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Prof. I. Savoia TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Bologna, aprile 20121111

1111 ISOMETRIEISOMETRIEISOMETRIEISOMETRIE

TrasformazioneTrasformazioneTrasformazioneTrasformazione geometricageometricageometricageometrica: corrispondenza biunivoca che ad ogni punto PPPP delpiano associa un altro punto P'P'P'P' dello stesso piano. Se il punto trafformato P'P'P'P'(immagine del punto PPPP) coincide con il punto PPPP si dice tale puntopuntopuntopunto unitounitounitounito.IdentitIdentitIdentitIdentitàààà: trasformazione che ad ogni punto associa se stesso, ovvero unatrasformazione per la quale tutti i punti sono uniti. Le trasformazioni possonoessere applicate a singoli punti o a intere figure. Se una data figura FFFF coincide conla sua trasformata F'F'F'F' essa si dice figura unita ed è formata solo da punti uniti.InvariantiInvariantiInvariantiInvarianti: proprietà delle figure geometriche che non cambiano nelletrasformazioni.IsometrieIsometrieIsometrieIsometrie oooo congruenzecongruenzecongruenzecongruenze: le trasformazioni che hanno come invariante la

distanza fra punti, per cui se un segmento misura ABABABAB ed il segmento

trasformato misura ''''BBBB''''AAAA allora segue l'uguaglianza ''''BBBB''''AAAAABABABAB ==== . Esempi di

isometrie sono le traslazioni, le simmetrie e le rotazioni.

ComposizioneComposizioneComposizioneComposizione didididi trasformazionitrasformazionitrasformazionitrasformazioni: date le due trasformazioni 1111tttt e 2222tttt , la prima

applicata alla figua FFFF determina la figura F'F'F'F' e la seconda applicata alla figura F'F'F'F'

determina la figura F''F''F''F'' si definisce composizione di 1111tttt e 2222tttt la trasformazione

11112222 tttttttt � che applicata alla figua FFFF associa la figura F'F'F'F''.

Le isometrie hanno le proprietà di trasformare: a. rette incidenti in rette incidenti;b. rette parallele in rette parallele; c. angoli in angoli congruenti.

1.11.11.11.1 TRASLAZIONETRASLAZIONETRASLAZIONETRASLAZIONE

TraslazioneTraslazioneTraslazioneTraslazione didididi vettorevettorevettorevettore vvvv (Fig.1) : trasformazione che ad agni punto PPPP associa

un altro punto P'P'P'P' tale che il vettore ''''PPPPPPPP è equipollente a vvvv .... In simboli vvvv''''PPPPPPPP ≈≈≈≈ .

VettoreVettoreVettoreVettore: classe di segmenti orientati equipollenti ovvero l'insieme di segmenti

''''PPPPPPPP aventi lo stesso modulo o lunghezza ''''PPPPPPPP , stessa direzione e stesso verso.

La proprietproprietproprietproprietàààà didididi equipollenzaequipollenzaequipollenzaequipollenza (Fig.2) fra vettori si dice che è una relazionerelazionerelazionerelazione didididiequivalenzaequivalenzaequivalenzaequivalenza perchè gode delle seguenti proprietà:RiflessivaRiflessivaRiflessivaRiflessiva: ogni vettore è equipollente a se stesso;

SimmetricaSimmetricaSimmetricaSimmetrica: se un vettore 1111vvvv è equipollente ad un secondo vettore 2222vvvv , allora

il secondo vettore è equipollente al primo. In simboli 1111222222221111 vvvvvvvvvvvvvvvv ≈≈≈≈⇒⇒⇒⇒≈≈≈≈ .



TransitivaTransitivaTransitivaTransitiva: se un vettore 1111vvvv è equipollente ad un secondo vettore 2222vvvv e questo

è a sua volta equipollente ad un terzo vettore 3333vvvv allora anche il primo vettore è

equipollente al terzo. In simboli 333311113333222222221111 vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv ≈≈≈≈⇒⇒⇒⇒≈≈≈≈∧∧∧∧≈≈≈≈ .

La figura seguente si riferisce alla compoizione di due traslazioni applicate aduna figura geometrica rappresentata da un triangolo di vertici ABC.

IlIlIlIl vettorevettorevettorevettore sommasommasommasomma vvvv di due dati vettori 1111vvvv e 2222vvvv , relativamente ad un dato

punto PPPP a cui viene applicato, viene costruito geometricamente con la regola del

parallelogramma: si "trasportano i due vettori, ad esempio i vettori 1111vvvvABABABAB ≈≈≈≈ e

2222vvvvCDCDCDCD ≈≈≈≈ nello stesso punto di applicazione PPPP come nella figura seguente. Quindi

dai loro estremi terminali si tracciano due rette, rispettivamente aaaa parallela a

1111vvvv e bbbb parallela a 2222vvvv . Essi si incontrano in uno stesso punto QQQQ che definisce il

vettore somma PQPQPQPQvvvvvvvvvvvv ====++++==== 22221111 . L'oppostooppostooppostoopposto di un vettore vvvv è il vettore vvvv−−−−

tale che la somma dei due vale il vettorevettorevettorevettore nullonullonullonullo: (((( )))) 0000====−−−−++++ vvvvvvvv . Il vettore nullo

non sposta nessun punto e, quindi, è associato alla trasformazione identità .



Se un dato vettore vvvv è associato ad una traslazionevvvvtttt il vettore opposto vvvv−−−−

è invece associato alla traslazione inversa 1111−−−−−−−−vvvvtttt : la loro composizione è l'identità.

La differenzadifferenzadifferenzadifferenza frafrafrafra duedueduedue vettorivettorivettorivettori 22221111 vvvvvvvvvvvv −−−−==== è definita come la somma fra il primo

vettore e l'opposto del secondo (((( ))))22221111 vvvvvvvvvvvv −−−−++++==== .

La traslazione (Figura in basso) è una isometriaisometriaisometriaisometria direttadirettadirettadiretta e ha come invarianti:- lelelele distanzedistanzedistanzedistanze fra punti e la congruenza fra segmenti;- l'allineamentol'allineamentol'allineamentol'allineamento fra punti e l'orientamentoorientamentoorientamentoorientamento delle figure (isometria diretta)- gli angoliangoliangoliangoli ed il parallelismoparallelismoparallelismoparallelismo fra le rette;- incidenzaincidenzaincidenzaincidenza fra rette.



1.21.21.21.2 ROTAZIONEROTAZIONEROTAZIONEROTAZIONE

RotazioneRotazioneRotazioneRotazione didididi centrocentrocentrocentroOOOO eeee angoloangoloangoloangolo orientatoorientatoorientatoorientato αααα :::: trasformazione geometrica cheassocia ad ogni punto PPPP il punto P'P'P'P' tale che:

- l'angolo∧∧∧∧

''''POPPOPPOPPOP è congruente ad αααα ed ha lo stesso orientamento;- ''''OPOPOPOPOPOPOPOP ≅≅≅≅La rotazione di angolo nullo ( 0000====αααα ) oppure di un angolo multiplo di un angolo

giro ( .... , ,,,,,,,,,,,,,,,,nnnnnnnn 33332222111100003603603603600000 ====⋅⋅⋅⋅====αααα ) è l'identità che associa ogni punto a se

stesso: in simboli scriviamo (((( )))) PPPPPPPP::::rrrr nnnn;;;;OOOO ⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅ 360360360360 .

In ogni altra rotazione di angolo non nullo ( 0000≠≠≠≠αααα ) l'unico punto unito è il centroOOOO della rotazione ma esistono alcune figure che sono unite, cioè che vengonotrasformate in se stesse:

IlIlIlIl cerchiocerchiocerchiocerchio didididi centrocentrocentrocentro OOOO (figura seguente) viene trasformato in se stesso a seguitodi una rotazione di centro OOOO ed angolo qualsiasi.

IlIlIlIl quadratoquadratoquadratoquadrato (figura seguente) si trasforma in se stesso a seguito di una rotazionedi centro OOOO , coincidente con punto di incontro delle diagonali, ed angolo

multiplo di un angolo retto ( .... , ,,,,,,,,,,,,,,,,nnnnnnnn 3333222211110000909090900000 ====⋅⋅⋅⋅====αααα ) . La rotazione è una

isometriaisometriaisometriaisometria direttadirettadirettadiretta ha per invarianti: - distanze e congruenze---- l'orientamento fra punti ed il loro allineamento; -- angoli ed il parallelismo fra rette.



ComposizioneComposizioneComposizioneComposizione didididi duedueduedue rotazionirotazionirotazionirotazioni conconconcon lolololo stessostessostessostesso centrocentrocentrocentro OOOO : date due rotazioni

con lo stesso centro, rispettivamente la prima (((( ))))αααα;;;;OOOOrrrr di angolo αααα e la seconda

(((( ))))ββββ;;;;OOOOrrrr di angolo ββββ , la composizione delle due rotazioni è una nuova rotazione

dello stesso centro OOOO ed angolo ββββαααα ++++ : (((( )))) (((( )))) (((( ))))ββββααααααααββββ ++++==== ;;;;OOOO;;;;OOOO;;;;OOOO rrrrrrrrrrrr � .

ComposizioneComposizioneComposizioneComposizione didididi duedueduedue rotazionirotazionirotazionirotazioni conconconcon centricentricentricentri diversi,diversi,diversi,diversi, (((( ))))αααα;;;;OOOOrrrr 1111 e (((( ))))αααα;;;;OOOOrrrr 2222 :

in genere non è una rotazione e, di conseguenza, l'operazione di composizionenon è, in questo caso, una operazione interna all'insieme delle rotazioni.



1.31.31.31.3 SIMMETRIASIMMETRIASIMMETRIASIMMETRIA CENTRALECENTRALECENTRALECENTRALE

La simmetria centrale ( ''''PPPPPPPP::::ssssoooo ⇒⇒⇒⇒ )))) rispetto ad un dato centro OOOO è l'isometria che

associa ad ogni punto PPPP il punto P'P'P'P' tale che OOOO è il punto medio del segmento PP':PP':PP':PP':

La simmetria centrale, che può anche essere pensata come una rotazione concentro OOOO di una angolo piatto, ha come unico punto unito lo stesso centro OOOO.FigureFigureFigureFigure simmetrichesimmetrichesimmetrichesimmetriche (figura seguente) : sono quelle che hanno un propriocentrocentrocentrocentro didididi simmetriasimmetriasimmetriasimmetria OOOO tale che il punto simmetrico di un loro qualunque puntoPPPP , appartenga ad esse.Esempi di figure notevoli dotate di un centro di simmetria sono:-il segmento rispetto al suo punto medio;-il parallelogramma rispetto al punto di incontro delle diagonali e e, inparticolare, rettangolo, quadrato e rombo sono figure simmetriche;- il cerchio rispetto al suo centro.La retta ha invece, in ogni suo punto, un centro di simmetria.



La composizionecomposizionecomposizionecomposizione di due simmetrie centrale di centri diversi 1111OOOO e 2222OOOO equivale

ad una traslazione di vettore 222211112222 OOOOOOOOvvvv ⋅⋅⋅⋅==== pari al doppio del vettore

congiungente i due centri 22221111OOOOOOOO .

La dimostrazione si basa su di un teorema, derivato dal teorema di Talete, cheafferma che il segmento congiungente i punti medi di due lati di un triangolo èparallelo al terzo lato ed è congruente alla sua metà: pertanto, dalla figura sopra,

il segmento 22221111OOOOOOOO congiunge i punti medi dei lati 1111AAAAAAAA e 2222AAAAAAAA del triangolo

22221111AAAAAAAAAAAA e, quindi, è parallelo al terzo lato 3333AAAAAAAA ed è cogruente alla sua metà.

Questo è come dire che il vettore 3333AAAAAAAAvvvv ==== vale il doppio del vettore 1111OOOOOOOO .

La simmetria centrale è una isometriaisometriaisometriaisometria direttadirettadirettadiretta perchè mantiene l'orientamentodei punti delle figure, come si nota dalle figure precedenti.La simmetria centrale è detta trasformazionetrasformazionetrasformazionetrasformazione involutoriainvolutoriainvolutoriainvolutoria perchècomponendola con se stessa equivale ad una identità: infatti, se viene applicataad una qualunque figura due volte rispetto allo stesso centro, restituisce la figurastessa.



1.41.41.41.4 SIMMETRIASIMMETRIASIMMETRIASIMMETRIA ASSIALEASSIALEASSIALEASSIALE

La simmetria assiale ( ''''PPPPPPPP::::ssssaaaa ⇒⇒⇒⇒ ) rispetto ad una data retta aaaa (detta asse di

simmetria) è una isometria che ad ogni punto aaaaPPPP∉∉∉∉ fa corrispondere il punto

''''PPPP da parte opposta tale che aaaa''''PPPPPPPP ⊥⊥⊥⊥ ed il suo punto medio aaaaHHHH∈∈∈∈ .

Inoltre, ad ogni punto dell'asse aaaa corrisponde a se stesso unito: PPPPaaaaPPPP::::ssssaaaa ⇒⇒⇒⇒∈∈∈∈

e, pertanto, l'asse di simmetria è l'insieme dei punti uniti nella trasformazione.

Nella figura che segue sono rappresentate due coppie di figure simmetricherispetto ad un asse aaaa dove, in base alla definizione di simmetria assiale datasopra, i punti segnati lungo tale asse rappresentano i punti medi dei segmentiche congiungono tra punti simmetrici. Ad esempio LLLL è punto medio di ''''CCCCCCCC .

La simmetria assiale, come si vede dalla figura a destra, inverte l'orientamentodelle figure e per questo è detta trasformazionetrasformazionetrasformazionetrasformazione indirettaindirettaindirettaindiretta.La simmetria assiale è una trasformazionetrasformazionetrasformazionetrasformazione involutoriainvolutoriainvolutoriainvolutoria poichè, quando vieneapplicata due volte allo stesso punto, il trasformato coincide con il punto stesso.AsseAsseAsseAsse didididi simmetriasimmetriasimmetriasimmetria di una figura è una retta, che esiste in alcune figure, dettefigurefigurefigurefigure simmetriche,simmetriche,simmetriche,simmetriche, per il quale la figura è unita nella simmetria assiale.Le figure seguenti si riferiscono alle simmetrie più comuni.



La retta e la circonferenza hanno entrambe infiniti assi di simmetria: la primaammette come asse qualunque retta perpendicolare ad essa e la seconda tutte lerette a passanti per il centro:



ComposizioneComposizioneComposizioneComposizione didididi duedueduedue simmetriesimmetriesimmetriesimmetrie assiali.assiali.assiali.assiali. Si dimostra, in generale, che ogniisometria equivale alla composizione di due simmetrie assiai.Esaminiamo due notevoli composizionei di simmetrie assiali illustrate sotto.Le simmetriesimmetriesimmetriesimmetrie assialiassialiassialiassiali conconconcon duedueduedue assiassiassiassi paralleliparalleliparalleliparalleli (figura sinistra) equivalgno ad unatraslazione di un vettore avente lunghezza pari al doppio della distanza fra ilprimo asse ed il secondo.Le simmetriesimmetriesimmetriesimmetrie assialiassialiassialiassiali conconconcon duedueduedue assiassiassiassi perpendicolariperpendicolariperpendicolariperpendicolari (figura destra) equivalgono

ad una rotazione di angolo di 0000180180180180 con centro OOOO nel loro punto di incontro .

La composizione di due simmetrie assiali con assi incidenti in un puntoOOOOformanti un angolo di ampiezzaωωωω equivale ad un rotazione di centro O e diampiezza pari al doppio:



1.4 ISOMETRIA DELLE TRASFORMAZIONI

Di seguito sono riportate le dimostrazioni della proprietà di isometria relativaalle quattro trasformazioni trattate nei precedenti paragrafi.

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2222 TEOREMATEOREMATEOREMATEOREMADIDIDIDI TALETETALETETALETETALETE

Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, il rapportofra due segmenti AB e CD individuati su una trasversale è uguale al rapporto fra iloro corrispondenti A'B' e C'D' individuati sull'altra trasversale.

Il teorema di Talete si dimostra suddividendo i segmenti AB e CD rispettivamenteinmmmm ed in nnnn segmenti di misura pari ad uuuu (di valore razionale o irrazionale);su una trasversale rrrr ; per il piccolo teorema di Talete, sull'altra trasversalerimangono individuati altrettanti corrispondenti segmenti, congruenti fra loro, dimisura vvvv e i rapporti fra i segmenti AB/CD sono uguali a A'B'/C'D'.

TeoremaTeoremaTeoremaTeorema inversoinversoinversoinverso deldeldeldel teoremateoremateoremateorema didididi Talete:Talete:Talete:Talete: se un insieme di rette determina sudue trasversale classi di segmenti proporzionali allora le rette sono parallele.

Fissiamo sulla prima trasversale il segmento AB e mandiamo dai suoi estremidue rette parallele a e b che incontrano sull'altra trasaversale rrrr nei punti A'B'.Consideriamo ora i punti C e C' per i quali valga la proporzione AB: BC=A'B':B'C'.Quindi dal punto C tracciamo la retta c' , parallela alle rette a e b, che interseca latrsversale s in C''. Essendo le rette a,b, c' parallele fra loro deve valere il teoremadi Talete per cui vale la proporzione AB: BC=A'B':B'C''. Dunque, dovendoentrambe le proporzioni essere valide, necessariamente si ha: B'C'≅B'C''.In questo modo, il punto C' coincide con il punto C'' e, di conseguenza, CC'coincide con CC'' ed è parallea alle altre, per cui è dimostrata la tesi.



2.2.2.2. 1111 ConseguenzeConseguenzeConseguenzeConseguenze deldeldeldel teoremateoremateoremateorema didididi TaleteTaleteTaleteTalete suisuisuisui triangolitriangolitriangolitriangoli

TeoremaTeoremaTeoremaTeorema delladelladelladella parallelaparallelaparallelaparallela: una retta parallela ad un lato di un triangolo dividegli altri due lati o i loro prolungamenti in parti proporzionali.

Dimostrazione: tracciando la retta s parallela al lato AB possiamo applicare ilteorema di Talete (figura sinistra) al fascio di rette AB, r ed s tagliate dalle duetrasversali BC e AC. Nei prolungamenti dei lati AC e BC (figura destra) le rette rrrr etttt parallele ad AB li intersecano nei puni D ed E dalla parte opposta di AB e neipunti F e G dalla stessa parte di AB: applicando anche in questo caso il teorema diTalete al fascio di rette r, s, t e AB, tagliate dalle trasversali AC e BC si hanno lerelazioni di proporzionalità sotto scritte.

TeoremaTeoremaTeoremaTeorema inversoinversoinversoinverso delladelladelladella parallelaparallelaparallelaparallela: se un retta divide due lati di un triangolo inparti proporzionali allora essa è parallela al terzo lato.Il teorema si dimostra direttamente con il teorema inverso di Talete.

UlterioriUlterioriUlterioriUlteriori relazionirelazionirelazionirelazioni(figura seguente):::: se dal punto E e dal vertice B mandiamo lerette parallelele ad AC, rispettivamente r ed s poi applichiamo il teorema di Taleteal fascio di rette r, s, AC tagliate dalle trasversali sovrapposte ai lati AB e BC siottengono le relazioni di proporzionalità: AB:DE=BE:BC=AD:CDAB:DE=BE:BC=AD:CDAB:DE=BE:BC=AD:CDAB:DE=BE:BC=AD:CD .



TeoremaTeoremaTeoremaTeorema deideideidei puntipuntipuntipuntimedi:medi:medi:medi: il segmento che ha per estremi i punti medi di due latiè parallelo al terzo lato ed è congruente alla sua metà.

TeoremaTeoremaTeoremaTeorema deldeldeldel baricentrobaricentrobaricentrobaricentro:le tre mediane di un triangolo passano per uno stesso punto che divide ciascuna

di esse in due parti di cui contenente il vertice è doppia dell'altra.

Si considerino le due mediane AN e BM che si incontrano nel punto G. Per il

teorema dei punti medi si ha: ABABABABMNMNMNMN e ABABABABMNMNMNMN22221111

==== . Detti P e Q i punti medi

delle mediane AN e BM, relativamente al triangolo ABG si ha, per lo stesso

teorema, ABABABABPQPQPQPQ e ABABABABPQPQPQPQ22221111

==== . Pertanto, per la proprietà transitiva, si ha anche

AMAMAMAMMNMNMNMN e PQPQPQPQMNMNMNMN ≅≅≅≅ . Il quadrilatero PQNM avendo due lati opposti paralleli e

congruenti è un quadrilatero e, quindi, dovendo le sue diagonali intersecarsi nel

loro punto medio G valgono le relazioni: GNGNGNGNPGPGPGPG ≅≅≅≅ e GMGMGMGMGQGQGQGQ ≅≅≅≅ .

Essendo però P e Q i punti medi dei lati del triangolo ABG, valgono le relazioni

PGPGPGPGAGAGAGAG 2222==== e GQGQGQGQBGBGBGBG 2222==== . Ne consegue: GNGNGNGNAGAGAGAG 2222==== e GNGNGNGNBGBGBGBG 2222==== . Ripetendo il

ragionamento per le mediane CL e AN si ottiene pure GNGNGNGNAGAGAGAG 2222≅≅≅≅ e GLGLGLGLCGCGCGCG 2222≅≅≅≅ .Pertanto è così dimostato che le tre mediane si incontrano nello stesso punto chele divide in due parti di cui quella contenente il vertice è doppia dell'altra.



TeoremaTeoremaTeoremaTeorema delladelladelladella bisettrice:bisettrice:bisettrice:bisettrice:la retta bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto indue parti direttamente proporzionali agli altri due lati.



3333 OMOTETIAOMOTETIAOMOTETIAOMOTETIA

Omotetia di centro O e rapporto 0000≠≠≠≠kkkk , è la trasformazione che ad ogni punto P

associa un punto P' tale che OPOPOPOPkkkk''''OPOPOPOP ⋅⋅⋅⋅==== .

Il numero reale kkkk può considerarsi come un rapporto fra vettori:OPOPOPOP''''OPOPOPOPkkkk ====

Se 0000>>>>kkkk si ha l'omotetiaomotetiaomotetiaomotetia direttadirettadirettadiretta con i due punti PPPP e P'P'P'P'dalla stessa parterispetto al centro OOOO, se invece 0000<<<<kkkk si ha l'omotetiaomotetiaomotetiaomotetia inversainversainversainversa con i due punti daparti opposte rispetto a tale centro.

Applicando una omotetia ad una qualunque figura si ha , a seconda dei valori:

Identità (((( ))))OPOPOPOPOP'OP'OP'OP' ==== se 1111====kkkk ; simmetria centrale (((( ))))OPOPOPOP''''OPOPOPOP −−−−==== se 1111−−−−====kkkk ;

Riduzione (((( ))))OPOPOPOP''''OPOPOPOP <<<< per 11110000 <<<<<<<< kkkk , un ingrandimento (((( ))))OPOPOPOP''''OPOPOPOP >>>> se 1111>>>>kkkk .



La composizione di due omotetie , rispettivamente di centro 1111OOOO e fattore 1111kkkk

applicata al segmento AB e di centro 2222OOOO con fattore 2222kkkk applicata al segmento

A'B', è una omotetia che applicata al segmento AB determina il segmento

ABABABABkkkkkkkk''''''''BBBB''''''''AAAA ⋅⋅⋅⋅==== 22221111 ed il cui centro O si determina geometricamente prolungando

i segmenti che AA'' e BB'', come mostrato nella figura seguente:

Con lo stesso procedimento si determina il centro O della composizione di dueomotetie, di cui la prima applicata ad una figura e la seconda applicata alla figuratrasformata (come, ad esempio, il quadrato della figura successiva) ed il fattore

associato è sempre dato dal prodotto dei numeri: 22221111 kkkkkkkkkkkk ⋅⋅⋅⋅==== .



ProprietProprietProprietProprietàààà delledelledelledelle omotetieomotetieomotetieomotetie.

InvariantiInvariantiInvariantiInvarianti:- l'allineamento dei punti;-l'incidenza fra le rette ed il parallelismo.

Per la dimostarzione è sufficiente considerare le omotetie dello stesso centroapplicate a due segmenti paralleli secondo rapporti diversi: i segmentitrasformati sono paralleli ai primi per il teorema di Talete ed essendo per ipotesianche paralleli tra loro, essi sono tutti paralleli, come mostrato in figura.

-l'ampiezza degli angoli;-l'orientamento delle figure.Come mostrato nella figura seguente: i vertici dei triangoli omotetici ABC, A'B'C' eA''B''C'' si succedono sempre nello stesso ordine.

L'unico punto unito (si trasforma in sè stesso) è il suo centro O.Qualunque retta passante per il centro O di una omotetia è unita.Lomotetia non è una trasformazione involutoria poichè, se viene applicataconsecutivamente a partire da un dato punto, non associa mai lo stesso.



RapportiRapportiRapportiRapporti frafrafrafra lelelelemisuremisuremisuremisure didididi segmentisegmentisegmentisegmenti omotetici.omotetici.omotetici.omotetici.Ricordiamo che il numero di omotetia kkkk rappresenta il rapporto fra due vettori

associati agli estremi dei segmenti AB e A'B': ABABABABKKKK''''BBBB''''AAAA ⋅⋅⋅⋅==== . Essendo le

lunghezze dei vettori niente altro che le misure dei segmenti associati ad essi,

Il numero kkkk senza segno, è invece associato al rapporto fra le misure dei

segmenti stessi: ABABABABKKKK''''BBBB''''AAAA ⋅⋅⋅⋅==== .

TriangoliTriangoliTriangoliTriangoli omoteticiomoteticiomoteticiomotetici.

Il rapportorapportorapportorapporto frafrafrafra iiii perimetriperimetriperimetriperimetri di due triangoli omotetici nel fattore kkkk vale kkkk .

Infatti il perimetro di un qualunque triangolo ABC è dato dalla somma delle

misure dei suoi lati: ACACACACBCBCBCBCABABABABpppp ++++++++==== ; d'altra parte il perimetro di un triangolo

A'B'C' omotetico di ABC secondo il fattore kkkk è analogo al precedente:

(((( ))))ACACACACBCBCBCBCABABABABkkkkACACACACkkkkBCBCBCBCkkkkABABABABkkkk''''CCCC''''AAAA''''CCCC''''BBBB''''BBBB''''AAAA''''pppp ++++++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====++++++++==== ;

Sostituendo ACACACACBCBCBCBCABABABABpppp ++++++++==== , si può scrivere ppppkkkk''''pppp ⋅⋅⋅⋅==== oppure kkkkpppp::::''''pppp ==== .

Il rapportorapportorapportorapporto frafrafrafra lelelele areeareeareearee di due triangoli omotetici nel fattore kkkk vale 2222kkkk .

Per dimostrarlo consideriamo due triangoli associati da una omotetia di centro O

(((( )))) ''''CCCC''''BBBB''''AAAAABCABCABCABC::::kkkk;;;;OOOO ⇒⇒⇒⇒ ωωωω . L'area del triangolo ABC è data da: CHCHCHCHABABABABSSSS ⋅⋅⋅⋅====22221111 dove

CHCHCHCH rappresenta la misura dell'altezza CH rispetto al lato AB. La misura della

base A'B' è ABABABABKKKK''''BBBB''''AAAA ⋅⋅⋅⋅==== mentre la misura dell'altezza relativa al lato A'B'' è

invece CHCHCHCHkkkk''''HHHH''''CCCC ⋅⋅⋅⋅==== . Pertanto, l'area del triangolo omotetico A'B'C' vale

CHCHCHCHABABABABkkkkCHCHCHCHkkkkABABABABkkkk''''HHHH''''CCCC''''BBBB''''AAAA''''SSSS ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====22221111

22221111

22221111 2222 . Come dire 2222kkkkSSSS::::''''SSSS ==== .

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