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CAPITOLO IX

COPPIE DI GELFAND IN GEOMETRIA RIEMANNIANA

1. Gruppi di isometrie di varieta riemanniane

Sia M una varieta riemanniana completa e sia G = I(M) il gruppo delle sueisometrie. Indichiamo con (g, p) 7→ g · p l’azione di I(M) su M . Introducendo suI(M) la topologia della convergenza uniforme sui compatti, l’azione e continua.

Indichiamo con dgp : TpM → Tg·pM il differenziale di g ∈ I(M) in p.

Lemma 1.1. Siano g, g′ ∈ I(M) due isometrie di M , e sia p ∈M tale che g · p =g′ · p e dgp = dg′p. Se M e connessa, g = g′.

Dimostrazione. Consideriamo h = g−1g′. Allora h · p = p e dhp = I. Se γ e unageodetica uscente da p, h ·γ e pure una geodetica, avente lo stesso vettore tangentein p. Dunque h e l’identita su γ. Siccome le geodetiche uscenti da p coprono unintero intorno U di p, h e l’identita su U .

Segue facilmente che l’insieme dei punti di M fissati da h e aperto e chiuso.Dunque h e l’identita su M . �

Diamo senza dimostrazione il seguente teorema1.

Teorema 1.2. Sia M una varieta riemanniana connessa. Allora I(M) ammetteuna struttura di gruppo di Lie tale che l’azione di I(M) su M sia analitica. Datop ∈M , lo stabilizzatore di p in I(M) e compatto.

D’ora in poi supporremo M connessa.Si dice che M e una varieta riemanniana omogenea se l’azione di I(M) e tran-

sitiva. Una varieta riemanniana omogenea si dice uno spazio commutativo se lacoppia (G,K), con G = I(M) e K lo stabilizzatore di un dato punto x0 in I(M),e di Gelfand.

Osservazione. Le nozioni di coppia di Gelfand (per gruppi di Lie) e di spaziocommutativo si sovrappongono parzialmente, ma sono di natura diversa.

Se (G,K) e una coppia di Gelfand (con G,K gruppi di Lie), e sempre possibileintrodurre su G/K una metrica riemanniana rispetto alla quale G agisca per isome-trie. Sia infatti g = k⊕ p una decomposizione Ad(K)-invariante dell’algebra di Lieg di G. Su p introduciamo un prodotto scalare 〈 , 〉p che sia Ad(K)-invariante.

Sia x0 = eK ∈ G/K = M . L’identificazione di Tx0M con p (cfr. Cap. VIII, §4)fornisce un prodotto scalare 〈 , 〉x0 su Tx0M invariante rispetto a (dk)x0 per ognik ∈ K.

1v. S. Helgason, Differential geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces, Chap. IV, §2.

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2 CAPITOLO IX

Se x = gK, definiamo un prodotto scalare su TxM come segue. Dati v1, v2 ∈TxM , siano w1, w2 ∈ Tx0M tali che (dg)x0wj = vj , j = 1, 2. Poniamo

〈v1, v2〉x = 〈w1, w2〉x0 .

Questa e una buona definizione perche se gK = g′K, allora g = g′k con k ∈ Ke (dg)x0 = (dg′)x0(dk)x0 . Se w′j = (dg′)−1

x0vj , allora w′j = (dk)x0wj , e dunque

〈w′1, w′2〉x0 = 〈w1, w2〉x0 .Per costruzione, l’azione di G conserva la metrica, dunque G ⊂ I(M). Va notato

tuttavia che la scelta del prodotto scalare su p (e dunque della metrica su M) none unica, e che G puo risultare un sottogruppo proprio di I(M).

2. Spazi simmetrici

Una varieta riemanniana connessa M si dice uno spazio simmetrico se per ognipunto x ∈M esiste un’isometria sx ∈ I(M) tale che sx · x = x e (dsx)x = −I.

Supponiamo che M sia uno spazio simmetrico. Se γ(t) e una geodetica parame-trizzata in modo che γ(0) = x, allora sx · γ(t) e pure una geodetica, e il suo vettoretangente in x e uguale a − ·γ(0). Pertanto, sx · γ(t) = γ(−t), ossia sx e l’inversionegeodetica centrata in x.

Su una varieta generica, l’inversione geodetica di centro x e definita sicuramentein un intorno geodetico2 di x, ma non necessariamente su tutta la varieta. Inoltrenon e vero in generale che essa sia un’isometria sull’intorno. La condizione disimmetria e dunque molto forte.

Un modo equivalente di definire la condizione di simmetria e la seguente3: perogni x ∈ M esiste un’isometria sx involutiva (tale cioe che s2

x sia l’identita) e perla quale x sia un punto fisso isolato.

Proposizione 2.1. Uno spazio simmetrico e omogeneo.

Dimostrazione. Sia x ∈M , conM spazio simmetrico. Se y e in un intorno geodeticoU di x, si consideri la geodetica γ uscente da x = γ(0), contenuta in U e passanteper y = γ(d) (con d = d(x, y)). Se z = γ(d/2), l’inversione geodetica sz scambia xcon y.

Da cio segue che, per ogni x0 ∈ M , l’orbita di x0 rispetto a I(M) e aperta.Siccome M e connesso, consiste di una sola orbita. �

Fissiamo dunque un punto x0 ∈ M e chiamiamo K lo stabilizzatore di x0 inG = I(M). Indichiamo poi con σ l’automorfismo interno σ(g) = sx0gsx0 di G, econ

θ = Ad(sx0) : g→ g ,

il suo differenziale nell’identita. Poiche sx0 e involutivo, si ha θ2 = I. Quindi gsi scompone nella somma diretta dei due autospazi V+ = {X ∈ g : θX = X} eV− = {X ∈ g : θX = −X}.

2Se M e una varieta riemanniana e x ∈ M , si definisce l’applicazione Expx : TxM → M

come segue: dato un vettore unitario v ∈ TxM , si consideri la geodetica γv tale che·γv(0) = v.

Si pone Expx(tv) = γv(t). Se r < rmax (detto raggio di iniettivita), l’applicazione Expx e un

diffeomorfismo della palla Br su un intorno di x. Un tale intorno si chiama intorno geodetico di x.3v. S. Helgason, Differential geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces, p. 205.

COPPIE DI GELFAND IN GEOMETRIA RIEMANNIANA 3

Proposizione 2.2. (1) L’autospazio V+ coincide con l’algebra di Lie k di K. Postop = V−, si ha allora g = k⊕ p. Inoltre,

(2.1) [k, k] ⊂ k , [k, p] ⊂ p , [p, p] ⊂ k .

(2) Se U e un intorno sufficientemente piccolo di 0 in p, l’applicazione (k,X) 7→k expG(X) e un diffeomorfismo di K×U su un intorno di K in G, e l’applicazioneX 7→ expG(X) · x0 e un diffeomorfismo di U su un intorno di x0 in M .

Dimostrazione. Se θX = X, la curva γX(t) = expG(tX) · x0 e lasciata fissa da sx0 .Infatti,

sx0 ·γX(t) = (sx0 expG(tX)sx0) ·x0 = σ(

expG(tX))·x0 = expG(tθX) ·x0 = γX(t) .

Poiche x0 e un punto fisso isolato di sx0 , deve essere γX(t) = x0 per t piccolo, edunque per ogni t. Quindi expG(tX) ∈ K, da cui X ∈ k.

Per dimostrare il viceversa, e sufficiente far vedere4 che σ(k) = k per ogni k ∈ K.Confrontando i differenziali delle isometrie k e σ(k) = sx0ksx0 nel punto x0, si ha(

dσ(k))x0

= (dsx0)x0(dk)x0(dsx0)x0 = (dk)x0 .

Per il Lemma 1.1, σ(k) = k.Le inclusioni (2.1) seguono dal fatto che θ e un automorfismo di algebre di Lie.

Dalla relazioneθ[X,Y ] = [θX, θY ]

si ottiene che, se θX = εX e θY = δY , allora θ[X,Y ] = εδ[X,Y ].La parte (2) dell’enunciato e conseguenza diretta delle considerazioni svolte nel

§4 del Cap. VIII. �

Teorema 2.3. (G,K) e una coppia di Gelfand.

Dimostrazione. Sia V l’intorno di K in G i cui elementi sono i prodotti g =k expG(X), con k ∈ K e X nell’intorno U dell’origine in p del Teorema 2.2. Seg ∈ V ,

g−1 = expG(−X)k−1 = expG(θX)k−1

= sx0 expG(X)sx0k−1

= (sx0k−1)g(sx0k

−1) ∈ KgK .

Per la seconda delle (2.1), K agisce su p tramite la rappresentazione aggiunta.Si puo dunque supporre che U sia Ad(K)-invariante, da cui segue che se g ∈ V ,anche kgk′ ∈ V per ogni k, k′ ∈ K. Sia ora W un intorno di e tale che kWk−1 = W

per ogni k ∈ K e W 2 ⊂ V . Posto V ′ = KWK, anche V ′2 ⊂ V .Per la bi-K-invarianza di V ′, se f ha supporto in V ′, anche f ] =

∫K×K f(kgk′) dk dk′

ha supporto in V ′.

4La condizione θX = X per ogni X ∈ k e equivalente alla condizione σ(k) = k per ogni k nella

componente connessa dell’identita in K. Stiamo dunque dimostrando una proprieta piu forte, nelcaso che K non sia connesso.

4 CAPITOLO IX

Siano dunque f1, f2 bi-K-invarianti con supporto in V ′. Allora, con le notazionidella Proposizione 4.2 del Cap. VII, fj = fσj . Lo stesso vale per f1 ∗ f2, che hasupporto in V . Come nella dimostrazione della Proposizione 4.2 del Cap. VII, siconclude che f1 e f2 commutano.

Si osservi ora che la dimostrazione del Lemma 5.1 del Cap. VIII continua avalere nell’ipotesi piu debole che la convoluzione sia commutativa sulle funzionibi-K-invarianti con supporto sufficientemente piccolo. Si ottiene cosı che l’algebraD(G/K) degli operatori differenziali G-invarianti su G/K ∼= M e commutativa.

La conclusione segue allora dal Teorema 5.4 del Capitolo VIII. �

3. Spazi doppiamente omogenei

Una varieta riemanniana connessa M si dice uno spazio doppiamente omogeneo(in inglese: two-point homogeneous space) se, date due coppie di punti (x, y), (x′, y′)di punti di M , con d(x, y) = d(x′, y′), esiste una isometria di M che manda x in x′

e y in y′.Uno spazio doppiamente omogeneo e sicuramente omogeneo. Per es. dalla

definizione segue che, dati comunque x, y ∈ M esiste una isometria che scambiax con y.

Lemma 3.1. Una varieta riemanniana connessa M e doppiamente omogenea see solo se, per ogni x ∈ M , lo stabilizzatore di x in Iso(M) agisce transitivamentesulle sfere geodetiche di centro x.

Dimostrazione. Se M e doppiamente omogenea, dati due punti y, y′ equidistantida x, esiste una isometria che fissa x e manda y in y′. Questo dimostra unaimplicazione.

Viceversa, si supponga che, dati x, y, y′ con d(x, y) = d(x, y′), esista una isome-tria che fissi x e mandi y in y′. Siano ora (x, y), (x′, y′) due coppie di punti cond(x, y) = d(x′, y′). Si consideri un arco geodetico γ congiungente x con x′ e dilunghezza uguale alla distanza tra x e x′. Se z e il punto medio di γ, esiste unaisometria g che fissa z e manda x in x′. Sia y′′ = g · y. Allora

d(x′, y′′) = d(x, y) = d(x′, y′) .

Esiste per ipotesi un’isometria h che fissa x′ e manda y′′ in y′. Allora hg mandax in x′ e y in y′. �

Teorema 3.2. Una varieta riemanniana connessa M e doppiamente omogenea see solo se, per ogni x ∈ M , lo stabilizzatore di x in Iso(M) agisce transitivamentesulla sfera unitaria in TxM .

Dimostrazione. Si supponga M doppiamente omogenea e sia x ∈ M . Dati v, v′ ∈TxM di norma 1, si considerino le geodetiche γ, γ′ uscenti da x e con vettore tan-gente rispettivamente v e v′ in x. Se r > 0 e un numero fissato sufficientementepiccolo, i punti yr = γ(r), y′r = γ′(r) hanno distanza r da x. Sia g ∈ Iso(M) taleche g · x = x e g · yr = y′r. Allora g · γ e una geodetica γ uscente da x e taleche γ(r) = y′r. Se r e sufficientemente piccolo, la geodetica di lunghezza minimacongiungente x a y′r e unica. Dunque γ = γ′ e allora (dg)xv = v′.


Viceversa, si supponga che lo stabilizzatore di x in Iso(M) agisca transitivamentesulla sfera unitaria in TxM . Siano y, y′ a uguale distanza r da x, e siano γ, γ′ archigeodetici uscenti da x e aventi come secondo estremo y e y′ rispettivamente. Sev =

·γ(0), v′ =

·γ′(0) sia g ∈ Iso(M) tale che (dg)xv = v′. Allora g · γ = γ′ e dunque

g · y = y′. Per il Lemma 3.1, M e doppiamente omogenea. �

Il Teorema 3.2 fornisce una caratterizzazione degli spazi doppiamente omogeneidi tipo geometrico-differenziale. Una terza condizione equivalente si ha in terminidi operatori differenziali su M invarianti per isometrie.

Sia M una varieta riemanniana omogenea. Posto G = Iso(M), si identifichi Mcon G/K, K essendo lo stabilizzatore di un punto fissato x0 ∈ M . Un elementodi D(G/K) e sicuramente l’operatore di Laplace-Beltrami ∆. Di conseguenza, ognipolinomio in ∆ e in D(G/K).

Riprendendo le notazioni del §4 del Cap. VIII, sia g = k⊕ p una decomposizionedell’algebra di Lie di G, con p Ad(K)-invariante, e si identifichi p con Tx0M . At-traverso questa identificazione, la metrica su Tx0M si trasporta su p introducendoviun prodotto scalare Ad(K)-invariante, che indichiamo con 〈 , 〉p.

Il polinomio Ad(K)-invariante P∆ su p che corrisponde all’operatore ∆ nel sensodel Teorema 4.2 del Cap. VIII, e

P∆(X) = −‖X‖2p .

Teorema 3.3. Uno spazio omogeneo M e doppiamente omogeneo se e solo se gliunici operatori in D(G/K) sono i polinomi in ∆.

Dimostrazione. Se M e doppiamente omogenea, per il Teorema 3.2, i polinomiAd(K)-invarianti su p sono costanti sulle sfere di centro l’origine. Gli unici polinomicon questa proprieta sono i polinomi in ‖X‖2p. Segue per induzione sul grado chela corrispondenza q

(−‖X‖2p

)↔ q(∆) e biunivoca tra lo spazio dei polinomi radiali

su p e D(G/K).Viceversa, se D(G/K) e costituito dai soli polinomi in ∆, segue che gli unici

polinomi Ad(K)-invarianti su p sono quelli radiali. Se Ad(K) non agisse transitiva-mente sulla sfera unitaria, questa si decomporrebbe in orbite, e dovrebbero esisteresufficienti polinomi Ad(K)-invarianti da separarle. Quindi K agisce transitivamnetesulla sfera unitaria di Tx0M . Siccome M e omogenea per ipotesi, lo stesso vale inogni spazio tangente. �

Gli spazi doppiamente omogenei costituiscono una sottoclasse propria degli spazisimmetrici, precisamente essi sono gli spazi simmetrici di rango uno5.

Essi sono relativamente pochi, precisamente: gli spazi euclidei Rn, le sfere reali,gli spazi proiettivi reali, complessi e quaternionici, gli spazi iperbolici reali, com-plessi e quaternionici, piu due spazi “eccezionali”, assimilabili rispettivamente alpiano proiettivo bidimensionale e al piano iperbolico bidimensionale sull’algebradei numeri di Cayley.

5Si veda S. Helgason, Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces.

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4. Spazi debolmente simmetrici

Una varieta riemanniana connessa M si dice uno spazio debolmente simmetricose, dati due punti x, y ∈M , esiste una isometria g tale che g · x = y e g · y = x.

Il termine e giustificato dal seguente enunciato.

Proposizione 4.1. Uno spazio simmetrico e debolmente simmetrico.

Dimostrazione. Sia M simmetrica. Dati x, y ∈M sia γ un arco geodetico tale cheγ(−1) = x e γ(1) = y. Se z = γ(0), l’inversione geodetica di centro z invertel’orientamento di γ e dunque scambia x con y. �

Uno spazio debolmente simmetrico e ovviamente omogeneo.

Lemma 4.2. Le seguenti proprieta sono equivalenti per una varieta connessa M :(1) M e debolmente simmetrica;(2) per ogni geodetica γ e ogni punto x ∈ γ, esiste un’isometria che fissa x e

applica γ in se invertendone l’orientamento;(3) per ogni x ∈M e ogni v ∈ TxM , esiste una isometria g tale che g · x = x e

(dg)xv = −v;(4) M e omogenea e g−1 ∈ KgK per ogni g ∈ G.

Dimostrazione. La (2) e la (3) sono chiaramente equivalenti.L’implicazione (2) ⇒ (1) si dimostra come per la Proposizione 4.1, sostituendo

l’inversione geodetica con l’isometria che fissa z e ribalta la geodetica. Mostriamoora che (1)⇒ (2). Dati x ∈M e una geodetica γ con x = γ(0), sia U un intorno dix, sufficientemente piccolo perche ogni coppia di punti di U sia congiungibile conun unico arco geodetico contenuto in U . Sia δ > 0 tale che l’arco γ

([−δ, δ]

)sia

interamente contenuto in U e siano y = γ(δ/2), y′ = γ(−δ/2). Allora γ e l’unicoarco geodetico di lunghezza minima congiungente y a y′. Pertanto, se l’isometria gscambia y con y′, essa applica γ in se invertendone l’orientamento.

Mostriamo ora che (1)⇒ (4). Sia M debolmente simmetrico e sia g ∈ G. Postoy = g · x0, sia h ∈ G tale che h · x0 = y e h · y = x0. Allora g−1h = k ∈ K ehg = k′ ∈ K. Pertanto

g−1 = kh−1 = kgk′−1 ∈ KgK .

Per l’implicazione (4)⇒ (1), supponiamo che M sia omogenea e che g−1 ∈ KgKper ogni g ∈ G. Indicando sempre con x0 il punto fissato di cui K e lo stabilizzatore,fissiamo due punti inM , che possiamo supporre essere x0 e x = g·x0. Se g−1 = kgk′,poniamo h = gk′. Si ha allora

h · x0 = g · x0 = x , h · x = (gk′) · x = (k−1g−1) · x = x0 . �

Confrontando la (4) con la Proposizione 4.2 del Capitolo VII, si ottiene il seguenterisultato.

Teorema 4.3 (di Selberg). Uno spazio debolmente simmetrico e commutativo.


5. Il piano iperbolico reale:il gruppo conforme del semipiano e SL(2,R)

vediamo ora in dettaglio come si sviluppa l’analisi sferica nel caso piu semplice(ma non compatto ne euclideo) tra quelli considerati sopra6.

Sia M il semipiano superiore nel piano complesso,

M = {z = x+ iy : y > 0} .

Su M costruiamo una metrica invariante per trasformazioni conformi. Iniziamocon la descrizione del gruppo conforme di M . Per definizione, una mappa conformetra due aperti connessi di Rn e un diffeomorfismo il cui differenziale in ogni punto eun multiplo scalare non nullo di una trasformazione ortogonale (equivalentemente,un diffeomorfismo che conserva gli angoli). In due variabili, le mappe conformi sononecessariamente olomorfe, oppure antiolomorfe.

Lemma 5.1. Le trasformazioni biolomorfe di M in se sono tutte e sole le trasfor-mazioni lineari fratte

(5.1) F (z) =az + b

cz + d, a, b, c, d ∈ R , ad− bc > 0 .

Di conseguenza, le mappe conformi di M in se sono quelle descritte sopra e leloro composizioni con la coniugazione σ(z) = −z.

Prima di dare la dimostrazione, osserviamo che la famiglia di trasformazioni

(5.1) e chiusa per composizione e che, associando a F la matrice(a bc d

), la com-

posizione corrisponde al prodotto di matrici. In particolare, alla matrice identicacorrisponde l’apllicazione identica di M in se.

Dimostrazione. Se z = x+ iy ∈M e F e data dalla (5.1), cz + d 6= 0 e

=mF (z) = =m( (az + b)(cz + d)

|cz + d|2)

==m((az + b)(cz + d)

)|cz + d|2

=(ad− bc)y|cz + d|2

> 0 .

Dunque F applica M in se. Siccome F−1 e rappresentato dalla matrice inversa,si conclude che F e un biolomorfismo di M in se.

Dato ora un biolomorfismo F di M in se, vogliamo ora vedere che F e rappre-sentabile nella forma (5.1).

Sia F (i) = s + it, e poniamo H(z) = tz + s. Si vede facilmente che anche h hala forma (5.1) e che H(i) = F (i). Basta dunque vedere che ogni biolomorfismo diM che lasci fisso il punto i ha la forma (5.1).

Consideriamo la mappa di Cayley

u(z) =z − iz + i

.

Siccome

1− |u(z)|2 =|z + i|2 − |z − i|2

|z + i|2=

4=mz|z + i|2

,

6Per una trattazione approfondita dell’analisi sferica sul piano iperbolico, si veda il libro diS. Lang dal titolo “SL2(R)”.

8 CAPITOLO IX

si ha che z ∈M se e solo se u(z) ∈ D, il disco unitario. Dunque u e un biolomorfismodi M su D.

Siccome u(i) = 0, F e un’applicazione biolomorfa di M in se che fissa il punto ise e solo se

F = u ◦ F ◦ u−1

e un’applicazione biolomorfa di D in se che fissa l’origine.Dunque F (0) = 0. Inoltre, per r < 1,

|F ′(0)| =∣∣∣ 12πi

∮|w|=r

F (w)w2

dw∣∣∣ ≤ 1

r,

da cui segue, per l’arbitrarieta di r, che |F ′(0)| ≤ 1. Poiche la stessa conclusionevale per F−1, si ha |F ′(0)| = 1.

La funzione ϕ(w) = F (w)/w e olomorfa in D e ϕ(0) = F ′(0) = eiθ con θ reale.Per il principio del massimo,

sup|w|<1

|ϕ(w)| = sup1−δ<|w|<1

|ϕ(w)| = sup1−δ<|w|<1

|F (w)||w|

≤ 11− δ

.

Per l’arbitrarieta di δ, |ϕ(w)| ≤ 1 per ogni w ∈ D. Segue allora dal principio delmassimo forte che ϕ e costante, e pertanto F (w) = eiθw.

Coniugando F con u si ottiene che

F (z) = u−1 ◦ F(u(z)

)= u−1

(eiθ

z − iz + i

).

Ma u−1(w) = i 1+w1−w , per cui

(5.2) F (z) = iz + i+ eiθ(z − i)z + i− eiθ(z − i)

=cos(θ/2)z + sin(θ/2)− sin(θ/2)z + cos(θ/2)

.

In conclusione, F ha la forma (5.1), come da dimostrarsi. �

Indichiamo con GL+(2,R) il gruppo delle matrici reali 2 × 2 con determinantepositivo. Per la prima parte del Lemma 5.1, abbiamo dunque definito un’azione

di GL+(2,R) su M . Se g =(a bc d

)∈ GL+(2,R), indicheremo con g · z il valore

F (z) nella (5.1).L’azione non e fedele, in quanto due matrici g e cg, con c 6= 0, danno la stessa

funzione lineare fratta. E’ dunque sufficiente restringersi a SL(2,R), il gruppodelle matrici reali con determinante uguale a 1. L’azione ristretta a G continua anon essere fedele, in quanto g e −g hanno la stessa azione. Tuttavia si ha menoridondanza ed e preferibile lavorare con un gruppo di matrici, come SL(2,R), checon il suo quoziente PSL(2,R) = SL(2,R)/{±I}.

Nel corso della dimostrazione del Lemma 5.1 abbiamo individuato due importantisottogruppi del gruppo dei biolomorfismi di M :

(1) il sottogruppo affine, costituito dalle trasformazioni z 7→ tz+ s, con s ∈ R et > 0, che agisce in modo semplicemente transitivo su M ;

(2) lo stabilizzatore di i, costituito dalle trasformazioni (5.2).


La dimostrazione del Lemma mostra che ogni biolomorfismo F di M si scomponein modo unico come composizione F = F1◦F2, con F1 affine e F2 nello stabilizzatoredi i.

A sua volta, il sottogruppo affine si puo scomporre in(1a) il gruppo delle traslazioni orizzontali, z 7→ z + s, on s ∈ R;(1b) il gruppo delle dilatazioni, z 7→ tz, con t > 0.Risulta evidente che ogni trasformazione affine di M si scompone in modo unico

come composizione di una traslazione, seguita da una dilatazione, oppure di unadilatazione, seguita da una traslazione.

I corrispondenti sottogruppi di SL(2,R) sono:

(1a) il gruppo N delle matrici ns =(

1 s0 1

);

(1b) il gruppo A delle matrici7 at =(t

12 00 t−

12

);

(2) il gruppo K delle matrici kθ =(

cos θ sin θ− sin θ cos θ

).

Si noti che A normalizza N , in quanto, come si verifica facilmente,

(5.3) atnsa−1t = nts .

Questo implica che AN = NA e un sottogruppo (il sottogruppo affine). Daquanto detto si ottiene facilmente il seguente enunciato.

Proposizione 5.2 (Decomposizione di Iwasawa). SL(2,R) = ANK, nel sen-so che ogni elemento g di SL(2,R) si decompone in modo unico come prodotto

(5.4) g = atnskθ ,

e l’applicazione (at, ns, kθ) 7→ atnskθ e un diffeomorfismo di A×N×K su SL(2,R).

Per la (5.3), vale anche la decomposizione NAK. Scomponendo g−1 e invertendoi fattori, si ottengono poi le decomposizioni KAN e KNA.

Ciascun sottogruppo N,A,K ha dimensione 1, e dunque e abeliano. Precisa-mente

(1) N ∼= (R,+); usando s ∈ R come parametro per n ∈ N , dn = ds e ovvia-mente una misura di Haar;

(2) A ∼= (R+, ·); in termini del parametro t > 0, da = dtt e una misura di Haar8;

(3) K ∼= T; dk = 12πdθ e la misura di Haar normalizzata.

Teorema 5.3. Il gruppo G = SL(2,R) e unimodulare. Rispetto alla decomposizoneg = ank, la misura

dg = da dn dk

e una misura di Haar.

7Si noti la distribuzione delle potenze di t tra il coefficiente a numeratore e quello a denomi-

natore, necessaria per avere una matrice con determinante 1.8Ovviamente, cambiando parametro t = eτ , si ottiene che A ∼= (R,+) e da = dτ .

10 CAPITOLO IX

Dimostrazione. Mostriamo che dg e invariante a sinistra. Basta vederlo separata-mente per elementi di A,N,K rispettivamente. Questo equivale a mostrare che ilfunzionale

f 7−→∫A×N×K

f(ank) da dn dk

rimane invariato se a f si sostituiscono rispettivamente La′f , Ln′f , Lk′f .La cosa e ovvia per La′f . Passando a n′, si ha

Ln′f(ank) = f(n′−1ank) = f

(a(a−1n′a)−1nk) .

Siccome (a−1n′a)−1 ∈ N per la (5.3), integrando prima in dn si elimina questofattore e si ottiene la conclusione.

L’invarianza rispetto a K richiede un argomento indiretto.Consideriamo lo spazio omogeneo G/K. Per l’unicita nella decomposizone di

Iwasawa, ogni elemento diG/K e rappresentabile in modo unico come classe lateraleanK, il che consente di identificare, come varieta, G/K con AN . In questo senso,la restrizione ad AN dell’azione di G corrisponde alla moltiplicazione a sinistra sulgruppo AN .

Per la Proposizione 2.2 del Capitolo VII, G/K ammette una misura G-invariante,unica a meno di costanti moltiplicative. Poiche tale misura deve essere in particolareAN -invariante, essa non puo essere altro che d(anK) = da dn, per quanto vistosopra9.

Data f ∈ Cc(G), poniamo f [(gK) =∫Kf(gk) dk ∈ Cc(G/K). Allora, indicando

con τ l’azione di G sulle funzioni definite su G/K,

(Lk′f)[ = τk′(f [) ,

e dunque ∫G

Lk′f(ank) da dn dk =∫A×N

(Lk′f)[(anK) da dn

=∫G/K

τk′(f [)(anK) d(anK)

=∫G/K

f [(anK) d(anK)

=∫G

f(ank) da dn dk .

Per mostrare l’unimodularita, supponiamo per assurdo che G abbia una funzionemodulare ∆ : G → R+ non banale. Allora ker ∆ sarebbe un sottogruppo normaleproprio e non banale. Di conseguenza, l’algebra di Lie g ammetterebbe un idealeproprio non banale. Mostriamo che cio e falso10.

L’algebra di Lie g di SL(2,R) consiste delle matrici reali di traccia nulla, cioe le

matrici della forma(a bc −a

). Fissiamo la base

H =(

1 00 −1

), X =

(0 10 0

), Y =

(0 01 0

).

9Con opportune modifiche formali, perche si sta integrando su G/K e non su G.10In altri termini, mostriamo che g e un’algebra di Lie semplice.


Le regole di commutazione sono

[H,X] = 2X , [H,Y ] = −2Y , [X,Y ] = H .

Sia h un ideale non banale di g. Esso contiene allora un elemento V = aH+bX+cY 6= 0. Supponiamo a 6= 0. Allora h contiene anche [X,V ] = −2aX+cH, e dunqueanche [H,−2aX + cH] = −4aX. Quindi X ∈ h, e per le regole di commutazione,anche Y,H ∈ h. Dunque h = g. In modo analogo si procede se a = 0 ma b 6= 0,ecc. �

Il gruppo affine AN agisce in modo semplicemente transitivo su M , e ogni puntoz = x+ iy si rappresenta in modo unico come atns · i, con

(5.5) z = atns · i , t = y , s =x

y.

Data una funzione f su M , definiamo f su AN come f(an) = f(an · i). Per lafunzione Λ∗f(g) = f(g · i) su SL(2,R) si ha allora l’identita

(5.6) Λ∗f(ank) = f(an) .

Il gruppo AN non e unimodulare. La misura da dn e invariante a sinistra manon a destra. Infatti, fissato aτnσ ∈ AN ,∫ ∞

0

∫ ∞−∞

g(aτnσatns)dt

tds =

∫ ∞0

∫ ∞−∞

g(aτatnt−1σns)dt

tds

=∫ ∞

0

∫ ∞−∞

g(aτtnt−1σ+s)dt

tds

=∫ ∞

0

∫ ∞−∞

g(atns)dt

tds ,

mentre11 ∫ ∞0

∫ ∞−∞

g(atnsaτnσ)dt

tds =

∫ ∞0

∫ ∞−∞

g(atτnτ−1s+σ)dt

tds

= τ

∫ ∞0

∫ ∞−∞

g(atns)dt

tds .

Corollario 5.4.(1) La misura su M

(5.7) dm(z) =dx dy

y2

e G-invariante.(2) Date f, g ∈ L1(M,dm), con g K-invariante, si ha

(Λ∗f) ∗G (Λ∗g)(ank) = f ∗AN g(an) =∫AN

f(a′n′)g((a′n′)−1an

)da′ dn′ .

11La misura dt ds e invece invariante a destra.

12 CAPITOLO IX

Dimostrazione. Attraverso l’identificazione (5.5) di M con AN , una misura G-invariante su M deve corrispondere a una misura di Haar sinistra su AN . A menodi multipli scalari, nelle coordinate z = ts+ it si deve dunque avere

dm(z) =ds dt

t,

da cui segue la (5.7). La (2) e ovvia.

6. Il piano iperbolico reale: la metrica invariante

Costruiamo su M una metrica riemanniana invariante rispetto a SL(2,R), laparte olomorfa del gruppo conforme. Vedremo quindi che essa e invariante ancherispetto alla coniugazione, e dunque rispetto all’intero gruppo conforme.

Lemma 6.1. Sia M = G/K una varieta omogenea. Sia 〈 , 〉 un prodotto scalaresullo spazio tangente Tx0M in x0 = eK, che sia invariante rispetto all’azione di Kdata dai differenziali (dk)x0 , con k ∈ K. Esiste allora un’unica metrica riemanni-ana g su M , G-invariante e tale che, gx0 = 〈 , 〉.

Viceversa, se g e una metrica riemanniana G-invariante su M , gx0 e K-invariante.

Dimostrazione. Sia 〈 , 〉 un prodotto scalare K-invariante su Tx0M . Dato x =g · x0 ∈ M , (dg)x0 applica Tx0M biiettivamente su TxM . Si definisca, per v, v′ ∈Tx0M ,

gx((dgx0)v, (dgx0)v′

)= 〈v, v′〉 .

Per la K-invarianza del prodotto scalare iniziale, questa e una buona definizione,e fornisce l’unica metrica G-invariante coincidente con il prodotto scalare dato inx0.

L’ultima parte dell’enunciato e ovvia. �

Sia dunque TiM il piano tangente a M nel punto i. Identifichiamo in modonaturale TiM con C. Il differenziale (dkθ)i e la moltiplicazione per la derivatacomplessa in i della funzione z 7→ kθ · z, cioe

(6.1)d

dz |z=i

cos θz + sin θ− sin θz + cos θ

= e2iθ .

A meno di fattori costanti, l’unica scelta e dunque il prodotto scalare euclideo

〈ζ, ζ ′〉i = <e(ζζ ′) .

Esso e anche invariante rispetto al differenziale della coniugazione σ.Usiamo ora l’azione del gruppo affine (ossia di AN) per portare questo prodotto

scalare negli altri punti di M . Identifichiamo ancora con C il piano tangente Tz0Min un generico punto z0.

Se z0 = s + it, poniamo Fz0(z) = tz + s. Una metrica invariante deve necessa-riamente soddisfare, per ζ, ζ ′ ∈ C,⟨

F ′z0(i)ζ, F ′z0(i)ζ ′⟩z0

= 〈ζ, ζ ′〉i .

Si ottiene quindi

(6.2) 〈ζ, ζ ′〉z0 = t−2<e(ζζ ′) = (=mz0)−2<e(ζζ ′) .


Lemma 6.2. La metrica (6.2) su M e invariante rispetto all’azione del gruppoconforme, ed e l’unica con tale proprieta a meno di costanti moltiplicative. Letrasformazioni conformi sono tutte e sole le isometrie di M rispetto a tale metrica.

Dimostrazione. L’invarianza rispetto a G e lunicita seguono dal Lemma 6.1.Sia ora F una isometria di M . Se g e la trasformazione affine che manda i

in F (i), scomponiamo F come F = F1 ◦ g, con F1(i) = i. Quindi (dF1)i e unatrasformazione ortogonale di TiM ∼= C. Essa puo essere di due tipi: (dF1)iζ = eiθζ,oppure (dF1)iζ = eiθ ζ (secondo che il determinante reale della trasformazione sia±1).

Nel secondo caso, σ ◦ F1 rientra nel primo caso.Nel primo caso, esiste k ∈ K tale che (dk)i = (dF1)i. Per il Lemma 1.1, F1 = k,

e dunque F ∈ SL(2,R). Nel secondo caso, F ∈ σSL(2,R). �

Corollario 6.3. M e doppiamente omogeneo. Le orbite di K in M sono i cerchigeodetici di centro i.

Il cerchio geodetico di centro i e raggio r e la circonferenza di equazione

x2 + y2 − 2y cosh r + 1 = 0 .

Dimostrazione. Segue dalla (6.1) che l’azione di K su TiM e transitiva sul cerchiounitario. A maggior ragione, cio vale per lo stabilizzatore di i nel gruppo con-forme, che contiene K. Siccome M e omogenea, lo stesso vale in ogni punto di Mper l’azione del suo stabilizzatore. Possiamo dunque applicare il Teorema 3.2 perconcludere che M e doppiamente omogeneo.

Dalla transitivita dell’azione di K sul cerchio unitario nel piano tangente in isegue la transitivita sulle geodetiche uscenti da i. Questo implica che K agiscetransitivamente sulle sfere geodetiche di centro i.

Se u indica la mappa di Cayley u(z) = (z − i)/(z + i) introdotta nella di-mostrazione del Lemma 5.1, le considerazioni svolte per giungere alla (5.2) mostranoche

kθ(z) = u−1(e2iθu(z)

).

Poiche il gruppo di trasformazioni del disco unitario w 7→ e2iθw hanno comeorbite i cerchi di centro l’origine, segue immediatamente che le orbite di K in Msono le immagini inverse, secondo u, di tali cerchi, ovvero gli insiemi Cs descrittidalle equazioni

(6.3) Cs :|z − i||z + i|

= s , (s < 1) ,

che sono dunque i cerchi geodetici di centro i.Per determinare il raggio in funzione di s, osserviamo che, per motivi di simmetria

rispetto alla coniugazione σ, il semiasse immaginario e la geodetica uscente da i convettore tangente puramente immaginario. Usando la (6.2), si verifica facilmente chela parametrizzazione γ(r) = ier e isometrica. Basta dunque imporre che ier ∈ Csper ottenere il raggio di Cs. Dalla (6.3) si ricava

s =er − 1er + 1

= tanhr

2.

14 CAPITOLO IX

Riscrivendo poi la (6.3) in coordinate reali, si ottiene l’equazione

0 = x2 + y2 − 21 + s2

1− s2y + 1 = x2 + y2 − 2y cosh r + 1 . �

Abbiamo dunque due modi di realizzare M come spazio omogeneo, come M ∼=SL(2,R)/K, oppure come M ∼= Iso(M)/(K ∪ σK). Nel primo caso, si prende inconsiderazione solo la componente connessa dell’identita nel gruppo delle isometrie.Tuttavia, segue dal Corollario 6.3 che l’analisi sferica su M e indipendente da talescelta, perche le funzioni K-invarianti su M coincidono con quelle invarianti perK ∪ σK.

D’ora in poi, terremo conto della sola azione di G = SL(2,R).

Le funzioni K-invarianti su M dipendono dunque solo dalla distanza del puntoda i. Abbiamo dunque la seguente proprieta.

Lemma 6.4. Una funzione K-invariante f su M e univocamente determinatadalla sua restrizione al semiasse immaginario e tale restrizione soddisfa la con-dizione f(it) = f

(it

).

Si ha anche la “decomposizione polare” di SL(2,R).

Proposizione 6.5 (Decomposizione di Cartan). Indichiamo con A+ il semi-gruppo delle matrici at con t ≥ 1. Ogni elemento g ∈ SL(2,R) si scompone nelprodotto

(6.4) g = k1ak2 ,

con k1, k2 ∈ K e a ∈ A+. Se g 6∈ K, tale scomposizione e unica a meno dimoltiplicazione simultanea di k1, k2 per −I.

Dimostrazione. Sia z = g · i, e sia τ = d(z, i). Esiste k1 ∈ K tale che k1 · (ieτ ) = z.Dunque (k1aeτ ) · i = z, e allora (k1aeτ )−1g ∈ K. Questo fornisce la scomposizione(6.4) per g generico.

Naturalmente, se g ∈ K, si ha τ = 0 e dunque k1, k2 sono indeterminati. Seτ 6= 0, segue dalla (6.1) che l’argomento θ di k1 e determinato a meno di π, edunque k1 e unico a meno di ±I. �

Per il Teorema 3.3, gli operatori differenziali G-invarianti su M sono tutti e solii polinomi nell’operatore di Laplace-Beltrami ∆.

Lemma 6.6. Nelle coordinate z = x+ iy su M , l’operatore di Laplace Beltrami e

∆ = −y2(∂2x + ∂2

y) .

Dimostrazione. Con formule standard di geometria differenziale, l’espressione sicalcola facilmente usando la (6.2). E’ anche possibile utilizzare il procedimentoindicato nel §4 del Capitolo VIII, in particolare la formula (4.5). Non sviluppiamoi calcoli, che possono comunque costituire un utile esercizio. �


7. Il piano iperbolico reale: le funzioni sferiche limitate

La forma particolarmente semplice di ∆ consente di trovarne facilmente delleautofunzioni per ogni autovalore complesso. Per γ ∈ C, poniamo uγ(x+ iy) = yγ .Allora

∆uγ = γ(1− γ)uγ .

Si noti che ogni numero complesso si scompone come γ(1−γ) per qualche γ, e cheuγ e u1−γ danno lo stesso autovalore. Integrando su K, si ottengono autofunzioniK-invarianti.

Lemma 7.1. Le funzioni

(7.1) ϕγ(z) =∫K

uγ(k · z) dk

sono funzioni sferiche di autovalore γ(1−γ) rispetto a ∆. Esse sono tutte le funzionisferiche (limitate e non). Inoltre

(1) ϕγ = ϕ1−γ ;(2) la funzione sferica su G, Φγ(g) = ϕγ(g · i), soddisfa l’identita Φγ(g) =

Φγ(g−1).

Dimostrazione. Per la K-invarianza di ∆, ∆(τkuγ) = γ(1− γ)τkuγ . Quindi

∆ϕγ =∫K

∆(τkuγ) dk = γ(1− γ)ϕγ .

Inoltre ϕγ(i) = 1. Dunque le ϕγ sono sferiche. Dal Lemma 6.1 del Capitolo VIIIsegue che esse sono tutte e che vale la (1).

Infine, la (2) segue dal fatto che M e debolmente simmetrico. �

Vogliamo ora individuare quali di tali funzioni sono limitate e quali sono au-toaggiunte. Per rispondere a entrambe le domande e utile la seguente formulaasintotica.

Lemma 7.2. Se <eγ > 12 ,

limy→+∞

y−(γ−1)ϕγ(iy) =Γ(1/2)Γ(γ − 1/2)

πΓ(γ)6= 0 .

Dimostrazione. Per la (2) del Lemma 7.1, possiamo supporre y ≥ 1.Per k = kθ, si ha

kθ · (iy) =iy cos θ + sin θ−iy sin θ + cos θ

=(iy cos θ + sin θ)(iy sin θ + cos θ)

cos2 θ + y2 sin2 θ

=(1− y2) sin θ cos θ + iy

cos2 θ + y2 sin2 θ.

16 CAPITOLO IX

Quindi

uγ(kθ · (iy)

)=

yγ

(cos2 θ + y2 sin2 θ)γ,

e

ϕγ(iy) =1

2π

∫ π

−π

yγ

(cos2 θ + y2 sin2 θ)γdθ =

yγ

π

∫ π2

−π2

1(cos2 θ + y2 sin2 θ)γ

dθ ,

essendo l’integrando periodico di periodo π. Con il cambio di variabile tan θ = t, siottiene

ϕγ(iy) =yγ

π

∫ ∞−∞

(1 + t2)γ−1

(1 + y2t2)γdt =

2yγ

π

∫ ∞0

(1 + t2)γ−1

(1 + y2t2)γdt .

Cambiando ancora variabile, yt = s, si ottiene

(7.2) ϕγ(iy) =2yγ−1

π

∫ ∞0

(1 + s2/y2)γ−1

(1 + s2)γds .

Per poter passare al limite, osserviamo che, se <eγ ≥ 1,∣∣∣ (1 + s2/y2)γ−1

(1 + s2)γ

∣∣∣ =(1 + s2/y2)<eγ−1

(1 + s2)<eγ≤ 1

1 + s2∈ L1(R+) ,

mentre, se 12 < <eγ ≤ 1.∣∣∣ (1 + s2/y2)γ−1

(1 + s2)γ

∣∣∣ =1

(1 + s2/y2)1−<eγ(1 + s2)<eγ≤ 1

(1 + s2)<eγ∈ L1(R+) .

Otteniamo dunque per convergenza dominata che

limy→∞

y−(γ−1)ϕγ(iy) = limy→∞

2π

∫ ∞0

(1 + s2/y2)γ−1

(1 + s2)γds

=2π

∫ ∞0

1(1 + s2)γ

ds .

Con il cambio di variabile s =√u, si ottiene una delle forme dell’integrale Beta,∫ ∞

0

1(1 + s2)γ

ds =12

∫ ∞0

1u

12 (1 + u)γ

du =12B(1

2, γ − 1

2

)=

Γ(1/2)Γ(γ − 1/2)2Γ(γ)

,

e questa espressione e diversa da 0. �

Teorema 7.3. La funzione Φγ e(1) limitata se e solo se 0 ≤ <eγ ≤ 1;(2) autoaggiunta se e solo se γ ∈ R ∪

(12 + iR

).

Dimostrazione. Essendo ϕγ = ϕ1−γ , basta considerare il caso <eγ ≥ 12 . Se <eγ >

12 , la conclusione segue dal Lemma 7.2.

Se <eγ = 12 , |uγ |2 = u1, e per la (7.1),

|ϕγ(z)| ≤(∫

K

|uγ(k · z)|2 dk) 1

2= ϕ1(z)

12 = ϕ0(z)

12 = 1 .

Per la (2) del Lemma 7.1, Φγ e autoaggiunta se e solo se e reale. Possiamodunque verificare cio su ϕγ . Essendo ϕγ = ϕγ , ϕγ e reale se e solo se γ e uguale aγ o a 1− γ. �

Con riferimento al Teorema 6.2 del Capitolo VIII, consideriamo l’immersione Σ∆

in C dello spettro di Gelfand dell’algebra L1(K;G;K), corrispondente alla sceltadi ∆ come unico generatore di D(G/K).


Corollario 7.4. Lo spettro di Gelfand dell’algebra L1(K;G;K), immerso in Ccome Σ∆, e

Σ∆ = {γ(1− γ) : 0 ≤ <eγ ≤ 1} = {u+ iv : u ≥ v2} .

Inoltre Σ+∆ ⊂ Σ∆ ∩ R.

La seconda parte dell’enunciato dipende dal fatto che le funzioni sferiche di tipopositivo sono al tempo stesso limitate e autoaggiunte.

8. Il piano iperbolico reale: la trasformata di Fourier sferica

Continuiamo a indicare con ϕγ la funzione sferica (7.1), ricordando tuttavia cheϕγ = ϕ1−γ . La trasformata di Fourier sferica di f ∈ L1

K(M), lo spazio delle funzioniK-invarianti in L1(M), sara indicata con12

f(γ) =∫M

f(z)ϕγ(z) dm(z) .

Dalla (7.1) si ha

f(γ) =∫M

f(z)uγ(z) dm(z) =∫ ∞

0

yγ−2

∫ ∞−∞

f(x+ iy) dx dy .

Ponendo y = et, si ha

(8.1) f(γ) =∫ ∞−∞

e(γ−1)t

∫ ∞−∞

f(x+ iet) dx dt .

Questa formula prevede la composizione di due operazioni. La prima e l’integra-zione di f sulle rette orizzontali. Consideriamo dunque l’operatore che associa adf la funzione

t 7−→∫ ∞−∞

f(x+ iet) dx .

Per motivi che vedremo tra breve, risulta conveniente formalizzare questa oper-azione introducendo l’operatore

(8.2) Af(t) = e−t2

∫ ∞−∞

f(x+ iet) dx ,

12A livello di gruppo, questo equivale alla posizione generale,

f(γ) =

ZGf(g · i)Φγ(g−1) dg ,

per la (2) del Lemma 7.1.

18 CAPITOLO IX

detto la trasformata di Abel13 di f .Una funzione K-invariante su M e una funzione che, per il Corollario 6.3, dipende

solo da

cosh r =x2 + y2 + 1

2y=x2

2y+y + y−1

2≥ 1 .

Possiamo dunque esprimere ogni funzione K-invariante f come

(8.3) f(x+ iy) = f0

(x2

2y+y + y−1

2

),

per cui

(8.4) Af(t) = e−t2

∫ ∞−∞

f0

( x2

2et+ cosh t

)dx =

∫ ∞−∞

f0

(s2

2+ cosh t

)ds .

Lemma 8.1. Vale la seguente formula di inversione della trasformata di Abel diuna funzione f di classe C1, K-invariante e a supporto compatto:

f(i) = f0(1) = − 12π

∫ ∞0

(Af)′(t)1

sinh t2

dt .

Dimostrazione. Data g ∈ C1c

([0,∞)

), poniamo, per u ≥ 1,

Tg(u) =∫ ∞−∞

g(s2

2+ u)ds .

Allora

T 2g(u) =∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

g(s2

1 + s22

2+ u)ds1 ds2

= 2π∫ ∞

0

g(σ2

2+ u)σ dσ

= 2π∫ ∞u

g(v) dv ,

13L’operatore A e (a parte il coefficiente e−t2 ) un analogo “iperbolico” della trasformata di

Radon in R2, che consiste nell’associare a una funzione i suoi integrali lungo tutte le rette del piano.

Dati un versore ω ∈ S1 e u ∈ R, la trasformata di Radon di una funzione f e data dall’integrale

unidimensionale di f sulla retta 〈x, ω〉 = u,

Rf(ω, u) =

Z〈x,ω〉=u

f ,

(naturalmente R(ω, u) = R(−ω,−u)). La proprieta fondamentale della trasformata di Radon e ilprincipio di unicita: conoscendo Rf si puo ricostruire f .

A noi interessa applicare la trasformata di Abel a funzioni K-invarianti. L’analogo euclideo e la

trasformata di Radon applicata a funzioni radiali. Ovviamente, se f e radiale, Rf non dipendeda ω e, per poter ricostruire f , e sufficiente avere a disposizione gli integraliZ ∞

−∞f(x, y) dx = Rf(e1, y) .


con un passaggio da coordinate cartesiane a polari nell’integrale doppio e successivicambiamenti di variabile. Quindi

d

duT 2g(u) = −2πg(u) ,

cioe T−2 = −(1/2π)d/du. Pertanto

T−1g(u) = − 12πTg′(u) = − 1

2π

∫ ∞−∞

g′(s2

2+ u)ds ,

e, posto g = Tf0,

(8.5) f0(u) = − 12π

∫ ∞−∞

(Tf0)′(s2

2+ u)ds = − 1

π

∫ ∞0

(Tf0)′(s2

2+ u)ds .

Abbiamo ora la relazione Af(t) = Tf0(cosh t), per cui

(Af)′(t) = sinh t (Tf0)′(cosh t) .

Posto u = 1 nella (8.5), effettuiamo il cambiamento di variabile s2

2 +1 = cosh t =2 sinh2(t/2) + 1, da cui s = 2 sinh(t/2) e ds = cosh(t/2) dt. Quindi

f0(i) = − 1π

∫ ∞0

(Tf0)′(cosh t) cosht

2dt

= − 1π

∫ ∞0

(Af)′(t)cosh t

2

sinh tdt

= − 12π

∫ ∞0

(Af)′(t)1

sinh t2

dt . �

Dalla (8.1) si ricava che

(8.6) f(1

2+ iξ

)=∫ ∞−∞

eiξtAf(t) dt = FAf(ξ) ,

e questo ci consente di invertire la trasformata di Fourier sferica.

Teorema 8.2. Per f K-invariante, di classe C2 e a supporto compatto, valgono(1) la formula di inversione

f(i) =1

2π

∫ ∞0

f(1

2+ iξ

)ξ tanhπξ dξ ;

(2) la formula di Plancherel∫M

|f(z)|2 dm(z) =1

2π

∫ ∞0

∣∣∣f(12

+ iξ)∣∣∣2ξ tanhπξ dξ .

20 CAPITOLO IX

Dimostrazione. Supponiamo f (e dunque anche f0) di classe C2 e a supporto com-patto. Per la (8.2), anche Af e C2 a supporto compatto. Pertanto la sua trasfor-mata di Fourier e integrabile14. Per la (8.6),

Af(t) =1

2π

∫ ∞−∞

f(1

2+ iξ

)eiξt dξ ,

e dunque, per la parita di f( 12 + iξ) in ξ,

f(i) = − 14π2

∫ ∞0

d

dt

(∫ ∞−∞

f(1

2+ iξ

)eiξt dξ

) 1sinh t

2

dt

= − 12π2

∫ ∞0

d

dt

(∫ ∞0

f(1

2+ iξ

)cos ξt dξ

) 1sinh t

2

dt

=1

2π2

∫ ∞0

ξf(1

2+ iξ

)∫ ∞0

sin ξtsinh t

2

dt dξ

Ora,

sin ξtsinh t

2

=2e−

t2 sin ξt

1− e−t= 2

∞∑n=0

e−(n+ 12 )t sin ξt ,

con convergenza dominata in L1 su R+. Quindi

∫ ∞0

sin ξtsinh t

2

dt = 2∞∑n=0

∫ ∞0

e−(n+ 12 )t sin ξt dt

= 2∞∑n=0

=m∫ ∞

0

e−(n+ 12−iξ) dt

= 2∞∑n=0

=m1

n+ 12 − iξ

= 2ξ∞∑n=0

1(n+ 1

2 )2 + ξ2

=∞∑−∞

ξ

(n+ 12 )2 + ξ2

.

14Se g, g′ ∈ L2, anche Fg e F(g′)(ξ) = iξFg(ξ) sono in L2 e dunque

Z ∞−∞|Fg(ξ)| dξ ≤

“Z ∞−∞|Fg(ξ)|2(1 + ξ2) dξ

” 12“Z ∞−∞

(1 + ξ2)−1 dξ” 1

2<∞ .

Piu avanti si utilizza il fatto che ξF(g′)(ξ) e pure integrabile se anche g′′ ∈ L2. la dimostrazionee analoga.


Per ξ > 0 fissato,

ξ

(τ + 12 )2 + ξ2

= <e1

ξ + i(τ + 12 )

= <e∫ ∞

0

e−ξt−i(τ+ 12 )t dt

=12

∫ ∞0

e−ξt−i(τ+ 12 )t dt+

12

∫ ∞0

e−ξt+i(τ+ 12 )t dt

=12

∫ ∞−∞

e−ξ|t|−i(τ+ 12 )t dt

=12F(e−ξ|t|−i

t2 ) .

Per la formula di sommazione di Poisson,∑n∈ZFg(n) = 2π

∑n∈Z

g(2πn) ,

si ottiene l’identita∞∑−∞

ξ

(n+ 12 )2 + ξ2

= π∞∑−∞

e−2πξ|n|−inπ

= π + 2π∞∑n=1

(−1)ne−2πnξ

= π − 2e−2πξ

1 + e−2πξ

= π1− e−2πξ

1 + e−2πξ

= πeπξ − e−πξ

eπξ + e−πξ

= π tanhπξ .

Abbiamo allora la formula di inversione (1). La (2) segue applicando la (1) a(Λ∗f)∗ ? f . �

Nelle formule (1) e (2) interviene solo la restrizione della trasformata di Fourieralla retta <eγ = 1

2 (corrispondente alla semiretta[

14 ,∞

)in Σ∆∩R). Per poter dire

che la misura (2π)−1ξ tanhπξ dξ e la misura di Plancherel, dovremmo verificareche effettivamente

[14 ,∞

)⊂ Σ+

∆, ossia che le funzioni sferiche Φ 12 +iξ (= Φ 1

2−iξ),

con ξ ≥ 0, sono di tipo positivo.Per far questo, costruiamo una famiglia di rappresentazioni unitarie {πξ}ξ≥0 di

SL(2,R), ciascuna dotata di un elemento vξ, K-invariante e tale che 〈vξ, π(g)vξ〉 =Φξ(g) per ogni g ∈ SL(2,R).

Osserviamo dunque che SL(2,R) = G agisce sulla compattificazione di Aleksan-droff R ∪ {∞} di R per mezzo delle trasformazioni lineari fratte x 7→ g · x = ax+b

cx+d ,

se g =(a bc d

)(questo non e altro che il prolungamento al bordo dell’azione su

M).

22 CAPITOLO IX

Indichiamo con g′(x) la derivata della funzione x 7→ g · x, cioe

g′(x) =1

(cx+ d)2,

e osserviamo che la formula di cambiamento di variabile∫ ∞−∞

f(x) dx =∫ ∞−∞

f(g · t)g′(t) dt

e valida per ogni f ∈ Cc(R) e g ∈ G. Se quindi poniamo

πξ(g)f(x) = (g−1)′(x)12 +iξf(g−1 · x) ,

abbiamo che‖πξ(g)f‖2 = ‖f‖2

per f ∈ Cc(R), e dunque πξ(g) si estende per continuita a L2(R), dando luogo auna rappresentazione unitaria di G.

Mostriamo ora che πξ ammette un vettore K-invariante. Una funzione f ∈ L2(R)e πξ(K)-invariante se

(x sin θ + cos θ)−1−2iξf(x cos θ − sin θx sin θ + cos θ

)= f(x)

per ogni θ ∈ T. Supponiamo che f sia C1 e deriviamo in θ. Abbiamo

0 = −(1 + 2iξ)x cos θ − sin θ

(x sin θ + cos θ)2+2iξf(x cos θ − sin θx sin θ + cos θ

)+−(x sin θ + cos θ)2 − (x cos θ − sin θ)2

(x sin θ + cos θ)3+2iξf ′(x cos θ − sin θx sin θ + cos θ

)E’ sufficiente considerare questa equazione per θ = 0, ottenendo

f ′(x) = −(1 + 2iξ)x

x2 + 1f(x) ,

da cuif(x) =

c

(x2 + 1)12 +iξ

.

Trascurando la normalizzazione in L2, irrilevante a questo punto, poniamo percomodita c = 1 e chiamiamo fξ(x) = (x2 + 1)−

12−iξ.

Sapendo che il coefficente ψ(g) = 〈fξ, πξ(g)fξ〉 e bi-K-invariante, possiamo lim-itarci a calcolare Ψ(at). Abbiamo

πξ(at)fξ(x) = t−12−iξfξ(t−1x) = t−

12−iξ(t−2x2 + 1)−

12−iξ ,

per cui

Ψ(at) = t−12 +iξ

∫ ∞−∞

1(x2 + 1)

12 +iξ

(x2

t2 + 1)12−iξ

dx .

Confrontando con la (7.2), si osserva che Ψ = π2 Φ 1

2 +iξ. Possiamo dunque con-cludere quanto segue.


Teorema 8.3. Le funzioni sferiche Φ 12 +iξ sono di tipo positivo. La misura di

Plancherel per la coppia(SL(2,R), SO(2)

)e la misura (2π)−1ξ tanhπξ dξ.

Osservazione. Si dimostra che anche le funzioni sferiche Φγ con γ ∈ [−1, 1] sono ditipo positivo15. Tuttavia esse non rientrano nel supporto della misura di Plancherel.

Le rappresentazioni πξ che abbiamo costruito non sono irriducibili. Il sottospazio

L2+ = {f ∈ L2(R) : suppFf ⊂ [0,∞)}

e invariante e la restrizione di πξ a L2+ e irriducibile. L’invarianza di H2 rispetto a

πξ si comprende in termini della caratterizzazione di L2+ come spazio dei valori al

bordo delle funzioni olomorfe su M e appartenenti allo spazio di Hardy H2(M).Le rappresentazioni πξ, ristrette a L2

+, sono le rappresentazioni della cosiddettaserie principale. Quelle associate alle Φγ con γ ∈ [−1, 1], costituiscono la cosiddettaserie complementare.

15Questo e ovvio per Φ0 = Φ1 = 1.

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