Teoria della Gravitazione Universale

Pitagora (560-500 A.C.) e i suoi seguaci furono i primi ad Pitagora (560-500 A.C.) e i suoi seguaci furono i primi ad elaborare un modello di sistema solare basato su idee elaborare un modello di sistema solare basato su idee matematichematematiche

Per primi i Pitagorici , per giustificare la periodicità dei loro moti, introdussero un modello matematico che collocava gli astri su orbite circolari.

La rappresentabilità matematica garantiva l'ordine e la stabilità dell'universo (kosmos).

Esso è delimitato dalla sfera delle stelle fisse e tra la volta sferica delle stelle e il centro si trovano i pianeti i cui raggi orbitali e le cui velocità formano una successione numerica identica a quella dei numeri corrispondenti alle note musicali;

La più importante intuizione pitagorica è la sfericità della terra;

Il Sistema Platonico è geocentrico.

L’universo di Platone è FINITO, racchiuso all’inteno della sfera delle stelle fisse

Anche i due più grandi filosofi greci, Platone ed Anche i due più grandi filosofi greci, Platone ed Aistotele, proposero un loro modello di Universo.Aistotele, proposero un loro modello di Universo.

Sistema Aristotelico

Per Aristotele l’Universo non è semplicemente un luogo ma è “il luogo” (topos) somma totale di tutti i luoghi occupati dalle cose.La sua cosmologia è simile a quella di Platone: una terra fissa al centro di un mondo finito, circondata dalla sfera contenente tutti i corpi dell’universo.

Tale sfera non è, però, da “qualche parte” poiché al di là di essa non vi è nulla, né vuoto né estensione

Misura della circonferenza terrestre

Circonferenza della Terra trovata : 250 000 stadi ~ 40 400 km ?

(valore moderno : 40 040 km)

ombra a Syène al solstizio d’estate

ombra ad Alessandria al solstizio d’estate

Alessandria

Terra

Syène (Assouan)

Soleil

A

A

Eratostene(276 - 194 A.C)

Misura della distanza Terra-Luna-Sole

Aristarco di Samo ~ 275 A.C..

Distanza trovata Terra - Sole = 20 volte la distanza Terra-Luna

TerraT

Luna in quadratura (primo quarto)

L

89,8°89,8°87°

TL/TS = cos Sole

Diametro trovato del Sole = 7 volte quello della Terra(valore moderno : 109 volte)

(valore moderni : 400 volte)

II secolo D.C. : Claudio Tolomeo, perfeziona il modello

aristotelico, introducendo il moto epiciclico dei pianeti per dar conto del loro complesso moto sulla sfera

celeste

Vedi simulatore

Copernico ( 1473-1543)

Il polacco Copernico opera quella che passerà alla storia come rivoluzione copernicana spostando la Terra dalla sua posizione privilegiata al centro dell’universo e posizionando al suo posto il Sole (teoria Eliocentrica).

Le orbite continuano ad essere delle circonferenze.

Inizialmente la teoria eliocentrica fece molta fatica ad affermarsi anche perchè le sue previsioni erano meno precise di quelle del modello tolemaico (a causa della non circolarità delle orbite reali dei pianeti)

De Revolutionibus Orbium Celestium (Nuremberg 1543)

Leggi di Keplero sul moto dei pianeti

1a legge: I pianeti si muovono su orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi

Studiando i dati raccolti per oltre trent’anni dall’astronomo danese Thyco Brahe, Keplero si convinse che le orbite dei pianeti non potevano essere circolari e alla fine formulò le sue famose leggi sul mot dei pianeti:

Vedi simulatore orbite

2a legge: Il raggio vettore che va dal Sole al Pianeta spazza aree uguali in tempi uguali ossia la

velocità areolare è costante

Vedi simulatore seconda legge di Keplero

3a legge: Il rapporto tra il quadrato del periodo di

rivoluzione T e il cubo del semiasse mag-

giore a è una costante k uguale per tutti

i pianeti del Sistema Solare.

ka

T

3

2

Studiando le leggi di Keplero, Newton e altri fisici del suo tempo si convinsero che questo moto fosse dovuto all’azione di una forza che il sole esercita sui pianeti.

Fu Newton ad enunciare e dimostrare in maniera rigorosa

la legge che determina questa forza:

2r

mMGF S

dove G è una costante che fu determinata sperimentalmente da Cavendish:

2

2111067,6kg

NmG

Newton intuì che questa forza non agisce solamente tra sole e pianeti ma in realtà agisce tra tutti i corpi che sono dotati di massa. La legge di gravitazione diventa UNIVERSALE

rr

mmGF ˆ

221

NB. La forza ha questa forma anche nel caso che i corpi non siano puntiformi ma sferici. In questo caso r è la distanza tra i centri delle sfere.

Esperimento di Cavendish

Consideriamo un pianeta di massa mp che ruota intorno al Sole (massa MS>> mp ) su un’orbita circolare

Se l’orbita è circolare il pianeta è soggetto ad una accelerazione centripeta

La forza che imprime tale accelerazione è la forza gravitazionale FG

rT

mamF pcpG

22

rT

mr

MmG p

Sp2

22

4

2

3

2 4

SGMr

T

Da cui si vede che il rapporto T2/a3 dipende solo dalla massa del Sole e non dal particolare pianeta preso in considerazione (3a legge di Keplero!)

Questa relazione vale anche per un qualsiasi corpo di massa m che ruoti intorno ad un corpo che ruoti intorno ad un corpo di massa M>>m

2

3

2 4

GMa

T

Newton comprese che la forza peso non era altro che una manifestazione della Forza gravitazionale con cui la Terra attira un corpo in prossimità della superficie terrestre

2T

T

R

MmGP

2T

T

R

MmGmg 2

T

T

R

MGg

Utilizzando tale relazione Cavendish misurò per la prima volta la massa della Terra:

kgG

RgM T

T24

2

1098,5 281,9s

mg kmRT 6375

Usando la legge di gravitazione universale è possibile calcolare l’accelerazione di gravità si un qualsiasi pianeta (conoscendone massa e raggio)

Se ci allontaniamo dalla superficie del pianeta, g diminuisce. Ad altezza h dalla superficie del pianeta essa vale

hRr p

2

2

2

2

2 )()( hR

Rg

hR

R

R

MGg

p

po

p

p

p

ph

In termini di go

Per h<<Rp (es <200 km)

2p

po R

MGg

poh R

hgg

21

22 )( hR

MG

r

MGg

p

pph

Lo Shuttle normalmente si muove su un’orbita circolare a circa 300 km di altezza dalla superficie della Terra. A quell’altezza l’accelerazione di gravità vale:

256

2411

2 )10310375,6(

1098,51067,6

)(

hR

MGg

p

pShuttle

226

2411 95,8

)10675,6(

1098,51067,6

s

m

circa il 10% inferiore a quella che c’è sulla superficie della Terra.E’ inferiore ma non nulla….

Ma perché quando vediamo gli astronauti dello Shuttle sembrano in assenza di peso?

In realtà essi sono soggetti alla forza di gravità ma sono anche in caduta libera continua e questo ha come conseguenza di non percepire la forza peso

La forza di gravitazione universale è una forza conservativa

Esiste l’energia potenziale gravitazionele

K è una costante additiva che può essere fissata in maniera arbitraria. Solitamente si sceglie K=0 in maniera che U è nulla a r = infinito dove è nulla anche la forza

Il lavoro fatto dalla forza gravitazionale quando un corpo si sposta dalla posizione A a B vale:

Kr

mMGrU p )(

iffi rr

GMmrUrUL11

)()(

Vale ovviamente anche il principio di conservazione dell’energia meccanica

r

mMGmvEM 2

2

1

)()( BEAE MM

Applicazione: la velocità di fuga

Velocità di fuga: minima velocità con cui lanciare un oggetto perpendico-larmente alla superficie di un pianeta affinchè non faccia più ritorno (ossia

possa arrivare all’infinito con velocità pressoché nulla)

P

PFCM R

mMGmvAUAEAE 2

2

1)()()(

00)()()( BUBEAE CM

02

1 2 P

PF R

mMGmv)()( BEAE MM

P

pF R

GMv

2 skmterravF /2,11)(

Forze Centrali

La forza gravitazionale è una forza centrale, cioè diretta sempre verso lo stesso punto (es. il sole)

Se prendiamo come riferimento questo punto il vettore posizione r e la forza sono paralleli

Il momento della forza gravitazionale rispetto a tale punto è nulla

Il momento angolare si conserva

kmrvsenvmrL )(|||| Angolo tra r e v

Al perielio e all’afelio o90

AApp vmrvmrL ||

AApp vrvr

La conservazione del momento angolare è collegata alla seconda legge di Keplero

Consideriamo un pianeta che si sposta su un’orbita ellittica. In un intervallo di tempo Δt (piccolo rispetto a T) si sposta di v Δt, passando dalla posizione individuato dal vettore r a quella individuata da r’.

La costanza della velocità areolare è quindi una conseguenza della conservazione del momento angolare

)(2

1 SentvrA

La velocità areolare è definita come: t

AA

)(2

1 Sent

tvr

t

AA

m

LSenvrA

2

||)(

2

1

L’area spazzata nel tempo Δt è, con buona approssimazione, coincidente con l’area del triangolo grigio della figura. Usando le formule della trigonometria:

m

LA

2

||

Moto di un corpo in un campo gravitazionale

Newton dimostrò che un corpo di massa m, soggetto all’azione della forza esercitato su di esso da un corpo di massa M>>m (per cui si possa considerare fisso), si muove su una traiettoria descritta matematicamente da una conica (ossia una ellisse, una parabola, un’iperbole, una circonferenza e le loro degeneri)

Le caratteristiche dell’orbita di un corpo soggetto alla gravitazone sono determinate dal valore dell’energia meccanica EM = EC + U e dal momento angolare L (e viceversa!)

In particolare la forma dell’orbita è legata unicamente all’energia EM

• Se EM < 0 orbita ellittica o circolare (orbita chiusa o legata)

• Se EM = 0 orbita parabolica . (orbita aperta)

• Se EM > 0 orbita iperbolica . (orbita aperta)

In realtà basta considerare il segno diE/m= ½ v2- GM/d

La discussione sulle orbite aperte è abbastanza complicate per cui ci limiteremo a considerare il moto di corpi che si muovono su orbite chiuse (ellittiche o circolari)

Caratteristiche geometriche dell’orbita

• a semiasse maggiore dell’ellisse

• b semiasse minore dell’orbita

• c semidistanza focale

• e eccentricità

• A area ellisse

• rp distanza perielio

• ra distanza afelio

22 /1 abc

a

ce

22 1 eaabA

)1( eacarp

)1( eacara

Caratteristiche dell’orbita

)1( 222 eMaGmL

L

AmT 2

a

mMGE

2

)1( 222

2 eaMm

MmGL

L

A

Mm

MmT

2

)(

4 2

3

2

MmGa

T

Energia

Momentoangolare

Se m<<M

Se m<<MPeriodo

3a legge di Keplero

Se m<<M

GMa

T 2

3

2 4

La costante di proporzionalità è prati-camente la stessa per tutti i pianeti

ppaa vrvr

Esercizi

Es.1: Calcolare la distanza di Giove dal Sole conoscendo il suo periodo di rivoluzione (TG=12 anni) e i parametri orbitali della

Terra: TT=1 anno aT=1,5 1011 m

Soluzione: Usiamo la terza legge di Keplero nella forma:

3

2

3

2

T

T

G

G

a

T

a

T

Da cui si può ricavare il semiasse maggiore dell’orbita di Giove

manno

anni

T

Taa

T

GTG

113113

2

211

32

2

108,7144105,1)1(

)12(105,1

780 milioni di Km, in buo accordo con i dati sperimentale

Es.2: Calcolare la forza con cui si attraggono due palle da bilardo (massa m=150g) poste alla distanza di 40 cm

Soluzione: Usiamo la legge di Gravitazione Universale:

221

d

mmGF

Trasformate la massa e la distanza nel S.I. si ottiene

Una forza piccolissima!!!

Nm

kgkg

kg

NmF 12

22

211 1038,9

)4,0(

)15,0()15,0(1067,6

Es.3: Calcolare l’accelerazione di gravità sulla superficie di Marte conoscendo la sua massa M=6,42 1023 kg e il suo raggio R=3,396 1011 m

Soluzione: Usiamo la formula per g:

2P

p

R

MGg

Per semplice sostituzione si ottiene

In ottimo accordo con il valore sperimentale di 3,69 m/s2

2211

23

2

211 71,3

)10396,3(

1042,61067,6

s

m

m

kg

kg

Nmg

Es.4: Calcolare l’accelerazione di gravità sulla cima del monte Everest sapendo che la sua altezza è 8848m

Soluzione: Dato che h<<RT usiamo la seguente formula per g:

Toh R

hgg

21

Per semplice sostituzione si ottiene

22

62

78,900278.0181,9

10375,6

88482181,9

s

m

s

m

s

mgh

Es.5: Calcolare l’accelerazione di gravità agente sugli astronauti dello Shuttle quando si trovano ad una altezza di 400 km rispetto alla superficie della Terra

Soluzione: Dato che h non è più trascurabile rispetto il raggio della Terra usiamo la seguente formula per g:

226

26

22

2

69,8)10775,6(

)10375,6(81,9

)( s

m

s

m

hR

Rgg

T

Toh

Per semplice sostituzione si ottiene

2

2

2 )()( hR

Rg

hR

MGg

T

To

T

Th

Quindi gli astronauti non sono in assenza di gravità ma non percepiscono il peso in quanto sono in continua caduta libera

Es.6: Calcolare il raggio dell’orbita dei satelliti geostazionari

Soluzione: Usiamo la terza legge di Keplero nella forma

Da cui si ottiene

TGMR

T 2

3

2 4

32

2

4TGM

R T

kmmR 422001022,44

)86400(1098.5 732

224

Es.7: Calcolare la velocità con cui si muovono i satelliti del sistema GPS (Global Position System) e il loro periodo orbitale sapendo che viaggiano su un’orbita circolare ad altezza h = 20000km dalla superficie terrestreSoluzione: Per le orbite circolari possiamo porre che la

forza gravitazionale è di tipo centripeto

OssiaGC FF

2

2

R

mMG

R

vm T

R

MGv T2

skmsm

hR

MGv

T

T

/89,3/1089,31012,15

106375,2

1098,51067,6

36

7

2411

Per calcolare il periodo basta dividere la lunghezza dell’orbita circolare per la velocità del satellite

sv

RT 32300

3890

10214,322 7

Es.8: Lo Sputnik I fu il primo satellite artificiale lanciato in orbita dall’uomo. Il lancio avvenne il 4 ottobre 1957. L’orbita era ellittica. Sapendo che il suo perigeo si trova a 6610 km dal centro della Terra e in tale punto aveva una velocità di 8,23 km/s. La sua massa era di 83,6 kg. Calcolare

•Il semiasse maggiore dell’orbita

•La distanza e la velocità all’apogeo

•L’eccentricità dell’orbita

•Il suo momento angolare

•Il periodo di rivoluzione

Soluzione: Per il calcolo del semiasse maggiore dell’orbita usiamo il fatto che per orbite ellittiche l’energia meccanica vale:

a

mMGE

2

p

TP

T

d

mMGmv

a

mMG 2

2

1

2

pT

P

dGM

v

a

21 2

1777

62411

23

10328,110025,310698,1

1061,6

2

1098,51067,6

)1023,8(1

m

a

kmma 75301053,7 6

Calcoliamo ora distanza e velocità all’apogeo:

kmkm

dad PA

8450)661075302(

2

skmskmd

dvv

A

PPA /44,6

8450

6610/23,8

Eccentricità e

)1( eadP 122,07530

661011

a

de P

Momento angolare L: calcoliamo al perigeo (tanto è costante!)

JsmvdL PP36 1023,86,831061,6||

Js121055,4

Infine il periodo di rivoluzione dalla terza legge di keplero

TGMa

T 2

3

2 4 3

24a

GMT

T

362411

2

)1053,7(1098,51067,6

)14,3(4T

min6 4816500102,42 hsT

Es.9:

Soluzione:

SGMa

T 2

3

2 4

Per prima cosa è conveniente calcolare il semiasse maggiore dell’orbita dalla legge di Keplero

La cometa di Halley è la più famosa cometa ciclica che ruota intorno al Sole. Essa ha un periodo di rivoluzione attorno al Sole di 76 anni. Al perielio la sua distanza dal sole è di 190 milioni di km. Calcolare:

• La distanza all’apogeo;

• L’eccentricità dell’orbita;

• La velocità al perigeo.

Oppure da3

2

3

2

T

T

H

H

a

T

a

T

32

2

4TGM

a S

m

a

123 33

32

273011

1028,31035290

)14,3(4

)10154,376(1021067,6

mm

dad PA

121212 1037,6)1019,01028,32(

2

Eccentricità e

)1( eadP 94,01028,3

1019,011

12

12

a

de P

a

mMG

d

mMGmv T

p

SP 22

1 2

Per calcolare la velocità al perigeo usiamo la conservazione dell’energia meccanica

ad

GMvp

SP 2

112

skmsm

vP

/9,36/1069,31062,13

1037,6

1

109,1

11021067,62

48

12113011

Es.10: Un satellite per le telecomunicazioni (massa 1200 kg) deve essere immesso in orbita geostazionaria (circolare). L’immissione su tale orbita viene realizzata immettendo su un’orbita circolare bassa a quota 1125 km dalla superficie terrestre e poi, tramite l’accensione dei motori, immesso sull’orbita di trasferimento. Giunto all’apogeo una nuova accensione dei motori lo immette sull’orbita geostazionaria. Calcolare:

• La velocità del satellite nell’orbita bassa e in quella geostazionaria;

• La velocità con cui arriva il satellite all’apogeo, punto finale dell’orbita di trasferimento;

• per quanto tempo devono rimanere accesi i motori per immettere il satellite nell’orbita di traferimento e poi in quella geostazionaria se la spinta fornita dai motori è di 8000N;

• Il tempo necessario per il trasferimento.

Soluzione:

mkmRbassa6105,7)11256375(

2

2

R

mMG

R

vm T

smR

MGv T

b /1030,7 3

mkmRgeos71023,4)42300(

Orbita bassa:

Orbita geostazionaria:

skmT

Rvg /08,3

86400

1023,414,322 7

L’orbita di trasferimento è un’ellisse il cui asse maggiore è dato dalla somma del raggio dell’orbita bassa + quella dell’orbita geostazionaria

mkma 71098,4)423007500(2

ma 71049,2

a

mMG

R

mMGmv T

Bassa

TT 22

1 2

Calcoliamo la velocità a cui deve essere portato il satellite quando si trova nell’orbita bassa per immetterlo nell’orbita di trasferimento. Possiamo farlo usando la conservazione dell’energia.

skmaR

GMvBassa

TT /52,92

112

Essa coincide con la velocità al perigeo dell’orbita di trasferimento.

La velocità con cui giunge all’orbita geostazionaria coincide con la velocità all’apogeo dell’orbita ellittica di trasferimento:

skmR

Rvv

geos

bassaPA /69,1

42300

750052,9

Per calcolare quanto tempo devono essere tenuti accesi i motori usiamo la II legge della dinamica (nella formulazione dell’impulso)

)( 11 vvmtF T

sF

vvmt T 333

8000

)73009520(1200)( 11

Analogamente per calcolare il tempo per immettere il satellite nell’orbita geostazionaria

sF

vvmt A 5,208

8000

)16903080(1200)( 22

Il tempo di trasferimento coincide con metà del tempo per effettuare una rivoluzione completa intorno alla terra sull’orbita ellittica di trasferimento:

2

Tttrasf

TGMa

T 2

3

2 4

h

T

s

GM

aT

11390701026,15

1098,51067,6

)1049,2()14,3(44

8

2411

37232

Working in progress

Nel 1916 Einstein sconvolge la teoria di Newton della gravitazione

Nella Teoria della Relatività Generale, Einstein opera una “geometrizzazione della gravità”

Secondo tale teoria le masse e l’energia sono in

grado di “curvare” lo Spaziotempo

Un corpo che si muova vicino ad una altro corpo (o una fonte di energia) non è in realtà soggetto ad

alcuna forza si muove liberamente. Non essendo però lo spazio piatto, tale moto non sarà rettilineo ma

una geodetica dello spazio curvato, dando l’impressione che i corpi si attraggano a causa della

gravitazione

“I corpi (o l’energia) dicono allo spazio come curvarsi, lo spazio dice ai corpi come muoversi”

A. Wheeler