Teorema di Thévenin

PUna qualunque rete lineare può essere vista da due suoi nodi comelaseriediungeneratoreequivalenteditensione (V

eq) eunaresistenza

equivalente (Req

),dove:

• Veq

èladifferenzadipotenzialemisuratatrainodiAeBaperti(cioèavuoto);

• Req

èlaresistenzavistadainodiavuoto,cortocircuitandoigeneratori indipendentiditensioneeaprendoigeneratoriindipendentidicor-renteinterniallarete.

Igeneratoriindipendentisonoquellistudiatifinora;igeneratoridipendenti,invece,sonoquelliincuiilvaloredellatensioneocorrentegeneratadipen-dedaquellodiun’altratensioneocorrentedicontrollo.

FIGURA 1 A) Circuito complessivo diviso in due reti 1 e 2, collegate tramite i nodi A e B; B) sostituzione della RETE 1 con il relativo circuito equivalente di Thévenin; C) sostituzione della RETE 1 con il relativo circuito equivalente di Norton.

Ieq

A

B

RETE 2(da studiare)

RETE 1

VR

eq

eq

A

B

RETE 2

Circuito complessivo

Circ. equiv. diThévenin

della RETE 1

Req

A

B

RETE 2

Circ. equiv. diNorton

della RETE 1

A

B

C

PIlteoremadiThéveninsipuòutilizzarequandosivuoleanalizzareunarete(RETE2)collegata,tramitedueconduttori,aun’altra(RETE1)dicuinoninteressadeterminareivaloriditensioniecorrenti;siapplicainquestomodo:

1Questo file costituisce un approfondimento online del corso di Sistemi e automazione di Paolo Guidi e Stefano Mirandola - © 2012 Zanichelli Editore SpA, Bologna [9387der]

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FIGURA 2 Teorema di Thévenin: A) la Veq è la tensione tra morsetti A e B a vuoto (scollegati dalla RETE 2); B) la Req è la resistenza che si vede tra morsetti A e B a vuoto, una volta annullati i generatori indipendenti.

A

B

RETE 1Veq

A

B

Req

RETE 1

A

B

1) siscompone(FIGURA1A)lareteinduesottoreticollegatecondueconduttori(AeB),dicuilaRETE2èquelladaanalizzarementrelaRETE1verràsostituitadalcircuitoequivalentediThévenin(ungeneratoreeunresistore):

2) sisezionalareteneinodiAeBesiricavailcircuitoequivalentediThévenindellaRETE1,calcolandoneV

eqdelgeneratoreditensione

eReq

dellaresistenza:2a) V

eq è la differenza di potenziale tra i nodi aperti A e B della

RETE1(FIGURA2A);2b) R

eqèlaresistenzavistatrainodiAeBversolaRETE1,cor-

tocircuitandoigeneratoriindipendentiditensioneeaprendoigeneratori indipendentidicorrente interniallarete(FIGURA2B);

3) sisostituisceallaRETE1ilrelativocircuitoequivalentediThéve-nin(generatoreV

eqeresistoreR

eq)esicalcolanolegrandezzeche

interessanonellaRETE2(FIGURA1B);datalasemplicitàdelcircuitoequivalentedellaRETE1,oraicalcolidelletensioniedellecorrentidellaRETE2risulterannosemplificati.

A

B

RETE 1Veq

A

B

Req

RETE 1

La rete in FIGURA 3 è costituita da un partitore di tensione a cui è collegata una resistenza di carico RL. Calcolare i valori di I0 e V0 sulla resistenza di carico, utilizzando il teorema di Thévenin.

SOLUZIONE

La rete, nonostante la semplicità, rappresenta un caso molto significativo. Essa si potrebbe risolvere facilmente anche con le tecniche studiate nel SOTTOPARAGRAFO 5.1, in questo modo sarebbe però indispensabile deter-minare anche i valori di tutte le altre grandezze della rete, oltre a quelli richiesti, I0 e V0.

1) La scomposizione del circuito in due reti è evidente:• RETE 1: partitore di tensione, di cui non interessa compiere l’analisi, collegata alla RETE 2 tramite i morsetti

A e B;•RETE 2: resistenza di carico RL, di cui interessa calcolare i valori di I0 e V0.

2) Si applica il teorema di Thévenin alla RETE 1: 2a) Veq è la tensione sul partitore di tensione a vuoto (FIGURA 4A):

VE R

R Req =

⋅+

=⋅+

=1

1 2

10 10001000 1000

5 V

2b) Req è la resistenza vista dai morsetti A e B verso il partitore, pari al parallelo di R1 e R2 (FIGURA 4B):

RR R

R Req = +

=1 2

1 2

500 Ω

ES

EM

PIO

1

I0

R

kΩ

R

kΩ

R

kΩVL

1

2

01

1

2 2,

B

AE

10 V

RETE 1(partitore di tensione)

RETE 2(resistenza di carico)

FIGURA 3

P

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Teorema di Norton

PIlteoremadiNortonèildualedelteoremadiThévenineaffermache: unaretelinearepuòsempreesservistadaduesuoinodicomeilpa-

rallelodiungeneratoreequivalentedicorrente (Ieq

) eunaresistenzaequivalente (R

eq), dove:

Ieq

èlacorrentechescorretrainodipostiincortocircuito;R

eq èlaresistenzavistadainodiavuoto,cortocircuitandoigeneratori

indipendentidi tensionee aprendo i generatori indipendentidicorrenteinterniallarete.

RiferendosiallaFIGURA1A,èpossibile,medianteilteoremadiNorton,so-stituireallaRETE1uncircuitocostituitodaungeneratoredicorrenteeunaresistenzainparallelo(FIGURA1C);laI

eqcorrispondeallacorrentetrai

morsettiA e Bcortocircuitati(FIGURA5),mentrelaReq

sicalcolacomenelcasodelteoremadiThévenin(FIGURA2B).

RicavandoilcircuitoequivalentediNortondelcircuitonell’ESEMPIO1,laI

eqsitrovacortocircuitandoimorsettid’uscitasenzacaricoerisulta:

Ieq

=E/R2 =10mA

mentrelaReq

èidenticaalcasoThéveninevalesempre500Ω.

3) Collegando il circuito equivalente di Thévenin della RETE 1 alla RETE 2 (FIGURA 4C), si calcolano senza diffi-coltà I0 e V0:

IV

R Req

eq L0

5500 2200

185=+

=+

= , mA

V R IL0 032200 2 10 4 07= = ⋅ ⋅ =− , V

Si osservi che la tensione del partitore a vuoto (Veq =5 V) si riduce a V0 =4 V una volta collegato il carico. Questo perché il partitore si comporta come un generatore di tensione reale, dove la resistenza interna del generatore è data dalla Req.Naturalmente la tensione mancante in uscita (1 V) è caduta sulla resistenza Req, come si può verificare facilmente con la legge di Ohm (Req ⋅ I0 =1 V).

FIGURA4

R

kΩ

R

kΩ

1

2

1

1

Veq

V0VeqR

kΩL

2 2,

I0

B

A

0E =

B

A

R

kΩ1

1

R

kΩ

2

1

Req

B

AE

10 V

5 V

R

Ω

eq

500

RETE 1(circ. equiv.)

RETE 2

FIGURA 5 Teorema di Norton: calcolo di Ieq (la Req si trova come nel teorema di Thévenin).

RETE 1Ieq

P

A

B C

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