O PROBLEMA DE CAUCHY PARA A EQUAÇAO SUPER...

INSTI1TTO DE

de Campinas E Cül\IPUTAÇAO

Departamento de Matemática

Tese de Doutorado

O PROBLEMA DE CAUCHY PARA A EQUAÇAO SUPER KORTEWEG-DE

VRIES

Amauri da Silva Barros

Orientador: Prof. Dr. Jaime Angulo Pava

O PROBLEMA DE CAUCHY PARA A EQUAÇAO

Banca examinadora:

Pro f. Dr. Jaime Angulo Fava

Pro f. Dr. Orlando Francisco Lopes

Pro f. Dr. Márcia A. Guimarães Scialom

Pro f. Dr. José Felipe L in ares Ramirez

Pro f. Dr. ·wagner Vieira Leite Nunes

Este exemplar corresponde à redação

da tese devidamente corrigida e defendida

por Amauri da Silva Barros e aprovada

pela comissão julgadora.

Dr .. Jajfue A~gulo Pava . '

Orientador

Tese apresentada ao Instituto de Ma

temática, Estatística e Computação Ci

entífica, UKICAMP, como requisito parcial

para obtenção do Título de Doutor em

Matemática.

B278p

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP

Barros. Amauri da Silva

O problema de Cauchy para a equação super Korteweg-de Vries !

Amauri da Silva Barros --Campinas, [S.P. :s.n.], 2004.

Orientador :Jaime Angulo Pava

Tese (doutorado)- Universidade Estadual de Campinas, Instituto

de Matemática, Estatística e Computação Científica.

l. Cauchy, Problemas de. 2. Equações de evolução não-lineares. 3.

Sobolev, Espaços de. !. Pava, Jaime Angu!o. !!. Universidade Estadual

de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação

Científica. !li. Título.

Tese de Doutorado defendida em 31 de maio de 2004 e aprovada

Pela Banca Exanlin:ad•[)l

Prof. (a),(a). MARCIA ASSUMPÇÃO GUIMARÃES SCIALOM

Prof. (a). Dr (a). JOSÉ FELIPE LINARES RAMIREZ

AGRADECIMENTOS

A Deus, pela vida e por mais esta conquista tão especial.

A I\ ossa Senhora Aparecida, minha referência de fé, conforto, equilíbrio e proteção em

todos os momentos.

Ao meu orientador, Professor Dr. Jaime Angulo Pava, pela amizade e pela excelente

orientação.

Aos professores Orlando Lopes, Márcia A. Guimarães Scialom, José Felipe Línares Ra

mires, Wagner Vieira Leite :\unes (membros da comissão julgadora), pelo apoio constante e

pelas sugestões que tornaram a presente versão deste trabalho mais completa que a anterior.

Aos funcionários desta Universidade, pela eficiência e presteza, especialmente a Cidinha,

Tânia e Ednaldo (Secretaria de Pós-Graduação do IMECC).

Ao corpo docente do IMECC-UI\ICAMP, pelos ensinamentos proporcionados e pelo am

biente científico favoráveL

Aos amigos e colegas do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Ala

goas (UFAL), pelo apoio constante e por assumirem pelo ônus do meu afastamento.

A CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, que junta

mente com a Universidade Federal de Alagoas (através do PICDT) me proporcionaram o

indispensável auxílio financeiro.

Ao Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará (UFC), onde tive o

privilégio de fazer meu Mestrado em Matemática.

Aos amigos-irmãos: Givaldo Oliveira dos Santos, Vânia Fragoso de Melo, João de Deus

ii

Líma e suas respectivas famílias, por todo apoio e companheirismo ao longo de toda jornada

graduação e pós-graduação,

Aos meus colegas e amigos da pós-graduação e pós-doutorado E\IECC com quem

tive o prazer de con\-i-ver ao longo destes quatro anos - especialmente os da rninha turn1a.

sintam-se todos mencionados aqui,

Ao amigo Lindomberg pela assistência computacional qualificada em os momentos.

A minha esposa Regina Telma e aos meus filhos queridos Lucas, Larissa e Juninho por

todo carinho, incentivo e compreensão em todos os momentos desta jornada, principalmente

quando estive ausente,

Aos meus pais ~'lance] Vieira de Barros e Josefa da Silva Barros. pela vida e por todo

passos, mesmo nao acesso a escola.

n1eus innãos. cunhado( a)s. sobrinho( a)s e den1ais familiares pelo constante incentivo,

carinho, respeito e companheirismo, qualidades essenciais ao conceito de famíiia,

A minha madrinha Antonia Vieira e família, a D, Sebastiana Germano e família, a O,

Zefinha, SL Lourival Barros e família, por todo apoio, carinho e acolhida durante o período

de ensino médio e graduação,

Ao Seu Eni, D. Edilsa (meus sogros) e família, também pelo apoio e carinho,

Agradeço (em memória) aos meus amigos-irmãos que já partiram Osmário Dias. José

:\ery, Genival Gomes e também ao meu padrinho Jessé Romão, que tanto me apmou e

incentivou para a vida acadêmica.

Por fim, minha gratidão a todos os amigos que tive a felicidade de conquistar ao longo

destes anos, desde minha querida terra natal Mar Vermelho (Alagoas) até a progressista

Campinas (São Paulo).

iii

Dedico este trabalho (em

memória) a professora Hebe

de Azevedo Biagioni.

RESUM

Discutimos boa colocação local e algumas propriedades qualitativas. para o problema

valor inicial associado à equação {L-super Korteweg-de Vries

{

3 u + 33 u + l3 u 2 + l32t' 2 + u34u = O t 1 X''2X' '2X' •f-A'X

3,v + 3~v ~.: 3x (uv) +·11. a;;v = .. · 0 (p 2 0) (J.L-SUper-KdV) u(x.O)=:p(x) ev(x,O)=v(x)

onde u = u (x, t) e v= v (x, t) são funções de valor reaL

Quando {L > O, mostramos existência e unicidade de solução para o problema regularizado

(com efeito dissipativo pJJ;;) nos espaços de Sobolev xs := H 5 ('JJ:) x H 5 (R) para s > ~, s E R

Para JL = O (o caso interessante) a equação acima é chamada super-KdV. !\este caso.

mostramos boa colocação local nos espaços de Sobolev com peso :%5 _3 := H 5 (R)nH3 (x 2dx) x

H' (iR) n H 3 (x 2dx) para s 2 5 inteiro, desde que o dado inicial seja pequeno. Retirando

esta restrição, sobre o dado inicial, mostramos boa colocação local em Xs,ll := H 5 (R) n

H 11 (x 2 dx) X H 5 (R) n H 11 (x 2dx) paras 2 15 inteiro.

Encerramos nosso estudo mostrando que a equação super-KdV não é bem posta nos

espaços de Sobolev xs := H 5 (R) x H 5 (R) paras < -i (s E iR), se exigirmos C 2 regularidade

da aplicação dado-fluxo.

Palavras-chave: boa colocação locaL efeitos regularizantes, equações KdV e super-KdV.

lV

ABSTRACT

Our aim in this \\~ork is the study of local well-posedness and some qualitath·e properties

of real solutions u = u (x, t) and v = v t) of the initial problem value associated to the

p-super Korteweg-de Vries equation (p-super-KdV)

13,u + 3~u + ~3xu. 2

+ .~3~.v 2 + 11.·3· ;u =O 3,v + 3';v + 3x (uv) + p3;v =O. fJ?: O

u(x,O) = :p(x) e v(x.O) = li:(x).

(p-super-KdV)

\Ve show, for fJ > O, the existence and uniqueness of solution for the regularized problem

(wíth díssipative effect Jl.3;) in the Sobolev spaces xs :=H' (JR) x H' (R) for s > ~·sE R

For p. = O, the equation above is called the super Korteweg-de Vries. In this case we

prove the local well-posedness in the weigthed Sobolev spaces X,,3 := H 5 (R) n H 3 (x 2dx) x

H' (R) n H 3 (x2dx) for s?: 5 integer, whenever the norm of the initial datais small.

For Jl = O and arbitrary initial data we show also local well-posedness in X,. 11

H' (R) n H 11 (x 2dx) X H' (R) n H 11 (x2dx)' with s?: 15 integer.

We conclude our study of local well-posedness identifying the spaces where the super

KdV equation is ill-posed, if one asks that the map data-solution to be C 2 Fréchet-differentiable

of X' in X 8. We show that if s < -~ (sE IR) the super-KdV is ill-posed in xs.

Keywords: local well-posedness, smoothing effects , KdV and super-KdV equations.

v

SUMÁRIO

AGRADECIMENTOS

RESUMO

ABSTRACT

O INTRODUÇAO

LISTA DE SÍMBOLOS

1 PRELIMINARES

L 1 Espaços de Sobolev e Propriedades

1.2 Espaços de Banach Mistos e Propriedades

1.3 Efeitos Regularizantes para a KdV

1.4 Resultados Técnicos

2 O PROBLEMA LOCAL REGULARIZADO PARA A EQUAÇÃO SUPER-

KdV

2.1 O Problema Linear

2.2 A Equação Integral

3 BOA COLOCAÇÃO LOCAL COM DADO INICIAL PEQUENO PARA

A EQUAÇAO SUPER-KdV

1

IV

v

3

9

11

11

14

15

19

21

22

26

39

3.1 Estimativas Lineares

3.2 Estimatic·as I\ão-Lineares.

Dernonstra.ção Teorema 3.0.1

4

4.1 Resultados Auxiliares - Estimativas Lineares

4.2 Equação Integral

4.3 Demonstração do Teorema 4.0.1

5.1 Dernonstraçã.o Teoren1a 1

2

41

45

70

71

104

108

1

120

"' CAPITULO O

INTRODUÇAO

;\osso objetivo neste trabalho é estudar a boa colocação local (no tempo) e algumas propri

edades qualitativas das soluções reais u (x, t) e v (x, t), do problema de Cauchy

{

ou+ éJ3u -'-l" u2 -'-1"'2,,2 =O t X ' 2 Ux · , 2 UX v

3,v+3~v+3x(uv)=O, x.tEIR.

u(x.O) = :p(x) e v(x,O) = w(x),

(0.1)

nos espaços de Sobolev usuais e com peso. Deixamos claro que nosso conceito de boa

colocação compreende: existência, unicidade, persistência (a solução descreve uma curva

contínua no mesmo espaço do dado inicial) e dependência contínua da solução com relação

ao dado inicial.

A equação (0.1) pode ser vista como um caso particular da família de sistemas de equações

(0.2)

a a , _ onde a,= a,. Dx = Ox' k = 1, 2, ... , n. Uk (x, t) e uma funçao de valor real ou complexo e

é um polinômio que não possui termos lineares ou constantes, isto é,

3

4

;\"

= ) a'oo p 2: 2 "-- o~ .

i.a::::::_p

) sisten1a (0.2) generaliza vários rnodelos presentes tanTo

na Física como na Matemática. Em particular. c:ontén1 toda a hierarquia da equaçáo

Korteweg-de Vries , modelos de ordem superior em problemas onda de água e

n1édia elástica e lntütos outros. veja

indicadas.

[OR]. [KPV4]- e dCinais refer€ncias

A primeira motivação física para problemas do tipo (0.1 J surgiu da necessidade de se estu

dar o comportamento de partículas (particle-like) em campos não-lineares. Tal estudo foi ori-

ginaln1ente iniciado Einstein. co111 o deduzir sistematicamente as equações que

regem o n1ovimento à e uma partícula nurn campo externo. Esta dedução foi feita obseP/ando

se a evolução de singularidades simples deste campo (ver [DC]) e teve grande impulso em

1967 com a descoberta do comportamento das soluções tipo soliton para a equação KdV (ver

[GGK'vi] e [HS]). As propriedades tipo soliton (comportamento de soluções com partículas)

podem ser vistas numa grande variedade de sistemas físicos não-lineares e a contrapartida

matemática deste estudo é conhecida atualmente como a teoria dos sistemas integráveis, que

já fornece um bom número de resultados, ver [DC]. [CR.Gj, [Kp2] e as demais referências ci

tadas. A existência de solítons em todos os sistemas integráveis é traduzida de uma maneira

muito simples: se dois campos evolutivos comutam, então os pontos estacionários de um dos

campos são invariantes com relação ao outro campo. :\este sentido, alguns ramos da Física

desenvolveram um importante conceito de super-simetria, cuja idéia principal consiste em

tratar de maneira semelhante bosons e fermions (partículas) ver [CRGJ, [Kp2] e [P]. Mate

maticamente, esta teoria é importante porque permite incorporar variáveis anti-comutativas

do tipo Grassman juntamente com as variáveis comutativas usuais. Uma pergunta natural

nesta teoria consiste em saber se o problema do comportamento de partículas-semelhantes

em campos super-simétricos leva à teoria dos sistemas super-integráveis.

Em [Kp2] temos a seguinte variante da equação (0.1)

{ Otu .. = Ox (3u2

- o;u + 3v8xcp),

Otv = 30xU'P + ÔUOx'P- 48~cp,

que para v O torna-se a KdV usual

X, t E R (0.4)

(0.5)

o 5

Já o sistema super modificada KdV (super-mKdV), que também aparece em [Kp2], é dado

por

Observe que para u = O este sistema torna-se a mKdV usual

(0.

e a aplicação

transforma soluções do sistema super-mKdV em soluções do sistema super-KdV, Além

disso, para ;: = u: = O (0.8) torna-se justamente a aplicação de :VIiura usuaL conectando

soluções da mKdV e da KdV, ver [Kp2].

Levando em conta que a equação super-KdV é uma extensão da KdV, é natural perguntar

quais propriedades desta última equação podem ser estabelecidas para a, super-KdV. Como

bem sabemos, para a KdV existe uma grande quantidade de resultados na literatura, a

saber: resultados de boa colocação local e global (no tempo), existência e estabilidade de

soluções especiais do tipo ondas solitárias, blow-up dispersivo, má colocação. propriedade de

continuação única, analiticidade espacial, etc (veja [Bl]-[B3], [12], [I\Y], [Kl]-[K2], [KPV1]

[KPV8], [KMJ, [MST1J-[?IIST2], [SSJ, [Tz] e [Z]).

No tocante à boa colocação global, até o presente não temos resposta. A grande dificul

dade nesta direção deve-se sobretudo à falta de boas leis de conservação para (0.1). como

também ao desconhecimento da estabilidade de ondas solitárias. Vale destacar que a única

solução da forma (u, (x, t), v, (x, t)) = (;; (x- ct), '1/; (x- ct)), que conhecemos para (0.1),

é o par (;;, (x), '1/;, (x)) = ( h"(~ "') , o) e a única lei de conservação que conseguimos cos - 2 vc/x

identificar foi

Q(u,v)= j(u+v)dx, (0.9)

a, qual não ajuda muito na tentativa de mostrar existência global e estabilidade de ondas

solitárias.

Com relação às questões de blow-up dispersivo, propriedade de continuação única e ana

liticidade espacial (para a super-KdV) também não tivemos sucesso, devido às dificuldades

6

impostas pelo termo não linear a;v2 ver [ABS], [SS], [Bl]. [Z]. [KPV8], [B3] e [Ktv!] To

davia, como consequência da existencia e unicidade de solução se considerarmos o PVI

con1 dado inicial O). r )= então a única solução 1) é o par

t). O), ou seja. recaímos na solução da KdV.

Com relação aos resultados obtidos para (0.1 ). nossa primeira contribuição será prm·ar

que o PVI regularizado do efeito dissipativo

possui solução

1 8tu + o~u + ~8xn 2 + ~8_;'r 2 + 118;u = 0

8,r + a;v + 8x (uv) + po~v =O, 11 > O

u(x. = ;p(x) e v(x.O) = ç(x)

nos espaços de :=H'

10)

paras > ~· sE Para

obter este resultado: seguilnos os primeiros passos método de regularização parabólica

Tósio Kato, ver os trabalhos de R. Iório ( e e J. Angulo ( ). onde utilizamos a

regularização 110;. pois 110; não funciona para a parte não linear de (0.10). O passo natural

seguinte seria fazer 11 1 O e assim obter a solução do problema original (0.1), como limite

do problema regularizado (0.5). Contudo, não ti\'emos sucesso com esta técnica pois não

conseguimos provar a existência de um intervalo [0, T]. independente de p, onde todas as

soluções U:, (t) = (u, (t), v" (t)) podem ser definidas. Tal dificuldade deve-se ao fato de não

obtermos uma estimativa do tipo

(0.11)

com o auxílio de comutadores, e por conta disso não temos também a dependência contínua

da solução com relação aos dados iniciais.

usando as idéias de Kenig, Ponce e Vega (ver [KPV1]-[KPV4]) e fazendo uma restrição

sobre o dado inicial, conseguimos nosso melhor resultado de boa colocação locaL :VIais

precisamente, mostramos que o PVI (0.1) é localmente bem posto nos espaços de Sobolev

com peso x,,3 := H 8 (JR) n H 3 (x2dx) X H 8 (JR) n H 3 (x 2dx)' paras ;:o: 5 inteiro, desde que

a norma do dado inical nestes espaços seja pequena. Para obter tal resultado, combina

mos os efeitos regularizantes associados ao grupo da KdV e o Teorema do Ponto Fixo de

Banach (ver [KPV4] e [Ar]). "\este ponto utilizamos os espaços de Banach mistos L~L'{

(1 :5: p, q:; oc ex, t E JR), definidos nos preliminares.

Em seguida, conseguimos estabelecer boa colocação local sem qualquer restrição sobre o

dado iniciaL seguindo as idéias apresentadas em [KS]. "\este trabalho, os autores fazem uso

o INTRODUÇÃO 7

de urna mudança de variável adequada (denominada transformada de Gauge ), para sistemas

abstratos tipo A idéia central envolvida nesta técnica consiste em linearizar a

equaçao 1) de urna maneira adequada e reduzir a ordem da segunda derivada no problema

linear, De posse disso, estabelecemos boa colocação local e efeitos regularizantes, semelhantes

aos grupo da KdV, para a soluçãc deste novo problema linear, o que permite estudar a

equação integral associada a (0,

Tomando como referência este trabalho, mostramos que o PVI 1) é localmente bem

posto nos espaços de Sobolev com peso Xs,:r := Hs (iR) n H 11 (x 2dx) x H 5 (R) n H 11 (x 2dx),

paras ~ 15 inteiro, Vale destacar que o nosso valor de sé bem mais preciso que o apresentado

na teoria geral em [KS], onde o valor de sé simplesmente considerado arbitrariamente grande,

Completamos nosso estudo colocação identificando os espaços de SoboleY

a equação super-KdV não é bem posta, se exigirmos na definição boa colocação local

que a aplicação dado inicial-fluxo seja C 2-Fréchet diferenciáveL Para tanto, tomamos como

referência os trabalhos [Tz], [B2], [:VISTl] e [liiST2] para mostrar que o PVI 1) é mal

posto em xs := H 5 (R) x H' (R), paras< -~, Tal resultado amplia a região onde a priori

não temos boa colocação para (O, 1), pois um argumento tipo scaling sugere que para r ::; - ~

e s ::; -1 a equação super-KdV não é bem posta em xr,s := Hr (iR) x H' (JR), ver capítulo

5,

Organizamos este trabalho da seguinte forma:

No capítulo L apresentamos os principais resultados que serão úteis ao longo do texto,

A saber: algumas definições, desigualdades, Teoremas e os efeitos regularizantes para a

KdV, Na maioria dos casos, apresentamos apenas as referências necessárias para ver as

demonstrações,

No capítulo 2, discutimos o PVI regularizado (0,6), onde estabelecemos a existência e

unicidade de solução para este problema nos espaços de Sobolev usuais xs = H 5 (iR) x H 3 (iR), 3 paras> 2,

No capítulo 3, apresentamos nosso principal resultado de boa colocação local, onde prova

mos que o PVI (0,1) é localmente bem posto nos espaços de Sobolev com peso X 5 ,3 (s ~ 5),

desde que o dado inicial nestes espaços seja pequeno,

No capítulo 4, concluímos o estudo de boa colocação local para o PVI (O, 1), desta feita

retirando a restrição sobre o dado iniciaL Via uma mudança de variável adequada mostramos

que (0,1) é localmente bem posto em Xs,ll (s ~ 15),

Finalmente, no capítulo 5, concluímos nosso estudo de boa colocação dando uma resposta

8

sobre a má colocação para a equação super-KdV. Mais precisamente, se na definição de boa

colocação local exigirmos que a aplicação dado inicial-fluxo seja classe C 2 mostramos que

1) não é bem posto em x H' para todos< -1.

' LISTA DE SIMBO OS

e ax = e - derivadas parciais em x e t, respectivamente

o f ( Ç) = c i e-üç f dx - transformada de Fourier

.. r ( Ç) = c i eixÇ f (X) dx - transformada inversa de Fourier

" §(IR) - espaço de Schwartz

e § 1 (IR) - espaço das distribuições temperadas 1

e JS = (1 - ai;) 2 - potencial de Bessel de ordem s

" D 8 = (-a;)~ - potencial de Riesz de ordem s

e Hs (IR) - espaço de Sobolev de ordem s

" fi (IR) - espaço de Sobolev homogêneo de ordem s

"Hk (x2dx)- espaço de Sobolev com peso de ordem k

"[{L{ (1::; p, q::; oc)- espaço de Banach misto

I I L Lq e L · iiL~Li - norn1a em ~ t

• 11 - llk_2 - norma em Hk (x 2dx)

"(·, ·)s = (· 1 ·)H'(R)- produto interno em H 8 (IR)

e 11 · iis = 11 · IIH'(R) - norma em H' (IR)

" (· 1 ·) = (· I -) 0 - produto interno deU (IR)

"li · li = li · llo - norma em L 2 (IR)

.. )(1

•8 := H1 (R) X H5 (R) -produto cartesiano entre os espaços de Sobolev

de ordem r e s

- produto interno em H 1 (IR) x H 8 (IR)

9

li I - (" 112

I' Lw(lli')xH'(R) - .11 o r + I 1! 2) ~ - norma de

"S -li

Hr íRI X H 5 \'"""'"}

- espaço das funções f : lR ___, de classe

que satisfazem Hlllxl--x EP ' xJ = O V J = O, L 20. k

"B "B

- espaço dos operadores lineares limitados de

=B U = jS -uJSv

em Y

o) ou c - denota as várias constantes positivas que

aparecem, cujo valor exato é irrelevante em nossas considerações

" a ;S b ==? 3 c > O tal que a ::; cb

" a 2; b ==? 3 c > O que a 2: cb

.. a~b<=>a<bea>b '' /"'V ' ,....._.,

10

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES

:\este capítulo, apresentamos alguns resultados básicos que serão utilizados ao longo deste

texto. As demonstrações quase sempre serão omitidas, por se tratar de fatos bem conheci

dos na literatura. Quando não apresentarmos as demonstrações, indicaremos as referências

necessárias para a demonstração dos mesmos.

1.1 Espaços de Sobolev e Propriedades

Sejam§ (iR) o espaço de Schwartz e§' (IR) o espaço das distribuições temperadas. Paras E lR

definimos

cuja norma é

(11)

:\o caso s E N temos que

' 11!11~ = 2: ttaii!l~, (12)

i=O

onde 11 · llo denota a norma em L 2 (IR).

11

SEÇAO Ll ESPAÇOS DE E PROPRIEDADES 12

Também utilizaremos os espaços de Sobolev homogêneos, definidos paras E R por

D'f E

C0111

onde r;;{ ( ~') = 1' ~'i' f . t fácil ver que H' c ''""' ..,, '-'

: para todo s E

Já o espaço de Sobole\· com peso H' (x 2dx) . para s E N. é definido por

con1 nonna

8

iif 2 =li =L l[xa~f 2 (1 i=O

Relembramos agora algumas propriedades básicas destes espaços que tratam das imersões e

suas consequêncms.

Proposição 1.1.1

(i) Se s > ~- então Hs (R) é uma álgebra de Banach com relação à multiplicação de funções.

Além disso. para F g E H 5 (R) vale

llfgffs::;c(s) s f[gffs'

1 (ii) Sejam sE R e k E N com s > 2 + k, então Hs (R) ç C~ (R).

Demonstração: A demonstração encontra-se em várias referências, entre as quais po-

demos citar [A] e o Teorema 4.1 de [S].

Lema 1.1.2 H 1 (R) Ç V (R). Além disso, se g E L 2 (R) n L2 (x 2dx) vale a desigualdade

., .. < ('r ·1 • I' 1

, ) 1:91IL'(rr<) -c \I 911L'(R) -r- dX9,iL'(R) ·

1

Demonstração: Temos de imediato que H 1 (IR) c;: V (lR) pois para f E H 1 (IR:) vale

I I dç =

< ' - CU (IR) '

onde c = (1 1!~,) ~ < x.

(1 + ç2\~ ,~ ', i '::-(f) I dC

' f ' I ' (1 ' ç2 2 \ l. i s,

dE \ ~

1 +e)

Denotando agora g := (gv) temos que

llunrl :<::c CFJ)

:<::c (llg'IIL2(:~) + I!Dxgvllu(x))

(1 1 '~li ' i!( c/!1 ) :<::c ,g di'(:?.) -r 11 xgy I rx(x)

=c (119llu(a) + llxgllmx)) '

onde utilizamos o Teorema de PlanchereL

Uma consequência imediata deste Lema é o seguinte resultado.

13

111

Corolário 1.1.3 Paras, r E Z com r> O temos que H 5 (lR) nHr (x2 dx) c;: H' (lR) nL1 (IR:).

Demonstração: Basta ver que Hr (x 2dx) Ç L 1 (IR:), para r 2: L que é imediato pelo

Lema acima. 111

O próximo resultado é a conhecida desigualdade de Kato.

Proposição 1.1.4 Sejam s > ~· t 2: 1 eu, v E§ (IR:). Então, existe c= c (s, t) tal que,

Demonstração: Ver Lema A5 de [K2]. 111

SEÇÃO 1.2 ESPAÇOS DE MISTOS E 14

1.2 Espaços de Banach l\1istos e ropriedades

Para 1 ::; p, q < oc, L~Lj é o espaço de Banach misto definido por

fi'Lq ·= { f . ? X í ~x T · J · ""'" - l <+X}.

onde E \ -:;;

( x t) iq dt) q dx) , ,

Quando p = oc ou q = oc usaremos uma definição similar, envolvendo a norma do supremo

essencial. O espaço Lj,L~ é definido como acima, im·ertendo-se apenas a ordem de integração,

1neucionar tarnbém que se escrevennos ·y = t na norma significa

IIL~Li = (;*ç r;r+X lf (x, t)lª dt) ~ dx \) ~ -oo \ -oo j

(1

Um resultado que será utilizado com muita frequência é a desigualdade:

Lema 1.2.1 Se;am f E L~L'f e g E L':' L}. então fg E L~L} e vale

Demonstração: Pela desigualdade de Hiilder, temos

o que prova o Lema,

Para estimar comutadores temos o seguinte resultado de Kato e Ponce,

Proposição 1.2.2 SeJam s 2: O, 1 O tal

que valem,'

(i)

< (lln I' 1/Js-1 /' + !'JS jl 11 " \ LP -c,,, v'U_iLPl 1 • ~v_ILP2 i· u.iLP3 i ·v]iLP4J:

(ii)

1

li \'I f

Jiiv,.::;c\ I f

V'l li I,

1 - 2. . 1 l 1 1 - 1 , .1 < p2 . p;>; < :x- sao ~_,az.s que .;::. = - + - = ~ -r ...:::.... ern caaa caso a.c,ma

P P1 P2 PJ p.;,_

apêndice de

15

Já na próxima seção, utilizaremos a desigualdade generalizada de :\Iinkowski que é dada

pelo Lema:

Lema 1.2,3 (Desigualdade de Minkowski) SeJam 1 < p < x e F

X

{ IF

Demonstração: Veja o apêndice de [St],

1.3 Efeitos Regularizantes para a KdV

Como bem sabemos a solução do PVI linear homogêneo

é dada por

{ éJ,u + a~u =o u(x,O) = ;p(x),

u (x, t) := W (t) ;p (x) = (S, * :;) (x)

onde {W (t)},eR é o grupo unitário,

W (t) = exp ( -toD e S, é a integral oscilatória

S, (x) =c 1: exp (ixÇ) exp (itçJ) dÇ,

mensurável no

11

Inicialmente, temos as estimativ-as lineares homogêneas, que são dadas pelo Lema,

SEÇ-ÁO L3 EFEITOS

Lema 1.3.1 Se cp E L; (IR:), então valem:

1:

li (t)

Pam T >O.

::; c (1 +

<r·

PARA A KDV

sE

3 para r.p > -.

4

16

Demonstração: Para a demonstração da segunda parte veja o Corolário 2.9 do Teorema

2.7 em [KPVl] páginas 332-334. faremos apenas a demonstração da primeira parte (veja

3.5 en1 ). Para tanto~ consiàerando :;: E L 2 e a n:· (t).; obte1nos

•X

OxH (t);: (x) =c L"' exp {i (tçJ + xÇ)} çç;(Ç) dÇ

=c;_: exp {i (try +xry~)} Ç5 (ryi) ry-tdry,

onde utilizamos a mudança de variável e = ry. Usando agora o Teorema de Plancherel. na

variável t. temos que para cada x E IR vale

Finalmente. como 3~ [ox lY ( t) ;p ( x)] = Ox [W (t) o~;p ( x)] usando o que acabamos de proYar

temos o resultado.

As estimativas lineares não homogêneas são dadas pelo Lema:

Lema 1.3.2 Se g E L;L~ e > O. então valem:

1

(i)

De

I cP X

PRELIMINARES

(t- g

w (t- g ;[

< 'I" -c i 911

, T) dr!! :::; c iiLJ'Ll

Para o iten1 (i) \rejamos inidaln1ente que

d '1

1 'I I' t; ::;ci.9luu· • X I IÜ

t'ídt'

' (-t')g(x,t')dt') f(x)dx;'i f E r; com I

''f'' - 1} il 1!0- ·

Integrando por partes, usando a desigualdade de Cauchy-Schwartz e o item (i) do Lema

anterior obtemos

li: ( Ox I: lV ( -t') g (x, t') dt') f (x) dx = 1-I: I: g (x, t') &xF,i ( -t') f (x) dt'dx

e assim temos a afirmação feita.

::; I: I: 1.9 (x, t') OxW ( -t') f (x)l dt' dx

::; I: IIYIIr; ll&xW ( -t') f (x)!lr; dx

::=: II.Yiivu ll&xw (-()f li L= L' X t X t

::; cii.YIIuu llfllo X I

Repetindo os argumentos acima e usando a desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos que

para tE [0, T] (T > O) vale

' ( t" ( +'' dt'! < ,, 'I - ) g X,') "I -c 11.91 L' L' . x T

L='" T ;...x_

SEÇÃO L3 AKDV 18

Desta últíma desigualdade e do fato que o grupo W ( t) conserva a norma L 2 (~) , segue-se o

item (i) do Lema

Para provar o ite1n inicialmente relembramos que f t \ "' ; ~

escre\-'er f t) = e

afirn1an1os que

) f; . com k E Cf para z = L 2. ·

=L[ L~. para p. q E [1 x), veja [KPV3].

(t- t')g n dt'll ::; c liYii liLxJ2 X •y

De fato, para f E lJJ,z (lft2) com llfllr'L? = 1 temos que

X •

H

li . (t- g

,. 1•! q

ar :i 'I

= SUP fi {lx lx ( 1""' - -CC -00 \ X -OC

(t - t') g (x f (x. t) dxdt: li

quando podemos

. Além disso.

Integrando por partes. usando o Teorema de FubinL a propriedade do grupo e a desigualdade

de Cauchy-Schwartz obtemos

onde nesta última desigualdade utilizamos também o item (i). Portanto, temos a afirmação

feita.

Para completar a demonstração, faremos uso de um argumento de densidade e também

das Proposições 3.2 e 3.3 e do Lema 3.4 em [KPV3]. que tratam do núcleo

1 PRELIMINARES

19

o qual define uma função limitada de :: independente de T, isto é, K E L x (R2 ) . De posse

destes fatos. basta mostrar que

11 rx exp liJ -<)C

") i' • • •I ay dr!i• .. !i

• i

Se

para g E ) e K como acima. usando o Teorema de Plancherel

desigualdade integral de l\Iinkowski e o fato que K E L x

desigualdades:

temos a seguinte cadeia

''jx (j"'c '_il exp (ítT) I, -oo -ex

(x- y. cjt) (y, x) dy l dxli I ,I

(j·x!

::; sup i X ~o::; I

::; sup lx (j·x /K X -X\ -X

1

::; 1: (1: /êf0 (y, x)/

2

dx) 2

dy

=c 100

IIYIIL' dx =c IIYIILl ., , t XJ...,t -x

que completa a demonstração do Lema.

1.4 Resultados Técnicos

!\esta seção, apresentamos alguns resultados clássicos que serão mencionados ao longo deste

texto. O primeiro deles é o Teorema da Função Implícita.

Teorema 1.4.1 Sejam U C E, V C F abertos (E e F espaços de Banach) e f: U x -+ G

uma aplicação de classe Ck Considere (a, b) E U x V e assuma que D 2f (a, b) : F-+ G é um

isomorfismo. Se f (a, b) = O, então existe uma aplicação contínua g : U0 -+ , onde U0 C U

é uma vizinhança aberta de a tal que g (a)= b e f (x,g (x)) =O, para todo x E U0 . Além

disso, se U0 é uma bola suficientemente pequena, então g é determinada de maneira única e

é de classe

(i)

(i i)

Demonstração: A demonstração pode ser vista em [La].

Tarnbén1 utilizarernos o ' ' resu1taao

uma matriz

{ DxY (x) =

(0) = Yô

I!Yii < c 11 , I,L-:x:- 11

Além disso, Y (x)- 1 existe e satisfaz

oniem n e

(iii)

'I}T-l!J < id }' ~-ll'}"'ln Ir i, L= -c' et o I I L=-

20

Demonstração: A prm·a da primeira parte deste Teorema pode ser encontrada no

Teorema 6.2 em [V]. A segunda parte é uma consequência dos resultados apresentados no

capítulo 2, seções 2.1 e 2.2 em [PSV]. 111

Finalizamos este capítulo com o seguinte resultado de Cálculo.

Lema 1.4.3 SeJa f : !R" _,!R:. uma função contínua e A Ç JRn um conJunto de medida finita.

Se lf (x)J 2: c0 >O para todo x E A então

li f (x) dxi::O: co JA\.

CAPÍTULO 2

O PROBLEMA LOCAL REGULARIZADO

PARA A E UAÇAO SUP KdV

Conforme mencionamos na introdução, neste e nos dois próximos capítulos discutiremos a

boa colocação local no tempo do problema de valor inicial (PVI)

1 " -'- c:\3 -L l"' 2 ' l c.2 ,2 - o U{U 1 uxu 1 2 vxU -r 2 u:rG -

EJ,v+a~v +Dx(uv) =O, x e tE R

u(x,O) = :p(x) ev(x,O) =w(x),

(2.1)

onde u = u (x, t) e v= v (x, t) são funções de valor reaL Neste capítulo, por exemplo, vamos

estudar o PVI regularizado

{

EJ,u + EJ~u + ~Dxu2 + ~3~v2 + J.Laiu =O, J.L > O

a, v+ a~v + Ox (uv.) + jJB~v =.. o, j.L > o e X, t E R

u(x,O) cp(x) et•(x,O)=w(x).

(2.2)

Vale destacar aqui que a regularização que se mostrou eficiente para nossos propósitos foi

J.LO'; (fJ > O), veja Lema 2.2.1. Observe que (2.2) pode ser reescrito na forma vetorial como

{ ~v: = A~(u) + F Cu) U: !0'1 = o \ . .

21

(2.3)

SEÇAO 2.1 o LINEAR 22

onde u = (u. = (:p.

F

e

= ( o :\ossa primeira contribuição será mostrar existência e unicidade de solução para o PVI

regularizado (2.2) nos espaços de Sobolev xs := H' íiR) x H' (IS\: 11 paras> ~. s E IR. ' ' . 2 A demonstração que apresentaremos a seguir faz uso da propriedade regularizadora do

grupo gerado por e do Teorema do Fixo de

os primeiros passos do método de regularização parabólica. cujas idéias estão bastante

difundidas na literatura, ,·eja por exemplo os trabalhos [Il]. e Infelizmente. não

conseguimos as estimativas necessárias (veja observação final) para fazer 111 O e assim obter a

solução do problema original (2.1). Contudo, conseguimos o seguinte resultado de existência

e unicidade para o PVI (2.2).

-+ 1 Teorema 2.0.1 Se;am f.1 >O, o =(:;,?I·) E xs = H 5 (IR) x H 5 (R) e s > 2. Então existem

Tp = Tp (f.l. 1171L(J >o e um único elemento Up E c ([o.Tp] :X5) n C 1 ([o.rp] :xs-4

)

que satisfaz (2.2). Além disso, iip E c([o.fp] :xs+c) nC1 ((o.Tp]:Xs+r-4). para todo

T 2: O.

A demonstração deste Teorema se tornará imediata a partir dos resultados que serao

estabelecidos nas duas próximas seções. Inicialmente, estudamos o problema linear associado

a (2.2) e em seguida, na última seção, estudamos a equação integral associada a (2.2).

2.1 O Problema Linear

Consideremos o PVI linear

{

a,u + a~u + po;u = o a, v + a~ v + j.lÔ;v = o u(x,O)=.p(x) ev(x,O)=?;:!(x).

(2.5)

2 SUPER-KDV

O PROBLEMA

ou equivalentemente.

{

PARA A 23

("' UJ = O

com as notações estabelecidas anteriormente. Tomando a transformada de Fourier. na

:r, em cada uma das equações de resulta que

{- ~ ~u) (ç t) = .. (i(l- 11() (u) (C t)

(~,·c o• rr:' u J ~'-,· ) = o \"-:,}.

Resolvendo este sistema de equações diferenciais ordinárias, para Ç fixo, obtemos

(Ç.t) = expt

Definição 2.1.1 Para Õ = = H 5 (R) x H 5 (R) definimos

w lt) õ = p \ •

onde S" ( t) é o operador dado por

-(Sp (t) cp) (Ç) = ip(Ç) exp (ite- 11te). (2.7)

Desta definição, vamos denotar a solução de (2.2) por

11 (t) = w;, (t) ó. (2.8)

Considerando agora o espaço de Hilbert xs = H5 (JR) x H 5 (JR), com produto interno e

norma dados por

temos o seguinte Teorema.

Teorema 2.1.2 SeJam s E JR e À 2: O. Então valem:

(i) Para IL tE (0, x). wp (t) E B (X5; xs+-") e existe K = K (,\)>o tal que

(2.9)

SEÇÃO 2.1 O PROBLEMA LINEAR 24

(ii) {~V" (1)},20 é um C0 -semígrupo de contrações em ){5 com gerador ínfiníteszmal.

= ( \

o ) o

para 11 2: O. se 11 = O então { " pode ser esrtcnawo a v.rn grupo

unitário · (t)} t:>o. com gerador mrmzreszmw

(iii) Para cada tE

Dado 11 > O, il

C 1 ((0,oc)

oc) a função t ~ W" Õ é contínua na topologia de X'~"':

o é a

Demonstração: prova segue as idéias apresentadas no Teorema 2.1 e Corolário 2.2

em [Il] ou Teorema 2.1 em [An]. Trataremos inicialmente da desigualdade (2.9).

para Õ = (ç, E X 5, À 2: O e 11. tE (O,oc) vale

l

i _,,2 . 2 . ?

,I~FM (t) <t>ilx•-\ = liSM (t) çl!s+À + IIS" (t) vil;+.\

= 1 (1 + e)s l$(~)! 2 (1 + er\ exp ( -2111~4 ) d~

+ 1 (1 + er jtT (~)12

(1 + er" exp ( -2111~4 ) d~ :S K (À) sup [1 +e), exp ( -2j.d~4 )] (II'PII; + 111);11;)

ç

= K (À) [1 + supe.>. exp ( -211J~4 ) l/ 11õl1

1

2

ç j I X'

[

À (-À) -ÀJ 11

_"2 :SK(À) l+Xíexp 2 (4111)2 .9\[x,

:S K (À) [1 + (4111) -./lllõll 2

, ... ( lxs

:\ote que

(2.10)

onde usamos que (1 + eJ'1 < c (1 +e!.) (c> O) e lvh := À~ exp ( 2 ) (4pi) -2.\ é o va

lor máximo da função F!.(~) := e" exp (-2pte). verdade, para checar esta última

afirmação basta mostrar que a função par h(~) := Àloge- 2fJte possui valor máximo

2 SUPER-KDV

À

25

( À ) ~

:= log 4!1t 2 , que ocorre no ponto Ç0 : = Em seguida. calculamos cxp

) para obtern1os Portanro. a desigualdade

ProYeinos agora. o iten1

2 = dE, 1

= 1 +ç-2)'exp(-2!1té;4) I\?(Ç)I 2 dÇ

<l (1 + ç-2)"1;? 2 dÇ= ;:li~ -Portanto, para OE vaie

., w" (t) ~- = 115" (t) ;:li;+ !15" (t) vil;

11 ,') ,') ii ..... 11 2

:5 II'PI!; + llvl!; = '11o1·.1 ' X·'

e consequentemente

(2.12)

Agora vamos supor, sem perda de generalidades. t > T para obtermos:

IIW~" (t),:::- W~" (r) ;:II~.+À (2.13)

= l (1 + er+À 1 [exp (itçJ- 11tE,4)- exp (ire- we)J f(çJI2

dç

= j~(l+er+),{exp(irçJ-Ilre)[exp(i(t-r)çJ-J.L(t r)ç4)-1]}2

lf(ç)l 2 dç_,o,

quando t--+ r, por (2.12) e pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue.

Para o item (ii), já temos por (2.12) que W" (t) é de contração e usando a definição

(2.7) segue-se que W" (O) =I e VV" (t1 + t2 ) = W" (t1 ) W~" (t2). A continuidade de W" (t) na

norma de X' é uma consequência imediata de (2.13) com À= O.

Resta provar que para 11 =O o operador A gera um grupo unitário, TV (t) : xs -+X'.

Pelo Teorema de Stone (ver [Pa]) basta ver que A é um operador anti-simétrico com D (A)=

xs..-3 = H 5+3 (IR) X w+3 (IR). De fato, para f= (f. g)' § = (p, q) E D (A) temos que

SEÇAO 2.2 A EQUAÇÃO INTEGRAL 26

-( 3

Logo A= e o grupo unitário := exp (t E é por

( S(t)p) s (t) v

(2.15)

para o= /..))E

Finalrnente. para o 1 con1o já saben1os que 'U E resta --;,cer que

E C( ex;): X'-4). Para tanto basta considerar t. r 2: O. e estimar

ll81u (t)- o,u (o-) Isto pode ser feito usando (2.5), os resultados já estabelecidos e do Te-

orema da Convergência Dominada de Lebesgue. unicidade decorre do uso da tranformada

de Fourier em (2.5) c, portanto. está completa a demonstração do Teorema.!ll


Conforme mencionamos anteriormente, construiremos agora as ferramentas necessárias para

demonstrar o Teorema 2.0. L Consideremos então o PVI

{

8 u + 83u + lfJ u2 + lfJ2v2 ' u"'4u O " >O t ' X 2 X I 2 X T rUx J ,_-.

O(V + o~ v + Bx. ( uu.) +. f.10;v .. O, t > O e x E ffi: u(x,O)=ip(x), v(x.0)=1t·(x)

ou, equivalentemente, sua forma vetorial

onde i1 = (u,

{ 8,il =A" (u.=) +F (il) il(x,O)=o(x)

F( -)=- (l(}n 2 ra2 2" f l) \ U \2 x U + 2 x V , Ux \ UV .

(2.16)

(2 .17)

2 PARA A SUPER-KDV 27

:'-Josso primeiro objetivo será garantir a existência e unicidade de solução para a equação

integral associada a 16). Para consideremos 11 > O (fixado) e suponhamos que

~uP = satisfaz (2.16). Pelo Princípio de Duhamel satisfaz a equação integraL

= w (tl õ-fL - /

) ) . 19) '

:ê\lostremos agora que a equação integral (2.18) possui solução em algum espaço de funções

conveniente. Assim, vamos considerar o espaço métrico completo (fls (T), d,) onde

o ry: -= f c;;: c. C ifu>-~-H \ j • l LG '-- \L , lx, ~ 11 !

I

. tE X'

e

ds(P, ü') =sup!l (t)-ü'(t)!lx,-:o.T]

1 -Para s > 2, cp E xs e ü' E fls (T) definimos a aplicação W por

W (ü') (t) = ~VM (t) Õ -llí/P (t- -;-) §(-;-) dT

onde tE [O,T],ü'= (w,z) e

Com as notações acima, temos o seguinte Lema:

} (2.20)

(2.21)

(2.22)

(2. 23)

Lema 2.2.1 - 1 SeJam 11 >O, cjJ E xs e s > 2. Se ü' E fls (T), então W (ü') E C ([O, T]: X')_

Demonstração: Vejamos inicialmente que (2.22) está bem definida. De fato. como

s > ~ e Hr (JR) é uma álgebra de Banach para r > ~' então para cada t E [O, T] vale

(j E C ([0, t); H'- 2 (IR) x H'-1 (JR)) C C ([0, t]; X'- 2).

Portanto, pelo item (i) do Teorema 2.1.2 temos que W" (t- -)§(·)E C ( tj: xs-2 ) _Logo

(2.22) está bem definida.

2.2 A INTEGRAL 28

Escolhendo agora À= 2 em (2.9) temos que l"Vp (t- T) g (T) E xs e vale

li 'i'' < !ix, 3"-2!""-::

l ~ '!-J 119

onde fizemos a mudança de variável r= 4/1 (t- . Portanto. W E

Provemos agora a continuidade de W. Sem perda de generalidades. podemos supor t < t0 ,

para tE (0, T]. Assim. temos

-w li !i )•:,

d ------7 ,, ----;..11 s; 1,/ " o - ~' lro) o ilx·

+ (1

[[[1-Fp(t- -VV~'(to-T)jg(T) Jo !to

di+ t 11

s; /jw" (t)-;;;- vV" (to) -;pllx, + [ [f[lVP (t- T)- vV, (to- 7)] g(T)ffx, dT + su~ ffVVP (to-·) g(-)ffx, [t- to f .

. o ~~

Observe que a primeira parcela do lado direito de (2.25) converge a zero quando t T t 0 . pelo

item (ii) do Teorema 2.1.2. O mesmo ocorre com a segunda integral quando t T t0 , pelo item

(ii) deste Teorema e pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue. Finalmente, o

último termo converge trivialmente a zero, quando t T t0 , e portanto temos a continuidade

de W à esquerda de t0 . De forma semelhante, prova-se a continuidade à direita e com isso

temos a conclusão do Lema.

Neste Lema, mais precisamente em 2.24, fica claro porque usar a regularização f.léJ; e não

j.liJ;.

Proposição 2.2.2 Seyam f.1 >O, E xs e s > ~· Então existe T, = T (f.l.[[-;ptJ >O e

uma única solução real11, E C ([o,T"]; xs) para (2.18).

Demonstração: A demonstração é análoga à do Teorema (3.1.2) em [An] e consiste es

sencialmente em mostrar que W é uma contração em (11, (T), d,) . para um T suficientemente

pequeno. Pelo Lema anterior, basta mostrar o seguinte:

2 SUPER-KDV

o

(I) Existe T1 > O tal que se ü' E fl, (T1 ) , então

!w

) :S ad, para ü'.

I r _ l A solução '" é única na cíasse C \? Tv j :

29

para tE [O,

E e o< L

Para o item (I), escolhendo em (2.9) À = 1 (na parcela que temos a norma em H'~ 1 ) e

À= 2 (na parcela que temos a norma em H5~2 ) abaixo obtemos

-+

o li

=ri "

Como s > ~ e W E fls (T), então pelo Teorema 2.L2 temos que

i]u:2 ilw :S c (llw- w" (t) 9 L+ llw" (t) 1llxJ2

:S c I 112 i ' I xs,

1

1-+112 li u;ziiH' :S c ,i 9 1

11 ,

il i xs

ll'z2 ]IH, :S c 111112

. . 11 i xs

De (2,28), segue-se que

c 14yt I '*' (wJ (tJ- w" (tJ 911 :::- ( 1 +

IX' 11 O \

1 2

+ r- 1)

2 dr 111

IX'

(2,29)

SEÇAO 2.2 A EQUAÇAO INTEGRAL

e como

~ dr -+O. quando t-+ O.

ten1os que existe T1 = T1 ---'? I! " o iixJ > O satisfazendo

\ ~ li---+

1 • dr il o J ·'

<1.

Logo, de (2.31)

e assün está provado

Para provar considere = ) _ 11 8 2 , - \::; xP ; ..

e tE Usando novamente . com .\ = 1 e .\ = 2 obtemos

IIIJ! CP') (t) -w (V') (tlllx·

::; l j!H:~ (t- T) [~ox (p2- w 2

)-,- ~a; (q2- z2), ax (pq- 1rz)] (T)

::.: {o' 11 (t ~)r (p2 ,.2) 1-)'11 d~ Jo f.-l -,,2 -u.· \1 ,Hs+l .,

::_: 1'11 (t-T)(pq-wz)(T)fiH•+ldT

::_: fo'11W11 (t- T) t (q2 - z2) (7JiiHH2 dT

::.: f{ l [ 1 + ( 4,u (t - T w~ + ( 411 (t- T) )-1

]1

11 (p2 - w2) (T) I IH' dT

['r . ,,l +I< Jo ll + (4,u (t- T)p + (411 (t- T))-'j' ll(pq- wz)(T)/'iH• dT

+ f{ l [ 1+ ( 4,U ( t - T W ~ + ( 4,u (i - T)) -I] ~ li ( q2 - z2) (T) li H, dT

Agora, como

\IP2 -w

2 \ls::.: c(IIPIIx· + llwllx·l IIP- w[[p::.: c\j11ix, IIP- wllx·.

llq2- z2 \ls::.: c(fl-p + liwilx·l 11 - v:liix·::.: c 1!!'111 IIP- IIX'.

i:Xs

- wzlls = lfpq- wz + pw- pwfls :S C 11 llx. IIP- llx•

30

1)

(2.33)

2 SUPER-KDV

o

retornando a (2.33). temos que

llx•

<c o r i 1 .L L . 't ')-l, . 1 -Ti ---r-• . .

por existe =T

PARA A

(t-

( t) - ( t)

que,

c 1'-->11 14~7;. ( . ) l a: := ~ I o 1 +r-~ + r- 1 2 dr < 1. f.l' :x• o

Portanto, para t E [O, T,] vale

!lw (]1) (t)- w (u:t) (tlllx·:::; asup IIJJ (t)- uJ (t) [O,t]

31

donde segue-se (2.27). Usando agora o Teorema do Ponto Fixo de Banach, temos que existe

uma única 11" E !l 5 ( TP) tal que \]) (11 ,) = 11 "' isto é, 11" é a solução de (2.18) e com isso

temos (II).

Finalmente, para checar (IH) precisamos provar que esta solução é realmente única na

classe C ( [O, f"] ; xs) . Para tanto, utilizaremos um argumento clássico de Tósio Kato e

H. Fujita, ver [KF]. Neste sentido, consideremos p = (p, q) , W = ( w, z) E C ( [O, f"] : X s) soluções de (2.18). Então, para

e tE [o, T" J usando novamente (2.9), com À= 1 e À= 2, obtemos

ou de

2.2

li

<

<-11

< :<rt' sup ]' v\ J I :o.(

A

rl + ,-~ _;_ r-'1 ~ . "

(t)- (t)

+ lf)2 ' 2 .r

I!

M {I'~()" i\ := max ~-up 11 P t llxs, iü.t]

sup [0/

32

Observe que /3 (t) é contínua e crescente em [0, oo), .6 (O)= O e .3 (t)--+ +x, quando t--+ +x. 1

Assim, existe r tal que /3 (T*) = -:1• por exemplo. "

Seja T1 := min {:f"' T*}. Como .3 (t)::; /3 (T1) ::; /3 (T'), então para tE [O, T1] temos que

sup ]]p (t)- W (t)llx· ::0: ~ sup ]]p (t)- (t)llx- · [O.T1] 4 [O,T1]

Portanto, p = W em [0, T,] . Se T1 = T" temos a unicidade e a demonstração está encerrada.

Caso contrário, T1 = r. Definindo então := min { Tp,, 2T*} segue-se que para t E [O,

(T2 > TI) temos

2 SUPER-KDV

r

(t-

1 +r-~ + r- 1) ~ dr sup li

ro.T2]

<--11

l,u (T2- Tt) +

'li (t)-

(ti ' '

Como T2 ::; 2T* temos que 11 (T2 - T1 ) ::; 11 (2T*- T1 ) = pT*. Portanto.

í ::; --i

fi L

1 'I = sup 1

4 [O.T2J

li

(t) -li

33

lix• ·

I! V c• ''/l,.

Logo, p = em [O, T2] . Se T2 = Tu temos a unicidade. Caso contrário, reaplicamos o

processo para T3 := min {Tu, 3T'}. Como [o, Tu J é limitado, então existe n E N tal que

nT* ?: Tw Com isso, p = em [O, Tu] e desta forma temos (IH) e consequentemente

nosso resultado.

Nosso próximo passo consiste em mostrar que a solução u P obtida anteriormente é

mais regular que o dado iniciaL !VI ais precisamente, se r ?: O e t > O, então u u ( t) E

xs+r. Tal propriedade é uma consequência da propriedade regularizadora do C0 -semigrupo

{W" (t)}t:>O. Além disso, o Teorema a seguir nos dá uma idéia do motivo pelo qual nossa

solução não pode ser estendida a um intervalo [O, T] independente de ,u, conforme veremos

no final deste capítulo.

1 --:' Proposição 2.2.3 Sejam 11 > O, s > 2 e 9 E X 5

• Então a função u" obtida na Proposição

anterior satisfaz uM E c ( [O, r"] ; xs+r) . para r ?: o.

Demonstração: Sejam u" = (uu, vu), f:= (~àx (up)2 +~o; (v") 2

, Ox (uuvu)) e tE

r -] lo. T'" . Consideremos a equação integral,

SEÇAO 2.2

o-

A EQUAÇÃO INTEGRAL

. . l'' 't' -)dT:= -J!J.(-)0+

34

Pela desigualdade (2.9). temos de imediato que v(.) E: C ([o. :fv]: ) . Considerando

r E: [0.1), para mostremos que E E C ([o. T11 ] : xs~r). Para tanto. veremos inicialmente

que E E Hs~r x HHr (R). De fato. escolhendo )q = r 1 + 1 (r:= .\ 1 - 1) e

= r2 + 2 . por obtemos

I ~~ I ,, r' 'I ! E (t) X* ::; c illo vv/J (t- r) Ox (u")

2 (r) dri!Xi'-l)+A, (2.35)

+c 11 ['~'V" (t- r) 3, (u11v") (r) drl[ 11Jo 1 x(.s-l)+\1

+C l nwi' (f- r) 0; (vl')2

(rll!x(r-2)+Xx dr

::; K snp llu"(t)/1~. f' [1 + (4Jt(t -r))-À' + (4fl(t r -] Jo tü.Tf-'

. • .\2 Àr Da hrpotese sobre r segue-se que 4 < 1 e

2 < L Portanto esta última integral é finita, o

que assegura a afirmação feita.

Para a continuidade, consideremos tE (0, T"] e h> O de sorte que t +h E (0, T"). Assim,

1-!i li i!

o

l'(t+h-

)dT-,

PARA A

fl,(t-T) (T)dT

" (+ ' h _, ',j"/ ('t ~·1"1 f- 1-'d-jJ\LT -,/- ,U -,/"~iJ-'} i

+ lil

I•

" 'i

!lx---+r

35

onde na última desigualdade utilizamos e uma mudança variáveL :\ovamcnte. como

Ào Àl · · · l d l ' •· · d 10 36' d ' O -= < 1 e - < 1 a pnme1ra mtegra o aao mre1to e 1:0. ) converge a zero quan o 11 -+ . 4 2 .

Usando os itens (i) e (ii) do Teorema 2.1.2 c o fato que j (r1, r2 ) := (1 +r!"''+ r;'?)~ E

L1 ((O. 4,ut]: R) segue-se do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue que a segunda -+

integral em (2.36) vai a zero quando h tende a zero. Isto mostra que E (t) é contínua à

direita de t.

De forma análoga mostra-se a continuidade à esquerda. Assim provamos que ü~" E

c ( [o, TI' l : xs+r) ' se o :s: r < 1. Fazendo uso do que acabamos de provar, é fácil ver

que E (t) E c ( [O, TI' l ; xs+2r) . Com isso, Üp E c ( [O, TI' l ; xs+ 2r) . Usando um argu

mento indutivo mostra-se que E (t) E C ([o, TI'] ; xs+nr) para todo n E N e portanto está

completa a demonstração. 111

Finalmente, resta-nos mostrar que a solução Üp obtida anteriormente é de fato a solução

do problema regularizado (2.2), em relação à topologia natural de xs-4 Conforme veremos.

isto é uma consequência da continuidade de Üw

Proposição 2.2.4 A solução il~" obtida na Proposição 2.2.2 é a única solução do PVI (2.2).

Demonstração: A prova segue as idéias apresentadas nos Teoremas 3.2 e 3.3 em [Il]

e Teorema 3.3.1 em [An]. Começamos mostrando a existência de uma soíução para (2.2).

Usando o item (iv) do Teorema 2.1.2 temos que

2.2 A

para t >O na

oi. ; .

36

para t E + . Assim. para O S: t < Tv c

h > O tal que i +h E (O. T) temos que

1 ·~ -IE(t+ h l

. l 1 r' -E(t) =h(H'v(h)-1)}0 Wv(t-T)f~(T)dT

l

h

Corno a pril11eira integral do lado direito

h _,. O esta conYerge para

dT.

está en1 D

13 3Rl \ .. u /

então quando

em xs-4 J\lostremos agora que o segundo termo de (2.38) converge a f~ (t) em xs-4 • quando

h~O

Para tanto, observe que

l i~ j'+h [w" (t +h-,) f~ -f~ (tJ1 d'll I t ...1 ! xs-4

:':: _hl.it~h 11 [H'p (t +h- T) f: (T)- f~ (t),j' li dT t 1 ilx"-4

= ~ jjw,, (t +h- ih) f: (Oh)- f: (tJjjx•-' h

= jjw" (t +h- 8h) f: (Oh)- f: (t)llx•-', onde utilizamos o Teorema do Valor Médio para Integrais, com 8h E [t. t +h].

(2.39)

Usando agora o item (iii) Teorema 2.1.2 e a continuidade de f~ (T) segue·se que (2.39)

converge a zero quando h ~ O, o que comprova a afirmação feita. Portanto, está provado

que

8( Ê (t) =A~" (E (tJ) +f: (t),

onde 8( representa a derivada à direita de t. Analogamente, prova·se que vale a identidade

acima, em xs-4' para a derivada à esquerda de t. Então, para t E [O, Tp l temos que

8,Ê (t) =A" (E (tJ) +f: (t).

O PROBLEMA LOCAL REGULARIZADO PARA A

Como A" E B (X:

como

.u + . I

segue-se c àesta últüna afirmação que EC'(

e pon.anto (2.2) tem solução.

'v'eren1os agora que

também é solução de ). Portanto

'

(p(t))+g

) corn

-L f ' J fJ

37

(

v'-4 d ~- (le> 2, le>2 2 e> ( ·l) A 1· d 1\' lt ) O< <" (?40' em-"' . on e g - - , 2uxP , ?Yxq . ux ,Pq, . -'"'P 1can o · '" \.- T . _ T _ c. em .:... · )

obtemos

yj!p (t- T) (8x p (T)) = 01 [Wp (t- T) p (T)]

= -Ap.\'Í1p (t- T) p (T) +!VI' (t- T) 01 g (T)

=-A, H', (t- T) p (T) + APWP (t- T) p (T) +H', (t- T) 01 g (T).

Portanto,

-7

Integrando esta última identidade de O à t e levando em conta que (O) = 9, obtemos

1' Ox [W, (t- T) (7)] dT = 1' wp (t- T) g (T) dT,

isto é.

(2.41)

em X'-4 Assim, da Proposição 2.2.2 temos que o lado direito de (2.41) está em X 5. Logo,

p E C ( [O. T"] : xs) e satisfaz (2.18). Devido a unicidade, já estabelecida na Proposição

2.2.2, temos que p = il,. A última afirmação segue também da Proposição 2.2.2. 111

SEÇÃO 2.2 A EQUAÇÃO INTEGRAL 38

Conforme avisamos, na introdução deste capítulo. colecionando os resultados estabeleci-

do Teorema 2.0.1.

:'\ossa pretensão seria prosseguir con1 o n1étodo de regularização parabólica

para obter a solução do problema original 1). Dai precisarian1os garantir a existência de

un1 inteP..-alo independente de fL onde todas as soluções ·llP pudessen1 ser definidas.

Observe que na Fn)pclsíc;ão

resultado nã.o foi possíYel

pode ocorrer que T,, 1 O quando f-1 l O. A exrsten•:w de tal

nã.o conseguin1os mostrar uma desigualdade

(2.42)

onde

E!,

=2 s

= -2

Tal dificuldade deve-se principalmente ao termo ( n, E!x ( vE!xv)) s, pois os outros dois termos

podem ser majorados por c /liZP (t) /1~,. Para o primeiro termo, por exemplo, utilizamos a

desigualdade de Kato, com t = s (ver Proposição 1.1.4) e as Imersões de Sobolev para obter

/(u U0xU) 5 / :S.: c (//Du// 5 _ 1 1/n//; + //Du//s-1 /In//;) ::; c 1/n/1~ :S.: c /liZP (t) /I~ •.

(2.44)

Para o penúltimo termo em (2.43) utilizamos estimativas com comutadores (ver Proposição

1.3.2 dos Prelimininares) mas não conseguimos chegar a uma estimativa do tipo (2.42).

Também fizemos tentativas, sem sucesso, nos espaços de Sobolev ys := H 5 (iR:) x Hs+ 2 (IR)

e zs := H 5 (iR:) x Hs- 1 (iR:), para valores adequados de s.

" CAPITULO 3

BOA COLOCAÇAO LOCAL COM DADO

INICIAL PEQ

SUPER-KdV

PARA A EQUA A

:'\este capítulo, discutiremos a boa colocação local (no tempo) com dado inicial pequeno,

para o problema de valor inicial (PVI)

ou equivalentemente,

{

8,u + 8;u + u8xu + 8x (c. •8xv). =o 8,v+8~v+8x(uv)=O. x,tElR

u(x.O) = p(x) e v(x.O) = 1!J(x).

{ 8,11 + 8~11 +F (11) =O

11(x.O) = 7 (x),

onde = (u, v), 1 = (p,1/J) e

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Trabalhando nos espaços de Sobolev com peso e considerando o dado inicial suficientemente

pequeno estabelecemos nosso melhor resultado de boa colocação local (Teorema 3.0.1, a

seguir). Deixamos claro, que nossa primeira tentativa (sem sucesso) foi tentar establecer

39

40

boa colocação local nos espaços de Sobolev ciássicos. Utilizamos os efeitos regularizantes do

grupo da e estilnativas com con1utadores n1as não chega.n1os as estin1atiYas necessárias.

:\o que fare1nos a seguir \ra1nos explorar diretan1ente o caráter dispersivo da equação

Kato e

e nuvas estilnativas lineares decmTemE's

do uso do espaço com peso. Como bem sabemos. o grupo mencionado acima aparece na

UU··~,_~u do linear homt)gimE;o

{ a, + a;11 = o ~ -7 u (:r. O)= rp

(3.4)

Tal é dada por

t) o

onde

(t) = exp (-to~) (3.6)

e S, é a integral oscilatória

S, (x) =c 1: exp (ixÇ) exp (ite) dÇ. (3.7)

O principal resultado deste capítulo é o seguinte Teorema:

-7 Teorema 3.0.1 Seja rp = ('P. w) E Xs.s = Hs (JR) n H 3 (x 2dx). com s 2:5 inteiro. Então.

existe TJ > O tal que se

o PVI (3.1) possui uma única solução (-) (u (·). v(·)) definida no intervalo [O, TL onde

T = T (111llx.J >O

(T (B)--+ oo quando e_____, O) e 11 satisfaz:

(i) 11 E C ([0, Tj; Xs,3);

( "") jl"'j~l-71' :n sup1·<s 1Vx' u dL=Lz < oc; - " T

SUPER-KDV 41

(i v) li

disso, para qualquer T1 E . existe un1a de o E que

a aplicação o r-7 u (classe definida de ) ) é Lipschitz.

?\ ossa estratégia para proYar este Teore1na segue e

onde faremos estimativas sobre a integral oscilatória e. em seguida. aplicamos o

Teorema do Ponto Fixo de Banach para um espaço métrico adequado.

3.1 Estimativas Lineares

:\'osso objeth-'O nesta seção é estabelecer novas estimat.ivas lineares, a saber: van1os estirnar

li (t)-;;; e li (t) [I . Tais normas decorrem do uso dos espaços de Sobolev i ii 1L]?J13(x2dx)

com peso.

Demonstraremos o Teorema 3.0.1 apenas para o casos= 5, que corresponde ao índice de

Sobolev mais baixo. A demonstração do caso geral ( s ::0: 6, s E N) é análoga, veja observação

no final deste capítulo. Para tanto, consideremos um intervalo [O, T] e uma função

vt : IFt X [O, T] ___, lR X R

Com o objetivo de simplificar as notações definamos as normas:

'T '--T\ - li-Til . "/\r \ U· J- : U L'f'H5 (?.)'

AT Cu))= max ÀT (w) l::Sf'S5 J

Consideremos também os espaços métricos completos

" XT {w E C ([0, T]: X 5); AT (w) < oo}, .. xr(a) - {wEXr; Ar(w)=::;a}

(3.8)

(3.9)

(3.10)

3.1 ESTIMATIVAS LINEARES 42

com a métrica

d ) =

i 0 . Para tanto, preosan1os dois próxin1os

1.1 Dado Ó E H 5 I H 3

li , o'li ,, !I :Sc(l+

Demonstração: Observe que pelo Teorema do Valor ]\!édio para integrais de Bochner

existe t0 E (O. , tal que

IY ~ 1 0=-

T o

Usando agora o Teorema Fundamental do Cálculo podemos escrever.

. f' c = W (to) Ó + O r I W ~ io l

) o] dT.

Portanto,

I -+I 1 1T • sup H/ (t) o ::; -: ) JO.TJ T o

-+i t [ _,,I (t)odt+lo la,W(t)oj1

dt (3.11)

Integrando em x. usando o Teorema de Fubini e o fato que \F (t) é a solução do PVI línear

(3.4) obtemos

( t) I l1T1x I

1dx::;- 1

1 T 0 -x 1

(t) (t) e;ç;'l dxdt (3.12)

Para estimar cada termo do lado direito de (3.12) usamos a desigualdade

para obtermos:

(3.13)

3 BOA '-'"'"''"'v LOCAL PARA A EQUAÇAO SUPER-KDV 43

Agora é fácil obsen·ar que o operador L= at +a; comuta com r (x, t) = X- 3ta;; ao longo

t) =

L (r (r \

e, consequentemente.

"' . c)

o , que é a solução

t) "

Portanto.

.........;. '\

O) = 0. \f X. t E

t) (t) o =O. Daí. r .t) 6 é a solução do

o= \t) 7) +3tH' (t) a; c

(ti EiC: = " X

(xa;O') +3tW(t)a~

Finalmente, substituindo (3.14) em (3.13) resulta que

11\v lt) O' I

' L 1 L= x T

o que concluí a demonstração do Lema.

linear

(3.15)

Observação: Este Lema deixa claro porque trabalhar em Hs (IR) n H 3 (x 2dx), com s 2: 5.

Além disso, temos que .\r (w(t) 1) < oo.

Corolário 3.1.2 Com as hipóteses do Lema acima vale:

11 _,1 ('1--+1' !I-+ W (t) q; :S: c !I 9 1

1

· + T 119 LT IJ3(x2dx) 3,2 i

3.1 ESTIMATIVAS 44

Demonstração: Csando a definição da I! \1 3 _2 e a identidade

o=W o Q .V j E N,

segue-se que

il :I li

--+i! 2::: O li · IIH'(x'dx) =

j=O

o

3

::;ci::(/ j=O

(i) í xarz) 1 + 3 r'm· (t) at2 o 1.) \ . o ' ! u

::; c (li o li +Til ',I_ ,\ :3.2 :', li,

Portanto temos o Corolário e é claro À[ -;:;') <X. I

111

Observe agora que pelo item (i) do Lema 1.3.l(Preliminares) vale

e assim Àr (w(t) 9) <X

Pelo item (ii) deste mesmo Lema, com p = 2 e r = L temos que

1/w (t) 11 '71' 'i <c (1 + Tt 1

IIL2L= - I • T , 1_/ e /1

1axW(t)1/l ::;c(1+Tl

2 l1

1 I 1 ·L~LT I

e com isso Àr (w (t) 1) < oo.

Além disso, como W (t) é um grupo unitário sobre L2 (JR)

11111

(t) 9'rl . = sup l',w (t) "9'111 . =c 11/"ói/ L?f? H 0 (1R) [O,T] i H"(R) I 5

e consequentemente Âf (w (t) 9) < oo.

Logo xr é não vazio, pois a soluçaõ do PVI linear (t) = W (t) 9 E xr. O próximo passo será discutir a parte não-linear de (3.1). Neste sentido, fixando d:>

( :p, 'lj;) E H 5 (JR) n H 3 (x2dx) e considerando w = ( w, z) E xr vamos denotar por 11 =

i!f-; (w) :=\li (w) a versão integral para (3.1), isto é,

\li ( w) (t) = Hl (t) 9 (3.17)

SUPER-KDV 45

onde

=

I'\ osso primeiro será n1ostrar que W definida.

estabeleceren1os un1a sequência de Len1as. à fornece as estin1ativa.s para a parte nã.o-

de em termos

todos estes Lemas nossas hiJ)Ót.es,es sao

e avisamos que o símbolo ( ·) significa Àr ( ·) . para i = L 2 ..... o.

3.2 Estimativas Não-Lineares

1

' I L < li-+

c 119 + cT[

+c (1 + T/ À4

+ cT~ (1 + T) 2 À3

+ cT~ (1 + T) 2

e E

Demonstração: A demonstração deste Lema decorre da análise sobre a equação integral

(3.17) e dos resultados já estabelecidos. seguir, faremos uso da norma

111!1 ils = llfllo + lio~fllo, (3.19)

que é equivalente a norma 11!11,. Temos então,

Àr (w (w)) ~ llw (t) ç;+ij + r' liW (t- T) (w)IILXH'(,, dT 'I I LJ? H5 (?:.) J o . 'T ... ,

(3.20)

~c jj1jj5

+ fo'iiW (t- T) F (w)ilqeH'(RJ dT,

pois W (t) conserva a norma H 8 (R).

Observe que como (wz)x = WxZ + wzx e a norma de qualquer coordenada do vetor

w = (w, z) controla-se pela norma do vetor W, então o termo wwx já representa (wz)x.

Usando (3.18), a linearidade do grupo VV (t) e (3.19) resta-nos estimar os termos:

(t-T)(wwx)dTII ,

I (t- T) (a;z 2

) dTI 0

.

(3.21)

46

Fazendo uso das desigualdades de :VlinkowskL Holder e do Lema de imersão de Sobolev.

obtemos:

(t ~ ( U'1L':c) < o

<

<

Analogamente.

Para o próximo termo. temos:

'I 1: ' ( t - -: ::

li ui 2 I, ' 1

[): l /;\12 \ u jj .

::=; cTsup 11 [O.T]

<

I lo

lia~ l vV (t- r) (wwx) drllo ::=; [IIW (t- T) a~ (wwxlllo dT

::=; T~ (lT 1: (o~ (wwx))2 dxdt) ~

::=; T~ ~c1 (for J: (o~u/ (a~+Hw) 2 dxdt) ~

(3. 24)

onde utilizamos a regra de Leibniz na última linha acrma. Observe agora que o termo

envolvendo a maior derivada de w, na desigualdade acima, é wo~w e este pode ser estimado

como

(3.25)

LOCAL DADO INICIAL SUPER-KDV 47

Vale observar ainda que os termos envolvendo derivadas de 11: de ordem mais baixa podem

ser estimados facilmente usando-se o Lema de w1e1 ''"v de

u_u c~CIL controla-se da seguinte fonna

2

e obternos

(t-6

< '\:'c -L.,J J=Ü

2

sup X

Por exen1plo. o tern1o

2

o

l 2

Lei.bniz em

Observe que para j = 2, 3, 4 podemos aplicar as desigualdades de Holder e :\linkowski jun

tamente com o Lema de imersão de Sobolev, em (3.27), para obter

(3.28)

veja (3.25)-(3.26).

O termo associado a j = O e 6 pode ser estimado utilizando-se o efeito regularizante dado

pelo item (i) do Lema 1.3.2. De fato,

(3.29)

1

::; cjoo sup lzl ( {T (à~z) 2 dt) 2 dx -ex [O.T] Jo

:5o c (Joo sup lzl dx) sup ( {T ( à~z) 2 dt) ~ -CC· !O,T; X J 0

ESTIMATIVAS

48

Usando agora a desigualdade de HOldeL o Teorema de Fubini e os resultados citados acima,

chegamos à seguinte cadeia de desigualdades:

:Se

=c

li' (t -

18 .. 2 sup \ x2) [O.Tj

l 2

1T

<)

l 2

:S cT~ (1"" sup(8xz) 2 dx)~ sup (lx (8~z?dx)~ -x [O.T] [ü,T] -x

:S cT~ (1 + T) 2 À3 (Ué) À1 (Ué).

Colecionando as estimativas (3.20)-(3.30) temos o Lema.

Lema 3.2.2

À3 (w (w)) :S c ![-;t[i_ + cT [À1 (w)] 2.

, lo

111

Demonstração: Basta analisar o caso k = 1, na definição de .\f (w (w)), que consiste

em estimar l!8x W (w) IILiLT' . Por (3.18) resta-nos estimar os termos:

(3.31)

Cada termo acima pode ser estimado através do uso da identidade

(3.32)

do item (ii) do Lema 1.3.1 com r= 1 e p = 2 e do Lema de Imersão de Sobolev. De fato,

3 PARA A EQUAÇAO SUPER-KDV

EJ X (f- T)

H' (t-

Logo, de (3.31)-(3.34), segue-se o Lema.

<c 1 + H(

< (1+T) 2 supll ro.T]

< T 11 ' T' 2 _C \ I )

:s c (1 +

I _,.,]? \ w} -:

rT

< c (1 + Ti 2 j '1iEJ3u·2 ll dt - ' " I X lil o

:S cT(1 + T)2

sup l!8~u2 ll 1 [O.T]

:S cT (1 + T)2 sup 1111111~

[O.T]

:S cT (1 + T) 2 [À 1 (w)] 2.

49

i l

Vale observar que todas as estimativas feitas até agora valem em H' (JR:.) paras E R Nos

dois próximos Lemas precisamos usar a norma no espaço com peso H 3 (x2 dx), que é dada

em função da norma Hs (JR:.) paras E N. Fica claro portanto a necessidade de trabalharmos

com sE N.

Lema 3.2.3

À4 (w (w)) :S c (11111. + 11'111 ) + cT [.\1 (w)]2

+ cT~ (1 + T)2

.\1 (111) .:\3 (111) I o . ,13.2

+ cT~ (1 + T) 2 À1 (111) À3 (111) + cT.\1 (w) .\2 (w) + cT2

(À 1 (w)) 2

+ cT~ (1 + T) 2 À3 (w) Às (w) +c (1 + T) 2

.\4 (111) Às (111)

ESTIMATIVAS

50

Demonstração: Pela equação integral ( 3.1 7) temos que

. (W( ):S(l+ !i

li + (t- F

e o

e 11 :jrt

11 o (3.36)

Usando a estimativa linear, dada pelo Lema 3.1.1. e a identidade (3. obtemos:

driJI 3.2"

Agora,

I r' !i

Jo W(-r)(wwx)dr\j_ o ' ;)

(3.38)

111' . 11 li -1' :SI, W(-r)(wwx)drj +.j3~ W( 11 o o I o

(wwx) dr[[1

!O

:S lll W( (wwx) drJ11

+ t CJ ~~~~3x l W (-r) (~w) (3~-jw) dr O ;=O O

~- ') Jl - 1' ( -) 11 :ScT[JIJ(uiJr+c W(t)3x (-r) w3~wdrji I o lo

+I> lj13x l W (-r) (3?cw) (3~-Jw) drll j=l i o o

Usando o efeito regularizante dado pelo Lema 1.3.2 e o Teorema de FubinL estimamos o

3 LOCAL COM DADO INICIAL PARA A EQUAÇAO SUPER-KDV

penúltimo termo acima como:

(t-

1

< juu;uf dt) 2

lu i

- (1"" sup , -X [OJ]

So T~ (1x sup -00 IO.T:

' ' '

Portanto,

12 dt) ~ dx

l l

' o \ 2 1~ d d' I X t l , I

/

) ~ /100 2 1 ~ 2 I dx ~up I jD~wl lO.TJ \ -:x:

l 2

li r' vv ( -T) (wwx) dTII So cT p,l (w)] 2 + cT~ (1 + T) 2 )'1 (w) ,\3 (w)'

1 lo 115

51

(3.40)

Para o segundo termo de (3.37), combinamos a definição da norma li (3.16) para obter

· 11 3 2 com a identidade

(3.42)

3 :: f' =L ll:rà~ lo

j=O li O ( -T) (wwx) dTilo

So t [j'llx~ (wwxlllo dT + 3111' TW ( -T) ~+2 (wwx) dTII ] .

J=Ü o o 10

Aplicando as desigualdades de Hiilder e Minkowski e o Lema de Imersão de Sobolev, podemos

estimar todos os termos de (3.42), exceto este último para j = 3, da seguinte forma:

ESTIMATIVAS

52

Observe que este último termo já foi essencialmente estimado em (3.38)-(3.40). Com isso,

li " li

) dri <

(1 + )q

para o último termo em (3.36) utilizamos a estimath·a

:3.2 1 c a identidade (3.32) para obtermos

lll W(t-

n· ( (a;z2) d,-1 + a;

lo

+c (1 + T)2 1\l vF

Passemos a estimar agora cada termo de (3.44). Já sabemos que

J11'w L ,.

(ao ") d 11 T ., (~)·2 . :;z- T I -:: c [A! ui J . •o

Para o próximo termo aplicando a regra de Leibniz resulta que

dada pelo

(3.44)

3 ,} ..

li

(3.45)

Para j = 2, 3, 4, usamos as desigualdades de Holder e Minkowski e o Lema de Imersão de

Sobolev para obtermos

(3.46)

Quando j =O, 1 (analogamente j = 5, 6) usamos o efeito regularizante dado pelo Lema 1.2.2

3 PARA A EQUAÇÃO SUPER-KDV

para obtermos

Obserw que. se j =O vale

(t-

<c 11 - '

()

=c (1 + T/ .\4 (

53

li '" +, )- dx.

I

'

X

2 dt) 2 sup

Para J = 1, usando a desigualdade de Holder e o Teorema de Fubiní em (3.47) obtemos

(:349)

Resta estimax agora o último termo de (3.44 ). Começamos empregando a definição da

normal! · 11 3 .2 juntamente com (3.16) para obtermos

Usando as desigualdades de Ho!der e Minkowski e o Lema de Imersão de Sobolev, obtemos

a sequência de estimativas para cada termo de (3.50):

ll

e

I

i i

<

<

~·

'

{ ,.,.p 11

~' 1.1 1

[o .r:

+ 2T~ sup [o.r:

a;zll,

I li !!o

(1T;·ov \ O ~x

l " 7j

2 dxdt).

:"::4Tsupllz

:":: 4T il3sur!i I!L2' [O.Tj

1

1 r' I' IJn rVV (-r) (8!z2

) dr I :":: cT2 ~up llzll~ :":: cT2 sup li o I o :O.Tj [O,T]

Além disso, usando a regra de Leibniz para ~z2 obtemos

sup li [ü,T]

li 12.

54

51)

(3.52)

(3.53)

( 3 . .54)

(3.56)

3 BoA '-A/'-' 'U '-'""' ,, ""'

PARA A EQUAÇÃO

e

o

Vale observar que. para obter

o Lema de Imersão de Sobolev.

item (i) do Lema 1.3.2.

55

< I

+c[ ( -1) ( ~) ,! ;IQ

'(-,-)a,. i O

SUPx

o

i2 dt) ~

< supcoT: llzli; + (IoT 1,-

+cT~ (1 + T/ À3 (w) Às (w)

< cT2 [À 1 ( + cT (1 + T) 2 À3 ( u;) Às (w)

(1+T) 2 ).

. utilizamos as desigualdades de Minkowski e Holder e

(3.57) usa.n1os tan1bén1 o efeito regularizante dado pelo

Finalmente, pelas desigualdades de ~Iinkowski Holder e pelo Lema de Imersão de Sobole\·

obtemos

lll W (-7) (x3~z2 ) d7 (3.58)

::; ~~- f'w(-7) [xS(Bxz. ,a;z)]d71 1l1

+11

11

['H' (xz3~z)d7il I lo 1 o Jo I o

::; T~ (1T I: jxS (élxz .. ,a;zW dxdt) ~ + T~ ([I: jxz[ 2 jél~z\ 2 dxdt) ~

::; cT)'l (w) .\2 (w) + cT~ (1T jxzj~ I: ja;zl 2 dxdt) ~ ::; cT.\ 1 (w).\2 (w) + cTsup (izl 12 + jzj0 ) .\1 (w)

[O,Tj

::; cT.\1 (w) .\2 (w) + cT [.\1 (w)J 2,

onde utilizamos também a desigualdade

[jxzlloo :S [jxzjj, :S llxzilo + llélx (xz)llo :S llxzllo + [jxélxzlio + llzllo = llzllu + llzlio

e a notação 4

S (élxz . .. ,a;z) = :2:>1 (o~z) (o;-iz). j=l

ESTIMATIVAS

56

Colecionando as estimativas (3.44)-(3.58), temos a estimativa para o útimo termo em (3.36)

e con1 isso _,

(1]1 ( I < ó I

+ T)2 )q

+ cT (1 + já

colecionar as estimativas adequadas. Por e o Corolário 3.2.2, temos que

>I

< IIW ~ il o (t ~ T) F

r (t~ F(u)dTI'I .

I L]'N-J 3 (x 2 dx)

De (3.43), temos que

e

11 f' W (t ~ T) (w3xw) dr\1. ::; cD1 (w) À2 (w) + cT2 [À1 (w)]2

liJo !3,2

l1ll W (t ~r) 3x (wz) dr\\3

.

2

::; cDI(wp2 (w) + cT2 [ÀI(w)]2

+ cT~ (1 + T) 2 À1 (w) À3 (w).

Finalmente, colecionando as estimativas (3.50)-(3.58), temos que

::; cTÀ1 (w) À2 (w) + cT2 [Àl (w)f + cT [À1 (w)]2

+ cT~ (1 + T) 2 À3 (w) À5 (w) + cT (1 + T) 2

À3 (w) À5 (w).

De (3.59)-(3.62), segue-se o Lema.

resta apenas

(3 59) . .

(3.60)

(3.61)

(3.62)

3 BOA v'-''-''Pva

PARA A EQUAÇÃO SUPER-KDV 57

Lema 3.2.4

!~i . < c i o 1. -r cT

' I:]

+

+c (1 + + (1 +

equação integral (3.1 e o ítem (i) do Lema 1.3.1 s = te111os que

.x5 (w (U'JJ :s:: lia;1r (t) o t=-' +I a; t lF (t-' ·· X Ly Jo

I -+ii 11

:S:: c 1 o li + ;,axw (t) j, li,S !i

F (u) dTI i

1.3.1 e as desigualdades de Hôlder e c\llnKowSKl

I

' t

ja,w (t) 1 ( -Tl a~ (uàxul d,ll Lç:L}

:S:: lll W ( -T) à~ (wà7 w) dTIIo

:S:: fo'iilt'(-T)à~(wàxwlllod'

< (1T 1: [à~ (waxw)] 2 dxdt) ~

:ST~ (1T 1:[S(àxw. ,à5w)] 2 dxdt)~ 1

+ cT~ (1T 1: w2 (à~w) 2 dxdt)

2

:S:: cT [.X 1 (w)] 2 + cT~ (1 + T) 2 .X3 (w) Às (w),

onde utilizamos também a notação

4

S(àxw, ,a5w) =I:C1 (à~w)(à~-1w). j=l

Para o termo restante, usamos inicialmente a identidade

6

à;z2 = :Lc1 (a~z) (a;-iz) j=O

(3.63)

obtemos

(3.64)

3.3 TEOREMA 3.0.1 58

para obter

(t-

(t- (

+ ila, I,

Usando agora os efeitos regularizantes dados pelos Lemas L3.1 e 1.3.2 e o Lema de Imersão

Sobole,- obtemos

i i " 1' \1 li

(t- 1)

::; 21/zo;z/lvL' + 2//o,zo;z/luu :r T X T

+ 1T /ioxS (U';z, o;z. 84 z) I lo dt

::; 2 (1 + T) 2 .\4 (v:t) .\s (u) + 2T~ (1 + T) 2 .\, (u) .\3 (w)

+ cT [.\1 )]2

.

De (3.63)-(3.66). segue a demonstração do Lema.

A seqüência de Lemas, acima. permite-nos concluir que a aplicação I!J : xr ""' xr dada

por . 1t W-; Clii) = W (t) -;j; + W (t- T) F (w, z) (T) dT . o

está bem definida, isto é, .\f (I!J (w)) < oo para todo O ::; i ::; 5.


De posse dos Lemas anteriores, faremos agora a demonstração do Teorema 3.0.1. Nosso

principal objetivo será mostrar que existem 71 > O, a > O e T = (11 llx,.J > O, tais

que se 19 < 71 então W (XT (a)) Ç XT (a) e W : (a) _, xr (a) é uma contração.

SUPER-KDV 59

uma vez provado isto segue-se, do Teorema do Ponto Fixo de Banach, que existe um único

E que W (U) = e 1! é a solução da equação integra! 1

onde

,, < C:lJo (1 + T)

+c{T+

(1 + < CT)o (1 +

> 1 é un1a constante numérica que

nado a seguir.

Inicialmente. fixamos r; de sorte que

Agora, escolhemos a e T > O tal que

. segue-se que

+

1 f ) -

+c (1 + T) 4

<ry

a= 2c(l +T)ry0 ,

com T satisfazendo

2

e r; será detenni-

(3.69)

(3.70)

? - 1 4c- (1 + TJ"7Jo < 2 (3.71)

Vale observar que, fixando 7J e a como em (3.69)-(3.70), justifica-se a escolha de T como

acima. De fato, como

? - 1 - 1 4c- (1 + T)" 7Jo <- = (1 + T)" < -

8 " ,

2 c-7Jo

então precisamos escolher T > O tal que

Para tanto, basta ver que

DEMONSTRAÇAO DO 3.0.1 60

o que é imediato pois,

< c ? l 1 < bc--- =-<L

16c2 2

De nossas escolhas em 71) resulta que

a = 2 + 2e

e a 3 <-+-=-a. - 2 4 4

Portanto, \V ( w) = w6 (w) E XT (a), desde que

l\Iostremos que \V: XT (a)-+ XT (a) é uma contração. Observe que, para w =(te, z),

p = (p, q) E XT (a) vale

w (w)- w (vJ = fo' w (t- T) [F (vl- F (w)J dT, (3. 73)

onde

(P'J- (wJ (3.74)

= (ax (p2- w 2

) +a; (l- z2) .ax (pq- wz +qw- qw))

( ax [ (p + w) (p - w)] + a; [ (p + w) (p - w)] . ax [ (p + w) (p - w)]) .

Agora, calculamos >-f (\V (w)- \V (p)), para i 1, 2, · · ·, 5 e, em seguida, tomamos o

máximo sobre cada um destes >,f (\V (w)- W (p)). Por exemplo, para

À r (\V (w)- w (p)) = (1 + Tf 2 max \la~ (\V (w) - w (p)) I I L' L= k=O.l li ' X T

temos no caso k = 1 :

3 '-''-'"'"'''-''"'<"'-v LOCAL COM DADO INICIAL PARA A EQUAÇÃO SUPER-KDV

i!

i i :1

i'u~z !! X

:S cT (1 + T)2

sup i lo~ [(p + u:) (p[ü,Tj

:S cT (1 + T)2

sup (IIP + u: fOJj

< cT 11, - '

r ( 1 i L \1!

_;_ .À T ' l

li 111

!I -P

61

As justificativas para obter a sequência de desigualdades acima já são familiares, portanto

não mencionamos. Claramente, os outros dois termos em (3.74) ficam controlados pelo que

fizemos acima. Assim.

(3.76)

De forma análoga, ao que fizemos anteriormente, podemos estimar os demais À[ (w (uJ)- w ('p))

e, em seguida, tomar o máximo sobre cada um deles para obter:

AT (w ( u:)- w CP)) :s: c (1+ T) 4 [AT (uJ) + AT CP)] AT (uJ- P'l :S 2ac (1 + T) 4 li. T (uJ - p)

:S: 4c21Jo (1 + T) 5 (w- p) 1 T . --+

:S :zA (w- P l,

(3.77)

por (3.70)-(3.71). Logo, para valores de como em (3.71) w : XT (a) --+ XT (a) é uma

contração e com isso existe um único uJ E XT (a) tal que W (uJ) = W-; (uJ) = uJ. Para ver que que a aplicação dado inicial-fluxo é Lipschitz, consideramos T0 E (0, T) e

. --+ -+ p E XT (a)' com p (O)= e. Assim,

(t)(o-e)-[ (t-T)[FCp) dT.

SEÇAO 3.3 DEMONSTRAÇÃO TEOREMA 3.0.1

Procedendo agora como em (3.73)-(3.77), obtemos

l)

i --i'

+ I oi

Como consequência de (3.73), temos que

c(l +T)4 [ + < TJo < 1

8, C0111 ISSO.

ou seJa,

y; ~ ___, [11

--+ I' 1'--" --"1' ] li. 0 ( uJ - p) :-:; c0 (1 +To) 11 o 1

1_ + I o - B I

L o I 113.2

= K [li-;- 81 + 111 113J ·

62

(3

(3.80)

onde K > O. Assim, a aplicação <:/; -:::}

c--+ u, de v__, em X 7, é Lipschitz onde V-:;: é uma

"' y

vizinhança de dependente de T0.

próxima etapa consiste em mostrar que E C ([O, T]; H3 (x 2dx)), pois já temos a

continuidade de 71 na norma de H 5 (R). Para tanto, basta ver que 71 é contínua em t =O.

Mostrado isto discutimos as duas situações abaixo que decorrem deste caso.

(i) é contínua à direita de 7 em (0, T] .

Para ver isto, definimos W (x, t) := 71 (x, t + 7), com t E (0, T] e observamos que w satisfaz o PVI

{ fJ,w+fJ~w+F(w)=O, x,tER

w(o)= (7), (3.81)

LOCAL COM DADO INICIAL 63

que é equivalente a (3.1). Como V: é contínua à direita de O. então W é contínua à direita

T.

é contínua à esquerda de T en1

tanto. definamos p t) = T- t) com t E Ti. Observe que está na

n1esn1a classe de está na mesma classe de e satisfaz (3.81). Como p é contínna

à direita O. então é contínua à esqnerda de T.

Retornando ao nosso objetivo inicial. mostremos agora que V: E C (

Considerando a equação integral . temos que

" • I I (t)- ol

1

1 ~ 1.·1 13.2

Empregando a identidade

temos

(t) - I) I +I 11 1

11' b.2 li o

e as propriedades do

(t- T) F

11\V (t) - 6[[32

~ t [(w (t)- I) (xa~6) li o+ ct [6[15

.

J=Ü

(3.82)

(3.83)

De (3.83) e do Lema 3.2.4 segue-se, a partir de (3.82), a continuidade de V: na norma de

H 3 (x 2dx), quando t __, o+ Finalmente, para provar que V: é única em xx vamos ntilizar um argumento iterativo

semelhante ao apresentado no Teorema 4.1 em [KPV4].

Consideremos W outra solução de (3.1), definida no intervalo [O. TI]. onde T1 < T com

AT1 (w) < oo. Suponhamos que w E xx• (ai) para algum a 1 > a = 2c (1 + T) ?)o. com

w E C ([O, T1]; H 5 (IR) n H 3 (x2dx)). Como

por continuidade, existe T2 < T1 tal que

sup. (llw (t)]] 5 + 11111 (t)il 3•2 ) ~a. tE[O,T2)

(3.84)

Pelo fato que W satisfaz a equação integral (3.17), usando (3.84) e substituindo a estimativa

para .\§ (w) resulta que,

(3.85)

com T3 < T2 suficientemente pequeno.

3.3 DO 3.0.1 64

Recorrendo também as estimativas de À; (li') :S a, (j = 4. 5) , obtemos T4 < T3 suficien

temente pequeno tal que

em seguida T5 < T4 suficientemente pequeno tal que

::; a, t E

Portanto. provado que E , para < < T e consequentemente U! = em R x [O, Ts].

segunda etapa, consideramos um novo problema de ponto fixo para o PVI (3.1) na

bola )(Ts (a1). com dado inicial11 (T5 ), e repetimos todas as estimativas feitas para chegar a

urna contração. Em seguida, argu1nentarnos con1o ttcmJ.a para obter a unicidade en1

com > Reaplicando este processo, um número finito de vezes. estendemos a unicidade

nossa solução ao intervalo [O. T]. Vale observar que nas iterações feitas acima a sequencra = 71 ollx. }\ . Tw =

0.3

T10 (li (Ts)l\x5,), · • ·.Tsk = Tsk (\\11 (Ts(k-r))\lxs,) (k:?: 1) nao acumula num tempo

T' < T, pois se isto ocorresse não teríamos T (O) -+ oo, quando () -+ O. De fato, conforme

(3.70)-(3.71) os valores de T que realizam uma contração dependem inversamente da norma

do dado inicial. Assim. se a sequência acima acumulasse antes de T. teríamos

(li li ollx,, .1111 (Ts)lix

5,,, · .1111 (Ts(HJ) llxJ -+ oc,

que é um absudo. Portanto, está provado o Teorema 3,0.1 paras= 5.

A demonstração para o caso geral, s 2 6 inteiro, é feita de maneira semelhante ao que

acabamos de fazer. Basta, para tanto, redefinir as normas À f (uT) e Àg ( w) como

Âf ) := sup ll'i'Z ils • tE[O,TJ

1

ÀI (uT) := sup ( fT IB~+lu:f (x. t)l2 dt) 2

xEIR Jo e reproduzir as estimativas necessárias. Portanto, está completa a demonstração do Teorema

3.0.1.

Avisamos ainda que nosso problema (3.1) é reversível no tempo, isto é, vale o Teorema

3.0.1 no intervalo [-T, T].

3 PARA A EQUAÇAO SUPER-KDV 65

Corolário 3.3.1 Com as hipóteses do Teorema 3. 0.1. temos que existe uma vizinhança V ~

de E H 5 n H 3 > tal que a aplicação o --+ . de em xx. é suave.

Consideremos F = + e definamos H : X xT -+ por

H (-:t: Ui) (t) = (t)- o-

d ~ ' --+ on e ·u = V) e w Observe que H está bem definida e pelo Teorema 3.0.1

H (6. u) =O. Além disso.

( t)) + (t-• F Z)

z) + ! \ ca \}-TJL X 'UZ +

De mane~ra semelhante. podemos calcular a derivada de ordem k de H. com relação a

11 = ( u. v) . o que permite concluir que H é suave.

Para ver que Dv: H (6. 11 ( t)) : xx --+ )(T é invertível primeiro escrevemos

(I- Dv:H) w (t) = -l ~V (t- r) Dv:F (u. v) (w. z) (r) d,-

= -1' VV (t- r) [Dx (uw + z8xv + VOxz. uz + vw)] (r) dr,

onde I : = I d xr e Dv: H : = Dv: H (;;'. 11) ( t) . Em seguida. procedendo como nos Lemas

(3.2.1)-(3.2.5) obtemos estimativas para Àz ((I- Dv:H) w (t)) (i= L···. 5). semelhantes a

todas aquelas obtidas na seção anterior. sendo que agora em função de >..f (17) e Àz (w) .

Por exemplo, vamos estimar alguns termos de

. Àr ((I- D-,;H) w (t)) = (1 + T)-2 max IID~ ((I Dv:H) w (tlliiL2LOO. k=O,l X T

(i) Para k = 1. o termo com derivada mais alta em >..f ((I- Dv:H) (t)) controla-se da

seguinte forma:

3.3 DO TEOREMA 3.0.1

+

:S:c(l+

::; cT (1 + T)2

sup !i(2vxxZ + 4VxxZx + 2VxZxx)ll;r [o. Tj

< crr ( 1 -k-- ,J._ \..!. '

[O.

::; cT (1 + T) 2 sup (li [0. T]

::; cT (1 + T) 2 sup llu [O, T]

66

onde utilizamos o efeito regu!arizante dado pelo item (ii) do Lema L3.L com p = 2 e r= L

(ii) Para ..\r ((I- D-uH) w (t)), vamos estimar apenas o termo 'i/f~ vV (t- r)(uzx) dr\j . I L'iLT

Usando o Lema 1.3.1 temos que

I[ t I' L r W(t-r)(uzx)dr,l )1}0 liL1L~

(3.86)

::; c (1 + T)2 [li [' (-r) (uzx) drj

1

/ + 1

\[ [' W (-r) (uzx) drl/ ] . 1;0 15 1Jo 13,2

Agora,

3 BoA v'-'"-"-' V1H< N-V L''-''~ r'LD ""' '-' "'""

A EQUAÇAO

,, il I,

" li

li < il -li

li

+ 3

j=1

I \a',..! I . ! ~

i 5

dT + a;

o j=O

c J

rt

(t) 8x lo HT (

+c\ i

(85-y , X

(t- dT

+ T~ tc1 i1T [~ (\W1 u/ 2 \8~-1 z\ 2 + \~u\ 2 \8~-1 z) 2 dxdT) l ~. J=l l 0 -X .J

Usando o efeito regularizante, dado pelo Lema 1.3.2, e o Teorema de Fubini, estimamos o

penúltimo termo acima como:

(3.88)

1

:5 T~ (100

sup lul 2 dx) 2

su. p (loc \8~z\ 2 dx) 1

~oo [ü.T] [O.Tj -oc

:::: r1 (1 + T) 2 Af Cu) Ai (w).

Portanto,

3.3 3.0.1 68

( + (1 + T)2 )

Para o segundo termo

para

. combinamos a definição da norma !i com a identidade

li il .I

( _,) • I

(3.90)

3

=I: (-'C) ]=0

< li i i +3

o

Aplicando as desigualdades de Holder e Minkowski e o Lema de Imersão de Sobolev, podemos

estimar todos os termos de (3.90). exceto este último quando j = 3, da seguinte forma:

Observe que este último termo já foi praticamente estimado em (3.87)-(3.89). Com isso,

1/ (' W ( -,-) (~·zx) d,-Jj :::: cnr Cu) >-2 (w) + cT2 >-r Cu) >-r (w) 11)0 li3,2

(3.91)

+ cT~ (1 + T)2 >-I (11) >-f (w)

e, portanto, de (3.86), (3.89) e (3.91) segue-se que

li r' }V (t- ,-) (uzx) d,-l'l . ::; cnf (11) >-f (w) + cTJ (1 + T)2 >-I (11) >-f (w) + cnf (11) À~ (W) 1 lo iL.i,LT

demais estimativas são análogas e portanto não vamos repetir.

3 PARA A EQUAÇAO 69

Após calcularmos todos os >.f ((I- D-uH) vJ (t)) (i = 1, · · ·, .s) e tomarmos o má.ximo

sobre cada um deles, concluímos que para qualquer

:s;Z:(1+

:s; 212 (1 + T) 5

1 <

2

pelas escolhas feitas para a e T em (3.67)-(:3. 72) e o fato que 17 E X 7 (a) . '\Jovamente. c> 1

é uma constante que só depende das estimativas lineares. Assim,

e consequentemente ) = Dv:H E B é inverti vel.

Assim, pelo Teorema da Função Implícita (Teorema 1.4.1). existe C V -vizinhança

de 6 E H' (JR:.) n H 3 (x 2dx)) e uma aplicação h , V ~ X 7 tal que H (u 0 . h (wo)) = O, ou

seJa,

(t- r) F (h (w0 )) (r) dr (t)

é a solução de (3.1) com dado inicial 11' 0 E V e h é suave.

, CAPITULO 4

BOA COLOCAÇAO LOCAL COM DADO

INICIAL QUALQUER PARA EQUA AO

SUPER-KdV

Nosso objetivo neste capítulo é provar um Teorema que fornece boa colocação local (no

tempo) para o PVI

{

8,u + 8;u + u8xu + ~8~v2 =o 8,v+8;v +8x(uv)=O, x,tEIR

u(x,O)=uo(x) ec;(x,O) vo(x),

( 4.1)

desta feita com dado inicial arbitrário. lV1ostraremos, a seguir, que o PVI (4.1) é localmente

bem posto no espaço de Sobolev com peso Xs.ll H 5 (R) n Hll (x 2dx) paras ;::: 15 ( s E N) ,

para um dado inicial arbitrário. Fica claro portanto o preço pago ao retirarmos a hipótese

de pequenez sobre o dado inicial.

]'\ ossa demonstração baseia-se nas idéias apresentadas no trabalho "Local Well- Posedness

for Higher Order Nonlinear Dispersive Systems" de C. E. Kenig and Gigliola Staffilani (ver

[KS]). Neste trabalho, os autores fazem uma combinação entre os efeitos regularizantes do

operador 8, + 8~ e uma mudança de variável adequada para sistemas lineares abstratos. Tal

mudança de variável permite considerar o PVI acima com dado inicial arbitrário.

Os sistemas considerados em [KS] possuem a forma geral estabelecida em (0.2) e os

70

4 A EQUAÇAO SUPER-KDV 71

valores específicos para r e s, nos espaços de Sobolev Xs.r := H 5 (R) n Hr (x2dx), não são

determinados. nosso caso, para o 1). determinamos o melhor expoente inteiro no

resultado de boa colocação a seguli,

Corn as notações estabelecídas nos preliininares provaremos o seguinte Teoren1a:

E então ' existem T > O ( T = T '·")com T qucma.o a_ ---+ e uma

u) do P (4. definido no 1nJ'PrJJn.!'n co-m. satisfazendo:

(i) i1 E C ([0,

(v) Para qualquer To E (0, T) existe [;'0 C ( U0 - vizinhança de ü0 E Xs.ll) tal que a

aplicação 0 r-+ if ( t) , de U0 em yx (classe definida de (i)- (i v)) é Lipschítz.

Faremos a demonstração deste Teorema na última seção. De imediato, na próxima seção,

vamos estabelecer alguns resultados auxiliares. Em seguida, na terceira seção, estudaremos

a equação integral associada a (4.1) e construiremos as estimativas necessárias para provar

o Teorema 4.0.1.

4.1 Resultados Auxiliares - Estimativas Lineares

Com o objetivo de adequar as notações vamos escrever o sistema (4.1) como

{ 8,11 + 8~11 + B (x) a;11 + __ [A (11)- B (x)] a;11 +C ( u, 8x 11) =O

11(x,O) 110 (x), x,tER, (4.2)

onde

(4.3)

4.1 RESULTADOS 72

A parte linear de (4.2) é dada por

+ +B =0

O)= o X, i E

Os resultados a seguir praticamente encontram-se em [KS]. Contudo. faremos as demons-

trações para o nosso caso a importância destes para estabelecer o Teorema 4.0.1. A

Proposicão a seguir estabelece a existência de uma única solução t) = u o

para o problema linear Além disso. tal solução tem propriedades semelhantes as do

problema linear clássico associado a KdV. conhecidas como: a conservação da norma Hs (lR),

os efeitos suavizantes do tipo Koto e uma estimativa para a função maximal sup, lU (t) oi, veja Lema l em

Por reiembramos que afirmar E signífica dizer que u· E z E e

\iU'Ux = 1\wllx + llx ·onde é um espaço de Banach qualquer.

Proposição 4.1.1 SeJa 0 E Hs (IF!?.)nV (R) (s 2: 3. sE N). Então, em qualquer intervalo

de tempo [O, T] existe uma única solução 11 (x,t) = U (t) u 0 (:r) para o PVJ linear

que satisfaz para 1 ~ a ~ s :

(i) (conservação da energia)

(ii) (efeito suavizante)

( iii) (versão dual)

1/aa í 1' , ( ) _,, , ] lj 'I h-+l' su_PI x l8x u t-T, g \· ,T)dT 1. ~csup[,8xg luL'. [O,T]i O IILi h~a x T

(iv) (efeito suavizante não homogêneo)

li r 1' _, li I ( 11 _,I. I' ·_,I, ) 18~ ,a; U(t-T) f(. ,T)dT \ ~c sup 8~f j,

2 +sup f8~f I,,

2 ;

,I L O J liLgoL} h'5:_CJ I LxLT h:;_a ILTLx

(v) (estimativa para a função maximal)

~~~sup j8~U (t) 11 oi ~c 1111 oiiHa+l I [O,TJ Li

onde c= c (liBiiH' , llvoi\L' , T) ·

SUPER-KDV 73

Demonstração: A demonstração desta Proposição será concluida a partir dos três

próximos Lemas. Inicialmente. faremos uso de uma mudança de variável adequada para

e Portanto, Ya1nos em B duas vezes

reduzir a ordem da nP'""'""

diferenciar O "'""c'"a

veJa

respeito a e em seguida denotar por

· Ox será detern1inada posteriormente.

Obtemos assim o novo sistema

Ot 1 + 1 + B3x 2 = Ü

3, 2 +3~w2+[8xBiV1- 1 +B3xM- 1]wa+BA1- 1 8x 3=0

[23xB8xM- 1 + Ba;M- 1 + a;BM- 1 + a;M- 1] w 3+

3+ +

Agora escolhe1nos a matriz

tanto basta tomar

de sorte que o coeficiente do termo

1

8xAr 1 = _:::_BJ'vr 1

3

Usando (4.6) e a representação de B (x) obtemos

= ( -±k1 ~~vo.(x)dx+k3 kr

:= ( f(x) g(x)). h(x) i(x)

3 se anule. Para

(4.6)

(4.7)

onde k1 , k2 , k3 e k4 são constantes, sendo que k1 e k2 não podem ser ambos nulos. Como

se k1 = O devemos ter k2 e k3 não nulos e se k2 = O devemos ter k1 e k4 não nulos. É imediato

que

.. __ 1---.,.(-i(x) h(x) )·· A1lx) = det g(x) -f(x)

(4.8)

para f, g, h e i como em (4.7). Retornando agora ao sistema (4.5) e substituindo (4.6)-(4.8)

obtemos

4.1 AUXILIARES - LINEARES

l 8, l + 1 +B8r 2 - o 8, 2+ 2+ 37

a, 3+ ll T T

3 =o 3"+

e como =( l. 2· 3 ) poden1os representar por

{ 8, I a3w ..L a 4- (x) =0 T X t X

(x, O) = X, tE

onde

o o o o o o o o o o o o o o o o kl Ox Vo k28xt'o

D - o o o o o o o o o o b

1 (kl + 1) a;vo det7,.1_, (k2 + l)o;vo det Ivf

o o o o (k1+l)o;vo k ,(k2 +l)o;vo der. Af

e o o o V o o o o o o o o o

H (x) := o o o o k1vo kzvo

o o o o o o o o o o 1

1 k1k28xvo 1 , k§8xvo det Af detM

o o o o - l , kf8xvo l 1 k1k28xvo det .1\1 det Af

O Lema abaixo garante uma única solução para a equação ( 4.10)

74

(4.10)

(4 1 1\ \ • ..!. J

( 4.12)

Lema 4.1.2 Sejam s 2: 3 e as matrizes H e D verificando IIHis < oo, llél~DIIoo < oo para

Os; i s; s, onde I!HIIs := max1:0:ifS61[hi,JIIs e [[él~DIIoo := maxlSi,J:0:611diJIIoo. Assim, para

qualquer intervalo de tempo [0, T] temos que se

então existe uma única solução (t) := U (t) vt0 (x) de (4.10) tal que vi E C ([O. T], (H5 (JR)) 6)

e satisfaz:

4 COM DADO INICIAL PARA A EQUAÇAO SUPER-KDV 75

(l') 'i\8~ maxo::;1::;s SUP[o.T] ;:_

!l li

<x.

definan1os as normas

" Pi

11 .

. iL'ÇL~.

.. (?i = ma.x (V) f -~:5:2

e o espaço con1pleto

= {v E C ([O r 1 · < x}.

com métrica d, ( p, q) = F CP - q) . Consideremos ainda o operador sobre para

E (H 5 (R))6, dado por

<'Pv;;o (v)= !' (t)w0 + lo W(t-t')P(V'(t'),8x (t')) dt' (tE [O. T]). (4.1:3)

onde {W (t)}tEx é o grupo associado a KdV linear 8,-vJ + 8~-v:J = 0 e

P(v(t),8x (t))=H(x)8x (t)+D(x) (t).

Provemos agora que existe n; (O) := {v E Y': d, (v' õ) :':: T} c Y' tal que

<l'>;;:;o : B; (O) --+ B; (O)

é uma contração nesta bola, para T pequeno.

Inicialmente, vamos mostrar que Y' f 0. Considerando (t) := W (t) W0 temos que

"1/8~ W (t) uT0 IIo "\\8~+1JV (t) w0 \\L:;oL~

e, portanto, Y' f 0.

- !\8~wollo ==;.. Pr (W (t) v;;o) :'::c IJ-violls, < jj8~+1W (t) woliL:;oL} :':: \\8~-v:Jüj\o ==? p~ (VV (t) wo) :'::c jjwo!ls

Agora, consideremos v E Y' e vamos mostrar que <l'>wo : Y' --+ Y' está bem definida.

Como

118~ (H (x) ax v+ D (x) vJIIo dt

LINEARES

temos que:

(a) Para i= O,

IIH !io ::; !iH sup ! dt T

<

(b) Para i= 1

[ llax(H

< + CT~ !I i!

:S CT~ \jH \b

Portanto, para O ::; i ::; s

[1/a~(H(x)ax !I dt< "!'H")!! '!;:,'~'-:-''! i'o o - CTX I (x !is max i,ux : u l!rocL2 <

I Os;r.::;s 1' X '

Para a outra parcela temos:

(a) Quando i= O,

(b) Quando i= 1,

I lo dt::; c IID (xJIIL?' ir li !lo dt : o

::; CT IID (x)llr= sup I! " [D.r)

= CT IID (x)/IL:;o IIIillwri.

[ ll3x (D (x) U) [/ 0 dt ::; [ ll3xD (x) U// 0 dt + [ [[D (x) Ox 11[[0 dt

Portanto, para O ::; i ::; s

::; CT [[oxD (x)\b li v llri"Li + CT 1/D (x )llv;c llox Iilbri

ScTmaxi/o~D(x)l/r=ll llr=H'· t=Ü,l I x 7 x

76

( 4 14)

4 BOA vu'LV'-'""'"''"'v LOCAL COM DADO INICIAL PARA A EQUAÇÃO SUPER-KDV

?) dt < cT max llo:D - 0::;1:S:s- ' ~

. ten1os que

! s; c !s + I' + cT max ii&~D

O:S;i:Ss

Passemos agora a estimativa de

Temos que

I' CJi+l- I_,' I' liux <flwo \c) I < I ai+'H' lt) v;roll - X \ ! L'Ç' L;

+ [11o~"" 1 Fl(t-t')P(8xll, llv;'L'dt'

s; c I lo~ v;rollo +c [ llo~P (Bx 'l!) li Li dt

:S c !l'w0 ll 1 + C17

llo~P (ox U, tx dt Ü X

e, com isso, pelo que fizemos acima vale

I 1'"1D( )" 1'--*11 T CT ID?-X iVx \X JILoo I V L=Hs · O$t:Ss 1 x "" x

Assim.

~~ I I

( 4.16)

4.1

Conseq uentemente,

<c\\ --r:

Agora escolhemos a

e escolhamos

nossas escolhas: se

H , 11 0iD ~ cT max i! x

o:s;i:s;s "

B; Seja T E [O, tal que

.• , 'I 1 CT max ii8;D i'Loc :'S -,

O<i<;; '' ,~ 'o: 4

CT~ [[H (x)lls :'S ~

r= I' li

li , I i 5

E B; então

') r , r , r ! < - -r - -r - = r.

- 2 4 4

mostrando assim que W-wo : B; --+ B;.

78

1

<x.

Para ver que W-wo : B; --+ B; é urna contração, basta considerar 1 , v 2 E B; e utí!ízar

as escolhas acima para obtermos

+ cr rnax //o~D (x)IIL= o::;z:s;s '1 X

(--+ --+ ) -vl- 1./2

1 rr (--" --+ ' s; 2 v 1 - v 2) '

Com consequêncía, existe um único w E B; tal que <l>-wo (w) - w. Conforme [KPV3]

podemos mostrar que w é a única solução na classe C ([0, ; (H 8 (R) )6) , com w satisfazendo

(i)-(ii) (ver demonstração do Teorema 3.0.1).

Mostremos agora que W pode ser estendida ao intervalo [0, T]. Seja w (r)= p 1 (O) E

(H' (R))6. Considerando outro problema de ponto fixo em B;,, com r1 = 2c /1 (r)/!H' e

sabendo que r só depende de li H (x)ils e II8~D (x)IIL:;:o concluímos que existe urna única

solução p 1 E C([O,r];H8 (R)) 6 para (4.10) satisfazendo (í)-(ii). Portanto colando estas

soluções temos que para t E [O, 2r]

(t), tE [O,r]

pr(t-r), tE[r,2r]

SUPER-KDV 79

é solução de (4,10) em [0, 2T], Após um número finito de passos concluímos que existe

un1a solução em T] satisfazendo '\ovamente, usando um argumento

semelhante ao utilizado em iKPV3! L J na

c > e satisfaz 111

Vale < :x:;, então quando i = O fica claro

que devemos ter s ?: 3, Portanto, pelo Lema que acabamos de provar concíuir a

primeira parte da Proposição 4,LL Ou seja, como o PVI (4,10) é bem posto em (H 5 (R)) 6

paras ?: 3, então o (4A) é bem posto em H 5 (R) n L 1 (R) paras ?: 3, Como é a

solução forte de , que é dada pela tripla

t) = t) o 2 3 t)) =

então a solução de (x, t) = U 0 , é a primeira coordenada de

tanto basta ver que da primeira linha da equação 10) obtemos

{ 3, Wr + 3~v;r + vo3xz2 = O

él,zr + 3~zr = O

= { 3,u + 3~u .. + v0 é!';v = O

3.v + 33v =O ' X

EPu T .

{3 ---+ 33 -" -'- B I ) 32 ---+ 0 {:=::} t '/.1. + X U 1 \X X 1..1 = 1

onde wl = (wl,zi) e w2 = (w2:z2)·

~t). Para

Para provar os efeitos regularizantes (i)-(v), da Proposição 4,L L para u (x, t) = U (t) u 0 (x)

precisamos de mais dois Lemas, O primeiro deles estabelece o seguinte:

Lema 4.1.3 SeJa (x. t) = U (t) u0 (x) a única solução do PVI (4,4), dada pelo Lema

anterior, Então, para cada h E NU {O} valem:

(i)

onde Uh (t) v 0 é a solução do PVI

{ ~v+. 8~v~A2(x. )33cv+Aí(x)élxu+A0 (x) v (x, O)= v 0 (x), x, tE lR

e os Ai (x) (i= O, 1, 2) são combinações lineares de 3IB (x) para j

=0

O, L , h:

(li)

(iii)

4.1

onde c= c ( '

•I

llsup [C li

o

- ESTIMATIVAS LINEARES

o ) IILx. T), para j = 0,1, .... h

r li c:; c I: l!xia;; il L1 i=O.l

j=0 .... ,5

oi I

onde c= c (l[x'a;.B (x)liL=. T), para i= O, 1 e j =O. L ... , 5.

80

Demonstração: Para o item , basta diferenciar o sistema

a. x e utilizar o fato que o é a única solução de

h vezes com respeito

O caso h= O é

óbvio, com ."b = B

Quando h = 1 derivando com respeito a x e denotando por

ou seja,

{ 8, (a, 11) +a; (ax 11) + axB ax (ax

ax (x,O)=ax11o , x,tE

{ a, v+ a1v +Ar (x) ax 1J +ih (x) a;11 =o ax u (x, O) =v (x, O), x, t E IH:

onde Ar (x) = axB (x) e A2 (x) B (x).

Quando h = 2 denotando por C))-+ b := u; u o temos

:=a,. obtemos

=0

{ a, (a;11) +a~ W;11) + a;B (x) a;11 + 2axB (x) ax (o;u) + B (x) a; (a;11) =O

o;u (x,O) = a;'110 (x) = x,t E lR,

isto é,

{ a, + a~?J +Ao (x) 71+ Ar (x) ax 11 + A2 (x)8;11 =O

a,;'11 (x, 0) = (x, 0), x, t E 1Ft

onde Ao (x) = a;B (x), Ar (x) = 28xB (x) e A2 (x) = B (x). Por indução, temos a conclusão

do item (i).

Para o item (ii), vamos supor primeiro que h= O. Definindo 11 (x, t) = xU (t) 0 (x) e

usando o PVI ( 4.4) temos que 71 ( x, t) resolve o PVI

{ a, -+(I-+(' v ,x,01 =xu0 X), x,tER.

+ 8~11 = [-xB (x) + 3] a;u (t) 11 o (x)

SUPER-KDV 81

Considerando agora h= 1 e definindo 1 (x, t) := xoxU (t) 0 (x) = xU1 (t) Ox u 0 (x) (pelo

iten1 anterior) te1nos que t) resolve o

Por indução.

que h t)

Portanto.

h

. O)=

) + 31 a~u~

X. tE

h E l\l. definindo h , t) := u o

o

• "3 -:-1 _ : B hTUxCh-L-X

, 31 "2r- ( ) e>h.,-" T JUxUh t Ux U.o

{ o, 1J h (x. 0) = xa;u~ (x), x. tE

_,(x)) -l .. \L- + 3] a;r.Jn

o ten1os

o (x))

onde W (t) t: (x) é a solução da KdV linear com data inicial

da energia para o grupo {VF ( t)} obtemos

Usando agora a conservação

llv\ (x, t)ilvpL;' :s; 11 (t) (xo~Uo (xl)ilqn;'

+ fT IIW (t- n [-xB (x) + 3]o;uh (t') (o~ u o (x)) t=u dt' lo T x

:s; c]]xa;uo(xJIIL' +c ( 11-xB(x) +3llv;" ]]o;uh(t') (o~uo(xl)li dt' - Jo :s; c ]]xo~Uo (x)]]Li + cT 11-xB (x) + 3IIL-;c l]o~~2 uo (x)]]Li

:S c (llx8~Uo (xJ]IL; + 11 no (x)IIHh+').

onde c= c (T, lixE (x)IILi'). Para o item (iii), procedemos como na primeira parte do Lema 3.Ll, do capítulo anterior.

Observe que pelo Teorema do Valor '\Iédio para integrais de Bochner existe t 0 E (0, T) , tal

que

U(to)uo= .~ 1x U(t)uodt.

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo podemos escrever,

U (t) o = U (to)

4.1

Portanto,

lU oi + {T lo o] I

Integrando em x. usando o Teorema de e o que U 0 é a .solução

obtenos

iU oi < lU o! +c J'x iéJ3U -x • x Oj

+cfr{ Lxx IB 8 2U (t) 0 1, dxdt . . T \ '

Agora, para estimar cada termo do segundo membro acima usamos a desigualdade

e o item deste Lema para obtermos

:S c (IIU (t) oiiLf'L~ + ilxU

+c (Jio~U (t) u ollupL~ + /jxfJ~U (t) o//Lf'L~)

82

+c (IIB (x)llqc Jj8;u (t) 11oj/Lf'Lª + llxB (x)llu;" //o;u (t) oi/Lf'Ll.)

:S c(j[11ollw + llx11ollul +c (ll11ollw + llxéí~uollp)

+c (IIB (x)IIL~ +lixE (x)IIL~) iluoiiH'

:S c (1111 oi[H, + /lx8~11 o//L,) <c '\:""""' lilx'oi - L...t I X

i=O,l j=0, ... ,5

onde c= c ( T.jjxi8IB (x) li L~) , (i = O, 1 e j = O, L . , 5).

Vale observar que a penúltima desigualdade acima é mais fina, contudo precisamos uti

lizar esta última, veja (4.56)-(4.59). Avisamos também que na demonstração anterior já

utilizamos a conservação da norma H5 para U (t) 110 , que será provada no próximo Lema.

Conforme veremos, tal propriedade só depende dos itens (i)-(ii) do Lema anterior (que já

foram provados) e das propriedades do grupo da KdV. Destacamos ainda que este último

Lema também é válido para a solução w (x, t) = U (t) w0 (x) de (4.10) onde

4 LOCAL COM u.,.,.vv INICIAL A EQUAÇAO SUPER-KDV 83

.U

o U(t)Dx o

Para completar a demonstração da Proposição 4.1. L provaremos agora os efeitos regu-

larizantes (i)-(v) para a solução

seguinte Lema:

t) = u (t) (x) de (4.10). Neste sentido. temos o

Lema 4.1.4 Seya t) = U(t) ) uma solução de 1 O), dada pelo Lema 4 Então valem as propriedades (v) da Proposição 4.1.1 para tal solução.

Demonstração: ::\as demonstrações a seguir, faremos uso com naturalidade dos efeitos

regularizantes do grupo da KdV e dos lemas anteriores. Para o item (ii), com a= O, temos

]\oxU (t) v:;o (x)\\L?L~ :S \\8xW (t) v:;o (x)\\L?L~ ( 4.18)

+ 1\ax [ n· (t- t') H (x) DxU (t) w0 (x) dt'IIL?L~

+ [\ax lt. W (t- t') D (x) U (t) w0 (x) dt'li o IIL~L~

::; c l\w0 (x)\\Li +c [\\H (x) 8xU (t) w0 (x)\\L;, dt

+ cj7

1\D (x) U (t) W0 (x)I\E dt o •

:S c \\w 0 (x)\\u + cr~ IIH (x)llo \\DxU (t) W0 (x)\\LxL' X X T

+ cr IID (x)IILi" \\U (t) W0 (x)\\L;:oL~.

4.1 -ESTIMATIVAS LINEARES

Agora,

Escolhendo r pequeno. T

obtemos

< w !:

T W(t - H d(l! li L?=

+ .. '" D ) G" a, \I - dt'

:Sei! IE+c rijH(x)BxU(t) · Jo +c [ jjD(x)U(t)w0 i[qdt

:s; c n + ll p

( t)

+cT

T (x)[\ 0 , '1!D \\Lço), e substituindo

j[BxU (t) v:;o (x)[[LgcL~ :S c (1/H (xJilo iiD (x)IILgc) [[w0 (xJIIo

Levando este resultado em (4.19) temos que

I lU (tJ

dt

19) em

84

19)

(4.20)

( 4.21)

Portanto, está provado (i) e (ii) para u = O. Tomando agora u = 1 e usando o item (i) do

lema anterior obtemos

j]8x (8xU (t) W0 (x)) /[LgcL; = jJ8xU, (t) Bx W0 (x)[jr..gcL~ (4.22)

:S c(f/B~H(xJflo· liB~D(x)[[Lgc) [/Bxw0 (x)j[ 0

:S: c (IIB~H (xJIIo · 1/B~D (x)[[Lgc) [jwo (xlllr •

para i =O, l.

Analogamente,

(4.23)

para i =O, 1. Uma prova por indução fornece (i) e (ii) para todo u 2: 1.

4 PARA A EQUAÇÃO SUPER-KDV 85

Para o item (iii) tomando inicialmente a = O e procedendo como no Teorema 3.5 em

[KPV3] L3.2 - Preliminares) precisamos mostrar apenas que

::; c !I ' !'

que é exatamente a versão dual de (4.21). Considerando a= 1 e usando o item (i) do Lema

anterior podemos escrever

i [)"i[)

.L I X

L

l'sando agora o passo inicial (a= O) temos que

Por indução. para um a E N, qualquer prova-se que

d(

1

1· 11[)~ lr Ox 1' U (t- t') g (-, t') dt'] I' I ::; csup llo~!/IIEL' . O 'L=L2 h<ry ~ T ,I T x -

Para o item (iv) utilizaremos novamente os argumentos utilizados acima. Quando a= O

temos

4.1 86

r

(t-t' -s) \H(x)oxU(s-'

~

f

(t-t'- [D U (()li\ L goL}

r I ......-;. 3xf.; (s - t) f I

I L1L}

(t')l'l . dt' I LiL}

:S clj7jl.,. 2 +c\IH(x)ll Lxj_,T

1r jjoxU (s) U ( -t') f (t') j

I'D(.)jl lrl,.!)'"( ,,~f.')ll +C i X ,L' \V ,s u -t} (t 1.1 X o i i,L,iL}

11--+11 -+I I' :Scllf ·1· "+cT\\H(x)\lu f . +cTjjD(x)llu I i LlLy X L_i,Ly X i

11 11 <c! ' . - I I'L'L2

• X T

onde c= c (r, \\H (x)\\Là, \\D (x)IIL;,). Concluímos a demonstração para a E N qualquer

usando um argumento de indução e os resultados já estabelecidos.

Por fim, para estimar a função maximal fazemos uso do Lema (3.29) em [KPV3] para

obter

[]U <

<

SUPER-KDV

li !i

( t) \ \

I "T

+ l}o (t

c j i l

+c ri[H lo

'i !

- [H 0 T' Oxv

'lt dt +c "

:S c [[w0 (x)[[ 1 +cT~ IIH (x) ilxU (t)

+cT[ID(x)U

:Se

+ CT li

11 ' ill --:-

iiL;c' U (t)

i[.,(í=O~l) '' l

INICIAL QU

~ D r r

!i d" i i 1 -L

87

onde c= c (T. llil~H (x)IIL;co .lliJ~D li L:?) . A demonstração para o caso u 2: L segue-se

por indução com o uso do item (i) do Lema 4.1.2. 1111

Finalmente, para conciuir a demonstração da Proposição 4. 1.1 resta estabelecer os efeitos

regularizantes para a solução U: (x, t) = U (t) U:0 (x) de (4.4). Isto é imediato pois, como

bem sabemos, U: (x, t) é a primeira coordenada da tripla

w (x, t) = (U (t) V!~ (x), U (t) w~ (x), U (t) wg (x))

= (U(t) o(x), U(t)ox o(x), U(t)M(x)o;U: 0 (x)),

que é solução de (4.10). Portanto está completa a demonstração da Proposição 4.1.1. 1111


Com o auxílio dos resultados anteriores, estabeleceremos agora as estimativas necessárias

para provar o Teorema 4.0.1.

Conforme já vimos, o sistema (4.1) pode ser reescrito corno

4.2 A 88

{ + +B + o X, tE

+C =Ü

e sua versã.o integral é

t) = u o+ c (t- { ) - B

Provaremos o Teorema 4.0.1 apenas o caso paras= 15, que corresponde ao índice de Sobolev

mais baixo. demonstração para o caso geral (s 2: 16 inteiro) é análoga. veja observação

finaL

onde =

e seJa

. Definamos as nonnas:

TI~) 1'--0'1 * f-ll \ u· = !I u; I:L'pH;s:

.. fl~ (w) = sup llu;+l h:S:15

e un1a

!! li .

IIL=L2 ' x T

" Ax (w) = max_ fli (w) . t=l, .. .,;)

Consideremos também os espaços de Banach

• yx = {w E C ([O,T]; X 15); Ax(w) < oo},

X

e YT(a) = {w E yx Ax(W) :S: a com W(x,O) = 11o(x)}

e o operador ação sobre yx dado por

4 BOA A EQUAÇAO SUPER-KDV 89

=L~ o-r F f· • { r;\t-T) -B

Conforme o Corolário 1.1.3 se 0 E H 15 então 0 E H 15 ) i't L 1

Proposição 4. L L concluímos que t) = u os efeitos regularizantes Consequentemente yr i 0.

estimativas a seguir fica claro a necessidade de trabalharmos nos espaços de Sobolev

com peso, onde utilizaremos o Lema 4. 1.3. Isto ocorre justamente quando precisamos estimar

a norma L1 (IR) da função maximal supio.r] ]8,U (t) 11 oi- Nos próximos Lemas, vamos estimar

( \jJ ( u)) . (i = L 2 .... , 5) . em função de Ar . tais estimativas praticamente provam o

nossas hipóteses são o E e

EYT

A exemplo do que fizemos no capítulo anterior trabalharemos com a norma

+ :l8~fllo ·

que é equivalente a norma usual e controlaremos a norma de qualquer coordenada do vetor

vJ = (u.z) pela norma do vetor vJ. Por fim, relembramos que afirmar vJ = (w,z) E X

significa dizer que w E X, z E X e 111ifllx = llwllx + l!zllx, onde X é um espaço de Banach

qualquer.

Lema 4.2.1

.ui (\li (vJ))

:S:: c 1/11 oiiH'' + cT,uf (vJ) ,uf (vJ) + cT1 [.uT (1if)] 2 + cT~ (.uT (vJ) + 1111 o\IH15) .uT (vJ)

+ cT! (,ui (1if) + il11o\lws) ,uf (vJ) + cT (llvoi\H; +.ui ( wl) ,u"[ (vJ) + cT [,ui (1if)] 2

:S:: c li u oi IH''+ c ( T + y!) [(Ar Cüi)) + 1111 ollwsl Ar (ui).

Demonstração: Neste Lema faremos uso da desigualdade de Hi:ilder e dos itens (i) e

(iii) da Proposição 4.1.1. Como

então, por ( 4.28) temos para a derivada mais alta:

4.2

\i, i!

< o\\

+ u (t- c

<c li - . ,1· , • 11 0]4

o i HlS T c li :r

<I' - d li éJ;:' . ~

m+n=l4

A

ur,t-T\{ . \ -B

L' T

:=c 11 oiiH15 +c L Imn +c L lm.n +c L Kmn· m+n=14 m+n=l4 m+n=l4

90

Vamos analisar separadamente os três últimos termos da desigualdade acima. Na verdade,

o último termo controla-se da mesma forma que o terceiro. Para cada um destes. vamos

considerar três casos. Temos para o primeiro termo:

IQ Caso: Se O::::; m::::; 3 e n > lL então

Im.n =[[à;' (z- vo) (o~+2 z)[[L1 L} ( 4.30)

::::; c max llà;' (z- v0 )JIL'L= max [Jà;+2zjJL=L' m=D,L2,3 x T ll<n:s;l4 'x T

Vale observar que para estimar I! à;' (z- v0 )IIL~L:p• primeiro usamos o Teorema Fundamental

do Cálculo para escrever

à;' (z- vo) =[ar [éJ;' (z- v0 ) (T)] dT. ( 4.31)

4 BOA '-''-'.lc'JviH<l''-'-' L,v,~R.L COM DADO INICIAL PARA A EQUAÇAO SUPER-KDV

Em seguida, a desigualdade de Holder para obter

!l8m il X

2Q Caso: Se 1 :S m :S 13 e O < n :S 11. então

l :S cT2 max

l:Sm:Sl3

3Q Caso: Sem= 14 e n =O, então

(z-

114 o = l\3~ 4 (z- vo) (3;z) !IL1L}

l < T" li Cól4 I - , )\1 I' Cl2,'í -C - ilux \ 2 0 0 :LÇOLT l[u:r--IILiLT

l

:S cT2 (ILT (cu:T) + 1111 o li H~') JL{ (w).

dT dx

Das desigualdades (4.30), (4.33) e (4.34) segue-se que, V m + n = 14 vale

l

Im.n :S cTJLT(W) JL[ (cu:T) + cT2(JLf (w) + il ollws) /L f( l

+cT2 (JLT ( w) + 11 ol1H1s) JL[ (w).

Para o termo Jm.n temos:

lQ Caso: Se m = 13, 14 e n =O. 1 ou m =O. 1 e n = 13, 14 temos

J ·- '\ ("m+l-t) ("n+l-t) \I m,n .- i ux u; ux 'U.i iLlL2 x T

< cT max \'3 3m+l - m=O,l I t- x

91

(4.34)

(4.3.5)

( 4.36)

4.2 A

2º Caso: Se O :S m. n :S 12 temos

I'

='I <

-+) (d·~n~1 u· . \ X

max li 0:S:m:Sl2'

De (4.36)-( 4.37) temos que V m + n = 14 vale

iten1

:S IIU(t)uo\',L=L' + f'IIU(t-T){ (uT)-B(x)]o;w +C}(TJIIL=udT T x } 0 T X

S c liuoiiLg + c [11 {[A (w)- B (x)] o;w +C} (T)j\Lg dT

:Scil ollr;+ cTjj{[A(w)-B(x)]o;w+C}(TJIIr;prg

:'Ô c (ju oliri + cT lj (z- vo) o;zjjL=L' + cT l1' (3x W)2

11' I T X ! LTL~

:S c iiu oi lu + cT (li X

Colecionando agora as estimativas (4.29), (4.35), (4.38) e (4.39) temos o Lema.

Lema 4.2.2

/Lr ('i' (w)) < c li oiiH'' + cT~ (11I (W) + ii oiiH") 11r (w)

+cT~ (!Lr (w) + !lu oi IH'') 11I (w) + cT~ 11r (w) 11I (w)

92

( 4.39)

< c iluo!IH'' + cT~ (AT + il o!IHls) AT (w) + cT~ (w)]2

.

4 PARA A EQUAÇAO SUPER-KDV

Demonstração: Para estimar

= sup JJa~+'w 11 h::;l5

vamos considerar apenas o caso h = 15, que corresponde a derivada mais alta, Temos

''a16r' ( ) ~ 11 ::; li X L' t 'UOiiL=L~ . x T

+ 1Ja;6 [ U(t -T) {

'i ""11

li { 2 a, u (t- { -B a2c-+ , C}

,TV) I '

~cll oiiH15+cJJa;" B )a;u +C(tJ]t~q

+c JJa;" [(.4 (w)- B (x)) a;w (t) +c (t)] llv}Li

~c lllioiiHl5 +c 11a;4 [(A (w) B (x)) a;w (t) +c (t)] IILbL}

+ cT~ 1Jo;4 [(A ( w)- B (x)) a;w (t) +c (tJ]IIqL~

~c!ilioiiHldc L IJa;(z-vo)B;"'2zllvL' +cJJa;"c(t)Jiuu x T ~x T

m+n=14

l

+cT2 Jla~n (z- vo) a;+2zi1L;L} + cT~ L li C (t)IIL;L} m+n=14 m+n=l4

11 "'m ( , \ "'n+2 _ ·il -" Ji CJ14C rt) 11 llux z- Vo; ux "'"":iLlL:L I c lux \ livL2r. X X X

m+n=14 l

+ cT2 m+n=14 m+n=l4

93

onde utilizamos as estimativas (iii) e (v) da Proposição 4,Ll e a desigualdade de HiildeL

Observe agora que na desigualdade acima precisamos estimar apenas os dois últimos termos,

pois na estimativa de 11f (\li (w)) já apareceram os demais, Estimaremos portanto

J ,_!'Iam(- Oi·) (an+2-) 11 e K ._ 11 (am+lc;;t) (an+lc;;T\ 11 m,n .- i x 4 - '-'0 x ,:. i I Li L} m,n .- ! x u..- x u.:) I LiL} ·

Para cada termo acima vamos considerar dois casos, Ternos para o primeiro termo:

Iº' Caso: Se O~ m ~ 13 e O< n ~ 14, então

4.2

De e

<c max - o:s;m:Sl3

A

li -r i! o

Se m_. = 14 e n =O. então

)

. segue-se que ·7 m + n = 14 te1nos

INTEGRAL

+ 11 o

Para o termo Km.n temos:

12 Caso: Se O :5 m :5 12 e 1 < n :5 14. então

K < ma- lléJm+l.,.-! li lléJn+l m.n - c X I X u; IL2LOC max X O::::;m.s;_12 x T l<nS:l4 '!

2Q Caso: Se m = 13, 14 e n = O, 1. então

De (4.44) e (4.45) temos que V m + n = 14 vale

A demonstração do Lema segue-se das estimativas (4.40), (4.43) e (4.46).

94

( 4 4• ?' \ -· -)

( 4.44)

( 4.45)

(4.46)

Lema 4.2.3

) < cl •- I

+ ii o

Lll +cT

Para estimar

DADO INICIAL

+

+ cT ( (1J:!) + 11 ol!x, .11

)\

•

T 1

vamos tratar inicialmente o caso i= 1 e h= O, que corresponde a analisar JJsup10.11

Observe que

l'éJ .T. (---!)I' ii t~ 1L IL1LT

I' t I ::; I[8,U (t) oliL1Ly + 1118,1 u (t- T) [A (w)- B (x)] a;w (T) dT i O LlL::'?

• 1

1

1 1' I' +181 U(t-r)C(r)drjl . I o !LlLJ?

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, podemos escrever

a,[u (t- r) [A (w)- B (x)J a;w (r) dr = (w)- B (x)] a;:u:t (t)

95

2

I

( 4.47)

( 4.48)

+ [a,u(t-r)[A(w)-B(x)]a;w(r)dr

e

8, lU (t- r) C (w, 8x w) (r) dr = C (w, 8x w) (t) + l a,U (t- r) C (w, 8x w) (r) dr.

( 4.49)

Do problema linear ( 4.4) temos que

a,u (t) uo =- (a;u (t) ua + B (x) a;u (t) o). ( 4.50)

Portanto, levando (4.50) em (4.48) e (4.49), obtemos

4.2 A INTEGRAL 96

(t- <) -B

ít-.. ) - B

B c (t- -B

e

C r-:-+ a ' 't' \W, X ji1 )

a;u (t- c )

a;u (t- c

Substituindo (4.50), (4.51) e (4.-52) em (4.47) obtemos

l·a w r-:-+, 'I i t \ U') I LàLT ( 4.53)

:"::c (Jja;u (t) li o+ B (x) a;u (t) v o\]L~Lf')

+c li [A. (w) - B (x )la; uJ li Ll L= +c li C ( 1L'' ax w) IILlL= ' J I X T ' ' X T

+c 11 r'a~u (t- <)[A (w)- B (x)J a;-w (<) d'li' d}O i Li:L'f

+c [I' f'B (x) 3~U (t- <)[A ( w)- B (x)]fJ;w (t) d,!/ lo liuL= x T

+c/'ll f' {a;u(t-<)C(w.axw)(<)+B(x)fJ;u(t-<)C(zr,axw)(<)}d<[l_ . lo ÍLiLf'

Fazendo uso dos itens (i) e (iii) do Lema 4.1.3 temos que

lla3rr (t)--+ ij -'I" (t) "3 --" jl xv UoiL}Ly-LG·3 uxuoÍL}LT

<c '""' li'xiéJ1.+317 '1. - L....t x 01 Li i=O.l

j=0, ... ,5

=c L llxia~lio]l i=Ü.l

j=0 ... .,8

( 4.54)

4 BOA DADO INICIAL PARA A EQUAÇAO SUPER-KDV

e

Assim.

j=O,l, .. ,8

<_ c·T '\""' 1 j Ti ~J LA I ..v ux

:S cT

i=O.l J=O,l .... 8

i=O,l m~n=j=O.l. ... 8

i=O,l j=O, ,,c

=co L D!Í í=O.l

j=O. ···'

dT

(t) !Ir; dt

l t jj3~U (t- T) C (T)ÍÍvL= dT :S clT Q x T Ü

i=O.l j=O,l. ... 7

:s; cT i=O.l

m+n=j=O . ... 7

O,

Para o termo

ij'4 (-+) B ( )] 02-+j1 1jr , ~2 " I l~ u: - ,X x 1.D i -lLoc = ! lz- Voj uxZI!L'L='

ILx T I ,I x T

97

( 4.57)

em (4.53), utilizamos a desigualdade de Holder, o Lema de Imersão de Sobolev e (4.32) com

m = O para obter:

4.2 A

sup [o .r;

INTEGRAL

< sup lz- vol sup zl dx

:S supsup I fO,T: X

:S cT

< cTWW - !i

[O.T]

, .I sup JZ- v0

98

posse das estin1ativas acin1a retornemos agora a desigualdade

( 4.56)-( 4.58) obtemos

Após substituir

"3 •T• (~''I li t'i: W)IL1LT

i=O.l j=0.1.. ... 8

i=O.l ]=0.1.. .. ,8

' T '1_,1' 118 _,,1 ' c i, 1)) ,I L= 1f3 \ tu: I L1 L?5' T :z: x 1

i=O.l j=O.l. ... 7

:S c ll1follx,, + cT11f (W) 11f (W) + cT (llf (w) + ll1foiiHs) 11f (W)

dt

+ cT (11J (w) + 1117 oiiH'(x'dx)) 11f (w) + cT [11f (w) r+ cT 11J (W) 11f (li').

( 4.59)

Os termos com derivadas superiores são estimados de forma semelhante ao que fizemos acima.

Por exemplo: para h 3 temos

33 r a u (t) X [ t

Com isso,

o]= -3~ [a~U(t)"'iia+B(x)a;u(t)"'iio]

=- (3~U(t)U'0 +3; [B(x)B;U(t)U'o])

= -a~u (t) U'o- c I: (o;;'B (x)) (a~+2u (t) Li o). m+n=3

(4.60)

li ( '\ J; oi I

LOCAL COM DADO INICIAL

= 11

<c

=C

i=O.l )=0 .... 11

< cji - '

o]

pelo itens (i) e (iii) do Lema 1.1.3,

a escolha do espaço con1 peso H 11

Para o segundo tenno en1 ) quando m = 3 e n = O, por exemplo, temos

'' "3B [IUx (o;u (t) no) t~L'f :S c i!a;B Jt;co i(Uz (t) a;uo!ILlL'f :S c L llxia~+zu oi I L~

i=O.l j=0 .... ,5

=c L ll,x1aiu ollu X

i=O.l j=O, .. 7

'I_, I' :S c I no lx,,,, '

onde utilizamos mais uma vez os itens (i) e (iii) do Lema 4,1.3, Portanto,

e

:S cT

llx'a~ [(z- va) a;zJ (tJIIu dt X

i=O.l 1~o,""ll

i=O.l m+n=j=O ... ,11

11 iCJm ( ) (,)li 'l'o:>n+2 (t)"

X ux Z- Vo ,t I L=L2 .lux Z iiL=L= T X ' I T x

< T ( T r->) , li_, I' ) T ,_,) , T ( T (__,) , I'-+ ,, ) T 1---+) _c p 1 \ W ,- U o \Hll p 1 ( w -r- c p 5 W I i U- oliHll(x2dx) /-11 \ W

99

( 4,62)

( 4,63)

4.2 A

(t- c <

< cT

<

Consequentemente.

i=0-1 j=O.l .... ll

r,r I t-N' ' '

I!

100

li li li

(4.65)

+ o

Finalmente. as estimativas do caso i = O para

11f (w (uT)) = max sup la;a~w ( u')l h~o. 1.2.3 •o Ti

i=O,l l ' '

\ T ) !1 i

L' X

são facilmente controladas pelo que acabamos de fazer. Portanto. temos o Lema.

Lema 4.2.4

11I ('lf (uJ)):::; C l\1f o[\Hl4 + cT~ !1~ (uJ) 11r (uJ) + cT~ (!1~ (w) +I lu oiiH14) 11I (w)

+ cT~ (11I (w) + il1i ollw,) 11~ (w)

:::; c 1117 o li H'' + cT~ [Ar (w)f + cT~ (Ar (w) + 111i oiiH14) Ar (w).


!lr (w (w)) = sup l[sup 18~'1' (w)rl11

h:s;1311[0,T] IL2 • X

basta ver o caso h = 13, que corresponde a analisar 11a;3 w (w) 1\L~Lr. Temos então.

111

4 BOA Y\..JUU\__,ft'y.f'V

PARA A EQUAÇAO SUPER-KDV

::; c li

<c!! - li

L: li m+n=l4

-B

-B

'I I,

i= cil ' L lm.n + cT~

m+n=l4

+

+

m.+n=l4

onde utilizamos a desigualdade de Holder e os itens (i) e

101

} i i ]I L: L= dT '' x T

J))

da Proposição 4.1.1. Para

estimar os termos acima procedemos como nos casos anteriores, onde dividimos a estimativa

de cada termo em dois casos. Para o termo lm.n temos1

1º- Caso: Se O :S m :S 13 e O< n :S 14, então

J l'àm( '("n-'-2)1' m,n := I x Z- Vo) ux Z iL2L2 ' x T

pelo Lema 1.2.1 do capítulo L

2º- Caso: Sem= 14 e n =O, então

De (4.67) e (4.68) temos que V m + n = 14 vale

J < ( T (_,) . '1--;. 'I ) T (--;.' ' ( T ,--,) . I' m,n _ C 114 , W -r 1 U o i H'' 112 W) -r C 112 \ W. + I

Para o termo Km,n temos:

( 4.67)

( 4.68)

( 4.69)

4.2 A 102

lQ Caso: Se O :S: m :S: 12 e O :S: n :S: 12, então

,. :=I! li

" <c max liam+! - O:S:m:S:l2 ' 1 x

T T :'Ô Cfí2 fí4

2Q Caso: Sem= 13. 14 e n =O. 1 (ou m =O, 1 e n = 13, 14) então

rnax lléF171 1iJII n; ! X I

n=v,l ( 4 lll , ,

<

De 70) e 71), segue-se que v m + n = 14 vale

F < T (_.' T •-+) I'!..m,n _ Cfl2 , W} f-1'4 \?.L' · ( 4. 72)

Colecionando as estimativas (4.66), (4.69) e (4.72) temos o Lema. 111

Lema 4.2.5

PT (w (w)) :':: cil17ollx,,u + cT (f.JI (w) + ll17oiiH''(x'dxJ) pf (w)

+ cT (pf (w) + li u oiiHn) pf (W) + cT ií'f (w) p{ (W) + cT [pf (W) ]2

:':: c 1117 ollxl3ll + cT (Ar (w) + 1117 ollx,, 11 ) Ar (w).


p{ (w (w)) = ma..x sup ifxa~w (w) li u h::;::::Q,l, ... ,ll [ü,T] I X

vamos considerar apenas o caso h = 11 e analisar Jlx8~ 1 W (w)IIL', os demais casos são X

semelhantes. Temos então.

!i i!

o

+

o . 'I i[

-B

+c lx { jjxa;1 [(z- vo) a;z]ll

::_: c o , + cT jjxo;1

+ I! +cT

:=:; c !I oi ,+cT L m+n=ll

+cT L m+n=ll

i! j ~

( 1C!tijl_ \ i I +IIC

~!I r 11 r I li L= r:.+ c 11 L ~ '' T -x

zi_IL=L= ' T x

,2 i!vpH14

::.:c ll'iiollx1311 + cT (11I (w) + jjx8~ 1 Lioi]Li) 11i (w)

il Ul3) dt ''ÁÁ

+ cT (11i ( w) + li 'li o llws) 11f (li') + cT 11i (w) 11I (w) + cT [pf (w) ]2

,_, 11 . "T ( T ,_,) I'_, 'I ) T (_,) ::.: c li u o xl3.ll -r c Ps \11."' + "u oi Hll(x'dx) PJ 11."

+ cT (Pi (w) +li Li oliHl3) lli (w) + cT!Ji (w) PI (w) + cT [tli ( 11." )]2

.

Observação: Na linha 9, da cadeia de desigualdades acima, fica claro porque trabalhar em

Hos (R).

Destacamos ainda que para estimar o termo

m+n=ll m+n=ll

dividimos em dois casos:

12 Caso: Se O ::_: m. n ::_: 10 temos

4.3

2Q Caso: Se m = O e n = 11 ou m = 11 e n = O. temos

<

Portanto.

m-+-n=ll

Logo, está provado o Lema.

i i i! li

!i T 11 < Cfl' :iLfL~ - v

4.0.1

\ _T J flr

Lemas acrma permite-nos concluir que a aplicação W :

por

w"Jw) = u (t) o+ lu (t- {

está bem definida.

-B


104

111

dada

}

?\osso primeiro objetivo é provar que existem T > O (dependendo da !iliollx,5

.11

de uma

maneira apropriada) e a= a (11 ollx,,11

) > O tais que se w = (w,z) E yT (a), então

Wcu0

(w) := W (w) E yT (a) e W: yT (a) --+ yT (a) é uma contração. De posse dos Lemas

anteriores segue-se que

l\.y (w Cw))::; c llliollx,,n +c (r+ r1) l\.y (w) (Ay (w) + llliolix,,n)

::; cllliollx,511 +c(T+T~) [AT(w)]2

,

onde a constante c só depende das estimativas lineares.

Tomando

e escolhendo T verificando

·:_,I' a= 2c Lu 0 lx " ' 15.11

(4.75)

( 4. 76)

4 PARA A EQUAÇAO SUPER-KDV 105

4c (T + ) a< 1

segue-se que (W

Portanto w ) E ) o quando ) o

tim argumento semelhante mostra que para E yT (a), vale

(w (w)- w (?)] (VJ-'

por ( 4.7n Portanto o w Y' (a) --+ yr (a) é uma contração e com isso existe um único

71 E yr tal que Wuo (11) (t) := W (u) (t) = u (t), ou seja,

ll(t)=U(t) 0 + [u(t-r){[A(ll)-B(x)]a';ll+C(llaxn)}(r)dro

Além disso, para T0 E (O,T) e p E yr (a), com p (x, O)= 0 (x), vale

Aro (wuo (w)- W-p0 C"P)) (4°79)

A (--+ -+ = ny0 W- p)

< 1'-t -t 11 - C I U O - p O Xls,u

+c (To + T0~) (Aro (w) +Aro (p) + li - --+ 11 ) O p Oi!Xls.u

:S cllllo- Pollxl51l + 4ac (To +Tn Aro (w- p)

e usando ( 4, 77) temos que

-+ ----7

(-t -t, w- p)

mostrando assim que a aplicação u 0 ~---+ u, de U0 em yT é Lipschitz onde U0 C X 15,11 é

uma vizinhança de 0 dependente de

4.3 4.0.1 106

Precisamos mostrar ainda que nossa solução 11 = (u, v) é única na classe yT Come

já temes continuidade na classe C ( ) . resta ver na norma H 11

tanto. basta provar a continuidade em t = O, para a derivada alta. Temos então.

(t\-' ' 0

,,, < /!10 - o-

U (t-

o)

{ +C

Para

Usando agora o 5 e tomando o UU.cl0e quando t 1 o+ temos o resultado. Conse-

quentememe é a solução forte de ( 4.1). A unicidade de solução na classe C

prova-se de maneira semelhante ao que fizemos no capítulo anterior.

Observação: A demonstração do caso geral i1 E C ([O, T]: Hs (JR) n H 11 (x 2dx)) (s 2: 16, sE

segue as déias utilizadas acima.

s no lugar de 15. é: n1anter a terceira e quinta normas e redefinir

Logo, está provado c Teorema 4.0.1. 111

Deixamos claro que o Teorema 4.0.1 vale para o intervalo de tempo [-T, T] e, não con

seguimos trabalhar nos espaços de Sobolev com índice real por conta da definição da norma

em Hk (x 2dx).

Corolário 4.3.1 Com as hipóteses do Teorema 4.0.1 temos que existe uma vizinhança V ---+ ---+ -....

de c/J E H 5 (IR) nH 11 (x2dx) (s 2: 15) tal que a aplicação 9 ,___, 11 (t), de V em yT é suave.

Demonstração: A demonstração é análoga a do Corolário 3.3.1, basta considerar

e definir H:

F(11) =[A (11)- B (x)] o;11 + C(11, 8x11)

=((v- vo) fi;v + UOxU + (8xv) 2, UOxV + vaxu)

X yT __, yT por

H (11 0 , VÍ) (t) = Z \ (~' d~) } ' ) ' ,

COM INICIAL SUPER-KDV 107

onde = (u,v). = ( w, z) e F é como acima. Em seguida, verificamos que H Cu' 0 . u) = O.

H é sua\·e c Deu H : yT -+ yT é invertíYel para concluir o result2.do usando o Teorema da

Função Impiícita. 111

CAP ULO 5

MÁ COLOCAÇAO PARA A EQUAÇAO

SUP

Nosso objetivo neste capítulo é mostrar que o PVI associado a equação super-KdV,

{

EJ,u + a';u + UOx u + a';v2 = o 31v + EJ~v + Ox (uv) =O, x, tE lR:

u(x,O) = 'f(x), v(x,O) = 1/J(x).

(5.1)

é mal posto nos espaços de Sobolev, X'= H' (!R:.) x H5 (!R:.) paras<-~, se exigirmos que a

aplicação dado inicial-fluxo seja C2 Fréchet diferenciável, de xs para X 5 • .\'ossa demonstração

baseia-se nos trabalhos de Tzvetkov [Tz] e l\Iolinet, Saut and Tzvetkov [MST1]-[l\IST2].

onde esse tipo de estudo é feito para as equações KdV, BO e KP. A essência destes trabalhos

consiste em produzir um contra-exemplo (escolher um dado inicial especial) onde falha a C 2

regularidade da aplicação dado-fluxo, veja também [B2]. Vale observar que a exigência de

suavidade da aplicação dado-fluxo faz sentido, ver Corolário 3.3.1.

Provaremos o seguinte Teorema.

Teorema 5.0.1 Suponha que s < -~. Então, não existe T > O tal que (5.1) admite uma

única solução local definida no intervalo [0, T] de modo que a aplicação

S, • ('f, ?./;)-+ (u (t), v (t))

para (5.1). (tE [0, T]). seja de classe C 2 (Fréchet diferenciável) na origem, de xs para xs.

108

Um argumento tipo scaling, sugere que (S.l) não é bem posto em X'·'= H' (IR:) x H 5 (IR:)

para todo r < -~ e s < -1. com r. s E Portanto. nosso resultado acima amplia a região

de má co.loc:ação para 1 ).

afirn1ação:

resolve 1) corn inicial

(5.2)

t) =À com t::\

também resolve.

De fato, pelas características da parte linear em (5.1) e nosso resultado de boa colocação

local devemos ter

{

U;, (x, t) = X'u (Àx, À3t).

vÀ (x, t) = Àilv (Àx, À3t),

(À > O),

(À > O) .

Substituindo uÀ (x, t) e vÀ (x, t) em (5.1) e explorando a homogeneidade, chegamos que a e

3 devem satisfazer as relações

ou seja, a= 2 e .3 =~·Portanto, se 11 = (u, v) resolve (5.1) então 11 >. (x, t) = (uÀ (x, t), V>. (x, t))

como em (5.2) também resolve, o que prova a afirmação.

Agora queremos saber quantas derivadas são permitidas para IIDr uÀ (x, O) I lo e i!D5 v.\ (x, O)

tornarem-se invariantes. Tomando a derivada homogênea de ordem r e s em L 2 (IR:) . respec

tivamente, para U)l e v À obtemos:

5.1 5.0.1 110

r 2r~3 I' Dr =A ' ! Uo

transforn1ada

Fourier) para escrever fi;\ = .\úà U). Portanto, liDru.\ llo é invariante

se 2r + 3 = O. ou seja, r = - ~. Repetindo os cálculos acima, para a coordenada L'.\. temos

que [[D 5 v.\ (x, 0)[1 0 é invariante se s =-L

Observe ainda que a relação entre r e s é dada por r- s = -~. pois se exigirmos

1.\(D'u.dx.O), Dsv.\(x,O) )11~= IIDru,~(x.O) 11~+ 11 D'v.\(x,O) 11~

= \Wuo (x)ll~ + 11 Dsvo (x)[[~

l'fDT r ) Ds ( 1)~'2 = 1\ Uo\X. Vo ,X, IÍO

devemos ter 2r + .3 = 2s + 2, ou seja, r- s = -~Passemos agora a demonstração do Teorema 5.0.1.


!\ ossa demonstração será por contradição. De maneira semelhante ao que foi feito em [B2]

vamos considerar o problema de Cauchy

{

o u + o3u ' uEJ u + EJ2v2 = O t X T X X

EJ,v + él~v + Ox (uv) =O. x, tE R

u(x,O)=r'P(x), v(x,O)=r'P(x), --+ . .

onde r E R e 9 = ('P, p) E xs paras<-~-

(5.3)


Suponhamos que (u , L x), v h, t, x)) resolve (5,3) e que a aplicação

de en1 Frechet diferenciável na origem, Ternos que

'U , t. VF(t-T)

v , t, (.t 11 -e (x)- [' W (t- T) ·,'à, ' \ / ' ' .-_,

JÜ

( -1·.- x'] d-' ~ -) I ,

Com isso.

(t- +

+ dT

e

(5.6)

Usando (5.5)-(5.6) e o fato que a aplicação S~-y é C 2- Fréchet diferenciável na origem obtemos

(5.7)

e

ou(O.t,x) "'() , ) ( ) O-( = vV t y \X := Ur t, X , (5.8)

De maneira similar, podemos definir

5.1 5.0.1 112

okr(O.Lx) e uk

Levando em conta que u t. =·c (0. t. = O podemos escrever formalmente a expansão

Taylor para u . t. e v . t, . em torno de '; = O. a saber:

u .t. := ;1

H 1 (t.x) + + -li·j . 31 .

V . t .. X;\ := 11

1v 1 (t. ' 1' ('' + -"·3 ('f + · · ·. , I

2! --2 _ (,~ >

31 V, , 1 1

u t. - --yul + -r o

t. + 7 + 't' .- "'(Vl ;---v2 o

A hipótese de C2 regularidade para a aplicação dado-fluxo produz

1·1

( l ( .211 .1.

112

jli2 t,· '/), 'P) ,lir• :SCI'PiÍI••

/!vdt, ·) (;:. ;:)2//J[. :S c llv:ll~.

(• 10' j0. )

Vamos mostrar que estas desigualdades falham para uma escolha apropriada de ;:. Para

tanto escolhamos

'P (x) 1-,1

N-s { exp ( -iNx) l' exp (ixÇ) dÇ + exp (iNx) ~21

exp (ixE) dÇ}, (5.11)

com arbitrariamente grande, 1 arbitrariamente pequeno e a relação entre e 1 estabe-

lecida a seguir. De (5.11) temos que

ip (Ç) =r -,1

N-s {XI (Ç) + XJ (Ç)}, (5.12)

onde I= [-N, +~i] e J = [N + 1, N + 21]. Portanto,

(5.13)

Para provar que (5.10) falha precisamos calcular n 2 (t.x) e v2 (t, x). Temos o seguinte Lema

técnico.

Lema 5.1.1 Com as notações estabelecidas acima valem as identidades:


(i)

1 r' =?j - o

)y dT

=c exp + ) j ,, }

Pro-varemos apenas o iten1

imediata deste. Usando as definições básicas

Convolução obtemos

pms o é uma corJSetTJE!ncla

= ~ [' [exp (i (i- T) e) (ox (H' (T) p) 2(r dT -lo

=c t ~ exp (ixÇ +i (t- T) e) Ç [(W (T) '?/' * (W (T) :pn (Ç) dÇdT lo f:a

=c l1 exp [ixÇ +i (t- T) e] ç { [exp (iT (.) 3) \)O] [exp (iT (/)\)C)] (Ç)} dÇdT

- t -

=c r exp(ixÇ+ite)Ç\3(6)\)(Ç-EJ)I r expiT[(Ç-ÇJ) 3 +Ç{-e]dTjdEJdÇ J~2 LJO

í t l

=c r exp(ixÇ+ite)ç;J(EJ)p(Ç-6) l r exp[-3iTÇÇJ(Ç-Ç!)]dTI dôdÇ ~. ~ J

- r " (' ç -L ·tç3) ç;~(f' l :~(C- ç) [exp [-3itÇ6 (Ç- 6)] -1] dCdf' -c I:rt• exp zx, , z, sv ~1; cr ,, s1 _ 3ÇEJ (Ç _ ô) "' ~1,

onde utilizamos também a identidade

Portanto, está provado o item (i) e consequentemente temos o Lema.

De posse da representação de 0 (Ç) temos então

1111

5.1 5.0.1

=c; -1

e

eLJ exp(ixE,+itçJ) (E,+e) LÇ,Ç;)dE,dÇ1

JL;J

Consequentemente.

e

onde

·~· \'V2J:r-,~ Ç) = exp (itçJ) çf . t, E,, E,.) dE,. Ç1 E!UJ Ç~f,:JUJ

= C{-! JV- 2s exp (itçJ) Ç { r <j) (x, t, Ç. Ç.) dE,.

JA;(Ç)

+r (x t,E,,E,.)dE,. +r (x,t,Ç,i;J)dçl} J Az(Ç) JA,(Ç)

= 91 (t,x) + 92 (t,x) + 93 (t,x)

( i12)x~ç (t, Ç) = Cí-l N- 2s exp (itçJ) ( Ç + ç-2) j I':EIUJ (x. t, E,. ÇJ) dÇ1 E,-f.llUJ

=q- 1N-23 exp(itçJ)(E,+ç2){ r (x,tE,,6)dE,. }AI (Ç)

+r (x,t,E,,E,.)dE,l r (x,t,E,,6)d6} J.4,(Ç) J .43(1',)

= 91 (t,x) + 92 (t,x) + 93 (t,x),

A1 (Ç) ={E,;; 6 E I e E,- 6 E I},

A2 (Ç) := {6; 6 E 1 e Ç- 6 E J}.

A3 (E,):= {E,1; 6 Ele Ç- 6 E J on 6 E J e Ç- 6 E/}.

114

(5.15)

16)

(5.17)

(5.18)

5 PARA A SUPER~KDV

Denotando por f; := (gJ e f1 := (9; (j = L 2, 3), obtemos

+

e COD10 O sao a resulta que

i!v2(t,·JliH' ~ lih(t.

lln2(t ·)llii, ~]h

).1ostrcmos agora que a oeg,u11.ua desigualdade en1

!I \ I i

")!i - f, li ifs "_,

un1a cota inferior para ·)iiH~ e un1a cota superior para li respecth·amente.

115

19)

(5.20)

li li i-JS .

Para estimar li.fr ·)IJii, observe que se (r E I e E Ç1 E I, então 'Ç,j ~ iÇ- ôl ~lEI~ ,Y. De fato. como +r então

Portanto.

(5.21)

1

::; c (1-S-c-y IEI 23 (l'r-1 N- 2SE exp (ite) r _:'!> (t, X, E. u dEr 2

) dE) 2

-h , }A1~• 1

::; c (l~v-c·, IEI 2' ( ~-2N-43N2 (L(o I (t,x,ç,~;r)l dEr)

2

) dç) 2

1

N-6!2) dE) 2

onde usamos os seguintes fatos:

lexp[-it8(Ç.Çr)J-l

i 8(E,Çr)

5.1 DO TEOREMA 5.0.1

Analogamente, se 6 E J e Ç- ô E J então lt;rl ~ jÇ- ôl ~ IÇI ~ e com isso

( + \ < '· ') i-1•-

116

Agora. ,·amos mostrar que para uma escolha apropriada de e ;- a principal contribuição

para a norma Hs 1:2 é por

e c - .c E !. então i ~ jÇ- Çr ~ e ~ '-,l ~ "'r. De fato: para o caso (o outro é

+ f· e + "'Y :::; Ç - Ç 1 :::; + , então

+~--,-<C< '-S-

Com isso. . Agora escolhendo e 1· verificando ; ~

= o ) ) te1nos que

i<l?

jtj jexp [-itB (Ç, 6)]- lj -

!t;3 (U1JI (ti O)

1

iti [(sin tp (Ur)) 2 + (costp (t;.Ç1)- 1) 2]'

it<l (Ç, 6)1 lti sin t8 (Ç, í;r) > ;:: cte,

jt6(Ç,t;r)l

paratE(O,l] ej6(Ç.6)I~N2;.DaL

> (13' ~~2s (~-2 N-4s~? 11 r 'q, (t, X, ç, 6) d!;r 2) dÇ) i 1 ~3(~)

1

;:: C (/3·r [!2s ('!-2 N-4s_,/) ·l] dÇ) 2

5 SUPER-KDV 117

onde utilizamos também o Lema 1.4.3 do Capítulo L Da escolha '1. ~ resulta que

Portanto, de (5.13). (5.20) e (5.24) segue-se que

ou seja,

>

2: llh Jlifl' ~ 11!1 > \c-4s-3 ~ -\--s-3 ~c c, '

Vamos dividir a análise desta desigualdade em dois casos:

(5.26)

Caso 1: Se ~3 ::; s ::; ~~, então ~s ~ 3 < O e ~4s ~ 3 > O. Consequentemente,

N- 4s- 3 ::; c, que é um absurdo para > > L

Caso 2: Se s < ~3, então ~s ~ 3 > O e N-s- 3 > L Daí, N-4s- 3 :0:: c (N-s- 3 ), ou seja,

l\'-35 ::; c, que novamente é um absurdo para >> 1.

(II) Vejamos agora que a primeira desigualdade em (5.10) também é falsa para nossas

escolhas.

De posse da representação de u 2 ( t, x) e u2 ( t, Ç) e utilizando os argumentos acima vamos

analisar a segunda desigualdade em (5.20). Inicialmente, vamos fornecer uma cota superior

para 11l1h (t )j1l e []; (t, ·)J .. Temos então,

IH 5 I H 3

5.1

) if•

Se - 12 \~

D5 §Í (t. J! dÇ} I /

Se 2s -]

Se

onde utilizamos o fato que I é.+ (1 2 S

Analogamente,

2\ )

exp ( itç3)

1

1

1' h (t. · l/1. S cr1 !V-s-I IW

Uma cota inferior para \/h (t, ·l\/if. é dada por

5.0.1

. pois lé.l ~·

l 2

118

>> l.

(5.28)

/Ih (t, ·)1'1· (5.29) i 1-1 s

(13~1 - ,2 )~ ?: c ~ 1Ds§3 (t, ·)j dÇ

1

?: c (['it.l 28 (lí-] N-Zsç (é.+ 1) exp (itç3) L c o <f> (t, X, Ç, 6) df.J n dÇ) 2

?: c([' 1ç12s c~-2N-4'í21Lc"l<P (t,x,Ç.E.J)df.Jr) dÇ) ~

(13-y ) i ?: c ~ . 12s ( '1-2 N-4sr2) dÇ

?: C (13~ ['!2s ( Í-2 N-4s·/) '12] dÇ) ~

5 MÁ SUPER-KDV 119

onde usamos IEIIE +li 2: lEI (1 -lEI) 2: c lEI (veja que lEI ~'r com O<-:<< 1) e o Lema

1 capítulo 1.

Usando novan1ente a escolha ,_,- '-""' _ obtemos

~~~~f i! J 1 ) 1!;

!iií- < c~/~ <

h ) li 11ií-

< c;_Y~2s"/-~ > o) li il liií-

Portanto, de (5-13), (,5,20) e (5,30) resulta que

1~ >

2: i ih (t li I o o- li]'; li IIH' il

2: cs-4s-3-

ou seja,

( 5,32)

A exemplo do que fizemos antes, dividimos a análise desta desigualdade em dois casos:

Caso 1: Se -2 ::; s ::; -~, então -s - 2 ::; O e -4s - 3 > O, Consequentemente,

::; c, que é um absurdo para >> 1.

Caso 2: Se s < -2, então -s- 2 > O e N-s-z > L Daí, N- 4'-3 < cN-s- 2 , ou seJa,

N-3s-l::; N- 3s::; c, que novamente é um absurdo para N >> 1.

Observação: Se em (,5,29) usarmos a estimativa IEIIE +li 2: c IEI 2 obtemos em (5,30)

(5.33)

Consequentemente temos rv-4s-5 < (1 rv-s-2) - _c +- , (5.34)

que indica má colocação paras< -~.Como-~<-~, então nosso resultado não altera.

Logo, paras < -~ a aplicação _, .

s, : C/J r-+ v: (t)'

de ie em j(S. não é C 2- Fréchet diferenciável na origem e está provado o Teorema 5.0.1. 1111

~

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