Simmetria centraleConsideriamo il punto A,estremo del segmento AB ed M, punto medio di AB. Conosciamo il punto A di coordinate );( AA yxA e il punto M di

coordinate

++

2;

2BABA yyxx

M , vogliamo

determinare le coordinate di B. Il punto B si troverà rispetto ad A, dalla parte opposta di M, e alla medesima distanza di A da M.M e' centro di simmetria tra A e B, cioè B è il simmetrico di A rispetto ad M.Le equazioni di una simmetria centrale si possono quindi dedurre dalle equazioni per determinare il punto medio di un segmento.

−=−=

⇒

+=+=

⇒

+=

+=

AMB

AMB

ABM

ABM

ABM

ABM

yyy

xxx

yyy

xxx

yyy

xxx

2

2

2

2

2

2

GeneralizziamoDato un punto A e un centro O di simmetria si può determinare il simmetrico di A rispetto ad O, tramite le equazioni di una simmetria centrale:

−=−=

⇒→AOA

AOAS

yyy

xxxAA O

2

2'

'

'

TraslazioneDimostrazione: Consideriamo un sistema di assi cartesiani xOy, un punto P di coordinate ),( PP yx e un punto O’ di coordinate (a,b).

Trasliamo l’ origine O del sistema di assi cartesiani in O’ e otteniamo il sistema x’O’y’.Determiniamo le coordinate di P nel sistema traslato.Osservando la figura possiamo dedurre che:

axx PP −=' e byy PP −=' .Il punto P nel nuovo sistema di assi cartesiani avrà coordinate ),( byax PP −−Le equazioni della traslazione sono:

−=−=

⇒→byy

axxPP

PP

PPO

'

'''τ

Generalizziamo

Se l'origine del nuovo sistema ''Oyx ha,

rispetto al primo, le coordinate ),( baO , valgono le relazioni:

+=+=

→byy

axx

'

' τ o anche

−=−=

→byy

axx

'

' τ

La traslazione di vettore ),( bav è data, quindi, dalle seguenti relazioni

+=+=

→byy

axx

'

' τ