Luigi Ferrajoli "Principia Iuris. Teoria del diritto e della democrazia". (La sintassi del diritto)

INTRODUZIONE

1. La sintassi del linguaggio della teoria Il linguaggio della teoria assiomatizzata del diritto un linguaggio formalizzato, definito dal vocabolario e dalle regole che saranno stipulati nei 2, 3 e 4 di questa Introduzione. Le regole sulla base delle quali il nostro linguaggio costruito non appartengono alla teoria e non sono formulate nel linguaggio teorico. Esse sono bens espressioni meta-teoriche che determinano la struttura sintattica della teoria, ovvero la sintassi (o logica) del linguaggio teorico. Si distinguono in due classi: le regole di formazione e le regole di trasformazione. In base a queste regole saranno formulate in questa appendice, nell'ordine nel quale sono state introdotte e con la numerazione progressiva adottata nel testo, tutte le tesi della teoria: le tesi primitive o indimostrate (postulati e definizioni), formate sulla base delle regole di formazione, e le tesi non primitive o dimostrate (teoremi), ottenute sulla base delle regole di trasformazione. La dimostrazione delle tesi non primitive o teoremi consister in una successione finita di espressioni, disposte in righe distinte e numerate, sulla cui destra sar scritta la motivazione, cio se si tratta di una premessa (postulato o definizione o teorema) o del risultato dell'applicazione di una o pi regole ad espressioni delle righe precedenti. In quest'ultimo caso saranno scritti prima i numeri della riga o delle righe su cui si trovano le espressioni cui le regole sono applicate, e poi il numero della regola o delle regole utilizzate per operarne la trasformazione; l'ultima riga della dimostrazione l'espressione dimostrata. Nei casi in cui la dimostrazione sia particolarmente semplice, mi limiter ad enunciare la tesi dimostrata, scrivendo accanto ad essa le sue premesse e le regole di trasformazione applicate. E' chiaro

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che la rilevanza teorica di ogni tesi sar esibita dal numero e dalla rilevanza delle tesi che, direttamente o indirettamente, la suppongono come premessa. Di ciascuna delle tesi della teoria - postulati, definizioni e teoremi - sar poi fornita in questa appendice, oltre alla formulazione in linguaggio simbolico, anche l'interpretazione semantica nel linguaggio comune, talora pi prolissa ma anche pi analitica e precisa di quella espressa nel contesto della teoria. Naturalmente neppure tale interpretazione, fornita per ciascuna tesi prima della sua enunciazione e/o dimostrazione, sar sempre del tutto precisa e rigorosa. Soprattutto le traduzioni delle tesi pi complesse risulteranno inevitabilmente sommarie, non potendo sempre dar conto con esattezza delle tante relazioni logiche in esse istituite. Inoltre, gran parte delle tesi dimostrate appariranno banali e ripetitive. Ma questo non toglie che quasi tutte siano indispensabili - tanto pi indispensabili quanto pi ovvie e banali, e quindi di solito sottintese o trascurate nei discorsi correnti - ai fini della costruzione della rete dei concetti e degli asserti nella quale articolata la teoria. In una teoria assiomatizzata, infatti, nessuna tesi, per quanto intuitiva, pu essere assunta come implicita o scontata, se non altro perch non tutte le tesi intuitive sono vere e non tutte le tesi vere sono intuitive. Pu ben accadere, alla prova del calcolo, che una tesi intuitiva risulti indimostrabile sulla base delle premesse disponibili e si riveli perci approssimativa o peggio falsa; oppure, inversamente, che risulti dimostrabile, e quindi vera rispetto alle premesse, una tesi niente affatto intuitiva. In entrambi i casi, come nel caso che si ritenga di dover modificare o integrare le premesse, il calcolo segnala unaporia o comunque un problema la cui soluzione equivale sempre a una chiarificazione teorica e talora a una scoperta. Questa appendice, del resto, bench contenga l'intera teoria, non destinata ad essere letta, ma solo consultata. La sua pubblicazione ha lo scopo di mostrare la validit delle tesi dimostrate rispetto alle loro premesse, la coerenza interna dell'insieme delle tesi teoriche rispetto ai postulati e alle definizioni prescelte e perci l'utilit e la fecondit del metodo adottato. A un primo livello di analisi essa vale ad esplicitare il senso completo delle varie tesi, spesso esposte nel testo del libro in maniera ellittica e sintetica, e a fornirne una specie di compendio nell'ordine in cui sono state introdotte e/o dimostrate. A un secondo livello di analisi, pi approfondito, essa disegna la sintassi della teoria, segnalando per i diversi teoremi, attraverso l'indicazione delle premesse da cui sono derivati e delle tesi di cui fungono da premesse, le concatenazioni logiche, nonch il ruolo e la rilevanza da essi rivestiti nell'economia complessiva del discorso teorico. A un terzo livello, infine, essa consente di penetrare nella struttura della costruzione e del ragionamento teorico, esponendo al controllo di validit le dimostrazioni dei 1679 teoremi, orientando la critica delle tesi non convincenti nei confronti delle premesse primitive, cio dei 16 postulati e delle 274 definizioni, e promuovendo di

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queste (come del resto ho fatto io stesso innumerevoli volte) le modificazioni dirette ad accrescerne la portata empirica e l'adeguatezza esplicativa. E' poi evidente che ogni modificazione di una tesi primitiva si ripercuote su tutte le tesi di cui essa, direttamente o indirettamente, funge da premessa; e comporta perci l'onere di modificare l'intera catena delle tesi da essa direttamente o indirettamente derivate. Ma sono precisamente queste modificazioni, oltre all'introduzione di nuovi postulati o di nuove definizioni, che, accrescendo la complessit e la capacit esplicativa della teoria, ne determinano le precisazioni, le correzioni, le integrazioni e lo sviluppo. Limpiego del metodo assiomatico, in breve, rende possibile lampliamento e il progresso scientifico della teoria. La sintassi del nostro linguaggio teorico definita dai tre seguenti elementi: 1) il vocabolario, che linsieme dei simboli che lo compongono; 2) le regole di formazione, in base alle quali i simboli del vocabolario teorico possono essere combinati in espressioni ben formate; 3) le regole di trasformazione, che linsieme degli assiomi, delle regole e delle leggi logiche che consentono la derivazione di espressioni vere da altre espressioni precedentemente accettate come vere, o perch assunte come postulati o come definizioni, o perch a loro volta derivate in modo analogo.

2. Il vocabolario Il vocabolario del nostro linguaggio linsieme dei segni della teoria. Al fine di rendere possibile il calcolo determinato dalle regole di trasformazione, i segni sono rappresentati da simboli. Si dividono in segni descrittivi e segni logici, cui vanno aggiunti i segni ausiliari, come le parentesi tonde ( e ) utilizzate per combinare gli enunciati semplici in enunciati composti. 2.1. Segni descrittivi. Si dividono in segni soggettivi, o variabili individuali o soggettive o soggetti, e segni predicativi o costanti predicative o predicati. 2.1.1. Segni soggettivi. I segni soggettivi, o soggetti, designano individui. Adotto quali segni soggettivi le variabili soggettive, rappresentate simbolicamente da lettere minuscole (x, y, z, w, r, s ecc.), eventualmente contrassegnate da indici numerici o comunque distintivi (x0 , x1, x2,... xn; y0 , y1, y2,...yn, z0, z1, z2,... zn, x', x"...; y', y"...; z', z"... ecc.). Adotto inoltre come ulteriori segni soggettivi questi medesimi segni preceduti dal funtore di omissone , sicch per esempio si possa dire, ove s'interpretino tali segni in un dominio di azioni, che una variabile di forma x denota la commissione dell'azione x, mentre una variabile di forma

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x denota l'omissione dell'azione x. 2.1.2. Segni predicativi. I segni predicativi, o predicati, o costanti predicative, designano propriet di individui o relazioni tra individui. Sono i termini in senso proprio del vocabolario della teoria. Alcuni sono introdotti come primitivi; tutti gli altri sono introdotti mediante definizioni. Il loro numero complessivo destinato ad aumentare con lo svolgimento della teoria, man mano che vengono stipulate nuove definizioni. Adotto, quali segni predicativi, 290 termini - 16 primitivi e 274 definiti - espressi da tre lettere maiuscole che figurano nella parte iniziale del loro nome (come PER per permesso, FCO per facoltativo, FAC per facolt, OBL per obbligo, ATT per atto, CAU per causa, NOR per norma, SOG per soggetto e simili). Li elenco qui di seguito, nell'ordine nel quale saranno introdotti: A) Predicati primitivi: permesso (PER) comportamento (COM) modalit (MOD) aspettativa (ASP) interesse (INT) status (STA) soggetto (SOG) oggetto (OGG) significato prescrittivo (SIG) regola (REG) insieme (INS) causa (CAU) costituente (COS) accertamento (ACC) forza (FZA) democratico (DEM) B) Predicati definiti: D1.1 facoltativo (FCO) D1.2 vietato (VIE) D1.3 obbligatorio (OBB) D1.4 vincolato (VIN) D3.1 D3.2 D3.3 D3.4 D3.5 D3.6 autore (AUT) titolare (TIT) imputato (IMP) rapporto deontico (RAD) garanzia (GAR) garanzia positiva (GPO) D2.1 permissione positiva (PEM) D2.2 permissione negativa (PEM) D2.3 facolt (FAC) D2.4 obbligo (OBL) D2.5 divieto (DIV) D2.6 imperativo (IMR) D2.7 attuazione (ATZ) D2.8 esercizio (ESE) D2.9 ottemperanza (OTT) D2.10 inottemperanza (INO) D2.11 soddisfazione (SOD) D2.12 violazione (VIO) D2.13 effettivit (ETT) e ineffettivit (INE) positive D2.14 effettivit (ETT) e ineffettivit (INE) negative

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D3.7 garanzia negativa (GNE) D3.8 collettivo (COL) D3.9 vantaggio (VAN) D3.10 svantaggio (SVA) D3.11 cosa (COA) D3.12 uso (USO) D4.1 segno (SEG) D4.2 precetto (PRE) D4.3 prescrizione (PRS) D4.4 precetto deontico (PDE) D4.5 precetto costitutivo (PCO) D4.6 regola tetica (RTE) D4.7 regola ipotetica (RIP) D4.8 regola deontica (RDE) D4.9 regola costitutiva (RCO) D4.10 osservanza (OSS) D4.11 inosservanza (IOS) D4.12 effettivit di grado n (ETTn) D4.13 ineffettivit di grado n (INEn) D5.1 D5.2 D5.3 D5.4 D5.5 D5.6 D6.1 D6.2 D6.3 D6.4 D6.5 D6.6 D7.1 D7.2 D7.3 D7.4 D7.5 effetto (EFF) atto (ATT) efficacia (EFC) grado sopraordinato (GSOx) grado subordinato (GSU) relazione di grado (RGR) situazione (SIT) attuabilit (ATB) situazione attiva (SIA) situazione passiva (SIP) prova (PRV) interpretazione (INP) status giuridico (STG) personalit (PTA) persona (PES) soggetto giuridico (SGG) persona naturale (PNA)

D7.6 persona artificiale (PAR) D7.7 capacit d'agire (CPA) D7.8 capacit giuridica (CPG) D7.9 capace d'agire (CAA) D7.10 capace giuridicamente (CAG) D7.11 rapporto giuridico (RAG) D7.12 rappresentanza (RAP) D7.13 rappresentante (RNT) D7.14 rappresentato (RTO) D7.15 organo (ORG) D7.16 popolo (POP) D7.17 cittadino (CIT) D7.18 cittadinanza (CTZ) D7.19 bene (BEN) D7.20 bene materiale (BMA) D7.21 bene immateriale (BIM) D8.1 norma (NOR) D8.2 fonte (FON) D8.3 norma tetica (NTE) D8.4 norma ipotetica (NIP) D8.5 norma deontica (NDE) D8.6 norma costitutiva (NCO) D8.7 norma ascrittiva (NAS) D8.8 norma attributiva (NAT) D8.9 norma imperativa (NIM) D8.10 norma istitutiva (NIS) D8.11 istituto (IST) D8.12 ordinamento (ORD) D8.13 norma di riconoscimento (NRI) D8.14 ragione sociale (RAS) D8.15 istituzione (ISZ) D8.16 atto istitutivo (AIS) D9.1 D9.2 D9.3 D9.4 D9.5 D9.6 forma (FOR) atto formale (AFO) atto informale (AIN) illecito (ILL) adempimento (ADE) inadempimento (INA)

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D9.7 atto precettivo (APR) D9.8 atto strumentale (AST) D9.9 decisione (DEC) D9.10 atto costitutivo (ACO) D9.11 norma formale (NFO) D9.12 norma sostanziale (NSO) D9.13 norma sulla produzione (NPR) D9.14 conformit (COF) D9.15 coerenza (COE) D9.16 vigore (VIG) D9.17 validit (VAL) D9.18 validit formale (VAF) D9.19 validit sostanziale (VAS) D9.20 invalidit (INV) D9.21 invalidit formale (IVF) D9.22 invalidit sostanziale (IVS) D9.23 vizio (VIZ) D9.24 vizio di forma (VIF) D9.25 vizio di sostanza (VIS) D9.26 legittimit (LGT) D9.27 illegittimit (ILG) D9.28 legittimit formale (LGF) D9.29 illegittimit formale (ILF) D9.30 legittimit sostanziale (LGS) D9.31 illegittimit sostanziale (ILS) D9.32 annullabilit (ANB) D9.33 annullamento (ANN) D9.34 applicazione (APL) D9.35 rispetto (RIS) D9.36 applicazione formale (APF) D9.37 applicazione sostanziale (APS) D9.38 corrispondenza (COR) D9.39 sussunzione (SUS) D10.1 D10.2 D10.3 D10.4 D10.5 D10.6 potere (POT) dovere (DOV) onere (ONE) potere costitutivo (PCS) potere decisionale (PDC) funzione (FUN)

D10.7 potest (PTS) D10.8 rappresentanza organica (RAO) D10.9 funzionario (FUZ) D10.10 competenza (CPZ) D10.11 norma di competenza (NCP) D10.12 designazione (DES) D10.13 votazione (VOZ) D10.14 voto (VOT) D10.15 elezione (ELE) D10.16 nomina (NOM) D10.17 statuto (STT) D10.18 prestazione (PRT) D10.19 lesione (LES) D10.20 diritto soggettivo (DIR) D10.21 diritti positivi (DPO) D10.22 diritti negativi (DNE) D10.23 diritto di immunit (DIM) D10.24 diritto facoltativo (DIF) D10.25 diritto potestativo (DIP) D10.26 diritti attivi (DAT) D10.27 diritti passivi (DPS) D10.28 dovere positivo (DOP) D10.29 dovere negativo (DON) D10.30 universale (UNI) D10.31 singolare (SIN) D10.32 assoluto (ASS) D10.33 relativo (REL) D10.34 condanna (CON) D10.35 sanzione (SAN) D10.36 responsabilit (RES) D10.37 responsabilit passiva (REP) D10.38 responsabilit attiva (REA) D10.39 garanzia primaria (GAP) D10.40 garanzia secondaria (GAS) D10.41 norma primaria (NOP) D10.42 norma secondaria (NOS) D10.43 lacuna (LAC) D10.44 antinomia (ANT)

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D10.45 lacuna formale (LAF) D10.46 lacuna sostanziale (LAS) D10.47 lacuna primaria (LPR) D10.48 lacuna secondaria (LSE) D10.49 effettivit primaria (EFP) D10.50 ineffettivit primaria (IFP) D10.51 effettivit secondaria (EFS) D10.52 ineffettivit secondaria (IFS) D10.53 ineffettivit strutturale (ITT) D10.54 ineffettivit strutturale primaria (ITP) D10.55 ineffettivit strutturale secondaria (ITS) D11.1 diritti fondamentali (DFO) D11.2 diritti della persona (DDP) D11.3 diritti del cittadino (DDC) D11.4 diritti primari (DPR) D11.5 diritti secondari (DSE) D11.6 diritti umani (DUM) D11.7 diritti pubblici (DPU) D11.8 diritti civili (DCI) D11.9 diritti politici (DPL) D11.10 diritti sociali (DSO) D11.11 diritti individuali (DIN) D11.12 libert da (LDA) D11.13 libert di (LDI) D11.14 autonomia (AUN) D11.15 libert (LIB) D11.16 autonomia civile (AUC) D11.17 autonomia politica (AUP) D11.18 disponibile (DIS) D11.19 diritti patrimoniali (DPA) D11.20 dritti reali (DRE) D11.21 diritti personali (DPE) D11.22 obbligazione (OBZ) D11.23 negozio (NEG) D11.24 limiti fondamentali (LFO) D11.25 vincoli fondamentali (VFO) D11.26 doveri fondamentali (DFO)

D11.27 beni patrimoniali (BPA) D11.28 beni fondamentali (BFO) D11.29 beni personalissimi (BPE) D11.30 beni comuni (BCO) D11.31 beni sociali (BSO) D11.32 beni demaniali (BDE) D11.33 beni illeciti (BIL) D11.34 istituzioni illecite (ISI) D11.35 uguaglianza (UGU) D11.36 sfera pubblica (SPU) D11.37 sfera privata (SPR) D11.38 funzione pubblica (FPU) D11.39 funzione privata (FPR) D11.40 istituzione pubblica (ISP) D11.41 istituzione privata (IPR) D11.42 funzione legislativa (FUL) D11.43 funzione amministrativa (FUA) D11.44 funzione giudiziaria (FUG) D12.1 potere costituente (POC) D12.2 poteri costituiti (PCT) D12.3 atto costituente (ACT) D12.4 rappresentanza politica (RPP) D12.5 divisione del potere (DVP) D12.6 divisione organica (DVO) D12.7 divisione funzionale (DVF) D12.8 separazione dei poteri (SEP) D12.9 separazione organica (SEO) D12.10 separazione funzionale (SEF) D12.11 funzioni di governo (FUG) D12.12 funzioni di garanzia (FGA) D12.13 funzioni di garanzia primaria (FGP) D12.14 funzioni di garanzia secondaria (FGS) D12.15 istituzioni di governo (IGO) D12.16 istituzioni di garanzia (IGA) D12.17 istituzioni di garanzia primaria (IGP)

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D12.18 istituzioni di garanzia secondaria (IGS) D12.19 giurisdizione (GIU) D12.20 pace (PAC) D12.21 diritti vitali (DVI) D12.22 costituzione (CST) D12.23 democrazia costituzionale (DCO) D12.24 norme costituzionali (NCS) D12.25 atto legislativo (ALE) D12.26 legge (LGG) D12.27 norma di legge (NLE) D12.28 garanzie costituzionali (GCO) D12.29 garanzie costituzionali primarie (GCP) D12.30 garanzie costituzionali

secondarie (GCS) D12.31 fonte formale (FOF) D12.32 fonte informale (FOI) D12.33 consuetudine (CNS) D12.34 democrazia formale (DCF) D12.35 democrazia sostanziale (DCZ) D12.36 democrazia politica (DCP) D12.37 democrazia civile (DCC) D12.38 democrazia liberale (DCL) D12.39 democrazia sociale (DCS) D12.40 istituzione originaria (ISO) D12.41 istituzione derivata (ISD) D12.42 federazione (FED) D12.43 istituzione federata (IFT) D12.44 confederazione (CFZ)

2.2. Segni logici. I segni logici sono segni privi di significato che agiscono, sulla base delle regole di trasformazione indicate nel 4, sui segni descrittivi combinati in enuciati semplici (secondo le regole enunciate in 3.1), dando luogo a enunciati composti (del tipo indicato in 3.2), o a enunciati generali (del tipo indicato in 3.3) o a enunciati modali (del tipo indicato in 3.4). Si dividono in segni connettivi e segni operatori. 2.2.1. Connettivi. I segni connettivi sono i segni mediante i quali le espressioni del tipo indicato in 3.1 sono tra loro combinate ai fini della formazione degli enunciati composti indicati in 3.2. Adotto quali connettivi questi cinque simboli: '' '' 'v' '' '' (non: negazione) (e: congiunzione) (o: disgiunzione) (se... allora: implicazione) (...se e solo se: equivalenza)

2.2.2. Operatori. I segni operatori si distinguono in operatori di quantificazione e operatori modali. 2.2.2.1. Quantificatori. Gli operatori di quantificazione, o quantificatori, sono

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segni che agiscono su espressioni del tipo indicato in 3.1 e in 3.2 trasformandole negli enunciati generali indicati in 3.3. Sono espressi dai due simboli: (x), che equivale a dire che per tutti gli x vale che... (quantificatore universale) e ( x), che equivale a dire che esiste almeno una x tale che (quantificatore esistenziale). Sar inoltre utilizzabile il quantificatore esistenziale numerato ( nx), che equivale a dire che esiste (nel tempo t) un numero n di x tali che. 2.2.2.2. Operatori modali. Gli operatori modali sono segni che agiscono su espressioni del tipo indicato in 3.2 o in 3.3 trasformandole negli enunciati modali indicati in 3.4. Sono espressi dai due seguenti simboli: M, che equivale a dire che possibile che, e L, che equivale a dire che necessario che.

3. Le regole di formazione Le regole di formazione sono le regole sulla cui base i segni della teoria possono essere combinati per dar luogo a espressioni ben formate. Si distinguono quattro tipi di espressioni ben formate, che sottostanno ad altrettante classi di regole di formazione: gli enunciati semplici o atomici, gli enunciati composti o molecolari, gli enunciati generali e gli enunciati modali. 3.1. Enunciati semplici. Gli enunciati semplici (o atomici) sono espressioni formate da una costante predicativa (detta funtore) seguita da un certo numero di variabili soggettive (dette argomenti). Se il predicato funtore di un solo argomento esso ne designa una propriet e si chiama monadico; se invece funtore di due o tre o quattro o pi argomenti, esso designa la relazione binaria, o ternaria o quaternaria tra questi intercorrente, e si chiama diadico, o triadico o tetradico o, pi genericamente, poliadico. Sono enunciati semplici ben formati, per esempio, contesti come OBBx, che si legge "x obbligatorio"; OBLyx, che si legge "y obbligo di x"; SOGzy, che si legge "z soggetto di y". Per semplicit, tuttavia, convengo di impiegare, nella presente teoria, soltanto predicati monadici o diadici, con la sola eccezione del termine costituzione (CST) che sar usato come predicato triadico (D12.21). 3.2. Enunciati composti. Gli enunciati composti (o molecolari) sono enunciati che risultano da una connessione di enunciati semplici mediante i segni connettivi. Sono anche chiamati funzioni enunciative, dato che il loro valore di verit, cio la loro verit o falsit, dipende dal valore di verit delle espressioni che li compongono. Per indicare gli enunciati parziali e a loro volta composti che li

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compongono, user le parentesi tonde ( e ). Sono enunciati composti ben formati, per esempio, espressioni del tipo VIEx (PERxPERx), che si legge "se x vietato, allora ne permessa l'omissione e non ne permessa la commissione", o SITy (EFFyxATTx), che si legge "se y una situazione, allora effetto di una x che un atto". Poich il nostro linguaggio non contiene costanti individuali, tutti i suoi enunciati semplici e i suoi enunciati composti sono enunciati aperti (o funzioni enunciative). 3.3. Enunciati generali. Gli enunciati generali sono espressioni risultanti dallapplicazione a un enunciato semplice o a un enunciato composto di un operatore di quantificazione. Essi sono le sole espressioni di cui si possa predicare la verit o la falsit empirica. La loro forma chiamata schema chiuso, in contrapposizione a quella delle espressioni non quantificate che chiamata schema aperto. Le espressioni accolte come tesi della teoria sono tutte enunciati generali ed hanno forme del tipo: (x)(VIEx v OBBx) o (x)(ATTx ( y)EFFyx), che rispettivamente si leggono: "per tutte le x vale che x o non vietato o non obbligatorio" (T1.16) e "per tutte le x vale che, se x un atto, allora esiste una y che ne effetto" (T5.35). 3.4. Enunciati modali. Gli enunciati modali, infine, sono le espressioni generate dallapplicazione a un enunciato di uno o pi operatori modali. Hanno forme del tipo (y)(FACy M( x)FACyx) e (y)(SITy M( x) (ATZxyATTx)), che rispettivamente si leggono; per tutte le y valen che y una facolt se e solo se pu venire a esistenza una x che ne argomento (T2.35) e "per tutte le y vale che y una situazione, se e solo se pu venire a esistenza una x che ne attuazione e che un atto" (D6.1). 4. Le regole di trasformazione Le regole di trasformazione, o regole logiche, stabiliscono l'insieme delle operazioni che possono essere compiute sulle espressioni formate in base alle regole di formazione. Il sistema delle regole di trasformazione si chiama sistema di calcolo e verr qui formulato in forma assiomatica. L'insieme delle operazioni compiute in base ad esso in questo volume si chiama calcolo ed esprime, unitamente allinsieme delle regole di formazione e di trasformazione, la sintassi logica del linguaggio teorico qui sviluppato, che a sua volta riflette la sintassi del diritto degli odierni ordinamenti complessi. Le regole di trasformazione adottate nel calcolo sono espresse simbolicamente mediante formule, composte da variabili enunciative, da variabili soggettive, da variabili predicative e da operatori

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quantificatori e modali. A differenza delle tesi della teoria, esse non sono espressioni fornite di senso, ma tautologie, cio espressioni valide o logicamente vere qualunque sia il valore di verit associato alle espressioni che le compongono. Come tali esse valgono a caratterizzare l'uso dei segni logici: cio a determinare le relazioni formali che per mezzo di questi possono essere validamente istituite tra le espressioni e, quindi, le forme delle possibili inferenze tra espressioni. La funzione delle regole di trasformazione nello sviluppo della teoria quella di consentire la derivazione di tesi vere da altre tesi che siano state precedentemente accettate come vere. Queste ultime tesi si dicono, volta a volta, premesse; la tesi derivata si dice conclusione o teorema; la serie delle operazioni che conduce dalle premesse alla conclusione, attraverso una sequenza di espressioni ciascuna delle quali o una premessa o un'espressione derivata mediante l'impiego di una regola di trasformazione, si dice dimostrazione. Poich tutti gli enunciati della teoria non introdotti assiomaticamente come postulati o come definizioni sono teoremi dimostrati in base a premesse, cio a postulati o a definizioni o a teoremi gi dimostrati in modo analogo, l'accettazione dei postulati e delle definizioni comporta l'accettazione della verit di tutte le altre tesi della teoria. Distinguer le regole di trasformazione in quattro classi: quelle del calcolo degli enunciati, quelle del calcolo dei predicati, quelle del calcolo modale e quelle del calcolo specifico. Fornir, per ciascuna di esse, gli assiomi, le regole d'inferenza e le leggi logiche. Gli assiomi e le regole d'inferenza sono scelti in modo da soddisfare tre requisiti: l'indipendenza, cio la loro non dimostrabilit in base ad altri assiomi o regole; la coerenza, cio la non dimostrabilit in base ad essi di un'espressione e della sua negazione; la completezza, cio la dimostrabilit in base ad essi di tutte le espressioni logicamente valide. Teoricamente il sistema degli assiomi e delle regole d'inferenza sarebbe quindi sufficiente per i fini delle dimostrazioni. Per evitare che queste comportino sequenze di espressioni troppo lunghe, ho tuttavia integrato il calcolo con una lunga serie di leggi logiche, che sono tutte dimostrabili in base agli assiomi ed alle regole di inferenza ed il cui impiego consente di abbreviare e di semplificare i procedimenti dimostratori. 4.1. Le regole della logica degli enunciati. Adotto quali assiomi e quali regole d'inferenza del calcolo degli enunciati, idonei a caratterizzare il comportamento dei cinque connettivi indicati in 2.2.1, i quindici assiomi e le regole del sistema di Hilbert e Bernays, nonch le tre regole della separazione, della sostituzione e del rimpiazzamento. Aggiungo cinque gruppi di leggi derivate da tali assiomi e da tali regole e relativi anch'essi all'uso dei cinque connettivi.

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Introduzione

4.1.1 Assiomi. A1.1 p (q p) A1.2 (p (p q)) (p q) A1.3 (p q) ((q m) (p m)) A2.1 (pq) p A2.2 (pq) q A2.3 (p q) ((p m) (p (qm))) A3.1 p (p v q) A3.2 q (p v q) A3.3 (p m) ((q m) ((p v q) m)) A4.1 (p q) (p q) A4.2 (p q) (q p) A4.3 (p q) ((q p) (p q)) A5.1 (p q) (q p) A5.2 p p A5.3 p p 4.1.2 Regole di inferenza SEP (Regola di separazione o del modus ponens): se un sistema di espressioni contiene sia lespressione A che lespressione (A B), allora esso ammette come valida lespressione B. SOS (Regola di sostituzione): sostituendo simultaneamente in un'espressione H tutte le occorrenze di una sottoespressione con un'altra medesima sottoespressione, si ottiene validamente una nuova espressione H', logicamente equivalente ad H. RIM (Regola del rimpiazzamento): rimpiazzando all'interno di una data espressione H una sottoespressione Z con una nuova sottoespressione E equivalente a Z, si ottiene un'espressione H' logicamente equivalente all'espressione H.

4.1.3 Leggi logiche. L1. Congiunzione L1.1 (pp) p L1.2 (pq) (qp) L1.3 (p(qm)) ((pq)m) L1.4 (p(q v m)) ((pq) v (pm)) L2. Disgiunzione L2.1 (p v p) p L2.2 (p v q) (q v p) L2.3 (p v (q v m)) ((p v q) v m) L2.4 (p v (qm)) ((p v q)(p v m)) L3. Negazione L3.1 p v p L3.2 (pp) L3.3 p p L3.4 (pq) (p v q) L3.5 (p v q) (pq) L3.6 (pq) (p v q) L3.7 (p v q) (pq) L3.8 (pq) (p v q) L3.9 (pq) (p v q) L4. Implicazione L4.11 p p L4.12 p (p p) L4.13 (p q) (p (pq)) L4.21 (p q) (p v q) L4.22 (p q) (pq) L4.23 (p q) (p v q) L4.24 (p q) (pq) L4.25 (p q) (p v q) L4.26 (p q) (pq) L4.27 (p q) (q p) L4.28 (p q) (q p)

L4.29 (p q) (pq) L4.31 ((p q)p) q L4.32 ((p q)q) p L4.33 ((p q)(q m)) (p m) L4.34 ((p q)(q m)) (p (qm)) L4.35 ((pm) q) ((pm) (qm)) L4.36 ((p (qm))(m n)) (p (qmn)) L4.37 (p ((qm) v n) (p (q v n)) L4.38 ((p (q v m))(m n)) (p (q v n)) L4.39 (p ((qm) v (nr))) (p (q v n)) L4.40 (p ((qm) v (nr))) (p (q v (nr))) L4.41 (p (qm)) ((p q)(p m)) L4.42 (p (qm)) (p q) L4.43 (p q) ((pm) q) L4.44 ((pq) m) ((p m) v (q m)) L4.45 ((pq) m) ((pm) q)) L4.46 ((p v q) m) ((p m)(q m)) L4.47 ((p v q) m) (p m) L4.48 (p q) (p (q v m)) L4.49 (p (q v m)) ((p q) v (p m)) L4.50 (p (q v m)) ((pq) m) L4.51 ((pq) m) (p (q m)) L4.52 ((pq) m) (q (p m)) L4.53 (p (q m)) (q (p m)) L4.54 (p q) ((pm) (qm)) L4.55 (p q) ((p v m) (q v m)) L4.56 (p q) (p (m q)) L4.61 ((p q)(m n)) ((pm) (qn)) L4.62 ((p q)(m n)) ((p v m) (q v n)) L5. Equivalenza L5.1 p p L5.21 (p q) (q p)

L5.22 (p q) (p q) L5.23 (p q) (q p) L5.24 (p q) (p v q) L5.25 (p q) (p v q) L5.31 (p q) ((p q)(q p)) L5.41 ((p q)(q m)) (p m) L5.51 (p (q m)) ((p q) (p m)) L5.52 (p q) ((pm) (qm)) L5.53 (p q) ((p v m) (q v m)) L5.54 ((p q)(m n)) ((pm) (qn)) L5.55 ((p q)(m n)) ((p v m) (q v n)) 4.2 Le regole della logica dei predicati. Adotto, quale sistema del calcolo dei predicati, il sistema ottenuto aggiungendo, al calcolo degli enunciati, due assiomi e due regole che caratterizzano l'uso dei due quantificatori nella formazione degli enunciati generali, nonch la regola SOS pi oltre riformulata. Ad essi aggiungo, quali leggi logiche derivate, quattro gruppi di tesi relativi rispettivamente alla negazione, distribuzione, limitazione e implicazione dei due quantificatori. 4.2.1. Assiomi A6 (EU) (x)Px Px A7 (GU) Px (x)Px 4.2.2. Regole di inferenza (EE) ( x)Px Px (GE) Px ( x)Px (esemplificazione esistenziale) (generalizzazione esistenziale) (esemplificazione universale) (generalizzazione universale)

Lassioma GU e la regola EE sono applicabili con due ordini di restrizioni: la GU solo se la variabile in base ad essa quantificata era stata precedentemente liberata con l'applicazione della EU; la EE solo se la variabile in base ad essa liberata viene poi successivamente quantificata con l'applicazione della GE. Nel calcolo sviluppato in questa teoria far uso soltanto degli assiomi EU e GU, e non anche delle regole EE e GE. Estendo inoltre al calcolo dei predicati la regola di sostituzione SOS, cos riformulata: sostituendo simultaneamente in unespressione H tutte le occorrenze di una variabile soggettiva con unaltra medesima variabile soggettiva, si ottiene

validamente una nuova espressione H', logicamente equivalente ad H.

4.2.3. Leggi logiche L6. Negazione L6.1 (x)Px ( x)Px L6.2 (x)Px ( x)Px L6.3 (x)Px ( x)Px L6.4 (x)Px ( x)Px L7. Distribuzione L7.1 (x)(PxQx) ((x)Px(x)Qx) L7.2 ( x)(PxQx) (( x)Px( x)Qx) L7.3 ( x)(Px v Qx) (( x)Px v ( x)Qx) L7.4 ((x)Px v (x)Qx) (x)(Px v Qx) L7.5 (( x)Px (x)Qx) (x)(Px Qx) L7.6 (x)(Px Qx) ((x)Px (x)Qx) L7.7 (x)(Px Qx) (( x)Px ( x)Qx) L7.8 (( x)Px ( x)Qx) ( x)(Px Qx) L7.9 ( x)(Px Qx) ((x)Px ( x)Qx) L7.10 (( x)Px(x)Qx) ( x)(PxQx) L8. Limitazione L8.1 (x)(PQx) (P(x)Qx) L8.2 ( x)(PQx) (P( x)Qx) L8.3 (x)(P v Qx) (P v (x)Qx) L8.4 ( x)(P v Qx) (P v ( x)Qx) L8.5 (x)(P Qx) (P (x)Qx) L8.6 ( x)(P Qx) (P ( x)Qx) L8.7 (x)(Qx P) (( x)Qx P) L8.8 ( x)(Qx P) ((x)Qx P) L9. Implicazione L9.1 (x)Px ( x)Px L9.2 (x)(Px Qx) ((x)Px (x)Qx) L9.3 (x)(Px Qx) (( x)Px ( x)Qx) L9.4 (( x)Px ( x)Qx) ( x)(Px Qx) L9.5 ( n)Px ( x)Px L10.1 ( x)(PxQx) (( x)Px( x)Qx) L10.2 ( x)(PxQx) ( x)Px L10.3 ( x)(PQx) ( x)Qx L10.4 ( x)(PQx) P

4.3. Le regole della logica modale. Adotto, quale sistema del calcolo modale, il sistema ottenuto aggiungendo, al calcolo degli enunciati e dei predicati, i seguenti assiomi idonei a caratterizzare il comportamento dei due operatori modali, di cui i primi tre corrispondono al sistema S5 di G.E. Hughes e M.J. Cresswell e il quarto alla formula di R.C. Barcan , nonch la regola di necessitazione. Aggiungo otto gruppi di leggi logiche da essi derivate. 4.3.1. Assiomi A8 A9 A10 A11 Lp p L(p q) (Lp Lq) Mp LMp (x)LPx L(x)Px

4.3.2. Regole di inferenza NEC (Regola di necessitazione): se A una tesi logica, allora L(A) una tesi logica 4.3.3. Leggi logiche L11.1 L11.2 L11.3 L11.4 L11.5 Mp Lp Mp Lp Mp Lp Lp Mp Lp p

L12.1 (p p) Lp L12.2 (p p) Lp L13.1 Mp LMp L13.2 Mp MMp L14.1 L14.2 L14.3 L14.4 L(pq) Lp M(pq) (MpMq) (Lp v Lq) L(p v q) M(p v q) (Mp v Mq)

L15.1 L(p v q) (Lp v Mq)

L15.2 M(pMq) (MpMq) L15.3 M(pLq) (MpLq) L15.4 (pMq) M(pq) L16.1 L16.2 L16.3 L16.4 L16.5 L17.1 L17.2 L17.3 L17.4 L18.1 L18.2 L18.3 L18.4 L18.5 L18.6 p Mp (p q) (Mp Mq) (p q) (Lp Lq) (p q) (Mp Mq) (Mp q) (p q) ( x)Px M( x)MPx L(x)Px (x)LPx ( x)MPx M( x)Px ( x)LPx L( x)Px M( x)(PxQx) (M( x)PxM( x)Qx) M( x)(PxQx) M( x)Px M( x)(PQx) M( x)Qx (x)(Px Qx) (M( x)Px M( x)Qx) (x)(Px Qx) (M( x)Px M( x)Qx) M( x)(Px v Qx) (M( x)Px v M( x)Qx)

4.4. Le regole del calcolo specifico. Aggiungo un ultimo assioma, specifico della presente teoria ed equivalente in realt a uno schema di postulato di livello, rispetto agli altri, metateorico: in base a tale assioma e alle quattro leggi da esso derivate, la cui introduzione stata giustificata nel 3 della Premessa e poi nel 2.2 del volume primo, per i termini della teoria usati sia come monadici che come diadici vale che, ove siano predicati quali propriet di un argomento, lo sono anche quali relazioni con un altro possibile argomento, e viceversa: per esempio, se y una facolt, allora la facolt di un possibile argomento, e viceversa. A12 PM (y)(Py M( x)Pyx) PM.1 (L19.1) PM.2 (L19.2) PM.3 (L19.3) PM.4 (L19.4) Py M( x)Pyx M( x)Pyx Py ( x)Pyx Py Pyx Py

Premessa I TERMINI PRIMITIVI E I POSTULATI

A. Termini primitivi 'permesso (che' o 'che non'), 'comportamento', 'modalit', 'aspettativa', 'interesse', 'status', 'soggetto', 'oggetto', 'significato (prescrittivo)', 'regola', 'insieme', 'causa', 'costituente', 'accertamento', 'forza', 'democratico'.

24

Premessa

B. Postulati P1 Di ci di cui non permessa la commissione permessa l'omissione.(x)(PERx PERx)

P2 Ogni comportamento suppone una modalit da cui deonticamente qualificato.(x)(COMx ( y)MODyx)

P3 Se di qualcosa esiste l'aspettativa della commissione, allora esiste anche una corrispondente modalit in forza della quale non ne permessa l'omissione, e viceversa.(x)(( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx))

P4 Per ogni comportamento, per ogni modalit, per ogni aspettativa e per ogni interesse esiste qualcuno che ne il soggetto.(x)((COMx v MODx v ASPx v INTx) ( z)SOGzx)

P5 I soggetti hanno uno status in forza del quale non sono oggetti.(z)(SOGz ( y)(STAyzOGGz))

P6 Modalit, aspettative, status e regole suppongono l'esistenza di qualcosa di cui sono significati prescrittivi.(y)((MODy v ASPy v STAy v REGy) ( x)SIGyx)

P7 Le regole o sono esse stesse modalit o aspettative positive o aspettative negative o status, oppure predispongono modalit o aspettative positive o aspettative negative o status.(r)(x)(REGrx ((MODrx v ASPrx v ASPrx v STArx) v ( y)((MODyx v ASPyx v ASPyx v STAyx)REGry)))

I termini primitivi e i postulati

25

P8 Le modalit, le aspettative e gli status che sono argomento di una classe di soggetti o che hanno per argomento una classe di comportamenti sono regole.(y)((x)(((MODy v ASPy v STAy)SOGxy) v ((MODyx v ASPyx v ASPyx)COMx)) REGy)

P9 Uno status suppone sempre l'esistenza del suo argomento.(y)(STAy ( x)STAyx)

P10 Ogni causa un comportamento che, se non costituente, previsto da una regola che a sua volta ha una causa e che ne dispone o predispone sia la modalit che ci di cui esso causa.(x2)(y2)(CAUx2y2 (COMx2(COSx2 ( r)( x1)(REGrx2CAUx1r (MODrx2 v ( y1)(REGry1MODy1x2))REGry2))))

P11 Le modalit e le aspettative di una causa, ove non siano costituenti, suppongono a loro volta una causa e, ove non consistano in regole, sono previste da regole che suppongono a loro volta una causa.(y1)(M( x2)((MODy1x2 v ASPy1x2 v ASPy1x2)( y2)CAUx2y2) (COSy1 (( x1)CAUx1y1(REGy1 ( r)( x0)(REGry1CAUx0r)))))

P12 Se taluno in grado di essere soggetto di un comportamento consistente in una causa, allora non a sua volta prodotto da una causa ed dotato di uno status a sua volta regolato da una causa.(z)(M( x2)( y2)(SOGzx2COMx2CAUx2y2) (( x1)CAUx1z ( y1)( x1)(STAy1zREGy1CAUx1y1)))

P13 Ci di cui qualcosa causa, o regola, oppure modalit o aspettativa non costituente non mai costituente.(x)(y)((CAUxy v REGxy v ((MODxy v ASPxy v ASPxy)COSx)) COSy)

26

Premessa

P14 'Costituente' non pu essere n un'aspettativa positiva, n un'aspettativa negativa, n una modalit del cui argomento non sia permessa la commissione o l'omissione.(y)(COSy M( x)(ASPyx v ASPyx v (MODyx(PERx v PERx))))

P15 Data una causa o una modalit o un'aspettativa o uno status, il loro accertamento sempre, simultaneamente, accertamento del loro argomento.(x)(y)((CAUxy v MODyx v ASPyx v ASPyx v STAyx) (w)(ACCwx ACCwy))

P16 L'impiego della forza permesso solo se disciplinato da regole prodotte da una causa.(x")(FZAx" (PERx" ( r)( y)( x')(REGrx"REGryMODyx"CAUx'r)))

Parte prima LA DEONTICA

Capitolo primo I MODI DEONTICI E I COMPORTAMENTI

A. Postulati P1 Di ci di cui non permessa la commissione permessa l'omissione.(x)(PERx PERx)

B. Definizioni D1.1 Facoltativo ci di cui sono permesse sia la commissione che l'omissione.(x)(FCOx (PERxPERx))

D1.2 Vietato ci di cui permessa l'omissione e non permessa la commissione.(x)(VIEx (PERxPERx))

D1.3 Obbligatorio ci di cui permessa la commissione e non permessa l'omissione.(x)(OBBx (PERxPERx))

D1.4 Vincolato ci di cui o non permessa la commissione o non permessa l'omissione.(x)(VINx (PERx v PERx))

C. Teoremi T1.1 Se di qualcosa non permessa l'omissione, allora ne permessa la commissione.(x)(PERx PERx) P1/L4.28

T1.2 Per qualsiasi argomento vale che, o ne permessa la commissione o ne permessa l'omissione.(x)(PERx v PERx)) P1/L4.23

T1.3 Di nessun argomento sono non permesse sia la commissione che l'omissione.(x)(PERxPERx) P1/L4.24

T1.4 Ci che vietato non permesso, e viceversa.(x)(VIEx PERx) Dimostrazione: 1. (x)(VIEx (PERxPERx)) 2. (x)(PERx PERx) 3. VIEx (PERxPERx) 4. PERx PERx 5. VIEx (PERxPERx) 6. VIEx PERx 7. (PERxPERx) VIEx 8. PERx (PERx VIEx) 9. PERx (PERx VIEx) 10. PERx VIEx 11. VIEx PERx 12. (x)(VIEx PERx) D1.2, P1 D1.2 P1 1/EU(x) 2/EU(x) 3/A4.1 5/L4.42 3/A4.2 7/L4.51 4,8/L4.33 9/A1.2 6,10/L5.31 11/GU(x)

T1.5 Di ci di cui obbligatoria la commissione non permessa l'omissione, e viceversa.(x)(OBBx PERx) Dimostrazione: 1. (x)(OBBx (PERxPERx)) D1.3, T1.1 D1.3

I. I modi deontici e i comportamenti 2. (x)(PERx PERx) 3. OBBx (PERxPERx) 4. PERx PERx 5. OBBx (PERxPERx) 6. OBBx PERx 7. (PERxPERx) OBBx 8. PERx (PERx OBBx) 9. PERx (PERx OBBx) 10. PERx OBBx 11. OBBx PERx 12. (x)(OBBx PERx) T1.1 1/EU(x) 2/EU(x) 3/A4.1 5/L4.42 3/A4.2 7/L4.51 4,8/L4.33 9/A1.2 6,10/L5.31 11/GU(x)

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T1.6 Se un'omissione vietata, allora non permessa, e viceversa.(x)(VIEx PERx) T1.4/SOS(x/x)

T1.7 Di ci di cui obbligatoria l'omissione non permessa la commissione, e viceversa.(x)(OBBx PERx) T1.5/SOS(x/x)

T1.8 Di ci di cui vietata la commissione obbligatoria l'omissione, e viceversa.(x)(VIEx OBBx) T1.4,T1.7/L5.41

T1.9 Di ci di cui obbligatoria la commissione vietata l'omissione, e viceversa.(x)(OBBx VIEx) T1.5,T1.6/L5.41

T1.10 Ci che permesso non vietato, e viceversa.(x)(PERx VIEx) T1.4/L5.23

T1.11 Di ci di cui permessa la commissione non obbligatoria l'omissione, e viceversa.(x)(PERx OBBx) T1.7/L5.23

T1.12 Di ci di cui non vietata la commissione non obbligatoria l'omissione, e viceversa.(x)(VIEx OBBx) T1.8/L5.22

T1.13 Di ci di cui permessa l'omissione non obbligatoria la commissione, e viceversa.(x)(PERx OBBx) T1.5/L5.23

T1.14 Se un'omissione permessa, allora non vietata, e viceversa.(x)(PERx VIEx) T1.6/L5.23

T1.15 Di ci di cui non obbligatoria la commissione non vietata l'omissione, e viceversa.(x)(OBBx VIEx) T1.9/L5.22

T1.16 Ci che obbligatorio non vietato.(x)(OBBx VIEx) T1.1,T1.5,T1.10/RIM

T1.17 Se di qualcosa obbligatoria la commissione, allora non ne obbligatoria l'omissione.(x)(OBBx OBBx) T1.1,T1.5,T1.11/RIM

T1.18 Ci che obbligatorio permesso.(x)(OBBx PERx) T1.1,T1.5/RIM

T1.19 Ci che vietato non obbligatorio.(x)(VIEx OBBx) P1, T1.4,T1.13/RIM

I. I modi deontici e i comportamenti

33

T1.20 Se di qualcosa vietata la commissione, allora non ne vietata l'omissione.(x)(VIEx VIEx) P1, T1.4, T1.14/RIM

T1.21 Se di qualcosa vietata la commissione, allora ne permessa l'omissione.(x)(VIEx PERx) P1, T1.4/RIM

T1.22 Per qualsiasi argomento vale che la sua commissione o non vietata o non obbligatoria.(x)(VIEx v OBBx) T1.2,T1.10,T1.13/RIM

T1.23 Per qualsiasi argomento vale che di esso o vietata la commissione o permessa l'omissione.(x)(VIEx v PERx) T1.2, T1.10/RIM

T1.24 Per qualsiasi argomento vale che la sua commissione o non obbligatoria o permessa.(x)(OBBx v PERx) T1.2, T1.13/RIM, L2.2

T1.25 Di nessun argomento vietata e, insieme, obbligatoria la commissione.(x)(VIExOBBx) T1.3, T1.4, T1.5/RIM

T1.26 Di nessun argomento vietata la commissione e, insieme, non permessa l'omissione.(x)(VIExPERx) T1.3,T1.4/RIM

T1.27 Di nessun argomento obbligatoria e, insieme, commissione.(x)(OBBxPERx) T1.3, T1.5/RIM,L1.2

non permessa la

T1.28 Di ci di cui facoltativa la commissione facoltativa anche l'omissione, e viceversa.(x)(FCOx FCOx) Dimostrazione: 1. (x)(FCOx (PERxPERx)) 2. (x)(FCOx (PERxPERx)) 3. FCOx (PERxPERx) 4. FCOx (PERxPERx) 5. FCOx (PERxPERx) 6. FCOx FCOx 7. (x)(FCOx FCOx) D1.1 D1.1 1/SOS(x/x) 1/EU(x) 2/EU(x) 4/L1.2 3,5/RIM 6/GU(x)

T1.29 Di ci di cui vincolata la commissione vincolata anche l'omissione, e viceversa.(x)(VINx VINx) D1.4 Dimostrazione: 1. (x)(VINx (PERx v PERx)) D1.4 2. (x)(VINx (PERx v PERx)) 1/SOS(x/x) 3. VINx (PERx v PERx)) 1/EU(x) 4. VINx (PERx v PERx)) 2/EU(x) 5. VINx (PERx v PERx)) 4/L2.2 6. VINx VINx 3,5/RIM 7. (x)(VINx VINx) 6/GU(x)

T1.30 Facoltativo tutto e solo ci che non vincolato.(x)(FCOx VINx) Dimostrazione: 1. (x)(FCOx (PERxPERx)) 2. (x)(VINx (PERx v PERx)) 3. FCOx (PERxPERx) 4. VINx (PERx v PERx) 5. VINx (PERxPERx) 6. VINx (PERxPERx) 7. VINx FCOx 8. FCOx VINx 9. (x)(FCOx VINx) D1.1,D1.4 D1.1 D1.4 1/EU(x) 2/EU(x) 4/L3.6 5/L5.23 6,3/RIM 7/L5.21 GU(x)


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T1.31 Di ci che facoltativo permessa la commissione.(x)(FCOx PERx) D1.1/A4.1,L4.42

T1.32 Di ci che facoltativo permessa l'omissione.(x)(FCOx PERx) D1.1/A4.1,L4.42

T1.33 Di nessun argomento sia facoltativa che vietata la commissione.(x)(FCOxVIEx) T1.31,T1.4/L4.22,RIM

T1.34 Di nessun argomento sia facoltativa che obbligatoria la commissione.(x)(FCOxOBBx) T1.32,T1.5/L4.22,RIM

T1.35 Per qualsiasi argomento vale che esso o vincolato o permesso.(x)(VINx v PERx) Dimostrazione: 1. (x)(VINx (PERx v PERx)) 2. VINx (PERx v PERx) 3. (PERx v PERx) VINx 4. PERx VINx 5. PERx v VINx 6. VINx v PERx 7. (x)(VINx v PERx) D1.4 D1.4 1/EU(x) 2/A4.2 3/L4.47 4/L4.23 5/L2.2 6/L2.2

T1.36 Per qualsiasi argomento vale che di esso o vincolata la commissione o permessa l'omissione.(x)(VINx v PERx) Dimostrazione: 1. (x)(VINx (PERx v PERx)) 2. VINx (PERx v PERx) 3. (PERx v PERx) VINx 4. PERx VINx 5. PERx v VINx 6. VINx v PERx D1.4 D1.4 1/EU(x) 2/A4.2 3/L4.47 4/L4.23 5/L2.2

7. (x)(VINx v PERx)

6/GU(x)

T1.37 Ci che vietato vincolato.(x)(VIEx VINx) D1.4,T1.4/A4.2,L4.47,RIM

T1.38 Ci che obbligatorio vincolato(x)(OBBx VINx) D1.4,T1.5/A4.2,L4.47,RIM

T1.39 Permesso della commissione tutto ci la cui commissione facoltativa o obbligatoria.(x)(PERx (FCOx v OBBx)) D1.1,D1.3 Dimostrazione: 1. (x)(FCOx (PERxPERx)) D1.1 2. (x)(OBBx (PERxPERx)) D1.3 3. FCOx (PERxPERx) 1/EU(x) 4. OBBx (PERxPERx) 2/EU(x) 5. FCOx (PERxPERx) 3/A4.1 6. OBBx (PERxPERx) 4/A4.1 7. FCOx PERx 5/L4.42 8. OBBx PERx 6/L4.42 9. (FCOx v OBBx) PERx 7,8/L4.46 10. (PERxPERx) FCOx 3/A4.2 11. (PERxPERx) OBBx 4/A4.2 12. ((PERxPERx) v (PERxPERx)) (FCOx v OBBx) 10,11/L4.62 13. (PERx(PERx v PERx)) (FCOx v OBBx) 12/L1.4 14. (PERx v PERx) (PERx (FCOx v OBBx)) 13/L4.52 15. (PERx v PERx) L3.1 16. PERx (FCOx v OBBx) 14,15/L4.31 17. PERx (FCOx v OBBx) 16,9/L5.31 18. (x)(PERx (FCOx v OBBx)) 17/GU(x)

T1.40 Permesso dell'omissione tutto ci la cui commissione facoltativa o vietata.(x)(PERx (FCOx v VIEx)) D1.1,D1.2 (La dimostrazione analoga a quella della precedente)


37

T1.41 Vincolato tutto ci che vietato o obbligatorio.(x)(VINx (VIEx v OBBx)) D1.4,T1.4,T1.5/RIM

T1.42 Vietato tutto ci di cui permessa l'omissione e vincolata la commissione.(x)(VIEx (PERxVINx)) D1.2,T1.37,D1.4 Dimostrazione: 1. (x)(VIEx (PERxPERx) D1.2 2. (x)(VIEx VINx) T1.37 3. (x)(VINx (PERx v PERx) D1.4 4. VIEx (PERxPERx) 1/EU(x) 5. VIEx VINx 2/EU(x) 6. VINx (PERx v PERx) 3/EU(x) 7. VIEx (PERxPERx) 4/A4.1 8. VIEx PERx 7/L4.42 9. VIEx (PERxVINx) 7,5/L4.41 10. VINx (PERx v PERx) 6/A4.1 11. VINx (PERx v PERx) 10/L2.2 12. (VINxPERx) PERx 11/L4.50 13. (VINxPERx) (PERxPERx) 12/L4.35 14. (PERxVINx) VIEx 13,4/L1.2,RIM 15. VIEx (PERxVINx) 8,14/L5.31 16. (x)(VIEx (PERxVINx)) 15/GU(x)

T1.43 Obbligatorio tutto ci che permesso e vincolato.(x)(OBBx (PERxVINx)) Dimostrazione: 1. (x)(OBBx (PERxPERx)) 2. (x)(OBBx VINx) 3. (x)(VINx (PERx v PERx) 4. OBBx (PERxPERx) 5. OBBx VINx 6. VINx (PERx v PERx) 7. OBBx PERx 8. OBBx (PERxVINx) 9. VINx (PERx v PERx) 10. (VINxPERx) PERx 11. (VINxPERx) (PERxPERx) 12. (PERxVINx) OBBx D1.3,T1.38,D1.4 D1.3 T1.38 D1.4 1/EU(x) 2/EU(x) 3/EU(x) 4/A4.1,L4.42 7,5/L4.41 6/A4.1 9/L4.50 10/L4.35 11,4/RIM,L1.2

13. OBBx (PERxVINx) 14. (x)(OBBx (PERxVINx))

8,12/L5.31 13/GU(x)

T1.44 Facoltativo tutto ci che non n vietato n obbligatorio.(x)(FCOx (VIExOBBx)) D1.1,T1.10,T1.13/RIM

T1.45 Vietato tutto ci che non n facoltativo n obbligatorio.(x)(VIEx (FCOxOBBx)) T1.42,T1.30,T1.13/RIM,L1.2

T1.46 Obbligatorio tutto ci che non n facoltativo n vietato.(x)(OBBx (FCOxVIEx)) T1.43,T1.30,T1.10/RIM,L1.2

T1.47 Per qualsiasi argomento vale che esso o facoltativo o vietato o obbligatorio.(x)(FCOx v VIEx v OBBx) T1.2,T1.39,T1.40/RIM,L2.2

T1.48 Tutti i comportamenti sono o facoltativi o vietati o obbligatori.(x)(COMx (FCOx v VIEx v OBBx)) T1.47/A1.1

T1.49 Per qualsiasi argomento vale che esso o facoltativo o vincolato.(x)(FCOx v VINx) T1.47,T1.41/RIM

T1.50 Tutti i comportamenti sono o facoltativi o vincolati.(x)(COMx (FCOx v VINx)) T1.49/A1.1

T1.51 Ci che non vincolato facoltativo.(x)(VINx FCOx) T1.49/L4.23

T1.52 Ci che non facoltativo vincolato.

I. I modi deontici e i comportamenti (x)(FCOx VINx)

39

T1.49/L4.23

T1.53 Tutto facoltativo ove nulla sia vincolato.( x)VINx (x)FCOx Dimostrazione: 1. (x)(VINx FCOx) 2. (x)VINx (x)FCOx 3. ( x)VINx (x)FCOx T1.51 T1.51 1/L7.6 2/L6.2

T1.54 Tutto vincolato ove nulla sia facoltativo.( x)FCOx (x)VINx T1.52 (La dimostrazione analoga a quella della precedente)

T1.55 Tutto vincolabile ove nulla sia facoltativo.( x)FCOx M(x)VINx T1.54/L16.1

T1.56 Esiste qualcosa che facoltativo, ove sia impossibile che tutto sia vincolato.M(x)VINx ( x)FCOx T1.55/L4.28

Capitolo secondo MODALIT E ASPETTATIVE DEONTICHE A. Postulati P1 Di ci di cui non permessa la commissione permessa l'omissione.(x)(PERx PERx)

P2. Ogni comportamento suppone una modalit da cui deonticamente qualificato.(x)(COMx ( y)MODyx)

P3 Se di qualcosa esiste l'aspettativa della commissione, allora esiste anche una corrispondente modalit in forza della quale non ne permessa l'omissione, e viceversa.(x)(( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx))

B. Definizioni D2.1 Permissione positiva la modalit di ci di cui permessa la commissione.(y)(x)(PEMyx (MODyxPERx))

D2.2 Permissione negativa la modalit di ci di cui permessa l'omissione.(y)(x)(PEMyx (MODyxPERx))

D2.3 Facolt la modalit di ci che facoltativo.(y)(x)(FACyx (MODyxFCOx))

II. Modalit e aspettative deontiche

41

D2.4 Obbligo la modalit di ci che obbligatorio.(y)(x)(OBLyx (MODyxOBBx))

D2.5 Divieto la modalit di ci che vietato.(y)(x)(DIVyx (MODyxVIEx))

D2.6 Imperativo la modalit di ci che vincolato.(y)(x)(IMRyx (MODyxVINx))

D2.7 Attuazione qualunque comportamento che sia argomento di una modalit deontica, o di unaspettativa positiva o di unaspettativa negativa.(x)(y)(ATZxy (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx)))

D2.8 Esercizio l'attuazione di una facolt.(x)(y)(ESExy (ATZxyFACyx))

D2.9 Ottemperanza l'attuazione di un obbligo.(x)(y)(OTTxy (ATZxyOBLyx))

D2.10 Inottemperanza l'attuazione di un divieto.(x)(y)(INOxy (ATZxyDIVyx))

D2.11 Soddisfacimento l'attuazione di un'aspettativa positiva.(x)(y)(SODxy (ATZxyASPyx))

D2.12 Violazione l'attuazione di un'aspettativa negativa.(x)(y)(VIOxy (ATZxyASPyx))

D2.13 Le facolt, gli obblighi e le aspettative positive sono effettivi se e solo se ne ricorre l'attuazione, e ineffettivi in caso contrario.(y)(M( x)(FACyx v OBLyx v ASPyx) ((ETTy ( x)ATZxy)(INEy ( x)ATZxy)))

D2.14 I divieti e le aspettative negative sono effettivi se e solo se non ne ricorre l'attuazione, e ineffettivi in caso contrario.(y)(M( x)(DIVyx v ASPyx) ((ETTy ( x)ATZxy)(INEy ( x)ATZxy)))

C. Teoremi T2.1 Di ogni comportamento qualificabile deonticamente sia la commissione che l'omissione sulla base di una qualche modalit deontica e/o della correlativa aspettativa positiva o negativa.(x)(COMx ( y)(MODyx v MODyx v ASPyx v ASPyx)) P2/L4.48,L7,3

T2.2 Ricorre una modalit o un'aspettativa deontica se e solo se sono possibili sia la commissione che l'omissione dei loro argomenti.(y)((MODy v ASPy) M( x)(MODyx v MODyx v ASPyx v ASPyx)) PM Dimostrazione: 1. (y)(MODy M( x)MODyx) PM 2. (y)(ASPy M( x)ASPyx) 1/SOS(x/x) 3. (y)(ASPy M( x)ASPyx) PM 4. (y)(ASPy M( x)ASPyx) 3/SOS(x/x) 5. MODy M( x)MODyx 1/EU(y) 6. MODy M( x)MODyx 2/EU(y) 7. ASPy M( x)ASPyx 3/EU(y) 8. ASPy M( x)ASPyx 4/EU(y) 9. (MODy v MODy v ASPy v ASPy) (M( x)MODyx v M( x)MODyx v M( x)ASPyx v M( x)ASPyx) 5,6,7,8/L5.55 10. (MODy v ASPy) (M( x)MODyx v M( x)MODyx v M( x)ASPyx v M( x)ASPyx) 9/L2.1 11. (MODy v ASPy) M( x)(MODyx v MODyx v ASPyx v ASPyx) 10/L18.6 12. (y)((MODy v ASPy) M( x)(MODyx v MODyx v ASPyx v ASPyx)) 11/GU(y)


43

T2.3 Ove sia impossibile che si verifichi o che non si verifichi il loro argomento, non pu parlarsi n di modalit, n di aspettative.(y)(M( x)(MODyx v MODyx v ASPyx v ASPyx) (MODyASPy)) Dimostrazione: 1. (y)((MODy v ASPy) M( x)(MODyx v MODyx v ASPyx v ASPyx)) 2. (MODy v ASPy) M( x)(MODyx v MODyx v ASPyx v ASPyx) 3. M( x)(MODyx MODyx v v ASPyx v ASPyx) (MODy v ASPy) 4. M( x)(MODyx v MODyx v ASPyx v ASPyx) (MODyASPy) 5. (y)(M( x)(MODyx v MODyx v ASPyx v ASPyx) (MODyASPy)) T2.2 T2.2 1/EU(y) 2/A5.1 3/L3.7 4/GU(y)

T2.4 La facolt la permissione sia della commissione che dell'omissione del suo argomento.(y)(x)(FACyx (PEMyxPEMyx)) D2.1,D2.2,D2.3,D1.1 Dimostrazione: 1. (y)(x)(PEMyx (MODyxPERx)) D2.1 2. (y)(x)(PEMyx (MODyxPERx)) D2.2 3. (y)(x)(FACyx (MODyxFCOx)) D2.3 4. (x)(FCOx (PERxPERx)) D1.1 5. PEMyx (MODyxPERx) 1/EU(y,x) 6. PEMyx (MODyxPERx) 2/EU(y,x) 7. FACyx (MODyxFCOx) 3/EU(y,x) 8. FCOx (PERxPERx)) 4/EU(x) 9. FACyx (MODyxPERxPERx) 7,8/RIM 10. FACyx ((MODyxPERxMODyxPERx) 9/L1.1 11. FACyx (PEMyxPEMyx) 10,5,6/RIM 12. (y)(x)(FACyx (PEMyxPEMyx)) 11/GU(y,x)

T2.5 L'obbligo la permissione della commissione e la non permissione dell'omissione del suo argomento.(y)(x)(OBLyx (PEMyxPEMyx)) Dimostrazione: 1. (y)(x)(PEMyx (MODyxPERx)) 2. (y)(x)(PEMyx (MODyxPERx)) 3. (y)(x)(OBLyx (MODyxOBBx)) 4. (y)(x)(OBBx (PERxPERx)) 5. PEMyx (MODyxPERx) D2.1,D2.2,D2.4,D1.3 D2.1 D2.2 D2.4 D1.3 1/EU(y,x)

6. PEMyx (MODyxPERx) 2/EU(y,x) 7. OBLyx (MODyxOBBx) 3/EU(y,x) 8. OBBx (PERxPERx) 4/EU(y,x) 9. OBLyx (MODyxPERxPERx) 7,8/RIM 10. OBLyx (MODyxPERx) 9/A4.1,L4.42 11. OBLyx PEMyx 10,5/RIM 12. OBLyx PERx 9/A4.1,L4.42 13. (OBLyxMODyx) PERx 12/L4.43 14. OBLyx (MODyx PERx) 13/L4.51 15. PEMyx (MODyxPERx) 6/A4.1 16. (MODyxPERx) PEMyx 15/A5.1 17. (MODyx PERx) PEMyx 16/L4.26 18 OBLyx PEMyx 14,17/L4.33 19. OBLyx (PEMyxPEMyx) 18,11/L4.41 20. (MODyxPERxPERx) OBLyx 9/A4.2 21. (MODyxPERx MODyxPERx) OBLyx 20/A1.1 22. (PEMyxPEMyx) OBLyx 21,5,6/RIM 23. OBLyx (PEMyxPEMyx) 19,22/L5.31 24. (x)(OBLyx (PEMyxPEMyx)) 23/GU(x)

T2.6 Il divieto la permissione dell'omissione e la non permissione della commissione del suo argomento.(y)(x)(DIVyx (PEMyxPEMyx)) (La dimostrazione analoga a quella della T2.5) D2.1, D2.2, D2.5, D1.2

T2.7 Permissione positiva qualunque facolt o obbligo.(y)(x)(PEMyx (FACyx v OBLyx)) D2.1,D2.3,D2.4,T1.39 Dimostrazione: 1. (y)(x)(PEMyx (MODyxPERx)) D2.1 2. (y)(x)(FACyx (MODyxFCOx)) D2.3 3. (y)(x)(OBLyx (MODyxOBBx)) D2.4 4. (x)(PERx (FCOx v OBBx)) T1.39 5. PEMyx (MODyxPERx) 1/EU(y,x) 6. FACyx (MODyxFCOx) 2/EU(y,x) 7. OBLyx (MODyxOBBx) 3/EU(y,x) 8. PERx (FCOx v OBBx) 4/EU(x) 9. PEMyx (MODyx(FCOx v OBBx)) 5,8/RIM 10. PEMyx ((MODyxFCOx) v (MODyxOBBx)) 9/L1.4 11. PEMyx (FACyx v OBLyx)) 10,6,7/RIM 12. (y)(x)(PEMyx (FACyx v OBLyx)) 11/GU(y,x)


45

T2.8 Permissione negativa qualunque facolt o divieto.(y)(x)(PEMyx (FACyx v DIVyx)) (La dimostrazione analoga a quella della T2.7) D2.2,D2.3,D2.5,T1.40

T2.9 Imperativo qualunque obbligo o divieto.(y)(x)(IMRyx (OBLyx v DIVyx)) (La dimostrazione analoga a quella della T2.7) D2.6,D2.4,D2.5,T1.41

T2.10 La facolt incompatibile sia con l'obbligo che con il divieto del suo argomento.(y)(x)(FACyx (OBLyxDIVyx)) Dimostrazione: 1. (y)(x)(FACyx (PEMyxPEMyx)) 2.(y)(x)(OBLyx (PEMyxPEMyx)) 3. (y)(x)(DIVyx (PEMyxPEMyx)) 4. FACyx PEMyx 5. OBLyx PEMyx 6. PEMyx OBLyx 7. FACyx OBLyx 8. FACyx PEMyx 9. DIVyx PEMyx 10. PEMyx DIVyx 11. FACyx DIVyx 12. (y)(x)(FACyx (OBLyxDIVyx)) T2.4,T2.5,T2.6 T2.4 T2.5 T2.6 1/EU(y,x),A4.1,L4.42 2/EU(y,x),A4.1,L4.42 5/L4.27 4,6/L4.33 1/EU(y,x),A4.1,L4.42 3/EU(y,x),A4.1,L4.42 9/L4.27 8,10/L4.33 7,11/L4.41,GU(y,x)

T2.11 L'obbligo incompatibile sia con la facolt che con il divieto del suo argomento.(y)(x)(OBLyx (FACyxDIVyx)) Dimostrazione: 1. (y)(x)(FACyx (OBLyxDIVyx)) 2.(y)(x)(OBLyx (PEMyxPEMyx)) 3. (y)(x)(DIVyx (PEMyxPEMyx)) 4. FACyx OBLyx 5. OBLyx FACyx 6. OBLyx PEMyx T2.10,T2.5,T2.6 T2.10 T2.5 T2.6 1/EU(y,x), L4.42 4/L4.27 2/EU(y,x),A4.1,L4.42

7. DIVyx PEMyx 8. PEMyx DIVyx 9. OBLyx DIVyx 10. (y)(x)(OBLyx (FACyxDIVyx))

3/EU(y,x),A4.1,L4.42 7/L4.27 6,8/L4.33 5,9/L4.41,GU(y,x)

T2.12 Il divieto incompatibile sia con la facolt che con l'obbligo del suo argomento.(y)(x)(DIVyx (FACyxOBLyx)) T2.10,T2.11/L4.42,L4.27,L4.41

T2.13 La permissione positiva incompatibile con il divieto del suo argomento.(y)(x)(PEMyx DIVyx) Dimostrazione: 1. (y)(x)(PEMyx (FACyx v OBLyx)) 2. (y)(x)(DIVyx (FACyxOBLyx)) 3. PEMyx (FACyx v OBLyx) 4. DIVyx (FACyxOBLyx) 5. PEMyx (FACyx v OBLyx) 6. DIVyx (FACyx v OBLyx) 7. (FACyx v OBLyx) DIVyx 8. PEMyx DIVyx 9. (y)(x)(PEMyx DIVyx) T2.7,T2.12 T2.7 T2.12 1/EU(y,x) 2/EU(y,x) 3/A4.1 4/L3.7 6/L4.27 5,7/L4.33 8/GU(y,x)

T2.14 La permissione negativa incompatibile con l'obbligo del suo argomento.(y)(x)(PEMyx OBLyx) T2.8,T2.11 (La dimostrazione analoga a quella della T2.13)

T2.15 L'imperativo incompatibile con la facolt del suo argomento.(y)(x)(IMRyx FACyx) T2.9,T2.10 (La dimostrazione analoga a quella della T2.13)

T2.16 Tutte le modalit si distinguono in permissioni positive e permissioni negative.(y)(x)(MODyx (PEMyx v PEMyx)) Dimostrazione: 1. (y)(x)(PEMyx (MODyxPERx)) D2.1,D2.2,T1.2 D2.1

II. Modalit e aspettative deontiche 2. (y)(x)(PEMyx (MODyxPERx)) D2.2 3. (x)(PERx v PERx) T1.2 4. PEMyx (MODyxPERx) 1/EU(y,x) 5. PEMyx (MODyxPERx) 2/EU(y,x) 6. PERx v PERx 3/EU(x) 7. (PEMyx v PEMyx) ((MODyxPERx) v PEMyx) 4/L5.53 8. (PEMyx v PEMyx) ((MODyxPERx) v (MODyxPERx)) 7,5/RIM 9. (PEMyx v PEMyx) (MODyx(PERx v PERx)) 8/L1.4 10.(PEMyx vPEMyx)MODyx 9/A4.1,L4.42 11. (MODyx(PERx v PERx)) (PEMyx v PEMyx) 9/A4.2 12. (PERx v PERx) (MODyx (PEMyx v PEMyx)) 11/L4.52 13. MODyx (PEMyx v PEMyx) 12,6/L4.31 14. MODyx (PEMyx v PEMyx) 13,10/L5.31 15. (y)(x)(MODyx (PEMyx v PEMyx) 14/GU(y,x)

47

T2.17 Tutte le modalit si distinguono in facolt, obblighi e divieti.(y)(x)(MODyx (FACyx v OBLyx v DIVyx)) T2.16,T2.7,T2.8/RIM,L2.2

T2.18 La permissione positiva (di un argomento) qualunque modalit che non (ne) sia un divieto.(y)(x)(PEMyx (MODyxDIVyx)) T2.17,T2.7,T2.12 Dimostrazione: 1. (y)(x)(MODyx (FACyx v OBLyx v DIVyx)) T2.17 2. (y)(x)(PEMyx (FACyx v OBLyx)) T2.7 3. (y)(x)(DIVyx (FACyxOBLyx)) T2.12 4. MODyx (FACyx v OBLyx v DIVyx) 1/EU(y,x) 5. PEMyx (FACyx v OBLyx) 2/EU(y,x) 6. DIVyx (FACyxOBLyx) 3/EU(y,x) 7. MODyx (PEMyx v DIVyx) 4,5/RIM 8. MODyx (PEMyx v DIVyx) 7/A4.1 9. (MODyxDIVyx) PEMyx 8/L4.50 10. PEMyx (FACyx v OBLyx) 5/A4.1 11. PEMyx (FACyxOBLyx) 10/L3.5 12. (FACyxOBLyx) DIVyx 6/A5.1 13. PEMyx DIVyx 11,12/L4.33 14. PEMyx MODyx 7/A4.2,L4.47 15. PEMyx (MODyxDIVyx) 14,13/L4.41 16. (y)(x)(PEMyx (MODyxDIVyx)) 9,15/L5.31,GU(y,x)

T2.19 La permissione negativa qualunque modalit che non sia un obbligo.

(y)(x)(PEMyx (MODyxOBLyx)) (La dimostrazione analoga a quella della T2.18)

T2.17,T2.8,T2.11

T2.20 L'imperativo qualunque modalit che non sia una facolt.(y)(x)(IMRyx (MODyxFACyx)) (La dimostrazione analoga a quella della T2.18) T2.17,T2.9,T2.10

T2.21 La facolt qualunque modalit che non sia un imperativo.(y)(x)(FACyx (MODyxIMRyx)) (La dimostrazione analoga a quella delle T2.18) T2.17,T2.20,T2.9

T2.22 La facolt qualunque modalit che non sia n un obbligo n un divieto.(y)(x)(FACyx (MODyxOBLyxDIVyx)) Dimostrazione : 1. (y)(x)(FACyx (MODyxIMRyx)) 2. (y)(x)(IMRyx (OBLyx v DIVyx)) 3. FACyx (MODyxIMRyx) 4. IMRyx (OBLyx v DIVyx) 5. IMRyx (OBLyx v DIVyx) 6. IMRyx (OBLyxDIVyx) 7. FACyx (MODyxOBLyxDIVyx) 8. (y)(x)(FACyx (MODyxOBLyxDIVyx)) T2.21,T2.9 T2.21 T2.9 1/EU(y,x) 2/EU(y,x) 4/L5.22 5/L3.7 3,6/RIM 7/GU(y,x)

T2.23 La facolt qualunque permissione positiva che non sia un obbligo.(y)(x)(FACyx (PEMyxOBLyx)) T2.22,T2.18/RIM

T2.24 La facolt qualunque permissione negativa che non sia un divieto.(y)(x)(FACyx (PEMyxDIVyx)) T2.22,T2.19/RIM

T2.25 L'obbligo qualunque modalit che non sia una permissione negativa.(y)(x)(OBLyx (MODyxPEMyx)) T2.19,T2.17,T2.8 Dimostrazione: 1. (y)(x)(PEMyx (MODyxOBLyx)) T2.19 2. (y)(x)(MODyx (FACyx v OBLyx v DIVyx)) T2.17

II. Modalit e aspettative deontiche 3. (y)(x)(PEMyx (FACyx v DIVyx)) 4. PEMyx (MODyxOBLyx) 5. MODyx (FACyx v OBLyx v DIVyx) 6. PEMyx (FACyx v DIVyx) 7. MODyx (PEMyx v OBLyx) 8. MODyx (PEMyx v OBLyx) 9. (MODyxPEMyx) OBLyx 10. PEMyx OBLyx 11. OBLyx PEMyx 12. OBLyx MODyx 13. OBLyx (MODyxPEMyx) 14. OBLyx (MODyxPEMyx) 15. (y)(x)(OBLyx (MODyxPEMyx)) T2.8 1/EU(y,x) 2/EU(y,x) 3/EU(y,x) 5,6/RIM 7/A4.1 8/L4.50 4/A4.1,L4.42 10/L4.27 7/A4.2,L4.47 12,11/L4.41 13,9/L5.31 14/GU(y,x)

49

T2.26 L'obbligo qualunque modalit che non sia n una facolt n un divieto.(y)(x)(OBLyx (MODyxFACyxDIVyx)) T2.25,T2.8 (La dimostrazione analoga a quella delle T2.22)

T2.27 L'obbligo qualunque permissione positiva che non sia una facolt.(y)(x)(OBLyx (PEMyxFACyx)) T2.26,T2.18/RIM

T2.28 L'obbligo qualunque imperativo che non sia un divieto.(y)(x)(OBLyx (IMRyxDIVyx)) T2.26,T2.20/RIM

T2.29 Il divieto qualunque modalit che non sia una permissione positiva.(y)(x)(DIVyx (MODyxPEMyx)) T2.18, T2.17, T2.7 (La dimostrazione analoga a quella della T2.25)

T2.30 Il divieto qualunque modalit che non sia n una facolt n un obbligo.(y)(x)(DIVyx (MODyxFACyxOBLyx)) T2.29,T2.7 (La dimostrazione analoga a quella delle T2.22)

T2.31 Il divieto qualunque permissione negativa che non sia una facolt.

(y)(x)(DIVyx (PEMyxFACyx))

T2.30,T2.19/RIM

T2.32 Il divieto qualunque imperativo che non sia un obbligo.(y)(x)(DIVyx (IMRyxOBLyx)) T2.30,T2.20/RIM

T2.33 Data una modalit deontica, sempre possibile che si verifichi ci che di essa argomento.(y)(MODy M( x)MODyx) PM

T2.34 Data una permissione, sempre possibile che si verifichi ci che di essa argomento.(y)(PEMy M( x)PEMyx) PM

T2.35 Data una facolt, sempre possibile che si verifichi ci che di essa argomento.(y)(FACy M( x)FACyx) PM

T2.36 Dato un obbligo, sempre possibile che si verifichi ci che di esso argomento.(y)(OBLy M( x)OBLyx) PM

T2.37 Dato un divieto, sempre possibile che si verifichi ci che di esso argomento.(y)(DIVy M( x)DIVyx) PM

T2.38 Dato un imperativo, sempre possibile che si verifichi ci che di esso argomento.(y)(IMRy M( x)IMRyx) PM


51

T2.39 La facolt la modalit deontica il cui possibile argomento facoltativo.(y)(FACy M( x)(MODyxFCOx)) T2.35,D2.3/RIM

T2.40 L'obbligo la modalit deontica il cui possibile argomento obbligatorio.(y)(OBLy M( x)(MODyxOBBx)) T2.36,D2.4/RIM

T2.41 Il divieto la modalit deontica il cui possibile argomento vietato.(y)(DIVy M( x)(MODyxVIEx)) T2.37,D2.5/RIM

T2.42 Ogni modalit la facolt o l'obbligo o il divieto di un possibile argomento.(y)(MODy M( x)(FACyx v OBLyx v DIVyx)) T2.33,T2.17/RIM

T2.43 Ogni modalit una facolt o un obbligo o un divieto.(y)(MODy (FACy v OBLy v DIVy)) T2.42/L18.6,PM

T2.44 Se una modalit qualifica deonticamente la commissione di un argomento, allora ne qualifica anche l'omissione, e viceversa.(y)(x)(MODyx MODyx) Dimostrazione: 1. (y)(x)(MODyx (PEMyx v PEMyx)) 2. MODyx (PEMyx v PEMyx) 3. MODyx (PEMyx v PEMyx) 4. (PEMyx v PEMyx) (PEMyx v PEMyx) 5. MODyx MODyx 6. (y)(x)(MODyx MODyx) T2.16 T2.16 1/EU(y,x) 2/SOS(x/x) L2.2 4,2,3/RIM 5/GU(y,x)

T2.45 L'obbligo della commissione di un dato argomento equivale al divieto della sua omissione.(y)(x)(OBLyx DIVyx) Dimostrazione: 1. (y)(x)(DIVyx (PEMyxPEMyx)) 2. (y)(x)(OBLyx (PEMyxPEMyx)) 3. DIVyx (PEMyxPEMyx) T2.6,T2.5 T2.6 T2.5 1/EU(y,x)

4. OBLyx (PEMyxPEMyx) 5. DIVyx (PEMyxPEMyx) 6. OBLyx DIVyx 7. (y)(x)(OBLyx DIVyx)

2/EU(y,x) 3/SOS(x/x) 4,5/RIM 6/GU(y,x)

T2.46 Il divieto della commissione di un dato argomento equivale all'obbligo della sua omissione.(y)(x)(DIVyx OBLyx) Dimostrazione: 1. (y)(x)(OBLyx (PEMyxPEMyx)) 2. (y)(x)(DIVyx (PEMyxPEMyx)) 3. OBLyx (PEMyxPEMyx) 4. DIVyx (PEMyxPEMyx) 5. OBLyx (PEMyxPEMyx) 6. DIVyx OBLyx 7. (y)(x)(DIVyx OBLyx) T2.5,T2.6 T2.5 T2.6 1/EU(y,x) 2/EU(y,x) 3/SOS(x/x) 4,5/RIM 6/GU(y,x)

T2.47 La facolt della commissione di un dato argomento anche facolt della sua omissione, e viceversa.(y)(x)(FACyx FACyx) Dimostrazione: 1. (y)(x)(FACyx (PEMyxPEMyx)) 2. FACyx (PEMyxPEMyx) 3. FACyx (PEMyxPEMyx) 4. (PEMyxPEMyx) (PEMyxPEMyx) 5. FACyx FACyx 6. (y)(x)(FACyx FACyx) T2.4 T2.4 1/EU(y,x) 2/SOS(x/x) L1.2 4,2,3/RIM 5/GU(y,x)

T2.48 L'imperativo della commissione di un dato argomento anche imperativo della sua omissione, e viceversa.(y)(x)(IMRyx IMRyx) Dimostrazione: 1. (y)(x)(IMRyx (OBLyx v DIVyx)) 2. (y)(x)(OBLyx DIVyx) 3. (y)(x)(DIVyx OBLyx) 4. IMRyx (OBLyx v DIVyx) 5. OBLyx DIVyx 6. DIVyx OBLyx 7. IMRyx (DIVyx v OBLyx) 8. IMRyx (DIVyx v OBLyx) T2.9,T2.45,T2.46 T2.9 T2.45 T2.46 1/EU(y,x) 2/EU(y,x) 3/EU(y,x) 4,5,6/RIM 7/SOS(x/x)

II. Modalit e aspettative deontiche 9. IMRyx (OBLyx v DIVyx) 10. IMRyx IMRyx 11. (y)(x)(IMRyx IMRyx) 8,6,5/RIM 7,9/L2.2,L5.41 10/GU(y,x)

53

T2.49 Ogni modalit modalit sia della possibile commissione che della possibile omissione del suo argomento.(y)(MODy M( x)(MODyxMODyx)) Dimostrazione: 1. (y)(MODy M( x)MODyx) 2. (y)(x)(MODyx MODyx) 3. MODy M( x)MODyx 4. MODyx MODyx 5. MODyx (MODyxMODyx) 6. MODyx (MODyxMODyx) 7. (x)(MODyx (MODyxMODyx)) 8. M( x)MODyx M( x)(MODyxMODyx) 9. MODy M( x)(MODyxMODyx) 10. (y)(MODy M( x)(MODyxMODyx)) PM,T2.44 PM T2.44 1/EU(y) 2/EU(y,x) L1.1 5,4/RIM 6/GU(x) 7/L18.5 8,3/RIM 9/GU(y)

T2.50 L'obbligo obbligo della commissione e divieto dell'omissione del suo possibile argomento.(y)(OBLy M( x)(OBLyxDIVyx)) PM,T2.45 (La dimostrazione analoga a quella della T2.49)

T2.51 Il divieto divieto della commissione ed obbligo dell'omissione del suo possibile argomento.(y)(DIVy M( x)(DIVyxOBLyx)) PM,T2.46 (La dimostrazione analoga a quella della T2.49)

T2.52 La facolt facolt sia della commissione che dell'omissione del suo possibile argomento.(y)(FACy M( x)(FACyxFACyx)) PM,T2.47 (La dimostrazione analoga a quella della T2.49)

T2.53 Ogni imperativo imperativo sia della commissione che dell'omissione del suo possibile argomento.

(y)(IMRy M( x)(IMRyxIMRyx)) PM,T2.48 (La dimostrazione analoga a quella della T2.49)

T2.54 Se di un argomento c' l'aspettativa della commissione, allora non c' l'aspettativa della sua omissione.(y)(x)(ASPyx ASPyx) P1,P3,T2.44 Dimostrazione: 1. (x)(PERx PERx) P1 2. (x)(( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx)) P3 3. (y)(x)(MODyx MODyx) T2.44 4. (x)(( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx)) 2/SOS(x/x) 5. PERx PERx 1/EU(x) 6. ( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx) 4/EU(x) 7. MODyx MODyx 3/EU(y,x) 8. ( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx) 4/EU(x) 9. (MODy"xPERx) (MODy"xPERx) 5/L4.54 10. (y")((MODy"xPERx) (MODy"xPERx)) 9/GU(y") 11. ( y")(MODy"xPERx) ( y")(MODy"xPERx) 10/L7.7 12. ( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx) 8,7/RIM 13. ( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx) 11,12/RIM 14. ( y')ASPy'x (( y")MODy"xPERx) 13/L8.2 15. ( y')ASPy'x PERx 14/L4.42 16. PERx ( y')ASPy'x 15/A5.1 17. (MODy"xPERx) ( y')ASPy'x 16/L4.43 18. (y")((MODy"xPERx) ( y')ASPy'x) 17/GU(y") 19. ( y")(MODy"xPERx) ( y')ASPy'x 18/L8.7 20. ( y')ASPy'x ( y')ASPy'x 19,6/RIM 21. ( y')ASPy'x v ( y')ASPy'x 20/L4.25 22. (x)(( y')ASPy'x v ( y')ASPy'x) 21/GU(x) 23. (x)(( y)ASPyx v ( y)ASPyx) 22/SOS(y'/y) 24. ( y)ASPyx v ( y)ASPyx 23/EU(x) 25. ( y)ASPyx ( y)ASPyx 24/L4.25 26. ( y)ASPyx (y)ASPyx 25/L6.2 27. (y)(ASPyx ASPyx) 26/L7.5 28. (y)(x)(ASPyx ASPyx) 27/GU(x)

T2.55 Se di un argomento c' l'aspettativa dell'omissione, allora non c' l'aspettativa della sua commissione.

II. Modalit e aspettative deontiche (y)(x)(ASPyx ASPyx)

55

T2.54/SOS(x/x)

T2.56 Di qualunque argomento o non c' aspettativa della commissione, o non c' aspettativa dell'omissione.(y)(x)(ASPyx v ASPyx) T2.54/L4.25

T2.57 Non si d mai aspettativa sia della commissione che dell'omissione del medesimo argomento.(y)(x)(ASPyxASPyx) T2.54/L4.26

T2.58 Ogni aspettativa comporta sempre la possibilit sia dell'accadimento che del non accadimento del suo argomento.(y)(ASPy M( x)(ASPyx v ASPyx)) Dimostrazione: 1. (y)(ASPy M( x)ASPyx) 2. (y)(ASPy M( x)ASPyx) 3. (y)(ASPy (M( x)ASPyx v M( x)ASPyx)) 4. (y)(M( x)ASPyx ASPy) 5. (y)(M( x)ASPyx ASPy) 6. (y)((M( x)ASPyx v M( x)ASPyx) - ASPy) 7. (y)(ASPy (M( x)ASPyx v M( x)ASPyx)) 8. (y)(ASPy M( x)(ASPyx v ASPyx)) PM PM 1/A4.1 2/L4.48 1/A4.2 4/SOS(x/x) 4,5/L4.46 3,6/L5.31 7/L18.6

T2.59 Se di qualcosa esiste l'aspettativa dell'omissione, allora esiste anche una corrispondente modalit in forza della quale non ne permessa la commissione, e viceversa.(x)(( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx)) Dimostrazione: 1. (x)(( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx)) 2. (y)(x)(MODyx MODyx) 3. (x)(( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx)) 6. MODyx MODyx 3. (x)(( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx)) P3,T2.44 P3 T2.44 1/SOS(x/x) 2/EU(y,x) 3,4/RIM

T2.60 L'esistenza di un'aspettativa positiva implica l'esistenza dell'obbligo cor-

rispondente, e viceversa.(x)(( y')ASPy'x ( y")OBLy"x) P3,T1.5,D2.4

II. Modalit e aspettative deontiche Dimostrazione: 1. (x)(( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx)) 2. (x)(OBBx PERx) 3. (y")(x)(OBLy"x (MODy"xOBBx)) 4. ( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPERx) 5. OBBx PERx 6. (y")(OBLy"x (MODy"xOBBx)) 7. ( y")OBLy"x ( y")(MODy"xOBBx) 8. ( y")OBLy"x ( y")(MODy"xPERx) 9. ( y")OBLy"x ( y)ASPyx 10. ASPy'x ( y")OBLy"x 11. (x)(( y')ASPy'x ( y")OBLy"x)

57

P3 T1.5 D2.4 1/EU(x) 2/EU(x) 3/EU(x) 6/L9.3 7,5/RIM 8,4/RIM 9/L5.21 10/GU(x)

T2.61 L'esistenza di un'aspettativa negativa implica l'esistenza del divieto corrispondente, e viceversa.(x)(( y')ASPy'x ( y")DIVy"x) P3,T1.4,D2.5 (La dimostrazione analoga a quella della T2.60)

T2.62 L'inesistenza di un'aspettativa positiva implica l'inesistenza dell'obbligo corrispondente, e viceversa.(x)(( y')ASPy'x ( y")OBLy"x) T2.60/L5.22

T2.63 L'inesistenza di un'aspettativa negativa implica l'inesistenza del divieto corrispondente, e viceversa.(x)(( y')ASPy'x ( y")DIVy"x) T2.61/L5.22

T2.64 Dire di un dato argomento che non esiste nessuna aspettativa positiva equivale a dire che la sua modalit una permissione negativa.(x)(( y')ASPy'x (y")(MODy"x PEMy"x)) Dimostrazione: 1. (x)(( y')ASPy'x ( y")OBLy"x) 2. (y")(x)(OBLy"x (MODy"xPEMy"x)) 3. ( y')ASPy'x ( y")OBLy"x 4. (y)(OBLy"x (MODy"xPEMy"x)) 5. ( y")OBLy"x ( y")(MODy"xPEMy"x) 6. ( y")OBLy"x ( y")(MODy"xPEMy"x) T2.62, T2.25 T2.62 T2.25 1/EU(x) 2/EU(x) 4/L9.3 5/L5.22

7. ( y')ASPy'x ( y")(MODy"xPEMy"x) 8. ( y')ASPy'x (y")(MODy"xPEMy"x) 9. ( y')ASPy'x (y")(MODy"x PEMy"x) 10. (x)(( y')ASPy'x (y")(MODy"x PEMy"x))

3,6/RIM 7/L6.2 8/L4.22 9/GU(x)

T2.65 Dire di un dato argomento che non esiste nessuna aspettativa negativa equivale a dire che la sua modalit una permissione positiva.(x)(( y')ASPy'x (y")(MODy"x PEMy"x)) (La dimostrazione analoga a quella della T2.64)) T2.63, T2.29

T2.66 Dire di un dato argomento che non esiste nessuna aspettativa, n positiva, n negativa, equivale a dire che la sua modalit una facolt.(x)(( y')(ASPy'x v ASPy'x) (y")(MODy"x FACy"x)) T2.64, T2.65, T2.4 Dimostrazione: 1. (x)(( y')ASPy'x (y")(MODy"x PEMy"x)) T2.64 2. (x)(( y')ASPy'x (y")(MODy"x PEMy"x)) T2.65 3. (y")(x)(FACy"x (PEMy"xPEMy"x)) T2.4 4. ( y')ASPy'x (y")(MODy"x PEMy") 1/EU(x) 5. ( y')ASPy'x (y")(MODy"x PEMy"x) 2/EU(x) 6. FACy"x (PEMy"xPEMy"x) 3/EU(y",x) 7. (( y')ASPy'x( y')ASPy'x) ((y")(MODy"x PEMy"x)(y")(MODy"x PEMy"x)) 4,5/L5.54 8. (( y')ASPy'x( y')ASPy'x) (y")((MODy"x PEMy"x)(MODy"x PEMy"x)) 7/L7.1 9. (( y')ASPy'x( y')ASPy'x) (y")(MODy"x (PEMy"xPEMy"x)) 8/L4.41 10. (( y')ASPy'x( y')ASPy'x) (y")(MODy"x FACy"x) 9,6/RIM 11. (( y')ASPy'x v ( y')ASPy'x) (y")(MODy"x FACy"x) 10/L3.7 12. ( y')(ASPy'x v ASPy'x) (y")(MODy"x FACy"x) 11/L7.3 13. (x)(( y')(ASPy'x v ASPy'x) (y")(MODy"x FACy"x)) 12/GU(x)

T2.67 Ogni facolt implica l'assenza di aspettative positive o negative ad essa corrispondenti.(x)((y")FACy"x ( y')(ASPyx v ASPyx)) T2.66 Dimostrazione: 1. (x)(( y')(ASPy'x v ASPy'x) (y")(MODy"x FACy"x)) T2.66 2. ( y')(ASPy'x v ASPy'x) (y")(MODy"x FACy"x)) 1/EU(x) 3. (y")(MODy"x FACy"x)) ( y')(ASPy'x v ASPy'x) 2/A4.2

II. Modalit e aspettative deontiche 4. (y")(MODy"x v FACy"x) ( y')(ASPy'x v ASPy'x) 5. ((y")MODy"x v (y")FACy"x) (y")(MODy"x v FACy"x) 6. ((y")MODy"x v (y")FACy"x) ( y')(ASPy'x v ASPy'x) 7. (y")FACy"x ( y')(ASPy'x v ASPy'x) 8. (x)((y")FACy"x ( y')(ASPy'x v ASPy'x)) 3/L4.21 L7.4 5,4/L4.33 6/L4.47 7/GU(x)

59

T2.68 Ogni facolt implica l'assenza sia di corrispondenti aspettative positive che di corrispondenti aspettative negative.(x)((y")FACy"x (( y')ASPy'x( y')ASPy'x)) Dimostrazione: 1. (x)((y")FACy"x ( y')(ASPy'x v ASPy'x)) 2. (x)((y")FACy"x (y')(ASPy'x v ASPy'x)) 3. (x)((y")FACy"x (y')(ASPy'xASPy'x)) 4. (x)((y")FACy"x ((y')ASPy'x(y')ASPy'x)) 5. (x)((y")FACy"x (( y')ASPy'x( y')ASPy'x)) T2.67 T2.67 1/L6.2 2/L3.7 3/L7.1 4/L6.2

T2.69 Ogni imperativo implica l'esistenza di aspettative positive o negative ad esso corrispondenti.(x)(( y")IMRy"x ( y')(ASPy'x v ASPy'x)) Dimostrazione: 1. (y")(x)(IMRy"x (OBLy"x v DIVy"x)) 2. (x)(( y')ASPy'x ( y")OBLy"x) 3. (x)(( y')ASPy'x ( y")DIVy"x) 4. (y)(IMRy"x (OBLy"x v DIVy"x)) 5. ( y')ASPy'x ( y")OBLy"x 6. ( y')ASPy'x ( y")DIVy"x T2.9,T2.60 T2.61 T2.9 T2.60 T2.61 1/EU(x) 2/EU(x) 3/EU(x) 4/L9.3 7/L7.3 8,5,6/RIM 9/L7.3 10/GU(x)

7. ( y")IMRy"x ( y")(OBLy"x v DIVy"x) 8. ( y")IMRy"x (( y")OBLy"x v ( y")DIVy"x)) 9. ( y")IMRy"x (( y')ASPy'x v ( y')ASPy'x) 10. ( y")IMRy"x ( y')(ASPy'x v ASPy'x)) 11. (x)(( y")IMRy"x ( y')(ASPy'x v ASPy'x))

T2.70 Ogni comportamento l'attuazione di una modalit.(x)(COMx ( y)(ATZxyMODyx)) Dimostrazione: 1. (x)(COMx ( y)(MODyx) P2,D2.7 P2

2. (x)(y)(ATZxy (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx))) D2.7 3. COMx ( y)(MODyx 1/EU (x) 4. ATZxy (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx)) 2/EU(x,y) 5. (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx)) ATZxy 4/A4.2 6. ((COMxMODyx) v (COMxASPyx) v (COMxASPyx)) ATZxy 5/L1.4 7. (COMxMODyx) ATZxy 6/L4.47 8. (COMxMODyx) (ATZxyMODyx) 7/L4.35 9. ( y)(COMxMODyx) ( y)(ATZxyMODyx) 8/GU(y),L7.7 10. (COMx( y)MODyx) ( y)(ATZxyMODyx) 9/L8.2 11. ( y)MODyx (COMx ( y)(ATZxyMODyx)) 10/L4.52 12. COMx ( y)(ATZxyMODyx) 3,11/L4.33,A1.2 13. ATZxy (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx)) 4/A4.1 14. ATZxy COMx 13/L4.42 15. (ATZxyMODyx) COMx 14/L4.43 16. (y)((ATZxyMODyx) COMx) 15/GU(y) 17. ( y)(ATZxyMODyx) COMx 16/L8.7 18. COMx ( y)(ATZxyMODyx) 12,17/L5.31 19. (x)(COMx ( y)(ATZxyMODyx)) 18/GU(x)

T2.71 Ogni comportamento l'attuazione di una modalit o di un'aspettativa positiva o di unaspettativa negativa.(x)(COMx ( y)(ATZxy(MODyx v ASPyx v ASPyx))) P2, D2.7 Dimostrazione: 1. (x)(COMx ( y)MODyx) P2 2. (x)(y)(ATZxy (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx))) D2.7 3. COMx ( y)MODyx 1/EU(x) 4. ATZxy (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx)) 2/EU(x,y) 5. (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx)) ATZxy 4/A4.2 6. ((COMxMODyx) v (COMxASPyx) v (COMxASPyx)) ATZxy 5/L1.4 7. (COMxMODyx) ATZxy 6/L4.47 8. (COMxMODyx) (ATZxyMODyx) 7/L4.35 9. ( y)(COMxMODyx) ( y)(ATZxyMODyx) 8/GU(y),L7.7 10. (COMx( y)MODyx) ( y)(ATZxyMODyx) 9/L8.2 11. ( y)MODyx (COMx ( y)(ATZxyMODyx)) 10/L4.52 12. COMx ( y)(ATZxyMODyx) 3,11/L4.33,A1.2 13. COMx (( y)(ATZxyMODyx) v ( y)(ATZxyASPyx) v ( y)(ATZxyASPyx)) 12/L4.48 14. COMx ( y)((ATZxyMODyx) v (ATZxyASPyx) v (ATZxyASPyx)) 13/L7.3 15. COMx ( y)(ATZxy(MODyx v ASPyx v ASPyx)) 14/L1.4 16. ATZxy (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx)) 4/A4.1 17. ATZxy COMx 16/L4.42

II. Modalit e aspettative deontiche 18. (ATZxy(MODyx v ASPyx v ASPyx)) COMx 17/L4.43 19. (y)((ATZxy(MODyx v ASPyx v ASPyx)) COMx) 18/GU(y) 20. ( y)(ATZxy(MODyx v ASPyx v ASPyx)) COMx 19/L8.7 21. COMx ( y)(ATZxy(MODyx v ASPyx v ASPyx)) 15,20/L5.31 22. (x)(COMx ( y)(ATZxy(MODyx v ASPyx v ASPyx))) 21/GU(x)

61

T2.72 Ogni comportamento un'attuazione, e viceversa.(x)(COMx ( y)ATZxy)) Dimostrazione: 1. (x)(COMx ( y)(ATZxyMODyx)) 2. (x)(y)(ATZxy (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx))) 3. COMx ( y)(ATZxyMODyx) 4. ATZxy (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx))) 5. COMx ( y)(ATZxyMODyx) 6. COMx ( y)ATZxy 7. ATZxy COMx 8. (y)(ATZxy COMx) 9. ( y)ATZxy COMx 10. COMx ( y)ATZxy 11. (x)(COMx ( y)ATZxy) T2.70,D2.7 T2.70 D2.7 1/EU(x) 2/EU(x,y) 3/A4.1 5/L10.2 4/A4.1,L4.42 7/GU(y) 8/L8.7 6,9/L5.31 10/GU(x)

T2.73 Ogni comportamento l'attuazione di una facolt, o di un obbligo o di un divieto.(x)(COMx ( y)(ATZxy(FACyx v OBLyx v DIVyx))) T2.70,T2.17/RIM

T2.74 Ogni comportamento l'attuazione di una facolt, o di un obbligo, o di un divieto, o di un'aspettativa positiva o di un'aspettativa negativa.(x)(COMx ( y)(ATZxy(FACyx v OBLyx v DIVyx v ASPyx v ASPyx))) T2.71,T2.17/RIM

T2.75 Attuazione qualunque comportamento che sia argomento di una facolt, o di un obbligo o di un divieto.(x)(y)(ATZxy (COMx(FACyx v OBLyx v DIVyx v ASPyx v ASPyx))) D2.7,T2.17/RIM

T2.76 Attuazione qualunque esercizio, o ottemperanza, o inottemperanza, o soddisfacimento o violazione.

(x)(y)(ATZxy (ESExy v OTTxy v INOxy v SODxy v VIOxy)) D2.7, D2.8, D2.9, D2.10, D2.11, D2.12, T2.17 Dimostrazione: 1. (x)(y)(ATZxy (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx))) D2.7 2. (x)(y)(ESExy (ATZxyFACyx)) D2.8 3 (x)(y)(OTTxy (ATZxyOBLyx)) D2.9 4. (x)(y)(INOxy (ATZxyDIVyx)) D2.10 5. (x)(y)(SODxy (ATZxyASPyx)) D2.11 6. (x)(y)(VIOxy (ATZxyASPyx)) D2.12 7. (y)(x)(MODyx (FACyx v OBLyx v DIVyx)) T2.17 8. ATZxy (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx)) 1/EU(x,y) 9. ESExy (ATZxyFACyx) 2/EU(x,y) 10. OTTxy (ATZxyOBLyx) 3/EU(x,y) 11. INOxy (ATZxyDIVyx) 4/EU(x,y) 12. SODxy (ATZxyASPyx) 5/EU(x,y) 13. VIOxy (ATZxyASPyx) 6/EU(x,y) 14. MODyx (FACyx v OBLyx v DIVyx) 7/EU(y,x) 15. ATZxy (MODyx v ASPyx v ASPyx) 8/A4.1,L4.42 16. ATZxy (ATZxy(MODyx v ASPyx v ASPyx)) 15/L4.13 17. ATZxy ((ATZxyMODyx) v (ATZxyASPyx) v (ATZxyASPyx) 16/L1.4 18. ATZxy ((ATZxy(FACyx v OBLyx v DIVyx)) v (ATZxyASPyx) v (ATZxyASPyx)) 17,14/RIM 19. ATZxy ((ATZxyFACyx) v (ATZxyOBLyx) v (ATZxyDIVyx) v (ATZxyASPyx) v (ATZxyASPyx)) 18/L1.4 20. ATZxy (ESExy v OTTxy v INOxy v SODxy v VIOxy) 19,9,10,11,12,13/RIM 21. ESExy ATZxy 9/A4.1,L4.42 22. OTTxy ATZxy 10/A4.1,L4.42 23. INOxy ATZxy 11/A4.1,L4.42 24. SODxy ATZxy 12/A4.1,L4.42 25. VIOxy ATZxy 13/A4.1,L4.42 26. (ESExy v OTTxy v INOxy v SODxy v VIOxy) ATZxy 21,22,23,24,25/L4.46 27. ATZxy (ESExy v OTTxy v INOxy v SODxy v VIOxy) 20,26/L5.31 28. (x)(y)(ATZxy (ESExy v OTTxy v INOxy v SODxy v VIOxy)) 27/GU(x,y)

T2.77 Comportamento qualunque esercizio, o ottemperanza o inottemperanza.(x)(COMx ( y)(ESExy v OTTxy v INOxy)) T2.73,D2.8,D2.9,D2.10 Dimostrazione: 1. (x)(COMx ( y)(ATZxy(FACyx v OBLyx v DIVyx))) T2.73 2. (x)(y)(ESExy (ATZxyFACyx)) D2.8 3 (x)(y)(OTTxy (ATZxyOBLyx)) D2.9 4. (x)(y)(INOxy (ATZxyDIVyx)) D2.10 5. (x)(COMx ( y)((ATZxyFACyx) v (ATZxyOBLyx) v (ATZxyDIVyx))) 6. (x)(COMx ( y)(ESExy v OTTxy v INOxy)) 5,2,3,4/RIM

1/L1.4


63

T2.78 Comportamento qualunque esercizio, o ottemperanza, o inottemperanza, o soddisfacimento o violazione.(x)(COMx ( y)(ESExy v OTTxy v INOxy v SODxy v VIOxy)) T2.72,T2.76/L9.3,RIM

T2.79 Esercizio equivale a comportamento facoltativo.(x)((COMxFCOx) ( y)ESExy) D2.8,D2.3,D2.7,P2 Dimostrazione: 1. (x)(y)(ESExy (ATZxyFACyx)) D2.8 2. (y)(x)(FACyx (MODyxFCOx)) D2.3 3. (x)(y)(ATZxy (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx))) D2.7 4. (x)(COMx ( y)MODyx) P2 5. (y)(ESExy (ATZxyFACyx)) 1/EU(x) 6. (y)(FACyx (MODyxFCOx)) 2/EU(x) 7. (y)(ATZxy (COMx(MODyx v ASPyx v ASPyx))) 3/EU(x) 8. COMx ( y)MODyx 4/EU(x) 9. ( y)ESExy ( y)(ATZxyFACyx) 5/A4.1,L7.7 10. ( y)ESExy ( y)FACyx 9/L10.2 11. ( y)FACyx ( y)(MODyxFCOx) 6/A4.1,L7.7 12. ( y)FACyx FCOx 11/L10.4 13. ( y)ESExy FCOx 10,12/L4.33 14. ( y)ESExy ( y)ATZxy 9/L10.2 15. ( y)ATZxy COMx 7/A4.1,L4.42,L8.7 16. ( y)ESExy COMx 14,15/L4.33 17. ( y)ESExy (COMxFCOx) 16,13/L4.41 18. (COMxMODyx) ATZxy 7/EU(y),A4.2,L1.4,L4.47 19. (FCOxMODyx) FACyx 6/EU(y),A4.2,L1.2 20. (COMxMODyxFCOx) (ATZxyFACyx) 18,19/L4.61 21. (COMxMODyxFCOx) ESExy 20,5/RIM 22. ( y)(COMxMODyxFCOx) ( y)ESExy 21/GU(y),L7.7 23. (COMx( y)MODyxFCOx) ( y)ESExy 22/L8.2 24. ( y)MODyx ((COMxFCOx) ( y)ESExy) 23/L4.51 25. (COMxCOMxFCOx) ( y)ESExy 8,24/L4.33,L4.51 26. (COMxFCOx) ( y)ESExy 25/L1.1 27. (COMxFCOx) ( y)ESExy 26,17/L5.31 28. (x)((COMxFCOx) ( y)ESExy) 27/GU(x)

T2.80 Ottemperanza equivale a comportamento obbligatorio.

(x)((COMxOBBx) ( y)OTTxy) D2.9, D2.4, D2.7, P2 (La dimostrazione analoga a quella della T2.79)

T2.81 Inottemperanza equivale a comportamento vietato.(x)((COMxVIEx) ( y)INOxy) D2.10, D2.5, D2.7, P2 (La dimostrazione analoga a quella della T2.79)

T2.82 Soddisfacimento equivale a comportamento obbligatorio.(x)((COMxOBBx) ( y)SODxy) D2.11,T2.60,D2.4,D2.7,P2 Dimostrazione: 1. (x)(y')(SODxy' (ATZxy'ASPy'x)) D2.11 2. (x)(( y')ASPy'x ( y")OBLy"x) T2.60 3. (x)(y")(OBLy"x (MODy"xOBBx)) D2.4 4. (x)(y')(ATZxy' (COMx(MODy'x v ASPy'x v ASPy'x))) D2.7 5. (x)(COMx ( y")MODy"x) P2 6. SODxy' (ATZxy'ASPy'x) 1/EU(x,y') 7. ( y')ASPy'x ( y")OBLy"x 2/EU(x) 8. ( y")OBLy"x ( y")(MODy"xOBBx) 3/EU(x),L9.3 9. ATZxy' (COMx(MODy'x v ASPy'x v ASPy'x)) 4/EU(x,y) 10. COMx ( y")MODy"x 5/EU(x) 11. SODxy' ASPy'x 6/A4.1,L4.42 12. ( y')ASPy'x ( y")OBLy"x 7/A4.1 13. (y')(ASPy'x ( y")OBLy"x) 12/L8.7 14. ASPy'x ( y")OBLy"x 13/EU(y') 15. ( y")OBLy"x ( y")(MODy"xOBBx) 8/A4.1 16. ( y")OBLy"x OBBx 15/L10.4 17. ASPy'x OBBx 14,16/L4.33 18. SODxy' OBBx 11,17/L4.33 19. ATZxy' COMx 9/A4.1,L4.42 20. SODxy' ATZxy' 6/A4.1, L4.42 21. SODxy' COMx 20,19/L4.33 22. SODxy' (COMxOBBx) 21,18/L4.41 23. (y')(SODxy' (COMxOBBx)) 22/GU(y') 24. ( y')SODxy' (COMxOBBx) 23/L8.7 25. ( y")(MODy"xOBBx) ( y")OBLy"x 8/A4.2 26. (( y")MODy"xOBBx) ( y")OBLy"x 25/L8.2 27. ( y")MODy"x (OBBx ( y")OBLy"x) 26/L4.51 28. COMx (OBBx ( y")OBLy"x) 10,27/L4.33 29. (COMxOBBx) ( y")OBLy"x 28/L4.51 30. ( y")OBLy"x ( y')ASPy'x 7/A4.2 31. (COMxOBBx) ( y')ASPy'x 29,30/L4.33

II. Modalit e aspettative deontiche 32. (COMxOBBx) (( y')ASPy'xCOMx) 33. (COMxOBBx) ( y')(ASPy'xCOMx) 34. (COMxASPy'x) ATZxy' 35. (COMxASPy'x) (ATZxy'ASPy'x) 36. (COMxASPy'x) SODxy' 37. ( y')(COMxASPy'x) ( y')SODxy' 38. (COMxOBBx) ( y')SODxy' 39. (COMxOBBx) ( y')SODxy' 40. (x)((COMxOBBx) ( y')SODxy') 41. (x)((COMxOBBx) ( y)SODxy) 31/L4.35 32/L8.2 9/A4.2,L1.4,L4.47 34/L4.35 35,6/RIM 36/GU(y'),L7.7 33,37/L1.2,L4.33 38,24/L5.31 39/GU(x) 40/SOS(y'/y)

65

T2.83 Violazione equivale a comportamento vietato.(x)((COMxVIEx) ( y)VIOxy) D2.12, T2.61, D2.5, D2.7, P2 (La dimostrazione analoga a quella della T2.82)

T2.84 Esercizio qualunque comportamento che sia attuazione di una facolt.(x)(y)(ESExy (COMxATZxyFACyx)) Dimostrazione: 1. (x)(y)(ESExy (ATZxyFACyx)) 2. (x)(COMx ( y)ATZxy) 3. ESExy (ATZxyFACyx) 4. COMx ( y)ATZxy 5. ESExy (ATZxyFACyx) 6. ( y)ATZxy COMx 7. ATZxy COMx 8. ESExy (COMxATZxyFACyx) 9. (ATZxyFACyx) ESExy 10. (COMxATZxyFACyx) ESExy 11. ESExy (COMxATZxyFACyx) 12. (x)(y)(ESExy (COMxATZxyFACyx)) D2.8,T2.72 D2.8 T2.72 1/EU(x,y) 2/EU(x) 3/A4.1 4/A4.2 6/L8.7,EU(y) 5,7/L4.36 3/A4.2 9/L4.43 8,10/L5.31 11/GU(x,y)

T2.85 Ottemperanza qualunque comportamento la cui commissione sia attuazione di un obbligo e la cui omissione sia attuazione di un divieto.(x)(y)(OTTxy (COMxATZxyOBLyxDIVyx)) D2.9,T2.45,T2.72 (La dimostrazione analoga a quella della T2.84)

T2.86 Inottemperanza qualunque comportamento la cui commissione sia

attuazione di un divieto e la cui omissione sia attuazione di un obbligo.(x)(y)(INOxy (COMxATZxyDIVyxOBLyx)) (La dimostrazione analoga a quella della T2.84) D2.10,T2.46,T2.72

T2.87 Se qualcosa un'ottemperanza, allora non un'inottemperanza.(x)(y)(OTTxy INOxy) Dimostrazione: 1. (x)((COMxOBBx) ( y)OTTxy) 2. (x)((COMxVIEx) ( y)INOxy) 3. (x)(OBBx VIEx) 4. (COMxOBBx) ( y)OTTxy 5. (COMxVIEx) ( y)INOxy 6. OBBx VIEx 7. ( y)OTTxy (COMxOBBx) 8. ( y)INOxy (COMxVIEx) 9. (y)(OTTxy (COMxOBBx)) 10. (y)(INOxy (COMxVIEx)) 11. OTTxy (COMxOBBx) 12. INOxy (COMxVIEx) 13. OTTxy OBBx 14. INOxy VIEx 15. OTTxy VIEx 16. VIEx INOxy 17. OTTx INOxy 18. (x)(y)(OTTxy INOxy) T2.80, T2.81, T1.16 T2.80 T2.81 T1.16 1/EU(x) 2/EU(x) 3/EU(x) 4/A4.2 5/A4.2 7/L8.7 8/L8.7 9/EU(y) 10/EU(y) 11/L4.42 12/L4.42 13,6/L4.33 14/A5.1 15,16/L4.33 17/GU(x,y)

T2.88 Se la commissione di qualcosa un'ottemperanza, allora non lo la sua omissione.(x)(y)(OTTxy OTTxy) Dimostrazione: 1. (x)((COMxOBBx) ( y)OTTxy) 2. (x)(OBBx OBBx) 3. (COMxOBBx) ( y)OTTxy 4. OBBx OBBx 5. ( y)OTTxy (COMxOBBx) 6. (y)(OTTxy (COMxOBBx)) 7. OTTxy (COMxOBBx) 8. OTTxy OBBx 9. OTTxy OBBx 10. OBBx OTTxy T2.80, T1.17 T2.80 T1.17 1/EU(x) 2/EU(x) 3/A4.2 5/L8.7 6/EU(y) 7/L4.42 8/SOS(x/x) 9/A5.1

II. Modalit e aspettative deontiche 11. OBBx OTTxy 12. OTTxy OTTxy 13. (x)(y)(OTTxy OTTxy) 4,10/L4.33 8,11/L4.33 12/GU(x,y)

67

T2.89 Se qualcosa un'inottemperanza, allora non un'ottemperanza.(x)(y)(INOxy OTTxy) T2.87/L4.27

T2.90 Se la commissione di qualcosa un'inottemperanza, allora non lo la sua omissione.(x)(y)(INOxy INOxy) Dimostrazione: 1. (x)((COMxVIEx) ( y)INOxy) 2. (x)(VIEx VIEx) 3. (COMxVIEx) ( y)INOxy 4. VIEx VIEx 5. ( y)INOxy (COMxVIEx) 6. (y)(INOxy (COMxVIEx)) 7. INOxy (COMxVIEx) 8. INOxy VIEx 9. INOxy VIEx 10. VIEx INOxy 11. VIEx INOxy 12. INOxy INOxy 13. (x)(y)(INOxy INOxy) T2.81, T1.20 T2.81 T1.20 1/EU(x) 2/EU(x) 3/A4.2 5/L8.7 6/EU(y) 7/L4.42 8/SOS(x/x) 9/A5.1 4,10/L4.33 8,11/L4.33 12/GU(x,y)

T2.91 Se l'omissione di qualcosa un'ottemperanza, allora non lo la sua commissione.(x)(y)(OTTxy OTTxy) T2.88/L4.27

T2.92 Se l'omissione di qualcosa un'inottemperanza, allora non lo la sua commissione.(x)(y)(INOxy INOxy) T2.90/L4.27

T2.93 Se qualcosa un soddisfacimento, allora non una violazione.

(x)(y)(SODxy VIOxy) T2.82, T2.83, T1.16 (La dimostrazione analoga a quella della T2.87)

T2.94 Se la commissione di qualcosa un soddisfacimento, allora non lo la sua omissione.(x)(y)(SODxy SODxy) T2.82, T1.17 (La dimostrazione analoga a quella della T2.88)

T2.95 Se qualcosa una violazione, allora non un soddisfacimento.(x)(y)(VIOxy SODxy) T2.93/L4.27

T2.96 Se la commissione di qualcosa una violazione, allora non lo la sua omissione.(x)(y)(VIOxy VIOxy) T2.83, T1.20 (La dimostrazione analoga a quella della T2.90)

T2.97 Se l'omissione di qualcosa una soddisfacimento, allora non lo la sua commissione.(x)(y)(SODxy SODxy) T2.94/L4.27

T2.98 Se l'omissione di qualcosa una violazione, allora non lo la sua commissione.(x)(y)(VIOxy VIOxy) T2.96/L4.27

T2.99 Un'attuazione un'ottemperanza se la sua omissione un'inottemperanza.(x)(y)(ATZxy (INOxy OTTxy)) Dimostrazione: 1. (x)(y)(OTTxy (ATZxyOBLyx)) 2. (x)(y)(INOxy (ATZxyDIVyx)) 3. (y)(x)(OBLyx DIVyx) D2.9, D2.10, T2.45 D2.9 D2.10 T2.45

II. Modalit e aspettative deontiche 4. OTTxy (ATZxyOBLyx) 1/EU(x,y) 5. INOxy (ATZxyDIVyx) 2/EU(x,y) 6. OBLyx DIVyx 3/EU(y,x) 7. (ATZxyOBLyx) OTTxy 4/A4.2 8. INOxy DIVyx 5/A4.1,L4.42 9. INOxy DIVyx 8/SOS(x/x) 10. INOxy OBLyx 9,6/RIM 11. (ATZxyINOxy) OBLyx 10/L4.43 12. ATZxy (INOxy OBLyx) 11/L4.51 13. ATZxy (OBLyx OTTxy) 7/L4.51 14. ATZxy ((INOxy OBLyx)(OBLyx OTTxy)) 12,13/L4.41 15. ATZxy (INOxy OTTxy)) 14/L4.33 16. (x)(y)(ATZxy (INOxy OTTxy))) 15/GU(x,y)

69

T2.100 Un'attuazione un'inottemperanza se la sua omissione un'ottemperanza.(x)(y)(ATZxy (OTTxy INOxy)) D2.10, D2.9, T2.46 (La dimostrazione analoga a quella della T2.99)

T2.101 Un'attuazione un soddisfacimento se la sua omissione una violazione.(x)(y)(ATZxy (VIOxy SODxy)) D2.11, D2.12 Dimostrazione: 1. (x)(y)(SODxy (ATZxyASPyx)) D2.11 2. (x)(y)(VIOxy (ATZxyASPyx)) D2.12 3. SODxy (ATZxyASPyx) 1/EU(x,y) 4. VIOxy (ATZxyASPyx) 2/EU(x,y) 5. (ATZxyASPyx) SODxy 3/A4.2 6. (x)(y)(VIOxy (ATZxyASPyx)) 2/SOS(x/xx) 7. VIOxy (ATZxyASPyx) 6/EU(x,y) 8. VIOxy ASPyx 7/A4.1,L4.42 9. (ATZxyVIOxy) ASPyx 8/L4.43 10. ATZxy (VIOxy ASPyx) 9/L4.51 11. ATZxy (ASPyx SODxy) 5/L4.51 12. ATZxy ((VIOxy ASPyx)(ASPyx SODxy)) 10,11/L4.41 13. ATZxy (VIOxy SODxy)) 12/L4.33 14. (x)(y)(ATZxy (VIOxy SODxy))) 13/GU(x,y)

T2.102 Un'attuazione una violazione se la sua omissione un soddisfacimento.(x)(y)(ATZxy (SODxy VIOxy)) D2.12, D2.11 (La dimostrazione analoga a quella della T2.101)

T2.103 Dire di qualcosa che un soddisfacimento equivale a dire che (anche) un'ottemperanza.(x)(( y')SODxy' ( y")OTTxy") D2.11,D2.9,T2.60,T2.17,D2.7 Dimostrazione: 1. (x)(y')(SODxy' (ATZxy'ASPy'x)) D2.11 2. (x)(y")(OTTxy" (ATZxy"OBLy"x)) D2.9 3. (x)(( y')ASPy'x ( y")OBLy"x) T2.60 4. (x)(y")(MODy"x (FACy"x v OBLy"x v DIVy"x)) T2.17 5. (x)(y")(ATZxy" (COMx(MODy"x v ASPy"x v ASPy"x))) D2.7 6. (x)(y')(ATZxy' (COMx(MODy'x v ASPy'x v ASPy'x))) D2.7 7. SODxy' (ATZxy'ASPy'x) 1/EU(x,y') 8. OTTxy" (ATZxy"OBLy"x) 2/EU(x,y") 9. ( y')ASPy'x ( y")OBLy"x 3/EU(x) 10. MODy"x (FACy"x v OBLy"x v DIVy"x)) 4/EU(y",x) 11. ATZxy" (COMx(MODy"x v ASPy"x v ASPy"x)) 5/EU(x,y) 12. ATZxy' (COMx(MODy'x v ASPy'x v ASPy'x)) 6/EU(x,y') 13. ( y')ASPy'x ( y")OBLy"x 9/A4.1 14. (( y')ASPy'xCOMx) (( y")OBLy"xCOMx) 13/L4.54 15. ( y')(ASPy'xCOMx) ( y")(OBLy"xCOMx) 14/L8.2 16. (MODy"xCOMx) ATZxy"x 11/A4.2,L1.4,L4.47 17. MODy"x (COMx ATZxy"x) 16/L4.51 18. OBLy"x MODy"x 10/A4.2,L4.47 19. (OBLy"xCOMx) ATZxy"x 18,17/L4.33,L4.51 20. (OBLy"xCOMx) (ATZxy"OBLy"x) 19/L4.35 21. (OBLy"xCOMx) OTTxy" 20,8/RIM 22. ( y")(OBLy"xCOMx) ( y")OTTxy" 21/GU(y"),L7.7 23. ( y')(ASPy'xCOMx) ( y")OTTxy" 15,22/L4.33 24. ATZxy' COMx 12/A4.1,L4.42 25. (ATZxy'ASPy'x) (ASPy'xCOMx) 24/L4.54 26. SODxy' (ASPy'xCOMx) 25,7/RIM 27. ( y')SODxy' ( y')(ASPy'xCOMx) 26/GU(y'),L7.7 28. ( y')SODxy' ( y")OTTxy" 27,23/L4.33 29. ( y")OBLy"x ( y')ASPy'x 9/A4.2 30. (( y")OBLy"xCOMx) (( y')ASPy'xCOMx) 29/L4.54 31. ( y")(OBLy"xCOMx) ( y')(ASPy'xCOMx) 30/L8.2

II. Modalit e aspettative deontiche 32. (ASPy'xCOMx) ATZxy'x 33. (ASPy'xCOMx) (ATZxy'ASPy'x) 34. (ASPy'xCOMx) SODxy' 35. ( y')(ASPy'xCOMx) ( y')SODxy' 36. ( y")(OBLy"xCOMx) ( y')SODxy' 37. ATZxy" COMx 38. (ATZxy"OBLy"x) (OBLy"xCOMx) 39. OTTxy" (OBLy"xCOMx) 40. ( y")OTTxy" ( y")(OBLy"xCOMx) 41. ( y")OTTxy" ( y')SODxy' 42. ( y')SODxy' ( y")OTTxy" 43. (x)(( y')SODxy' ( y")OTTxy") 12/A4.2,L1.4,L4.47 32/L4.35 33,7/RIM 34/GU(y'),L7.7 31,35/L4.33 11/A4.1,L4.42 37/L4.54 38,8/RIM 39/GU(y"),L7.7 40,36/L4.33 28,41/L5.31 42/GU(x)

71

T2.104 Dire di qualcosa che una violazione equivale a dire che (anche) un'inottemperanza.(x)(( y')VIOxy' ( y")INOxy") D2.12,D2.10,T2.61,T2.17,D2.7 (La dimostrazione analoga a quella della T2.103)

T2.105 Il soddisfacimento di un'aspettativa positiva (anche) l'ottemperanza all'obbligo corrispondente, e viceversa.(x)(( y')(SODxy'ASPy'x) ( y")(OTTxy"OBLy"x)) D2.11, D2.9,T2.103 Dimostrazione: 1. (x)(y')(SODxy' (ATZxy'ASPy'x)) D2.11 2. (x)(y")(OTTxy" (ATZxy"OBLy"x)) D2.9 3 (x)(( y')SODxy' ( y")OTTxy") T2.103 4. SODxy' (ATZxy'ASPy'x) 1/EU(x,y') 5. OTTxy" (ATZxy"OBLy"x) 2/EU(x,y") 6. ( y')SODxy' ( y")OTTxy" 3/EU(x) 7. ( y')(

Luigi Ferrajoli "Principia Iuris. Teoria del diritto e della democrazia". (La sintassi del diritto)

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