Studio di funzione reale in una variabile reale

Schema Derive

I^ Parte1.DominioRiportiamo il dominio sul grafico 2d-plot

2. Simmetrie e periodicità2.1 Simmetrie: pari, dispari f(-x)=2.2 Periodicità f(x+T)=f(x)

3. Segno f(x)>0Riportiamo sul grafico 2d-plot

4. Incontro con gli assi. Asse x y=0; asse y x=0Attenzione: 1) controllare x=0 appartenga al domino; 2) risolvere nei reali 3) in caso di approssimazioni indicarle

5. Limiti e continuità5.1 Limiti sulla frontiera del dominio5.11 Segnalare eventuali forme indeterminate5.2 Continuità e punti di discontinuità (indicare dove la funzione è continua e gli eventuali punti di discontinuità Attenzione se la funzione è definita per casi)

6. Asintoti6.1 Equazioni eventuali asintoti orizzontali e verticali6.2 Controllo (se necessario) presenza asintoti obliqui

Schema Derive

II^ Parte1. Derivata1.1 Indicare eventuali punti di discontinuità della derivata(appartenenti al dominio). Punti non derivabili

2. Punti stazionari di f(x). f'(x)=0

3. Monotonia di f(x).3.1 Studio di f'(x)>03.2 Intervalli di crescenza e decrescenza

4. Punti estremali: minimi e massimi locali4.1 Minimi e massimi locali (appartenenti ai punti stazionari)4.2 Se esistono punti non derivabili, minimi e massimi locali non derivabili

5. Punti non derivabili (se esistono) indicare la tipologia

6. Concavità e convessità6.1 Derivata seconda f''(x)6.2 Studio segno f''(x)>06.3 Intervalli nei quali la funzione è concava (convessa)

7. Punti di flesso7.1 Flessi a tangente orizzontale (ovvero punti stazionari che sono flessi)7.2 Flessi a tangente obliqua

I parte: definizione di funzioneSul libro: pag. 117 e seg

Dominio

definizione: Dati due insiemi A e B, una funzione di A in B è una relazione che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B

Come si indica: Si indica

)(:

xfyx

BAf oppure semplicemente f(x).

Come si rappresenta: Si può rappresentare su un piano cartesiano tramite il grafico. Come si riconosce Se è dato il grafico su un piano cartesiano, si considerano rette parallele all’asse y. Se anche una sola di queste rette incontra il grafico più

di una volta non è una funzione. 1.1) Funzione numerica

Definizione funzioni numeriche sono funzioni i cui domini e condomini sono insiemi numerici Definizione diremo funzione reale di variabile reale una relazione fra un sottoinsieme D (ovvero un sottoinsieme dei reali) e che associa ad ogni elemento di D uno e un solo numero reale:

)(

:xfyx

Df

Ricorda che y è detta variabile dipendente e x è detta variabile indipendente. Inoltre se consideriamo, ad esempio la funzione 2)( xxf , 2)( xxf

è detta espressione analitica della funzione, mentre 2xy è detta equazione della funzione

I parte: dominioSul libro: 119

Determinare il dominio

Definizione Dominio della funzione numerica f(x) è l’insieme dei numeri reali che si possono assegnare alla variabile x in modo che i corrispondenti valori f(x) siano numeri reali. Definizione un elemento y di B che è il corrispondente di almeno un elemento x di A si dice immagine di x nella funzione f. Definizione L’insieme di tutte le immagini si dice immagine della funzione. Definizione Grafico di una funzione f è l’insieme dei punti P(x,y) del piano cartesiano tali che x è un numero reale del dominio e y è l’immagine di x, ossia y=f(x).

Definizione Date due funzioni

)(:

xgyx

BAg e

)(:

xhyx

CBh

si può considerare la funzione che porta direttamente A in C

))((:

xghyx

CAf tale funzione si dice

funzione composta e si indica ghf e associa ad ogni elemento x di A l’immagine mediante h dell’immagine di x mediante g.

Il concetto di funzione composta è fondamentale sia nel calcolo del dominio, che in quello dei limiti e delle derivate.

Per determinare il dominio di una funzione, dovrò considerare, se la funzione è composta, i domini delle funzioni che la compongono. In particolare è utile ricordarsi i domini delle funzioni elementari

I parte: determinare il dominio

Funzioni elementar

i

Per determinare il dominio : 1) immagino di calcolare un valore della funzione con la calcolatrice per poter individuare la

sequenza di funzioni elementari che la compongono (ovvero i tasti-operazione); 2) ripercorro la sequenza di calcolo domandandomi quale è il dominio e l’immagine di ogni

funzione elementare; 3) ricavo (in genere) equazioni e/o disequazioni che mi limitano i possibili valori da dare a x 4) risolvo (se possibile) tali equazioni/disequazioni e ricavo i valori numerici (o gli intervalli).

Rappresentare un dominio: possiamo limitarci a scrivere a parole o in simboli i risultati ottenuti, ma spesso è utile aggiungere un sistema di assi cartesiani. Poiché il dominio si legge sull’asse x , individuare gli intervalli che non appartengono al dominio. In corrispondenza di questi intervalli sbarrare tutta la regione di piano sopra e sotto poiché non potendo dare quei valori alla x, non avrò valori y per la variabile dipendente (ovvero la funzione non potrà passare per nessuno di quei punti del piano)

I parte: dominio funzioni elementariSul libro:

Funzioni elementari II

Funzione costante f(x)=k Equivale a y=k. Dominio R.

Immagine k

Iniettiva NO Suriettiva NO

Funzione lineare

baxxf )(

Domino R Immagine R Iniettiva SI Sureittiva SI

Funzione quadratica

cbxaxxf 2)(

Dominio R. Iniettiva NO Suriettiva NO

Esempio 23xxy

Funzione cubica

dcxbxaxxf 23)(

Dominio R Immagine R Iniettiva ? Suriettiva SI

Esempio xxy 3

Funzione proporzionalità inversa (iperbole equilatera)

x

kxf )(

Dominio 0 Immagine 0

Iniettiva SI Suriettiva NO

Funzione omografica (iperbole)

dcx

baxxf

)(

Dominio

c

d\

Funzione radice indice pari

(o anche potenza del tipo q

1

con q pari) q xy

Dominio

Immagine

Funzione radice indice pari

(o anche potenza del tipo q

1

con q dispari) q xy

Domino Immagine

I parte: dominio funzioni elementariSul libro:

Funzione esponenziale

0)( aaxf x

Dominio R Immagine

0

Funzione logaritmica

10log)( aaxxf a

Domino 0 Immagine R

funzioni goniometriche

xxf sin)( e

xxf cos)(

Domino R Immagine [-1,1] Iniettiva NO Suriettiva NO

funzioni goniometriche )tan()( xxf

Dominio

,...

23,

2,

2,

23...,\

Ovvero

212\

k

Iniettiva No Suriettiva Si

Funzione valore assoluto

xy Domino R

Immagine Iniettiva No Suriettiva No

Funzioni definite per casi Sono date da espressioni analitiche diverse a seconda del valore attribuito alla variabile x Esempio

0

01)( 2 xx

xxxf

I parte: simmetrie e periodicità segno

Sul libro:133

Definizione Una funzione Df : si dice Cosa accade al grafico della funzione

pari se )()( xfxf Dx Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse delle y 2)( xxf ; xxf cos)( ; 21)( xxf

dispari se )()( xfxf Dx Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine 3)( xxf ; xxf sin)(

periodica di periodo T se

)()( xfTxf Dx Il grafico si ripete di periodo in periodo.

xxf cos)( ; xxf sin)( ; xxxf 44 cossin)(

Studiare il segno della funzione Definizione Data la funzione )(xfy studiare il segno della funzione, significa determinare per quali valori del dominio la funzione ha immagini positive e per

quali ha immagini negative. Per studiare il segno: porremo 0)( xf e risolveremo (se possibile) la disequazione. Ovvero ricaveremo gli intervalli di valori di x per i quali la funzione è

positiva.

Rappresentare il segno della funzione: Oltre a scrivere, a parole o in simboli, i valori di x per i quali la funzione è positiva, risulta opportuno ed utile riportare tali informazioni sul sistema di assi cartesiani nel quale abbiamo già indicato il dominio. Per fare questo:

- individuiamo sull’asse delle ascisse (x) gli intervalli nei quali la funzione 0)( xf ;

- tratteggiamo delle rette parallele all’asse y e passanti per gli estremi degli intervalli individuati sopra; - ottenute queste “strisce” di piano, cancelleremo la parte sotto l’asse delle x, ovvero tutti i punti che hanno ordinata negativa; - nelle rimanenti strisce (corrispondenti alle x per le quali la funzione non è positiva, e dunque risulta negativa) cancelleremo la parte sopra l’asse delle y.

I parte:limitiSul libro: 75 e seg

Definiamo Sia x0 un punto dell’intervallo [a.b] e f(x) una funzione definita su [a,b] eccetto al più x0, diremo che f(x) ha per limite L

per x che tende a x0 e scriveremo Lxfxx

)(lim0

00 tale che Lxf )( x tale che cx

Definiamo Sia x0 un punto dell’intervallo [a.b] e f(x) una funzione definita su [a,b] eccetto al più x0, diremo che f(x) ha per limite +

o - per x che tende a x0 e scriveremo

)(lim0

xfxx

o

)(lim0

xfxx

M>0 (grande) 0 tale che Mxf )( x tale che 0xx

)(lim0

xfxx

può essere

1) =L, numero finito 2) =

3) non esistere.

Inoltre si parla di limiti destri e sinistri

Limiti II

I parte:limiti II

Definizione Si dice che una funzione f(x) ha per limite per x che tende a e si scrive

)(lim xfx

quando per ogni numero reale M>0 si può determinare un numero a>0 tale che risulti Mxf )( per ogni ax

Definizione Si dice che una funzione f(x) ha per limite per x che tende a e si scrive

)(lim xfx

quando per ogni numero reale M>0 si può determinare un numero a>0 tale che risulti Mxf )( per ogni ax

Definizione Si dice che una funzione f(x) ha limite finito l per x che tende a e si scrive lxfx

)(lim quando

per ogni intorno V di l si può determinare un numero a>0 tale che risulti Vxf )( per ogni ax

Forme indeterminate [ ]

0 ; [ 0 ]

0

0;

1;;0 00

I parte:continuitàSul libro: pag.95 e 137

Definizione Una funzione f(x) si dice continua nel punto c con cDominio di f (o di accumulazione per il dominio di f) se il limite per x che tende a c esiste finito e se è uguale a f(c).

Ovvero: 1) lxfxfcxcx

)(lim)(lim

2) lcf )(

Risultati notevoli: dalla teoria dei limiti, dalla definizione e dai teoremi sui limiti si ricava facilmente che:

1) le funzioni elementari sono continue 2) se f(x) e g(x) sono continue in c allora lo sono anche f(x)+g(x); f(x)-g(x);f(x)g(x); f(x)/g(x)

(eccetto g(c)=0) Teorema continuità funzione composta Date due funzioni y=f(z) e z=g(x); con f(z) continua in m e g(x) continua per x=c e tale che m=g(c) allora la funzione composta f(g(x)) è continua in c.

discontinua

I parte: discontinuità e punti discontinuità I specieSul libro: pag 137, 143 e seg

1) se la funzione non è continua in c allora diremo che c è un punto di discontinuità per f 2) rileggiamo la definizione di continuità e ricaviamo che affinché la funzione sia discontinua

in c può accadere una delle seguenti situazioni: a. non vale lxfxf

cxcx

)(lim)(lim poiché )(lim)(lim xfxfcxcx

b. non vale lxfxfcxcx

)(lim)(lim poiché o non esiste o vale infinito almeno uno dei

limiti, ad esempio

)(lim xfcx

o

nonxfcx

)(lim

c. vale lxfxfcxcx

)(lim)(lim ma non vale lcf )(

Definizione Si dice che per x=c e y=f(x) c è punto di discontinuità di I specie se esistono finiti i limiti destro e sinistri ma sono diversi (e quindi non esiste il limite). Ovvero

)(lim)(lim xfxfcxcx

01

01

01

)(

x

x

x

xfEsempio:

Se c è un punto di discontinuità di prima specie per la funzione f(x) si chiama salto della funzione il

valore ottenuto da )(lim)(lim xfxfcxcx

discontinua

I parte: punti discontinuità II e III specie

Definizione Si dice che per x=c e y=f(x) c è punto di discontinuità di II specie quando non esiste, o vale infinito, uno almeno dei due limiti destro o sinistro di x=c

Esempio:

1) xxf tan)( in 2

x ha un punto di discontinuità di II specie poiché i limiti, da destra e da

sinistra valgono rispettivamente ,

2) xxf )( in x=0 ha un punto di discontinuità di II specie poiché il limite sinistro non esiste.

Definizione Si dice che per x=c e y=f(x) c è punto di discontinuità di III specie quando esiste

finito lxfxfcxcx

)(lim)(lim , ma )(cfl ( o f(c) non esiste)

Esempio:

1) Sia

0

02

0

)(2 xx

x

xx

xf per rappresentarla dobbiamo esaminare i tre “pezzi” separatamente e poi

comporli in un unico grafico. Vedremo che in x=0 i limite esiste e vale 0. Ma la funzione vale 2. Dunque ho discontinuità III specie. Osserviamo: in generale, la discontinuità di III specie può essere eliminata ovvero può essere ridefinita la funzione in modo da “non staccare la penna” nell’intorno del punto di discontinuità. Per tale ragione si parla di discontinuità eliminabile

I parte: asintotiSul libro: pag.82,84,129

Quando o , anche solo da destra e/o sinistra, diremo brevemente che la retta x=x0 è un asintoto verticale (eventualmente specificando destro o sinistro)

)(lim0

xfxx

)(lim0

xfxx

Quando diremo brevemente che la retta y=l è un asintoto orizzontale (eventualmente possono esistere due asintoti orizzontali uno da + e uno da - infinito)

lxfx

)(lim

Quando indipendentemente dai segni di infinito, la funzione può avere un asintoto obliquo.Ovvero una retta di equazione y=mx+q a cui la funzione tende (ma non tocca) quando x tende a + o – infinito (attenzione, la funzione può tagliare l’asintoto purchè non verso quando x tende all’infinito)

)(lim xfx

Per verificare e calcolare l’asintoto obliquo:

-Si calcola

- se m è un numero finito non nullo allora si calcola

-L’asintoto obliquo sarà la retta y=mx+q dove a m e q sostituiamo i valori

trovati

x

xfm

x

)(lim

))((lim mxxfqx

II parte: derivateSul libro: 151-153, 161-176,

Definiamo

h

xfhxf )()( 00 rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto

x0 e all’incremento h e lo si indica con x

y

Equivale a considerare il coefficiente angolare della retta che passa per i punto ))(;( 00 xfxP e

))(;( 00 hxfhxQ

Possiamo pensare di “avvicinare” il punto Q a P, ovvero “rimpicciolire” h. Avremo sempre una retta e una inclinazione. Tutto questo in matematica si traduce con limite per h 0 . Definizione Dunque data la funzione y=f(x) definita in un intorno completo di x0 e costruito il

rapporto incrementale, se esiste finito il h

xfhxfh

)()(lim 00

0

prende il nome di derivata della

funzione nel punto x0 e lo si indica con uno dei seguenti simboli: f’(x0) oppure 0

)(

xxdx

xdf

Definiamo funzione derivata della funzione f(x), la funzione che associa ad ogni elemento x0 del dominio la derivata della funzione f(x) in x0.

E la indicheremo f’(x), dx

xdf )(

Definiamo una funzione si dice derivabile in x0 se in tal punto essa ha derivata finita

II parte: concetti generali – calcolo derivate

Funzione Derivata Alcune osservazioni sul calcolo di

x

y

=

h

xfhxf )()( 00

f(x)=k costante

f’(x)=0 0

h

kk

x

y ;

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(' 00

00

=0

f(x)=x f’(x)=1 1

h

xhx

x

y;

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(' 00

00

=1

2)( xxf xxf 2)(' hx

h

xhx

x

y

2)( 22

; xx

yxf

h2lim)('

00

nxxf )(

1)(' nnxxf Attenzione: questa derivata vale sia per n che per Qn (ovvero sia per potenze che per radici). Ma la sua dimostrazione è diversa nei due casi.

xxf )( x

xf2

1)('

)(

)(

xhxh

xhx

xhxh

xhxxhx

h

xhx

x

y

xxf

1)(

2

1)('

xxf

hxxxhxh

hxx

hxhx

x

y

1

11

; 20

0

1lim)('

xx

yxf

h

xexf )( xexf )(' 0 Si ricava dalla precedente ricordando che 1ln e

xxf sin)( xxf cos)(

x in radianti

xxf cos)(' xxf sin)('

xxf tan)( x in radianti x

xf2cos

1)('

II parte: concetti generali – calcolo derivateTeoremi per il calcolo delle derivate

1) La derivata della somma )()())()(( xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d

La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate delle funzioni.

2) La derivata del prodotto

)()()()())()(( xg

dx

dxfxgxf

dx

dxgxf

dx

d

La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda non derivata, sommato al prodotto della derivata della seconda per la prima non derivata.

3) La derivata del quoziente 2)(

)()()()(

))(

)((

xg

xgdx

dxfxgxf

dx

d

xg

xf

dx

d

4) La derivata di una funzione composta )('))(('))(( xgxgfxgfdx

d

Dai precedenti teoremi si ricavano:

6) )())(( xfdx

dcxf

dx

d

7) kxfdx

dkxf

dx

d

)())(( Se abbiamo una costante che moltiplica la funzione, lasciamo invariata la costante e deriviamo solo

la funzione.

8) )()())()(( xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d La derivata della differenza di due funzioni è uguale alla differenza delle derivate.

9) )()()()()()()()()())()()(( xgxfxhdx

dxhxg

dx

dxfxhxgxf

dx

dxhxgxf

dx

d

Ovvero la derivata del prodotto di più

funzioni è uguale alla somma dei prodotti delle derivate di ciascuna funzione per tutte le altre non derivate. Dal teorema 4, sulla derivata della funzione composta, si ricavano le seguenti regole:

10) )()())(( 1 xfdx

dxfxf

dx

d

11) )())(cos())(sin( xfdx

dxfxf

dx

d ; )())(sin())(cos( xf

dx

dxfxf

dx

d ;

)())((cos

1))(tan(

2xf

dx

d

xfxf

dx

d

12) )()()( xfdx

dee

dx

d xfxf ; )()ln()()( xfdx

daaa

dx

d xfxf

II parte: punti non derivabiliIn particolare ci interessano i punti in cui la funzione è continua ma non derivabile. (libro pag. 157) Dalla definizione data sopra di derivabilità in un punto, affinché non sia derivabile può accadere che:

1) Non esiste finito il limite del rapporto incrementale. Ovvero vale + o -2) Esistono finiti i limiti destri e sinistri ma non sono uguali3) I limiti sinistro e destro valgono infinito e non sono uguali

Inoltre possono essere punti non derivabili gli estremi (finiti) degli intervalli del dominio.

Caso 1) parleremo di punti a tangente verticale. Ad esempio in x=0 (è un esempio pericoloso)

3 xy

Caso 2) parleremo di punti angolosi. Ad esempioin x=0

xy

Caso 3) parleremo di cuspidi. Ad esempioin x=0

3 2xy

II parte: monotonia e criteri per stabilirlaDefinizione

Data una funzione )(xfy ed un intervallo I (che possiamo indicare con [a,b]), diremo

che la funzione è crescente in I se per ogni coppia di valori 21 , xx dell’intervallo tali che

21 xx risulta )()( 21 xfxf Data una funzione )(xfy ed un intervallo I (che possiamo indicare con [a,b]), diremo

che la funzione è decrescente in I se per ogni coppia di valori 21 , xx dell’intervallo tali che

21 xx risulta )()( 21 xfxf

Sul libro: 118

Criteri per crescenza e decrescenza:Teorema – condizioni sufficienti - (pag 191) Data una funzione )(xfy continua in un intervallo I e derivabile al suo interno: se in ogni punto interno di I la derivata prima di f(x) è positiva allora la f(x) è strettamente crescente; se in ogni punto interno di I la derivata prima di f(x) è negativa allora f(x) è strettamente decrescente

Teorema – condizioni necessarie – (pag 192) Data una funzione )(xfy continua in un intervallo I: se la funzione è crescente in I allora 0)(' xf in I; se la funzione è decrescente in I allora 0)(' xf in I

23 3xxy xxy 63' 2 20063 2 xxxx

0 2+ +-f’(x)>0f(x)

II parte: punti stazionari e punti estremaliDefinizione Data la funzione f(x) è un punto 0x se 0)(' 0 xf 0x è chiamato punto stazionario

Definizione Data la funzione y=f(x) definita in un intervallo I chiamiamo: 0x punto di massimo assoluto se )()( 0 xfxf per ogni x dell’intervallo I (in simboli

Ix ); il valore M= )( 0xf è chiamato Massimo assoluto.

0x punto di minimo assoluto se )()( 0 xfxf per ogni x dell’intervallo I (in simboli

Ix ); il valore m= )( 0xf è chiamato Minimo assoluto. Definizione Data la funzione y=f(x) definita in un intervallo I chiamiamo: 0x punto di massimo relativo se esiste un intorno

0xI di 0x (ovvero un intervallo che

contiene 0x ) tale che )()( 0 xfxf per ogni x dell’intorno 0xI (in simboli 0x punto di

massimo relativo se 0xI tale che Ixxfxf )()( 0 ); il valore M= )( 0xf è chiamato

Massimo relativo 0x punto di minimio relativo se esiste un intorno

0xI di 0x (ovvero un intervallo che

contiene 0x ) tale che )()( 0 xfxf per ogni x dell’intorno 0xI (in simboli 0x punto di

massimo relativo se 0xI tale che Ixxfxf )()( 0 ); il valore m= )( 0xf è chiamato

Minimo relativo

A,C,E sono punti di minimo ed B, D,F sono punti di massimo. Ma se osserviamo ad esempio il punto di massimo F ha un ordinata minore del punto di minimo C. Ed ancora tra tutti i punti di minimo vi è un minimo Assoluto (cioè minore degli altri che chiameremo relativi) analogo per il massimo.

A

BC

D

E

F

II parte: punti estremali – stazionari - criteri

Possiamo osservare che né nelle definizioni di crescenza/decrescenza, né in quelle di minimi e massimi si fa cenno alla derivata della funzione. Dunque potranno esistere punti di minimo e massimo anche se la funzione non è derivabile.

In questa prima parte riferiamoci solo ai punti minimi e massimi locali derivabiliCome trovarli:

Teorema -condizione necessaria- (pag 221) Se )(xf è continua e derivabile in un intervallo I e se Ix 0 ( 0x appartiene ad I) è un punto di massimo o

minimo relativo allora 0)(' 0 xf Ovvero è stazionario

Attenzione:

3)( xxf ; calcoliamo il valore della derivata 23)(' xxf in x=0 ovvero

003)0(' 2 f . In questo caso la derivata prima è zero, ma non abbiamo né un massimo né un minimo. Dunque non vale il viceversa del teorema ; ovvero se 0)(' 0 xf non possiamo dire niente su 0x

Teorema – condizione sufficiente-:-Studiare il segno della derivata prima pag.223-Cercare i punti stazionari e poi considerare le derivate successive pag.227

II parte: punti estremali – non derivabili

Abbiamo già accennato ai punti non derivabili. Occorrerà vedere (se possibile) il valore e segno della derivata in un intorno destro e sinistro del punto non derivabile.

Saranno probabili candidati ad essere punti di minimo o di massimo relativo i punti (se esistono) di frontiera del dominio. Sebbene la definizione che abbiamo dato di massimi e minimi relativi, richieda un intorno completo del punto.Chiariamo con un esempio:f(x) =x. In x=0 è definita, ma non derivabile.In un intorno destro di x=0 la derivata esiste ed è positiva, pertanto la funzione cresce; dunque possiamo dire che x=0 è un punto di minimo sulla frontiera del dominio.

Attenzione: con un attento studio del segno della derivata prima f’(x)>0, molti di questi problemi vengono risolti. Consiglio di riportare sempre (specie se fatto con carta e penna) oltre agli intervalli in cui la f’(x) è positiva, anche il dominio di f(x).

II parte: concavità e convessità

Definizione Data una funzione f(x) definita e derivabile in un intervallo I , un punto 0x appartenente

all’intervallo e indicato con y=t(x) la retta tangente alla funzione nel punto 0x :

Diremo che la funzione è concava verso l’alto in 0x se esiste un intorno 0xI di 0x tale che

)()( xtxf per ogni x dell’intorno 0xI escluso 0x (in simboli

0)()( xIxxtxf )

Diremo che la funzione è concava verso il basso in 0x se esiste un intorno 0xI di 0x tale che

)()( xtxf per ogni x dell’intorno 0xI escluso 0x (in simboli

0)()( xIxxtxf )

(pag. 236) Prima di procedere osserviamo i due grafici di esempio

Tracciando la retta tangente nel punto ))(;( 00 xfx possiamo osservare che

Se la funzione è concava verso l’alto nel punto ))(;( 00 xfx allora in un intorno del punto la

funzione sta sopra la retta tangente Se la funzione è concava verso il basso nel punto ))(;( 00 xfx allora in un intorno del punto

la funzione sta sotto la retta tangente.

II parte: concavità e convessità 2Prima di procedere osserviamo i due grafici di esempio

alle volte si parla anche di concavità in un intervallo, ovvero anziché guardare un solo punto ci interessa sapere cosa accade in un intero intervallo I. In tal caso le definizioni si modificano: se osserviamo le due funzioni riportate sopra queste sono concave rispettivamente verso l’alto e verso il basso in tutto l’intervallo preso in esame. Pensiamo allora di prendere, ad esempio nel primo caso, una qualunque coppia di punti sulla funzione e tracciamo la retta che congiunge i due punti:

- se la funzione è concava verso l’alto la retta si troverà sempre sopra la funzione; - se la funzione è concava verso il basso la retta si troverà sempre sotto la funzione.

E’ possibile fornire una definizione rigorosa di questo fatto, ma qui la omettiamo.

II parte: concavità e convessità – criteri

Criterio per stabilire la concavità del grafico di una funzione Teorema (pag 237) Sia y=f(x) una funzione definita e continua in un intervallo I e che ammetta derivate prima e seconda . Sia 0x un punto di I:

se 0)('' 0 xf allora la funzione è concava verso l’alto

se 0)('' 0 xf allora la funzione è concava verso il basso.

II parte: flessi - criterio

Pag 236Si dice che f(x) ha un punto di flesso in x0 se-Esiste la retta tangente alla curva in x0-Esiste un intorno di x0 tale che la curva si trovi da parti opposte rispetto alla tangente.

In classe abbiamo dato una definizione forse più complicata ma più efficace: Data la funzione f(x), definita e derivabile in x0; indicata con t(x) la tangente in x0 alla funzione, x0 è un punto di flesso se esiste un intorno I di x0, tale che per ogni punto x appartenente a I: f(x)*t(x) mantiene lo stesso segno.

Metodo per cercare i flessi (pag. 238)1. si calcola f’’(x)2. Si individuano i punti in cui f’’(x)=0 e i punti (se esistono) in cui non è definita f’’(x)3. Si studia il segno di f’’(x) ovvero concavità e convessità 4. Tra i punti trovati al passo 2, cerchiamo quelli in cui la funzione ha cambiato concavità5. Verifichiamo che in tali punti esista la retta tangente (ovvero la derivata prima esista finita, oppure esista ma sia infinito)

II parte: flessi - classificazioneIl metodo indicato sopra si può ridurre al solo studio del segno della derivata seconda (fatto con attenzione, in particolare nei punti in cui risulta il flesso)

Possiamo classificare i flessi: sia x0 un punto di flesso1)Se f’(x0)=0 (ovvero stazionario) allora diremo flesso a tangente orizzontale 2)Se f’(x0) esiste ma 0 allora diremo flesso a tangente obliqua3)Se f’(x0) non esiste finita, ma vale infinito diremo flesso a tangente verticale.

(pag. 223)