1

CORSO DI

MECCANICA DELLAUTOVEICOLO

ANNO ACCADEMICO 2007-2008

Docente: Prof. Ing. Gabriele Fichera

IL COMPORTAMENTO DEL VEICOLO IN CURVA

ANALIZZATO MEDIANTE IL MODELLO

MONOTRACCIA

2

1. Introduzione

Qualunque tipo di veicolo dotato di due funzioni fondamentali: la

propulsione e il controllo della traiettoria.

Per ci che concerne il controllo della traiettoria, i veicoli possono essere divisi

in due categorie:

a) Veicoli guidati cinematicamente, la cui traiettoria determinata da appositi

vincoli cinematici.

b) Veicoli non guidati cinematicamente, la cui traiettoria determinata da un

sistema di guida, controllato da un pilota, o da un guidatore, umano

oppure da un dispositivo, generalmente meccanico-elettronico.

La guida o il pilotaggio dei veicoli appartenenti alla seconda categoria

avviene mediante lazione di forze derivanti da variazioni dassetto del veicolo

generate da opportuni dispositivi controllati dal sistema di guida. Tali veicoli possono

definirsi anche veicoli guidati dinamicamente.

E opportuno effettuare una precisazione sui veicoli che appartengono alla

suddetta categoria. In alcuni veicoli guidati dinamicamente, la generazione delle forze

di guida richiede notevoli variazioni dassetto, in altri, invece, le variazioni sono di

piccola entit. Al primo sottogruppo appartengono tutti i veicoli la cui traiettoria

controllata da azioni aero o fluido dinamiche. Il sistema di guida agisce su

apposite superfici di governo, il cui spostamento determina una variazione delle azioni

dinamiche esercitate sul veicolo dal mezzo in cui si trova immerso. In tali veicoli le

variazioni dassetto sono generalmente notevoli e sussiste un certo ritardo tra lazione

sul sistema di guida e le forze che ne conseguono. Pertanto, la percezione che il

controllo viene effettuato in modo dinamico solitamente immediata. Tali veicoli

possono definirsi pilotati e lazione di guida pu essere indicata come pilotaggio.

Nel caso in cui le forze di guida siano dovute prevalentemente alle forze di

contatto ruota-suolo, come avviene negli autoveicoli, la percezione di guida

dinamica meno immediata. Il controllo della traiettoria avviene, anche in questi

veicoli, come in quelli pilotati: il sistema di guida modifica lassetto delle ruote

direttrici, portandole ad un definito angolo di deriva. Tale manovra modifica lassetto

di tutto il veicolo rispetto alla direzione di marcia iniziale, mettendo in deriva anche le

3

rimanenti ruote e generando cos le forze di guida necessarie. La linearit, almeno

iniziale, tra la forza laterale e langolo di deriva e lelevato valore della rigidezza di

deriva fanno percepire al guidatore una guida pi di tipo cinematico che dinamico.

Sembra cio che la traiettoria del veicolo sia rigidamente vincolata alle posizioni dei

piani medi delle ruote.

I veicoli caratterizzati da tale comportamento possono definirsi guidati

dinamicamente e lazione di controllo della traiettoria pu definirsi guida. Questa

particolarit ha a lungo influenzato lo studio del comportamento del veicolo, dando

origine al concetto di sterzatura cinematica e, in un certo qual modo, nascondendo

la natura dei fenomeni in gioco.

Nei paragrafi seguenti verr analizzato il comportamento dinamico dei veicoli

guidati dinamicamente e la risposta di tali veicoli allazione del sistema di guida.

Tale analisi verr condotta mediante lo studio di un modello matematico semplificato,

avente validit in campo lineare (piccoli angoli di deriva), ma atto a fornire un

adeguato inquadramento teorico del problema.

Nella realt il comportamento di un veicolo e le capacit del guidatore sono

elementi inseparabili: il guidatore fornisce lintelligenza al sistema guidatore-

veicolo, mentre il veicolo fornisce le forze di manovra necessarie. Le azioni del

guidatore sono determinate da numerose variabili, quali motivazioni dordine mentale,

disturbi ambientali esterni, informazioni ricavate dalla risposta del veicolo (in termini

di riferimento visivo, accelerazione laterale, velocit dimbardata, ecc.) e dal sistema

di sterzo. Sulla base di questi dati dingresso il guidatore controlla il sistema di sterzo e

la risposta del veicolo. Per semplicit nellanalisi che segue non sono stati presi in

considerazione gli organi che controllano la propulsione (acceleratore e freno) e gli

altri dispositivi di controllo che il guidatore comanda.

Il comportamento del sistema guidatore-veicolo (in termini di stabilit, tenuta

di strada, manovrabilit) viene sovente indicato con il termine anglosassone

handling.

4

1. Il modello monotraccia

Un modello semplificato assai utile per effettuare unanalisi preliminare del

comportamento di un veicolo in curva e ricavarne limpostazione generale il

cosiddetto modello monotraccia (fig.1).

Fig.1 Modello monotraccia per lanalisi del moto in curva.

Il modello possiede le seguenti caratteristiche:

il veicolo viene condensato lungo la linea di mezzeria (da ci deriva il nome

modello monotraccia) e, pertanto, non si considera il trasferimento di

carico laterale;

non si considera il trasferimento di carico longitudinale;

non sussistono moti di rollio o di beccheggio della massa sospesa;

i pneumatici operano in campo lineare (piccoli angoli di deriva);

si utilizza lapprossimazione dei piccoli spostamenti (sen( ) = tan( ) = ;

cos( ) = 1);

il modulo della velocit davanzamento, V, costante e viene imposto;

non si considerano le azioni aerodinamiche;

non si considerano effetti di deformabilit delle sospensioni o della scocca;

5

si opera un controllo di posizione, cio linput fornito al sistema di sterzo in

termini di spostamento e non di forza;

si assume che il veicolo si muove su strada priva di irregolarit.

Considerare lineare il comportamento dei pneumatici corrisponde, generalmente,

ad operare in condizioni in cui laccelerazione laterale non supera il valore indicativo

di 0,4 g. Entro questo limite, i risultati ottenuti dal modello monotraccia possono

ritenersi significativi.

Con il suddetto modello semplificato, si possono analizzare gli effetti sui moti

dimbardata e sugli spostamenti laterali (che determinano entrambi la traiettoria e

lassetto del veicolo) indotti dalla rigidezza di deriva dei pneumatici, dalla posizione

longitudinale del baricentro lungo il passo del veicolo e dallangolo di sterzo.

In questa rappresentazione, il sistema ha due gradi di libert: la velocit laterale,

v, e la velocit dimbardata, r. La variabile imposta langolo di sterzo dellassale

anteriore, . Langolo, , misurato tra lasse longitudinale del veicolo e la tangente alla

traiettoria nel baricentro prende il nome di angolo di deriva del veicolo o angolo

dassetto.

Quando un veicolo effettua una curva, provenendo da un rettilineo, solitamente si

susseguono tre fasi. La prima fase quella dingresso o inserimento in curva, durante

la quale la velocit laterale e la velocit dimbardata crescono da zero e variano con il

tempo. Questa fase anche chiamata transitorio dingresso in curva. In seguito

subentra la seconda fase, detta di moto in curva a regime, in cui la velocit V, la

velocit angolare dimbardata r, langolo dassetto e gli angoli di deriva dei

pneumatici sono costanti. Durante tale fase il veicolo si muove lungo una traiettoria

circolare di raggio costante R (o di curvatura costante 1/R) e laccelerazione laterale

assume valore costante pari a: ay = V/R2. La fase conclusiva quella di uscita dalla

curva, detta transitorio di uscita dalla curva, in cui le variabili suddette ritornano a

zero e il veicolo assume nuovamente una traiettoria rettilinea.

Queste fasi rappresentano una utile idealizzazione dellesecuzione di una curva e

i termini transitorio e a regime compariranno sovente nei prossimi paragrafi.

6

Nella realt si incontrano differenti tipi di curve. Vi sono curve lunghe in cui la

fase a regime pu essere molto pi lunga dei transitori, oppure curve strette in cui la

fase a regime molto limitata, oppure rapidi cambiamenti di traiettoria (ad esempio un

sorpasso improvviso) in cui la fase a regime pu scomparire del tutto.

2. Moto in curva a regime a velocit idealmente nulla

Si supponga di percorrere una curva a velocit pressoch nulla, in modo da

potere ritenere nulle le accelerazioni longitudinali e laterali e di conseguenza i

trasferimenti di carico e i moti di rollio e di beccheggio. In queste condizioni, gli

angoli di deriva possono ritenersi nulli e il comportamento del veicolo molto

prossimo al comportamento del modello monotraccia. In queste condizioni, la

traiettoria percorsa dal veicolo cinematicamente determinata e, facendo riferimento

al modello monotraccia, la ruota anteriore e quella posteriore percorrono due cerchi

concentrici (fig.2).

Fig.2 Sterzatura cinematica a deriva nulla.

Il raggio della curva generalmente definito come la distanza tra il centro di

curvatura e il baricentro del veicolo. Effettuando delle piccole approssimazioni (del

7

tutto lecite data la piccola entit degli angoli), langolo di sterzo necessario ad

effettuare una curva di raggio R costante vale (fig.2):

R

l

Questo valore viene solitamente indicato come angolo di sterzatura cinematica

o angolo di Ackermann e dipende unicamente dal raggio della curva e dal passo del

veicolo (in fig.2 mostrato leffetto della variazione del passo sullangolo di

Ackermann).

3. Moto in curva del veicolo neutro

Nellanalisi del moto in curva di un veicolo si utilizzano solitamente le

definizioni di veicolo neutro, sottosterzante o sovrasterzante per indicare determinati

tipi di comportamento. Tali definizioni possono essere facilmente spiegate mediante il

modello monotraccia.

In primo luogo, verr spiegata la definizione di veicolo neutro.

Si supponga di effettuare a regime una curva di raggio costante R, a velocit

costante V. Per potere percorrere la curva, la forza centrifuga, FC = m ay = m V2/R, deve

essere bilanciata dalle forze laterali dei pneumatici. Per fissare le idee, si ritenga che il

baricentro del veicolo lungo lasse longitudinale sia equidistante dai centri ruota

anteriore e posteriore (a = b = l/2) e che siano uguali le rigidezze di deriva dei

pneumatici anteriore e posteriore (C A = C P, espresse in N/rad).

Lequilibrio alle forze laterali e ai momenti, con riferimento alla figura 3,

fornisce:

bCaC

CCYYF

PPAA

PPAAPAC

Sotto le ipotesi adottate (a = b e C A = C P = C ) risulta: A = P = .

8

Fig.3 Moto in curva del veicolo neutro.

Alcune interessanti osservazioni possono essere fatte confrontando la figura 3

con la figura 2.

In entrambi i casi, langolo di sterzo richiesto per effettuare una curva di dato

raggio indipendente dalla velocit.

Langolo di assetto si ottiene graficamente ruotando lintero veicolo di un

angolo pari ad P rispetto allassale posteriore e tracciando la normale alla

retta congiungente il baricentro con il centro di curvatura. Il valore di

dipende, dunque, dai valori di P e di b.

Nel caso mostrato in fig.3 le ruote posteriori viaggiano su un raggio pi

piccolo rispetto alle ruote anteriori.

9

La rotazione che d origine alla deriva del posteriore sterza altres le ruote

anteriori: nel caso in questione langolo di deriva allanteriore uguale a

quello del posteriore.

In particolare per la configurazione presa in esame (baricentro in mezzeria e

uguali rigidezze di deriva anteriormente e posteriormente), langolo di deriva richiesto

allanteriore per produrre le forze e i momenti necessari allequilibrio ottenuto

interamente dalla rotazione del veicolo durante lo sviluppo dellangolo di deriva

posteriore. In questa configurazione, langolo di sterzo completamente determinato

dal raggio di curvatura R, indipendentemente dalla velocit e dallaccelerazione

laterale, e il suo valore uguale allangolo di Ackermann corrispondente.

Il comportamento del veicolo analizzato si definisce neutro perch allaumentare

dellaccelerazione laterale (ovvero della velocit) in una curva di dato raggio R, il

valore dellangolo di sterzo necessario ad effettuare la curva rimane costante ed

cinematicamente determinato ( = l/R). Ovvero impostando un dato angolo di sterzo

il veicolo segue la traiettoria corrispondente allangolo di Ackermann (R = l/ ),

qualunque sia la velocit.

Nella seguente figura 4 mostrato landamento dellangolo fornito al volante per

effettuare una curva di raggio costante al variare dellaccelerazione laterale, per un

veicolo a comportamento praticamente neutro. Il diagramma in questione stato

ricavato da una vettura che utilizza un rapporto di sterzo di 14 a 1 (14 di rotazione al

volante per 1 di rotazione alle ruote). Di conseguenza, la variazione di circa 5

dellangolo volante che si osserva in figura corrisponde ad una variazione rispetto

allangolo di Ackermann di soli 0,35.

10

Fig.4 Angolo di sterzo al variare di Ay per il veicolo neutro.

In un qualsiasi veicolo, allaumentare dellaccelerazione laterale sono richieste

forze laterali ai pneumatici sempre maggiori e devono, pertanto, aumentare gli angoli

di deriva dei pneumatici. In particolare, in campo lineare, se si assumono costanti le

rigidezze di deriva, gli angoli di deriva devono crescere proporzionalmente con

laccelerazione laterale.

E facile verificare dalle equazioni di equilibrio che per il veicolo neutro risulta:

Y

P

Y

A

aa

ovvero:

0Y

PA

Y

P

Y

A

aaa

Pertanto, per il veicolo neutro le variazioni degli angoli di deriva anteriore e

posteriore con laccelerazione laterale devono risultano uguali.

11

4. Moto in curva del veicolo sottosterzante

Si supponga adesso che il baricentro sia pi vicino allasse anteriore (fig.5), per

esempio si consideri a = 1/3 l e b = 2/3 l. In questo caso, considerando ancora uguali

le rigidezze di deriva dei due assali, dallequazione di equilibrio ai momenti si ottiene:

A/ P = 2.

Fig.5 Moto in curva del veicolo sottosterzante.

12

Per il veicolo neutro trattato nel paragrafo precedente, detta m la massa,

dallequazione di equilibrio alle forze risultava:

CCam PAy 2

Per il veicolo analizzato in questo paragrafo risulta:

PPPPAy CCCam 32

Uguagliando le due espressioni, cio a parit di accelerazione laterale e quindi di

raggio di curvatura, si ottiene:

3

4

3

2

A

P

La diminuzione dellangolo di deriva al posteriore, rispetto al caso del veicolo

neutro con pari raggio di curvatura, obbliga ad aumentare langolo di sterzo per avere

un maggiore angolo di deriva allanteriore (fig.5).

Si pu dimostrare che langolo di sterzo necessario per effettuare una curva di

raggio R fornito dalla seguente relazione:

)( PAR

l

assumendo la convenzione di segno ISO per la quale:

R>0 per curva a sinistra;

R

13

segue una traiettoria a raggio maggiore rispetto a quella individuata dal corrispondente

angolo di Ackermann (R = l/ ).

La figura 6 mostra landamento dellangolo di sterzo al variare dellaccelerazione

laterale in una curva a raggio costante. La curva limitata al valore di 0,5 g, al di sopra

del quale cominciano a manifestarsi le non-linearit dovute ai pneumatici e alle

sospensioni.

Fig.6 - Angolo di sterzo al variare di Ay per il veicolo sottosterzante.

In una vettura sottosterzante, inoltre, la crescita degli angoli di deriva anteriore e

posteriore con laccelerazione laterale non uguale (fig.6), di conseguenza risulta:

0y

PA

y

P

y

A

aaa

14

Nel presente esempio, per rendere la vettura sottosterzante stata effettuata una

traslazione longitudinale del baricentro. Altrimenti, mantenendo a = b, si pu

analogamente rendere la vettura sottosterzante rendendo C A>C P, in quanto

dallequazione di equilibrio al momento risulta:

1P

A

P

A

Ca

Cb

Il suddetto rapporto determina in campo lineare il sottosterzo dimpostazione

della vettura.

E da notare come la maggior parte delle vetture di normale produzione vengano

progettate con un certo sottosterzo dimpostazione, in quanto le vetture sottosterzanti

hanno un comportamento pi facilmente controllabile in situazioni di pericolo. Ci

dovuto al fatto che il guidatore costretto ad aumentare langolo di sterzo

allaumentare dellaccelerazione laterale.

5. Moto in curva del veicolo sovrasterzante

In conseguenza di quanto detto finora, risulter ovvia la definizione di vettura

sovrasterzante. Il comportamento di un veicolo sovrasterzante se, fornendo un certo

angolo di sterzo, il veicolo segue una traiettoria a raggio inferiore rispetto a quello

corrispondente allangolo di Ackermann. Ovvero, per effettuare una curva a raggio

costante bisogna fornire un angolo di sterzo minore del corrispondente angolo di

Ackermann.

Il comportamento sovrasterzante si realizza quando:

1P

P

P

A

Ca

Cb

Nellipotesi che tale configurazione si ottenga realizzando a > b e C A = C P si

faccia riferimento alla figura 7.

15

Fig.7 Moto in curva del veicolo sovrasterzante.

Per definire lattitudine di una vettura si utilizza un indice detto gradiente di

sottosterzo/sovrasterzo, definito nel modo seguente:

go

smin

aaUG

y

PA

y

deg

/

deg2

Se tale indice ha segno positivo il veicolo sottosterzante, se negativo

sovrasterzante, se lindice nullo il veicolo neutro.

Nella definizione del suddetto indice pu essere utilizzato langolo di sterzo alle

ruote o langolo di sterzo al volante. Nel primo caso si parla di gradiente di

sottosterzo/sovrasterzo alle ruote, nel secondo di gradiente di sottosterzo/sovrasterzo al

volante.

16

6. La trattazione matematica del modello monotraccia

Nei precedenti paragrafi si voluto fornire una visione dinsieme del

comportamento del veicolo in curva e delle definizioni maggiormente utilizzate. Nel

presente paragrafo verr affrontata la trattazione matematica del modello

monotraccia riscontrando dal punto di vista matematico le definizioni di cui si

trattato.

6.1 Equazioni del moto

Facendo riferimento alla figura 8, xOy il sistema di riferimento inerziale, fisso

rispetto alla superficie della strada, con gli assi x e y giacenti su di essa; xGy il

sistema di riferimento mobile (fisso rispetto al veicolo) avente origine nel baricentro.

Fig.8 Sistemi di riferimento.

Le variabili di moto dinteresse sono la velocit longitudinale, u, la velocit

laterale, v, e la velocit dimbardata, r = d /dt. La velocit dimbardata la velocit

angolare del veicolo attorno allasse verticale passante per il baricentro. La somma

vettoriale di u e v fornisce la velocit di percorrenza della traiettoria, V, che

perpendicolare al raggio di curvatura, R.

Langolo tra lasse x e il vettore V langolo dassetto o di deriva del veicolo, .

Nel moto rettilineo = 0 e R infinito.

17

Le componenti di forza e di momento nel sistema di riferimento mobile sono X,

Y e N: X la risultante delle forze longitudinali; Y la risultante delle forze laterali; N

il momento dimbardata risultante.

Dato un qualsiasi vettore A , la sua derivata eseguita nel sistema inerziale

legata alla derivata eseguita nel sistema mobile dalla relazione:

Adt

Ad

dt

Ad

mi

Essendo il vettore velocit angolare del sistema di riferimento mobile rispetto

a quello inerziale. Entrambi i vettori a secondo membro possono essere scomposti

secondo gli assi xyz del sistema mobile. Nel caso in esame il termine )A( risulta:

)jAiA(r

AAA

r00

kji

AAA

kji

Axy

zyxzyx

zyx

Ponendo VA , dalle suddette relazioni si ottengono le componenti del vettore

accelerazione nel sistema di riferimento mobile:

urvVrdt

dVa

vruVrdt

dVa

x

y

y

y

x

x

Pertanto, le equazioni di moto scritte nel sistema di riferimento mobile

divengono:

rJN

)urv(mY

)vru(mX

z

Le equazioni di moto sono equazioni non-lineari nelle velocit u, v ed r. E per

possibile procedere ad una loro linearizzazione al fine di ottenere un modello che

18

permetta di ricavare soluzioni in forma chiusa che, seppure approssimate, abbiano

validit generale.

Si consideri langolo di deriva del veicolo; in condizioni di marcia normale tale

angolo piccolo e la linearizzazione delle sue funzioni trigonometriche sicuramente

accettabile. Pertanto, si ricava:

V)(sinVv

V)cos(Vu

Di conseguenza, le equazioni di moto possono essere scritte nella seguente

forma:

rJN

Vm)r(VmY

)VrV(mX

z

La velocit V pu essere considerata come una funzione nota. Ci corrisponde a

studiare il moto del veicolo a velocit imposta, assumendo la trazione necessaria ad

ottenere la velocit desiderata come incognita relativa al grado di libert x.

Se si trascura linterazione tra le forze longitudinali e trasversali sviluppate dai

pneumatici, la prima equazione risulta disaccoppiata dalle altre e le restanti equazioni

risultano lineari nelle velocit v ed r (o in ed r).

In particolare se la velocit V si assume costante (come stato detto al par.1 in

base alla definizione del modello monotraccia), le equazioni del moto risultano:

rJN

)r(VmY

rVmX

z

In questo modo il modello ha effettivamente due gradi di libert, che sono le

leggi temporali incognite di (t) ed r(t) (o di v(t) ed r(t)).

19

6.2 Angoli di deriva delle ruote

Gli angoli di deriva delle ruote possono essere espressi in modo semplice in

funzione delle variabili del moto. Facendo riferimento alla figura 9, detto Pi il centro

dellorma di contatto della ruota i-esima (per i=A ruota anteriore, per i=P ruota

posteriore) la velocit VPi di tale punto data dalla relazione:

rxv

u)GP(rVV

i

iPi

Langolo i vale pertanto:

V

rxv

u

vtanarc i

i

i

i

Fig.9 Sistema di riferimento per il calcolo degli angoli di deriva.

20

Detto i langolo di sterzo della ruota i-esima, langolo di deriva i risulta:

i

i

iiir

V

x

V

v

In definitiva, considerando nullo langolo di sterzo della ruota posteriore, si

ottiene:

V

rb

V

ra

P

A

Sottraendo membro a membro le suddette relazioni e ricordando che il rapporto

V/r = R si ottiene il legame introdotto nel par.4 tra angoli di sterzo e angoli di deriva:

)( PAR

l

con:

R>0 per curva a sinistra;

R

21

Il momento risultante, N, attorno allasse verticale passante per il baricentro vale:

APAPA

PAPPAAPA

CarCbCaV

CbCaN

bV

rbCa

V

raCbCaCbYaYN

221

La forza laterale Y e il momento N sono funzioni lineari di , r e , pertanto,

possono essere poste nella seguente forma:

NrNNN

rr

NNN

YrYYY

rr

YYY

r

r

I termini Y , Yr, Y , N , Nr e N prendono il nome di derivate di stabilit e

assumono le seguenti espressioni:

A

PAr

PA

A

PAr

PA

CaN

CbCaV

N

CbaCN

CY

CbCaV

Y

CCY

221

1

22

6.4 Espressione finale delle equazioni del moto

In definitiva, le equazioni del moto relative alle traslazioni lungo lasse y e alle

rotazioni attorno allasse z risultano:

rJNrNN

Vm)r(VmYrYY

zr

r

Le due variabili che sono state scelte per descrivere il moto, langolo di deriva

e la velocit dimbardata r, compaiono nelle equazioni del moto insieme alle loro

derivate prime. Langolo di sterzo la variabile imposta.

6.5 Risposta a regime allazione dello sterzo

Nel moto a regime le derivate che compaiono nelle equazioni del moto sono

nulle, il raggio di curvatura R costante e la velocit angolare dimbardata fornita

dallovvia relazione:

R

Vr

Le equazioni del moto risultano pertanto:

0NR

VNN

R

VmY

R

VYY

r

2

r

Nellanalisi del moto a regime vengono prese in considerazione le seguenti

risposte caratteristiche:

Risposta di curvatura, definita come (1/R)/

Risposta di velocit dimbardata, definita come r/

Risposta di accelerazione laterale, definita come ay/ = (V2/R)/

Risposta di angolo dassetto, definita come /

23

Per ricavare le suddette risposte sufficiente ricavare langolo da una delle due

equazioni e sostituirlo nellaltra. Di seguito vengono riportati i risultati di tale

operazione, omettendo per brevit i passaggi:

Q

VmYNNY

Q

YNNYVRV

Q

YNNYr

QV

YNNYR

rr

2

1

essendo:

rr NYVmNYNQ

Per evidenziare i differenti comportamenti di cui si discusso nei precedenti

paragrafi (neutro, sottosterzante, sovrasterzante), le risposte vengono riscritte nella

seguente forma:

YNNY

VmN

YNNY

NYYNV

1

NYVmNYNV

YNNYR12

rrrr

Sostituendo i valori delle derivate di stabilit nel primo dei due termini a

denominatore risulta:

lbaYNNY

NYYNVrr

24

Pertanto la risposta di curvatura a regime diventa:

2

2

VNYYNl

Nm1

l1

YNNY

VmNl

1R1

Il termine:

NYYNl

NmK

prende il nome di fattore di stabilit.

Le risposte possono pertanto essere riscritte in funzione del fattore di stabilit K:

2

2y

2

2

VK1

lVa

VK1

lVr

VK1

l1R1

Il fattore di stabilit dipende dalle derivate di stabilit, che in questo modello

semplificato sono indipendenti dalla velocit (K = cost.). In modelli matematici pi

complessi il fattore K pu risultare dipendente dalla velocit (per esempio, quando

vengono considerate le forze aerodinamiche).

Nel caso di K costante, esso pu risultare positivo, negativo o nullo. Il segno di K

determina il comportamento del veicolo in campo lineare:

K < 0 Veicolo sovrasterzante

K = 0 Veicolo neutro

K > 0 Veicolo sottosterzante

25

Per esempio, se il fattore K risulta nullo le risposte divengono:

l

Vr

l

1R1

Nel caso in cui K = 0 il comportamento del veicolo neutro, in quanto, per un

dato angolo di sterzo la traiettoria percorsa dal veicolo a regime quella

corrispondente allangolo di Ackermann (R = l/ ).

Esplicitando le derivate di stabilit il fattore K, per il modello semplificato in

esame risulta:

AP

PAPAAPAA

PACaCb

CCl

m

CCCalCbCaCl

CbCam

NYYNl

NmK

2

e quindi:

12

A

P

P Ca

Cb

Cl

amK

Il segno di K dipende dal rapporto A

P

Ca

Cb:

Per 1Ca

Cb

A

P K > 0 veicolo sottosterzante

Per 1Ca

Cb

A

P K = 0 veicolo neutro

Per 1Ca

Cb

A

P K < 0 veicolo sovrasterzante

Si fa notare che si ritrovano le stesse relazioni discusse nei precedenti paragrafi.

Nella seguente figura riportato landamento della risposta di curvatura, 1/R , al

variare della velocit, per K positivo, nullo e negativo.

26

Fig.10 Andamento della risposta di curvatura al variare

della velocit e del fattore di stabilit.

Nel paragrafo 6.2 sono state ricavate le relazioni che esprimono gli angoli di

deriva anteriore e posteriore:

V

rb

V

ra

P

A

Valutiamo adesso la loro differenza:

V

rlPA

Esplicitando in si ottiene:

PAR

l

Uguagliando tale espressione con quella ottenuta dalla risposta di curvatura in

funzione del fattore di stabilit K, si ricava:

R

VKl

R

l

R

l 2

PA

E in definitiva:

R

VKl

2

PA

27

Si pu, pertanto, esprimere il gradiente di sottosterzo/sovrasterzo, UG, (definito

nel par.5) in funzione del fattore di stabilit:

2msradlKda

dUG

y

PA

Ovvero nella pi consueta unit di misura:

gdegglK180

UG

7. Lanalisi sperimentale del moto in curva a regime

Lanalisi sperimentale del moto in curva a regime viene effettuata secondo le

normative ISO vigenti, che fissano le modalit delle prove. I due test di prova utilizzati

sono: il test a raggio costante e velocit variabile e il test a velocit costante (in pratica

ad apertura di farfalla costante) e a raggio variabile.

La prova a raggio costante, detta anche steering-pad, viene effettuata nel

seguente modo:

si traccia sullasfalto del piazzale di prova un cerchio di dato raggio

(solitamente 40 m o 100 m);

scelto il raggio di riferimento si inserisce il veicolo sulla traiettoria voluta a

bassa velocit;

si aumenta la velocit gradualmente in modo da passare per successive

condizioni di moto a regime, agendo contemporaneamente sul volante per

mantenere il veicolo sulla traiettoria voluta;

si prosegue fino al raggiungimento del limite di aderenza, quando il veicolo

non pi controllabile ed esce fuori dalla traiettoria per lo slittamento dei

pneumatici.

La manovra descritta viene ripetuta un certo numero di volte, percorrendo il

cerchio in entrambi i sensi di marcia (almeno tre volte per ciascuna direzione di

marcia). I risultati della prova vengono ottenuti mediando i risultati delle varie

esecuzioni.

28

Nella prova a raggio costante, una delle principali grandezze da misurare

langolo di sterzo richiesto, al variare della velocit, per mantenere il veicolo sulla

traiettoria a raggio costante. Il gradiente di sottosterzo/sovrasterzo fornito dalla

variazione dellangolo di sterzo alle ruote anteriori con laccelerazione laterale, in

quanto in una curva a raggio costante non vi variazione dellangolo di Ackermann.

Infatti, facendo riferimento alle formule dellangolo di sterzo e del gradiente di

sottosterzo/sovrasterzo riportate nei precedenti paragrafi, si ottiene:

y

Ack

yyyy

PA

da

d

da

d

R

l

da

d

da

d

da

dUG

Se il raggio della curva costante, la variazione dellangolo di Ackermann

nulla e, di conseguenza, si ricava:

gda

dUG

y

deg

La precedente formula viene anche espressa utilizzando langolo di sterzo del

volante in luogo dellangolo di sterzo delle ruote. Per passare dallangolo di sterzo alle

ruote allangolo di sterzo al volante sufficiente moltiplicare UG per il rapporto di

sterzo:

gda

dUG

y

steersterwheel deg

In questo tipo di prova, come si detto, la velocit variabile e, di conseguenza,

deve necessariamente variare la trazione per contrastare le resistenze dipendenti dalla

velocit (resistenza al rotolamento e resistenza aerodinamica). La variazione di forza

traente influenza i risultati della prova, modificandoli rispetto a quelli ottenibili in un

test a velocit (trazione) costante.

Altre allangolo di sterzo vengono ricavate numerose altre grandezze dinteresse,

quali: la velocit, laccelerazione laterale, la velocit dimbardata, langolo di assetto,

langolo di rollio.

29

La prova a velocit costante (apertura di farfalla costante) e raggio di curvatura

variabile, detta anche colpo di sterzo, viene effettuata nel seguente modo:

si lancia il veicolo in rettilineo a velocit costante (solitamente 100 km/h);

senza modificare la posizione dellacceleratore, si effettua un colpo di sterzo

di una certa entit con velocit angolare di azionamento del volante non

inferiore a 200 deg/s;

si mantiene lo sterzo ruotato per il tempo necessario al raggiungimento delle

condizioni di regime (circa 3 s), quindi si rilascia il volante valutando il

riallineamento spontaneo del veicolo;

si arresta il veicolo dopo il ritorno in rettilineo.

La manovra descritta viene eseguita a diversi valori dellangolo di volante,

partendo dai valori pi piccoli e crescendo gradualmente fino al valore limite, per il

quali si ha lo slittamento dei pneumatici e la vettura non in grado di riallinearsi al

termine della manovra. La manovra deve essere ripetuta un certo numero di volte per

ogni valore dellangolo di volante e in entrambe le direzioni.

Durante la prova a velocit costante, il raggio di curvatura varia al variare

dellangolo di volante e il gradiente di sottosterzo/sovrasterzo si ottiene sottraendo alla

variazione dellangolo di sterzo con laccelerazione laterale, la variazione dellangolo

di Ackermann con essa:

gV

gl

da

dUG

V

gl

V

gal

da

d

R

l

da

d

da

d

da

d

da

d

R

l

da

d

da

d

da

dUG

y

y

yyy

Ack

y

Ack

yyyy

PA

deg2

22

Nelle seguenti figure vengono riportati alcuni dei risultati ottenibili dalle suddette

prove.

30

Fig.11 Prove di risposta a regime.

Fig.12 Risultati di una prova a velocit costante.

31

Altri risultati tipici che vengono solitamente ottenuti dalle prove a regime sono:

il gradiente di rollio, che esprime la variazione dellangolo di rollio con

laccelerazione laterale, in deg/g;

il gradiente di assetto, che esprime la variazione dellangolo dassetto con

laccelerazione laterale, in deg/g;

la sensibilit del volante, che esprime la variazione dellaccelerazione laterale

con la variazione dellangolo volante:

gdeg/

V

glUG

1

d

dA

2volvol

y

Allapprossimarsi al limite di tenuta laterale del veicolo la sensibilit del volante

decresce fino ad annullarsi, come mostrato nella seguente figura.

Fig.13 Variazione della sensibilit del volante con

laccelerazione laterale.

32

6.6 Risposta in transitorio allazione dello sterzo

Per il calcolo della risposta durante il transitorio occorre integrare le equazioni

differenziali del moto:

rJNrNN

Vm)r(VmYrYY

zr

r

Ritenendo costante la velocit V le equazioni diventano:

rJNrNN

VrmVmYrYY

zr

r

Una semplificazione del problema pu essere effettuata osservando che il

termine compare non derivato nella seconda espressione e pu, pertanto, essere

ricavato in funzione di r e :

N

NrNrJ rz

Sostituendo nella prima espressione il sistema pu essere riscritto nel seguente

modo:

TSrUrQrP

TSUQP

essendo:

mV

NYNYNU

mV

YJNQ

JP

rr

z

r

z

NT

mV

YJT

mV

NYNYS

mV

NYNYNS

z

rr

Per il modello semplificato risulta:

2

2

22

mV

CClbCaCU

mV

CCJCbCaQ

JP

PAPA

PAzPA

z

33

Le equazioni differenziali che descrivono il moto in b o r sono analoghe a quelle

di un sistema massa-molla-smorzatore ad un grado di libert in cui:

P analogo alla massa;

Q analogo allo smorzamento;

U analogo alla rigidezza.

E pertanto possibile definire:

la pulsazione naturale del sistema:

z

rr

nJ

mV

NYNYN

P

U

lo smorzamento adimensionale:

P

Q

Q

Q

c 02

la pulsazione propria:

21 hn

La risposta dinamica del veicolo ad un input di sterzo impulsivo (come un colpo

di sterzo) sar dunque determinata dai valori che assumono la pulsazione naturale e lo

smorzamento adimensionale. Nel seguente diagramma si riportano le risposte

adimensionalizzate ad un input di sterzo impulsivo al variare dello smorzamento

adimensionale.

Al crescere della pulsazione naturale e dello smorzamento adimensionale

aumenta la rapidit di risposta del veicolo, ovvero si riduce il tempo necessario a

giungere alla condizione di regime ed il picco di minore entit.

34

Fig.14 Risposta adimensionalizzata ad un input di sterzo impulsivo.

Ponendo 2kmJ z per il modello semplificato si ottiene:

2222

2

km

CbCa

Vkm

lCC PAPAn

Ovvero, in funzione del fattore di stabilit K:

2

2

22

21

V

VK

km

lCC PAn

Al crescere del rapporto 2m

CC PA aumenta la rapidit di risposta:

Tipo di veicolo 2m

CC PA [m2/sec

4]

Berlina station-wagon 1.44 103

Piccola vettura sportiva 4.13 103

Grande vettura sportiva 9 103

Vettura F1 (9 19) 104

35

Al crescere del rapporto 2

2

k

l che indica la distribuzione della massa lungo il

passo cresce la rapidit di risposta

Tipo di veicolo

2

2

k

l

Berlina station-wagon 3

Piccola vettura sportiva 5

Vettura F1 7.5

Il termine 2

21

V

VKdetermina linfluenza del comportamento del veicolo

(neutro, sovrasterzante, sottosterzante) sulla risposta dinamica in transitorio.

Inoltre, allaumentare della velocit la pulsazione decresce.

Dallespressione dello smorzamento adimensionale:

Vkm

CCkmCbCam PAPAn 22

222

2

si pu osservare che un veicolo neutro perfettamente bilanciato

PA

2

CC

ba

k

ba

1

presenta =1 qualunque sia velocit.

Il moto sempre criticamente smorzato ed il tempo per raggiungere la

condizione di regime il minore possibile.

Un veicolo sottosterzante caratterizzato da < 1 e la risposta sempre

oscillante; mentre un veicolo sovrasterzante ha > 1 e la risposta non oscillante

(sistema ipercritico) ma meno rapida rispetto al veicolo neutro.

36

6.7 Risposta ad una manovra di colpo sterzo

Si riporta di seguito il diagramma caratteristico di una risposta ad una manovra di

colpo di sterzo.

Fig.15 Risposta tipica in una manovra di colpo di sterzo (veicolo sottosterzante).

Per ciascuna delle risposte analizzate, quali velocit di imbardata, accelerazione

laterale, angolo di assetto e angolo di rollio, gli output caratteristici sono:

il tempo di risposta al 50 % di livello dellinput;

il valore della grandezza a T50%;

il tempo per il raggiungimento del picco Tmax;

il valore della grandezza a Tmax;

il tempo per il raggiungimento del 90% del valore di regime;

il valore della grandezza a T90%;

il valore della grandezza a regime.

37

Fig.15 Risposte reali a differenti colpi di sterzo (veicolo sottosterzante).