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Teorie efficaciDinamica del Modello Standard

Dipartimento di Fisica e GeologiaUniversita degli Studi di Perugia

[email protected]

Novembre 2016

Definizione e scopo

Le teorie o modelli efficaci

? descrivono la dinamica di una teoria nel limite dibassa energia;

? contengono solo i gradi di liberta che sono attivi abassa energia;

? sono tecnicamente non rinormalizzabili;

? permettono, comunque, il calcolo delle ampiezze deidiagrammi a loop e la rinormalizzazione di alcunecostanti fisiche;

? sono state sviluppate con maggior successo per lo studiodelle teorie di campo chirali, che rappresentano un validobanco di prova anche per la possibilita di confronto con idati sperimentali.

S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Teorie efficaci, Dinamica del Modello Standard 2/37

Il modello σIl modello σ rappresenta un potente strumento di lavoro.

� E ampiamente studiato, i calcoli possono essere fatti esplicitamente.

� E una teoria rinormalizzabile.

� Tutte le ampiezze possono essere scritte i termini dei campi dei pioni cherappresentano i bosoni di Goldstone.

� E utile come modello della QCD a bassa energia, in regime non perturbativo.

L =12∂µ~π ·∂µ~π+

12∂µσ∂

µσ+µ2

2

(σ2 + ~π2

)−λ

4

(σ2 +~π2

)2+ψi /∂ψ+gψ (σ−i ~τ ·~π γ5)ψ

� ψ e uno spinore doppietto di isospin SU(2), rappresenta i nucleoni.

� ~π e un tripletto di isospin, rappresenta i pioni.

� ~π e il vettore delle matrici di Pauli, generatrici del gruppo SU(2).

Ne limite di bassa energia E � µ.

Leff =F 2

4Tr(∂µU∂µU†

), U = ei ~τ·~πF =

∞∑k=0

1k!

(i~τ · ~π

v

)k, v =

√µ2

λ

Leff =12∂µ~π · ∂µ~π +

1v2

[(~π · ∂µ~π) (~π · ∂µ~π)− ~π2 (∂µ~π · ∂µ~π)

]+O

[(~π2)3

]E uno sviluppo in serie nel campo pionico ~π da cui si estraggono le ampiezze all’orinefondamentale, quelle dei diagrammi ad albero.


Rappresentazioni del modello σ linearePer evidenziare l’invarianza per trasformazioni SU(2)L×SU(2)R si considera il campoΣ = σ + i~τ · ~π , combinazione lineare del campo scalare σ e del campo tripletto diisospin dei pioni ~π.

L =14

Tr(∂µΣ∂µΣ†

)+µ2

4Tr(

ΣΣ†)−

λ

16Tr2(

ΣΣ†)

+ψLi /∂ψL + ψR i /∂ψR − g(ψLΣψR + ψRΣ†ψL

)Invarianza per trasformazionidel gruppo SU(2)L × SU(2)R

L(Σ, ψL, ψR) = L(Σ′, ψ′L, ψ′R)

ψL → ψ′L = LψL

ψR → ψ′R = RψR

Σ→ Σ′ = LΣR†∀ L, R ∈ SU(2)

Se µ2 > 0 si ha rottura spontanea di simmetria.

• σ = σ −√µ2/λ ≡ σ − v , campo delle piccole oscillazioni.

• L =12

(∂µσ∂

µσ − 2µ2σ2)

+12∂µ~π · ∂µ~π − λv σ

(σ2 + ~π2

)−λ

4

(σ2 + ~π2

)2+ψ

(i /∂ − gv

)ψ− g ψ (σ − i~τ · ~π)ψ

I pioni mantengono massa nulla.

Il campo σ e quello dei nucleoni acquistano massa mσ =√

2µ2 e mN = gv .Le interazioni sono polinomiali, non differenziali.

V(σ2, ~π2)√~π2

σ


Rappresentazioni diagonale del modello σ

Piccole oscillazione nella direzione (σ,√~π2).

Rappresentazione in termini deicampi scalare S e vettoriale ~φ.

S =√σ2 + ~π2 − v =

√(v + σ)2 + ~π2 − v = σ + · · ·

~φ =v~π

S + v= ~π + · · ·

La lagrangiana, trascurando termini costanti, diventa

L =12

(∂µS ∂µS − 2µ2S2

)+

12

(1 +

Sv

)2

∂µ~φ · ∂µ~φ+

(~φ · ∂µ~φ

)2

v2 − ~φ2

−λvS3 −

λ

4S4 + ψi /∂ψ − g

(1 +

Sv

)ψ

[√v2 − ~φ2 − i~φ · ~τγ5

]ψ

Il campo S si comporta come σ, prende una massa mS =√

2µ2.

Il campo ~φ, omologo di ~π, rimane a massa nulla e non compare nel potenziale.

Il campo ~φ ha interazioni di tipo differenziale con il campo scalare S.

V(σ2, ~π2)

√~π2

σ


Rappresentazione esponenziale del modello σPiccole oscillazione radiali.Rappresentazione in termini dei campi scalare S e vettoriale ~π′.

Σ = σ + i~τ · ~π = (v + S) U =√σ2 + ~π2 U

U = exp(

i~τ · ~π′

v

), ~π′ = ~π + · · ·

Nel limite ~π2, ~π′2 � v2 ∼ σ2

Σ =(σ+ ~π2

σ+· · ·

)(1+ i~τ ·~π′

v +· · ·)

= σ+σ i~τ ·~π′v +· · · = σ+i~τ · ~π′+· · ·

La lagrangiana, trascurando termini costanti, diventa

L =12

(∂µS ∂µS − 2µ2S2

)+

(v + S)2

4Tr(∂µU ∂µU†

)−λvS3 −

λ

4S4 + ψi /∂ψ − g (v + S)ψ

(ψLUψR + ψRU†ψL

)I campi chirali ψL,R si trasformano indipendentemente come:ψL → ψ′L = LψL e ψR → ψ′R = RψR , ∀ L,R ∈ SU(2).

Il campo ”esponenziale” U si trasforma come Σ, ovvero: U → U′ = LUR†.Come nel caso della rappresentazione diagonale, il campo U, associato ai pioni, rimanecon massa nulla.Gli accoppiamenti con il campo scalare S sono di tipo differenziale.


Indipendenza dalla rappresentazione

Le tre rappresentazioni del modello σcontengono campi diversi, che sonolegati da relazioni non lineari.

Le lagrangiane libere coincidono.

L(σ, ~π) =12

(∂µσ∂

µσ − 2µ2σ2)

+ · · ·

L(S, ~φ) =12

(∂µS ∂µS − 2µ2S2

)+ · · ·

L(S,U) =12

(∂µS ∂µS − 2µ2S2

)+· · ·

Scatteringπ+π0 → π+π0

π+(p+)

π0(p0) π0(p′0)

π+(p′+)

π+(p+)

π0(p0) π0(p′0)

π+(p′+)

σ(q)

Rappresentazione lineare

Lint(σ, ~π) = −λ

4

(~π2)2− λv σ~π2

iM = −2iλ+i(−2iλv)2

q2 −m2σ

=iq2

v2+

(iq2

v2

)2

+ · · ·

mσ = 2λv2 = 2µ2, q = p+ − p′+.

L’ampiezza dipende dal momento trasferito q,anche in assenza di interazioni differenziali.L’ampiezza si annulla nel limite q2 → 0.


Interazione in rappresentazione diagonale

Scatteringφ+φ0 → φ+φ0

φ+(p+)

φ0(p0) φ0(p′0)

φ+(p′+)

φ+(p+)

φ0(p0) φ0(p′0)

φ+(p′+)

S(q)

��Q

QQQQQQQ

Rappresentazione diagonale

Lint(S, ~φ) =12

(~φ · ∂µ~φ

)2

v2 − ~φ2+

Sv∂µ~φ · ∂µ~φ

Il termine con il propagatore S e di ordine 4 nelmomento, si trascura nel limite di bassa energia.

Lint(S, ~φ) =(φ0∂µφ0 +φ+∂µφ−+φ−∂µφ+)2

2v2+· · ·

con i campi carichi: φ± = (φ1 ± iφ2)/√

2.

L’ampiezza del diagramma puntiforme e

iM =i(p+ − p′+

)2

v2+ · · · =

iq2

v2+ · · ·

All’ordine piu basso l’ampiezza ha la stessa formadi quella ottenuta in rappresentazione lineare.

Si annulla nel limite q2 → 0.


Interazione in rappresentazione esponenziale

Scatteringπ′+π′0 → π′+π′0

π′+(p+)

π′0(p0) π′0(p′0)

π′+(p′+)

π′+(p+)

π′0(p0) π′0(p′0)

π′+(p′+)

S(q)

��Q

QQQQQQQ

Rappresentazione esponenziale

Lint(S,U) =(v + S)2

4Tr(∂µU∂µU†

)+ · · ·

Anche in questo caso, il termine con ilpropagatore S e di ordine 4 nel momento esi trascura nel limite di bassa energia.In termini del campo ~π′

Lint(S, ~π′) =(~π′ · ∂µ~π′)2 − ~π′2 (∂µ~π′ · ∂µ~π′)2

6v2+· · ·

L’ampiezza del diagramma puntiforme e

iM =i(p+ − p′+

)2

v2+ · · · =

iq2

v2+ · · ·

All’ordine fondamentale l’ampiezza ha lastessa forma di quella ottenuta con lealtre rappresentazioni.

La dinamica e indipendente dai campi scelti e anche dal numero e tipo didiagrammi di Feynman necessari per rappresentare un dato processo.


Teorema di HaagTeorema di Haag [R. Hagg, Phys. Rev. 112 (1958) 669.]

Da due lagrangiane diverse L(φ) e L′(ψ), dipendenti dai campi φ e ψ, si ottengonole stesse osservabili fisiche se L′(ψ) = L(ψF (ψ)) e la funzione F definisce unarelazione non-lineare con F (0) = 1.

� La dimostrazione si basa sull’osservare che le matrici S di teorie diverse sonoequivalenti e quindi rappresentano le stesse osservabili fisiche, se hanno le stessesingolarita (propagatori).

� La condizione F (0) = 1 assicura che le singolarita e quindi i comportamenti diparticella libera siano gli stessi.

Le ampiezze e quindi le osservabili fisiche non possono dipendere dalle convenzioniscelte per descrivere i gradi di liberta della teoria.Nel limite non interagente le particelle sono caratterizzate solo dalla massa e dallacarica, gli esperimenti non hanno la possibilita di discriminare tra parametrizzazionidiverse.

Il teorema di Haag da la possibilita di scegliere liberamente la rappresentazione nonlineare piu conveniente per il calcolo delle ampiezze.

Ad esempio, per il modello σ, la dipendenza del momento delle ampiezze si ottiene”naturalmente” con le rappresentazioni non lineari, solo da cancellazioni e quindi inmaniere piu involuta, in rappresentazione lineare.


Somma sui campi massivi� Ad un processo fisico che si verifica ad una energia E partecipano solo i campi e

quindi la particelle, che hanno massa non superiore all’energia E .

� I campi piu pesanti, ovvero quelli con masse M > E , contribuiscono comunquealle ampiezze dei processi che avvengono a bassa energia, ma lo fanno in formavirtuale.

� La lagrangiana efficace non contiene esplicitamente i campi massivi.I loro contributi virtuali sono ”integrati” nelle costanti di accoppiamento deicampi leggeri.

Teorema di disaccoppiamentoSe un insieme di fenomeni fisici caratterizzato dall’energia E , puo essere descritto daisoli gradi di liberta leggeri di una teoria e il corrispondente settore di bassa ener-gia e rinormalizzabile, allora i campi massivi, con masse M > E , o contribuisconoalla rinormalizzazione delle costanti di accoppiamento, o alle ampiezze come correzionisoppresse da potenze dai rapporti (E/M)n.

Ad esempio, nei decadimenti β a bassa energia, l’effetto dei bosoni vettori massivi W±e Z 0 e inglobato nella rinormalizzazione della carica, cui i bosoni vettori contribuisconocome particelle virtuali.Questi contributi sono soppressi a bassa energia, ovvero, al divergere delle masse deicampi massivi il loro effetto tende ad annullarsi.


Integrazione funzionale dei campi massivi1

Si parla di ”integrazione dei campi massivi” nel senso di integrazione funzionale.

In una teoria con un campo massivo H e campi leggeri {lj}, per mezzo del funzionalegeneratore, che dipende solo dai campi leggeri, si definisce l’azione efficace Weff[lj ].

Z [lj ] = exp(i Weff[lj ]

)≡∫

[dH] exp(

i∫

d4xL(H, lj

))Consideriamo un campo massivo scalareH di massa mH che si accoppia con unafunzione dei campi leggeri J(lj ).

L =12

(∂µH ∂µH −m2

HH2)

+ HJ

L’azione puo essere scritta in termini del campo H′ = H − D−1x J, con Dx = �+ m2

H .

S =

∫d4xL(H, J) =

∫d4x

(−

12

HDx H + JH)

= −12

∫d4x

(H′Dx H′ − JD−1

x J)

Il funzionale generatore Z [J] e l’azione efficace Weff[J] sono invarianti percambiamento di campo H → H′, in quanto la misura si conserva

∫[dH] =

∫[dH′].

Z [J] = exp (i Weff[J]) =

∫[dH′] exp

[−

i2

∫d4x

(H′Dx H′ − JD−1

x J)]


Integrazione funzionale dei campi massivi2

La parte dipendente dai campi massivi H′ e fattorizzata

Z [J] = exp (i Weff[J]) = Z [0] exp[

i2

∫d4x JD−1

x J]

Z [0] =

∫[dH′] exp

[−

i2

∫d4xH′Dx H′

]Il contributo dei campi massivi e stato integrato e ”scorporato” dal funzionale gener-atore. Rappresenta una costante moltiplicativa che puo essere trascurata.

L’azione efficace in termini del propagatore di Feynman ∆F

Weff[J] = −12

∫d4xd4y J(x)∆F (x − y)J(y).

Il propagatore di Feynman e definito dall’operatore differenziale di Klein-Gordon Dx

Dx ∆F (x − y) =(�+ m2

H

)∆F (x − y) = −δ4(x − y).

Ne consegue che l’inverso D−1x agisce su una generica funzione f (x) come

D−1x f = −

∫d4y ∆F (x − y)f (y).


Integrazione funzionale dei campi massivi3I L’azione efficace e una quantita non locale.I Il propagatore del campo massivo e integrato su tutto lo spazio.I Poiche il campo e massivo, il contributo dominante e a piccole distanze.

Possiamo sviluppare la corrente J(y) in y = x , intorno allo zero del propagatore.

J(y) = J(x) + (x − y)µ∂µJ(x) +O

[(x − y)2

]L’azione efficace puo essere sviluppata in serie di potenze inverse della massa m2

H .

Weff[J] = −12

∫d4xd4y J(x)∆F (x − y)J(y)

= −12

∫d4xd4y J(x)∆F (x − y)J(x) + · · · =

12m2

H

∫d4x J2(x) + · · ·

Il coefficiente m−2H rappresenta il contributo fondamentale del propagatore e∫

d4y∆F (x − y) = −1

m2H

.

Il risultato ottenuto e il noto accoppiamento corrente-corrente concepito da EnricoFermi per descrivere l’interazione debole a bassa energia.


Applicazione al modello σApplichiamo la procedura di integrazione del campo massivo per ottenere la teoriaefficace al modello σ in rappresentazione esponenziale.

L =12

(∂µS ∂µS − 2µ2S2

)+

(v + S)2


)−λvS3 −

λ

4S4 + ψi /∂ψ − g (v + S)ψ

(ψLUψR + ψRU†ψL

)Il campo massivo e S e la sorgente J, che si accoppia ”moltiplicativamente” ad S, e

J =v2

Tr(∂µU ∂µU†

)La lagrangiana efficace si ottiene come una serie di potenze delle corrente sorgete Je dell’inverso della massa mS .

Leff =v2


)+

v2

8m2S

Tr2(∂µU ∂µU†

)+ · · ·

π′+(p+)

π′0(p0) π′0(p′0)

π′+(p′+)

S(q)

Il termine quadratico nelle derivate di U descrive lo scattering π′+π′0 → π′+π′0, dove ilcampo S della particella pesante mediatrice, e stato integrato e quindi non comparenell’ampiezza.Questa lagrangiana da l’espressione corretta per le ampiezze al livello albero, conte-nenti fino a quattro derivate del campo U.


Procedura di allineamentoPer ogni lagrangiana efficace di una data teoria e possibile definire una procedura diallineamento dei parametri.

Ad esempio, nel caso della rappresentazione esponenziale del modello σ si scrive unalagrangiana efficace come serie di potenze di Trk(∂µU ∂µU†

)Leff =

∞∑k=1

Ck(m2

S

)k−1 Trk(∂µU ∂µU†

).

La successione di coefficienti {Ck}∞k=1 e inizialmente incognita.

La procedura di allineamento consiste nel definire i coefficienti Ck , confrontando leampiezze ottenute a partire dalla Leff con quella della teoria completa.

C1 =v2

4, C2 =

v2

8, . . .

Al livello fondamentale e sufficiente considerare solo il primo termine con due derivatedel campo U.Con i primi due termini si ottengono le ampiezze puntiforme e ad albero per lo scat-tering π+π0 → π+π0.

iM = −2iλ+i(−2iλv)2

q2 −m2S

.


Diagrammi a loop1Nonostante le teoria efficace non sia rinormalizzabile, le ampiezze di molti processicaratterizzati da diagrammi a loop, possono essere calcolate.

Il funzionale generatore e scritto in termini dei campi dei pioni, ~π, e del campo scalaremassivo σ, ma considerando la sola sorgente pionica ~J.

Z [~J] =

∫[d~π][dσ] exp

[i∫

d4x(L(~π, σ) + ~J · ~π

)]Il campo σ non ha effetti a bassa energia, puo essere integrato, si ottiene cosı lalagrangiana efficace dipendente dai campi leggeri dei pioni.

Z [~J] = N∫

[d~π] exp[

i∫

d4x(Leff(~π) + ~J · ~π

)]La lagrangiana efficace descrive anche processi con diagrammi a loop, anche se consoli campi pionici, a differenza della teoria completa in cui si hanno entrambi i campi~π e σ.

La lagrangiana efficace al quarto ordine, nella forma piu generale che sia invarianteper trasformazioni U → U′ = LUR†.

Leff =v2


)+ l1Tr2

(∂µU ∂µU†

)+ l2Tr

(∂µU ∂νU†

)Tr(∂µU ∂νU†

)I coefficienti incogniti l1 e l2 vengono determinati con la procedura di allineamento tarle ampiezze efficaci e le corrispondenti della teoria completa.


Diagrammi a loop2

Espandendo nei campi pionici il termine fondamentale della lagrangiana efficaceTr(∂µU ∂µU†

)si ottengono i propagatori dei pioni, teoria libera, e le ampiezze al liv-

ello fondamentale dello scattering ππ.

L’ampiezza della teoria completa al livello di un loop ha quattro contributi: un digrammaa bolla, due triangolari ed uno quadrangolare.

iM =

∫d4k

(2π)4

[−2iλ+

(−2iλ)2 i

(k +p+)2−m2σ

]i

(k +p+ +p0)2i

k2

[−2iλ+

(−2iλ)2 i(k +p′+

)2−m2σ

]

Nella teoria efficace si hanno solo i campi pionici, rimane solo il contributo a bolla.

iMeff =

∫d4k

(2π)4

i(k + p+)2

v2

i

(k +p+ +p0)2i

k2

i(k + p′+)2

v2


Diagrammi a loop2Il comportamento ad alta energia dell’ampiezza efficace e ovviamente diverso da quellodell’ampiezza della teoria completa.L’ampiezza puo essere regolarizzata dimensionalmente.

iMeff =i s(s − u)

96π2v4

(2

4− d− γ + ln(4π)− ln

(−s − iεµ2

)+

i(2s2 − 5su

)288π2v4

),

con le variabili di Mandelstam: s = (p+ + p0)2, t = (p+ − p′+)2, u = (p0 − p′+)2.

A causa della presenza del fattore dimensionale v−4, l’ampiezza a loop iMeff e diordine E4, mentre l’ampiezza fondamentale, iM0 = iq2/v2, e di ordine E2.Questa dipendenza dall’energia conferma la possibilita di sviluppare le ampiezze inserie convergenti nel limite di piccola energia.D’altro canto, la divergenza O(E4) dell’ampiezza a loop nel limite di alta energia, nonpuo essere riassorbita nella lagrangiana effettiva fondamentale, che si comporta solocomeO(E2).Il comportamento in ln(−s) e esattamente lo stesso che si ha nel limite di bassaenergia della teoria completa. Deriva dal contributo on-shell dello stato intermedio deidue pioni.L’allineamento tra le ampiezze efficaci e complete permette di determinare le costantirinormalizzate l1, l2, . . . della lagrangiana efficace, che diventa predittiva anche sesolo nel limite considerato.


Teorie efficaci, cosa fare

? Ha senso utilizzare una teoria efficace, ovvero una teoria che contiene solouna parte dei campi che descrivono un determinato fenomeno?

? In teoria dei campi e noto che tutte le particelle, potendo manifestarsi in formavirtuale, partecipano con contributi piu o meno importanti, a seconda dellamassa e della costante di accoppiamento, alle ampiezze ad ogni ordineperturbativo.

? In particolare, nella ampiezze a loop, che contengono integrali suiqudri-momenti, gli effetti dei gradi di liberta massivi della teoria diventanoimportanti ed e quindi grande l’errore che si compie trascurandoli.

! Il principio di indeterminazione di Heisenberg fa sı che gli effetti dei gradi diliberta massivi si manifestino a bassa energia sotto forma di correzioni locali,a piccoli ~x , nella lagrangiana.

! Per le teorie note, gli effetti locali dei gradi di liberta massivi sono calcolabili.Qualora, invece, il settore massivo sia incognito, gli effetti locali possono esseremisurati.

! Il teorema di disaccoppiamento afferma che i gradi di liberta massivicontribuiscono o alla rinormalizzazione delle costanti di accoppiamentoo alle ampiezze come correzioni perturbative nella scala di energia.


Il caso generaleTeorema di disaccoppiamentoSe dei fenomeni fisici caratterizzato dall’energia E , possono essere descritti dai soli gradi di liberta leggeridi una teoria e il corrispondente settore di bassa energia e rinormalizzabile, allora i campi massivi, conmasse M � E , o contribuiscono alla rinormalizzazione delle costanti di accoppiamento, o alle ampiezze comecorrezioni soppresse da potenze (E/M)n .

Il teorema di disaccoppiamento implica che ogni teoria di campo rinormalizzabilepossa essere interpretata come la teoria efficace che descrive il settore di bassaenergia di una teoria ”completa” piu generale che contiene gradi di liberta massiviaggiuntivi.

Teorie di campo rinormalizzabili ⊂ Teorie di campo efficaci

•� La struttura completa della teoria non e nota.

•� Sappiamo che i campi fisici sono quelli dei pioni e il gruppo di simmetria delladinamica e SU(2).

•� I campi U in rappresentazione esponenziale trasformano come: U → U′ = LUR†.•� Si considera la lagrangiana piu generale invariante per trasformazioni di SU(2).

•� I contributi nelle derivate del campo U sono organizzati in base alla dimensionalitadegli operatoriLeff = L2 + L4 + L6 + · · ·

Leff =v2


)+l1Tr2

(∂µU ∂µU†

)+l2Tr

(∂µU ∂νU†

)Tr(∂µU ∂νU†

)+· · ·


Dimensionalita degli operatori•� Il contributo n-esimo della lagrangiana efficace contiene n derivate del campo U.

Ln = ln (∂U)n, n = 2, 4, . . .•� Le dimensioni, in energia, della lagrangiana e della derivata sono [L] = E4 e

[∂] = E , ne consegue che la dimensione del coefficiente ln, che compare neltermine n-esimo e

[ln] = E4−n.

•� Ciascuna derivata porta ad un fattore di ”momento”, q, nell’ampiezza del verticecorrispondente, che quindi scala come

Mn = O(

qn

Mn−4

).

•� La massa M e quella del campo massivo. Entra come parametro dimensionalenei coefficienti ln.

•� La lagrangiana efficace e una serie di contributi che scalano come potenzedell’energia q.

Leff = L2 + L4 + L6 + · · · = O(

q2)+O

(q4

)+O

(q6

)+ · · · .

•� Nel limite di bassa energia q → 0, la serie e rapidamente convergente.


Dimensionalia dei loop1Sia NV numero di vertici di un diagramma di Feynman, di questi Nn sono quelli dovutialla lagrangiana Ln, che e il contributo con n derivate, alla lagrangiana Leff.∑

nNn = NV

Ciascun contributo Ln ha una costante di accoppiamento ln di dimensione E4−n.La costante di accoppiamento totale e il prodotto delle costanti e ha dimensione NC[∏

nNn · ln

]= E

∑n Nn(4−n) ≡ ENC ⇒ NC =

∑n

Nn(4− n).

Siano NI , NE e NL i numeri di linee pioniche interne, esterne e di loop.Ciascun campo pionico contribuisce con un fattore 1/v , quindi con fattore in energiaE−1, nell’ampiezza. Ogni linea esterna porta un fattore E−1, ogni linea interna (duecampi) un fattore E−2. Il fattore in energia dovuto ai campi e

E−(NE +2NI ) ≡ ENπ ⇒ Nπ = −(NE + 2NI)

Poiche in ogni loop il numero di vertici e quello di linee (interne) coincidono e incremen-tando il numero totale di linee interne NI , a parita di numero di vertici, NV , si incrementail numero di loop NL, si ha: NL = NI − NV + 1. Ne consegue che

NI = NL + NV − 1 = NL +∑

nNn − 1 ⇒ Nπ = −NE−2NL−2

∑n

Nn−2.


Dimensionalia dei loop2La dimensione totale in energia delle costanti di accoppiamento e dei campi chedeve essere garantita dal parametro dimensionale del campo, la massa M , e

NL = NC +Nπ =∑

nNn(4−n)−NE−2NL−2

∑n

Nn +2 =∑

nNn(2−n)−NE−2NL+2

L’ampiezza di Feynman dipende da tre parametri con la dimensione di un’energia: q,l’energia del processo; M la massa del campo massivo; µ la scala di rinormalizzazione.

M(q) ∼ MNL qD F (q/µ)

F (q/µ) e una funzione adimensionale del rapporto adimensionale q/µ.La dimensione dell’ampiezza di un processo con NE linee bosoniche (pioni) esterne.

[M(q)] = E4−NE

Scegliendo valori di µ dell’ordine di q, la potenza in energia dell’ampiezza e

D = 4− NE − NL = 2 +∑

nNn(n − 2) + 2NL

•� All’aumentare del numero di loop la potenza D cresce linearmente.

•� Nel limite di bassa energia i contributi dei diagrammi con molti loop sonosoppressi comeO(q2NL ).

•� Al livello fondamentale, n = 2 e NL = 0, l’ampiezza si comporta comeO(q2).


Applicabilita delle teoria efficaceAd energie dell’ordine della massa del campo massivo, la teoria efficace diventa”instabile”. Le correzioni all’ordine fondamentale tendono a crescere rendendodivergente la serie perturbativa.

M(q) ∼q2

v2

[1 +

q2

M2+O

(q4

M4

)]•� Nella maggior parte delle teorie efficaci, la stabilita e garantita da un’ampia

separazione in energia tra i settori a bassa energia, trattati dinamicamente, equelli massivi integrati nei parametri della lagrangiana.

•� Tanto maggiore e la differenza tra le masse leggere e quelle pesanti tanto piuefficace e la teoria di bassa energia.

•� Nei loop non si applica il limite di massa. L’uso di un cut-off negli integrali deiloop implica l’introduzione nella teoria di una nuova scala dimensionale, cherende inaffidabile il metodo del conteggio delle potenze in energia.

•� La regolarizzazione dimensionale permette di integrare senza limiti di massa.

•� I contributi dal settore ad alta energia, introdotti nella teoria efficace dalleintegrazioni delle ampiezze dei loop, sono riassorbiti, come tutti i gradi di libertamassivi, nella ri-definizione dei parametri della teoria efficace.

•� L’applicazione della procedura di allineamento dei parametri con leosservazioni sperimentali, rende la teoria efficace affidabile e ne mantiene ilpotere predittivo, indipendentemente dallo schema di regolarizzazione usato.


Rottura di simmetria1Il fenomeno della rottura di simmetria puo essere studiato anche nel limite di unateoria efficace. In questo caso si definisce ”piccola” rottura di simmetria, in quantorelativa al solo settore di bassa energia e tale da far acquisire massa ai campi leggeri.

La lagrangiana del modello σ nella rappresentazione lineare

L =14

Tr(∂µΣ∂µΣ†

)+µ2

4Tr(

ΣΣ†)−

λ

16Tr2(

ΣΣ†)

+ S[ψL, ψR ]

Per rompere la simmetria SU(2)L × SU(2)R modifichiamo il potenziale

V (Σ) = −µ2

4Tr(

ΣΣ†)

+λ

16Tr2(

ΣΣ†)−→ V (Σ)− Aσ = V (Σ)−

A4

Tr(

Σ+Σ†)

Il potenziale

Vrottura(Σ) = −A4

Tr(

Σ+Σ†)

rompe la simmetria chirale ma conserva quella vettoriale SU(2) di isospin.

Il minimo del potenziale cambia, in funzione del parametro A e i pioni acquistanomassa.

v0 =√µ2/λ −→ v = v0 +

A2µ2 m2

π = 0 −→ m2π =

Av


Rottura di simmetria2

In rappresentazione esponenziale, con i campi S e ~π′ e le relazioni

Σ = (v + S)U, U = ei ~τ·~π′

v ,

la trasformazione del potenziale e il potenziale di rottura sono

V (Σ)→V (Σ)−A4

(v+S)Tr(

U +U†)

Vrottura(Σ)=−A4

(v +S)Tr(

U +U†)

Dallo sviluppo in serie di Vrottura(Σ) nei campi pionici si ottiene la massa dei pioni, mπ ,come il doppio del coefficiente del termine bilineare nei campi ~π′.


(v +S)Tr[

2 cos(~τ · ~π′

v

)]= −

A4

(v +S)Tr

[2−(~τ · ~π′

v

)2+· · ·

]


(v +S)

(4−2

~π′2

v2+· · ·

)= −A(v +S)+

A2v~π′2 +· · ·

Vrottura(Σ) = −A(v +S)+m2π

2~π′2 +· · ·


Espansione dualeLa lagrangiana L2, all’ordine O(q2), si ottiene da quella completa considerando nulloil campo scalare massivo, S = 0, nel caso della rappresentazione esponenziale delmodello σ.

L2 =v2

2Tr(∂µU∂µU†

)+

m2π

4v2Tr

(U + U†

)I termini di ordine superiore contengono potenze maggiori della massa mπ e un nu-mero maggiore di derivate dei campi.

m4π Tr2

(U + U†

), m2

π Tr(

U + U†)

Tr(∂µU∂µU†

), . . .

Da considerazioni dimensionali, si evince che un fattore m2π equivale a due derivate

dei campi. All’ordine n-esimo coesistono termini del tipo

[∂U]n ←→ m2mπ [∂U]n−2m, 2m ≤ n

Nel limite di piccola massa mπ si ha un’espansione duale, nella massa e nell’energia.

A1m2πTr(U +U†

)+A2m4

πTr2(U +U†

)+A3m2

πTr(U +U†

)Tr(∂µU∂µU†

)+A4m2

πTr[(

U +U†)∂µU∂µU†

]+· · ·

I coefficienti {Ak} sono in generale incogniti.

Il potenziale di rottura Vrottura(Σ) = −A4

Tr(

Σ+Σ†)

e invariante solo per

trasformazioni L = R, non lo e per trasformazioni indipendenti L 6= R.


Elementi di matriceGli elementi di matrice delle correnti presenti in una teoria, possono

essere calcolati anche a partire dalla sola lagrangiana efficace chirale.

La lagrangiana di tipo QCD con gli accoppiamenti a quattro correnti

L(lµ, rµ, s, p) = −14

F aµνF aµν + iψ /Dψ − ψγµ

1 + γ5

2lµψ − ψγµ

1− γ5

2rµψ

L(lµ, rµ, s, p) =− ψL (s + ip)ψR − ψR (s − ip)ψL

Le sorgenti sono matrici 3 × 3, esprimibili come combinazione lineare delle matricidi Gell-Mann {λa}8

a=1, generatrici di SU(3), e l’identita, che rappresentano una basedello spazio delle matrici complesse 3× 3,

lµ = l0µ + laµλa, rµ = r0

µ + raµλ

a, s = s0 + saλa, p = p0 + paλa

Annullando le sorgenti lµ, rµ e p e facendocoincidere s con la matrice delle masse deiquark m, si ottiene la lagrangiana di QCD.

limlµ,rµ,p→0

s→m

L(lµ, rµ, s, p) = LQCD

•� La corrente destrorsa: JaRµ = −

∂L∂raµ

= ψγµ1− γ5

2λaψ

•� La densita scalare: ψψ = −∂L∂s0

•� Con il funzionale generatore Z [lµ, rµ, s, p]di L(lµ, rµ, s, p) si ottiene l’elemento di matrice: 〈0|ψψ|0〉 = i

δZδs0

∣∣∣∣lµ=rµ=0,p=0,s=m


L’Azione efficace1L’azione efficace di QCD si ottiene integrando i campi massivi, i cui effetti sono inglobatinei parametri dell’azione efficace stessa.

eiWeff(lµ,rµ,s,p) =

∫[dψ][dψ][dAa

µ] exp(

i∫

d4x LQCD(ψ,ψ,Aaµ, lµ, rµ, s, p)

)Definendo l’azione efficace in termini della lagrangiana efficace e quindi dei campi diGoldstone, si ottiene una descrizione del settore a bassa energia della QCD, checonserva le simmetrie della teoria completa.

eiWeff(lµ,rµ,s,p) =

∫[dU] exp

(i∫

d4x LQCD,eff(U, lµ, rµ, s, p)

)

Affinche la lagrangiana LQCD(ψ,ψ,Aaµ,lµ,rµ,s,p)

sia invariante per trasformazioni chirali localidi SU(3), le sorgenti devono trasformarsi comecampi di gauge. ∀ L(x), R(x) ∈ SU(3)

ψL→ L(x)ψL , ψR → R(x)ψR

lµ→ L(x) lµL†(x)+i∂µL(x)L†(x)

rµ→R(x)rµR†(x)+i∂µR(x)R†(x)

s+ip→ L(x)(s+ip)R†(x)

A tal fine e necessario definirela derivata covariante,che si trasforma come il campo U.

DµU = ∂µU + ilµU − iUrµ

U → L(x)U R†(x) , DµU → L(x)DµU R†(x)

I tensori delle forzeper le sorgenti lµ e rµ.

Lµν = ∂µlν − ∂ν lµ + i[lµ, lν ], Lµν → L(x)LµνL†(x)

Rµν = ∂µrν − ∂ν rµ + i[rµ, rν ], Rµν → R(x)RµνR†(x)


L’Azione efficace2La lagrangiana efficace LQCD,2, all’ordine fondamentale O(q2), si ottiene a partiredalla definizione dell’azione efficace di QCD, considerando solo i termini con al piudue derivate del campo U.

LQCD,2 =F 2π

4Tr(

DµUDµU†)

+F 2π

4Tr(χU† + Uχ†

), χ = 2B0(s + ip)

Fπ ' 92.2 MeV e la costante di decadimento del pione.Il campo χ e legato alle sorgenti dei ”condensati” qq.B0 e una costante di dimensione E , come le sorgenti scalari s e p.

Nel limite di QCD standard con solo due sapori, m = diag(mu ,md )

limlµ,rµ,p→0

s→m

LQCD,2 =F 2π

4Tr(

DµUDµU†)

+m2π

F 2π

4Tr(

U +U†)

m2π = (mu + md )B0

Il parametro B0 e legato al condensato 〈0|ψiψj |0〉 = iδZδs0

ij

∣∣∣∣∣lµ=rµ=0p=0,s=m

= −F 2π B0 δij

La corrente destrorsa.Le sorgenti lµ e rµ definiscono Dµ. Ja

Rµ = −∂LQCD,2

∂raµ= i

F 2π

2Tr(λaU∂µU†

)A differenza della procedura di Noether standard, con il metodo delle sorgenti esternesi possono usare direttamente le equazioni del moto.


Un esempioLa lagrangiana di Klein Gordon

LKG = φ∗(�+ m2

)φ

Consideriamo la trasformazione di fase locale

φ(x)→ φ′(x) = eiα(x)φ(x)

La risposta delle due lagrangiane di prova, L0 e L2, alla trasformazione φ→ φ′ ediversa.

L0 =φ∗φ L0 → L′0 = L0

L2 =φ∗�φ L2 → L′2 6= L2

La lagrangiana L2 contribuisce alla corrente di Noether al contrario di L0.Considerando on-shell il campo φ, ovvero l’equazione del moto, le due lagrangianesono proporzionali.La lagrangiana L2 puo essere scritta come L2 = −m2L0 e il contributo allacorrente di Noether e nullo, in contraddizione con quanto ottenuto senza l’utilizzodell’equazione del moto.

Con il metodo delle sorgenti esterne non si ha questo problema, le equazioni delmoto possono essere usate, i campi sono sempre considerati on-shell.


Teorie efficaci con un solo campoI Considerando diversi intervalli di energia e possibile definire una teoria efficace

anche nel caso in cui la teoria completa contenga un solo campo.I Il settore ad alta energia viene integrato, alla stregua dei campi massivi di una teoria

a piu campi, quello a bassa energia invece rimane come grado di liberta dinamico.

Nel limite non relativistico, i gradi di liberta dello spinore di Dirac relativi all’antiparticella,ψb , sono pesanti e possono essere integrati. Le due componenti di ψa rappresentano igradi di liberta leggeri.

ψ = e−imt(ψaψb

)La lagrangiana in termini degli spinori ψa e ψb .

L = ψ(i /∂ −m

)ψ = ψ∗a i∂tψa + ψ∗b (i∂t + 2m)ψb + ψ∗a iσ · ∇ψb + ψ∗b iσ · ∇ψa

Solo il campo ψb ha massa. Nel limite di piccola energia ∂t � m, dalle equazioni delmoto si ottiene

iσ · ∇ψa = (i∂t + 2m)ψb ' 2mψb , iσ · ∇ψb ' 0

La lagrangiana efficace e

Leff = ψ∗a i∂tψa −(∇ψ∗a ) · ∇ψa

2m


QED efficace1Le teorie efficaci possono essere utilizzate anche in assenza di simmetrie chirali.

I Consideriamo la QED con fotoni a bassa energia, tale da non poter produrre elettroni.I I campi degli elettroni possono manifestarsi solo come stati virtuali nei loop.I I diagrammi sono caratterizzati da un loop fermionico e linee esterne bosoniche.I L’invarianza per coniugazione di carica

permette solo la presenza di unnumero pari di linee bosoniche.

I Le ampiezze dei loop possono esserecalcolate in QED e sono soppresseda potenze inverse della massa dell’elettrone.

I Le ampiezze e i coefficienti si possono ottenere dalla lagrangiana efficace.

+ . . .

La lagrangiana efficace di QED dipendente solo dal campo Aµ e possiede le stesseampiezze della lagrangiana completa.∫

[dAµ] exp(

i∫

d4xLQED,eff(Aµ)

)=

∫[dAµ][dψ][dψ] exp

(i∫

d4xLQED(Aµ, ψ, ψ))

∫[dψ][dψ] exp

(i∫

d4xL0(ψ,ψ))

Normalizzazione: L0(ψ,ψ) = LQED(Aµ = 0, ψ, ψ).


QED efficace2Il calcolo esplicito della lagrangiana.∫

d4xLeff(Aµ) = −14

∫d4xFµνFµν − i Tr

[ln(

i /D −mi /∂ −m

)]Il tensore di polarizzazione del vuoto (self energy del fotone)

Πµν(q2) =α

15π

(qµqν − gµνq2

) q2

m2+ · · ·

si ottiene dalla lagrangiana efficace di interazione

L2,eff =α

60πm2Fµν�Fµν

La lagrangiana efficace completa, da cui si ottiene anche l’ampiezza a quattro fotoni.

L4,eff = −14

FµνFµν +α

60πm2Fµν�Fµν +

α2

90m4

[(FµνFµν)2 +

74

(Fµν Fµν

)2]

+ · · ·

I termini successivi si ottengono: o considerando piu loop, quindi correzioni di ordinesuperiore in α; ovvero, allo stesso numero di loop, aggiungendo termini o con piucampi o con piu derivate. Ad esempio, a un loop, si hanno gli operatori

Fµν�2

m4Fµν , Fµν

�

m6FµνFαβFαβ ,

1m8

(FµνFµν)3, . . .

Si ha un’espansione in potenze q2/m2.


Nuova Fisica1I Il metodo delle teorie efficaci puo essere usato per cercare effetti di nuova fisica

nelle quantita osservabili a bassa energia.I Effetti provenienti da un settore ad alta (altissima) energia possono essere

studiati con la lagrangiana efficace

Leff =∑

nCn On

I Gli di operatori dell’insieme {On} hanno le simmetrie della teoria e sonocostruiti a partire dagli operatori di bassa energia.

I Possono essere ordinati per dimensione. Poiche la lagrangiana ha dimensioneE4, indicando con Edn la dimensione dell’operatore On, si ha per i coefficienti

Cn ∼ M4−dn

dove M e la scala energetica del settore ad alta energia.I Gli operatori con dimensioni maggiori sono soppressi da potenze maggiori

dell’inverso della scala M.

Il Modello Standard e la piu generale teoria rinormalizzabile che rispetti le simmetriedi gauge delle interazioni forte ed elettro-debole, che descrive il settore chiuso e auto-consistente della fisica delle particelle fino all’energia E ' MZ .

In che forma si possono presentare gli effetti di una o piu interazioni,non presenti nella teoria, provenienti da un settore ad alta energia?


Nuova Fisica2La lagrangiana efficace completa

Leff = LSM +1ΛL5 +

1Λ2L6 + · · ·

Λ e la scala di energia della nuova fisica, la lagrangiana Ln ha dimensione En.

• Nel Modello Standard c’e un solo operatore di dimensione E5.

• Ci sono 80 operatori di dimensione E6.

• Gli operatori sovradimensionati (On>4) generano effetti non-standard osservabili.

La lagrangiana L6(g6) = g6 (Φ†Φ)WWWµν ·WWWµν , scritta in termini del campo di Higgs, Φe del campo dei bosoni massivi WWWµν , produce una interazione che modifica il valoredel parametro ρ della matrice CKM.

ρ =M2

W

M2Z cos2(θW )

= 1− g6v2

Λ2+ · · ·

Assumendo g6 = 1, il valore sperimentale di ρ implica Λ > 4.5 TeV.

La lagrangiana L6(c6) = c6 eγµ(1 + γ5)µsγµ(1 + γ5)d+h.c. genera il decadimentoKL → e−µ+, che viola del simmetria di sapore.Il valore sperimentale

BR(KL → e−µ+) < 4.7 · 10−19 ⇒ Λ(c6 = 1) > 1700 TeV.


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