Teorema di Cauchy
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Teorema di Cauchy
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Teorema di Cauchy. Tetraedro di Cauchy. e j . z. n = n j e j. e z. . A z. F k = t k j e j. con k e j = x, y, z . n. F n = t n j e j. y. n. t y z. t x z. x. t y x. t x x. t y y. t x y. P. t z z. t z x. t z y. e y. . y. A y. . e x. z. - PowerPoint PPT Presentation
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Teorema di Cauchy
Tetraedro di Cauchyej con j = x, y, z
n = nj ej
n
ny
x
z
ty y
ty x
ty z
tx x
tx z
tx y
tz z
tz x tz y
y
x
z
Ax
Ay
Az
P
k = tk j ej
con k e j = x, y, z
n = tn j ej
ez
ey
ex
Dal teorema del trasporto e dal principio di conservazione della massa risulta:
f c
cf dDtVD
dVDtD
Dal principio di bilancio della quantità di moto risulta:
con l = x, y, z, n
c cc
ccc dΦdfdDtVD
)()(
(1)
L'equazione (1), omettendo il pedice c, può essere scritta anche nella forma seguente:
(2)0)()(
dΦdDtVD
f
Il valore del primo integrale nell'equazione (2) è pari a:
Calcolo dei valori dei due integrali dell'equazione
0)()(
dΦdDtVD
f (2)
)(
V*
)()(
Dt
VDfd
DtVD
f
dove con [()]* si intende il valore della funzione integranda calcolata in un punto X ; con v() il volume del dominio
Sviluppando il secondo integrale dell’eq. (2) per l = x, y, z, n si ottiene:
nzyxnnzzyyxx dΦdΦdΦdΦdΦ
)()()()()(
Il valore della somma dei 4 integrali a secondo membro è pari a:
)()()()( ** PAAPAAPAAAAA yx*zzxyzyxzyx
*n AAAA
dove con l* si intende il valore del generico sforzo calcolato in un punto X lcon A() l'area della generica faccia del tetraedro di giacitura l
Da semplici considerazioni di geometria proiettiva si può desumereun relazione tra le aree delle 4 facce del tetraedro
P
x
y
z
ex
ey
ez
Ax
Ay
Az
n
-nz
-nx-ny
A (Ax,Ay,Az)
A (Ay,Az,P) = -nx A (Ax,Ay,Az)
A (Ax,Az,P) = -ny A (Ax,Ay,Az)
A (Ax,Ay,P) = -nz A (Ax,Ay,Az)
Il valore della somma:
)()()()( ** PAAPAAPAAAAA yx*zzxyzyxzyx
*n AAAA
può essere calcolato nel modo seguente:
*zzyyxxnzyx nnnAAA
***)(A
In conclusione, la relazione integrale:
0)()(
dΦdDtVD
f
è riconducibile a:
0)()( ***
*
zyx
*zzyyxxn AAAnnn
DtVD
f A
)( V
Dividendo la (3) per la quantità non nulla A(AxAyAz), si ottiene:
(3)
0)(
)( ***
*
*
A zzyyxxnzyx
nnnAAADt
VDf
)( V
Questo risultato è vero per ogni condizione di equilibrio dinamico del tetraedro, nonché per qualunque dimensione del tetraedro stesso.
(4)
La relazione (4), quindi, sussiste anche considerando il tetraedro infinitesimoche risulta dal far tendere i punti
PAAA zyx ,,
Per un tetraedro infinitesimo però risulta che:
V() è una quantità infinitesima del terzo ordineA(AxAyAz) è una quantità infinitesima del secondo ordine
Quindi il rapporto V() / A(AxAyAz) è una quantità infinitesima
Nella relazione (4)
0)(
)( ***
*
*
A zzyyxxnzyx
nnnAAADt
VDf
)( V
quando il tetraedro si riduce ad un elemento materiale nel punto P il primo termine essendo infinitesimo è trascurabile rispetto al secondo termine
Da quanto sino a qui determinato ne consegue che (Teorema di Cauchy)
In ogni punto di un sistema materiale continuo e in qualsiasi condizione di equilibrio dinamico risulta soddisfatta la seguente relazione
zzyyxxn nnn
Si noti che nella relazione non compare il simbolo * poiché i valori degli sforzi sonoriferiti univocamente alla posizione geometrica del generico punto P
Il teorema afferma quindi che in un punto di un sistema materiale,il valore dello sforzo relativo a una generica giacitura n è univocamentedeterminato tramite una combinazione lineare del valore degli sforzi relativi a tre giaciture linearmente indipendenti.
