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Simulazione Prova Esame di Maturità di Matematica per Liceo Scientifico

Soluzione a cura di Nicola De Rosa

SIMULAZIONE PROVA ESAME DI MATURITA’ PER LICEO SCIENTIFICO

Prova di Matematica

PROBLEMA1

Sia data la funzione ( ) 232 +−⋅= −xxexf

x

1. Studiare la funzione ( )xf determinando la natura eventuali punti di non derivabilità,

estremanti e flessi;

2. Determinare la tangente e la normale nel punto ( )2,0S . Cosa si può dire della tangente al

grafico di ( )xf nel punto S?

3. Trovare l’equazione della circonferenza passante per l’origine, per il punto ( )0,1A ed avente

centro C nel punto medio di questi ultimi

4. Determinare i punti di intersezione tra l’equazione della circonferenza e la normale e

calcolare le aree in cui la normale divide la circonferenza. Cosa si può dire delle due aree?

PROBLEMA2

Sia dato il rettangolo ABCD, il cui lato maggiore misura a, si tracci da B la perpendicolare alla retta

AC; siano H e K i punti in cui questa interseca rispettivamente la retta AC e la retta AD. Si

consideri quindi la piramide che ha per base il quadrilatero HDKC ed altezza 6HK.

1. Si determini l’espressione del volume della piramide in funzione di BHx = ;

2. Considerando a=1, si studi e si disegni la funzione ottenuta al punto precedente;

3. Tramite uno dei metodi numerici studiati, si dia un’approssimazione del punto Q di

intersezione tra la curva e la retta r di equazione 094 =−y ;

4. Si calcoli l’area della regione di piano compresa tra la curva, l’asse x e la retta r

QUESTIONARIO

1. Sono date le funzioni ( ) ( ) xxgxf

x

3log,3

1=

= . Determinare dominio e codominio di

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]xfgxgfxgxf ,,,

2. Trovare due numeri reali positivi la cui somma è k e per i quali il prodotto del quadrato

dell’uno per la radice quadrata dell’altro è massimo.



3. Sia data la funzione ( )( )

≥+

<=

0 se 1ln

0 se sin

xx

xxxf . Calcolare il dominio e verificare se è continua

e derivabile in ogni punto del dominio.

4. Calcolare il limite per 0→x di ( ) ( )xxxf1

sin1+= . Cosa si può dire del punto 0=x ?

5. Il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione f(x) è, in ogni suo punto

P, uguale al triplo del quadrato del logaritmo naturale dell’ascissa di P. Si determini f(x),

sapendo che il grafico passa per il punto A( 4e ; 0).

6. Si calcoli il volume del solido generato in una rotazione completa attorno all’asse delle x

della regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione xexy ⋅= e dall’asse stesso

nell’intervallo 20 ≤≤ x

7. In un deposito di materiale elettrico vi sono due scatole di lampadine: la scatola A ne

contiene 1000 di cui il 10% sono difettose mentre la scatola B ne contiene 2000 di cui il 5%

sono difettose. Due lampadine vengono estratte da una scatola scelta a caso.

a. Calcolare la probabilità che entrambe le lampadine siano difettose.

b. Nel caso che siano entrambe difettose, calcolare la probabilità che siano state estratte dalla

scatola A.

8. Determinare gli asintoti della funzione 1

3

−=x

xy

9. Data la funzione ( ) ( )dttxg

xx

∫+

=2

0

arcsin , discuterne il campo di esistenza e la derivabilità

10. Passando per Piazza Garibaldi a Napoli, vi avvicinate ad un banchetto dove si gioca

d’azzardo. Il signor Umberto, proprietario del banchetto, vi propone il seguente gioco da

effettuarsi con due dadi: voi puntate 10 euro, lanciate i dadi, e sulla base del risultato del

lancio ricevete la somma X, secondo la seguente regola:

• se la somma dei risultati ottenuti nei due lanci è minore o uguale a 4 oppure è maggiore o

uguale a 10, X = 0 (cioè perdete i 10 euro puntati);

• in tutti gli altri casi, vincete X = 12 euro.

(a) Supponendo che i dadi siano bilanciati, calcolare la probabilità p di vincere e quella q di

perdere (q + p = 1).

(b) Calcolare il valor medio della somma ricevuta, mostrando in particolare che il gioco non

è equo, nel senso che E(X) < 10 euro.

(c) Calcolare quale vincita (invece di 12 euro) dovrebbe promettervi il signor Umberto

affinché il gioco sia equo, nel senso specificato al punto (b).



PROBLEMA1

Punto 1

Sia data la funzione ( ) 232 +−⋅= −xxexf

x

Studiare la funzione ( )xf determinando la natura eventuali punti di non derivabilità,

estremanti e flessi;

• Dominio: ( ] [ )+∞∪∞−∈⇔≥+− ,21,:023: 2 xDxxD ff ;

• Intersezione asse ascisse: ( ) 210230 2 =∨=→=+−→= xxxxxf ;

• Intersezione asse ordinate: ( ) 200 =→= fx ;

• Simmetrie: la funzione non è nè pari nè dispari;

• Positività: all’interno del dominio ( ] [ )+∞∪∞−∈ ,21,: xD f la funzione è non negativa, in

particolare sempre positiva e si annulla solo nel punto ad asicssa 21 =∨= xx ;

• Asintoti verticali: ( ) ( ) 0lim,0lim21

==+− →→xfxf

xx per cui non vi sono asintoti verticali;

• Asintoti orizzontali: bisogna calcolare ( )xfx ±∞→lim ; iniziamo a calcolare il limite per +∞→x :

in questo caso, poichè xx = , il limite diventa ( )

+−=

+∞→+∞→ xxx e

xxxf

23limlim

2

e

applicando il teorema di De L’Hospital ritroviamo

( )

�

;011

231

1

2

32lim

2312

32lim

2312

32lim

232

32limlim

1

2

1

2

se

2

2

=∞+

=

⋅

+−

⋅

−=

+−⋅

−

→

+−⋅

−=

+−⋅

−=

+∞→

→→

+∞→+∞→

+∞→=

+∞→+∞→+∞→

xxx

x

xxx

xxxxx

e

xx

x

x

xxxe

x

xxxe

x

xxe

xxf

��

analogamente per −∞→x ( )

+−=

−−∞→−∞→ xxx e

xxxf

23limlim

2

e applicando il teorema di De

-



L’Hospital ritroviamo

( )

�

;011

231

1

2

32lim

2312

32lim

2312

32lim

232

32limlim

1

2

1

2

se

2

2

=∞+

=

⋅

+−

⋅

−=

+−⋅

−

→

+−⋅

−−=

+−⋅

−−=

+∞→

−

→→

−∞→−

−∞→

−∞→−=

−−∞→−−∞→−∞→

xxx

x

xxx

xxxxx

e

xx

x

x

xxxe

x

xxxe

x

xxe

xxf

��

;

di conseguenza la retta 0=y è asintoto orizzontale destro e sinistro;

• Asintoti obliqui: se esistono hanno equazione qmxy += con

( ) ( )[ ]mxxfqx

xfm

xx−==

±∞→±∞→lim,lim ; calcoliamo il coefficiente angolare m per +∞→x :

01

231

lim

231

lim23

lim222

=⋅=

/

+−⋅/⋅=

+−⋅⋅

=

+−⋅= ∞−

−

+∞→

−

+∞→

−

+∞→e

x

xxxe

x

xxxe

x

xxem

x

x

x

x

x

x

Analogamente per −∞→x

01

231

lim

231

lim23

lim222

=⋅−=

/

+−⋅/⋅−=

+−⋅⋅

=

+−⋅= ∞−

−∞→

−

−∞→

−

−∞→e

x

xxxe

x

xxxe

x

xxem

x

x

x

x

x

x

Quindi non vi sono asintoti obliqui;

• Crescenza e decrescenza: la funzione ( ) 232 +−⋅= −xxexf

x, considerando il dominio

( ] [ )+∞∪∞−∈ ,21,: xD f può essere riscritta nel seguente modo:

( )

<+−⋅

≥∨≤≤+−⋅=

−

0 se 23

210 se 23

2

2

xxxe

xxxxexf

x

x

e la derivata prima è

( )

( )

( )

<+−

+−⋅

>∨<≤+−

−+−⋅

=

−

0 se 232

142

210 se 232

782

'

2

2

2

2

xxx

xxe

xxxx

xxe

xfx

x

;

� studiamo il segno della derivata prima nell’unione dei due intervalli [ ] [ )+∞∪ ,21,0 :

( )2

222

210

07820

2

+<≤→

≥∨≤≤

<+−→> x

xx

xxxf per cui la funzione è strettamente



crescente in

+

2

22,2 e strettamente decrescente in ( )

+∞+∪ ,

2

221,0 per cui

2

22 +=Mx è l’ascissa di massimo;

� studiamo il segno della derivata prima nell’intervallo ( )0,∞− :

( ) 00

01420

2

<→

<

>+−→> x

x

xxxf per cui la funzione è strettamente crescente in

( )0,∞− ;

In conclusione la funzione è strettamente crescente in ( )

+∪∞−

2

22,20, e

strettamente decrescente in ( )

+∞+∪ ,

2

221,0 e presenta un massimo relativo

all’ascissa 2

22 +=Mx .

Dall’espressione della derivata prima deduciamo che 0=x è un punto angoloso in

quanto

( ) ( )

( ) ( )4

2

232

142lim'lim

,4

27

232

782lim'lim

2

2

00

2

2

00

=

+−

+−⋅=

−=

+−

−+−⋅=

−−

++

→→

−

→→

xx

xxexf

xx

xxexf

x

xx

x

xx

e deduciamo anche che i punti ( ) ( )0,2,0,1 sono flessi a tangente verticale in quanto

( ) ( )

( ) ( )−∞=

+−

−+−⋅=

+∞=

+−

−+−⋅=

−

→→

−

→→

−−

++

232

782lim'lim

,232

782lim'lim

2

2

11

2

2

22

xx

xxexf

xx

xxexf

x

xx

x

xx

• Concavità e convessità: la derivata seconda è

( )

( )( )

( )( )

<+−

−++−⋅

>∨<≤+−

+−+−⋅

=

−

0 se

234

9416164

210 se

234

3910088324

''

32

234

32

234

x

xx

xxxxe

xx

xx

xxxxe

xfx

x



Poichè in ( )0,∞− la funzione è strettamente crescente non vi saranno flessi al suo interno;

eventuali flessi vanno ricercati in ( )

+∞+∪ ,

2

221,0 .

La presenza dell’asintoto orizzontale 0=y e del massimo all’ascissa 2

22 +=Mx implica

certamente la presenza di un flesso all’ascissa 2

22

1+>Fx ; in particolare, posto

( ) 3910088324 234 +−+−= xxxxxg , poichè ( ) ( ) 04,03 <> gg l’ascissa del flesso

apparterrà all’intervallo ( )4,3 e per calcolarlo ci avvaliamo del metodo di Newton-Raphson

che permette di calcolare ricorsivamente lo zero tramite la formula ( )( )nn

nnxg

xgxx

'1 −=+ con

punto iniziale 40 =x in quanto ( )0xg e ( )0'' xg sono concordi. La tabella seguente mostra

tutti i passi dell’algoritmo:

n xn xn+1 err=|xn-xn-1|

0 4,000 3,750

1 3,750 3,657 0,250

2 3,657 3,644 0,093

3 3,644 3,643 0,013

4 3,643 3,643 0,001

Quindi con due cifre decimali esatte possiamo affermare che 2

2264,3

1+>≅Fx .

Analogamente poichè 010

9,0

2

1<

>

gg l’ascissa del secondo flesso apparterrà all’intervallo

10

9,

2

1 e per calcolarlo ci avvaliamo del metodo di Newton-Raphson che permette di calcolare

ricorsivamente lo zero tramite la formula ( )( )nn

nnxg

xgxx

'1 −=+ con punto iniziale

2

10 =x in

quanto ( )0xg e ( )0'' xg sono concordi. La tabella seguente mostra tutti i passi dell’algoritmo:


0 0,500 0,713

1 0,713 0,820 0,213

2 0,820 0,849 0,107

3 0,849 0,852 0,029

4 0,852 0,852 0,003



Quindi con due cifre decimali esatte possiamo affermare che il secondo flesso si trova

all’ascissa 85,02≅Fx .

Di seguito il grafico:

Punto 2

Determinare la tangente e la normale nel punto ( )2,0S . Cosa si può dire della tangente al

grafico di ( )xf nel punto S?

Come mostrato nel Punto 1, il punto ( )2,0S è un punto di non derivabilità e in particolare un

punto angoloso, pertanto non ha senso parlare di tangente ad ( )2,0S , ma di tangente a destra e

sinistra di ( )2,0S . Sempre nel punto 1 abbiamo calcolato le pendenze delle tangenti in ( )2,0S e

in particolare 4

2,

4

27=−= −+ mm per cui le tangenti a destra e sinistra avranno equazioni

rispettivamente:

24

22:

24

272:

+=+=

+−=+=

−−

++

xxmyt

xxmyt



Analogamente esisteranno due normali dove per normale in un punto P per definizione si intende

l’equazione della retta perpendicolare alla retta tangente in P. Calcoliamo le normali alle rette

tangenti a destra e sinistra di ( )2,0S :

22221

:

27

222

1:

+−=+−=

+=+−=

−−

++

xxm

yn

xxm

yn

Punto 3

Trovare l’equazione della circonferenza passante per l’origine, per il punto ( )0,1A ed avente

centro C nel punto medio di questi ultimi

Il punto medio tra i due punti ( ) ( )0,1,0,0 AO è

0,

2

1C . L’equazione generica di una circonferenza è

( ) ( ) 222Ryyxx CC =−+− dove ( )CC yx , sono le coordinate del centro e R il raggio che misura

2

1=−=−= CAOC xxxxR ; l’equazione della circonferenza è pertanto

04

1

2

1 222

2

=−+⇔=+

− xyxyx .

Punto 4

Determinare i punti di intersezione tra l’equazione della circonferenza e la normale e

calcolare le aree in cui la normale divide la circonferenza. Cosa si può dire delle due aree?

La normale che interseca la circonferenza è quella sinistra di equazione 222 +−= xy e le

intersezioni di quest’ultima con la circonferenza si calcolano risolvendo l’equazione

( ) 02222

2 =−+−+ xxx e cioè

3

2,

3

1

3

2,

3

2

18

390299 2

==

−==→

±=→=+−

−−

++

±

yx

yx

xxx .

Le intersezioni sono quindi

−

3

2,

3

1,

3

2,

3

2ED .

Di seguito il grafico nello stesso riferimento cartesiano della circonferenza e della normale:



Poichè la normale di equazione 222 +−= xy passa per il centro

0,

2

1C della circonferenza,

essa funge da diametro per cui divide la circonferenza in due parti di uguale area

82

2

21

ππ===

RSS .

PROBLEMA2

Punto 1

Sia dato il rettangolo ABCD, il cui lato maggiore misura a, si tracci da B la perpendicolare

alla retta AC; siano H e K i punti in cui questa interseca rispettivamente la retta AC e la retta

AD. Si consideri quindi la piramide che ha per base il quadrilatero HDKC ed altezza 6HK.

Si determini l’espressione del volume della piramide in funzione di BHx =

Consideriamo la figura seguente:

Simulazione Prova Esame di

Il volume di una piramide è pari a

differenza tra l’area del triangolo AKC e del triangolo ADH,

( ) ( ),2

ADHSDCAK

AKCS =⋅

=

Per il Teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo ABC si ha

AC

ABAHxBHHCAH 22

, ===⋅

( )2

AC

aAC

AC

aAHACAH

−⋅=−⋅

cui


Soluzione a cura di Nicola

Il volume di una piramide è pari a 3

hAV Base

P

⋅= ; nel caso in esame l’area bi base è data dalla

differenza tra l’area del triangolo AKC e del triangolo ADH, (AKCSABase =

2

MHAD ⋅.


AC

a

AC

22

= ; sfruttando queste due relazioni

22

2

42

2

42

2

ACxaAC

ax

AC

aa

AC

a→−=→=−=

di Matematica per Liceo Scientifico


; nel caso in esame l’area bi base è data dalla

) ( )ADHSAKC − dove


sfruttando queste due relazioni si ha

22

2

xa

aAC

−= da



22

2

22

422

22

222

22

2

222

,

,

xa

axa

xa

aABACBC

xa

xxa

xa

aAHACHC

xaAC

aAH

−=−

−=−=

−=−−

−=−=

−==

L’altezza HN del triangolo AHN misura a

x

xa

ax

xa

xx

BC

HCBHHN

2

22

22

2

=

−

−⋅

=⋅

= e di conseguenza

a

xa

a

xaHNABMH

222 −=−=−= ; in tal modo l’area del trinagolo ADH vale

( )222

22

22

22 xaxa

xa

xa

ax

MHADADHS

−=

−⋅

−=⋅

= .

Sempre applicando il Teorema di Euclide al triangolo AHK si ha

( ) ( ) ( ) ( )( )x

xaa

xaa

x

xa

xaa

x

xa

a

xaxa

xa

HMAH

AH

AM

AHAK

22

22

22

22

2

2

22

2

22222

22

22

22−

=−

−=

−

−=

−−−

−=

−==

per cui l’area del triangolo AKC vale ( )

( )( )x

xaaa

x

xaa

DCAKAKCS

222

222

22

−=

⋅−

=⋅

= .

L’altezza della piramide è pari a sei volte la lunghezza di HK:

( ) ( ) ( )x

xaxa

x

xaaAHAKHKh

2222

2

22222 6

666−

=−−−

=−==

In conclusione l’area di base ed il volume della piramide misurano

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )2

2

522

222

322

2

32222222

3

6

2

3

222

x

xax

xa

x

xa

hAxV

x

xaxax

x

xaaADHSAKCSA

Base

P

Base

−=

−⋅

−

=⋅

=

−=

−−

−=−=

con la limitazione geometrica ax ≤<0 .



Punto 2

Considerando a=1, si studi e si disegni la funzione ottenuta al punto precedente

Posto a=1 e 10 ≤< x , studiamo la funzione ( ) ( )2

2

521

x

xxf

−=

• Dominio: ( ]1,0:

10

0

01

:

2

∈⇔

≤<

≠

≥−

xD

x

x

x

D ff ;

• Intersezione asse ascisse: ( ) 10 =→= xxf è l’unica accettabile in quanto 1−=x non

appartiene al dominio;

• Intersezione asse ordinate: non ve ne sono in quanto x=0 non appartiene al dominio;

• Simmetrie: la funzione è pari in quanto ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )xfx

x

x

xxf =

−=

−

−−=−

2

2

52

2

2

52

11;

• Positività: all’interno del dominio ( ]1,0: ∈xD f la funzione è non negativa, in particolare

sempre positiva e si annulla solo nel punto ad asicssa 1=x ;

• Asintoti verticali: ( ) +∞=+→xf

x 0lim per cui la retta di equazione 0=x è asintoto verticale;

• Asintoti orizzontali: non esistono in quanto il dominio ( ]1,0: ∈xD f è limitato;

• Asintoti obliqui: non esistono in quanto il dominio ( ]1,0: ∈xD f è limitato;

• Crescenza e decrescenza: la derivata prima è

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

22

32

4

2

522

2

32

2311221

2

5

'x

xx

x

xxxxx

xf+⋅−

−=−⋅−⋅−⋅−

= ; all’interno del dominio

( ]1,0: ∈xD f la derivata prima risulta essere sempre negativa eccetto in 1=x in cui si

annulla per cui la funzione è strettamente decrescente in (0,1);

• Concavità e convessità: la derivata seconda è ( ) ( )4

242 6361''

x

xxxxf

++⋅−= per cui

all’interno del dominio ( ]1,0: ∈xD f la funzione presenterà sempre concavità verso l’alto e

non vi sono flessi.

Di seguito il grafico:

-

Simulazione Prova Esame di

Punto 3

Tramite uno dei metodi numerici studiati, si dia un’approssimazione del punto Q di

intersezione tra la curva e la retta r di equazione

Dobbiamo risolvere l’equazione

quadrato l’equazione si riduce a

Newton l’equazione risolvente diventa

( 510105116 8642 −+−+− xxxxx

Graficamente notiamo subito che l’intersezione tra la funzione

con la restrizione 10 ≤< x , è unica per cui la soluzione reale

Se non avessimo considerato la restrizione

opposta all’altra in virtù della simmetria pari della funzione


Soluzione a cura di Nicola


intersezione tra la curva e la retta r di equazione 094 =−y ;

Dobbiamo risolvere l’equazione ( )

4

912

2

52

=−

x

x e cioè ( ) 22

52 914 xx =− ; elevando

quadrato l’equazione si riduce a ( ) 452 81116 xx =− e ricordando la quinta potenza del binomio di


) ( ) 160801681 6810410 −+−=→= xxxxgxx

aficamente notiamo subito che l’intersezione tra la funzione ( ) (2

1

x

xxf

−=

è unica per cui la soluzione reale dell’equazione

Se non avessimo considerato la restrizione 10 ≤< x , le radici reali sarebbero state due, l’una

opposta all’altra in virtù della simmetria pari della funzione ( ) ( ).

12

2

52

x

xxf

−=

di Matematica per Liceo Scientifico



; elevando ambo i membri al

e ricordando la quinta potenza del binomio di


0168079 24 =−+ xx .

)2

2

52x

e la retta 4

9=y ,

dell’equazione ( ) 0=xg è una sola.

le radici reali sarebbero state due, l’una



Sempre graficamente notiamo che la soluzione reale positiva si trova nell’intervallo (0,1); in

particolare, essendo ,02

1,0

4

1>

<

gg a norma del teorema degli zeri esiste uno zero

nell’intervallo

2

1,

4

1.

Se non avessimo considerato la restrizione 10 ≤< x , il secondo zero reale, negativo in questo caso,

sarebbe stato interno all’intervallo

−−4

1,

2

1

Di conseguenza le altre 8 radici dell’equazione ( ) 0=xg sono a coppie complesse e coniugate.

Per calcolare lo zero nell’intervallo

2

1,

4

1 ci avvaliamo del metodo di Newton-Raphson che

permette di calcolare ricorsivamente lo zero tramite la formula ( )( )nn

nnxg

xgxx

'1 −=+ con punto

iniziale 2

10 =x in quanto ( )0xg e ( )0'' xg sono concordi. La tabella seguente mostra tutti i passi

dell’algoritmo:


0 0,500 0,481

1 0,481 0,480 0,019

2 0,480 0,480 0,001

Dalla tabella soprastante deduciamo che lo zero appartenente all’intervallo

2

1,

4

1 dell’equazione

( ) 0=xg , con due cifre decimali esatte è .480,0≅α

Analogamente il secondo zero reale, se non avessimo imposto la limitazione geometrica, sarebbe

stato 480,0−≅−= αβ .

Punto 4

Si calcoli l’area della regione di piano compresa tra la curva, l’asse x e la retta r

L’area da calcolare è rappresentata di seguito:



L’area richiesta è pari a ( ) ( )

−

+= ∫1

2

2

521

α

dxx

xRSArea dove ( ) α

4

9=RS

è l’area del rettangolo di

altezza 4

9 e base α ; calcoliamo ora l’integrale indefinito

( )∫

−dx

x

x2

2

521

tramite sosituzione

dttdxtx ⋅=→= cossin :

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) Costtttt

dtt

tt

dtt

ttdt

t

tt

dtt

tttdtt

ttt

dtt

ttdtt

tdtt

t

tdx

x

x

+−−−−=

+−−−=

=

+−

−+

−=

+−

−+=

=

+−+⋅=

+−+−⋅−=

+−+−=−

=⋅⋅−

=−

∫

∫∫

∫∫

∫∫∫∫

cot8

15

2

2sin

32

4sin

sin

1

8

152cos

8

4cos

sin

13

2

2cos12

8

4cos1

sin

13

2

2cos12

4

2sin

sin

13sin2cossin

sin

13sin3cos1sin

sin

13sin3sin

sin

sin1cos

sin

sin11

2

22

2

2

222

2

222

2

24

2

32

2

2

52

2

2

52

Ricordando che ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tttttt 2sin21cossin42cos2sin24sin −⋅== ritornando alla variabile x si

ha:

( ) ( ) ( )

( ) Costxx

xxx

x

xxxxxxxdx

x

x

+−

−−⋅−=

=−

−−−⋅−−⋅−−=−

∫

arcsin8

151

8

9

41

1arcsin

8

151184

32

11

32

2223

2

2

52



per cui

( ) ( ) ( )αα

ααα

π

αα

arcsin8

151

8

9

41

16

15arcsin

8

151

8

9

41

1 32

13

2

1

2

2

52

+

−−⋅−−−=

−

−−⋅−=

−∫ x

x

xxxdx

x

x

In conclusione

QUESTIONARIO

Quesito 1

Sono date le funzioni ( ) ( ) xxgxf

x

3log,3

1=

= . Determinare dominio e codominio di

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]xfgxgfxgxf ,,,

1. La funzione ( )x

xf

=3

1ha come dominio RD = ed ed ha come codiminio

{ }0| >∈= yRyC ;

2. La funzione ( ) xxg 3log= ha come dominio { }0| >∈= xRxD ed ed ha come codiminio

RC = ;

3. La funzione ( )[ ]x

xgfx

x1

3

1

3

13

3

log

log

==

= ha come dominio { }0| >∈= xRxD e come

codiminio { }0| >∈= yRyC ;

4. La funzione ( )[ ] ( ) xxfg x

x

−==

= −3log3

1log 33 ha come dominio RD = e come

codiminio RC =

( ) ( ) ( ) 0,480con arcsin8

151

8

9

41

16

15

4

91 32

1

2

2

52

≅

+

−−⋅−−−=

−

+= ∫ ααα

ααα

πα

α

dxx

xRSArea



Quesito 2

Trovare due numeri reali positivi la cui somma è k e per i quali il prodotto del quadrato

dell’uno per la radice quadrata dell’altro è massimo.

Siano x,y i due numeri tali che y=k-x con 0<x<k; la funzione da massimizzare è

( ) xkxyxxf −⋅=⋅= 22; la derivata prima è ( )

xk

xkx

xk

xxkxxf

−

−=

−−−⋅=

2

54

22'

22

il cui

segno, considerando la restrizione kx <<0 , è:

( )

( )

( ) kxxxk

xkxxf

kxkxk

xkxxf

kxxk

xkxxf

5

400

2

54'

5

40

2

54'

5

400

2

54'

2

2

2

=∨=⇒=−

−=

<<⇒<−

−=

<<⇒>−

−=

Dal segno soprastante deduciamo che la funzione ( ) xkxyxxf −⋅=⋅= 22 è strettamente

crescente in

k

5

4,0 e strettamente decrescente in

kk ,

5

4 per cui il valore che massimizza la

funzione è kx5

4= cui corrisponde

5

ky = .

Quesito 3

Sia data la funzione ( )( )

≥+

<=

0 se 1ln

0 se sin

xx

xxxf . Calcolare il dominio e verificare se è continua e

derivabile in ogni punto del dominio.

Il dominio è RD = ; l’unico punto da controllare per la continuità e derivabilità in tutto il dominio è

0=x . Calcoliamo i limiti a destra e sinistra di 0=x :

( )

( ) ( ) 01ln1lnlim

00sinsinlim

0

0

==+

==

+

−

→

→

x

x

x

x

da cui deduciamo la continuità anche in 0=x , e quindi in tutto RD = .



La derivata prima della funzione è ( )

≥+

<=

0 se 1

1

0 se cos

'x

x

xx

xf ; calcoliamo i limiti a destra e sinistra

di 0=x della derivata prima:

( )

11

1lim

10coscoslim

0

0

=+

==

+

−

→

→

x

x

x

x

da cui deduciamo la derivabilità anche in 0=x , e quindi in tutto RD = .

Quesito 4

Calcolare il limite per 0→x di ( ) ( )xxxf1

sin1+= . Cosa si può dire del punto 0=x ?

Riscriviamo la funzione nel modo seguente ( ) ( )

x

x

x

x

x

xxf

sin

sin

1

1

sin

1

11sin1

+=+= .

Ora per xxx sinsin 0 =→ + mentre per xxx sinsin 0 −=→ −

per cui

( )

�

( ) 1

sin

sin

1

0

sin

sin

1

0

1

0

sin

sin

1

0

sin

sin

1

0

1

0

1

1

sin

1

11lim

sin

1

11limsin1lim

sin

1

11lim

sin

1

11limsin1lim

−

−

→

−

→→→

→

→→→

=

−+=

+=+

=

+=

+=+

−→

+−−

→

+++

e

xx

x

e

xx

x

x

x

e

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

e

x

x

x

x

x

x

x

x

��

��

��

In conclusione i limiti destro e sinistro sono differenti ma finiti per cui 0=x è un punto di

discontinuità di prima specie con salto di discontinuità 1−−=∆ ee .



Quesito 5

Il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione f(x) è, in ogni suo punto

P, uguale al triplo del quadrato del logaritmo naturale dell’ascissa di P. Si determini f(x),

sapendo che il grafico passa per il punto A( 4e ; 0).

Il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione ( )xf in ogni suo punto è la

derivata ( )xf ' , per cui la soluzione del quesito si riconduce alla risoluzione seguente problema di

Cauchy del primo ordine:

( )( )

=

=

0

ln3'

4

2

ef

xxf

L’equazione differenziale ( ) xxf 2ln3' = si risolve integrando ambo i membri e sfruttando

l’integrazione per parti:

( ) Kxxxxxdxxxxxdxxxxdxxxf ++−=+−=−== ∫∫∫ 6ln6ln36ln6ln3ln6ln3ln3 2222 .

Imponendo la condizione iniziale ( ) 04 =ef si ricava

4444444424 3006244806ln6ln3 eKKeeeKeeeee −=→=++−→=++− da cui

( ) 42 306ln6ln3 exxxxxxf −+−=

Quesito 6

Si calcoli il volume del solido generato in una rotazione completa attorno all’asse delle x della

regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione xexy ⋅= e dall’asse stesso

nell’intervallo 20 ≤≤ x

Il volume richiesto a norma del teorema di Guldino è pari a dxexV x∫=2

0

22π e sfruttando

l’integrazione per parti si ha

ππ

ππππ

ππππππ

−=

⋅−

+−=

=

+−=

+

−

=

=+

−

=−

== ∫∫∫

4

15

4

11

4

112

4

1

22422

2222

44

2

0

22

2

0

22

0

22

0

22

2

0

22

0

22

0

222

0

2

2

0

222

0

22

ee

xxe

exeex

dxexeex

dxxeex

dxexV

xxxx

xxxx

xx



Quesito 7

In un deposito di materiale elettrico vi sono due scatole di lampadine: la scatola A ne contiene

1000 di cui il 10% sono difettose mentre la scatola B ne contiene 2000 di cui il 5% sono

difettose. Due lampadine vengono estratte da una scatola scelta a caso.

a. Calcolare la probabilità che entrambe le lampadine siano difettose.

b. Nel caso che siano entrambe difettose, calcolare la probabilità che siano state estratte dalla

scatola A.

1) Applichiamo la legge della probabilità totale:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BPBDDPAPADDPDDP |,|,, 212121 += .

Calcoliamo ora le probabilità condizionate:

( )

( )39980

99

1999

99

2000

100|,

9990

99

999

99

1000

100|,

21

21

=⋅=

=⋅=

BDDP

ADDP

e quindi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 006,02

1

39980

99

2

1

9990

99|,|,, 212121 ≅⋅+⋅=+= BPBDDPAPADDPDDP

2) Applichiamo la legge di Bayes:

( ) ( ) ( )( )

8,0

2

1

39980

99

2

1

9990

992

1

9990

99

,

|,,|

21

2121 ≅

⋅+⋅

⋅==

DDP

APADDPDDAP

Quesito 8

Determinare gli asintoti della funzione 1

3

−=x

xy

Il dominio della funzione è ( ] ( )+∞∪∞−∈⇔

≠

≥− ,10,:

1

01:

3

xD

x

x

x

D ff



1) Gli asintoti verticali vanno ricercati nei punti di discontinuità; in aprticolare calcolando il

limite a destra di 1=x si ha +∞==− +→ + 0

1

1lim

3

1 x

x

xper cui 1=x è asintoto verticale

destro. Non ha senso calcolare il limite a sinistra di 1=x in quanto i valori dell’ntervallo

(0,1) non appartengono al dominio;

2) Non esistono asintoti orizzontali in quanto +∞=−

=− ±∞→±∞→ 1

lim1

lim3

x

xx

x

x

xx

3) Gli asintoti obliqui se esistono hanno equazione qmxy += con

( ) ( )[ ]mxxfqx

xfm

xx−==

±∞→±∞→lim,lim . Cominciamo col calcolare l’asintoto obliquo per

+∞→x ; si ha

2

1

11

1lim

11

11

11

lim11

lim1

lim

,11

lim1

lim1

lim1

lim

2

1

3

se

3

=

+−

−=

=

+−

+

−⋅

−

−=

−

−=

−

−=

=−

=/−

/=−=−=

→

→

+∞→

+∞→+∞→+∞→

+∞→+∞→

+∞→=

+∞→+∞→

��x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

xxx

x

xq

x

x

x

x

xx

x

x

xx

x

x

x

m

x

xxx

xx

xxx

xx

quindi 2

1+= xy è asintoto obliquo destro.

Calcoliamo ora l’asintoto obliquo per −∞→x ; si ha



2

1

11

1lim

11

11

11

lim11

lim1

lim

,11

lim1

lim1

lim1

lim

2

1

3

se

3

−=

+−

−−=

=

+−

+

−⋅

−

−−

=

−

−−=

+

−=

−=−

−=/−

/−=−=−=

→

→

−∞→

−∞→−∞→−∞→

−∞→−∞→

−∞→−=

−∞→−∞→

��x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

xxx

x

xq

x

x

x

x

xx

x

x

xx

x

x

x

m

x

xxx

xx

xxx

xx

quindi 2

1−−= xy è asintoto obliquo sinistro.

In conclusione la funzione ammette l’asintoto verticale destro 1=x e due asintoti obliqui 2

1+= xy

e 2

1−−= xy .

Quesito 9

Data la funzione ( ) ( )dttxg

xx

∫+

=2

0

arcsin , discuterne il campo di esistenza e la derivabilità.

La funzione integrale è definita finchè il suo estremo di integrazione variabile è tale che l’intervallo

di integrazione sia tutto contenuto nel dominio della funzione integranda: nel nostro caso,

ricordando che il dominio della funzione ( )[ ]xharcsin è ( ) 11 ≤≤− xh , deve aversi 11 2 ≤+≤− xx e

cioè

2

51

2

51

2

51

2

5101

01

2

2 +−≤≤

−−→

+−≤≤

−−

∈

→

≤−+

≥++x

x

Rx

xx

xx che coincide quindi col

dominio della funzione integrale ( )xg .

Per quanto concerne la derivata, trattasi della derivata di una funzione composta:



( )( )

( )

( )[ ] ( ) ( ) ( )xxxxfxfdx

df

df

dttd

xg

xf

+⋅+=⋅=⋅=∫

20 arcsin12'arcsin

arcsin

' per cui all’interno del

dominio 2

51

2

51 +−≤≤

−−x la funzione integrale ( )xg è sempre derivabile.

Quesito 10

Passando per Piazza Garibaldi a Napoli, vi avvicinate ad un banchetto dove si gioca

d’azzardo. Il signor Umberto, proprietario del banchetto, vi propone il seguente gioco da

effettuarsi con due dadi: voi puntate 10 euro, lanciate i dadi, e sulla base del risultato del

lancio ricevete la somma X, secondo la seguente regola:

• se la somma dei risultati ottenuti nei due lanci è minore o uguale a 4 oppure è maggiore o

uguale a 10, X = 0 (cioè perdete i 10 euro puntati);

• in tutti gli altri casi, vincete X = 12 euro.

(a) Supponendo che i dadi siano bilanciati, calcolare la probabilità p di vincere e quella q di

perdere (q + p = 1).

(b) Calcolare il valor medio della somma ricevuta, mostrando in particolare che il gioco non è

equo, nel senso che E(X) < 10 euro.

(c) Calcolare quale vincita (invece di 12 euro) dovrebbe promettervi il signor Umberto

affinché il gioco sia equo, nel senso specificato al punto (b).

a) La probabilità di perdere è ( )10 somma o 4sommaPr ≥≤=q ; le possibili coppie di risultati

dovute al lancio di due dati sono 36 ( )66 ⋅ e le coppie che forniscono una somma sia minore

o uguale a quattro sono 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1,3,2,2,1,2,3,1,2,1,1,1 così come sono 6 le coppie che

forniscono una somma sia maggiore o uguale a dieci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )6,6,5,6,4,6,6,5,5,5,6,4 per

cui ( ) ( ) ( )3

1

36

6

36

610 sommaPr4sommaPr10 somma o 4sommaPr =+=≥+≤=≥≤=q ; di

conseguenza la probabilità di vincere è 3

21 =−= qp ;

b) La somma X ricevuta è una variabile aleatoria discreta binaria che vale 0 euro con

probabilità 1/3, e 12 euro con probabilità 2/3. La media quindi vale

[ ] euro 83

212

3

10 =⋅+⋅=XE che è inferiore alla puntata di 10 euro;



c) Affinchè il gioco sia equo, detta Y la vincita, deve aversi

[ ] euro 15euro 103

2=⇒=⋅= YYXE .

SIMULAZIONE PROVA ESAME DI MATURITA’ PER LICEO … · Simulazione Prova Esame di Maturità di...

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