STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO - III di COSTRUZIONI EDILI Prof. Ing. Francesco Zanghì 8 ESEMPIO N°4...

Sussidi didattici per il corso di

STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO

Sussidi didattici per il corso di COSTRUZIONI EDILI

Prof. Ing. Francesco Zanghì

STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO - II

AGGIORNAMENTO 29/04/2012

II

Corso di COSTRUZIONI EDILI Prof. Ing. Francesco Zanghì

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FLESSIONE SEMPLICE RETTA: Progetto allo SLU

Progettare la sezione in c.a. consiste, nel fissare:

• generalmente la larghezza “b” della sezione; • le caratteristiche dei materiali; • il valore del copriferro “c”; • la modalità di rottura della sezione; • la percentuale “u” di armatura compressa (caso di sezione ad armatura doppia);

e nel ricavare analiticamente:

• l’altezza utile “d” della sezione (da cui segue h= d+c); • l’armatura tesa As (da cui segue A’s=u As nel caso di sezione ad armatura doppia);

Per ottenere sezioni duttili, le progetteremo sempre assumendo k=x/d=0.259 (diagramma bilanciato).

k=0.259

Corso di COSTRUZIONI EDILI

Sezione rettangolare

Partiamo dall’ipotesi che sia nota la larghezza “b” della sezione. Assegndiagramma di rottura bilanciato con k=x/d=0.259limite fra i campi 2b e 3.

Dall’equilibrio alla rotazione attorno all’armatura si ricava:

MSd = NC

3

rettangolare ad armatura semplice

nota la larghezza “b” della sezione. Assegndiagramma di rottura bilanciato con k=x/d=0.259, cioè facciamo in modo che

Dall’equilibrio alla rotazione attorno all’armatura si ricava:

C d − 0.4x( ) = 0.8 ⋅ x ⋅ fcd ⋅ b⋅ d − 0.4x( )


ad armatura semplice

nota la larghezza “b” della sezione. Assegniamo alla sezione il facciamo in modo che la rottura avvenga al


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imponendo x=0.259d si ricava:

MSd = 0.1857 ⋅ fcd ⋅ b⋅ d2

ricaviamo l’altezza utile d:

d =MSd

0.1857 ⋅ fcd ⋅ b (1)

ponendo:

r =1

0.1857 ⋅ fcd

la relazione diventa:

d = rMSd

b (2)

Dall’equilibrio alla rotazione rispetto alla risultante degli sforzi di compressione si ricava:

MSd = NS d − 0.4x( ) = As ⋅ fyd ⋅ d − 0.4x( ) = As ⋅ fyd ⋅ d − 0.4 ⋅ 0.259d( ) = As ⋅ fyd ⋅ 0.9 ⋅ d

da cui si ricava:

As =MSd

0.9 ⋅ fyd ⋅ d (3)


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ESEMPIO N°3

Progettare la sezione rettangolare di una trave in c.a., di larghezza b=30 cm, da realizzare con calcestruzzo di classe C25/30 e armature metalliche del tipo B450C. Il momento flettente di progetto è pari a 160 kNm.

Caratteristiche dei materiali: o Calcestruzzo C25/30

Resistenza di progetto a compressione: Resistenza media a trazione:

Deformazione ultima: o Acciaio B450C

Tensione di progetto allo snervamento: Deformazione allo snervamento:

Deformazione ultima:

Applichiamo direttamente la relazione (1) per trovare l’altezza utile d:

d =16000

0.1857 ⋅1.411⋅30= 45.11cm

fcd = 0.85fck

1.50= 0.85

25

1.50=14.11 MPa

fctm = 0.30 ⋅ f 2

ck3 = 0.30 ⋅ 252

=3 2.55MPa

εcu = 0.0035

fyd =fyk

1.15=

450

1.15= 391.3 MPa

εyd =fyd

Es

=391.3

206000= 0.0019

εsu = 0.01


adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=49.11 cm. Assumiamo pertanto

Applichiamo direttamente la relazione (3) per trovare l’armatura tesa:

Dalla tabella dei tondini scegliamo di armare la trave in zona tesa con 5

Controlli di normativa:

1. Armatura long. minima: As,min

2. Armatura long. massima: As,m

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adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=49.11 cm. Assumiamo pertanto h=50 cm


As=16000

0.9 ⋅39.13⋅ 46= 9.88cm2

Dalla tabella dei tondini scegliamo di armare la trave in zona tesa con 5Φ (=10.05 cm

= 0.260.255

4530 ⋅ 46 = 2.03 cm2

< As =10.0

max = 0.04 ⋅30 ⋅ 50 = 60 cm2> As =10.05cm2


h=50 cm.

(=10.05 cm2)

05cm2 ok

2 ok


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Sezione rettangolare ad armatura doppia

L’altezza utile “d” si ricava dalla seguente relazione, simile alla (2):

d = r 'MSd

b (4)

in cui il coefficiente r’ viene scelto dalla tabella sotto riportata (valida per calcestruzzo C25/30), in funzione della percentuale “u” di armatura compressa e del tipo di trave (emergente o a spessore):

Coefficienti r’ per C25/30

u r’

TRAVE EMERGENTE c/d=0.1

TRAVE A SPESSORE c/d=0.2

0 1.97 0.25 1.71 1.89 0.50 1.39 1.81

n.b. per l’uso dei coefficienti riportati in tabella esprimere le distanze in cm


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ESEMPIO N°4

Con riferimento alla trave emergente dell’esempio precedente, progettare la sezione ad armatura doppia.

Imponiamo una percentuale di armatura compressa paria u=0.25. Dalla tabella dei coefficienti r’ si ricava, per trave emergente, r’=1.71.

Applichiamo la relazione (4) per trovare l’altezza utile d:

d =1.71⋅16000

30= 39.5cm

adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=43.50 cm. Assumiamo pertanto h=45 cm.


As=16000

0.9 ⋅39.13⋅ 41=11.08cm2

Dalla tabella dei tondini scegliamo di armare la trave in zona tesa con 6ΦΦΦΦ16 (=12.06 cm2)

Per l’ipotesi fatta, l’armatura compressa vale: A’s=u·As=0.25·12.06 = 3.015 cm2 corrispondenti a 2ΦΦΦΦ14 (=3.08 cm2)

Controlli di normativa:

1. Armatura long. minima: As,min = 0.260.255

4530 ⋅ 41=1.82 cm2

< As =12.06cm2 ok

2. Armatura long. massima: As,max = 0.04 ⋅30 ⋅ 45 = 54 cm2> As =12.06cm2 ok


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ESEMPIO N°5

Con riferimento alla carpenteria sotto riportata, progettare la trave 2-5 su cui grava il solaio di copertura praticabile di un info-point turistico. Assumere sul solaio un sovraccarico accidentale pari a 3.5 kN/mq.


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Caratteristiche dei materiali: o Calcestruzzo C25/30

Resistenza di progetto a compressione: Resistenza media a trazione:

Deformazione ultima: o Acciaio B450C

Tensione di progetto allo snervamento: Deformazione allo snervamento:

Deformazione ultima:

Predimensionamento solaio:

La luce del solaio (l=5.00 m) si incrementa del 5% per tenere conto del vincolo di semincastro, pertanto la luce di calcolo è l’=1.05 l = 1.05 x 5.00 = 5.25 m. Lo spessore del solaio viene fissato maggiore di 1/30 della luce pertanto s,min=525/30=17.5 cm. Si adotterà un solaio in laterocemento a travetti prefabbricati dello spessore totale di 20 cm (16+4). Si riporta di seguito la scheda riepilogativa di analisi dei carichi.

fcd = 0.85fck

1.50= 0.85

25

1.50=14.11 MPa

fctm = 0.30 ⋅ f 2

ck3 = 0.30 ⋅ 252

=3 2.55MPa

εcu = 0.0035

fyd =fyk

1.15=

450

1.15= 391.3 MPa

εyd =fyd

Es

=391.3

206000= 0.0019

εsu = 0.01


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Solaio in c.a e laterizi a travetti prefabbricati (16+4) 4.10 kN/m2

• Pignatte con travetti prefabbricati posti

a i=50 cm (peso=0.075 kN/m2/cm)

16 x 0.075

• Soletta collaborante non armata (4

cm)

1.00 x 1.00 x 0.04 x 24

• Intonaco soffitto in gesso (1.5 cm)

1.00 x 1.00 x 0.015 x 12.00

• Massetto di pendenza in cls alleggerito

(5 cm)

1.00 x 1.00 x 0.05 x 13.00

• Impermeabilizzazione

• Massetto in malta di cemento (2 cm)

1.00 x 1.00 x 0.02 x 21.00

• Pavimento mattonelle di cotto

1.20 kN/m2

0.96 kN/m2

0.18 kN/m2

0.65 kN/m2

0.30 kN/m2

0.42 kN/m2

0.40 kN/m2


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Analisi dei carichi: Per la valutazione del peso proprio della trave assumiamo una dimensione di tentativo pari a 30x50. I solai sono orditi in maniera tale da trasferire i carichi sulle travi di piano 1-4, 2-5 e 3-6. La trave 2-5 risulta maggiormente sollecitata. Poiché l’analisi dei carichi effettuata si riferisce al carico agente su ogni mq di superficie, per valutare lo scarico per ogni metro lineare di trave è necessario moltiplicare il carico per la luce di influenza del solaio stesso, pari alla metà della luce di ogni solaio che scarica sulla trave di progetto.

• Peso proprio trave: (0.30 x 0.50 x 1.00) x 25 kN/mc = 3.75 kN/m

• Peso proprio solaio: 2x(4.10 kN/mq x 2.5 m) = 20.5 kN/m

Totale G1 = 24.25 kN/m

• Sovraccarico accidentale: 2x(3.5 kN/mq x 2.5 m) Q = 17.5 kN/m

Calcolo sollecitazioni allo SLU:

La luce di calcolo della trave, nell’ipotesi di vincolo di semincastro è: l=6.00 x 1.05 = 6.30 m. Il momento massimo di semincastro è:

M�� = q�� ∙ l

12=

58 ∙ 6.30

2= 195 kNm

qsd =1.3⋅ 24.25+1.5 ⋅17.50 = 31.52 + 26.25 ≈ 58kN

m


Progetto della sezione in c.a.

Imponiamo una percentuale di armatura compressa paria u=0.per trave emergente, r’=1.71. Applichiamo la relazione (4) per trovare l’altezza utile d:

adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=

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armatura compressa paria u=0.25. Dalla tabella dei coefficienti r’ si ricava, Applichiamo la relazione (4) per trovare l’altezza utile d:

d =1.71⋅19500

30= 43.6cm

adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=47,6 cm. Assumiamo h=50 cm.


. Dalla tabella dei coefficienti r’ si ricava, Applichiamo la relazione (4) per trovare l’altezza utile d:


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As=19500

0.9 ⋅39.13⋅ 46=12.04 cm2

Dalla tabella dei tondini, disponiamo 3ΦΦΦΦ14 + 4ΦΦΦΦ16 (=12.66 cm2). Per l’ipotesi fatta, l’armatura compressa vale: A’s=u As=0.25 ·12.66 = 3.16 cm2 corrispondenti a 3ΦΦΦΦ14 (=4.62 cm2).

Posizione dell’asse neutro

Ipotizziamo che l’armatura compressa sia snervata:

Ns = fyd ⋅ As = 39.13 ⋅12.66 = 495.4kN

N 's = fyd ⋅ A's = 39.13⋅ 4.62 =181kN

Nc = fcd ⋅ b⋅ 0.8 ⋅ x( ) =1.41⋅30 ⋅ 0.8 ⋅ x( ) = 34 ⋅ x kN

Per l’equilibrio alla traslazione orizzontale della sezione:

Ns − N 's− Nc = 0; 495.4 −181− 34 ⋅ x = 0 ; x =314.4

34= 9.24cm

poiché: x = 9.24cm> 2.20 ⋅c = 8.80cm

l’armatura compressa è snervata e la posizione dell’asse neutro trovata è corretta. Calcolo del momento resistente

Per l’equilibrio alla rotazione, ad esempio, rispetto al punto di applicazione di Nc:

M rd = Ns d − 0.4x( ) + N 's 0.4x− c( ) = 495.4 46 − 0.4 ⋅ 9.24( ) +181 0.4 ⋅ 9.24 − 4( ) =

= 21012.4kNcm= 210kNm> Msd =195kNm

VERIFICA POSITIVA


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Disegno delle armature


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Tabella tondini da Cemento Armato

Diametro

mm

Numero barre

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12

sezione [cm²]

6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,39

8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 6,03

10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 9,42

12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 13,57

14 1,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,24 10,78 12,32 13,85 15,39 18,47

16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 24,13

18 2,54 5,09 7,63 10,18 12,72 15,27 17,81 20,36 22,90 25,45 30,54

20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 37,70

22 3,80 7,60 11,40 15,21 19,01 22,81 26,61 30,41 34,21 38,01 45,62

24 4,52 9,05 13,57 18,10 22,62 27,14 31,67 36,19 40,72 45,24 54,29

25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 58,90

26 5,31 10,62 15,93 21,24 26,55 31,86 37,17 42,47 47,78 53,09 63,71

28 6,16 12,32 18,47 24,63 30,79 36,95 43,10 49,26 55,42 61,58 73,89

30 7,07 14,14 21,21 28,27 35,34 42,41 49,48 56,55 63,62 70,69 84,82

32 8,04 16,08 21,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 96,51


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Fonti • D. M. Infrastrutture Trasporti 14 gennaio 2008 (G.U. 4 febbraio 2008 n. 29 - Suppl. Ord.)

Norme tecniche per le Costruzioni” • Circolare 2 febbraio 2009 n. 617 del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti (G.U. 26 febbraio 2009 n. 27 –

Suppl. Ord.) “Istruzioni per l'applicazione delle 'Norme Tecniche delle Costruzioni' di cui al D.M. 14 gennaio 2008”.

• S.Catasta – Materiale didattico

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