Su qualche proposizione deiPrincipia di Newton

Trento, 2018

Nel Seicento: la ‘Rivoluzione simbolica’.

Ma non e il caso di Newton. . .La storia non procede sempre ‘de claritate in claritatem’.

Una proposizione tanto famosa da ...

Un Lemma (di Newton) sulle Sezioni Coniche

I Lemma. EC ‖ t⇒ PE = AC.

I Dim. HI ‖ EC. Ne segue PI = PH, ES = EI ePS + PI = PS + PH = 2AC. MaPS + PI = PI + EI + PI + ES = 2PE. �

Una proposizione del libro VII delle ConicheLa VII.13. Ma . . . Constat ex Conicis!

I Tutti i parallelogrammi circoscritti, con i lati paralleli adiametri coniugati, hanno la stessa area. Quindi (conPF ⊥ DK)

PF ×DK

e una quantita data.

La dimostrazione dimenticata

Si veda [1].

La misura della forza usata da Newton

QR

SP 2 ×QT 2

In termini analitici:

PR ∝ vP · τ, QR ∝ fP · τ2.

InoltreSP ×QT ∝ τ.

(Si veda anche [2].)

Lo stile ‘classico’ dei Principia?

Ma in che misura la quantita QRSP 2×QT 2 puo essere considerata

‘classica’?

L’idea della dimostrazione

La traiettoria descritta per effetto di una forza centrale concentro in S (sole), sia una sezione conica (ellisse) con un fuocoin S.Si tratta di dimostrare che QR

QT 2 e una quantita costante. Ossiache il limite quando Q tende a P sia una quantita che nondipende da P , ma che e data solo nei termini dei parametri chedefiniscono la conica.

Analisi della dimostrazione I

Equazione dell’ellisse:

GV × PV = QV 2 × PC2

CD2. (1)

PC e CD sono diametri coniugati.

x · (2a− x) = k · y2.

Analisi della dimostrazione IICalcolo di QR

I triangoli PUV, PEC sono simili e QR = PU :

PU : PV = PE : PC ⇒ QR =PE

PC× PV. (2)

Analisi della dimostrazione IIICalcolo di QT

Anche i triangoli PEF,QUT sono simili e QU ≈ QV .

QU : QT = PE : PF ⇒ QV : QT = PE : PF. (3)

QT = QV × PF

PE. (4)

Analisi della dimostrazione IV

QR =PE

PC× PV ∧ QT = QV × PF

PE.

⇒ QR

QT 2=PE

PC× PV × PE2

PF 2× 1

QV 2,

QR

QT 2=PE3

PF 2× PV

PC ×QV 2. (5)

Analisi della dimostrazione V

QR

QT 2=PE3

PF 2× PV

PC ×QV 2∧ GV × PV = QV 2 × PC2

CD2.

⇒ QR

QT 2=

PE3

PF 2 ×GV × CD2

PC

. (6)

Analisi della dimostrazione VI

QR

QT 2=

PE3

PF 2 ×GV × CD2

PC

.

Quando Q tende a P la quantita GV tende a 2PC .

QR

QT 2=

1

2

PE3

PF 2 × CD2.

Abbiamo ottenuto una quantita costante. �

La comparsa del Lato Retto

Si noti che

QR

QT 2=

1

2

PE3

PF 2 × CD2=

1

2

a3

a2 · b2=

a

2b2=

1

L,

ove L e il Lato Retto. Quindi

QR

SP 2 ×QT 2=

1

L× SP 2.

Un errore di Newton?

La soluzione del problema diretto implica anche la soluzione delproblema inverso?

Nella seconda e terza edizione

Ma e sufficiente?

Una lunga disputa . . . che dura ancora

Si veda, ad esempio, [3].

Alcune precauzioni necessarie:

I Le conoscenze matematiche attuali non sono un intralcio.Sono necessarie (contrariamente a quanto pensava GinoLoria).

I Ma la distinzione e indispensabile.

I Cio che sembra ‘arcaico’ nei Principia non lo enecesariamente. Il ruolo della teoria delle proporzioni e unproblema complesso.

I Volonta di scrivere un trattato classico?I Strumento di lavoro?

[1] M. Galuzzi.I marginalia di Newton alla seconda edizione latina dellaGeometria di Descartes e i problemi ad essi collegati.In G. Belgioioso, G. Cimino, P. Costabel, and G. Papuli,editors, Descartes: il metodo e i saggi, pages 387–417.Istituto della Enciclopedia italiana, Roma, 1990.

[2] C. Pask.Magnificent Principia.Amherst, New York, Prometheus Books edition, 2013.

[3] R. Weinstock.Newton’s Principia and inverse-square orbits: the flawreexamined.Historia Mahematica, 19:60–70, 1992.