Studia le caratteristiche fenomenologiche della

OTTICA GEOMETRICA

-Studia le caratteristiche fenomenologiche della propagazione della luce: ombra degli alberi in giorno di sole, specchio o superficie d'acqua che riflette un'immagine, immagine spezzata di un palo immerso parzialmente in acqua, l'arcobaleno, la struttura di una cellula vista al microscopio.....

- Si basa su tre leggi: 1. legge della propagazione rettilinea 2. legge della riflessione 3. legge della rifrazione

- Non si occupa della natura della luce ma assume che la luce non perturbi la propagazione della luce

- E` un approssimazione valida finche` le dimensioni in gioco sono molto maggiori di una lunghezza, caratteristica della radiazione osservata, lunghezza d'onda

Leggi dell'OTTICA GEOMETRICA

La luce si propaga nel vuoto alla velocita` c = 299 792 458 m/s.

Definizione: L’indice di rifrazione di un mezzo ottico rispetto al vuoto e` il rapporto tra la velocita` della luce nel vuoto e la velocita` della luce nel mezzo:

Per definizione l'indice di rifrazione del vuoto n0=1.

n = c/v

1. PROPAGAZIONE RETTILINEA:

la luce, in un mezzo omogeneo, segue percorsi rettilinei

=> un oggetto opaco (albero) posto tra una sorgente luminosa puntiforme (sole) e uno schermo (terreno) proietta un'ombra con i contorni definiti

Leggi dell'OTTICA GEOMETRICA: RIFLESSIONE e RIFRAZIONE

Quando un raggio incide sulla superficie di separazione tra due mezzi caratterizzati da valori differenti di n, viene in parte trasmesso ed in parte riflesso. Usualmente gli angoli sono misurati rispetto alla retta normale alla superficie.

2. RIFLESSIONE

- raggio incidente, raggio riflesso e normale al punto di incidenza giacciono nello stesso piano, perpendicolare all’interfaccia di separazione tra i mezzi

- l’angolo di incidenza `e uguale all’angolo di riflessione (Legge di Cartesio)

i= r

i r

=> riflessione di un immagine in uno specchio o in una superficie d'acqua

n1 sin 1 = n2 sin 2

Leggi dell'OTTICA GEOMETRICA: RIFLESSIONE e RIFRAZIONE

2. RIFRAZIONE

Quando un raggio passa da un mezzo con indice di rifrazione n1 ad un altro mezzo con indice di rifrazione n2 la direzione di propagazione cambia.- raggio incidente, raggio rifratto e normale al punto di incidenza giacciono nello stesso piano, perpendicolare all’interfaccia di separazione tra i mezzi

- il raggio propaga secondo la Legge di Snell: 1

2

n1

n2Se il mezzo 1 e` il vuoto n1=n0=1 e la legge:

n sin r =sin i

=> immagine spezzata di un palo immerso parzialmente in acqua

Dalla simmetria delle leggi dell’ottica geometrica rispetto ai simboli segue ilprincipio di reversibilita`:si può invertire il raggio incidente con il raggio riflesso/rifratto lasciando inalterata la costruzione geometrica,

Tale principio e` limitato dal fenomeno della riflessione totale:quando la luce passa da un mezzo più denso ad uno meno denso (cioe`n1>n2), all'aumentare dell'angolo di incidenza θi aumenta anche

l'angolo di rifrazione θr. Il raggio rifratto si allontanerà progressivamente dalla normale fino ad arrivare, ad un certo punto, a formare con essa un angolo di 90°. Da questo punto in poi avremo solo il fenomeno della riflessione; tutta la luce si riflette, come se la superficie di separazione dei due mezzi fosse uno specchio. L'angolo di incidenza a cui corrisponde un angolo di rifrazione di 90° è chiamato angolo limite θc.

sin c = n2 / n1

Leggi dell'OTTICA GEOMETRICA: Principio di Revesibilita` e Riflessione Totale

Cammino Geometrico e Cammino Ottico

Definizione:

il cammino geometrico d di un raggio in un mezzo di indice di rifrazione n e`

il cammino ottico ∆ e` definito come .

Esso rappresenta la distanza che la luce percorre nel vuoto nello stesso tempo impiegato per percorrere la distanza d nel mezzo.

∆ = d⋅ n = c t

d = t v = t c/n

- Le tre leggi viste descrivono i fenomeni dell'ottica geometrica

- Esiste un principio unificatore che rende “necessarie” le tre leggi, il Principio di Fermat:

la luce percorre da un punto A ad un punto B il percorso piu` brevepossibile tra i due punti, ovvero il percorso che richiede il tempo minimo (o massimo).

Piu` precisamente la luce segue il percorso il cui cammino ottico e` stazionario (un minimo o un massimo) rispetto ai percorsi vicini (cioe` con piccole variazioni rispetto a quello vero):

- Da esso si possono ricavare in modo naturale le 3 leggi dell'ottica geometrica e fornisce un metodo molto potente per trattare problemi di ottica geometrica

- Funziona quando consideriamo cammini che non incontrino piccole aperture o che siano lontani da ostacoli netti.

Principio di Fermat

nds = cdt = 0

Applicazioni del Principio di Fermat

Se un sistema ottico porta diversi raggi uscenti da P a convergere in P', allora deve essere realizzato in modo da rendere equivalenti i loro cammini geometrici: i raggi uscenti da P in direzioni differenti che convergono in P', hanno percorso cammini geometrici differenti in tempi uguali (ovvero con cammini ottici uguali).

P P'sistema ottico

Per formare immagini costruisco quindi dispositivi ottici che rendano equivalenti cammini diversi

Sistema ottico focalizzante: definizioni

- Oggetto: punto da cui escono i raggi luminosi- Immagine: punto in cui vengono fatti convergere i raggi luminosi- Coppia di punti coniugati: la coppia oggetto-immagine - Immagine reale: quando e` individuabile fisicamente come punto di incontro dei raggi emessi dall'oggetto- Immagine virtuale: quando per essa passano i prolungamenti dei raggi e non i raggi stessi

Prendiamo una superficie di discontinuita`. Convenzioni:

- la luce incidente proviene da sinistra- per gli oggetti a sinistra del vertice V le distanze p sono positive, per quelli a destra sono negative- per le distanze immagine q valgono le convenzioni opposte- il raggio di curvatura R della superficie e` positivo se il centro di curvatura e` a destra di V (superficie sferica convessa), negativo se e` a sinistra (superficie sferica concava)- le distanze dall'asse sono positive per punti sopra e negative per punti sotto per gli oggetti, viceversa per le immagini.

Sistema ottico focalizzante: formazione di immagini per riflessione (1)

Sia data una superficie di discontinuita` tra due mezzi e un oggetto che invia luce alla superficie

=> anche limitandosi a superfici piane o sferiche la soluzione non e` semplice e spesso l'immagine di un punto non e` piu` un punto ma una regione estesa.

Per avere corrispondenza biunivoca tra punti oggetto e punti immagine (stigmatismo) bisogna approssimare a fasci di raggi parassiali (cioe` con una piccola apertura, quasi paralleli e coincidenti con l'asse ottico).

1. SPECCHIO PIANO:

- e` lo strumento ottico piu` semplice- da` per riflessione un'immagine virtuale di P in un punto Q che si trova nella posizione simmetrica di P rispetto allo specchio- da` un'immagine virtuale, diritta, non ingrandita e speculare- l'immagine non subisce il fenomeno della dispersione, e` quindi un sistema acromatico- e` un sistema stigmatico anche senza bisogno di approssimazione parassiale

P Q

Immaginevirtuale

Oggetto

Sistema ottico focalizzante: formazione di immagini per riflessione (2)

2. SPECCHIO SFERICO:

la relazione tra distanza oggetto p e distanza immagine q e`:

1

p−

1

q=−

2

ROsservazioni:- Per R-> si ottiene lo specchio piano: p=q- Se l'oggetto e` all'infinito (p=+ovvero raggi parallelil'immagine si forma in q=R/2- Per avere l'immagine all'infinito l'oggetto deve essere in p= -R/2

Definizione: la quantita` f= -R/2 si dice distanza focale dello specchio sferico

La relazione sopra si puo` riscrivere: 1

p−

1

q=

1

f

Sistema ottico focalizzante: formazione di immagini per trasmissione (1)

DIOTTRO SFERICO

Sia data una superficie sferica di separazione tra due mezzi di indici di rifrazione n1 e n2

l'equazione diventa:n

1

p

n2

q=

n2−n

1

R

Lo strumento e` stigmatico ma non acromatico (compaiono nell'equazione gli indici di rifrazione).

Definizione: il rapporto (n2-n1)/R si dice potere convergente o diottrico

Osservazioni: - per R->si ottiene l'equazione del diottro piano:

- quando l'oggetto e` all'infinito (p=l'immagine si forma ad una distanza q= n2R/(n2-n1), definita distanza focale posteriore f2

- se l'oggetto e` a distanza p=n1R/(n2-n1), definita distanza focale anteriore f1

l'immagine si forma all'infinito (q=

- essendo f1/f2=n1/n2 si puo` riscrivere l'equazione del diottro sferico come:

q=−n

2

n1

⋅p

f1

p

f2

q=1

Sistema ottico focalizzante: formazione di immagini per trasmissione (2)

Sistema ottico focalizzante: LENTI (1)

Un blocco di materiale trasparente delimitato da DUE superfici diottriche (in genere sferiche) aventi l'asse in comune costituisce una lente semplice.

Le lenti semplici sono "oggetti" costituiti da materiale trasparente vetroso o similare opportunamente sagomati (due superfici sferiche o una piana ed una sferica) con i quali è possibile fare deviare i raggi di luce in modo da convergerli (o divergerli) a nostro piacimento.

Le lenti sfruttano il fenomeno ottico della rifrazione.

Se una lente semplice di spessore t e fatta da un materiale di indice n2, e` immersa in un mezzo di indice n1, nell'approssimazione parassiale si ha:

n1

p1

n

2

q1

=n

2−n

1

R1

n2

p2

n

1

q2

=n

1−n

2

R2

, , p2=t−q

1

Dove l'ultima equazione esprime il fatto che l'immagine fornita dal primo diottrofunge da oggetto per il secondo.


Definizione:

- il punto F1 dell'asse in cui occorre mettere l'oggetto per ottenere l'immagine all'infinito si dice primo fuoco della lente

- il punto F2 dell'asse in cui si forma l'immagine di un oggetto posto all'infinito e` detto secondo fuoco della lente

F1 F2

>

>

>

> F1 F2>

>>

>

- Nel caso di lenti sottili, cioe` quando la distanza tra le superfici di contorno e` piccola rispetto ai loro raggi di curvatura, si puo` trascurare lo spessore t e misuro le distanze dal centro della lente. Ottengo la legge dei punti coniugati:

- Dato un sistema ottico che inizia e finisce sempre nello stesso mezzo e` sempre possibile individuare due piani z1 e z2 ortogonali all'asse ottico per cui resta valido il formalismo delle lenti sottili (misuro le distanze oggetto rispetto a z1 e immagine rispetto z2)

1

p

1

q=

1

fcon f =

n1

n2−n

1

⋅R

1⋅R

2

R1−R

2


F F

f

z1 z2

Sistema ottico

P Q

p q

P QF F

f

Lente sottile

p q


- I raggi paralleli all'asse ottico convergono in F

- I raggi provenienti da F (o passanti per F) emergono dalla lente paralleli all'asse ottico

- Raggi parassiali (vicini all'asse ottico) passanti per il centro ottico non vengono deflessi

Disponiamo quasi sempre di 3 raggi notevoli per la costruzione dell'immagine Q del punto P distante y dall'asse ottico:

In generale la dimensione trasversale y' dell'immagine non e` uguale a quella y dell'oggetto.

G≡y '

y=

q

p=

f

x=

x '

f


F F

f

p q

y

x x' y'f

Definizione: si definisce ingrandimento trasversale G:

Per oggetti posti a grande distanza (p=) e di dimensione angolare finita abbiamo 2 raggi notevoli (uno passante per il fuoco e uno passante per il centro della lente)

y = ftan f ´ per oggetto lontano

Lenti convergenti: Lenti divergenti:

Le lenti sono essenzialmente di due tipi:

1. lenti convergenti (piu` spesse nel centro)

2. lenti divergenti (piu` sottili nel centro).

All'interno delle due categorie vi e` un'ulteriore classificazione:



Maggiore è lo "spessore" della lente, minore è la distanza focale

Una tipica lente convergente è così schematizzabile :

Una tipica lente divergente e` cosi` schematizzabile:

Spaziodell'oggetto

Spazio dell'immagine

Strumenti Ottici (1)1. OCCHIO:- lente di lunghezza focale f variabile (grazie al cristallino) - forma immagini di oggetti a distanza p variabile ad una distanza q fissa

2. LENTE D'INGRANDIMENTO (microscopio semplice):le dimensioni di un'immagine di un oggetto sulla retina sono all'angolo di vista. Ad occhio nudo riesco ad avvicinare lóggetto al piu` ad una distanza d0 definita punto prossimo. Con la lente (che ipotizzo quasi attaccata allócchio) riesco ad avvicinare lóggetto fino ad una sitanza d1 dallócchio tc. 1/d1+1/q = 1/f fino al punto in cui límmagine virtuale creata sara` in q = -d0 (quando p<f ho immagini virtuali). Ho quindi unímmagine virtuale ingrandita che soddisfa 1/d1-1/d0 =1/f ovvero un ingrandimento q/p = - d0 /f + 1)

|q|=d0

y´

y

p=d1

f

Strumenti Ottici (2)3. CANNOCCHIALE:

- e` costituito da due gruppi ottici:

- l'obiettivo forma un'immagine reale di un oggetto lontano: un oggetto a p = lo vedo sotto un angolo θ e con y'=f1 θ

- l'oculare agisce come lente d'ingrandimento per y ': se l'immagine formata dall'obiettivo e` nel fuoco dell'oculare ho θ' = y' / f2 da cui :

G = '/ = f1 / f2

obiettivo con lunghezza focale f1oculare con lunghezza focale f2

Strumenti Ottici (3)4. MICROSCOPIO:

- e` costituito da due gruppi ottici:

- l'obiettivo da` un'immagine reale ingrandita di un oggetto vicino

- l'oculare funge come al solito da lente d'ingrandimento

obiettivo con lunghezza focale f1oculare con lunghezza focale f2

y

Misura Ottica di c (1)SCOPO: determinazione della velocita` della luce tramite principi di ottica geometrica

Materiale:Si usa uno specchio fisso ed un solo banco ottico sul quale verranno montati:1. Laser He-Ne (λ=632 nm)2. Apparato con specchio rotante3. Lenti L1 (f =48 mm) e L2 (f = 252 mm)4. Microscopio con beam splitter5. Un supporto con due polarizzatori (quando serve)

Misura Ottica di c (2)LASER: Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation, ovvero Amplificazione di Luce tramite Emissione Stimolata di Radiazione

- Dispositivo in grado di emettere un fascio di luce coerente (i pacchetti emessi mantengono una certa relazione di fase), generalmente monocromatica, e (con alcune eccezioni) concentrata in un raggio rettilineo estremamente collimato.

-Inoltre la luminosità (brillanza - potenza emessa per unità di angolo solido e unità di superficie della sorgente) delle sorgenti laser è elevatissima a paragone di quella delle sorgenti luminose tradizionali => non guardare la luce laser direttamente con l'occhio, usare polarizzatori

POLARIZZATORI: Esistono filtri ottici per ottenere luce polarizzata linearmente. Sono composti da lamelle che impediscono o smorzano l'oscillazione del campo elettrico lungo la direzione ad esse ortogonale selezionando la polarizzazione ad esse parallele. Se un fascio di luce già polarizzato linearmente attraversa un filtro polarizzante l'intensità luminosa viene smorzata secondo la legge di Malus I=I0cos2() dove I0 è l'intensità della luce entrante, I l'intensità della luce uscente e θ è l'angolo tra le due direzioni di polarizzazione: in entrata e in uscita dal filtro.Quindi se l'angolo θ è di 90° la luce viene completamente assorbita, se è di 0° passa inalterata.

Misura Ottica di c (3)

Metto in rotazione lo specchio: il raggio quando torna a MR lo trova

spostato di t = 2D/c. E` come se la sorgente S si fosse spostata di S=2D in S1 e l'immagine s al microscopio si sposta di s'=2Dq/p in s1.

Sostituisco in s' :q/p=A/(B+D) e 2D/c e ricavo :

= velocita` di rotazioneA -> q(B+D) -> p

c=4⋅A⋅D 2 w

BD⋅∇ s '

- L'allineamento e` la parte piu` delicata dell'esperienza: puo` richiedere anche tutta la mattinata

Si usa una procedura differente da quella descritta nel manuale della PASCO(vedere scheda corrispondente sul sito del laboratorio)

- Analisi degli errori:

L'errore statistico su s' (~2-3%) va ridotto ripetendo la misura piu` volte (50 rip.)

L'errore sistematico e` governato principalmente dalla misura della distanza A.Posso ricavarla dalla legge dei punti coniugati:

Misura Ottica di c (4)

1

p

1

q=

1

f2

=> devo misurare bene f2 (non basarsi sul valore dichiarato) !!!!

Spettrometro a Prisma (1)

MATERIALE: collimatore con fenditura di ampiezza regolabiletelescopio con reticolo movibile e focus regolabilebase rotante con scale Vernier (risoluzione fino a 30'' di arco)piatto per lo spettrometroprisma di vetro retto a base triangolare lampade a scarica a Hg, Ne, Na, He

FLINT PRISMFLINT PRISM

12

3

Spettrometro a Prisma (2)MESSA A PUNTO:

1. Distanza traguardo-oculare (operare con l'occhio a riposo): regolo 1 finche` il reticolo non e` nitido

2. Distanza obiettivo-traguardo (non variare l'aggiustamento dell'occhio): a. mantengo fissa la regolazione 1 b. punto il cannocchiale verso un oggetto lontano (fuori dalla finestra) e regolo 2 finche` esso e` nitido simulataneamente al traguardo

3. Distanza fenditura-lente del collimatore: a. illumino la fenditura con la sorgente b. punto il cannocchiale verso la fenditura c. regolo 3 finche` la fenditura ed il traguardo sono nitidi simultaneamente

4. Stringere la fenditura: ridurre la larghezza della fenditura finche` la riesco a vedere ridursi

=> se tutto e` stato fatto bene il collimatore produce un fascio di raggi paralleli ampio quanto la lente del collimatore (non e` un fascio stretto)

Spettrometro a Prisma (3)

Dispersione: l'indice di rifrazione di una data sostanza e` leggermente diverso per la luce di differenti colori, ovvero n e` funzione della lunghezza d'onda della luce n=n().

Cio` provoca la scomposizione di uno spettro non monocromatico entrante nel prisma dopo passaggio in fenditura in piu` righe corrispondenti ai diversi colori(Nel caso di luce bianca si osserva una banda continua, fatta di colori che vanno dal rosso al blu).

Lampade a scarica: si basano sull'emissione di radiazione elettromagnetica da parte di un plasma di gas ionizzato per mezzo di una scarica elettrica attraverso il gas stesso. La radiazione emessa e` caratterizzata da un certo spettro di lunghezze d'onda caratteristico. Sono lampade non coerenti.

=> il passaggio di tale luce nel prisma provoca la separazione delle diverse lunghezze d'onda. L'osservazione delle righe sullo schermo permette di risalire al tipo di lampada confrontandosi con le intensita` tabulate per ciascun gas

(NB:l’occhio umano non è ugualmente sensibile a tutte le onde elettromagnetiche che cadono nella banda visibile, ma la sensibilità ha un andamento gaussiano con il picco di massima sensibilità nelle frequenze relative alla luce verde)

Spettrometro a Prisma (4)= angolo di deflessione del fascio = angolo al vertice del prisma- E` in realta` una misura di minimo, cerco cioe` la condizione in cui e` minimo, e cio` ruotando il prisma e trovando il punto oltre il quale le righe tornano indietro- Misuro cercando il raggio riflesso (centro il traguardo sulla fenditura, misuro la posizione iniziale del prisma, blocco il cannocchiale e giro il prisma finche` rivedo l'immagine, leggo la nuova posizione del prisma)

- Da misura di e di minper note - Hg) ricavo n=n() e lo riscrivo come:

n()=a+b/2

-Da tale curva posso ricavare dalla misura di min di una data riga spettrale (e quindi di n) la corrispondente , e caratterizzare quindi lampade ignote

Spettrometro Elettromagnetico

In laboratorio si utilizzano: - lampade a scarica nel visibile- sorgenti di microonde- laser He-Ne

Studia le caratteristiche fenomenologiche della

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