TEORIA RAPPRESENTAZIONALE

DELLA MISURA

E’ la teoria che tratta in modo formale il passaggio dal mondo empirico delle osservazioni a quello delle rappresentazioni

numeriche delle quantità misurabili

Il punto di partenza è avere già definito nel mondo empirico le quantità della stessa specie e le

relazioni empiriche che permettono di ordinare le

quantità misurabili secondo la grandezza della qualità

Indichiamo, per il seguito, con Q l’insieme delle quantità della

stessa specie e con R l’insieme delle relazioni empiriche tra di

esse.

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4,……, q x, ………}

R = {R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 , ………..}

Tramite l’insieme Q e la classe delle relazioni R definite su Q

posso formare il sistema relazionale empirico:

Q = < Q, R >

Le relazioni R intuitive sono, tutte o in parte, le seguenti:

relazione di indistinguibilità o equivalenza simbolo ~

relazione di transizione empirica simbolo

relazione di combinazione empirica simbolo

relazione di indistinguibilità o equivalenza ~

permette di ritenere equivalenti tra loro due manifestazioni della qualità per cui sarà attribuito loro

lo stesso numero in una operazione di misura

Nel caso di un insieme relazionale numerico la relazione di equivalenza è espressa con il

simbolo =

relazione di transizione empirica

Permette di mettere in ordine le quantità della stessa specie

In un sistema relazionale numerico corrisponde al simbolo

< o al simbolo >

Ad un insieme di quantità misurabili della stessa specie

corrisponde sempre un insieme di relazioni formato dalla relazione di indistinguibilità e da quella di

transizione empirica

Un insieme di quantità misurabili in cui è definita solo la relazione

di indistinguibilità non costituisce un insieme di quantità

della stessa specie

relazione di combinazione empirica

E’ la relazione che permette di combinare tra loro le quantità e quindi di formare una scala di

misura estensivaIn un insieme relazionale

numerico corrisponde all’operatore di addizione +

Il sistema relazionale empirico< Q , ~ , , > ha la stessa

struttura e le stesse proprietà di un sistema relazionale numerico<Re , = , < , + > in cui Re è un

insieme di numeri reali

Per costruire una teoria rappresentazionale della misura

occorre:1. definire un sistema relazionale

di numeri2. Avere una condizione di

rappresentazione che mappi il sistema relazionale empirico in

quello numerico3. Una condizione di unicità

Punto 1Definiamo con N una classe di

numeri (per esempio quelli naturali) e indichiamo con P un

insieme di relazioni definite su N.P = {P1 , P2 , P3 , …………}

L’insieme N = < N, P > rappresenta un insieme relazionale numerico

Punto 2La misura stabilisce una

corrispondenza tra le manifestazioni q i ed i numeri N i in modo tale che le relazioni tra

le manifestazioni R i implichino e siano implicate dalle relazioni Pi tra le loro immagini nell’insieme

dei numeri

Formalmente occorrono:una operazione empirica

obiettivaM : Q N

che proietta l’insieme Q sull’insieme N

Una proiezione F di R in PF : R P (proiezione uno a uno)Questo significa che Pi = F (R i ) ;

Pi P , R i R In questo modo Q è mappato in N

.

Abbiamo a che fare con una trasformazione omomorfica nel senso che per tutti gli R i R e

tutti i Pi P , con Pi = F (R i ), si ha che

R i (q 1, q 2, q 3, q 4,……) Pi [M(q 1), M(q 2), M(q 3), M(q 4),

….]

La corrispondenza tra R e P è biunivoca

La proiezione M tra Q ed N non è biunivoca

a manifestazioni distinte della qualità, ma tra loro indistinguibili

deve corrispondere lo stesso numero (condizione di

rappresentazione)

Il sistemaS = <Q , N , M , F >

costituisce una scala di misura.L’immagine di q i in N

(ossia n i ), ottenuta tramite l’operazione di misura M, è

chiamata la misura di q i in scala S.

Punto 3 Condizione di unicitàLa condizione di unicità è

rispettata quando lo è quella di rappresentazione.

La mappatura M può essere fatta in diversi modi e da qui deriva

che si possono realizzare diverse scale.

Nasce quindi il problema delle trasformazioni di scala, ossia quali sono le trasformazioni

ammissibili.La condizione di unicità limita la

classe delle trasformazioni di scala a quelle per cui è valida la condizione di rappresentazione.

Costruzione della scala di misura estensiva

Prendiamo un oggetto dello spazio con manifestazione

s 1 Q Scegliamo questo oggetto come

standard e assegnano alla sua qualità il valore numerico 1 (operazione di misura M)

Questa è l’unità di misura della scala, la scelta è del tutto

arbitraria.

Prendo un altro oggetto che abbia la qualità s ' 1 appartenente all’insieme Q, tale da essere

indistinguibile da s 1 a s ' 1 attribuisco sempre come

misura il valore 1.Costruisco lo standard

s 2 = s 1 s ' 1 e gli attribuisco come misura il valore 2

Standard frazionali possono essere generati costruendo

s ½ , s ' ½ Q tali che s ½ s ' ½ ~ s 1 ed assegnando a s ½

il valore ½

Non è sempre possibile avere un sistema relazionale empirico

ordinato con la proprietà dell’operatore di combinazione.Esistono delle situazioni meno

complete per le quali si può comunque definire una scala, ma

non di tipo estensivo

Scala di confronto

E’ definita la sola relazione di equivalenza

Esempio: scala dei coloriSi sceglie un certo numero di

oggetti colorati come standard, ciascuno con una manifestazione distinta di colore e ad ognuno di essi si attribuisce un numero o

una etichetta.

Una qualsiasi manifestazione di colore incognita è confrontata

con gli standard.Se uno di essi si accorda, alla manifestazione incognita si assegna lo stesso numero o

etichetta dello standard.

L’espressione “si accorda” esprime la relazione di

equivalenza

Le scale di confronto non sono considerate in genere scale di

misura in quanto non permettono valutazioni quantitative.

Non è inoltre possibile stabilire un sufficiente numero di elementi

dello standard in modo da assicurare che ogni q i Q possa trovare un elemento standard di

confronto e possa avere assegnata una misura.

Scale di ordinamento o di rango

Si è in presenza di un sistema empirico ordinato (quantità della

stessa specie) < Q , ~ , >

Su di esso si sceglie l’insieme standard di oggetti che hanno

s i Q e sono posti in una serie ordinata S= {s 1 ,...., s n }

I numeri sono assegnati a ciascun s i in modo che si ha un sistema

numerico ordinato corrispondente all’ordine degli standard a cui i

numeri sono attribuiti.

Ogni q Q può essere confrontato con gli elementi di S

Se q ~ s i , gli viene assegnato lo stesso numero dello standard.Se non c’è equivalenza si può determinare tra quali standard

trova collocazione

Esempio: Scala Mohs delle durezze.

Dieci minerali sono assunti come standard in ordine crescente di

durezza:talco, gesso, calcite, fluorite, apatite, ortoclasio, quarzo,

topazio, corindone, diamante

Ad essi è assegnata la sequenza di numeri da 1 a 10

Se un minerale sconosciuto non graffia il quarzo e non può essere graffiato da lui gli si attribuisce la

durezza 7.Se non graffia il quarzo, graffia

l’ortoclasio, non è graffiato dall’ortoclasio allora è di durezza

intermedia tra 6 e 7.

Trasformazioni di scala

Le classi di trasformazioni ammissibili sono quelle che mantengono la relazione di

omomorfismo

M numeri che rappresentano misure nella scala di partenza

M’ numeri corrispondenti nella scala trasformata

Trasformazione

Nome Tipo scala

M' = M >0

similare rapporto

M' = M+ e >0

affine intervallata

Trasformazione

Nome Tipo scala

M' = M

e > 0di potenza derivata

M' = F(M)F funzionemonotonacrescente

monotonacrescente

ordinale

Trasformazione

Nome Tipo scala

M' = F(M)Fsostituzione punto apunto

uno a uno nominale

Misure indirette

Esistono casi in cui la qualità in esame non consente di costruire una scala estensiva perché non è

definita l’operazione di combinazione empirica

Esempio: densità = massa / volume

possediamo la scala estensiva della massa e quella del volume

E’ possibile costruire una scala estensiva della densità

utilizzando le scale delle grandezze associate (massa e

volume)

Le misure delle grandezze associate costituiscono un vettore ordinato a cui si fa corrispondere un valore della grandezza sotto

misura.Esempio d1 corrisponde al vettore

(m1 , V1 ) , d2 corrisponde al vettore (m2 , V2 ) e così di

seguito

Se si verifica che manifestazioni della qualità sotto misura hanno

lo stesso vettore delle misure delle qualità associate

componenti se e solo se sono indistinguibili, possiamo

affermare che l’insieme delle misure componenti caratterizza la

qualità sotto misura.

Formalizzazione del problema Qo = < Qo, Ro > è il sistema relazionale empirico su cui vogliamo definire una scala

estensiva So utilizzando le qualità associate, logicamente

indipendenti, che formano i sistemi relazionali empirici

{Q1 , Q2 , Q3 ........}

per ognuno dei sistemi Qi esiste già definita una scala di misura

estensiva S1

Si = <Qi , Ni , Mi , Fi >

Ipotesiad ogni manifestazione qo Qo

corrisponde uno ed uno soltanto elemento vettoriale

q = < q 1, ......., q n > appartenente all’insieme prodotto dei Qi

Di ogni q i ho la misura, tramite l’operatore M i , posso perciò definire il vettore operatore

M (q o ) = < M 1 (q 1 ) , M 2 (q 2 ) , ......, M n (q n ) >

Proprietà di indistinguibilitàdeve essere verificato che per

ogni q’ o Qo tale che q’ o ~ q o deriva che M’ (q o ) = M (q o ) e

viceversaIn tal caso si può affermare che

M (q o ) caratterizza q o

Ogni operatore M i (q i ) definisce un corrispondente numero nell’insieme numerico N i ,

l’operatore M (q o ) è stato solo definito tramite il vettore

ordinato, ma non è stata ancora stabilito il procedimento con cui

assegnare il numero n o appartenente all’insieme

numerico N o

Supponiamo che esista un operatore che faccia corrispondere ai punti

dell’insieme prodotto, formato dagli N i , punti dell’insieme

numerico N o n n = (M 1 (q 1 ) , M 2 (q

2 ) , ......, M n (q n ) )

Tramite questo operatore posso definire la mappatura M o da Qo a

N o Nel sistema relazionale empirico

Qo = < Qo, Ro > sono definite anche le relazioni empiriche tra

le qualità.

Sull’insieme numerico N o devo definire un insieme di relazioni

Po tali che corrispondano a quelle empiriche. Occorre pertanto

stabilire la mappatura biunivoca Fo : Ro Po

In conclusione, se Mo , Fo costituiscono una mappatura

omomorfica dell’insieme relazionale empirico Qo = < Qo,

Ro > sull’insieme relazionale numerico No = < No, Po >

possiamo definire la scala di misura estensiva indirettaSi = <Qo , No , Mo , Fo >

Le scale indirette possono essere applicate anche al caso in cui

sarebbe possibile creare direttamente la scala estensiva della grandezza in esame, ma è opportuno non farlo in modo da

avere un ridotto numero di grandezze fondamentali (sistema

di unità di misura)

Esempio: la velocità è legata alle grandezze fisiche spazio e tempo. Supponiamo note le scale con cui

sono misurate le grandezze spazio e tempo e costruiamo la

scala della velocità.

Abbiamo il sistema relazionale empirico Vo = < Vo, Ro > ,

abbiamo gli insieme numerici N1 e N2 relativi alle scale dello spazio e del tempo, occorre

stabilire la mappatura

La funzione più naturale da assumere è quella del rapporto,

ma nulla vieterebbe di prenderne un’altra, ad esempio il suo

quadrato.

Otterrei ugualmente un sistema ordinato e una scala di misura valida, complicherei però la

funzione Fo che ha lo scopo di stabilire la corrispondenza tra le relazioni del sistema empirico e

quello numerico.