trattazione
Mentre in quella successiva viene riportato un dettaglio del processo che fa sigrave che la celladi Hadley si metta in moto osserviamo come il tutto sia provocato dalla forza di Coriolische agisce sulle masse drsquoaria in moto verso quote piugrave basse o piugrave alte
Figura 2 Schema della circolazione di Hadley simmetrica rispetto allrsquoequatore Viene inoltre
presentato il sistema di coordinate che viene utilizzato in tutta la trattazione
4
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Figura 3 Semplice schema dei processi che danno origine alla circolazione di Hadley Notia-mo lrsquoeffetto della forte insolazione nella zona equatoriale e gli spostamenti simmetrici dellemasse drsquoaria in seguito allrsquoazione della forza di Coriolis
21 Circolazione simmetrica non lineare
Il modello della circolazione simmetrica non lineare egrave stato proposto nel 2001 da Sobel et alper studiare la circolazione di Hadley Si basa sullrsquoapprossimazione di Debole Gradiente di
Temperatura generalmente abbraviata con WTG (Weak Temperature Gradient ) che rappre-senta un modello di equilibrio caratteristico dei tropici Questa approssimazione impone cheil gradiente di temperatura ai tropici sia molto basso e viene posto nullo al fine di risolverele equazioni in maniera semplificata
Il problema di cui ci occupiamo egrave ricavare lrsquoequazione del moto di una generica cella diHadley durante la convezione basandoci su un modello molto esemplificato che non rispecchiala realtagrave ma che fornisce unrsquoidea delle linee generali del processo
La soluzione piugrave semplice egrave ricavata escludendo in un primo momento lrsquoattrito viscosodella cella di Hadley con il suolo terrestre
Premettiamo che in questo scritto svilupperemo la trattazione utilizzando sempre le coor-dinate locali (xyz ) e non quelle sferiche (φ z ) per una questione di comoditagrave e soprattuttodal momento che verragrave ribadita piugrave volte lrsquoapprossimazione di piccoli angoli per cui vale lasemplice relazione dy ≃ adφ
La prima equazione necessaria egrave quella del vento termico che viene ricavata dalle equazionidi vento geostrofico
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
dove u egrave la velocitagrave al livello piugrave in alto T egrave la temperatura g lrsquoaccelerazione di gravitagrave ed f
il parametro di Coriolis definito come f = 2Ωsinφ Integrando fino ad unrsquoaltezza H costante
5
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otteniamo
minusf u = gH
T 0
partT
party
dove T 0 egrave la temperatura al livello zero Assumo ora lrsquoapprossimazione del piano β in cuif = f 0 + βy ed essendoci posti vicino allrsquoequilibrio allora vale f 0 ≃ 0 da cui lrsquoequazionediventa
minusβyu = gH T 0
partT party
La seconda equazione deriva dalla conservazione dellrsquoimpulso o legge del moto
partu
partt + u
partu
partx + v
partu
party = f v minus 1
ρ
partp
partx
in cui p egrave la pressione e ρ la densitagrave del fluido Applichiamo la media zonale (vedi Appendice(35)) e valutiamo lo stato stazionario viene cosigrave eliminata la derivata rispetto alla coordinatax e rispetto al tempo
v983080
partuparty minus f
983081 = 0
Lrsquoultima equazione necessaria per la risoluzione egrave quella relativa alla termodinamica del siste-ma che determina la variazione totale della temperatura potenziale θ (definita nellrsquoAppendice34)
Dθ
Dt =
θE minus θ
τ
Abbiamo assunto cosigrave lrsquoapprossimazione di Cooling Newtoniano in cui il profilo della tempe-ratura di equilibrio egrave θE e il sistema tende a rilassare fino a questa in un tempo caratteristico
indicato con τ Questo determina che in zone in cui la temperatura effettiva θ egrave maggiore diquella di equilibrio allora la derivata completa egrave positiva e il sistema si raffredda e viceversase la θ egrave minore di θE il sistema si scalda per arrivare allrsquoequilibrio (vedi Fig4)
Esplicitando la derivata totale e ponendoci in condizioni stazionarie si ottiene u partθpartx
+v partθparty
=θEminusθτ
Sapendo che partupartx
+partvparty
= 0 allora si ottiene facilmente che lrsquoequazione precedente egrave uguale
a part (uθ)partx
+ part (vθ)party
= θEminusθτ
imponendo poi la media zonale si elimina la derivata in x Integrandodalla latitudine zero fino ad H e supponendo che il termine θE minus θ sia costante con la quotae che il primo membro sia diverso da zero nello spessore di aria δ che egrave quello che si trova inalta quota rispetto alla complessiva altezza della troposfera e di cui stiamo considerando ilmoto otteniamo
δ ∆zpartv
party =
H
τ (θE minus θ)
dove ∆z egrave la differenza di temperatura potenziale tra la superficie e lo strato superiore dialtezza H Tenendo presente che la temperatura T egrave legata alla temperatura potenziale dallarelazione seguente
T = θ( ptps)RC p
Dove pt e ps sono rispettivamente i valori delle pressioni della superficie e della tropopausalrsquoequazione risulta corretta
Abbiamo allora presentato le equazioni fondamentali Le soluzioni che descrivono ilproblema sono gli andamenti della velocitagrave meridionale v della temperatura potenziale θ (che
6
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successivamente indicheremo con η) della velocitagrave zonale u in funzione della coordinata yLa risoluzione numerica viene presentata nel prossimo capitolo in questo invece ne otteniamola soluzione analiticamente
La prima equazione egrave possibile integrarla banalmente ottenendo la semplice equazionedella conservazione del momento angolare
u = 1
2βy2 + cost
Infatti sostituendo β = 2Ωcosφa sim 2Ωa e y sim asinφ dove a rappresenta il raggio terrestre
u = 1
2
2Ω
a (asinφ)2 = Ωasin2φ
e ricordando lrsquoequazione del momento angolare Ωa2 = acosφ(Ωacosφ + u) vediamo chericavando la velocitagrave u ed imponendo il limite di angoli piccoli per cui sinφ sim φ si ottieneesattamente la stessa equazione
u = aΩsin2φcosφ ≃ Ωaφ2
Dalle osservazioni sulla temperatura si evince che lrsquoandamento del rapporto tra θE e unatemperatura di riferimento θ0 in funzione della coordinata y egrave approssimabile ad una funzioneanalitica del tipo
θE (φ z )
θ0= 1minus 2
3∆yP 2(sinφ) + ∆z
983080 z
H minus 1
2
983081Dove P 2 egrave il secondo polinomio di Legendre P 2(sinφ) = (3sin2φminus 1)2 ∆y egrave la differenza ditemperatura tra il polo e lrsquoequatore Per cui si vede che per z = H2 e nellrsquoapprossimazionedi piccoli angoli y = asinφ
≃aφ e una volta applicata una media verticale
θE θ0
= 1 + 1
3∆y minus∆y
(y
2
10486172
espressione che puograve essere anche scritta come
θE = θE 0 minus ∆θy
2
2
in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y
Tornando allrsquoequazione del vento termico che avevamo trovato possiamo ora integrarla
imponendo le condizione al contorno Fissiamo che oltre una determinata latitudine indicatacon yH la cella di Hadley non puograve sconfinare perciograve per y ge yH vale v = 0 Alla stessalatitudine vale inoltre che θ = θE Lrsquoequazione del vento termico integrata egrave
minus1
2β 2y3 =
gH
T 0
partT
party rArr
partT
party = minus T 0
2gH β 2y3 = minus T 0
2L4ρ
y3
dove con Lρ = (radic
gHb)12 indichiamo il raggio di Rossby equatoriale Lrsquointegrazione su ye la sostituzione di T con la sua espressione in funzione della temperatura potenziale ci dagrave
unrsquoequazione per questrsquoultimaθ = C minus Dy4
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dove C egrave la costante che deriva dallrsquointegrazione determinata imponendo le precendenticondizioni e D egrave definita come
D =
983080 ps pt
983081RC p T 08L4
ρ
Ricaviamo cosigrave lrsquoespressione totale della θ
θ = θE (yH ) + D(y4H + y4) = θE 0 minus ∆θ
983080yH a
2983081
+ D(y4H + y4)
In questo modo posso ricavare la velocitagrave meridionale v in funzione di y sostituendo laprecedente espressione
v(y) = H
δ ∆zτ
983131∆θ
a2
983080y2H y minus
y3
3
983081+ D
983080y5
5 minus y4
H y
983081983133 (1)
la costante di integrazione egrave stata posta nulla percheacute allrsquoequatore per ragioni di simmetriav = 0 Inoltre come giagrave detto v = 0 anche per y = yH da cui si ottiene
yH =
983080 5∆θ
6a2D
98308112
Imponendo che oltre la cella di Hadley la velocitagrave zonale egrave quella che corrisponde allatemperatura di equilibrio q E otteniamo
uE = gH ∆y
Ωθ0a
In questo modo abbiamo trovato anche lrsquoandamento delle velocitagrave in quota dove vieneconservato il momento angolare mentre ora vogliamo trovare lrsquoandamento di quella zonalein prossimitagrave della superficie terrestre In questa regione perograve entra in gioco lrsquoattrito conil suolo e bisogna includere la sua influenza sulle equazioni del moto e termodinamiche Inquesta regione stiamo quindi trattando il moto degli alisei
Riscriviamo allora lrsquoequazione del moto sostituendo la derivata della velocitagrave v rispettoalla latitudine y
partu
partt + v
partu
party minus uv
a tanφ = f v +
part
partz 983080K partu
partz 983081
Questa equazione puograve essere vista come se al parametro di Coriolis f si vada a sostituireun parametro di Coriolis formato da un termine aggiuntivo f + utanφa Ricordiamoche il parametro f vale f = 2Ωsinφ e che quindi allrsquoequatore va a zero In questo modo iltermine aggiuntivo presente fa sigrave che le forze di Coriolis e di pressione non sono piugrave bilanciateSecondo questa visione la forza di Coriolis ha assunto quindi il valore pari a uvacosφ
partu
partt + v
partu
party minus v
(u
atanφ + f
1048617 =
part
partz
983080K
partu
partz
983081
Il termine al secondo membro reppresenta la derivata del flusso della quantitagrave di moto Il
fluido al suo interno presenta un gradiente di velocitagrave partupartz questo provoca quindi un flussodi quantitagrave di moto dalla superficie verso il fondo Per la legge di diffusione consideriamo il
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flusso come proporzionale al gradiente di velocitagrave con costante K La derivata si giustificapoicheacute si osserva che il primo membro dellrsquoequazione rappresenta la divergenza del momentoassociato allrsquoatomosfera Infatti sappiamo che lrsquoequazione complessiva deve rappresentare laconservazione del momento angolare totale del sistema aria-superficie terrestre che si indicain generale con la divergenza del momento angolare posta uguale a zero
nabla middotM = 0
di conseguenza nel nostro caso il primo membro rappresenta la divergenza del momentodellrsquoatmosfera e il secondo membro il momento dissipato dalla superficie In altre parole egravelrsquouguaglianza tra la divergenza orizzontale e quella verticale
Possiamo ora riscrivere lrsquoequazione utilizzando la divergenza e ricordando che nabla middot u = 0
nabla middot (uu) minus uv
a tanφ minus f v minus part
partz
983080K
partu
partz
983081 = 0 (2)
percheacute osserviamo che nabla middot (uu) = u middot nablau + unabla middot u = u middot nablau = u(partupartx) + v(partuparty)
Lrsquoespressione del momento M egrave M = Ωa2
cos2
φ+uacosφ da questo e dal fatto che M prop usi ottiene che lrsquoequazione precedente puograve essere riscritta nel seguente modo
nabla middot (uM ) = K part 2M
partz 2 (3)
Integrando questa equazione rispetto alla quota z ed indicando con U la velocitagrave u integratatra gli estremi z = 0 e z = H
nabla middot (UM ) = K partM
partz
che equivale a scrivere
U partM partx
+ V part M party
= K partM partz
e facendo la media zonale si elimina la derivata in x In questo modo possiamo ricavarelrsquoandamento della velocitagrave u in prossimitagrave del suolo u(0) Innanzitutto osserviamo che
V part M
party =
partvM
party
e per la definizione del momento angolare si ottengono le seguenti uguaglianze
part (vM )
party sim part
party (vau) = K
partM
partz = K
partau
partz = minusaCu(0)
dove abbiamo imposto le condizioni al contorno in superficie e alla sommitagrave per cui la velocitagravezonale risulta nulla In questo modo si ottiene che lrsquoeffetto dellrsquoattrito relativo allrsquointerazionecon la superficie terrestre egrave proporzionale al raggio della Terra a e alla velocitagrave in prossimitagravedel suolo u(z = 0) Ricaviamo allora lrsquoandamento di questrsquoultima in funzione della latitudinederivando lrsquoequazione della velocitagrave v che avevamo precedentemente ricavato
Ottenendo infine
u(0) = minus 5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
1048667983080
y
yH 9830812
minus 10
3 983080 y
yH 9830814
+ 7
3 983080 y
yH 98308161048669
(4)
Abbiamo cosigrave ricavato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in prossimitagrave della superficie
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22 Grafici ed altre considerazioni
Riportiamo nel primo grafico lrsquoandamento della temperatura potenziale in funzione dellalatitudine y Nel secondo grafico egrave presentato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in quota esulla superficie terrestre rispettivamente di colori rosso e blu
Egrave stato utile normalizzare le grandezze tramite degli opportuni fattori La velocitagrave zonale
in quota viene divisa per il valore di uE precedentemente ricavato
uE = gH ∆y
Ωθ0a
mentre sulla superficie viene normalizzata tramite il fattore
5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
y
theta
Etheta
340
330
320
310
T e m
p e r a t u r e ( K )
Figura 4 Temperatura potenziale Viene riportata in questo grafico il profilo di temperatura
potenziale della cella di Hadley in funzione della coordinata y e il profilo di temperatura diequilibrio indicato con thetaE Entrambi non sono normalizzati la temperatura egrave misuratain gradi Kelvin
10
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15
10
05
y
00
u(0)
u(H)
Figura 5 Velocitagrave zonale normalizzata Viene riportata in questo grafico la velocitagrave zonalenormalizzata con i coefficienti appena presentati nei due andamenti a quota H (linea rossa)e al livello del mare di altitudine 0 (linea blu) Si noti nel primo plot inizialmente lrsquoandamentoparabolico e successivamente la discontinuitagrave in corrispondenza della latitudne limite dellacella di Hadley (il valore del quale in questo grafico non egrave indicato percheacute non indicativonelle dimensioni del plot in questione ma che successivamente verragrave ricavato)
Osserviamo nel primo grafico la latitudine limite indicata nello scritto come yH (nonindicata sul grafico) punto in cui le due temperature si uguagliano dopo delle appenaaccennate oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio Nel secondo grafico osserviamoinnanzitutto lrsquoandamento della velocitagrave in quota che per il tipo di equazione introdottarisulta avere una discontinuitagrave proprio nel punto yH dopo del quale assume il valore costante10 essendo normalizzata ad uE Nello stesso grafico osserviamo poi la differente scala dellavelocitagrave zonale sulla superficie che pur con la costante di normalizzazione diversa risultaessere di intensitagrave molto minore In particolare di questo plot si osserva la presenza di valori
positivi e negativi questi ultimi rappresentano le masse drsquoaria che prendono il nome di alisei
A questo punto prima di procedere egrave interessante evidenziare la validitagrave dei risultatiottenuti tramite lrsquointroduzione di alcuni dati osservativi Dallrsquoarticolo di Sobel e Schneider(vedi Bibliografia) pervengono i seguenti valori
τ = 37days H = 16km δ = 4km T 0 = 300K ∆z = 60K ∆y = 100K θ0 = 330K
sostituendoli otteniamoyH ≃ 27000Km
che tramite lrsquoequazione del cambio di coordinate definisce la latitudine limite come φH ≃ 24oQuesto egrave abbastanza importante perchegrave riconferma lrsquoipotesi di piccoli angoli che avevamo
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introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y
23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione
Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido
Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)
Du
Dt minusf v =
minus
1
ρ
partP
partx
=
minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti
Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi
L =
radic g
f
T = 1
f
Allora la velocitagrave normalizzata saragrave
vprime = f 2radic
gv
Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partvpartt
+ v partvparty
+ f u = minusg parthparty minus αv (5)
A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave
parth
partt +
part
partx
9831319830801 +
h
H
983081u
983133+
part
party
9831319830801 +
h
H
983081v
983133 = 0
Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH
partηpartt
+ part partx
[(1 + η) u] + part party
[(1 + η) v] = 0 (6)
12
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
16
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2131
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
20
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2231
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
22
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2431
end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
23
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
24
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
27
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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1 Introduzione
La regione equatoriale della Terra egrave maggiormente insoleggiata rispetto alle regioni polariquesto provoca un maggiore riscaldamento dellrsquoatmosfera che si trova al di sopra di essaLa differenza di temperatura rispetto allrsquoaria che si trova a quote maggiori fa sigrave che lrsquoariacalda piugrave leggera tenda a salire in quota in questo suo movimento viene perograve deviata dalla
accelerazione di Coriolis provocata dal moto di rotazione della Terra che la trasporta versolatitudini maggiori Cosigrave vengono a generarsi dei getti di corrente detta zonale nella zonasubtropicale che rimane localizzata al di sotto del tropico
Esaminando lrsquoemisfero nord si osserva che la forza di Coriolis provoca una deviazioneverso destra di questa massa di aria Lrsquoaria che egrave salita di quota nel suo percorso tendea raffreddarsi arrivata intorno a 30 gradi Nord tende nuovamente a ridiscendere essendodiventata piugrave pesante il movimento della discesa viene deviato e si sviluppa in direzioneequatoriale Il moto di questa massa drsquoaria contrario al primo genera dei caratteristiciventi chiamati alisei
Il processo completo rappresenta un moto convettivo della massa drsquoaria che prende il
nome di circolazione di Hadley e ne parleremo nel prossimo paragrafoLo stesso processo si sviluppa nellrsquoemisfero meridionale con delle celle convettive la cuiestensione partendo dallrsquoequatore arriva fino al tropico del Sud e rimane al di sopra diquesto fino a circa 30 gradi Sud Il moto di circolazione complessivo risulta simmetricorispetto alla linea equatoriale e localizzato nella fascia tropicale Nel moto convettivo sigenerano due celle macroscopiche denominate celle di Hadley
La regione in cui le due circolazioni settentrionale e meridionale si incontrano non coin-cide esattamente con il parallelo zero La simmetria non egrave esattamente rispetto allrsquoequatorein quanto ci sono diversi altri effetti che ne provocano delle variazioni Questa regione vienedenominata zona di convergenza intertropicale generalmente abbreviata con ITCZ I suoispostamenti sono variabili annualmente la posizione media dellrsquoITCZ si trova leggermentea Nord dellrsquoEquatore ma nel mese di Ottobre si sposta verso Sud e nel mese di Aprile versoNord Nella figura sono riportati i due diversi andamenti della linea ITCZ a seconda delperiodo dellrsquoanno
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Figura 1 Differenti andamenti della linea di ITCZ durante i mesi di giugno (linea continua)e di luglio (linea tratteggiata) messi a confronto fra loro
3
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2 Circolazione di Hadley
Il nome della cella egrave stato assegnato in onore di George Hadley un avvocato inglese emeteorologo amatoriale del 1700 che per primo interpretograve correttamente la causa delladirezione prevalentemente occidentale degli alisei nelle regioni subtropicali Come abbiamovisto la circolazione complessiva egrave quasi interamente determinata dagli effetti della forza di
CoriolisI venti che spirano da queste aree sono costanti e diretti verso lrsquoEquatore dove esiste
una fascia di basse pressioni a causa dellrsquoelevatissima temperatura Essi subiscono unadeviazione verso Ovest che li orienta da Nord-Est nellrsquoemisfero settentrionale e da Sud-Estnellrsquoemisfero meridionale si tratta rispettivamente degli Alisei di Nord-Est che soffianoregolarmente nellrsquoemisfero settentrionale e degli Alisei di Sud-Est che soffiano regolarmentenellrsquoemisfero meridionale per tutto lrsquoanno con velocitagrave pressocheacute costante intorno ai 12nodi
Spirano con direzione opposta alla rotazione della terra e tendono quindi a rallentarla Ilmomento angolare totale deve essere infatti costante La circolazione cosigrave descritta egrave anche
detta diretta percheacute dovuta al riscaldamento differenziale dei tropiciNellrsquoimmagine seguente egrave riportato uno schema delle celle di Hadley che si sviluppano
simmetricamente rispetto allrsquoequatore e che si estendono fino ad una latitudine di circa 30o
Sud e 30o Nord Si vede inoltre il sistema di riferimento che verragrave utilizzato durante tuttala trattazione
Mentre in quella successiva viene riportato un dettaglio del processo che fa sigrave che la celladi Hadley si metta in moto osserviamo come il tutto sia provocato dalla forza di Coriolische agisce sulle masse drsquoaria in moto verso quote piugrave basse o piugrave alte
Figura 2 Schema della circolazione di Hadley simmetrica rispetto allrsquoequatore Viene inoltre
presentato il sistema di coordinate che viene utilizzato in tutta la trattazione
4
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Figura 3 Semplice schema dei processi che danno origine alla circolazione di Hadley Notia-mo lrsquoeffetto della forte insolazione nella zona equatoriale e gli spostamenti simmetrici dellemasse drsquoaria in seguito allrsquoazione della forza di Coriolis
21 Circolazione simmetrica non lineare
Il modello della circolazione simmetrica non lineare egrave stato proposto nel 2001 da Sobel et alper studiare la circolazione di Hadley Si basa sullrsquoapprossimazione di Debole Gradiente di
Temperatura generalmente abbraviata con WTG (Weak Temperature Gradient ) che rappre-senta un modello di equilibrio caratteristico dei tropici Questa approssimazione impone cheil gradiente di temperatura ai tropici sia molto basso e viene posto nullo al fine di risolverele equazioni in maniera semplificata
Il problema di cui ci occupiamo egrave ricavare lrsquoequazione del moto di una generica cella diHadley durante la convezione basandoci su un modello molto esemplificato che non rispecchiala realtagrave ma che fornisce unrsquoidea delle linee generali del processo
La soluzione piugrave semplice egrave ricavata escludendo in un primo momento lrsquoattrito viscosodella cella di Hadley con il suolo terrestre
Premettiamo che in questo scritto svilupperemo la trattazione utilizzando sempre le coor-dinate locali (xyz ) e non quelle sferiche (φ z ) per una questione di comoditagrave e soprattuttodal momento che verragrave ribadita piugrave volte lrsquoapprossimazione di piccoli angoli per cui vale lasemplice relazione dy ≃ adφ
La prima equazione necessaria egrave quella del vento termico che viene ricavata dalle equazionidi vento geostrofico
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
dove u egrave la velocitagrave al livello piugrave in alto T egrave la temperatura g lrsquoaccelerazione di gravitagrave ed f
il parametro di Coriolis definito come f = 2Ωsinφ Integrando fino ad unrsquoaltezza H costante
5
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otteniamo
minusf u = gH
T 0
partT
party
dove T 0 egrave la temperatura al livello zero Assumo ora lrsquoapprossimazione del piano β in cuif = f 0 + βy ed essendoci posti vicino allrsquoequilibrio allora vale f 0 ≃ 0 da cui lrsquoequazionediventa
minusβyu = gH T 0
partT party
La seconda equazione deriva dalla conservazione dellrsquoimpulso o legge del moto
partu
partt + u
partu
partx + v
partu
party = f v minus 1
ρ
partp
partx
in cui p egrave la pressione e ρ la densitagrave del fluido Applichiamo la media zonale (vedi Appendice(35)) e valutiamo lo stato stazionario viene cosigrave eliminata la derivata rispetto alla coordinatax e rispetto al tempo
v983080
partuparty minus f
983081 = 0
Lrsquoultima equazione necessaria per la risoluzione egrave quella relativa alla termodinamica del siste-ma che determina la variazione totale della temperatura potenziale θ (definita nellrsquoAppendice34)
Dθ
Dt =
θE minus θ
τ
Abbiamo assunto cosigrave lrsquoapprossimazione di Cooling Newtoniano in cui il profilo della tempe-ratura di equilibrio egrave θE e il sistema tende a rilassare fino a questa in un tempo caratteristico
indicato con τ Questo determina che in zone in cui la temperatura effettiva θ egrave maggiore diquella di equilibrio allora la derivata completa egrave positiva e il sistema si raffredda e viceversase la θ egrave minore di θE il sistema si scalda per arrivare allrsquoequilibrio (vedi Fig4)
Esplicitando la derivata totale e ponendoci in condizioni stazionarie si ottiene u partθpartx
+v partθparty
=θEminusθτ
Sapendo che partupartx
+partvparty
= 0 allora si ottiene facilmente che lrsquoequazione precedente egrave uguale
a part (uθ)partx
+ part (vθ)party
= θEminusθτ
imponendo poi la media zonale si elimina la derivata in x Integrandodalla latitudine zero fino ad H e supponendo che il termine θE minus θ sia costante con la quotae che il primo membro sia diverso da zero nello spessore di aria δ che egrave quello che si trova inalta quota rispetto alla complessiva altezza della troposfera e di cui stiamo considerando ilmoto otteniamo
δ ∆zpartv
party =
H
τ (θE minus θ)
dove ∆z egrave la differenza di temperatura potenziale tra la superficie e lo strato superiore dialtezza H Tenendo presente che la temperatura T egrave legata alla temperatura potenziale dallarelazione seguente
T = θ( ptps)RC p
Dove pt e ps sono rispettivamente i valori delle pressioni della superficie e della tropopausalrsquoequazione risulta corretta
Abbiamo allora presentato le equazioni fondamentali Le soluzioni che descrivono ilproblema sono gli andamenti della velocitagrave meridionale v della temperatura potenziale θ (che
6
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successivamente indicheremo con η) della velocitagrave zonale u in funzione della coordinata yLa risoluzione numerica viene presentata nel prossimo capitolo in questo invece ne otteniamola soluzione analiticamente
La prima equazione egrave possibile integrarla banalmente ottenendo la semplice equazionedella conservazione del momento angolare
u = 1
2βy2 + cost
Infatti sostituendo β = 2Ωcosφa sim 2Ωa e y sim asinφ dove a rappresenta il raggio terrestre
u = 1
2
2Ω
a (asinφ)2 = Ωasin2φ
e ricordando lrsquoequazione del momento angolare Ωa2 = acosφ(Ωacosφ + u) vediamo chericavando la velocitagrave u ed imponendo il limite di angoli piccoli per cui sinφ sim φ si ottieneesattamente la stessa equazione
u = aΩsin2φcosφ ≃ Ωaφ2
Dalle osservazioni sulla temperatura si evince che lrsquoandamento del rapporto tra θE e unatemperatura di riferimento θ0 in funzione della coordinata y egrave approssimabile ad una funzioneanalitica del tipo
θE (φ z )
θ0= 1minus 2
3∆yP 2(sinφ) + ∆z
983080 z
H minus 1
2
983081Dove P 2 egrave il secondo polinomio di Legendre P 2(sinφ) = (3sin2φminus 1)2 ∆y egrave la differenza ditemperatura tra il polo e lrsquoequatore Per cui si vede che per z = H2 e nellrsquoapprossimazionedi piccoli angoli y = asinφ
≃aφ e una volta applicata una media verticale
θE θ0
= 1 + 1
3∆y minus∆y
(y
2
10486172
espressione che puograve essere anche scritta come
θE = θE 0 minus ∆θy
2
2
in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y
Tornando allrsquoequazione del vento termico che avevamo trovato possiamo ora integrarla
imponendo le condizione al contorno Fissiamo che oltre una determinata latitudine indicatacon yH la cella di Hadley non puograve sconfinare perciograve per y ge yH vale v = 0 Alla stessalatitudine vale inoltre che θ = θE Lrsquoequazione del vento termico integrata egrave
minus1
2β 2y3 =
gH
T 0
partT
party rArr
partT
party = minus T 0
2gH β 2y3 = minus T 0
2L4ρ
y3
dove con Lρ = (radic
gHb)12 indichiamo il raggio di Rossby equatoriale Lrsquointegrazione su ye la sostituzione di T con la sua espressione in funzione della temperatura potenziale ci dagrave
unrsquoequazione per questrsquoultimaθ = C minus Dy4
7
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dove C egrave la costante che deriva dallrsquointegrazione determinata imponendo le precendenticondizioni e D egrave definita come
D =
983080 ps pt
983081RC p T 08L4
ρ
Ricaviamo cosigrave lrsquoespressione totale della θ
θ = θE (yH ) + D(y4H + y4) = θE 0 minus ∆θ
983080yH a
2983081
+ D(y4H + y4)
In questo modo posso ricavare la velocitagrave meridionale v in funzione di y sostituendo laprecedente espressione
v(y) = H
δ ∆zτ
983131∆θ
a2
983080y2H y minus
y3
3
983081+ D
983080y5
5 minus y4
H y
983081983133 (1)
la costante di integrazione egrave stata posta nulla percheacute allrsquoequatore per ragioni di simmetriav = 0 Inoltre come giagrave detto v = 0 anche per y = yH da cui si ottiene
yH =
983080 5∆θ
6a2D
98308112
Imponendo che oltre la cella di Hadley la velocitagrave zonale egrave quella che corrisponde allatemperatura di equilibrio q E otteniamo
uE = gH ∆y
Ωθ0a
In questo modo abbiamo trovato anche lrsquoandamento delle velocitagrave in quota dove vieneconservato il momento angolare mentre ora vogliamo trovare lrsquoandamento di quella zonalein prossimitagrave della superficie terrestre In questa regione perograve entra in gioco lrsquoattrito conil suolo e bisogna includere la sua influenza sulle equazioni del moto e termodinamiche Inquesta regione stiamo quindi trattando il moto degli alisei
Riscriviamo allora lrsquoequazione del moto sostituendo la derivata della velocitagrave v rispettoalla latitudine y
partu
partt + v
partu
party minus uv
a tanφ = f v +
part
partz 983080K partu
partz 983081
Questa equazione puograve essere vista come se al parametro di Coriolis f si vada a sostituireun parametro di Coriolis formato da un termine aggiuntivo f + utanφa Ricordiamoche il parametro f vale f = 2Ωsinφ e che quindi allrsquoequatore va a zero In questo modo iltermine aggiuntivo presente fa sigrave che le forze di Coriolis e di pressione non sono piugrave bilanciateSecondo questa visione la forza di Coriolis ha assunto quindi il valore pari a uvacosφ
partu
partt + v
partu
party minus v
(u
atanφ + f
1048617 =
part
partz
983080K
partu
partz
983081
Il termine al secondo membro reppresenta la derivata del flusso della quantitagrave di moto Il
fluido al suo interno presenta un gradiente di velocitagrave partupartz questo provoca quindi un flussodi quantitagrave di moto dalla superficie verso il fondo Per la legge di diffusione consideriamo il
8
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flusso come proporzionale al gradiente di velocitagrave con costante K La derivata si giustificapoicheacute si osserva che il primo membro dellrsquoequazione rappresenta la divergenza del momentoassociato allrsquoatomosfera Infatti sappiamo che lrsquoequazione complessiva deve rappresentare laconservazione del momento angolare totale del sistema aria-superficie terrestre che si indicain generale con la divergenza del momento angolare posta uguale a zero
nabla middotM = 0
di conseguenza nel nostro caso il primo membro rappresenta la divergenza del momentodellrsquoatmosfera e il secondo membro il momento dissipato dalla superficie In altre parole egravelrsquouguaglianza tra la divergenza orizzontale e quella verticale
Possiamo ora riscrivere lrsquoequazione utilizzando la divergenza e ricordando che nabla middot u = 0
nabla middot (uu) minus uv
a tanφ minus f v minus part
partz
983080K
partu
partz
983081 = 0 (2)
percheacute osserviamo che nabla middot (uu) = u middot nablau + unabla middot u = u middot nablau = u(partupartx) + v(partuparty)
Lrsquoespressione del momento M egrave M = Ωa2
cos2
φ+uacosφ da questo e dal fatto che M prop usi ottiene che lrsquoequazione precedente puograve essere riscritta nel seguente modo
nabla middot (uM ) = K part 2M
partz 2 (3)
Integrando questa equazione rispetto alla quota z ed indicando con U la velocitagrave u integratatra gli estremi z = 0 e z = H
nabla middot (UM ) = K partM
partz
che equivale a scrivere
U partM partx
+ V part M party
= K partM partz
e facendo la media zonale si elimina la derivata in x In questo modo possiamo ricavarelrsquoandamento della velocitagrave u in prossimitagrave del suolo u(0) Innanzitutto osserviamo che
V part M
party =
partvM
party
e per la definizione del momento angolare si ottengono le seguenti uguaglianze
part (vM )
party sim part
party (vau) = K
partM
partz = K
partau
partz = minusaCu(0)
dove abbiamo imposto le condizioni al contorno in superficie e alla sommitagrave per cui la velocitagravezonale risulta nulla In questo modo si ottiene che lrsquoeffetto dellrsquoattrito relativo allrsquointerazionecon la superficie terrestre egrave proporzionale al raggio della Terra a e alla velocitagrave in prossimitagravedel suolo u(z = 0) Ricaviamo allora lrsquoandamento di questrsquoultima in funzione della latitudinederivando lrsquoequazione della velocitagrave v che avevamo precedentemente ricavato
Ottenendo infine
u(0) = minus 5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
1048667983080
y
yH 9830812
minus 10
3 983080 y
yH 9830814
+ 7
3 983080 y
yH 98308161048669
(4)
Abbiamo cosigrave ricavato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in prossimitagrave della superficie
9
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22 Grafici ed altre considerazioni
Riportiamo nel primo grafico lrsquoandamento della temperatura potenziale in funzione dellalatitudine y Nel secondo grafico egrave presentato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in quota esulla superficie terrestre rispettivamente di colori rosso e blu
Egrave stato utile normalizzare le grandezze tramite degli opportuni fattori La velocitagrave zonale
in quota viene divisa per il valore di uE precedentemente ricavato
uE = gH ∆y
Ωθ0a
mentre sulla superficie viene normalizzata tramite il fattore
5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
y
theta
Etheta
340
330
320
310
T e m
p e r a t u r e ( K )
Figura 4 Temperatura potenziale Viene riportata in questo grafico il profilo di temperatura
potenziale della cella di Hadley in funzione della coordinata y e il profilo di temperatura diequilibrio indicato con thetaE Entrambi non sono normalizzati la temperatura egrave misuratain gradi Kelvin
10
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15
10
05
y
00
u(0)
u(H)
Figura 5 Velocitagrave zonale normalizzata Viene riportata in questo grafico la velocitagrave zonalenormalizzata con i coefficienti appena presentati nei due andamenti a quota H (linea rossa)e al livello del mare di altitudine 0 (linea blu) Si noti nel primo plot inizialmente lrsquoandamentoparabolico e successivamente la discontinuitagrave in corrispondenza della latitudne limite dellacella di Hadley (il valore del quale in questo grafico non egrave indicato percheacute non indicativonelle dimensioni del plot in questione ma che successivamente verragrave ricavato)
Osserviamo nel primo grafico la latitudine limite indicata nello scritto come yH (nonindicata sul grafico) punto in cui le due temperature si uguagliano dopo delle appenaaccennate oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio Nel secondo grafico osserviamoinnanzitutto lrsquoandamento della velocitagrave in quota che per il tipo di equazione introdottarisulta avere una discontinuitagrave proprio nel punto yH dopo del quale assume il valore costante10 essendo normalizzata ad uE Nello stesso grafico osserviamo poi la differente scala dellavelocitagrave zonale sulla superficie che pur con la costante di normalizzazione diversa risultaessere di intensitagrave molto minore In particolare di questo plot si osserva la presenza di valori
positivi e negativi questi ultimi rappresentano le masse drsquoaria che prendono il nome di alisei
A questo punto prima di procedere egrave interessante evidenziare la validitagrave dei risultatiottenuti tramite lrsquointroduzione di alcuni dati osservativi Dallrsquoarticolo di Sobel e Schneider(vedi Bibliografia) pervengono i seguenti valori
τ = 37days H = 16km δ = 4km T 0 = 300K ∆z = 60K ∆y = 100K θ0 = 330K
sostituendoli otteniamoyH ≃ 27000Km
che tramite lrsquoequazione del cambio di coordinate definisce la latitudine limite come φH ≃ 24oQuesto egrave abbastanza importante perchegrave riconferma lrsquoipotesi di piccoli angoli che avevamo
11
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introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y
23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione
Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido
Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)
Du
Dt minusf v =
minus
1
ρ
partP
partx
=
minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti
Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi
L =
radic g
f
T = 1
f
Allora la velocitagrave normalizzata saragrave
vprime = f 2radic
gv
Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partvpartt
+ v partvparty
+ f u = minusg parthparty minus αv (5)
A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave
parth
partt +
part
partx
9831319830801 +
h
H
983081u
983133+
part
party
9831319830801 +
h
H
983081v
983133 = 0
Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH
partηpartt
+ part partx
[(1 + η) u] + part party
[(1 + η) v] = 0 (6)
12
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
16
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
20
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
21
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
22
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
23
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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Figura 1 Differenti andamenti della linea di ITCZ durante i mesi di giugno (linea continua)e di luglio (linea tratteggiata) messi a confronto fra loro
3
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2 Circolazione di Hadley
Il nome della cella egrave stato assegnato in onore di George Hadley un avvocato inglese emeteorologo amatoriale del 1700 che per primo interpretograve correttamente la causa delladirezione prevalentemente occidentale degli alisei nelle regioni subtropicali Come abbiamovisto la circolazione complessiva egrave quasi interamente determinata dagli effetti della forza di
CoriolisI venti che spirano da queste aree sono costanti e diretti verso lrsquoEquatore dove esiste
una fascia di basse pressioni a causa dellrsquoelevatissima temperatura Essi subiscono unadeviazione verso Ovest che li orienta da Nord-Est nellrsquoemisfero settentrionale e da Sud-Estnellrsquoemisfero meridionale si tratta rispettivamente degli Alisei di Nord-Est che soffianoregolarmente nellrsquoemisfero settentrionale e degli Alisei di Sud-Est che soffiano regolarmentenellrsquoemisfero meridionale per tutto lrsquoanno con velocitagrave pressocheacute costante intorno ai 12nodi
Spirano con direzione opposta alla rotazione della terra e tendono quindi a rallentarla Ilmomento angolare totale deve essere infatti costante La circolazione cosigrave descritta egrave anche
detta diretta percheacute dovuta al riscaldamento differenziale dei tropiciNellrsquoimmagine seguente egrave riportato uno schema delle celle di Hadley che si sviluppano
simmetricamente rispetto allrsquoequatore e che si estendono fino ad una latitudine di circa 30o
Sud e 30o Nord Si vede inoltre il sistema di riferimento che verragrave utilizzato durante tuttala trattazione
Mentre in quella successiva viene riportato un dettaglio del processo che fa sigrave che la celladi Hadley si metta in moto osserviamo come il tutto sia provocato dalla forza di Coriolische agisce sulle masse drsquoaria in moto verso quote piugrave basse o piugrave alte
Figura 2 Schema della circolazione di Hadley simmetrica rispetto allrsquoequatore Viene inoltre
presentato il sistema di coordinate che viene utilizzato in tutta la trattazione
4
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Figura 3 Semplice schema dei processi che danno origine alla circolazione di Hadley Notia-mo lrsquoeffetto della forte insolazione nella zona equatoriale e gli spostamenti simmetrici dellemasse drsquoaria in seguito allrsquoazione della forza di Coriolis
21 Circolazione simmetrica non lineare
Il modello della circolazione simmetrica non lineare egrave stato proposto nel 2001 da Sobel et alper studiare la circolazione di Hadley Si basa sullrsquoapprossimazione di Debole Gradiente di
Temperatura generalmente abbraviata con WTG (Weak Temperature Gradient ) che rappre-senta un modello di equilibrio caratteristico dei tropici Questa approssimazione impone cheil gradiente di temperatura ai tropici sia molto basso e viene posto nullo al fine di risolverele equazioni in maniera semplificata
Il problema di cui ci occupiamo egrave ricavare lrsquoequazione del moto di una generica cella diHadley durante la convezione basandoci su un modello molto esemplificato che non rispecchiala realtagrave ma che fornisce unrsquoidea delle linee generali del processo
La soluzione piugrave semplice egrave ricavata escludendo in un primo momento lrsquoattrito viscosodella cella di Hadley con il suolo terrestre
Premettiamo che in questo scritto svilupperemo la trattazione utilizzando sempre le coor-dinate locali (xyz ) e non quelle sferiche (φ z ) per una questione di comoditagrave e soprattuttodal momento che verragrave ribadita piugrave volte lrsquoapprossimazione di piccoli angoli per cui vale lasemplice relazione dy ≃ adφ
La prima equazione necessaria egrave quella del vento termico che viene ricavata dalle equazionidi vento geostrofico
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
dove u egrave la velocitagrave al livello piugrave in alto T egrave la temperatura g lrsquoaccelerazione di gravitagrave ed f
il parametro di Coriolis definito come f = 2Ωsinφ Integrando fino ad unrsquoaltezza H costante
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otteniamo
minusf u = gH
T 0
partT
party
dove T 0 egrave la temperatura al livello zero Assumo ora lrsquoapprossimazione del piano β in cuif = f 0 + βy ed essendoci posti vicino allrsquoequilibrio allora vale f 0 ≃ 0 da cui lrsquoequazionediventa
minusβyu = gH T 0
partT party
La seconda equazione deriva dalla conservazione dellrsquoimpulso o legge del moto
partu
partt + u
partu
partx + v
partu
party = f v minus 1
ρ
partp
partx
in cui p egrave la pressione e ρ la densitagrave del fluido Applichiamo la media zonale (vedi Appendice(35)) e valutiamo lo stato stazionario viene cosigrave eliminata la derivata rispetto alla coordinatax e rispetto al tempo
v983080
partuparty minus f
983081 = 0
Lrsquoultima equazione necessaria per la risoluzione egrave quella relativa alla termodinamica del siste-ma che determina la variazione totale della temperatura potenziale θ (definita nellrsquoAppendice34)
Dθ
Dt =
θE minus θ
τ
Abbiamo assunto cosigrave lrsquoapprossimazione di Cooling Newtoniano in cui il profilo della tempe-ratura di equilibrio egrave θE e il sistema tende a rilassare fino a questa in un tempo caratteristico
indicato con τ Questo determina che in zone in cui la temperatura effettiva θ egrave maggiore diquella di equilibrio allora la derivata completa egrave positiva e il sistema si raffredda e viceversase la θ egrave minore di θE il sistema si scalda per arrivare allrsquoequilibrio (vedi Fig4)
Esplicitando la derivata totale e ponendoci in condizioni stazionarie si ottiene u partθpartx
+v partθparty
=θEminusθτ
Sapendo che partupartx
+partvparty
= 0 allora si ottiene facilmente che lrsquoequazione precedente egrave uguale
a part (uθ)partx
+ part (vθ)party
= θEminusθτ
imponendo poi la media zonale si elimina la derivata in x Integrandodalla latitudine zero fino ad H e supponendo che il termine θE minus θ sia costante con la quotae che il primo membro sia diverso da zero nello spessore di aria δ che egrave quello che si trova inalta quota rispetto alla complessiva altezza della troposfera e di cui stiamo considerando ilmoto otteniamo
δ ∆zpartv
party =
H
τ (θE minus θ)
dove ∆z egrave la differenza di temperatura potenziale tra la superficie e lo strato superiore dialtezza H Tenendo presente che la temperatura T egrave legata alla temperatura potenziale dallarelazione seguente
T = θ( ptps)RC p
Dove pt e ps sono rispettivamente i valori delle pressioni della superficie e della tropopausalrsquoequazione risulta corretta
Abbiamo allora presentato le equazioni fondamentali Le soluzioni che descrivono ilproblema sono gli andamenti della velocitagrave meridionale v della temperatura potenziale θ (che
6
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successivamente indicheremo con η) della velocitagrave zonale u in funzione della coordinata yLa risoluzione numerica viene presentata nel prossimo capitolo in questo invece ne otteniamola soluzione analiticamente
La prima equazione egrave possibile integrarla banalmente ottenendo la semplice equazionedella conservazione del momento angolare
u = 1
2βy2 + cost
Infatti sostituendo β = 2Ωcosφa sim 2Ωa e y sim asinφ dove a rappresenta il raggio terrestre
u = 1
2
2Ω
a (asinφ)2 = Ωasin2φ
e ricordando lrsquoequazione del momento angolare Ωa2 = acosφ(Ωacosφ + u) vediamo chericavando la velocitagrave u ed imponendo il limite di angoli piccoli per cui sinφ sim φ si ottieneesattamente la stessa equazione
u = aΩsin2φcosφ ≃ Ωaφ2
Dalle osservazioni sulla temperatura si evince che lrsquoandamento del rapporto tra θE e unatemperatura di riferimento θ0 in funzione della coordinata y egrave approssimabile ad una funzioneanalitica del tipo
θE (φ z )
θ0= 1minus 2
3∆yP 2(sinφ) + ∆z
983080 z
H minus 1
2
983081Dove P 2 egrave il secondo polinomio di Legendre P 2(sinφ) = (3sin2φminus 1)2 ∆y egrave la differenza ditemperatura tra il polo e lrsquoequatore Per cui si vede che per z = H2 e nellrsquoapprossimazionedi piccoli angoli y = asinφ
≃aφ e una volta applicata una media verticale
θE θ0
= 1 + 1
3∆y minus∆y
(y
2
10486172
espressione che puograve essere anche scritta come
θE = θE 0 minus ∆θy
2
2
in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y
Tornando allrsquoequazione del vento termico che avevamo trovato possiamo ora integrarla
imponendo le condizione al contorno Fissiamo che oltre una determinata latitudine indicatacon yH la cella di Hadley non puograve sconfinare perciograve per y ge yH vale v = 0 Alla stessalatitudine vale inoltre che θ = θE Lrsquoequazione del vento termico integrata egrave
minus1
2β 2y3 =
gH
T 0
partT
party rArr
partT
party = minus T 0
2gH β 2y3 = minus T 0
2L4ρ
y3
dove con Lρ = (radic
gHb)12 indichiamo il raggio di Rossby equatoriale Lrsquointegrazione su ye la sostituzione di T con la sua espressione in funzione della temperatura potenziale ci dagrave
unrsquoequazione per questrsquoultimaθ = C minus Dy4
7
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dove C egrave la costante che deriva dallrsquointegrazione determinata imponendo le precendenticondizioni e D egrave definita come
D =
983080 ps pt
983081RC p T 08L4
ρ
Ricaviamo cosigrave lrsquoespressione totale della θ
θ = θE (yH ) + D(y4H + y4) = θE 0 minus ∆θ
983080yH a
2983081
+ D(y4H + y4)
In questo modo posso ricavare la velocitagrave meridionale v in funzione di y sostituendo laprecedente espressione
v(y) = H
δ ∆zτ
983131∆θ
a2
983080y2H y minus
y3
3
983081+ D
983080y5
5 minus y4
H y
983081983133 (1)
la costante di integrazione egrave stata posta nulla percheacute allrsquoequatore per ragioni di simmetriav = 0 Inoltre come giagrave detto v = 0 anche per y = yH da cui si ottiene
yH =
983080 5∆θ
6a2D
98308112
Imponendo che oltre la cella di Hadley la velocitagrave zonale egrave quella che corrisponde allatemperatura di equilibrio q E otteniamo
uE = gH ∆y
Ωθ0a
In questo modo abbiamo trovato anche lrsquoandamento delle velocitagrave in quota dove vieneconservato il momento angolare mentre ora vogliamo trovare lrsquoandamento di quella zonalein prossimitagrave della superficie terrestre In questa regione perograve entra in gioco lrsquoattrito conil suolo e bisogna includere la sua influenza sulle equazioni del moto e termodinamiche Inquesta regione stiamo quindi trattando il moto degli alisei
Riscriviamo allora lrsquoequazione del moto sostituendo la derivata della velocitagrave v rispettoalla latitudine y
partu
partt + v
partu
party minus uv
a tanφ = f v +
part
partz 983080K partu
partz 983081
Questa equazione puograve essere vista come se al parametro di Coriolis f si vada a sostituireun parametro di Coriolis formato da un termine aggiuntivo f + utanφa Ricordiamoche il parametro f vale f = 2Ωsinφ e che quindi allrsquoequatore va a zero In questo modo iltermine aggiuntivo presente fa sigrave che le forze di Coriolis e di pressione non sono piugrave bilanciateSecondo questa visione la forza di Coriolis ha assunto quindi il valore pari a uvacosφ
partu
partt + v
partu
party minus v
(u
atanφ + f
1048617 =
part
partz
983080K
partu
partz
983081
Il termine al secondo membro reppresenta la derivata del flusso della quantitagrave di moto Il
fluido al suo interno presenta un gradiente di velocitagrave partupartz questo provoca quindi un flussodi quantitagrave di moto dalla superficie verso il fondo Per la legge di diffusione consideriamo il
8
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flusso come proporzionale al gradiente di velocitagrave con costante K La derivata si giustificapoicheacute si osserva che il primo membro dellrsquoequazione rappresenta la divergenza del momentoassociato allrsquoatomosfera Infatti sappiamo che lrsquoequazione complessiva deve rappresentare laconservazione del momento angolare totale del sistema aria-superficie terrestre che si indicain generale con la divergenza del momento angolare posta uguale a zero
nabla middotM = 0
di conseguenza nel nostro caso il primo membro rappresenta la divergenza del momentodellrsquoatmosfera e il secondo membro il momento dissipato dalla superficie In altre parole egravelrsquouguaglianza tra la divergenza orizzontale e quella verticale
Possiamo ora riscrivere lrsquoequazione utilizzando la divergenza e ricordando che nabla middot u = 0
nabla middot (uu) minus uv
a tanφ minus f v minus part
partz
983080K
partu
partz
983081 = 0 (2)
percheacute osserviamo che nabla middot (uu) = u middot nablau + unabla middot u = u middot nablau = u(partupartx) + v(partuparty)
Lrsquoespressione del momento M egrave M = Ωa2
cos2
φ+uacosφ da questo e dal fatto che M prop usi ottiene che lrsquoequazione precedente puograve essere riscritta nel seguente modo
nabla middot (uM ) = K part 2M
partz 2 (3)
Integrando questa equazione rispetto alla quota z ed indicando con U la velocitagrave u integratatra gli estremi z = 0 e z = H
nabla middot (UM ) = K partM
partz
che equivale a scrivere
U partM partx
+ V part M party
= K partM partz
e facendo la media zonale si elimina la derivata in x In questo modo possiamo ricavarelrsquoandamento della velocitagrave u in prossimitagrave del suolo u(0) Innanzitutto osserviamo che
V part M
party =
partvM
party
e per la definizione del momento angolare si ottengono le seguenti uguaglianze
part (vM )
party sim part
party (vau) = K
partM
partz = K
partau
partz = minusaCu(0)
dove abbiamo imposto le condizioni al contorno in superficie e alla sommitagrave per cui la velocitagravezonale risulta nulla In questo modo si ottiene che lrsquoeffetto dellrsquoattrito relativo allrsquointerazionecon la superficie terrestre egrave proporzionale al raggio della Terra a e alla velocitagrave in prossimitagravedel suolo u(z = 0) Ricaviamo allora lrsquoandamento di questrsquoultima in funzione della latitudinederivando lrsquoequazione della velocitagrave v che avevamo precedentemente ricavato
Ottenendo infine
u(0) = minus 5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
1048667983080
y
yH 9830812
minus 10
3 983080 y
yH 9830814
+ 7
3 983080 y
yH 98308161048669
(4)
Abbiamo cosigrave ricavato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in prossimitagrave della superficie
9
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22 Grafici ed altre considerazioni
Riportiamo nel primo grafico lrsquoandamento della temperatura potenziale in funzione dellalatitudine y Nel secondo grafico egrave presentato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in quota esulla superficie terrestre rispettivamente di colori rosso e blu
Egrave stato utile normalizzare le grandezze tramite degli opportuni fattori La velocitagrave zonale
in quota viene divisa per il valore di uE precedentemente ricavato
uE = gH ∆y
Ωθ0a
mentre sulla superficie viene normalizzata tramite il fattore
5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
y
theta
Etheta
340
330
320
310
T e m
p e r a t u r e ( K )
Figura 4 Temperatura potenziale Viene riportata in questo grafico il profilo di temperatura
potenziale della cella di Hadley in funzione della coordinata y e il profilo di temperatura diequilibrio indicato con thetaE Entrambi non sono normalizzati la temperatura egrave misuratain gradi Kelvin
10
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15
10
05
y
00
u(0)
u(H)
Figura 5 Velocitagrave zonale normalizzata Viene riportata in questo grafico la velocitagrave zonalenormalizzata con i coefficienti appena presentati nei due andamenti a quota H (linea rossa)e al livello del mare di altitudine 0 (linea blu) Si noti nel primo plot inizialmente lrsquoandamentoparabolico e successivamente la discontinuitagrave in corrispondenza della latitudne limite dellacella di Hadley (il valore del quale in questo grafico non egrave indicato percheacute non indicativonelle dimensioni del plot in questione ma che successivamente verragrave ricavato)
Osserviamo nel primo grafico la latitudine limite indicata nello scritto come yH (nonindicata sul grafico) punto in cui le due temperature si uguagliano dopo delle appenaaccennate oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio Nel secondo grafico osserviamoinnanzitutto lrsquoandamento della velocitagrave in quota che per il tipo di equazione introdottarisulta avere una discontinuitagrave proprio nel punto yH dopo del quale assume il valore costante10 essendo normalizzata ad uE Nello stesso grafico osserviamo poi la differente scala dellavelocitagrave zonale sulla superficie che pur con la costante di normalizzazione diversa risultaessere di intensitagrave molto minore In particolare di questo plot si osserva la presenza di valori
positivi e negativi questi ultimi rappresentano le masse drsquoaria che prendono il nome di alisei
A questo punto prima di procedere egrave interessante evidenziare la validitagrave dei risultatiottenuti tramite lrsquointroduzione di alcuni dati osservativi Dallrsquoarticolo di Sobel e Schneider(vedi Bibliografia) pervengono i seguenti valori
τ = 37days H = 16km δ = 4km T 0 = 300K ∆z = 60K ∆y = 100K θ0 = 330K
sostituendoli otteniamoyH ≃ 27000Km
che tramite lrsquoequazione del cambio di coordinate definisce la latitudine limite come φH ≃ 24oQuesto egrave abbastanza importante perchegrave riconferma lrsquoipotesi di piccoli angoli che avevamo
11
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introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y
23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione
Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido
Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)
Du
Dt minusf v =
minus
1
ρ
partP
partx
=
minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti
Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi
L =
radic g
f
T = 1
f
Allora la velocitagrave normalizzata saragrave
vprime = f 2radic
gv
Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partvpartt
+ v partvparty
+ f u = minusg parthparty minus αv (5)
A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave
parth
partt +
part
partx
9831319830801 +
h
H
983081u
983133+
part
party
9831319830801 +
h
H
983081v
983133 = 0
Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH
partηpartt
+ part partx
[(1 + η) u] + part party
[(1 + η) v] = 0 (6)
12
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
16
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
20
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
21
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
22
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
23
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
24
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
25
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
26
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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2 Circolazione di Hadley
Il nome della cella egrave stato assegnato in onore di George Hadley un avvocato inglese emeteorologo amatoriale del 1700 che per primo interpretograve correttamente la causa delladirezione prevalentemente occidentale degli alisei nelle regioni subtropicali Come abbiamovisto la circolazione complessiva egrave quasi interamente determinata dagli effetti della forza di
CoriolisI venti che spirano da queste aree sono costanti e diretti verso lrsquoEquatore dove esiste
una fascia di basse pressioni a causa dellrsquoelevatissima temperatura Essi subiscono unadeviazione verso Ovest che li orienta da Nord-Est nellrsquoemisfero settentrionale e da Sud-Estnellrsquoemisfero meridionale si tratta rispettivamente degli Alisei di Nord-Est che soffianoregolarmente nellrsquoemisfero settentrionale e degli Alisei di Sud-Est che soffiano regolarmentenellrsquoemisfero meridionale per tutto lrsquoanno con velocitagrave pressocheacute costante intorno ai 12nodi
Spirano con direzione opposta alla rotazione della terra e tendono quindi a rallentarla Ilmomento angolare totale deve essere infatti costante La circolazione cosigrave descritta egrave anche
detta diretta percheacute dovuta al riscaldamento differenziale dei tropiciNellrsquoimmagine seguente egrave riportato uno schema delle celle di Hadley che si sviluppano
simmetricamente rispetto allrsquoequatore e che si estendono fino ad una latitudine di circa 30o
Sud e 30o Nord Si vede inoltre il sistema di riferimento che verragrave utilizzato durante tuttala trattazione
Mentre in quella successiva viene riportato un dettaglio del processo che fa sigrave che la celladi Hadley si metta in moto osserviamo come il tutto sia provocato dalla forza di Coriolische agisce sulle masse drsquoaria in moto verso quote piugrave basse o piugrave alte
Figura 2 Schema della circolazione di Hadley simmetrica rispetto allrsquoequatore Viene inoltre
presentato il sistema di coordinate che viene utilizzato in tutta la trattazione
4
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Figura 3 Semplice schema dei processi che danno origine alla circolazione di Hadley Notia-mo lrsquoeffetto della forte insolazione nella zona equatoriale e gli spostamenti simmetrici dellemasse drsquoaria in seguito allrsquoazione della forza di Coriolis
21 Circolazione simmetrica non lineare
Il modello della circolazione simmetrica non lineare egrave stato proposto nel 2001 da Sobel et alper studiare la circolazione di Hadley Si basa sullrsquoapprossimazione di Debole Gradiente di
Temperatura generalmente abbraviata con WTG (Weak Temperature Gradient ) che rappre-senta un modello di equilibrio caratteristico dei tropici Questa approssimazione impone cheil gradiente di temperatura ai tropici sia molto basso e viene posto nullo al fine di risolverele equazioni in maniera semplificata
Il problema di cui ci occupiamo egrave ricavare lrsquoequazione del moto di una generica cella diHadley durante la convezione basandoci su un modello molto esemplificato che non rispecchiala realtagrave ma che fornisce unrsquoidea delle linee generali del processo
La soluzione piugrave semplice egrave ricavata escludendo in un primo momento lrsquoattrito viscosodella cella di Hadley con il suolo terrestre
Premettiamo che in questo scritto svilupperemo la trattazione utilizzando sempre le coor-dinate locali (xyz ) e non quelle sferiche (φ z ) per una questione di comoditagrave e soprattuttodal momento che verragrave ribadita piugrave volte lrsquoapprossimazione di piccoli angoli per cui vale lasemplice relazione dy ≃ adφ
La prima equazione necessaria egrave quella del vento termico che viene ricavata dalle equazionidi vento geostrofico
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
dove u egrave la velocitagrave al livello piugrave in alto T egrave la temperatura g lrsquoaccelerazione di gravitagrave ed f
il parametro di Coriolis definito come f = 2Ωsinφ Integrando fino ad unrsquoaltezza H costante
5
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otteniamo
minusf u = gH
T 0
partT
party
dove T 0 egrave la temperatura al livello zero Assumo ora lrsquoapprossimazione del piano β in cuif = f 0 + βy ed essendoci posti vicino allrsquoequilibrio allora vale f 0 ≃ 0 da cui lrsquoequazionediventa
minusβyu = gH T 0
partT party
La seconda equazione deriva dalla conservazione dellrsquoimpulso o legge del moto
partu
partt + u
partu
partx + v
partu
party = f v minus 1
ρ
partp
partx
in cui p egrave la pressione e ρ la densitagrave del fluido Applichiamo la media zonale (vedi Appendice(35)) e valutiamo lo stato stazionario viene cosigrave eliminata la derivata rispetto alla coordinatax e rispetto al tempo
v983080
partuparty minus f
983081 = 0
Lrsquoultima equazione necessaria per la risoluzione egrave quella relativa alla termodinamica del siste-ma che determina la variazione totale della temperatura potenziale θ (definita nellrsquoAppendice34)
Dθ
Dt =
θE minus θ
τ
Abbiamo assunto cosigrave lrsquoapprossimazione di Cooling Newtoniano in cui il profilo della tempe-ratura di equilibrio egrave θE e il sistema tende a rilassare fino a questa in un tempo caratteristico
indicato con τ Questo determina che in zone in cui la temperatura effettiva θ egrave maggiore diquella di equilibrio allora la derivata completa egrave positiva e il sistema si raffredda e viceversase la θ egrave minore di θE il sistema si scalda per arrivare allrsquoequilibrio (vedi Fig4)
Esplicitando la derivata totale e ponendoci in condizioni stazionarie si ottiene u partθpartx
+v partθparty
=θEminusθτ
Sapendo che partupartx
+partvparty
= 0 allora si ottiene facilmente che lrsquoequazione precedente egrave uguale
a part (uθ)partx
+ part (vθ)party
= θEminusθτ
imponendo poi la media zonale si elimina la derivata in x Integrandodalla latitudine zero fino ad H e supponendo che il termine θE minus θ sia costante con la quotae che il primo membro sia diverso da zero nello spessore di aria δ che egrave quello che si trova inalta quota rispetto alla complessiva altezza della troposfera e di cui stiamo considerando ilmoto otteniamo
δ ∆zpartv
party =
H
τ (θE minus θ)
dove ∆z egrave la differenza di temperatura potenziale tra la superficie e lo strato superiore dialtezza H Tenendo presente che la temperatura T egrave legata alla temperatura potenziale dallarelazione seguente
T = θ( ptps)RC p
Dove pt e ps sono rispettivamente i valori delle pressioni della superficie e della tropopausalrsquoequazione risulta corretta
Abbiamo allora presentato le equazioni fondamentali Le soluzioni che descrivono ilproblema sono gli andamenti della velocitagrave meridionale v della temperatura potenziale θ (che
6
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successivamente indicheremo con η) della velocitagrave zonale u in funzione della coordinata yLa risoluzione numerica viene presentata nel prossimo capitolo in questo invece ne otteniamola soluzione analiticamente
La prima equazione egrave possibile integrarla banalmente ottenendo la semplice equazionedella conservazione del momento angolare
u = 1
2βy2 + cost
Infatti sostituendo β = 2Ωcosφa sim 2Ωa e y sim asinφ dove a rappresenta il raggio terrestre
u = 1
2
2Ω
a (asinφ)2 = Ωasin2φ
e ricordando lrsquoequazione del momento angolare Ωa2 = acosφ(Ωacosφ + u) vediamo chericavando la velocitagrave u ed imponendo il limite di angoli piccoli per cui sinφ sim φ si ottieneesattamente la stessa equazione
u = aΩsin2φcosφ ≃ Ωaφ2
Dalle osservazioni sulla temperatura si evince che lrsquoandamento del rapporto tra θE e unatemperatura di riferimento θ0 in funzione della coordinata y egrave approssimabile ad una funzioneanalitica del tipo
θE (φ z )
θ0= 1minus 2
3∆yP 2(sinφ) + ∆z
983080 z
H minus 1
2
983081Dove P 2 egrave il secondo polinomio di Legendre P 2(sinφ) = (3sin2φminus 1)2 ∆y egrave la differenza ditemperatura tra il polo e lrsquoequatore Per cui si vede che per z = H2 e nellrsquoapprossimazionedi piccoli angoli y = asinφ
≃aφ e una volta applicata una media verticale
θE θ0
= 1 + 1
3∆y minus∆y
(y
2
10486172
espressione che puograve essere anche scritta come
θE = θE 0 minus ∆θy
2
2
in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y
Tornando allrsquoequazione del vento termico che avevamo trovato possiamo ora integrarla
imponendo le condizione al contorno Fissiamo che oltre una determinata latitudine indicatacon yH la cella di Hadley non puograve sconfinare perciograve per y ge yH vale v = 0 Alla stessalatitudine vale inoltre che θ = θE Lrsquoequazione del vento termico integrata egrave
minus1
2β 2y3 =
gH
T 0
partT
party rArr
partT
party = minus T 0
2gH β 2y3 = minus T 0
2L4ρ
y3
dove con Lρ = (radic
gHb)12 indichiamo il raggio di Rossby equatoriale Lrsquointegrazione su ye la sostituzione di T con la sua espressione in funzione della temperatura potenziale ci dagrave
unrsquoequazione per questrsquoultimaθ = C minus Dy4
7
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dove C egrave la costante che deriva dallrsquointegrazione determinata imponendo le precendenticondizioni e D egrave definita come
D =
983080 ps pt
983081RC p T 08L4
ρ
Ricaviamo cosigrave lrsquoespressione totale della θ
θ = θE (yH ) + D(y4H + y4) = θE 0 minus ∆θ
983080yH a
2983081
+ D(y4H + y4)
In questo modo posso ricavare la velocitagrave meridionale v in funzione di y sostituendo laprecedente espressione
v(y) = H
δ ∆zτ
983131∆θ
a2
983080y2H y minus
y3
3
983081+ D
983080y5
5 minus y4
H y
983081983133 (1)
la costante di integrazione egrave stata posta nulla percheacute allrsquoequatore per ragioni di simmetriav = 0 Inoltre come giagrave detto v = 0 anche per y = yH da cui si ottiene
yH =
983080 5∆θ
6a2D
98308112
Imponendo che oltre la cella di Hadley la velocitagrave zonale egrave quella che corrisponde allatemperatura di equilibrio q E otteniamo
uE = gH ∆y
Ωθ0a
In questo modo abbiamo trovato anche lrsquoandamento delle velocitagrave in quota dove vieneconservato il momento angolare mentre ora vogliamo trovare lrsquoandamento di quella zonalein prossimitagrave della superficie terrestre In questa regione perograve entra in gioco lrsquoattrito conil suolo e bisogna includere la sua influenza sulle equazioni del moto e termodinamiche Inquesta regione stiamo quindi trattando il moto degli alisei
Riscriviamo allora lrsquoequazione del moto sostituendo la derivata della velocitagrave v rispettoalla latitudine y
partu
partt + v
partu
party minus uv
a tanφ = f v +
part
partz 983080K partu
partz 983081
Questa equazione puograve essere vista come se al parametro di Coriolis f si vada a sostituireun parametro di Coriolis formato da un termine aggiuntivo f + utanφa Ricordiamoche il parametro f vale f = 2Ωsinφ e che quindi allrsquoequatore va a zero In questo modo iltermine aggiuntivo presente fa sigrave che le forze di Coriolis e di pressione non sono piugrave bilanciateSecondo questa visione la forza di Coriolis ha assunto quindi il valore pari a uvacosφ
partu
partt + v
partu
party minus v
(u
atanφ + f
1048617 =
part
partz
983080K
partu
partz
983081
Il termine al secondo membro reppresenta la derivata del flusso della quantitagrave di moto Il
fluido al suo interno presenta un gradiente di velocitagrave partupartz questo provoca quindi un flussodi quantitagrave di moto dalla superficie verso il fondo Per la legge di diffusione consideriamo il
8
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flusso come proporzionale al gradiente di velocitagrave con costante K La derivata si giustificapoicheacute si osserva che il primo membro dellrsquoequazione rappresenta la divergenza del momentoassociato allrsquoatomosfera Infatti sappiamo che lrsquoequazione complessiva deve rappresentare laconservazione del momento angolare totale del sistema aria-superficie terrestre che si indicain generale con la divergenza del momento angolare posta uguale a zero
nabla middotM = 0
di conseguenza nel nostro caso il primo membro rappresenta la divergenza del momentodellrsquoatmosfera e il secondo membro il momento dissipato dalla superficie In altre parole egravelrsquouguaglianza tra la divergenza orizzontale e quella verticale
Possiamo ora riscrivere lrsquoequazione utilizzando la divergenza e ricordando che nabla middot u = 0
nabla middot (uu) minus uv
a tanφ minus f v minus part
partz
983080K
partu
partz
983081 = 0 (2)
percheacute osserviamo che nabla middot (uu) = u middot nablau + unabla middot u = u middot nablau = u(partupartx) + v(partuparty)
Lrsquoespressione del momento M egrave M = Ωa2
cos2
φ+uacosφ da questo e dal fatto che M prop usi ottiene che lrsquoequazione precedente puograve essere riscritta nel seguente modo
nabla middot (uM ) = K part 2M
partz 2 (3)
Integrando questa equazione rispetto alla quota z ed indicando con U la velocitagrave u integratatra gli estremi z = 0 e z = H
nabla middot (UM ) = K partM
partz
che equivale a scrivere
U partM partx
+ V part M party
= K partM partz
e facendo la media zonale si elimina la derivata in x In questo modo possiamo ricavarelrsquoandamento della velocitagrave u in prossimitagrave del suolo u(0) Innanzitutto osserviamo che
V part M
party =
partvM
party
e per la definizione del momento angolare si ottengono le seguenti uguaglianze
part (vM )
party sim part
party (vau) = K
partM
partz = K
partau
partz = minusaCu(0)
dove abbiamo imposto le condizioni al contorno in superficie e alla sommitagrave per cui la velocitagravezonale risulta nulla In questo modo si ottiene che lrsquoeffetto dellrsquoattrito relativo allrsquointerazionecon la superficie terrestre egrave proporzionale al raggio della Terra a e alla velocitagrave in prossimitagravedel suolo u(z = 0) Ricaviamo allora lrsquoandamento di questrsquoultima in funzione della latitudinederivando lrsquoequazione della velocitagrave v che avevamo precedentemente ricavato
Ottenendo infine
u(0) = minus 5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
1048667983080
y
yH 9830812
minus 10
3 983080 y
yH 9830814
+ 7
3 983080 y
yH 98308161048669
(4)
Abbiamo cosigrave ricavato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in prossimitagrave della superficie
9
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22 Grafici ed altre considerazioni
Riportiamo nel primo grafico lrsquoandamento della temperatura potenziale in funzione dellalatitudine y Nel secondo grafico egrave presentato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in quota esulla superficie terrestre rispettivamente di colori rosso e blu
Egrave stato utile normalizzare le grandezze tramite degli opportuni fattori La velocitagrave zonale
in quota viene divisa per il valore di uE precedentemente ricavato
uE = gH ∆y
Ωθ0a
mentre sulla superficie viene normalizzata tramite il fattore
5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
y
theta
Etheta
340
330
320
310
T e m
p e r a t u r e ( K )
Figura 4 Temperatura potenziale Viene riportata in questo grafico il profilo di temperatura
potenziale della cella di Hadley in funzione della coordinata y e il profilo di temperatura diequilibrio indicato con thetaE Entrambi non sono normalizzati la temperatura egrave misuratain gradi Kelvin
10
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15
10
05
y
00
u(0)
u(H)
Figura 5 Velocitagrave zonale normalizzata Viene riportata in questo grafico la velocitagrave zonalenormalizzata con i coefficienti appena presentati nei due andamenti a quota H (linea rossa)e al livello del mare di altitudine 0 (linea blu) Si noti nel primo plot inizialmente lrsquoandamentoparabolico e successivamente la discontinuitagrave in corrispondenza della latitudne limite dellacella di Hadley (il valore del quale in questo grafico non egrave indicato percheacute non indicativonelle dimensioni del plot in questione ma che successivamente verragrave ricavato)
Osserviamo nel primo grafico la latitudine limite indicata nello scritto come yH (nonindicata sul grafico) punto in cui le due temperature si uguagliano dopo delle appenaaccennate oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio Nel secondo grafico osserviamoinnanzitutto lrsquoandamento della velocitagrave in quota che per il tipo di equazione introdottarisulta avere una discontinuitagrave proprio nel punto yH dopo del quale assume il valore costante10 essendo normalizzata ad uE Nello stesso grafico osserviamo poi la differente scala dellavelocitagrave zonale sulla superficie che pur con la costante di normalizzazione diversa risultaessere di intensitagrave molto minore In particolare di questo plot si osserva la presenza di valori
positivi e negativi questi ultimi rappresentano le masse drsquoaria che prendono il nome di alisei
A questo punto prima di procedere egrave interessante evidenziare la validitagrave dei risultatiottenuti tramite lrsquointroduzione di alcuni dati osservativi Dallrsquoarticolo di Sobel e Schneider(vedi Bibliografia) pervengono i seguenti valori
τ = 37days H = 16km δ = 4km T 0 = 300K ∆z = 60K ∆y = 100K θ0 = 330K
sostituendoli otteniamoyH ≃ 27000Km
che tramite lrsquoequazione del cambio di coordinate definisce la latitudine limite come φH ≃ 24oQuesto egrave abbastanza importante perchegrave riconferma lrsquoipotesi di piccoli angoli che avevamo
11
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introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y
23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione
Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido
Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)
Du
Dt minusf v =
minus
1
ρ
partP
partx
=
minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti
Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi
L =
radic g
f
T = 1
f
Allora la velocitagrave normalizzata saragrave
vprime = f 2radic
gv
Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partvpartt
+ v partvparty
+ f u = minusg parthparty minus αv (5)
A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave
parth
partt +
part
partx
9831319830801 +
h
H
983081u
983133+
part
party
9831319830801 +
h
H
983081v
983133 = 0
Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH
partηpartt
+ part partx
[(1 + η) u] + part party
[(1 + η) v] = 0 (6)
12
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
13
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
16
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
17
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
23
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
24
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
27
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
28
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
29
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Figura 3 Semplice schema dei processi che danno origine alla circolazione di Hadley Notia-mo lrsquoeffetto della forte insolazione nella zona equatoriale e gli spostamenti simmetrici dellemasse drsquoaria in seguito allrsquoazione della forza di Coriolis
21 Circolazione simmetrica non lineare
Il modello della circolazione simmetrica non lineare egrave stato proposto nel 2001 da Sobel et alper studiare la circolazione di Hadley Si basa sullrsquoapprossimazione di Debole Gradiente di
Temperatura generalmente abbraviata con WTG (Weak Temperature Gradient ) che rappre-senta un modello di equilibrio caratteristico dei tropici Questa approssimazione impone cheil gradiente di temperatura ai tropici sia molto basso e viene posto nullo al fine di risolverele equazioni in maniera semplificata
Il problema di cui ci occupiamo egrave ricavare lrsquoequazione del moto di una generica cella diHadley durante la convezione basandoci su un modello molto esemplificato che non rispecchiala realtagrave ma che fornisce unrsquoidea delle linee generali del processo
La soluzione piugrave semplice egrave ricavata escludendo in un primo momento lrsquoattrito viscosodella cella di Hadley con il suolo terrestre
Premettiamo che in questo scritto svilupperemo la trattazione utilizzando sempre le coor-dinate locali (xyz ) e non quelle sferiche (φ z ) per una questione di comoditagrave e soprattuttodal momento che verragrave ribadita piugrave volte lrsquoapprossimazione di piccoli angoli per cui vale lasemplice relazione dy ≃ adφ
La prima equazione necessaria egrave quella del vento termico che viene ricavata dalle equazionidi vento geostrofico
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
dove u egrave la velocitagrave al livello piugrave in alto T egrave la temperatura g lrsquoaccelerazione di gravitagrave ed f
il parametro di Coriolis definito come f = 2Ωsinφ Integrando fino ad unrsquoaltezza H costante
5
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otteniamo
minusf u = gH
T 0
partT
party
dove T 0 egrave la temperatura al livello zero Assumo ora lrsquoapprossimazione del piano β in cuif = f 0 + βy ed essendoci posti vicino allrsquoequilibrio allora vale f 0 ≃ 0 da cui lrsquoequazionediventa
minusβyu = gH T 0
partT party
La seconda equazione deriva dalla conservazione dellrsquoimpulso o legge del moto
partu
partt + u
partu
partx + v
partu
party = f v minus 1
ρ
partp
partx
in cui p egrave la pressione e ρ la densitagrave del fluido Applichiamo la media zonale (vedi Appendice(35)) e valutiamo lo stato stazionario viene cosigrave eliminata la derivata rispetto alla coordinatax e rispetto al tempo
v983080
partuparty minus f
983081 = 0
Lrsquoultima equazione necessaria per la risoluzione egrave quella relativa alla termodinamica del siste-ma che determina la variazione totale della temperatura potenziale θ (definita nellrsquoAppendice34)
Dθ
Dt =
θE minus θ
τ
Abbiamo assunto cosigrave lrsquoapprossimazione di Cooling Newtoniano in cui il profilo della tempe-ratura di equilibrio egrave θE e il sistema tende a rilassare fino a questa in un tempo caratteristico
indicato con τ Questo determina che in zone in cui la temperatura effettiva θ egrave maggiore diquella di equilibrio allora la derivata completa egrave positiva e il sistema si raffredda e viceversase la θ egrave minore di θE il sistema si scalda per arrivare allrsquoequilibrio (vedi Fig4)
Esplicitando la derivata totale e ponendoci in condizioni stazionarie si ottiene u partθpartx
+v partθparty
=θEminusθτ
Sapendo che partupartx
+partvparty
= 0 allora si ottiene facilmente che lrsquoequazione precedente egrave uguale
a part (uθ)partx
+ part (vθ)party
= θEminusθτ
imponendo poi la media zonale si elimina la derivata in x Integrandodalla latitudine zero fino ad H e supponendo che il termine θE minus θ sia costante con la quotae che il primo membro sia diverso da zero nello spessore di aria δ che egrave quello che si trova inalta quota rispetto alla complessiva altezza della troposfera e di cui stiamo considerando ilmoto otteniamo
δ ∆zpartv
party =
H
τ (θE minus θ)
dove ∆z egrave la differenza di temperatura potenziale tra la superficie e lo strato superiore dialtezza H Tenendo presente che la temperatura T egrave legata alla temperatura potenziale dallarelazione seguente
T = θ( ptps)RC p
Dove pt e ps sono rispettivamente i valori delle pressioni della superficie e della tropopausalrsquoequazione risulta corretta
Abbiamo allora presentato le equazioni fondamentali Le soluzioni che descrivono ilproblema sono gli andamenti della velocitagrave meridionale v della temperatura potenziale θ (che
6
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successivamente indicheremo con η) della velocitagrave zonale u in funzione della coordinata yLa risoluzione numerica viene presentata nel prossimo capitolo in questo invece ne otteniamola soluzione analiticamente
La prima equazione egrave possibile integrarla banalmente ottenendo la semplice equazionedella conservazione del momento angolare
u = 1
2βy2 + cost
Infatti sostituendo β = 2Ωcosφa sim 2Ωa e y sim asinφ dove a rappresenta il raggio terrestre
u = 1
2
2Ω
a (asinφ)2 = Ωasin2φ
e ricordando lrsquoequazione del momento angolare Ωa2 = acosφ(Ωacosφ + u) vediamo chericavando la velocitagrave u ed imponendo il limite di angoli piccoli per cui sinφ sim φ si ottieneesattamente la stessa equazione
u = aΩsin2φcosφ ≃ Ωaφ2
Dalle osservazioni sulla temperatura si evince che lrsquoandamento del rapporto tra θE e unatemperatura di riferimento θ0 in funzione della coordinata y egrave approssimabile ad una funzioneanalitica del tipo
θE (φ z )
θ0= 1minus 2
3∆yP 2(sinφ) + ∆z
983080 z
H minus 1
2
983081Dove P 2 egrave il secondo polinomio di Legendre P 2(sinφ) = (3sin2φminus 1)2 ∆y egrave la differenza ditemperatura tra il polo e lrsquoequatore Per cui si vede che per z = H2 e nellrsquoapprossimazionedi piccoli angoli y = asinφ
≃aφ e una volta applicata una media verticale
θE θ0
= 1 + 1
3∆y minus∆y
(y
2
10486172
espressione che puograve essere anche scritta come
θE = θE 0 minus ∆θy
2
2
in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y
Tornando allrsquoequazione del vento termico che avevamo trovato possiamo ora integrarla
imponendo le condizione al contorno Fissiamo che oltre una determinata latitudine indicatacon yH la cella di Hadley non puograve sconfinare perciograve per y ge yH vale v = 0 Alla stessalatitudine vale inoltre che θ = θE Lrsquoequazione del vento termico integrata egrave
minus1
2β 2y3 =
gH
T 0
partT
party rArr
partT
party = minus T 0
2gH β 2y3 = minus T 0
2L4ρ
y3
dove con Lρ = (radic
gHb)12 indichiamo il raggio di Rossby equatoriale Lrsquointegrazione su ye la sostituzione di T con la sua espressione in funzione della temperatura potenziale ci dagrave
unrsquoequazione per questrsquoultimaθ = C minus Dy4
7
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dove C egrave la costante che deriva dallrsquointegrazione determinata imponendo le precendenticondizioni e D egrave definita come
D =
983080 ps pt
983081RC p T 08L4
ρ
Ricaviamo cosigrave lrsquoespressione totale della θ
θ = θE (yH ) + D(y4H + y4) = θE 0 minus ∆θ
983080yH a
2983081
+ D(y4H + y4)
In questo modo posso ricavare la velocitagrave meridionale v in funzione di y sostituendo laprecedente espressione
v(y) = H
δ ∆zτ
983131∆θ
a2
983080y2H y minus
y3
3
983081+ D
983080y5
5 minus y4
H y
983081983133 (1)
la costante di integrazione egrave stata posta nulla percheacute allrsquoequatore per ragioni di simmetriav = 0 Inoltre come giagrave detto v = 0 anche per y = yH da cui si ottiene
yH =
983080 5∆θ
6a2D
98308112
Imponendo che oltre la cella di Hadley la velocitagrave zonale egrave quella che corrisponde allatemperatura di equilibrio q E otteniamo
uE = gH ∆y
Ωθ0a
In questo modo abbiamo trovato anche lrsquoandamento delle velocitagrave in quota dove vieneconservato il momento angolare mentre ora vogliamo trovare lrsquoandamento di quella zonalein prossimitagrave della superficie terrestre In questa regione perograve entra in gioco lrsquoattrito conil suolo e bisogna includere la sua influenza sulle equazioni del moto e termodinamiche Inquesta regione stiamo quindi trattando il moto degli alisei
Riscriviamo allora lrsquoequazione del moto sostituendo la derivata della velocitagrave v rispettoalla latitudine y
partu
partt + v
partu
party minus uv
a tanφ = f v +
part
partz 983080K partu
partz 983081
Questa equazione puograve essere vista come se al parametro di Coriolis f si vada a sostituireun parametro di Coriolis formato da un termine aggiuntivo f + utanφa Ricordiamoche il parametro f vale f = 2Ωsinφ e che quindi allrsquoequatore va a zero In questo modo iltermine aggiuntivo presente fa sigrave che le forze di Coriolis e di pressione non sono piugrave bilanciateSecondo questa visione la forza di Coriolis ha assunto quindi il valore pari a uvacosφ
partu
partt + v
partu
party minus v
(u
atanφ + f
1048617 =
part
partz
983080K
partu
partz
983081
Il termine al secondo membro reppresenta la derivata del flusso della quantitagrave di moto Il
fluido al suo interno presenta un gradiente di velocitagrave partupartz questo provoca quindi un flussodi quantitagrave di moto dalla superficie verso il fondo Per la legge di diffusione consideriamo il
8
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flusso come proporzionale al gradiente di velocitagrave con costante K La derivata si giustificapoicheacute si osserva che il primo membro dellrsquoequazione rappresenta la divergenza del momentoassociato allrsquoatomosfera Infatti sappiamo che lrsquoequazione complessiva deve rappresentare laconservazione del momento angolare totale del sistema aria-superficie terrestre che si indicain generale con la divergenza del momento angolare posta uguale a zero
nabla middotM = 0
di conseguenza nel nostro caso il primo membro rappresenta la divergenza del momentodellrsquoatmosfera e il secondo membro il momento dissipato dalla superficie In altre parole egravelrsquouguaglianza tra la divergenza orizzontale e quella verticale
Possiamo ora riscrivere lrsquoequazione utilizzando la divergenza e ricordando che nabla middot u = 0
nabla middot (uu) minus uv
a tanφ minus f v minus part
partz
983080K
partu
partz
983081 = 0 (2)
percheacute osserviamo che nabla middot (uu) = u middot nablau + unabla middot u = u middot nablau = u(partupartx) + v(partuparty)
Lrsquoespressione del momento M egrave M = Ωa2
cos2
φ+uacosφ da questo e dal fatto che M prop usi ottiene che lrsquoequazione precedente puograve essere riscritta nel seguente modo
nabla middot (uM ) = K part 2M
partz 2 (3)
Integrando questa equazione rispetto alla quota z ed indicando con U la velocitagrave u integratatra gli estremi z = 0 e z = H
nabla middot (UM ) = K partM
partz
che equivale a scrivere
U partM partx
+ V part M party
= K partM partz
e facendo la media zonale si elimina la derivata in x In questo modo possiamo ricavarelrsquoandamento della velocitagrave u in prossimitagrave del suolo u(0) Innanzitutto osserviamo che
V part M
party =
partvM
party
e per la definizione del momento angolare si ottengono le seguenti uguaglianze
part (vM )
party sim part
party (vau) = K
partM
partz = K
partau
partz = minusaCu(0)
dove abbiamo imposto le condizioni al contorno in superficie e alla sommitagrave per cui la velocitagravezonale risulta nulla In questo modo si ottiene che lrsquoeffetto dellrsquoattrito relativo allrsquointerazionecon la superficie terrestre egrave proporzionale al raggio della Terra a e alla velocitagrave in prossimitagravedel suolo u(z = 0) Ricaviamo allora lrsquoandamento di questrsquoultima in funzione della latitudinederivando lrsquoequazione della velocitagrave v che avevamo precedentemente ricavato
Ottenendo infine
u(0) = minus 5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
1048667983080
y
yH 9830812
minus 10
3 983080 y
yH 9830814
+ 7
3 983080 y
yH 98308161048669
(4)
Abbiamo cosigrave ricavato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in prossimitagrave della superficie
9
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22 Grafici ed altre considerazioni
Riportiamo nel primo grafico lrsquoandamento della temperatura potenziale in funzione dellalatitudine y Nel secondo grafico egrave presentato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in quota esulla superficie terrestre rispettivamente di colori rosso e blu
Egrave stato utile normalizzare le grandezze tramite degli opportuni fattori La velocitagrave zonale
in quota viene divisa per il valore di uE precedentemente ricavato
uE = gH ∆y
Ωθ0a
mentre sulla superficie viene normalizzata tramite il fattore
5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
y
theta
Etheta
340
330
320
310
T e m
p e r a t u r e ( K )
Figura 4 Temperatura potenziale Viene riportata in questo grafico il profilo di temperatura
potenziale della cella di Hadley in funzione della coordinata y e il profilo di temperatura diequilibrio indicato con thetaE Entrambi non sono normalizzati la temperatura egrave misuratain gradi Kelvin
10
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15
10
05
y
00
u(0)
u(H)
Figura 5 Velocitagrave zonale normalizzata Viene riportata in questo grafico la velocitagrave zonalenormalizzata con i coefficienti appena presentati nei due andamenti a quota H (linea rossa)e al livello del mare di altitudine 0 (linea blu) Si noti nel primo plot inizialmente lrsquoandamentoparabolico e successivamente la discontinuitagrave in corrispondenza della latitudne limite dellacella di Hadley (il valore del quale in questo grafico non egrave indicato percheacute non indicativonelle dimensioni del plot in questione ma che successivamente verragrave ricavato)
Osserviamo nel primo grafico la latitudine limite indicata nello scritto come yH (nonindicata sul grafico) punto in cui le due temperature si uguagliano dopo delle appenaaccennate oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio Nel secondo grafico osserviamoinnanzitutto lrsquoandamento della velocitagrave in quota che per il tipo di equazione introdottarisulta avere una discontinuitagrave proprio nel punto yH dopo del quale assume il valore costante10 essendo normalizzata ad uE Nello stesso grafico osserviamo poi la differente scala dellavelocitagrave zonale sulla superficie che pur con la costante di normalizzazione diversa risultaessere di intensitagrave molto minore In particolare di questo plot si osserva la presenza di valori
positivi e negativi questi ultimi rappresentano le masse drsquoaria che prendono il nome di alisei
A questo punto prima di procedere egrave interessante evidenziare la validitagrave dei risultatiottenuti tramite lrsquointroduzione di alcuni dati osservativi Dallrsquoarticolo di Sobel e Schneider(vedi Bibliografia) pervengono i seguenti valori
τ = 37days H = 16km δ = 4km T 0 = 300K ∆z = 60K ∆y = 100K θ0 = 330K
sostituendoli otteniamoyH ≃ 27000Km
che tramite lrsquoequazione del cambio di coordinate definisce la latitudine limite come φH ≃ 24oQuesto egrave abbastanza importante perchegrave riconferma lrsquoipotesi di piccoli angoli che avevamo
11
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introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y
23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione
Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido
Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)
Du
Dt minusf v =
minus
1
ρ
partP
partx
=
minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti
Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi
L =
radic g
f
T = 1
f
Allora la velocitagrave normalizzata saragrave
vprime = f 2radic
gv
Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partvpartt
+ v partvparty
+ f u = minusg parthparty minus αv (5)
A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave
parth
partt +
part
partx
9831319830801 +
h
H
983081u
983133+
part
party
9831319830801 +
h
H
983081v
983133 = 0
Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH
partηpartt
+ part partx
[(1 + η) u] + part party
[(1 + η) v] = 0 (6)
12
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
16
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2131
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
20
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2231
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
23
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
24
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
26
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
27
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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otteniamo
minusf u = gH
T 0
partT
party
dove T 0 egrave la temperatura al livello zero Assumo ora lrsquoapprossimazione del piano β in cuif = f 0 + βy ed essendoci posti vicino allrsquoequilibrio allora vale f 0 ≃ 0 da cui lrsquoequazionediventa
minusβyu = gH T 0
partT party
La seconda equazione deriva dalla conservazione dellrsquoimpulso o legge del moto
partu
partt + u
partu
partx + v
partu
party = f v minus 1
ρ
partp
partx
in cui p egrave la pressione e ρ la densitagrave del fluido Applichiamo la media zonale (vedi Appendice(35)) e valutiamo lo stato stazionario viene cosigrave eliminata la derivata rispetto alla coordinatax e rispetto al tempo
v983080
partuparty minus f
983081 = 0
Lrsquoultima equazione necessaria per la risoluzione egrave quella relativa alla termodinamica del siste-ma che determina la variazione totale della temperatura potenziale θ (definita nellrsquoAppendice34)
Dθ
Dt =
θE minus θ
τ
Abbiamo assunto cosigrave lrsquoapprossimazione di Cooling Newtoniano in cui il profilo della tempe-ratura di equilibrio egrave θE e il sistema tende a rilassare fino a questa in un tempo caratteristico
indicato con τ Questo determina che in zone in cui la temperatura effettiva θ egrave maggiore diquella di equilibrio allora la derivata completa egrave positiva e il sistema si raffredda e viceversase la θ egrave minore di θE il sistema si scalda per arrivare allrsquoequilibrio (vedi Fig4)
Esplicitando la derivata totale e ponendoci in condizioni stazionarie si ottiene u partθpartx
+v partθparty
=θEminusθτ
Sapendo che partupartx
+partvparty
= 0 allora si ottiene facilmente che lrsquoequazione precedente egrave uguale
a part (uθ)partx
+ part (vθ)party
= θEminusθτ
imponendo poi la media zonale si elimina la derivata in x Integrandodalla latitudine zero fino ad H e supponendo che il termine θE minus θ sia costante con la quotae che il primo membro sia diverso da zero nello spessore di aria δ che egrave quello che si trova inalta quota rispetto alla complessiva altezza della troposfera e di cui stiamo considerando ilmoto otteniamo
δ ∆zpartv
party =
H
τ (θE minus θ)
dove ∆z egrave la differenza di temperatura potenziale tra la superficie e lo strato superiore dialtezza H Tenendo presente che la temperatura T egrave legata alla temperatura potenziale dallarelazione seguente
T = θ( ptps)RC p
Dove pt e ps sono rispettivamente i valori delle pressioni della superficie e della tropopausalrsquoequazione risulta corretta
Abbiamo allora presentato le equazioni fondamentali Le soluzioni che descrivono ilproblema sono gli andamenti della velocitagrave meridionale v della temperatura potenziale θ (che
6
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successivamente indicheremo con η) della velocitagrave zonale u in funzione della coordinata yLa risoluzione numerica viene presentata nel prossimo capitolo in questo invece ne otteniamola soluzione analiticamente
La prima equazione egrave possibile integrarla banalmente ottenendo la semplice equazionedella conservazione del momento angolare
u = 1
2βy2 + cost
Infatti sostituendo β = 2Ωcosφa sim 2Ωa e y sim asinφ dove a rappresenta il raggio terrestre
u = 1
2
2Ω
a (asinφ)2 = Ωasin2φ
e ricordando lrsquoequazione del momento angolare Ωa2 = acosφ(Ωacosφ + u) vediamo chericavando la velocitagrave u ed imponendo il limite di angoli piccoli per cui sinφ sim φ si ottieneesattamente la stessa equazione
u = aΩsin2φcosφ ≃ Ωaφ2
Dalle osservazioni sulla temperatura si evince che lrsquoandamento del rapporto tra θE e unatemperatura di riferimento θ0 in funzione della coordinata y egrave approssimabile ad una funzioneanalitica del tipo
θE (φ z )
θ0= 1minus 2
3∆yP 2(sinφ) + ∆z
983080 z
H minus 1
2
983081Dove P 2 egrave il secondo polinomio di Legendre P 2(sinφ) = (3sin2φminus 1)2 ∆y egrave la differenza ditemperatura tra il polo e lrsquoequatore Per cui si vede che per z = H2 e nellrsquoapprossimazionedi piccoli angoli y = asinφ
≃aφ e una volta applicata una media verticale
θE θ0
= 1 + 1
3∆y minus∆y
(y
2
10486172
espressione che puograve essere anche scritta come
θE = θE 0 minus ∆θy
2
2
in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y
Tornando allrsquoequazione del vento termico che avevamo trovato possiamo ora integrarla
imponendo le condizione al contorno Fissiamo che oltre una determinata latitudine indicatacon yH la cella di Hadley non puograve sconfinare perciograve per y ge yH vale v = 0 Alla stessalatitudine vale inoltre che θ = θE Lrsquoequazione del vento termico integrata egrave
minus1
2β 2y3 =
gH
T 0
partT
party rArr
partT
party = minus T 0
2gH β 2y3 = minus T 0
2L4ρ
y3
dove con Lρ = (radic
gHb)12 indichiamo il raggio di Rossby equatoriale Lrsquointegrazione su ye la sostituzione di T con la sua espressione in funzione della temperatura potenziale ci dagrave
unrsquoequazione per questrsquoultimaθ = C minus Dy4
7
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dove C egrave la costante che deriva dallrsquointegrazione determinata imponendo le precendenticondizioni e D egrave definita come
D =
983080 ps pt
983081RC p T 08L4
ρ
Ricaviamo cosigrave lrsquoespressione totale della θ
θ = θE (yH ) + D(y4H + y4) = θE 0 minus ∆θ
983080yH a
2983081
+ D(y4H + y4)
In questo modo posso ricavare la velocitagrave meridionale v in funzione di y sostituendo laprecedente espressione
v(y) = H
δ ∆zτ
983131∆θ
a2
983080y2H y minus
y3
3
983081+ D
983080y5
5 minus y4
H y
983081983133 (1)
la costante di integrazione egrave stata posta nulla percheacute allrsquoequatore per ragioni di simmetriav = 0 Inoltre come giagrave detto v = 0 anche per y = yH da cui si ottiene
yH =
983080 5∆θ
6a2D
98308112
Imponendo che oltre la cella di Hadley la velocitagrave zonale egrave quella che corrisponde allatemperatura di equilibrio q E otteniamo
uE = gH ∆y
Ωθ0a
In questo modo abbiamo trovato anche lrsquoandamento delle velocitagrave in quota dove vieneconservato il momento angolare mentre ora vogliamo trovare lrsquoandamento di quella zonalein prossimitagrave della superficie terrestre In questa regione perograve entra in gioco lrsquoattrito conil suolo e bisogna includere la sua influenza sulle equazioni del moto e termodinamiche Inquesta regione stiamo quindi trattando il moto degli alisei
Riscriviamo allora lrsquoequazione del moto sostituendo la derivata della velocitagrave v rispettoalla latitudine y
partu
partt + v
partu
party minus uv
a tanφ = f v +
part
partz 983080K partu
partz 983081
Questa equazione puograve essere vista come se al parametro di Coriolis f si vada a sostituireun parametro di Coriolis formato da un termine aggiuntivo f + utanφa Ricordiamoche il parametro f vale f = 2Ωsinφ e che quindi allrsquoequatore va a zero In questo modo iltermine aggiuntivo presente fa sigrave che le forze di Coriolis e di pressione non sono piugrave bilanciateSecondo questa visione la forza di Coriolis ha assunto quindi il valore pari a uvacosφ
partu
partt + v
partu
party minus v
(u
atanφ + f
1048617 =
part
partz
983080K
partu
partz
983081
Il termine al secondo membro reppresenta la derivata del flusso della quantitagrave di moto Il
fluido al suo interno presenta un gradiente di velocitagrave partupartz questo provoca quindi un flussodi quantitagrave di moto dalla superficie verso il fondo Per la legge di diffusione consideriamo il
8
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flusso come proporzionale al gradiente di velocitagrave con costante K La derivata si giustificapoicheacute si osserva che il primo membro dellrsquoequazione rappresenta la divergenza del momentoassociato allrsquoatomosfera Infatti sappiamo che lrsquoequazione complessiva deve rappresentare laconservazione del momento angolare totale del sistema aria-superficie terrestre che si indicain generale con la divergenza del momento angolare posta uguale a zero
nabla middotM = 0
di conseguenza nel nostro caso il primo membro rappresenta la divergenza del momentodellrsquoatmosfera e il secondo membro il momento dissipato dalla superficie In altre parole egravelrsquouguaglianza tra la divergenza orizzontale e quella verticale
Possiamo ora riscrivere lrsquoequazione utilizzando la divergenza e ricordando che nabla middot u = 0
nabla middot (uu) minus uv
a tanφ minus f v minus part
partz
983080K
partu
partz
983081 = 0 (2)
percheacute osserviamo che nabla middot (uu) = u middot nablau + unabla middot u = u middot nablau = u(partupartx) + v(partuparty)
Lrsquoespressione del momento M egrave M = Ωa2
cos2
φ+uacosφ da questo e dal fatto che M prop usi ottiene che lrsquoequazione precedente puograve essere riscritta nel seguente modo
nabla middot (uM ) = K part 2M
partz 2 (3)
Integrando questa equazione rispetto alla quota z ed indicando con U la velocitagrave u integratatra gli estremi z = 0 e z = H
nabla middot (UM ) = K partM
partz
che equivale a scrivere
U partM partx
+ V part M party
= K partM partz
e facendo la media zonale si elimina la derivata in x In questo modo possiamo ricavarelrsquoandamento della velocitagrave u in prossimitagrave del suolo u(0) Innanzitutto osserviamo che
V part M
party =
partvM
party
e per la definizione del momento angolare si ottengono le seguenti uguaglianze
part (vM )
party sim part
party (vau) = K
partM
partz = K
partau
partz = minusaCu(0)
dove abbiamo imposto le condizioni al contorno in superficie e alla sommitagrave per cui la velocitagravezonale risulta nulla In questo modo si ottiene che lrsquoeffetto dellrsquoattrito relativo allrsquointerazionecon la superficie terrestre egrave proporzionale al raggio della Terra a e alla velocitagrave in prossimitagravedel suolo u(z = 0) Ricaviamo allora lrsquoandamento di questrsquoultima in funzione della latitudinederivando lrsquoequazione della velocitagrave v che avevamo precedentemente ricavato
Ottenendo infine
u(0) = minus 5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
1048667983080
y
yH 9830812
minus 10
3 983080 y
yH 9830814
+ 7
3 983080 y
yH 98308161048669
(4)
Abbiamo cosigrave ricavato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in prossimitagrave della superficie
9
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22 Grafici ed altre considerazioni
Riportiamo nel primo grafico lrsquoandamento della temperatura potenziale in funzione dellalatitudine y Nel secondo grafico egrave presentato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in quota esulla superficie terrestre rispettivamente di colori rosso e blu
Egrave stato utile normalizzare le grandezze tramite degli opportuni fattori La velocitagrave zonale
in quota viene divisa per il valore di uE precedentemente ricavato
uE = gH ∆y
Ωθ0a
mentre sulla superficie viene normalizzata tramite il fattore
5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
y
theta
Etheta
340
330
320
310
T e m
p e r a t u r e ( K )
Figura 4 Temperatura potenziale Viene riportata in questo grafico il profilo di temperatura
potenziale della cella di Hadley in funzione della coordinata y e il profilo di temperatura diequilibrio indicato con thetaE Entrambi non sono normalizzati la temperatura egrave misuratain gradi Kelvin
10
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15
10
05
y
00
u(0)
u(H)
Figura 5 Velocitagrave zonale normalizzata Viene riportata in questo grafico la velocitagrave zonalenormalizzata con i coefficienti appena presentati nei due andamenti a quota H (linea rossa)e al livello del mare di altitudine 0 (linea blu) Si noti nel primo plot inizialmente lrsquoandamentoparabolico e successivamente la discontinuitagrave in corrispondenza della latitudne limite dellacella di Hadley (il valore del quale in questo grafico non egrave indicato percheacute non indicativonelle dimensioni del plot in questione ma che successivamente verragrave ricavato)
Osserviamo nel primo grafico la latitudine limite indicata nello scritto come yH (nonindicata sul grafico) punto in cui le due temperature si uguagliano dopo delle appenaaccennate oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio Nel secondo grafico osserviamoinnanzitutto lrsquoandamento della velocitagrave in quota che per il tipo di equazione introdottarisulta avere una discontinuitagrave proprio nel punto yH dopo del quale assume il valore costante10 essendo normalizzata ad uE Nello stesso grafico osserviamo poi la differente scala dellavelocitagrave zonale sulla superficie che pur con la costante di normalizzazione diversa risultaessere di intensitagrave molto minore In particolare di questo plot si osserva la presenza di valori
positivi e negativi questi ultimi rappresentano le masse drsquoaria che prendono il nome di alisei
A questo punto prima di procedere egrave interessante evidenziare la validitagrave dei risultatiottenuti tramite lrsquointroduzione di alcuni dati osservativi Dallrsquoarticolo di Sobel e Schneider(vedi Bibliografia) pervengono i seguenti valori
τ = 37days H = 16km δ = 4km T 0 = 300K ∆z = 60K ∆y = 100K θ0 = 330K
sostituendoli otteniamoyH ≃ 27000Km
che tramite lrsquoequazione del cambio di coordinate definisce la latitudine limite come φH ≃ 24oQuesto egrave abbastanza importante perchegrave riconferma lrsquoipotesi di piccoli angoli che avevamo
11
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introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y
23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione
Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido
Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)
Du
Dt minusf v =
minus
1
ρ
partP
partx
=
minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti
Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi
L =
radic g
f
T = 1
f
Allora la velocitagrave normalizzata saragrave
vprime = f 2radic
gv
Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partvpartt
+ v partvparty
+ f u = minusg parthparty minus αv (5)
A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave
parth
partt +
part
partx
9831319830801 +
h
H
983081u
983133+
part
party
9831319830801 +
h
H
983081v
983133 = 0
Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH
partηpartt
+ part partx
[(1 + η) u] + part party
[(1 + η) v] = 0 (6)
12
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
13
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
16
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
20
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
21
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
22
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
23
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
24
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
25
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
26
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
27
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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successivamente indicheremo con η) della velocitagrave zonale u in funzione della coordinata yLa risoluzione numerica viene presentata nel prossimo capitolo in questo invece ne otteniamola soluzione analiticamente
La prima equazione egrave possibile integrarla banalmente ottenendo la semplice equazionedella conservazione del momento angolare
u = 1
2βy2 + cost
Infatti sostituendo β = 2Ωcosφa sim 2Ωa e y sim asinφ dove a rappresenta il raggio terrestre
u = 1
2
2Ω
a (asinφ)2 = Ωasin2φ
e ricordando lrsquoequazione del momento angolare Ωa2 = acosφ(Ωacosφ + u) vediamo chericavando la velocitagrave u ed imponendo il limite di angoli piccoli per cui sinφ sim φ si ottieneesattamente la stessa equazione
u = aΩsin2φcosφ ≃ Ωaφ2
Dalle osservazioni sulla temperatura si evince che lrsquoandamento del rapporto tra θE e unatemperatura di riferimento θ0 in funzione della coordinata y egrave approssimabile ad una funzioneanalitica del tipo
θE (φ z )
θ0= 1minus 2
3∆yP 2(sinφ) + ∆z
983080 z
H minus 1
2
983081Dove P 2 egrave il secondo polinomio di Legendre P 2(sinφ) = (3sin2φminus 1)2 ∆y egrave la differenza ditemperatura tra il polo e lrsquoequatore Per cui si vede che per z = H2 e nellrsquoapprossimazionedi piccoli angoli y = asinφ
≃aφ e una volta applicata una media verticale
θE θ0
= 1 + 1
3∆y minus∆y
(y
2
10486172
espressione che puograve essere anche scritta come
θE = θE 0 minus ∆θy
2
2
in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y
Tornando allrsquoequazione del vento termico che avevamo trovato possiamo ora integrarla
imponendo le condizione al contorno Fissiamo che oltre una determinata latitudine indicatacon yH la cella di Hadley non puograve sconfinare perciograve per y ge yH vale v = 0 Alla stessalatitudine vale inoltre che θ = θE Lrsquoequazione del vento termico integrata egrave
minus1
2β 2y3 =
gH
T 0
partT
party rArr
partT
party = minus T 0
2gH β 2y3 = minus T 0
2L4ρ
y3
dove con Lρ = (radic
gHb)12 indichiamo il raggio di Rossby equatoriale Lrsquointegrazione su ye la sostituzione di T con la sua espressione in funzione della temperatura potenziale ci dagrave
unrsquoequazione per questrsquoultimaθ = C minus Dy4
7
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dove C egrave la costante che deriva dallrsquointegrazione determinata imponendo le precendenticondizioni e D egrave definita come
D =
983080 ps pt
983081RC p T 08L4
ρ
Ricaviamo cosigrave lrsquoespressione totale della θ
θ = θE (yH ) + D(y4H + y4) = θE 0 minus ∆θ
983080yH a
2983081
+ D(y4H + y4)
In questo modo posso ricavare la velocitagrave meridionale v in funzione di y sostituendo laprecedente espressione
v(y) = H
δ ∆zτ
983131∆θ
a2
983080y2H y minus
y3
3
983081+ D
983080y5
5 minus y4
H y
983081983133 (1)
la costante di integrazione egrave stata posta nulla percheacute allrsquoequatore per ragioni di simmetriav = 0 Inoltre come giagrave detto v = 0 anche per y = yH da cui si ottiene
yH =
983080 5∆θ
6a2D
98308112
Imponendo che oltre la cella di Hadley la velocitagrave zonale egrave quella che corrisponde allatemperatura di equilibrio q E otteniamo
uE = gH ∆y
Ωθ0a
In questo modo abbiamo trovato anche lrsquoandamento delle velocitagrave in quota dove vieneconservato il momento angolare mentre ora vogliamo trovare lrsquoandamento di quella zonalein prossimitagrave della superficie terrestre In questa regione perograve entra in gioco lrsquoattrito conil suolo e bisogna includere la sua influenza sulle equazioni del moto e termodinamiche Inquesta regione stiamo quindi trattando il moto degli alisei
Riscriviamo allora lrsquoequazione del moto sostituendo la derivata della velocitagrave v rispettoalla latitudine y
partu
partt + v
partu
party minus uv
a tanφ = f v +
part
partz 983080K partu
partz 983081
Questa equazione puograve essere vista come se al parametro di Coriolis f si vada a sostituireun parametro di Coriolis formato da un termine aggiuntivo f + utanφa Ricordiamoche il parametro f vale f = 2Ωsinφ e che quindi allrsquoequatore va a zero In questo modo iltermine aggiuntivo presente fa sigrave che le forze di Coriolis e di pressione non sono piugrave bilanciateSecondo questa visione la forza di Coriolis ha assunto quindi il valore pari a uvacosφ
partu
partt + v
partu
party minus v
(u
atanφ + f
1048617 =
part
partz
983080K
partu
partz
983081
Il termine al secondo membro reppresenta la derivata del flusso della quantitagrave di moto Il
fluido al suo interno presenta un gradiente di velocitagrave partupartz questo provoca quindi un flussodi quantitagrave di moto dalla superficie verso il fondo Per la legge di diffusione consideriamo il
8
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flusso come proporzionale al gradiente di velocitagrave con costante K La derivata si giustificapoicheacute si osserva che il primo membro dellrsquoequazione rappresenta la divergenza del momentoassociato allrsquoatomosfera Infatti sappiamo che lrsquoequazione complessiva deve rappresentare laconservazione del momento angolare totale del sistema aria-superficie terrestre che si indicain generale con la divergenza del momento angolare posta uguale a zero
nabla middotM = 0
di conseguenza nel nostro caso il primo membro rappresenta la divergenza del momentodellrsquoatmosfera e il secondo membro il momento dissipato dalla superficie In altre parole egravelrsquouguaglianza tra la divergenza orizzontale e quella verticale
Possiamo ora riscrivere lrsquoequazione utilizzando la divergenza e ricordando che nabla middot u = 0
nabla middot (uu) minus uv
a tanφ minus f v minus part
partz
983080K
partu
partz
983081 = 0 (2)
percheacute osserviamo che nabla middot (uu) = u middot nablau + unabla middot u = u middot nablau = u(partupartx) + v(partuparty)
Lrsquoespressione del momento M egrave M = Ωa2
cos2
φ+uacosφ da questo e dal fatto che M prop usi ottiene che lrsquoequazione precedente puograve essere riscritta nel seguente modo
nabla middot (uM ) = K part 2M
partz 2 (3)
Integrando questa equazione rispetto alla quota z ed indicando con U la velocitagrave u integratatra gli estremi z = 0 e z = H
nabla middot (UM ) = K partM
partz
che equivale a scrivere
U partM partx
+ V part M party
= K partM partz
e facendo la media zonale si elimina la derivata in x In questo modo possiamo ricavarelrsquoandamento della velocitagrave u in prossimitagrave del suolo u(0) Innanzitutto osserviamo che
V part M
party =
partvM
party
e per la definizione del momento angolare si ottengono le seguenti uguaglianze
part (vM )
party sim part
party (vau) = K
partM
partz = K
partau
partz = minusaCu(0)
dove abbiamo imposto le condizioni al contorno in superficie e alla sommitagrave per cui la velocitagravezonale risulta nulla In questo modo si ottiene che lrsquoeffetto dellrsquoattrito relativo allrsquointerazionecon la superficie terrestre egrave proporzionale al raggio della Terra a e alla velocitagrave in prossimitagravedel suolo u(z = 0) Ricaviamo allora lrsquoandamento di questrsquoultima in funzione della latitudinederivando lrsquoequazione della velocitagrave v che avevamo precedentemente ricavato
Ottenendo infine
u(0) = minus 5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
1048667983080
y
yH 9830812
minus 10
3 983080 y
yH 9830814
+ 7
3 983080 y
yH 98308161048669
(4)
Abbiamo cosigrave ricavato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in prossimitagrave della superficie
9
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22 Grafici ed altre considerazioni
Riportiamo nel primo grafico lrsquoandamento della temperatura potenziale in funzione dellalatitudine y Nel secondo grafico egrave presentato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in quota esulla superficie terrestre rispettivamente di colori rosso e blu
Egrave stato utile normalizzare le grandezze tramite degli opportuni fattori La velocitagrave zonale
in quota viene divisa per il valore di uE precedentemente ricavato
uE = gH ∆y
Ωθ0a
mentre sulla superficie viene normalizzata tramite il fattore
5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
y
theta
Etheta
340
330
320
310
T e m
p e r a t u r e ( K )
Figura 4 Temperatura potenziale Viene riportata in questo grafico il profilo di temperatura
potenziale della cella di Hadley in funzione della coordinata y e il profilo di temperatura diequilibrio indicato con thetaE Entrambi non sono normalizzati la temperatura egrave misuratain gradi Kelvin
10
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15
10
05
y
00
u(0)
u(H)
Figura 5 Velocitagrave zonale normalizzata Viene riportata in questo grafico la velocitagrave zonalenormalizzata con i coefficienti appena presentati nei due andamenti a quota H (linea rossa)e al livello del mare di altitudine 0 (linea blu) Si noti nel primo plot inizialmente lrsquoandamentoparabolico e successivamente la discontinuitagrave in corrispondenza della latitudne limite dellacella di Hadley (il valore del quale in questo grafico non egrave indicato percheacute non indicativonelle dimensioni del plot in questione ma che successivamente verragrave ricavato)
Osserviamo nel primo grafico la latitudine limite indicata nello scritto come yH (nonindicata sul grafico) punto in cui le due temperature si uguagliano dopo delle appenaaccennate oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio Nel secondo grafico osserviamoinnanzitutto lrsquoandamento della velocitagrave in quota che per il tipo di equazione introdottarisulta avere una discontinuitagrave proprio nel punto yH dopo del quale assume il valore costante10 essendo normalizzata ad uE Nello stesso grafico osserviamo poi la differente scala dellavelocitagrave zonale sulla superficie che pur con la costante di normalizzazione diversa risultaessere di intensitagrave molto minore In particolare di questo plot si osserva la presenza di valori
positivi e negativi questi ultimi rappresentano le masse drsquoaria che prendono il nome di alisei
A questo punto prima di procedere egrave interessante evidenziare la validitagrave dei risultatiottenuti tramite lrsquointroduzione di alcuni dati osservativi Dallrsquoarticolo di Sobel e Schneider(vedi Bibliografia) pervengono i seguenti valori
τ = 37days H = 16km δ = 4km T 0 = 300K ∆z = 60K ∆y = 100K θ0 = 330K
sostituendoli otteniamoyH ≃ 27000Km
che tramite lrsquoequazione del cambio di coordinate definisce la latitudine limite come φH ≃ 24oQuesto egrave abbastanza importante perchegrave riconferma lrsquoipotesi di piccoli angoli che avevamo
11
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introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y
23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione
Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido
Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)
Du
Dt minusf v =
minus
1
ρ
partP
partx
=
minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti
Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi
L =
radic g
f
T = 1
f
Allora la velocitagrave normalizzata saragrave
vprime = f 2radic
gv
Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partvpartt
+ v partvparty
+ f u = minusg parthparty minus αv (5)
A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave
parth
partt +
part
partx
9831319830801 +
h
H
983081u
983133+
part
party
9831319830801 +
h
H
983081v
983133 = 0
Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH
partηpartt
+ part partx
[(1 + η) u] + part party
[(1 + η) v] = 0 (6)
12
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
16
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
17
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 1931
Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
18
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2031
xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2131
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
20
8202019 Tesina Atmosfera
httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2231
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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dove C egrave la costante che deriva dallrsquointegrazione determinata imponendo le precendenticondizioni e D egrave definita come
D =
983080 ps pt
983081RC p T 08L4
ρ
Ricaviamo cosigrave lrsquoespressione totale della θ
θ = θE (yH ) + D(y4H + y4) = θE 0 minus ∆θ
983080yH a
2983081
+ D(y4H + y4)
In questo modo posso ricavare la velocitagrave meridionale v in funzione di y sostituendo laprecedente espressione
v(y) = H
δ ∆zτ
983131∆θ
a2
983080y2H y minus
y3
3
983081+ D
983080y5
5 minus y4
H y
983081983133 (1)
la costante di integrazione egrave stata posta nulla percheacute allrsquoequatore per ragioni di simmetriav = 0 Inoltre come giagrave detto v = 0 anche per y = yH da cui si ottiene
yH =
983080 5∆θ
6a2D
98308112
Imponendo che oltre la cella di Hadley la velocitagrave zonale egrave quella che corrisponde allatemperatura di equilibrio q E otteniamo
uE = gH ∆y
Ωθ0a
In questo modo abbiamo trovato anche lrsquoandamento delle velocitagrave in quota dove vieneconservato il momento angolare mentre ora vogliamo trovare lrsquoandamento di quella zonalein prossimitagrave della superficie terrestre In questa regione perograve entra in gioco lrsquoattrito conil suolo e bisogna includere la sua influenza sulle equazioni del moto e termodinamiche Inquesta regione stiamo quindi trattando il moto degli alisei
Riscriviamo allora lrsquoequazione del moto sostituendo la derivata della velocitagrave v rispettoalla latitudine y
partu
partt + v
partu
party minus uv
a tanφ = f v +
part
partz 983080K partu
partz 983081
Questa equazione puograve essere vista come se al parametro di Coriolis f si vada a sostituireun parametro di Coriolis formato da un termine aggiuntivo f + utanφa Ricordiamoche il parametro f vale f = 2Ωsinφ e che quindi allrsquoequatore va a zero In questo modo iltermine aggiuntivo presente fa sigrave che le forze di Coriolis e di pressione non sono piugrave bilanciateSecondo questa visione la forza di Coriolis ha assunto quindi il valore pari a uvacosφ
partu
partt + v
partu
party minus v
(u
atanφ + f
1048617 =
part
partz
983080K
partu
partz
983081
Il termine al secondo membro reppresenta la derivata del flusso della quantitagrave di moto Il
fluido al suo interno presenta un gradiente di velocitagrave partupartz questo provoca quindi un flussodi quantitagrave di moto dalla superficie verso il fondo Per la legge di diffusione consideriamo il
8
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flusso come proporzionale al gradiente di velocitagrave con costante K La derivata si giustificapoicheacute si osserva che il primo membro dellrsquoequazione rappresenta la divergenza del momentoassociato allrsquoatomosfera Infatti sappiamo che lrsquoequazione complessiva deve rappresentare laconservazione del momento angolare totale del sistema aria-superficie terrestre che si indicain generale con la divergenza del momento angolare posta uguale a zero
nabla middotM = 0
di conseguenza nel nostro caso il primo membro rappresenta la divergenza del momentodellrsquoatmosfera e il secondo membro il momento dissipato dalla superficie In altre parole egravelrsquouguaglianza tra la divergenza orizzontale e quella verticale
Possiamo ora riscrivere lrsquoequazione utilizzando la divergenza e ricordando che nabla middot u = 0
nabla middot (uu) minus uv
a tanφ minus f v minus part
partz
983080K
partu
partz
983081 = 0 (2)
percheacute osserviamo che nabla middot (uu) = u middot nablau + unabla middot u = u middot nablau = u(partupartx) + v(partuparty)
Lrsquoespressione del momento M egrave M = Ωa2
cos2
φ+uacosφ da questo e dal fatto che M prop usi ottiene che lrsquoequazione precedente puograve essere riscritta nel seguente modo
nabla middot (uM ) = K part 2M
partz 2 (3)
Integrando questa equazione rispetto alla quota z ed indicando con U la velocitagrave u integratatra gli estremi z = 0 e z = H
nabla middot (UM ) = K partM
partz
che equivale a scrivere
U partM partx
+ V part M party
= K partM partz
e facendo la media zonale si elimina la derivata in x In questo modo possiamo ricavarelrsquoandamento della velocitagrave u in prossimitagrave del suolo u(0) Innanzitutto osserviamo che
V part M
party =
partvM
party
e per la definizione del momento angolare si ottengono le seguenti uguaglianze
part (vM )
party sim part
party (vau) = K
partM
partz = K
partau
partz = minusaCu(0)
dove abbiamo imposto le condizioni al contorno in superficie e alla sommitagrave per cui la velocitagravezonale risulta nulla In questo modo si ottiene che lrsquoeffetto dellrsquoattrito relativo allrsquointerazionecon la superficie terrestre egrave proporzionale al raggio della Terra a e alla velocitagrave in prossimitagravedel suolo u(z = 0) Ricaviamo allora lrsquoandamento di questrsquoultima in funzione della latitudinederivando lrsquoequazione della velocitagrave v che avevamo precedentemente ricavato
Ottenendo infine
u(0) = minus 5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
1048667983080
y
yH 9830812
minus 10
3 983080 y
yH 9830814
+ 7
3 983080 y
yH 98308161048669
(4)
Abbiamo cosigrave ricavato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in prossimitagrave della superficie
9
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22 Grafici ed altre considerazioni
Riportiamo nel primo grafico lrsquoandamento della temperatura potenziale in funzione dellalatitudine y Nel secondo grafico egrave presentato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in quota esulla superficie terrestre rispettivamente di colori rosso e blu
Egrave stato utile normalizzare le grandezze tramite degli opportuni fattori La velocitagrave zonale
in quota viene divisa per il valore di uE precedentemente ricavato
uE = gH ∆y
Ωθ0a
mentre sulla superficie viene normalizzata tramite il fattore
5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
y
theta
Etheta
340
330
320
310
T e m
p e r a t u r e ( K )
Figura 4 Temperatura potenziale Viene riportata in questo grafico il profilo di temperatura
potenziale della cella di Hadley in funzione della coordinata y e il profilo di temperatura diequilibrio indicato con thetaE Entrambi non sono normalizzati la temperatura egrave misuratain gradi Kelvin
10
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15
10
05
y
00
u(0)
u(H)
Figura 5 Velocitagrave zonale normalizzata Viene riportata in questo grafico la velocitagrave zonalenormalizzata con i coefficienti appena presentati nei due andamenti a quota H (linea rossa)e al livello del mare di altitudine 0 (linea blu) Si noti nel primo plot inizialmente lrsquoandamentoparabolico e successivamente la discontinuitagrave in corrispondenza della latitudne limite dellacella di Hadley (il valore del quale in questo grafico non egrave indicato percheacute non indicativonelle dimensioni del plot in questione ma che successivamente verragrave ricavato)
Osserviamo nel primo grafico la latitudine limite indicata nello scritto come yH (nonindicata sul grafico) punto in cui le due temperature si uguagliano dopo delle appenaaccennate oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio Nel secondo grafico osserviamoinnanzitutto lrsquoandamento della velocitagrave in quota che per il tipo di equazione introdottarisulta avere una discontinuitagrave proprio nel punto yH dopo del quale assume il valore costante10 essendo normalizzata ad uE Nello stesso grafico osserviamo poi la differente scala dellavelocitagrave zonale sulla superficie che pur con la costante di normalizzazione diversa risultaessere di intensitagrave molto minore In particolare di questo plot si osserva la presenza di valori
positivi e negativi questi ultimi rappresentano le masse drsquoaria che prendono il nome di alisei
A questo punto prima di procedere egrave interessante evidenziare la validitagrave dei risultatiottenuti tramite lrsquointroduzione di alcuni dati osservativi Dallrsquoarticolo di Sobel e Schneider(vedi Bibliografia) pervengono i seguenti valori
τ = 37days H = 16km δ = 4km T 0 = 300K ∆z = 60K ∆y = 100K θ0 = 330K
sostituendoli otteniamoyH ≃ 27000Km
che tramite lrsquoequazione del cambio di coordinate definisce la latitudine limite come φH ≃ 24oQuesto egrave abbastanza importante perchegrave riconferma lrsquoipotesi di piccoli angoli che avevamo
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introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y
23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione
Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido
Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)
Du
Dt minusf v =
minus
1
ρ
partP
partx
=
minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti
Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi
L =
radic g
f
T = 1
f
Allora la velocitagrave normalizzata saragrave
vprime = f 2radic
gv
Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partvpartt
+ v partvparty
+ f u = minusg parthparty minus αv (5)
A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave
parth
partt +
part
partx
9831319830801 +
h
H
983081u
983133+
part
party
9831319830801 +
h
H
983081v
983133 = 0
Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH
partηpartt
+ part partx
[(1 + η) u] + part party
[(1 + η) v] = 0 (6)
12
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
20
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
21
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
22
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
23
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
24
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
25
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
26
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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flusso come proporzionale al gradiente di velocitagrave con costante K La derivata si giustificapoicheacute si osserva che il primo membro dellrsquoequazione rappresenta la divergenza del momentoassociato allrsquoatomosfera Infatti sappiamo che lrsquoequazione complessiva deve rappresentare laconservazione del momento angolare totale del sistema aria-superficie terrestre che si indicain generale con la divergenza del momento angolare posta uguale a zero
nabla middotM = 0
di conseguenza nel nostro caso il primo membro rappresenta la divergenza del momentodellrsquoatmosfera e il secondo membro il momento dissipato dalla superficie In altre parole egravelrsquouguaglianza tra la divergenza orizzontale e quella verticale
Possiamo ora riscrivere lrsquoequazione utilizzando la divergenza e ricordando che nabla middot u = 0
nabla middot (uu) minus uv
a tanφ minus f v minus part
partz
983080K
partu
partz
983081 = 0 (2)
percheacute osserviamo che nabla middot (uu) = u middot nablau + unabla middot u = u middot nablau = u(partupartx) + v(partuparty)
Lrsquoespressione del momento M egrave M = Ωa2
cos2
φ+uacosφ da questo e dal fatto che M prop usi ottiene che lrsquoequazione precedente puograve essere riscritta nel seguente modo
nabla middot (uM ) = K part 2M
partz 2 (3)
Integrando questa equazione rispetto alla quota z ed indicando con U la velocitagrave u integratatra gli estremi z = 0 e z = H
nabla middot (UM ) = K partM
partz
che equivale a scrivere
U partM partx
+ V part M party
= K partM partz
e facendo la media zonale si elimina la derivata in x In questo modo possiamo ricavarelrsquoandamento della velocitagrave u in prossimitagrave del suolo u(0) Innanzitutto osserviamo che
V part M
party =
partvM
party
e per la definizione del momento angolare si ottengono le seguenti uguaglianze
part (vM )
party sim part
party (vau) = K
partM
partz = K
partau
partz = minusaCu(0)
dove abbiamo imposto le condizioni al contorno in superficie e alla sommitagrave per cui la velocitagravezonale risulta nulla In questo modo si ottiene che lrsquoeffetto dellrsquoattrito relativo allrsquointerazionecon la superficie terrestre egrave proporzionale al raggio della Terra a e alla velocitagrave in prossimitagravedel suolo u(z = 0) Ricaviamo allora lrsquoandamento di questrsquoultima in funzione della latitudinederivando lrsquoequazione della velocitagrave v che avevamo precedentemente ricavato
Ottenendo infine
u(0) = minus 5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
1048667983080
y
yH 9830812
minus 10
3 983080 y
yH 9830814
+ 7
3 983080 y
yH 98308161048669
(4)
Abbiamo cosigrave ricavato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in prossimitagrave della superficie
9
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22 Grafici ed altre considerazioni
Riportiamo nel primo grafico lrsquoandamento della temperatura potenziale in funzione dellalatitudine y Nel secondo grafico egrave presentato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in quota esulla superficie terrestre rispettivamente di colori rosso e blu
Egrave stato utile normalizzare le grandezze tramite degli opportuni fattori La velocitagrave zonale
in quota viene divisa per il valore di uE precedentemente ricavato
uE = gH ∆y
Ωθ0a
mentre sulla superficie viene normalizzata tramite il fattore
5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
y
theta
Etheta
340
330
320
310
T e m
p e r a t u r e ( K )
Figura 4 Temperatura potenziale Viene riportata in questo grafico il profilo di temperatura
potenziale della cella di Hadley in funzione della coordinata y e il profilo di temperatura diequilibrio indicato con thetaE Entrambi non sono normalizzati la temperatura egrave misuratain gradi Kelvin
10
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15
10
05
y
00
u(0)
u(H)
Figura 5 Velocitagrave zonale normalizzata Viene riportata in questo grafico la velocitagrave zonalenormalizzata con i coefficienti appena presentati nei due andamenti a quota H (linea rossa)e al livello del mare di altitudine 0 (linea blu) Si noti nel primo plot inizialmente lrsquoandamentoparabolico e successivamente la discontinuitagrave in corrispondenza della latitudne limite dellacella di Hadley (il valore del quale in questo grafico non egrave indicato percheacute non indicativonelle dimensioni del plot in questione ma che successivamente verragrave ricavato)
Osserviamo nel primo grafico la latitudine limite indicata nello scritto come yH (nonindicata sul grafico) punto in cui le due temperature si uguagliano dopo delle appenaaccennate oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio Nel secondo grafico osserviamoinnanzitutto lrsquoandamento della velocitagrave in quota che per il tipo di equazione introdottarisulta avere una discontinuitagrave proprio nel punto yH dopo del quale assume il valore costante10 essendo normalizzata ad uE Nello stesso grafico osserviamo poi la differente scala dellavelocitagrave zonale sulla superficie che pur con la costante di normalizzazione diversa risultaessere di intensitagrave molto minore In particolare di questo plot si osserva la presenza di valori
positivi e negativi questi ultimi rappresentano le masse drsquoaria che prendono il nome di alisei
A questo punto prima di procedere egrave interessante evidenziare la validitagrave dei risultatiottenuti tramite lrsquointroduzione di alcuni dati osservativi Dallrsquoarticolo di Sobel e Schneider(vedi Bibliografia) pervengono i seguenti valori
τ = 37days H = 16km δ = 4km T 0 = 300K ∆z = 60K ∆y = 100K θ0 = 330K
sostituendoli otteniamoyH ≃ 27000Km
che tramite lrsquoequazione del cambio di coordinate definisce la latitudine limite come φH ≃ 24oQuesto egrave abbastanza importante perchegrave riconferma lrsquoipotesi di piccoli angoli che avevamo
11
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introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y
23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione
Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido
Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)
Du
Dt minusf v =
minus
1
ρ
partP
partx
=
minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti
Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi
L =
radic g
f
T = 1
f
Allora la velocitagrave normalizzata saragrave
vprime = f 2radic
gv
Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partvpartt
+ v partvparty
+ f u = minusg parthparty minus αv (5)
A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave
parth
partt +
part
partx
9831319830801 +
h
H
983081u
983133+
part
party
9831319830801 +
h
H
983081v
983133 = 0
Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH
partηpartt
+ part partx
[(1 + η) u] + part party
[(1 + η) v] = 0 (6)
12
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
13
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
16
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
17
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
20
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
21
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
22
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
23
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
24
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
25
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
26
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
27
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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22 Grafici ed altre considerazioni
Riportiamo nel primo grafico lrsquoandamento della temperatura potenziale in funzione dellalatitudine y Nel secondo grafico egrave presentato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in quota esulla superficie terrestre rispettivamente di colori rosso e blu
Egrave stato utile normalizzare le grandezze tramite degli opportuni fattori La velocitagrave zonale
in quota viene divisa per il valore di uE precedentemente ricavato
uE = gH ∆y
Ωθ0a
mentre sulla superficie viene normalizzata tramite il fattore
5
24
H 2δ 2yy2H β
∆zτ y41DC
y
theta
Etheta
340
330
320
310
T e m
p e r a t u r e ( K )
Figura 4 Temperatura potenziale Viene riportata in questo grafico il profilo di temperatura
potenziale della cella di Hadley in funzione della coordinata y e il profilo di temperatura diequilibrio indicato con thetaE Entrambi non sono normalizzati la temperatura egrave misuratain gradi Kelvin
10
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15
10
05
y
00
u(0)
u(H)
Figura 5 Velocitagrave zonale normalizzata Viene riportata in questo grafico la velocitagrave zonalenormalizzata con i coefficienti appena presentati nei due andamenti a quota H (linea rossa)e al livello del mare di altitudine 0 (linea blu) Si noti nel primo plot inizialmente lrsquoandamentoparabolico e successivamente la discontinuitagrave in corrispondenza della latitudne limite dellacella di Hadley (il valore del quale in questo grafico non egrave indicato percheacute non indicativonelle dimensioni del plot in questione ma che successivamente verragrave ricavato)
Osserviamo nel primo grafico la latitudine limite indicata nello scritto come yH (nonindicata sul grafico) punto in cui le due temperature si uguagliano dopo delle appenaaccennate oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio Nel secondo grafico osserviamoinnanzitutto lrsquoandamento della velocitagrave in quota che per il tipo di equazione introdottarisulta avere una discontinuitagrave proprio nel punto yH dopo del quale assume il valore costante10 essendo normalizzata ad uE Nello stesso grafico osserviamo poi la differente scala dellavelocitagrave zonale sulla superficie che pur con la costante di normalizzazione diversa risultaessere di intensitagrave molto minore In particolare di questo plot si osserva la presenza di valori
positivi e negativi questi ultimi rappresentano le masse drsquoaria che prendono il nome di alisei
A questo punto prima di procedere egrave interessante evidenziare la validitagrave dei risultatiottenuti tramite lrsquointroduzione di alcuni dati osservativi Dallrsquoarticolo di Sobel e Schneider(vedi Bibliografia) pervengono i seguenti valori
τ = 37days H = 16km δ = 4km T 0 = 300K ∆z = 60K ∆y = 100K θ0 = 330K
sostituendoli otteniamoyH ≃ 27000Km
che tramite lrsquoequazione del cambio di coordinate definisce la latitudine limite come φH ≃ 24oQuesto egrave abbastanza importante perchegrave riconferma lrsquoipotesi di piccoli angoli che avevamo
11
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introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y
23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione
Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido
Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)
Du
Dt minusf v =
minus
1
ρ
partP
partx
=
minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti
Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi
L =
radic g
f
T = 1
f
Allora la velocitagrave normalizzata saragrave
vprime = f 2radic
gv
Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partvpartt
+ v partvparty
+ f u = minusg parthparty minus αv (5)
A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave
parth
partt +
part
partx
9831319830801 +
h
H
983081u
983133+
part
party
9831319830801 +
h
H
983081v
983133 = 0
Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH
partηpartt
+ part partx
[(1 + η) u] + part party
[(1 + η) v] = 0 (6)
12
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
13
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
16
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
17
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 1931
Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
18
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2031
xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2131
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2231
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
23
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
24
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
26
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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15
10
05
y
00
u(0)
u(H)
Figura 5 Velocitagrave zonale normalizzata Viene riportata in questo grafico la velocitagrave zonalenormalizzata con i coefficienti appena presentati nei due andamenti a quota H (linea rossa)e al livello del mare di altitudine 0 (linea blu) Si noti nel primo plot inizialmente lrsquoandamentoparabolico e successivamente la discontinuitagrave in corrispondenza della latitudne limite dellacella di Hadley (il valore del quale in questo grafico non egrave indicato percheacute non indicativonelle dimensioni del plot in questione ma che successivamente verragrave ricavato)
Osserviamo nel primo grafico la latitudine limite indicata nello scritto come yH (nonindicata sul grafico) punto in cui le due temperature si uguagliano dopo delle appenaaccennate oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio Nel secondo grafico osserviamoinnanzitutto lrsquoandamento della velocitagrave in quota che per il tipo di equazione introdottarisulta avere una discontinuitagrave proprio nel punto yH dopo del quale assume il valore costante10 essendo normalizzata ad uE Nello stesso grafico osserviamo poi la differente scala dellavelocitagrave zonale sulla superficie che pur con la costante di normalizzazione diversa risultaessere di intensitagrave molto minore In particolare di questo plot si osserva la presenza di valori
positivi e negativi questi ultimi rappresentano le masse drsquoaria che prendono il nome di alisei
A questo punto prima di procedere egrave interessante evidenziare la validitagrave dei risultatiottenuti tramite lrsquointroduzione di alcuni dati osservativi Dallrsquoarticolo di Sobel e Schneider(vedi Bibliografia) pervengono i seguenti valori
τ = 37days H = 16km δ = 4km T 0 = 300K ∆z = 60K ∆y = 100K θ0 = 330K
sostituendoli otteniamoyH ≃ 27000Km
che tramite lrsquoequazione del cambio di coordinate definisce la latitudine limite come φH ≃ 24oQuesto egrave abbastanza importante perchegrave riconferma lrsquoipotesi di piccoli angoli che avevamo
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introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y
23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione
Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido
Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)
Du
Dt minusf v =
minus
1
ρ
partP
partx
=
minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti
Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi
L =
radic g
f
T = 1
f
Allora la velocitagrave normalizzata saragrave
vprime = f 2radic
gv
Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partvpartt
+ v partvparty
+ f u = minusg parthparty minus αv (5)
A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave
parth
partt +
part
partx
9831319830801 +
h
H
983081u
983133+
part
party
9831319830801 +
h
H
983081v
983133 = 0
Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH
partηpartt
+ part partx
[(1 + η) u] + part party
[(1 + η) v] = 0 (6)
12
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
16
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
17
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
24
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
27
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
29
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introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y
23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione
Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido
Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)
Du
Dt minusf v =
minus
1
ρ
partP
partx
=
minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti
Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi
L =
radic g
f
T = 1
f
Allora la velocitagrave normalizzata saragrave
vprime = f 2radic
gv
Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partvpartt
+ v partvparty
+ f u = minusg parthparty minus αv (5)
A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave
parth
partt +
part
partx
9831319830801 +
h
H
983081u
983133+
part
party
9831319830801 +
h
H
983081v
983133 = 0
Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH
partηpartt
+ part partx
[(1 + η) u] + part party
[(1 + η) v] = 0 (6)
12
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
13
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
16
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
17
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
23
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
24
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
26
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
27
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
28
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel
sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale
h + H = RT prime
g rArr H
9830801 + h
H
983081 = RT 0
g
9830801 + T
T 0
983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza
1 + h
H = 1 + η = 1 +
T
T 0
In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling
Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente
partu
partt + v
partu
party minus f v = minusαu
partv
partt + v
partv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
partη
partt +
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(7)
In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su
algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui
vpartu
party minus f v = minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(8)
A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di
un tempo alla meno uno
vpartu
party minus v = minusαu
vpartv
party + u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(9)
Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice
ζ = partvpartx minus partuparty
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
20
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
23
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
26
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
28
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0
16
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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3 Risoluzione per via numerica
Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente
vpartu
party minusf v =
minusαu
vpartv
party + f u = minusg
parth
party minus αv
part
party [(1 + η) v] =
ηE minus η
τ
(10)
dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue
ηE (y) =
983163H E per |y| lt yE
0 per |y| gt yE (11)
Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue
partu
party = 1minus α
u
v
vpartv
party + u = minuspartη
party minus αv
vpartη
party + (1 + η)
partv
party = Q
(12)
Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate
partu
party = 1 minus α
u
vpartv
party = minus 852059uv + αv2 + Q
852061 852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
partη
party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]
852059v2 minus (1 + η)
852061minus1
(13)
Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione
31 Programma
Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati
H = 10 yE = 01 τ = 10
17
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 1931
Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
18
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2031
xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2131
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
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8202019 Tesina Atmosfera
httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2231
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
22
8202019 Tesina Atmosfera
httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2431
end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
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8202019 Tesina Atmosfera
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
24
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE
yH = (3HyE )1
3
ed η0 comeη0 = H
yE yE
bull Octave
function xdot = hadley(t x)
Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri
alfa = 00
xdot = zeros(3 1)
xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)
Definizione della funzione Q
if(t lt 01)q= 1 - x(3)
else
q= - x(3)
end
Equazioni
aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))
aux1 = 1 aux
xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1
xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1
end
Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45
options = odeset(
rsquoInitialSteprsquo 1e-3
rsquoMaxSteprsquo 1e-3
rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]
)
tmax = 07
[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)
newt = tmax + 1e-4
t = [t tmax]
x = [x [0 02 02]]
Opzioni dei plot
h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])
h = plot(t x(2)) axis([0 tmax 0 013])
h = plot(t x(3)) axis([0 tmax 0 02])
Caratteristiche dei plot
set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
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httpslidepdfcomreaderfulltesina-atmosfera 2131
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
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008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
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006
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01
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0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
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01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
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0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
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0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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xlabel(rsquoyrsquo)
ylabel(rsquov(y)rsquo)
print -deps -color v07beps
bull Matlab
function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)
alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)
q=1-x(3)
else
q=-x(3)
end
aux=x(2)x(2)-(1+x(3))
aux1=1aux
xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1
xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1
The following instructions run the program and plot the results
[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])
plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])
32 Risultati
Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave
zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10
0
002
004
006
008
01
012
014
0 005 01 015 02
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 02 04 06 08 1
u ( y )
y
19
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
005
01
015
02
025
03
035
0 01 02 03 04 05 06 07
u ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 005 01 015 02 025 03 035 04
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
0
002
004
006
008
01
012
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y )
y
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e
t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
0
005
01
015
02
0 01 02 03 04 05 06 07
e t a ( y )
y
Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato
Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti
nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi
bull Fortran90
program tesinaimplicit none
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp
Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp
eta0 f_u f_v f_eta
open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)
inizializzazione dei parametria = 00
dy = 00001
yE = 01
HE = 10
tau = 10
yH = (30 HE yE )(1030)
y0 = 00
u0 = 00v0 = 00000000000000000001
eta0 = HE (yE yH)
inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni
y = y 0
u = u 0
v = v 0
eta = eta0
inizializzazione della funzione Q
Q0 = (HE - eta0) tau
Q = Q 0 algoritmo risolutivo
do while(yle08)
if (yleyE) then
etaE = HE
else
etaE = 0
end if
unext = u + dy f_u(a u v)
vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)
etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)
Q = (etaE - etanext) tau
scrittura sul file dei dati
write(1) y unext vnext etanext
riaggiornamento delle variabili
y = y + dy
u = unext
v = vnext
eta = etanext
end do
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
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0
001
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006
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008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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end program
Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta
Function f_u(alpha u v)
real8 u v alpha f_u
f_u = 1 - alpha (u v)
returnend Function f_u
Function f_v(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_v
f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)
return
end Function f_v
Function f_eta(u v eta Q alpha)
real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)
(v20 - (1 + eta))(-10))
return
end Function f_eta
Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al
tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico
Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave
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0
001
002
003
004
005
006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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001
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003
004
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006
007
008
0 01 02 03 04 05 06 07
v ( y
)
y
rsquovdatrsquo using 13
Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90
Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90
egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge
netodepkgfunctionode45html)
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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4 Appendice
41 Vento termico
Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di
aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido
Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT
dΦ = gdz = minusdp
ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT
dp
ρ
allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico
vg = minus 1f
983080part Φpartx
983081 p
ug = 1
f
983080part Φ
party
983081 p
(14)
Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo
partvgpartp
= minus 1
f
part
partx
983080part Φ
partp
983081partug
partp = 1
f part
party
983080part Φpartp
983081 (15)
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali
partvgpartp
= 1
f
R
ρ
983080part Φ
partp
983081partug
partp = minus1
f
R
rho983080part Φ
partp983081 (16)
Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che
dp = minusgρdz
sostituendo ricaviamo esattamente
minusf partu
partz =
g
T
partT
party
42 Approssimazione di Shallow Water
Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu
partx + partv
party + partw
partz = 0 supponendo che partu
partx e partv
party siano indipendenti
dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η
(H + η)983080partu
partx +
partv
party983081
= minus int H +η
0
partw
partz dz
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
int H +η0
dw = 0
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+ w(H + η) minus w(0) = 0
Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)
Dt = Dη
Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo
w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v
(H + η)
983080partu
partx +
part v
party
983081+
partη
partt +
partη
partxu +
partη
partyv = 0
partη
partt +
part
partx[u(H + η)] +
part
party[v(H + η)] = 0
Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H
partη
partt
+ H 983131partu
partx
+ partv
party983133 = 0
Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP
partx = ρg partη
partx partP
party = ρg partη
party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale
tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico
che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho
Du
Dt minus f v = minus1
ρ
partP
partx = minusg
partη
partxDv
Dt + f v = minus1
ρ
partP
party = minusg
partη
party
dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come
DF (txyz )
Dt
= partF
partt
+ dx
dt
partF
partx
+ dy
dt
partF
party
+ dz
dt
partF
partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno
partu
partt minus f v = minusg
partη
partxpartv
partt + f v = minusg
partη
party
partηpartt
+ H 983131
partupartx
+ part vparty
983133 = 0
43 Metodo Perturbativo
In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo
u partupartt
= (u + uprime) part (u + uprime)partt
≃ upartu prime
partt
In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine
44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica
Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti
P V = mM RT
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave
p
ρ = RT
sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora
P α = RT
Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio
δQ = cvdT + pdV = 0
dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere
δq = C v
dT + pdα = 0
dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da
pdα + αdp = RdT
che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa
C pdT = αdp
In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con
α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT
dz = Γd =
g
C p
Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura
potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione
dT
T minus
R
C p
dp
pIntegrando otteniamo la relazione
lnT = R
C plnp + cost
Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ
cost = lnθ minus R
C p lnp0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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la relazione finale egrave quindi
lnT
θ =
R
C pln
p
p0
Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione
θ = T 983080
p p0
983081 RC p
Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo
dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)
Q = C pDT
Dt minus αω
Ricordiamo ora che
DT
Dt =
partT
partt + u middot nablaT =
partT
partT + u middot nablahT + w
partT
partz
dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura
partT
partt =
Q
C pminus (u middot nablah)T + ω
983080α minus part T
partp
983081
Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la
variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali
45 Media Zonale
In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre
A = 1
2π
int A(λ)dλ
dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente
A = 1
2πacosφ
int A(x)dx
In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π
0
partp
partxdx =
int 2π0
dp = 0
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