Sistemi di equazioni differenziali -Esercizi proposti
1. Si calcoli l’integrale generale del seguente sistema di equazioni differenziali:
~X ′ =
(−4 16 −3
)~X.
Si determini poi la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale:
~X(0) =
(01
).
2. Si calcoli l’integrale generale del seguente sistema di equazioni differenziali:
~X ′ =
(−3 −10−2 −4
)~X.
Si determini poi la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale:
~X(0) =
(42
).
3. Si calcoli l’integrale generale del seguente sistema di equazioni differenziali:
~X ′ =
(4 32 3
)~X.
Si determini poi la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale:
~X(0) =
(50
).
1
4. Si consideri il sistema in due incognite{
x = −x + yy = −4y.
a) Determinarne l’integrale generale.
b) Scrivere la soluzione particolare tale che x(0) = 2, y(0) = −6.
5. Trovare la soluzione generale del sistema{
x′1 = x2
x′2 = 4x1 + 3x2
6. Siano X =(
x1
x2
)e A =
(1 −2−2 4
). Trovare la soluzione di X ′ = AX con X(0) =
(05
).
7. Si calcoli l’integrale generale del seguente sistema di equazioni differenziali:
~X ′ =
(−5 5−2 −7
)~X.
Si determini poi la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale:
~X(0) =
(14
).
8. Si studi la stabilita del seguente sistema di equazioni differenziali dipendenti dal parametro
reale α, specificando il tipo di punto critico ottenuto:
~X ′ =
(−3 α + 2
α− 2 −2
)~X.
Si calcoli poi la soluzione, con α =√
10, che soddisfa alla condizione iniziale:
~X(0) =
(05
).
9. Sono dati i seguenti sistemi di equazioni differenziali
(1)
{x′ = −2x,y′ = 2x− 3y.
(2)
{x′ = −2x + ay,y′ = 2x− 3y.
i) Scrivere tutte le soluzioni del sistema (1).
ii) Studiare la stabilita del sistema (2) al variare a ∈ R, indicando il tipo di punto critico.
iii) Determinare i valori di a ∈ R dell’equazione differenziale (2) per cui esistono soluzioni
costanti non identicamente nulle.
10. Dato il sistema di equazioni differenziali{
x′1 + x′2 = 5x1
4x′1 − x′2 = −5x2
a) trasformare il sistema in un sistema in forma normale;
b) scrivere l’integrale generale in forma complessa e in forma reale;
c) Trovare la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale x1(π/3) = 0, x2(π/3) = 4e π/3.
SOLUZIONI
1.
~X(t) = c1
(1−2
)e−6t + c2
(13
)e−t, c1, c2 ∈ R.
Problema di Cauchy:
~X(t) = (−1/5)
(1−2
)e−6t + (1/5)
(13
)e−t.
2.
~X(t) = c1
(21
)e−8t + c2
(5−2
)e t, c1, c2 ∈ R.
Problema di Cauchy:
~X(t) = 2
(21
)e−8t.
3.
~X(t) = c1
(32
)e 6t + c2
(1−1
)e t, c1, c2 ∈ R.
Problema di Cauchy:
~X(t) =
(32
)e 6t + 2
(1−1
)e t.
4. a)(
x(t)y(t)
)= c1e−t
(10
)+ c2e−4t
(1−3
), c1, c2 ∈ R.
b) Si ha c1 = 0, c2 = 2 e (x(t)y(t)
)= 2e−4t
(1−3
).
5.(
x1(t)x2(t)
)= c1e 4t
(14
)+ c2e−t
(1−1
), c1, c2 ∈ R.
6.(
x1(t)x2(t)
)=
(21
)+ e 5t
(−24
).
7.
~X(t) = c1
((11
)e−6t cos 3t−
(−21
)e−6t sin 3t
)+
+c2
((−21
)e−6t cos 3t +
(11
)e−6t sin 3t
), c1, c2 ∈ R.
Problema di Cauchy:
~X(t) = 3
((11
)e−6t cos 3t−
(−21
)e−6t sin 3t
)+
+
((−21
)e−6t cos 3t +
(11
)e−6t sin 3t
).
8.
|α| <√
152 λ1, λ2 ∈ C Re (λ1) = Re (λ2) = −5
2 < 0 fuoco stabile|α| =
√152 λ1 = λ2 ∈ R λ1 = λ2 = −5
2 < 0 nodo stabile√152 < |α| < √
10 λ1, λ2 ∈ R λ1, λ2 < 0 nodo stabile|α| = √
10 λ1, λ2 ∈ R λ1 = 0, λ2 = −5 stabile, non asintoticamente|α| > √
10 λ1, λ2 ∈ R λ1 > 0, λ2 < 0 sella
9. i) (x(t)y(t)
)= c1
(12
)e−2t + c2
(01
)e−3t.
ii)
λ < −18 λ1, λ2 ∈ C Re (λ1) = Re (λ2) = −5
2 < 0 fuoco stabileλ = −1
8 λ1 = λ2 ∈ R λ1 = −52 < 0 nodo stabile
−18 < λ < 3 λ1, λ2 ∈ R λ1, λ2 < 0 nodo stabile
λ = 3 λ1, λ2 ∈ R λ1 = 0, λ2 = 5stabile, non asintoticamente,
rette punti criticiλ > 3 λ1, λ2 ∈ R λ1 · λ2 < 0 sella
iii) Se a = 3, c’e una retta di punti critici, ciascuno dei quali rappresenta una soluzione
costante.
10. In forma complessa(
x1(t)x2(t)
)= k1e (1+2i)t
(1−2i
)+ k2e (1−2i)t
(12i
), k1, k2 ∈ C;
in forma reale:(
x1(t)x2(t)
)= c1e t
[cos 2t
(10
)− sin 2t
(0−2
)]+ c2e t
[sin 2t
(10
)+ cos 2t
(0−2
)], c1, c2 ∈ R.
Imponendo le condizioni iniziali si ha c1 =√
3, c2 = 1 e quindi(
x1(t)x2(t)
)=
√3e t
[cos 2t
(10
)− sin 2t
(0−2
)]+ e t
[sin 2t
(10
)+ cos 2t
(0−2
)]
= e t
( √3 cos 2t + sin 2t√3 sin 2t− 2 cos 2t
).