AREA 02 ­ SCIENZE FISICHETematica di Ricerca 3: Interazioni fondamentali, gravitazione e particelle nel cosmo

Roberto De Leo – Assegnista di Ricerca – III anno

INFN, sez. di Cagliari, e Dip. di Fisica, U. di Cagliari

Tema 1: Un modello di dinamica torsionale del DNAin collaborazione con M. Cadoni (Dip. di Fisica, U. di Cagliari) e G. Gaeta (Dip. di Matematica, U. di Milano)

Struttura del DNA

Il DNA e’ un acido nucleico, strutturato come una

doppia catena, che contiene le informazioni nec­

essarie allo sviluppo biologico di tutte le forme

di vita cellulari e della maggior parte dei virus.

Il numero di atomi in una catena di DNA e’ cosi’

grande da rendere impossibile uno studio esatto

del problema. Negli ultimi vent’anni sono stati

introdotti un buon numero di modelli meccanici

del DNA [1] che cercano di catturarne le propri­

eta’ essenziali mantenendo al minimo indispens­

abile la complessita’ del sistema.

Le coppie di basi

Sotto: una coppia di basi GC.

Sopra: una coppia di basi AT. Ogni base e’ col­

legata al backbone – un atomo di Fosforo (aran­

cione) e due di Ossigeno (rosso) per sito – da

una molecola di deossiribosio – uno zucchero

con cinque atomi di carbonio (grigio) e tre di os­

sigeno.

Apertura del DNA

Alcuni importanti fenomeni, come la replicazione (a

destra) o la trascrizione, avvengono tramite l’apertura

della catena di DNA e sotto l’azioni di enzimi. Come

in una cerniera lampo, il processo si muove lungo la

catena a gran velocita’ (dell’ordine di 1Km/s) aprendo

l’elica in una direzione e richiudendola nell’altra.

Un moto di questo tipo richiede una gran concen­

trazione di energie in piccoli spazi (qualche decina di

coppie di basi) capace di muoversi senza dispersione

per grandi distanze. Gli oggetti matematici piu’ adatti

a descrivere un comportamento simile sono i solitoni,

cioe’ onde solitarie che sono soluzioni di equazioni

differenziali non lineari.

Un nuovo modello didinamica torsionale nel DNA

Il nostro modello (a destra in basso) prende le mosse

da quello di Yakushevich [2] (a destra in alto), uno

dei modelli di DNA di maggior successo.

Per arricchire il modello separiamo il pentagono zuc­

cherino dalle basi, che nel modello di Yakushevich

sono rappresentati da un unico disco, con una cop­

pia di dischi uniti da un’asta rigida di massa nulla.

In questo modo guadagnamo gradi di liberta’ e non

siamo piu’ costretti ad utilizzare costanti di accppi­

amento non fisiche come succede per il modello di

Yakushevich.

2R + a

R R

ρ

OA A′

BB′

1

2R + 2dh + ρ0

Rθ1

ϕ1

Rθ2

ϕ2

ρ

r

r

OA A′

B

B′

C

C′

dh

dh

1

Il PotenzialeCome potenziali torsionali, di stacking e di pairing usiamo:

Vt = Kt

∑

n[cos(ϑ(n+1)1 − ϑ

(n)1 ) + cos(ϑ

(n+1)2 − ϑ

(n)2 )]

Vs = 12Ks

∑

n[σ2(ϑ(n+1)1 , φ

(n+1)1 , ϑ

(n)1 , φ

(n)1 )+

+ σ2(ϑ(n+1)2 , φ

(n+1)2 , ϑ

(n)2 , φ

(n)2 )]

Vp = 12Kp

∑

n ρ2(ϑ(n)1 , ϑ

(n)2 , φ

(n)1 , φ

(n)2 )

dove σ e’ la distanza tra due basi adiacenti nella stessa catena

e ρ la distanza tra due basi affacciate.

Per le costanti di accoppiamento prendiamo i valori

Kt = 130KJ/mol Ks = 68N/m Kp = 3.5N/m

Risultati NumericiI profili solitonici che vengono dal nostro

modello [3] sono molto vicini ai corrispon­

denti profili del modello di Yakushevich.

La figura a destra mostra i profili dei quat­

tro relativi al solitone di tipo (1,0). Il profilo

sottile nella figura (a) e’ quello del corrispon­

dente solitone nel modello di Yakushevich.

Il nostro modello dunque e’ in grado di ripro­

durre gli stessi risultati di quello di Yakushe­

vich; in piu’, risulta maggiormente flessibile

e tutte le costanti di accoppiamento di cui

necessita sono vicine ai valori stimati speri­

mentalmente.

100 200 300 400

1

2

3

4

5

6

50 100 150 200 250 300 350 400

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

a b

50 100 150 200 250 300 350 400

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

50 100 150 200 250 300 350 400

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

c d

θ1+θ2

2

θ1−θ2

2

ϕ1+ϕ2

2ϕ1−ϕ2

2

Bibliografia:[1] L. Yakushevich, “Nonlinear Physics of DNA”, Wiley[2] L. V. Yakushevich, A. V. Savin, L. I. Manevitch, “On the nonlinear dynamics of topological solitons in DNA”, physics/0204088[3] M. Cadoni, R. De Leo, G. Gaeta, “A composite model for DNA torsion dynamics”, preprint

Tema 2: Moto semiclassico degli elettroniMoto degli Elettroni

in un potenziale periodicoNell’approssimazione semiclassica un potenziale perio­

dico U(x) da luogo ad una funzione energia ε = ε(p)

periodica nei momenti (p1, p2, p3). Dopo l’applicazione

di un campo magnetico esterno B il moto degli elettroni

e’ descritto dalle equazioni{

x = ∇ε(p)p = e

c∇ε(p) × B

Se B e’ cost. allora p · B e’ const. e quindi le orbite

dei momenti dei quasi­electroni sono le intersezioni tra

la superficie ε = cost. (“Superficie di Fermi”) e i piani ⊥

a B.

Mappe stereografiche

I metalli sono il luogo piu’ naturale dove appaiono

potenziali periodici.

In questo caso e’ possibile rilevare sperimentalmente

la presenza di orbite aperte dei momenti dei quasi­

elettroni tramite misure di magnetoresistenza.

La figura a destra – “mappa stereografica”, ottenuta

sperimentalmente da Gaidukov nel 1961 [1] – mostra,

nel disco delle direzioni del campo megnetico, le

“isole” dei B che danno luogo ad orbite aperte nel

caso di un monocristallo di Argento. Tutte le di­

rezioni esterne alle isole danno luogo solo ad orbite

chiuse. Ogni metallo nobile ha una mappa stere­

ografica simile.

Risultati NumericiSotto: un particolare della Superficie di Fermi

dell’Argento (le superfici di Fermi sono infinite

e si ripetono periodicamente nelle tre direzioni

coordinate).

A destra: la mappa stereografica dell’Argento

ottenuta numericamente da noi [2,3] utilizzando

recenti risultati analitici di S.P. Novikov e della

sua scuola [4].

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

Un semplice “Toy Model”:l’ottaedro tronco periodico

Sotto, un particolare del poliedro che si ottiene

ripetendo all’infinito l’ottaedro tronco nelle tre

direzioni coordinate.

Si puo’ ottenere uno dei piu’ semplici poliedri periodici

a partire dall’Ottaedro Tronco (sopra).

Il vantaggio e’ che lo studio numerico delle sezioni piane

di questa superficie, di sole 8 facce, e’ molto piu’ veloce

di quella di una superficie liscia [5].

La mappa stereografica

L’Ottaedro troncato periodico e’ una superifice

speciale: il suo interno e’ uguale al suo esterno.

In questo caso la mappa stereografica risulta es­

sere un frattale. Sotto mostriamo il frattale nella

sfera (l’insieme delle direzioni del campo mag­

netico), a destra un particolare ingrandito.

Dim. Frattale

A destra, un particolare (a risoluzione 10 volte

superiore) del frattale di sinistra.

Sotto, il grafico mostra la valutazione della di­

mensione frattale col metodo di “Box Counting”.

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

log2(Nn) = 1.93n + 1.1

n

log2(Nn)

Bibliografia:[1] N.E. Alexeevskii and Yu.P. Gaidukov, “Fermi surface of Silver”, JETP (15) 1962[2] R. De Leo, “Topological effects in the magnetoresistance of Au and Ag”, Physics Letters A (332), 2004[3] R. De Leo, “First­principles generation of stereographic maps for high­field magnetoresistance in normal metals: An application to Au and Ag”, Physica B (362), 2005[4] S.P. Novikov & A. Ya. Maltsev, Topological Phenomena in Normal Metals, cond­mat/9709007[5] R. De Leo, “Topology of plane sections of periodic polyhedra with an application to the Truncated Octahedron”, math.DG/0502219, J. of Experimental Mathematics, to appear