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Sussidi didattici per il corso di

STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO

Sussidi didattici per il corso di COSTRUZIONI EDILI

Prof. Ing. Francesco Zanghì

STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO - V

AGGIORNAMENTO 22/09/2012

V

Corso di COSTRUZIONI EDILI Prof. Ing. Francesco Zanghì

2

DOMINIO DI RESISTENZA

Prendiamo in considerazione la trave rettangolare 30x50 progettata nell’esempio 4:

Con riferimento al diagramma delle deformazioni della trave, le lettere maiuscole indicano le diverse possibili posizioni dell’asse neutro in corrispondenza delle quali si hanno le diverse modalità di rottura della sezione. Queste posizioni fondamentali individuano una serie di campi.


3

Esercizio

Calcolare lo sforzo normale ultimo Nrd e il momento ultimo Mrd della sezione, quando l’asse neutro si trova nella posizione C. La figura seguente riporta il diagramma delle deformazioni quando la rottura si ha in corrispondenza del punto C e il corrispondente diagramma delle tensioni, adottando il modello semplificato rettangolare equivalente.

Dalla similitudine dei triangoli: �.��

� = �.�� si ricava: x=11.92 cm


4

Caratteristiche dei materiali:

o Calcestruzzo C25/30 Resistenza di progetto a compressione: Resistenza media a trazione:

Deformazione ultima:

o Acciaio B450C Tensione di progetto allo snervamento: Deformazione allo snervamento:

Deformazione ultima: Dalla tabella dei tondini:

As =3ΦΦΦΦ14 + 4ΦΦΦΦ16 =12.66 cm2 A’s = 3ΦΦΦΦ14 =4.62 cm2 Risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo:

�� = ��0.8� = −1.41 �� ∙ 9.54 �� = −13.45 ��

fcd = 0.85fck

1.50= 0.85

25

1.50=14.11 MPa

fctm = 0.30 ⋅ f 2

ck3 = 0.30 ⋅ 252

=3 2.55MPa

εcu = 0.0035

fyd =fyk

1.15=

450

1.15= 391.3 MPa

εyd =fyd

Es

=391.3

206000= 0.0019

εsu = 0.01


5

Risultante degli sforzi nell’armatura tesa:

�� = �� ! = 39.13 �� ∙ 12.66 �� = 495.4 ��

Sempre per similitudine, calcoliamo la deformazione dell’acciaio compresso:

�.��.$$ = %′!

��.$$ si ricava: ε’s= - 0.0029 > εyd pertanto &!′ = �� Risultante degli sforzi nell’armatura compressa:

� ′� = �� ′! = −39.13 �� ∙ 4.62 �� = −180.78 ��

Dall’equilibrio alla traslazione orizzontale:

�() = �� + �� + � ′� = 495.4 − 13.45 − 180.78 ≈ ,-. /0

Dall’equilibrio alla rotazione rispetto all’asse baricentrico del calcestruzzo si ricava:

1() = �� 2ℎ2 − �4 + � ′� 2ℎ

2 − �4 + �� 2ℎ2 − 0.4�4 =

495.4 ∙ 21 + 180.78 ∙ 21 + 13.45 ∙ 20.23 = 14470.98 �� ≈ .56 /07


6

Se risolviamo l’esercizio precedente per ogni posizione notevole dell’asse neutro, il luogo dei punti di coordinate (Nrd, Mrd) formerà, sul piano N-M, una curva chiusa che prende il nome di dominio di resistenza della sezione.

La verifica a pressoflessione risulta graficamente soddisfatta se il punto di coordinate (Nsd,Msd) è

interno al dominio di resistenza. L’esempio mostra come la determinazione della frontiera del dominio di resistenza di una sezione presso/tenso-inflessa sia un’operazione iterativa abbastanza laboriosa ma che può facilmente essere implementata in un foglio di calcolo automatico oppure in uno specifico software, come ad esempio “VcaSlu” scaricabile gratuitamente dal sito:

http://dicata.ing.unibs.it/gelfi/software/programmi_studenti.html


7

VERIFICA MEDIANTE DIAGRAMMI DI INTERAZIONE

Per la verifica rapida di sezioni rettangolari si può fare ricorso a domini di rottura precalcolati, vincolati all’assunzione di alcuni condizioni di partenza, raggruppati in diagrammi di interazione. Quelli proposti dai Prontuari sono del tipo “adimensionale” cioè costruiti sulla base di parametri che ne rendono i risultati estensibili alla generalità delle sezioni rettangolari. Sulle ascisse si riportano gli “sforzi normali adimensionali”:

n9: = N9:<b ∙ h ∙ f@:A

Sulle ordinate i “momenti flettenti adimensionali”:

m9: = M9:<b ∙ h� ∙ f@:A

Tutte le curve presenti nel diagramma vengono ricavate, fissando il rapporto tra le armature δ = AF/A′F, il rapporto γ = c/H, e facendo variare il: rapporto meccanico dell’armatura

ω = AF,NON<b ∙ )A

fP:f@:

Noti, Nsd, Msd, As, A’s e le caratteristiche geometriche si calcolano le grandezze adimensionali. Si riporta sul diagramma il punto di coordinate (nsd, msd) e si verifica che esso sia interno al dominio corrispondente al rapporto meccanico di armatura della sezione.


8

ESEMPIO N°9

Verificare a pressoflessione il pilastro in c.a. dell’esempio 1, di sezione rettangolare 30x50, realizzato con calcestruzzo di classe C25/30 e armature metalliche del tipo B450C, soggetto alle seguenti sollecitazioni:

� Sforzo normale di compressione dovuto ai carichi permanenti: NG1=200 kN � Sforzo normale di compressione dovuto ai carichi variabili: NQ=350 kN � Momento flettente rispetto a x dovuto ai carichi permanenti: MG1=25 kN � Momento flettente rispetto a x dovuto ai carichi variabili: MQ=50 kN

Il pilastro è armato con 6Φ16 disposti come indicato in figura.

Sforzo normale di progetto:

kNNNN QGSd 7853505.12003.15.13.11

=⋅+⋅=+=

Momento flettente di progetto:

kNmMMM QGSd 5.107505.1253.15.13.11

=⋅+⋅=+= Calcoliamo gli sforzi adimensionali:

n9: = QRS<T∙U∙VWSA = $X�

<��∙��∙�.��A = 0.37 m9: = YRS<T∙UZ∙VWSA = ��$��

<��∙��Z∙�.��A = 0.17

Area cls: 215005030 cmAc =⋅=

Area armatura: 206.12166 cmAs =Φ= (vedi tabella)

Resistenze di progetto:

2/41.111.1450.1

2585.0

50.185.0 cmkNMPa

ff ck

cd ====

2/1.393.39115.1

450

15.1cmkNMPa

ff

yk

yd ====


9

Calcoliamo il rapporto meccanico di armatura:

ω = AF,NON<b ∙ )A

fP:f@:

= 12.06<50 ∙ 30A

39.11.41 = 0.22

Poiché, nel nostro caso c/H=4/30=0.13 e As=A’s, scegliamo i diagrammi di interazione predisposti per c/H=0.15 e armatura simmetrica.

La verifica è soddisfatta perché il punto risulta interno al dominio corrispondente al rapporto di armatura calcolato. La rottura avviene nel campo 3, pertanto è PERFETTA. La sezione rientra nella categoria delle sezioni ad armatura normale.


10

APPENDICE: DIAGRAMMI DI INTERAZIONE PER SEZIONI

RETTANGOLARI


11

′� � = 1


12

′� � = 1


13

′� � = 1


14

′� � = 1


15

′� � = 0.5


16

′� � = 0.5


17

′� � = 0.5


18

′� � = 0.5


19

Tabella tondini da Cemento Armato

Diametro

mm

Numero barre

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12

sezione [cm²]

6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,39

8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 6,03

10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 9,42

12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 13,57

14 1,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,24 10,78 12,32 13,85 15,39 18,47

16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 24,13

18 2,54 5,09 7,63 10,18 12,72 15,27 17,81 20,36 22,90 25,45 30,54

20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 37,70

22 3,80 7,60 11,40 15,21 19,01 22,81 26,61 30,41 34,21 38,01 45,62

24 4,52 9,05 13,57 18,10 22,62 27,14 31,67 36,19 40,72 45,24 54,29

25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 58,90

26 5,31 10,62 15,93 21,24 26,55 31,86 37,17 42,47 47,78 53,09 63,71

28 6,16 12,32 18,47 24,63 30,79 36,95 43,10 49,26 55,42 61,58 73,89

30 7,07 14,14 21,21 28,27 35,34 42,41 49,48 56,55 63,62 70,69 84,82

32 8,04 16,08 21,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 96,51


20

Fonti • D. M. Infrastrutture Trasporti 14 gennaio 2008 (G.U. 4 febbraio 2008 n. 29 - Suppl. Ord.)

Norme tecniche per le Costruzioni” • Circolare 2 febbraio 2009 n. 617 del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti (G.U. 26 febbraio 2009 n. 27 –

Suppl. Ord.) “Istruzioni per l'applicazione delle 'Norme Tecniche delle Costruzioni' di cui al D.M. 14 gennaio 2008”.

• S.Catasta – Materiale didattico

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