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Test del massimo valore

TEST DEL MASSIMO VALORE

Per dimostrare che in alcuni casi la legge del valore estremo EV1 non è adeguata a

descrivere gli estremi idrologici si può far ricorso ad un test molto semplice, nel quale

la statistica di riferimento è il valore massimo tra i dati del campione.

L�ipotesi H0 da sottoporre a verifica è: �Il valore massimo Xn appartiene alla

distribuzione dei massimi di una variabile di Gumbel�?

Se la risposta è positiva ne deriva la necessaria conseguenza che quel valore

appartiene anche alla distribuzione di partenza (Gumbel) che lo avrebbe generato.

Per la statistica Xn è semplice ricavare per via diretta la distribuzione. Infatti, come

risulta dal procedimento di costruzione della distribuzione del massimo di una

variabile casuale, si ha:

Ad Esempio, se la variabile FX (x) è una Gumbel, la distribuzione del massimo di un

campione di N dati estratti da una Gumbel è:

n

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Nota quindi la distribuzione della statistica test se ne deduce l�intervallo di

accettazione, in funzione del livello di significatività �. Se � = 5%, trattandosi di un

controllo per estremi positivi, si lascia l�errore solo da un lato, per cui risulta che il

limite di accettazione positivo per X(N) è X( =0.95). Di conseguenza, se il valore max

campionato su N dati risulta essere superiore al valore limite al 95% dei massimi su N

dati estratti da una Gumbel, tale distribuzione mostra di essere inadatta a

rappresentare il campione, almeno nella sua coda positiva. Si rende quindi necessario

far ricorso a distribuzioni più asimmetriche.

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APPLICAZIONE DEL TEST A DISTRIBUZIONI QUALSIASI

Si immagina che il valore osservato di X(N) corrisponda al valore XLIM. La condizione

richiesta dal test è che

Essendo vale allora

, ovvero:

per XLIM vale: ≤

Di conseguenza, dato un generico valore (osservato) X(N)  se si ha:

  l’ipotesi sul test è soddisfatta

 

≤

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Valutazione del periodo di ritorno di un nuovo evento �eccezionale� In ASSENZA di serie storica

Assunto un evento X(N), tale da rappresentare certamente il massimo della serie, si

vuole verificare in modo approssimato l’adeguatezza della distribuzione (espressa

dalla “cartografia delle precipitazioni” alla rappresentazione del valore, in modo da

poter determinare T(X).

Le uniche informazioni necessarie sono:

-  I parametri della distribuzione di probabilità

-  Il numero di osservazioni su cui si è basata la valutazione

La procedura, basata sull’applicazione del test del MASSIMO VALORE, prevede la

verifica dell’ipotesi:

Per questa verifica sono appunto necessari i parametri della FX ed N. Quest’ultimo puo’ essere in prima approssimazione assunto come valor medio della numerosità dei campioni usati nell’analisi regionale che ha consentito di stimare i Parametri della distribuzione locale

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Funzione GUMBEL (qui=PAI): Per T abbastanza grande, es. superiore a 20, vale:

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In carta probabilistica di Gumbel (altro modo di rappresentare la funzione come una

retta) La distribuzione del massimo puo’ essere rappresentata come un retta parallela

a quella originaria di Gumbel, traslata originaria della quantità .

\\ 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0.01 0.02 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

0.80 0.90 0.95

0.99 0.995

0.999 Pr

obab

ilità

cum

ulat

a

2

5 10 20

100

[T]

Max annuale delle portate al colmo di piena [mc/s]

GUMBEL 200

1000 q2 Ln N

Qn,0.95

Regione di accettazione

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Test del massimo valore

Valutazione del periodo di ritorno di un nuovo evento �eccezionale� In presenza di serie storica

Assunto un nuovo evento X(N+1), tale da essere di entità piu� elevata del precedente

valore massimo, si vuole assegnare ad esso un valore oggettivo di �eccezionalità�,

attraverso l’attribuzione del periodo di ritorno.

Il riferimento è fatto ad una serie storica registrata nella stessa stazione nella quale si

è avuta la nuova osservazione. La procedura usuale prevede l�impiego della

distribuzione di probabilità della variabile di interesse X ed il suo impiego nella

determinazione di T(X(N+1)).

La procedura, basata sull’applicazione del test del MASSIMO VALORE, è:

a)  Verifica di appartenenza di X(N+1) alla FX(x) già nota per la stazione in questione,

quindi senza la nuova osservazione mediante il test.

Affinchè il test passi deve risultare:

Se questo avviene si può procedere al conseguente calcolo di T(X(N+1)):

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Valutazione del periodo di ritorno di un nuovo evento �eccezionale�

Se il test non è soddisfatto X(N+1) non appartiene a FX(x) e si va al passo successivo:

b) Stima di una nuova distribuzione F*X(x) dopo inserimento del nuovo dato X(N+1)

nella serie già disponibile, e successiva verifica mediante test del massimo valore.

Si dovranno stimare i valori dei parametri della F*X(x) includendo il nuovo valore, per

cui i parametri saranno stimati su N+1 osservazioni.

Riapplicando il test, se è soddisfatto è possibile attribuire in modo corretto il periodo

di ritorno ad X(N+1) con

Se il test non è ancora soddisfatto la distribuzione utilizzata risulta essere non più

adatta alla rappresentazione dell’intero campione. Di conseguenza:

c) Si formula una nuova ipotesi di modello probabilistico che porti il test ad avere

esito positivo

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L�espressione è ancora una legge di Gumbel. Si vede infatti che:

 

 

per cui, ipotizzando una distribuzione di Gumbel con un nuovo valore modale θ*1,

questo risulta dall’equivalenza:

 

per cui:

La nuova distribuzione è quindi ancora una Gumbel, ma con un nuovo parametro ✓1

CASO GUMBEL