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SULLA RISOLUZIONE APIRISTICA, IN UN CORPO QUADRATIC0, DELLA CONGRUENZA BINOMIA QUADRATICA E DI UNA

CLASSE DI CONGRUENZE BINOMIE IL CUI MODULO I); UN IDEALE PRIMO DI 2 ~ GRAD0.

Nota di V i n o e n z o A m a t o (Catania).

A d u n an za del u2 ap r i l e i9x7 .

In un precedente lavoro ') abbiamo risoluto la questione di determinare, in un

r quadratir k(1/m), una soluzione apiristica delia congruenza binomia

x " ~ a (rood. P),

essendo P un ideale primo di 2 ~ grado *) del corpo, cio~ l'ideale determinato dai multipli, secondo interi del corpo, di un numero (intero razionale) primo dispari p.

Mostrammo allora c h e l a detta risoluzione pu6 essere rimandata a quella di congruenze

binomie, secondo il modulo p, nel corpo razionale, aventi per coetticienti numeri noti

(e per6 indipendenti da a), le cui soluzioni debbono pertanto ritenersi note. Nel caso particolare poi che n sia divisore di p - I, mettemmo in rilievo c h e l a

risoluzione in discorso si pub far dipendere dalla determinazione di un sistema com-

pleto di soluzioni della congruenza

x " ~ I (rood. p).

S e n - - - - u , questa ricerca si effettua immediatamente, e noi determinammo un sistema completo di 2 ~ grado (mod. P) che d~t subito una soluzione apiristica della

congruenza binomia quadratica. La formola che si ottiene ~ per6 suscettibile di notevoli semplificazioni, t~ ci6 che

mostreremo in primo luogo nel presente lavoro. La formola finale ~ importante non

x) V. AMATO, Sulla risolu~ione apiristica, in un corpo quagratico, ddle congruence binomie secondo

un ideale primo [Rendiconti del Circolo Matemafir di Palermo, t. XLII (I917) pp. 48-6o]. a) Q.uando il modulo ~ un ideale primo di primo grado, una soluzione apiristica della congruenza

si otfiene subito dalla corrispondente soluzione, nel corpo razionale, delta congruenza rlspetto alla norma dell'ideale. Vedi V. AMATO, I. c. t) p. 49.

340 V I N C E N Z O A M A T O .

solo per la sua eleganza~ ma anche per le considerazioni a cui d~i luogo relativamente alla risoluzione di una congruenza binomia di grado n, quando n ~ divisore di p - - I . Tall considerazioni, come si vedrh nella seconda parte di questo lavoro, conducono rapidamente alia costruzione di notevoli soluzioni apiristiche della congruenza, le quali conservano tutta l'eleganza e l'utilit~t di quelle ottenute dal CIVOLLA a) nel corpo ra- zionale.

r. Poniamo s - - - " r

ovvero

2 secondo che sia

m ~(~ r (rood. 4), ovvero

m ~ x (mod. 4). I numeri

(1)

p - - I

2

p -- I

2

x + y , o 2 ---1,2, . , p - - I

(ormano, qualunque sia p, un sistema completo di 2 ~ (rood. P), cio~ up. p 2 - - I

di numeri i cui quadrati sono incongrui fra loro (rood. P). 2

Data la congruenza quadratica

(2) x= ~ a (mod. P), essendo

(3) a ' ~ x (mod. P), se denotiamo in generale con

P~, P~, . . . , p~,_~ 2

un sistema completo di 2 ~ grado (mod. P), il polinomio p2- 3

(4) x o -~- A ' o -1- A' ,a + . . . q - Ap,_; a - - ~ A'ka k (mod. P), - - - - 1 k ~ O

nel quale sia

( 5 ) A ' . 2~-~ ~ k - , , k ~ - - 2 kP, + . . . - 1 t- pp,_.) (mod. P), 2

una sohqione apiristica della (2).

sistema

a) M. CIPOLLA, SuUa risoIuzione apiristica delle congruenze binomie secondo un modulo primo [Ma-

thematische Annalen, Bd. LXIII (~9o6), pp. 54-6I].

SULLA RISOLUZIONE APIRISTICA~ IN UN CORPO Q.UADRATICO~ ETC. 341

2. Se si ha riguardo alla ( 3 ) e alla (5), si pub scrivere la (4) sotto la forma seguente

p2-1

(6) Xo ~ ~- A~ a ~ (mod. V). k=l

S e i l sistema completo di 2 ~ grado (mod. P) ~ quello dei numeri ( I) , poich~

k > o, si ha dalla (5)

[, (-11 ~ 2 s~_, -~- 2k - - S2k-2 fix r + �9 �9 �9 I

( +p-, ) ] �9 " ' d r k - - 2 Sx ak-2 "q- s~t-' - - 2 ffz~-, c~ ,

avendo posto

s ~ = ~ + 2 ~ + . . . + , ~ = i ~ + 2 ~ + . . . + ( p - 0 ~ ' .

E poich~,v ~ congruo a - - I o a zero (mod. p) secondo che y sia o no mul- tiplo di p, posto

q - - \ p - - x l '

.a' k ---- 2 L~, P - ~ / ~'-~' + 2 p - s~_~+,

risulta

(02(P -x) . -~ . . ,

(7) 2 k - - I - co2~_~ 7

�9 . . - } - ' ( q ( p _ _ i ) ) s ~ , _ r - - s,,_, J (rood. P).

Denotando con r il resto (positivo) della divisione del numero intero positivo 2 k - - I per il numero pari p b i, si ha

2 k - - I = q ( p - - x ) + r ,

nella quale eguaglianza, potendo k prendere tutti i valori non minori di I e non p~

maggiori di - - I 2 , sara q non maggiore d i p ed r dispari non maggiore d i p - - 2.

Ma poich~ owiamente

s~i_,_p(I,_, I ~ s~_, ~=- s r (mod. p), (p = x, 2 . . . . . q),

la (7) si riduce alla seguente

( 8 ) .~', ~ 2 Sr ~ - q 71- r o p ( / , _ : ) ta r p=, I) -- 2 sr(ta~-')q (rood. P).

3. Intanto, in base a note proprietor r dei resti (mod. p) dei coefficienti binomiali, si hanno i risultati seguenti:

4) Cir., per es., E. LuCAS, Tloiorie des nombres (Paris, Gauthier-VlUars, I890 , cap. XXIII.

342 V I N C E N ' Z O A M A T O .

I ~ Per tutti i valori di k pei quail sia

o ~ q / r ,

risulta, qualunque sia p variabile da I a q:

~(p - - I) 2 ~ Per tutti i valori di k pei quali sia

q ~ r , risulta

F(P - I ) ~ o

se p ~ minore di q - - r , e

q ( p - - i ) + r ) i)p_,q_,~ - -

se p non ~ minore di q - r.

(9)

Ne segue c h e l a (8) si pub mettere sotto la forma

. 4 ' = q - - k - - 2 s , ~- ( - - I ) P - I q - ' ) p=q-, P

P - - ~ ),oP(p-" • p - (q - r ) - - , s~(,,,~-'y

Posto (op-~ -.. ~,

p = (q - ~) +

(mod. p).

tenendo presente l 'eguaglianza

I

risulta dalla (9) :

(,rood. p),

_i) (q - r)

seguente

:)• co" (rood. P).

(rood. p),

donde, sostituendo all 'esponente k di a ~ il suo valore p - - I - - q + - -

4 ' S e

( i o )

allora m ~ notoriamente

0 ' = ~ I, 2, . . . , r) ,

r + x 2 2

- - - - r f ~ 2s a q I ~ - ( _ _ i);~ ), _ _

~/'~a ~ - - ~ ( a ~ o.)q r Z=o

- , s r~ ~ ( ~ ; ~ - ) q , r (rood. P).

s) non residuo quadratico di p, quindi p--l

f~ - - co :~ = m 2 __. I (mod. p),

(mod. P),

, s i ha

s) j. SOMMER, Introduction ?t la th3orie des hombres aIg3briques, t~dition fran~aise. Traduit par A. L~-vY (Paris, Hermann, IgII), p. 6 5,

$ULLA RI$OLUZIO~E APIRISTICAI r~ UN CORPO 0.UADRAT[CO, ETC. ~4~

c posto

la (~o) diviene

(II) t/' a~ = k ~ 2 S r

p--I 2

,. = x - ~ ~r'~ ( - - ~ y , ~ (rood. P),

e la formola (6), quando si ponga r -- 2 h ~- I, diventa, se si tien presente la (I I):

02)

5" Se

p--:l

X o ~ ~ 2 Z 22h+~ ah+x s~+, ~ ( - ~ y ~;,+~ h=o q=2(,~+t) , P-3 --Y- p

a h+x r - ~ Z s ~ § Z ( - ~ ) ~, h~o q=o

pml m

(mod. P),

la (I2) si semplifica notevolmente, perch~ essendo

Z o _ h + i ~ o (mod. p), Z ( - - = ) q ~ i q=a(h+i) q=o

P--3 si ha

Xo --- ~ ( , . ~) +

Se invece p - i

= a * ~ - - I (mod. P), si ha

~2BI

p ~p+~ 2 --2 {,. ) ~ - - - / - - ~Z'q - - I a - - I

" ~ O q=o - - ~ - - I - - c - - I

e la (I2) diventa

(mod. P).

(rood. P),

+ s_, 1 (mod. P). .A

C t

(mod. P),

.0--3

Xo ~ - - 2 X ~ - "22b+I S2h+x ah'*'x ~2(h+~) ~- p (~ 0C)q--a(b+ '1 ( q ~ I ) 2 h -q- I (mod. P). h=o q~:tib+ Q

Ma se si pone

---r _ _ ( t ~ I )= _{_ (t ~ u ) ~ , . . . . "if'(--IY-('+'~ Ip 2 ( t ' ~ i ) ) =p-('~-~

si ha, sfi t ~ o : ~ 2 ~ * ~ *

t ) ~ / , - t

++i), ) ( "'" + ( - - OP-"+" - - P (t + i) ~p-c,+,l + ( _ z)P-' P

e si ricava P - c, -- c~_, ~ ~ c, (mod. P),

(rood. P),

344 VINCEN'ZO AMATO.

dalla quale si ottiene I

i + ~ p I ~ ~ I c,~---~ ( I + ~,)t+I ~ ( I +~.)/+1 = ~ ( I + ~ ) t

e percib

donde

(mod. P),

y ( - , . y - - + ' , - q=2{~+l) 2 I ---- %+' ~ =(I + ,)-'h--' (rood. P),

P--3

,b+, a h+~ (mod. P).

Riassumendo quanto ~ stato ottenuto in questo e nel numero precedente~ si ha:

Nel corpo quadratico k(l/m), se

m ~ I (mod. 4),

p--t

- - a 2 @ i (mod. P),

la congruem(a quadratica (2) ammmette la soluzione apiristica P-3

2~ V ~+~ x o ~ - - 2 2 ~ + ~ ] s~b~_,a h+' (mod. P),

p__r~ 2

[S x + $~ (.,4 2 a) + S 3 (~2 a)2 + , , , + Sp_4 (,~2 a ) ~ - - ]

cbe si pub ancbe mettere sotto la forma

( I3) Xo =

essenclo p - i

2 2~ 2 a

.t4 - - i + ~ >_5' 2 l + a

ed

= i ,h+~ 2~b+~ ( ~ _ ) = ~ + ~ + + . . . +

ka (13) ci d& come caso particolare, sea soddisfa alia condizione

p--I a ~ I (rood. P),

Ia formola gia nota 8) nel corpo razionale. Se invece, fatta sempre la stessa ipotesi su m,

p--I

a = = I (mod. P),

(rood. P),

6) M. CIPOLLA, 1. c. s), p. 57.

SULLA RISOLUZIOI~IE APIRISTICA~ IN UN CORPO O_UADRATICO~ ETC. ] 4 J

la (2) ammette la soluzjone apiristica 2

(I 4) ~ Is_, -~- s, (m a) -{- s, (m a) ~ + "" + s~_+ (m a ) - r ] .

6. Resta a considerate il caso che sia

I+l/m 2

AUora posto

la (IO) dh:

s m

e - - a j [ ~ - - ~ - - a - T o f'-~,

AtI, a/t ~ 2 S,.t[~ ra ~q q r I k=o - - I ) k )i •k - - 2 S ra ~ ojr~q

e perci6, se si ha riguardo alla (6), posto r - - 2 b + I, si ottiene P-3

(rood. P),

Os)

cio~

2 w s ~ + ' q - - I ~ 2 h + I a~ -

P-3 : p

- - 2 Y s:~+, a ~+' +~+' X ~' (mod. iv). b~o q~o

[~ ~ I (rood. V), p - t - T - a ___~ o_(p_,)__ to (mod. P),

Nel caso in cui sia

si ha, come abbiamo visto al n ~ 5:

Y 2 t , + ~ - - o q~2ih+l)

e perci6 la ( I5) diventa

N o

Se invece

(rood. p),

P--3

Is_, + ~,(~'~) + s,(~'~)' + . . . + s ,(~'~)~] p-

~ I (rood: P),

P y_.[ i~ q ~ o (mod. P), ~ o

poich~ allora

( i - a y - , y ~, q=2ih+x}

(rood. P).

la (I5") diventa / '-3

ah+t X o ~ 2 y S 2 h ~ - t

e si deduce col procedimento indicato al n ~ 5: P--3

- - * ~ S _~+z

Rend. Circ. Matem. _Palermo, t. XLII (19XT).--Stampato 1'8 apriie t919 ,

(rood. P).

(rood. P),

44

346 V I N C E N Z O A M A T O .

Concludendo : NeZ corpo q.adratico k ( ~ ) , se

m ~--- I (mod. 4),

@ I (mod. P),

la congruenza quadratica (2) ammette la soluzione apiristica P--3

Xo=----2 ~- ~(~__~ ] , ~+a ~+' (mod. V), h=o

0 6 ) Xo =

essendo

che si pub ancbe mettere sotto la seguente forma P-3

2 a B [s , -~- s, (B* a) + s3(B* a)* "dv " " -t- sp_4 (B~ a) ]

I - - f l P - ' 2 B - - o ~ - - - - a I - - Co p -x

p - i

I - - a 2 COp-x

(mod. P),

(I8) Xo -~

essendo

La ( t6) ci dc~, come caso particolare, se a soddisfa alia condi~ione p--I

a~ -~-1 (rood. P), la formola gi?t nora nel corpo rationale.

Se invece, fatta la stessa ipotesi su m, p--I " T -- , ,p-Ia ~ i (mod. P),

la (2) ammette la soluzjone apiristica P--3

2 (171 X o ~ IS_ I -Jr-s~(oda)+s3(o~a)2-t- . . . --t- Sp_g(O~2a) ]

7. Le soluzioni ( I 3 ) , (I4) , ( i6 ) e (I7) hanno la stessa forma P-3

2 2 C [$--I + S , ( c 2 a ) + $3(C2a) 2 + " ' " + Sp--4 ( c 2 a ) ]

09) C

(mod. P).

(mod. P),

-~- 1 (mod. P)

p--I p-x

2a (mod. P) se m @ x (mod. 4) e - - a p--I

i -Ji- a 2 p--t

r 2 )) )) )) )) )) - - a ---~ I ))

I - - (o p - f " I 2 ~ )) a p - t )) )) m ~ I )) )) a ~Op_ ~

I ~ a (o p-~ p-x ~+r ~ 1

O} - - )) )) )) )) )) a 7--- 2 o~P-X

)).

SULLA RISOLUZIONE APIRISTICA:, IN UN CORPO QUADRATICO~ ETC. 347

Per il calcolo dei resti (rood. p) dei coeflicienti della (I8) conviene esprimere s pei numeri B di BERIqOULLI, che, come ~ noto 7), sono definiti dall eguaohanza sim- bolica

( B + 0 B ' = , . Allora si ha ( :y+

s r _~ (mod. p), r + l

e la 0 8 ) si pub mettere sotto la forma p--I 4/+(1___ (20) Xo C

Se poi s'introducono i numeri Gr

la (20) diviene

~2~) ff-~(C~ a) k (mod. P).

di Gz~occm s):

G , - - - 2 ( I - - 2 ' ) B , ,

O--t ~ - G ( ~ a k

I 3- ~ - - (rood. P), % = C ~ 2~.k

e poich~ per r dispari e maggiore di ~ ~ G - - o e G, - - ' - - I , il precedente risukato pub mettersi sotto la forma

x o ~ - - ~/a - - ~ - ~ -~- ,. (mod. P),

(dove l'irrazionalit~ 6 sokanto apparente), si conclude che:

Lo sviluppo simbolico secondo le poten(e di l/a di -

, ( 1 /a - -~c - log I - - - - 2 G ,

arrestato alia potenza di esponente p ~ I, ~ una solu(ione apiristica della congruenza

x ~ - ~ a (mod. P).

Nella (20) si possono anche introdurre i numeri E di noto, si ha simbolicamente 9)

( E + I ) r - ' __ (2 r - - I ) B r

2 r r

e si ottiene

EULERO pei quali, com'~

pmI ]"- Xo ~1/~ (E + r) CI/~ (rood. P).

z) Cfr. per es. E. CESkRO, Corso di analisi algebrica con introdu~ione al ~alcolo it~nitesimale (To- rino, Bocca, I894), p. 28o.

s) E. LucAs, op. tit. 4), p. 25I. 9) E. CESkRO, op. dr. 7), p. 284.

348 V I N C E N Z O A M A T O .

Notando poi che per r pari

(E+ 0"=o, si deduce che:

Lo sviluppo simbolico secondo le poten(e di l/a dell'espressione

_

E + I 4

arrestato alla poten~a di esponente p - - 2, ~ una solu~ione apiristica della congruen~a

x ~ a (rood. P).

8. Ritorniamo a considerare la soluzione apiristica ( i8) della congruenza binomia quadratica (2), nella quale C ha uno dei quattro valori (I9). In particolare, se

p--I

(2 0 a ~ ~ I (mod. P),

risulta C ~ ~ (rood. P), e l'espressione 0 8 ) per x o diviene identica a quella nora nel corpo razionale. La ragione di ci6 sta nel fatto che tutti i numeri a soluzioni delia

(2 I ) sono i p - - I residui quadratici di p, e per conseguenza a 6 congruo (rood. P) 2

ad un numero razionale.

Nel caso generale la ( I8) non differisce dalla detta soluzione nel corpo razionale che per il cambiamento di a in C2a e per il divisore C, cosicch6 C x o 6 una solu- zione della congruenza (22) y 2 ~ C ~ a (rood. P),

e subito si verifica che qualunque sia il valore C dato dalle (I9) si ha

(23) (C~a) ~ ~ i (mod. P).

II fattore C ' ha dunque l'effetto di rendere il prodotto C2a congruo (rood. P) ad un numero razionale intero. Ma in questo caso le soluzioni della (22) sono esse stesse congrue (rood. P) a numeri razionali interi, e si ha il risultato notevole seguente:

I ~ Se C ~ una soluzione qualunque della congruenz~a (23) , per ottenere una solu-

ziqne apiristica della congruenza

x ~ a (mod. P),

basta dividere per Cuna qualsivoglia soluz, ione apiristica nel corpo raz, ionale della con- gruenz, a binomia quadratica (22) dove a P sia sostituito p.

I1 metodo seguito nella prima parte di questo lavoro ci ha condotto ad alcune soluzioni C della (23). Sulla scorta di queste h ora facile costruirne altre anche di forma pifl semplice.

Si perviene ad es. al risultato seguente che si stabilisce subito con semplice verifica:

SULLA RISOLUZIONE APIRISTICA~ IN UN CORPO Q.UADRATICO~ ETC. 349

p - i

2 ~ S e a 2

[ormoZa

non ~ congruo a - - I (rood. P), una soluzione della (23) ~ data dalla

p - i

C - - - - - I + a : (rood. P),

e se a non soddisJa alia (21), dalla formola p--x

C----fmO --a T ) (mod. P).

Data poi una soluzione C O della (23), tutte le p - - I soluzioni della stessa si otten-

gono moltiplicando C O pei humeri di un sistema completo di resti non congrui a zero,

secondo il rood. p.

9. Quando si tenta di estendere la proposizione I ~ del n ~ 8 al caso di una con- gruenza binomia di grado n

(24) x" -~. a (mod. P),

essendo sempre P un ideale primo di 2 ~ grado del corpo, di norma p2, ed n divisore di p 2 i, si presenta necessaria la condizione che n divida p - I.

In tal caso, se ~ soddisfatta la condizione

pml

(25) a ~ - ~ I (mod. P)

deve essere a congruo ad un intero razionale e la (24) , come nel corpo ammette la suluzione apiristica

p--I

A o + A , a - - ~ A=a~--~ - . . . + A p _ , _ a " , n

essendo

col numeri

n / nk--z nk--x nk- - tx Ak ~ - - k r, + r2 Jr" �9 �9 �9 + r ~ _ , ) (mod. p, tt

r l ~ r a ' " " " ' r p - t

razionale,

formanti un sistema completo di #~.o grado (mod. p). Se invece non a soddisfatta la (us), si pub determinare C, come mostreremo

tosto, in maniera che sia soddisfatta la congruenza

p - i

(26) (C"a) ~ ~ I (mod. P),

e allora C"a ~ congruo (mod. P) ad un intero rationale, e la (24) ammette la solu- zione apiristica

p--z

[/o + .4 (c"a) + A,(C"a)' + . . . + (C"a) " ']. C n

Si stabiliscono cosl, come nel n ~ precedente, le due proposizioni: p--I

I ~ Se a " non ~ congruo a - - x (mod. P), una soluzione della (26) ~ data dalla

3 ~ o \ ' I N C E N Z O A M A T O .

formola p--t

C ~ I -[- a " (mod. P).

E se a non soddisfa alla (25) , una soluzione della (26) ~ data daUa formola

p--1

C ~ - V m ( I - - a ~ - ) (rood. P).

Tutte le p - - x soluKioni della (26) si ottengono poi da una qualsivoglia soluKione

particolare Co, moltiplicandola pei humeri d'un sistema completo di resti incongrui a

~ero (mod. p). 2 ~ Se C ~ una solu~ione quahmque della congruen~a (26) , per ottenere una solu-

z~ione apiristica della congruenzg binomia (24) il cui grado n ~ divisore di p ~ 1, basIa dividere per C una qualsivoglia sohKione apiristica, nel corpo ra~.ionale, della cons, ruenzg

y " ~ a C " (rood. P).

IO. I risultati ottenuti nei n ~ 8 e 9 ci permettono di estendere senz'altro ad un corpo quadratico i procedirnenti indicati dal CIVOLLA ,o) nel corpo razionale per otte- here delle soluzioni apiristiche della congruenza binomia di grado n ( s e n 6 divisore di p - - I), e sotto forme che, per la loro semplicit,h, riescono pifi adatte dal punto di vista de1 calcolo &lle radici. Si hanno infatti i seguenti teoremi:

I ~ S e n ~primo con p - i

della congruenza

- - ~ s e

n X ~ I

il numero

una soluzione apiristica della (24).

C una soluzione della (26) e ), una soluzione

(rood. p - I ) n

C .~.-~ a x

2 ~ Se g ~ una radice primitiva di p, e C una soluzione delia (26), aUora una so- luzione apiristica delia (24)

p--I p--I - - - - I

n . ( C " a ) ' - c - ( g - i ) g . . . .

$ 2 0 ~ I

PoicM per n = 2, si ha f , - - t

g ~ ~ I (rood. p),

ne discende subito il seguente teorema: 3 ~ Se g k una radice primitiva di p, e C ~ una soluzione delia (26), una soluzione

apiristica delia congruenza binomia quadratica

x ~-~-a (rood. P)

xo) Cfr. M. CIPOLLA, 1. C. '~), pp. 57, 58 e sg"

SULLA RISOLUE[ONE APIRISTICA~ IN UN CORPO QUADRATICO, ETC, ~ I

.p-i

4 ~-' !~'a)' =o s - I

4 ~ Decomposto p - - I in due fattori primi tra loro q e - - p - - i , il primo dei quali q

sia multiplo di n, se y ~ un numero appartenente all'esponente q (mod. p), e se una soluzione della congruenza

n x ~ I

una sohKione apiristica della (24) b

5 ~ Se si pone

mod. p - - I ) }

q i s p - I q ~ - - n (C"a) q

qc(C"ay(V , )Z .... '[ - - I

~ n - - I - - V p - I q

ferme restando le ipotesi del~ultima proposizione , alla soluzione apiristica indicata in questa proposizione si pub sostituire raltra

q i ,P---L z

q ( C " a y ( v " - - I ) Z ( a) + 1=o y '+" - - ]

Per applicare le due formole non occorre che la conoscenza di y. Nel caso in cui sia n = 2, se 2" 6 la massima potenza di 2 che entra in p - - 1, si pu6 assumere

p--I

y ~ - m 2r (rood. p) ,

perch~ il numero m che definisce il corpo quadratico ~ u n non residuo quadratico di p, secondo le ipotesi fatte suli'ideale primo P. Si pu6 assumere allora

q ' - - 2 " , ~ - - P + u r - - I 2 r + t } ~r ~ 17

+/'-__Z

(c'a) ' "

(2s+i) p - t m ar - - I

e si deduce che

P + 2 Y - - I 2 f + - I I I 2

una soluzione apiristica della (2)

Catania, 6 aprile I9~ 7.

V I N C E N Z O A M A T O .