Stato limite ultimo per tensioni normali

S.L.U. per sezioni in c.a. soggette a tensioni normali

La verifica allo stato limite ultimo per tensioni normali viene condotta partendo dalle seguenti ipotesi di base:

1. conservazione delle sezioni piane;

2. perfetta aderenza tra calcestruzzo ed acciaio;

3. legami costitutivi rappresentativi del comportamento ultimo dei due materiali.

La prima ipotesi assicura che i diagrammi delle deformazioni che subiscono le diverse fibre della sezione saranno

lineari fino alla condizione di rottura (rette di deformazione).

La seconda ipotesi esclude la possibilità di scorrimenti tra acciaio e cls fino al collasso.

T=Trazione ; C=Compressione Tipici diagrammi delle deformazioni per una sezione in c.a. soggetta a differenti stati di sollecitazione

I legami costitutivi I legami costitutivi del calcestruzzo

I modelli meccanici di calcolo per il calcestruzzo, in questa fase comportamentale, possono essere di tre tipi:

parabola-rettangolo (a)

triangolo-rettangolo (b)

rettangolo o stress block (c)

L’inizio del tratto a tensione costante è caratterizzato da un valore di deformazione che differisce a seconda del

modello considerato (εc2; εc3; εc4). Viceversa, la deformazione ultima εcu è la stessa per tutti i modelli.

Modelli meccanici per il calcestruzzo. Fonte: D.M. 14 gennaio 2008

I legami costitutivi (segue)

La resistenza di calcolo fcd è pari a:

fcd = αcc · 0,83 · Rck / γc

dove:

αcc =0,85 è il coefficiente riduttivo per effetti di lunga durata;

γc =1,5 è il coefficiente parziale di sicurezza del materiale;

0,83 · Rck è la resistenza caratteristica cilindrica.

Valori delle deformazioni limiti elastico in funzione dei modelli meccanici e della classe di resistenza del cls. Fonte: D.M. 14 gennaio 2008

I legami costitutivi (segue)

I legami costitutivi dell’acciaio

I modelli meccanici di calcolo per l’acciaio, in questa fase comportamentale, sono di tipo elasto-plastico e

presentano le seguenti peculiarità:

A compressione , il diagramma è condizionato dalla limitata duttilità del cls, e presenta un valore limite

della deformazione pari a ecu, per l’ipotesi di perfetta aderenza con il calcestruzzo.

A trazione, è possibile adottare due tipi di legami costitutivi (D.M. 14/02/2008) :

o bilineare finito con incrudimento, caratterizzato da un tratto elastico fino alla deformazione

limite elastica εyd, seguito da un tratto incrudente a duttilità limitata. Al valore ultimo di

deformazione εud corrisponde una tensione ultima fud maggiore della tensione di snervamento

fyd;

o elastico-perfettamente plastico indefinito, caratterizzato da un tratto elastico fino alla

deformazione εyd seguito da un tratto plastico a duttilità infinita e tensione costante (fyd).

Legame costitutivo dell'acciaio: A. elastico-incrudente, B. elastico perfettamente plastico

I legami costitutivi (segue)

Il valore di calcolo della tensione di snervamento è pari a:

fyd = fyk / γM

in cui fyk è la tensione di snervamento caratteristica e γM = 1,15

Il valore di calcolo della tensione ultima è pari a:

fud = fuk / γM

fuk è la tensione ultima caratteristica e γM= 1,15

Condizioni di crisi

Condizioni di crisi per una sezione in cemento armato

Le condizioni di crisi di una sezione in c.a. sono sempre governate dal raggiungimento della deformazione ultima

in uno dei due materiali.

In particolare, si può avere:

1. Crisi lato calcestruzzo,

quando si attinge in una fibra di calcestruzzo compresso la deformazione ultima εcu. Questa condizione di crisi è

l’unica possibile se si considera un acciaio con legame costitutivo del tipo elastico-perfettamente plastico a

duttilità infinita (tipo B).

2. Crisi lato acciaio,

quando si attinge nelle armature tese la deformazione ultima εud. Questa condizione di crisi è possibile solo se si

considera per l’acciaio un legame costitutivo del tipo elastico-plastico incrudente a duttilità finita (tipo A).

Condizioni di crisi di una sezione in c.a

Regioni di crisi

Regioni di crisi nel caso di legame costitutivo dell’acciaio a duttilità limitata

Data una sezione in c.a. a doppia armatura soggetta a tensioni normali (σ), nell’ipotesi di assumere per l’acciaio

un legame costitutivo a duttilità limitata, è possibile dimostrare che la retta di deformazione in condizioni ultime

deve necessariamente appartenere ad una delle 6 regioni di rottura, individuate a partire dai valori limiti delle

deformazioni e precisamente:

In corrispondenza del lembo compresso, i valori limite della deformazione del calcestruzzo (εci e εcu).

In corrispondenza dell’armatura tesa, il valore limite della deformazione dell’acciaio (εcu).

I fasci di rette che definiscono le regioni hanno, pertanto, come centro i seguenti punti:

A: crisi lato acciaio per attingimento deformazione ultima a trazione εud;

B: crisi lato cls per attingimento della deformazione ultima εcu;

C: crisi lato cls per deformazione εci (per sezione tutta compressa).

Le sei regioni di crisi per una sezione in c.a

Tab. riassuntiva delle sei regioni di crisi

Regioni di crisi nel caso di legame costitutivo dell’acciaio a duttilità infinita

Data una sezione in c.a. a doppia armatura soggetta a tensioni normali (σ), nell’ipotesi di assumere per l’acciaio

un legame costitutivo a duttilità infinita, è possibile dimostrare che la retta di deformazione in condizioni ultime

deve necessariamente appartenere ad una delle 4 regioni di rottura riportate in figura. Rispetto al caso

precedente, risulta infatti che:

le regioni 1 e 2 degenerano in una retta orizzontale passante per il punto B, a causa dell’assenza di un

limite di deformazione per l’acciaio;

la regione 3 diventa una regione “aperta” e comprende tutti i casi di flessione semplice o composta;

le altre regioni restano inalterate.

Regioni di crisi nel caso di legame costitutivo di tipo (B)

Tab. riassuntiva delle regioni di crisi (legame B)

Equazioni di equilibrio

Data una sezione rettangolare in c.a. a doppia armatura soggetta a tensioni normali per effetto della presenza di

momento flettente (M) e/o sforzo normale (N), le equazioni risolutrici sono

equilibrio alla traslazione lungo l’asse del solido

C+F’-F=N

dove

C è la risultante degli sforzi di compressione nel cls; F’ è la risultante degli sforzi di compressione nell’acciaio; F è

la risultante degli sforzi di trazione nell’acciaio

equilibrio alla rotazione (intorno alla retta baricentrica della sola sezione di calcestruzzo)

C·dCg+F’·dF’g + F·dFg=M

dove

dCg , dF’g, dFg sono le distanze rispettivamente di C, F’ e F rispetto alla retta baricentrica della sola sezione di

calcestruzzo.

Risultanti delle tensioni interne e sollecitazioni esterne

Calcolo delle risultanti

Risultanti delle tensioni nell’acciaio

Le risultanti delle tensioni nelle armature di acciaio (tese e compresse) sono pari al prodotto delle aree per le

rispettive tensioni:

F = As · σs

F’ = A’s · σ’s

dove

As è l’area dell’armatura tesa;

A’s è l’area dell’armatura compressa;

σs e σ’s sono le tensioni nell’acciaio.

Tali risultanti sono applicate nel baricentro delle aree delle armature.

Risultanti nell'acciaio e loro posizioni

Calcolo delle risultanti (segue)

Risultante delle tensioni di compressione nel cls e sua posizione in una sezione rettanolare considerando la

semplificazione del diagramma parabola-rettangolo (a) con un diagramma di tensioni costante (b)

Risultante delle tensioni nel calcestruzzo

La risultante delle tensioni di compressione nel calcestruzzo, nonché la sua posizione, dipendono ovviamente

dal legame costitutivo considerato. Nel caso di legame del tipo parabola-rettangolo per calcolare valore e

posizione di tale risultante occorrerebbe, a rigore, risolvere degli integrali.

Per semplificare il calcolo, si introducono:

ψ – fattore di riempimento: fattore riduttivo che consente di trasformare, in termini quantitativi, l’area

reale parabolica del diagramma delle tensioni in quella rettangolare equivalente, con tensione massima

sempre uguale a fcd;

λ – fattore di posizione, fattore che consente di valutare la posizione della risultante delle tensioni di

compressione in funzione della profondità dell’asse neutro xc.

Risultante delle tensioni di compressione nel cls e sua posizione in una sezione rettanolare considerando la semplificazione del

diagramma parabola-rettangolo (a) con un diagramma di tensioni costante (b)

Calcolo delle risultanti (segue)

Risultante delle tensioni nel calcestruzzo

Se si assume per il calcestruzzo il legame costitutivo del tipo stress-block, il calcolo della risultante delle

compressioni nonché la sua posizione sono facilmente determinabili. La distribuzione delle tensioni di

compressione nella sezione è infatti costante, con valore fcd, e si estende per un’altezza pari a 0,8 xc.

La risultante C è pari:

C = B · 0,8 xc · fcd

e risulta posizionata ad una distanza 0.4 xc dal lembo superiore compresso.

Legame costitutivo di tipo rettangolo o stress-block Risultante delle tensioni di compressione nel cls

La compressione semplice

Verifica di una sezione in cemento armato soggetta a compressione semplice

La verifica a compressione semplice di una sezione in c.a. allo SLU si effettua controllando che:

NRd≥NEd

dove :

NRd è la resistenza a compressione di progetto della sezione

NEd è la sollecitazione di compressione agente sulla sezione

Nota quindi la sollecitazione esterna (NEd), per poter effettuare la verifica occorre valutare la resistenza a

compressione della sezione (NRd).

Sollecitazione di compressione (NEd) Diagramma delle deformazioni relativo alla sollecitazione di progetto incognita

La compressione semplice (segue)

Impostazione del problema

Termini noti: B; h; A’s; As; fcd; fyd; NEd

Incognite: NRd

La condizione di crisi per una sezione in c.a compressa avviene sempre per attingimento della deformazione

ultima nel calcestruzzo (εcu).

Dal confronto tra i legami costitutivi dei due materiali si evince che, per qualunque valore della deformazione

ultima del calcestruzzo compreso tra il 2%0 e il 3,5%0, l’acciaio risulta sempre in campo plastico (εs>1,86%0).

L’equazione di equilibrio alla traslazione è pari a:

C + F + F’= NRd

ovvero

A· fcd + As · fyd+A’s · fyd = NRd

Calcolo delle tensioni ultime