sistemi_proposti

Sistemi di equazioni differenziali -Esercizi proposti

1. Si calcoli l’integrale generale del seguente sistema di equazioni differenziali:

~X ′ =

(−4 16 −3

)~X.

Si determini poi la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale:

~X(0) =

(01

).


~X ′ =

(−3 −10−2 −4

)~X.


~X(0) =

(42

).


~X ′ =

(4 32 3

)~X.


~X(0) =

(50

).

1

4. Si consideri il sistema in due incognite{

x = −x + yy = −4y.

a) Determinarne l’integrale generale.

b) Scrivere la soluzione particolare tale che x(0) = 2, y(0) = −6.

5. Trovare la soluzione generale del sistema{

x′1 = x2

x′2 = 4x1 + 3x2

6. Siano X =(

x1

x2

)e A =

(1 −2−2 4

). Trovare la soluzione di X ′ = AX con X(0) =

(05

).


~X ′ =

(−5 5−2 −7

)~X.


~X(0) =

(14

).

8. Si studi la stabilita del seguente sistema di equazioni differenziali dipendenti dal parametro

reale α, specificando il tipo di punto critico ottenuto:

~X ′ =

(−3 α + 2

α− 2 −2

)~X.

Si calcoli poi la soluzione, con α =√

10, che soddisfa alla condizione iniziale:

~X(0) =

(05

).

9. Sono dati i seguenti sistemi di equazioni differenziali

(1)

{x′ = −2x,y′ = 2x− 3y.

(2)

{x′ = −2x + ay,y′ = 2x− 3y.

i) Scrivere tutte le soluzioni del sistema (1).

ii) Studiare la stabilita del sistema (2) al variare a ∈ R, indicando il tipo di punto critico.

iii) Determinare i valori di a ∈ R dell’equazione differenziale (2) per cui esistono soluzioni

costanti non identicamente nulle.

10. Dato il sistema di equazioni differenziali{

x′1 + x′2 = 5x1

4x′1 − x′2 = −5x2

a) trasformare il sistema in un sistema in forma normale;

b) scrivere l’integrale generale in forma complessa e in forma reale;

c) Trovare la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale x1(π/3) = 0, x2(π/3) = 4e π/3.

SOLUZIONI

1.

~X(t) = c1

(1−2

)e−6t + c2

(13

)e−t, c1, c2 ∈ R.

Problema di Cauchy:

~X(t) = (−1/5)

(1−2

)e−6t + (1/5)

(13

)e−t.

2.

~X(t) = c1

(21

)e−8t + c2

(5−2

)e t, c1, c2 ∈ R.

Problema di Cauchy:

~X(t) = 2

(21

)e−8t.

3.

~X(t) = c1

(32

)e 6t + c2

(1−1

)e t, c1, c2 ∈ R.

Problema di Cauchy:

~X(t) =

(32

)e 6t + 2

(1−1

)e t.

4. a)(

x(t)y(t)

)= c1e−t

(10

)+ c2e−4t

(1−3

), c1, c2 ∈ R.

b) Si ha c1 = 0, c2 = 2 e (x(t)y(t)

)= 2e−4t

(1−3

).

5.(

x1(t)x2(t)

)= c1e 4t

(14

)+ c2e−t

(1−1

), c1, c2 ∈ R.

6.(

x1(t)x2(t)

)=

(21

)+ e 5t

(−24

).

7.

~X(t) = c1

((11

)e−6t cos 3t−

(−21

)e−6t sin 3t

)+

+c2

((−21

)e−6t cos 3t +

(11

)e−6t sin 3t

), c1, c2 ∈ R.

Problema di Cauchy:

~X(t) = 3

((11

)e−6t cos 3t−

(−21

)e−6t sin 3t

)+

+

((−21

)e−6t cos 3t +

(11

)e−6t sin 3t

).

8.

|α| <√

152 λ1, λ2 ∈ C Re (λ1) = Re (λ2) = −5

2 < 0 fuoco stabile|α| =

√152 λ1 = λ2 ∈ R λ1 = λ2 = −5

2 < 0 nodo stabile√152 < |α| < √

10 λ1, λ2 ∈ R λ1, λ2 < 0 nodo stabile|α| = √

10 λ1, λ2 ∈ R λ1 = 0, λ2 = −5 stabile, non asintoticamente|α| > √

10 λ1, λ2 ∈ R λ1 > 0, λ2 < 0 sella

9. i) (x(t)y(t)

)= c1

(12

)e−2t + c2

(01

)e−3t.

ii)

λ < −18 λ1, λ2 ∈ C Re (λ1) = Re (λ2) = −5

2 < 0 fuoco stabileλ = −1

8 λ1 = λ2 ∈ R λ1 = −52 < 0 nodo stabile

−18 < λ < 3 λ1, λ2 ∈ R λ1, λ2 < 0 nodo stabile

λ = 3 λ1, λ2 ∈ R λ1 = 0, λ2 = 5stabile, non asintoticamente,

rette punti criticiλ > 3 λ1, λ2 ∈ R λ1 · λ2 < 0 sella

iii) Se a = 3, c’e una retta di punti critici, ciascuno dei quali rappresenta una soluzione

costante.

10. In forma complessa(

x1(t)x2(t)

)= k1e (1+2i)t

(1−2i

)+ k2e (1−2i)t

(12i

), k1, k2 ∈ C;

in forma reale:(

x1(t)x2(t)

)= c1e t

[cos 2t

(10

)− sin 2t

(0−2

)]+ c2e t

[sin 2t

(10

)+ cos 2t

(0−2

)], c1, c2 ∈ R.

Imponendo le condizioni iniziali si ha c1 =√

3, c2 = 1 e quindi(

x1(t)x2(t)

)=

√3e t

[cos 2t

(10

)− sin 2t

(0−2

)]+ e t

[sin 2t

(10

)+ cos 2t

(0−2

)]

= e t

( √3 cos 2t + sin 2t√3 sin 2t− 2 cos 2t

).

sistemi_proposti

Documents

Transcript of sistemi_proposti