SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI...2 A. IANNIZZOTTO Di alcune serie semplici si riesce a determinare...

SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI

ANTONIO IANNIZZOTTO

Sommario. Definizione di serie numerica convergente, divergente, irregolare. Serie a termini di

segno costante: criterio del confronto, rapporto, radice. Serie a termini di segno alterno: criterio di

Leibniz. Convergenza assoluta. Successioni di funzioni: convergenza puntuale, uniforme, passaggi al

limite. Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme, totale. Serie di potenze. Serie di Taylor.

Queste note sono un mero supporto didattico, senza alcuna pretesa di completezza, originalità o

precisione.

Indice

1. Serie numeriche 1

2. Serie a termini di segno costante 4

3. Serie a termini di segno variabile e convergenza

assoluta 7

4. Successioni di funzioni 10

5. Serie di funzioni 16

6. La serie di Taylor 20

Riferimenti bibliografici 24

Versione del 18 ottobre 2020

1. Serie numeriche

Non c’è un solo fatto che non possa essere il primo di una serie infinita.J.L. Borges

La teoria delle serie numeriche ha lo scopo di estendere l’operazione di somma al caso in cui gliaddendi sono infiniti. Tale estensione è resa possibile dall’operazione di limite (ved. [2]): sia (an)una successione di numeri reali, si definisce la successione delle somme parziali di termine generale

Sk =

k∑n=0

an.

La serie numerica di termine generale an è la successione (Sk), denotata

∞∑n=0

an1.

Definizione 1.1. La serie∑∞

n=0 an è detta

(i) convergente se Sk → S per qualche S ∈ R, e il numero S è detto somma della serie;(ii) divergente positivamente (risp. negativamente) se Sk → +∞ (risp. −∞);

(iii) irregolare se (Sk) è irregolare.

1Secondo la natura dei termini, la serie può cominciare da n = 1, n = 2, etc.

1

2 A. IANNIZZOTTO

Di alcune serie semplici si riesce a determinare non solo il carattere ma anche la somma (nel caso diconvergenza).

Esempio 1.2. La serie di Mengoli è∞∑n=1

1

n(n+ 1).

Per ogni k ∈ N0 si ha

Sk =k∑

n=1

( 1n− 1n+ 1

)= 1− 1

k + 1,

da cui∞∑n=1

1

n(n+ 1)= lim

k

(1− 1

k + 1

)= 1.

L’Esempio 1.2 ricade nel caso generale delle serie telescopiche, ovvero quelle che si possonorappresentare nella forma

∞∑n=0

(bn − bn+1),

dove (bn) è una successione t.c. bn → l. Per ogni k ∈ N0 si haSk = (b0 − b1) + (b1 − b2) + . . .+ (bn − bn+1) = b0 − bn+1,

da cui∞∑n=0

(bn − bn+1) = b0 − l.

Esempio 1.3. La serie geometrica di ragione q ∈ R è∞∑n=0

qn.

Il suo carattere dipende da q. I casi particolari q = 0 (serie convergente) e q = 1 (serie divergente)sono ovvi. Per q 6= 0, 1, cominciamo col riportare la formula

(1.1)k∑

n=0

qn =1− qk+1

1− q,

che si dimostra facilmente per induzione su k. A questo punto si ha

∞∑n=0

qn =

1

1−q se |q| < 1+∞ se q > 1irregolare se q 6 −1.

Questa serie è usata nel calcolo degli interessi, e anche per determinare la frazione generatrice di unnumero decimale periodico. Sia

α = a0, a1 . . . ahb1 . . . bp

con a0, h, p ∈ N, a1, . . . ah, b1, . . . bp ∈ {0, . . . 9}. Per ogni k ∈ N poniamoαk = a0, a1 . . . ah b1 . . . bp

1

. . . b1 . . . bpk

(con k ripetizioni del periodo), cos̀ı che αn → α. Per ogni k ∈ N si ha

αk =a0 . . . ah

10h+b1 . . . bp

10h

k∑n=1

1

10np,

SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI 3

da cui

α = limkαk =

a0 . . . ah10h

+b1 . . . bp

10h1

10p − 1=a0 . . . ah b1 . . . bp − a0 . . . ah

91. . . 9

p01. . . 0

h

.

Per esempio,

0, 315 =312

990.

Condizioni necessarie o sufficienti per la convergenza di una serie:

Lemma 1.4. Sia∑∞

n=0 an una serie convergente. Allora

(i) limn an = 0;(ii) per ogni h ∈ N la serie

∑∞n=h+1 an converge con somma Rh, e limhRh = 0.

Dimostrazione. Dimostriamo (i). Siano (Sk) la successione delle somme parziali della serie assegnata,e S ∈ R la sua somma: allora si ha per ogni n ∈ N

an = Sn − Sn−1,da cui an → 0. Dimostriamo ora (ii). Detta (S′k) la successione delle somme parziali della serie∑∞

n=h+1 an, si ha

S′k = Sk − Sh,da cui, passando al limite su k, si ha Rh = S − Sh. Un altro passaggio al limite, stavolta su h,permette di concludere. �

Una conseguenza immediata del Criterio di Cauchy per le successioni (ved. [2]):

Teorema 1.5. (Criterio di Cauchy per le serie) Sia∑∞

n=0 an una serie. Allora le seguentiaffermazioni sono equivalenti:

(i)∑∞

n=0 an è convergente;

(ii) per ogni ε > 0 esiste ν ∈ N t.c.∣∣∑k

n=h an∣∣ < ε per ogni ν 6 h 6 k.

Dimostrazione. Proviamo che (i) implica (ii). Per ipotesi, la successione (Sk) delle somme parziali èconvergente. Pertanto, per ogni ε > 0 esiste ν ∈ N t.c. per ogni ν 6 h 6 k si ha∣∣∣ k∑

n=h

an

∣∣∣ = |Sk − Sh−1| < ε.Similmente si dimostra che (ii) implica (i). �

Lemma 1.6. Siano∑∞

n=0 an,∑∞

n=0 bn due serie convergenti, di somme S, S′, e α, β ∈ R. Allora

∞∑n=0

(αan + βbn) = αS + βS′.

Dimostrazione. Basta studiare le successioni delle somme parziali e applicare le proprietà dei limitidi successioni (ved. [2]). �

Esercizio 1.7. Dimostrare la formula (1.1).

Esercizio 1.8. Studiare la convergenza e, se esiste, calcolare la somma delle seguenti serie:∞∑n=1

2n+ 1

n4 + 2n3 + n2,∞∑n=1

2

4n2 + 8n+ 3

(suggerimento: sono telescopiche).

Esercizio 1.9. Sfruttando quanto visto nell’Esempio 1.3, dimostrare che

0, 9 = 1.

4 A. IANNIZZOTTO

2. Serie a termini di segno costante

Le serie a termini di segno costante, ovvero le serie∑∞

n=0 an con an > 0 (o an 6 0) per ogni n ∈ N,sono sempre regolari. Infatti, per una tale serie la successione (Sk) delle somme parziali è monotonae pertanto regolare. Per semplicità studieremo solo le serie a termini positivi, che hanno due solicaratteri:

•∞∑n=0

an = S, S > 0;

•∞∑n=0

an = +∞.

Teorema 2.1. (Criterio del confronto) Siano∑∞

n=0 an,∑∞

n=0 bn serie a termini positivi, ν ∈ N t.c.an 6 bn per ogni n > ν. Allora:

(i) se∑∞

n=0 bn converge,∑∞

n=0 an converge;(ii) se

∑∞n=0 an diverge,

∑∞n=0 bn diverge.

Dimostrazione. Siano (Sk), (S′k) le successioni delle somme parziali delle due serie, allora Sk 6 S

′k+c

per ogni k ∈ N (per un’opportuna costante c > 0). La tesi segue dal Teorema del confronto per lesuccessioni (ved. [2]). �

Una tipica applicazione del Teorema 2.1 è il metodo del confronto asintotico. Supponiamo di volerdeterminare il carattere della serie a termini positivi

∑∞n=0 an, riconducendola a una serie più

semplice∑∞

n=0 bn (anch’essa a termini positivi). Calcoliamo

limn

anbn

= l ∈ [0,+∞].

Applicando il Teorema 2.1, si deduce quanto segue:

(a) se∑∞

n=0 bn converge e l < +∞, allora∑∞

n=0 an converge;(b) se

∑∞n=0 bn = +∞ e l > 0, allora

∑∞n=0 an = +∞.

Esempio 2.2. Consideriamo la serie

∞∑n=1

ln(

1 +1

2n

).

Sappiamo che

limn

ln(1 + 1/2n)

1/2n= 1,

e che la serie∑∞

n=112n converge, dunque per confronto asintotico anche la serie assegnata converge.

Conseguenze del Teorema 2.1:

Teorema 2.3. (Criterio del rapporto) Sia∑∞

n=0 an una serie a termini positivi. Allora:

(i) se esistono λ ∈]0, 1[, ν ∈ N t.c. an+1an < λ per ogni n > ν,∑∞

n=0 an converge;

(ii) se esiste ν ∈ N t.c. an+1an > 1 per ogni n > ν,∑∞

n=0 an diverge.

Dimostrazione. Dimostriamo (i). Per ogni n > ν si ha an < aνλn−ν , dunque basta applicare ilTeorema 2.1 alle serie

∑∞n=0 an e

∑∞n=0 λ

n (moltiplicata per un’opportuna costante), che convergeper l’Esempio 1.3.

Dimostriamo (ii). La successione (an) non tende a 0, quindi per il Lemma 1.4 (i) la serie diverge. �


Corollario 2.4. Sia∑∞

n=0 an una serie a termini positivi t.c.

limn

an+1an

= l ∈ [0,+∞].

Allora:

(i) se l < 1,∑∞

n=0 an converge;(ii) se l > 1,

∑∞n=0 an diverge.

Il Corollario 2.4 lascia indeterminato il caso l = 1. In tal caso si può ricorrere al seguente raffinamento:

Teorema 2.5. (Criterio di Raabe) Sia∑∞

n=0 an una serie a termini positivi, t.c.

limnn( anan+1

− 1)

= l.

Allora:

(i) se l > 1,∑∞

n=0 an converge;(ii) se l < 1,


Esempio 2.6. La serie esponenziale è∞∑n=0

1

n!,

ed è convergente per il Corollario 2.4. In questo caso possiamo calcolarne esplicitamente la sommaS > 0. Infatti, per ogni k ∈ N0 si ha per la formula del binomio di Newton (ved. [1])(

1 +1

k

)k=

k∑n=0

k!

n!(k − n)!1

kn= 2 +

k∑n=2

1

n!

k

k

k − 1k

. . .k − n+ 1

k6

k∑n=0

1

n!,

da cui, passando al limite per k →∞, per il Teorema del confronto per le successioni si ha e 6 S.Un ragionamento simile mostra che e > S, dunque

∞∑n=0

1

n!= e.

Sempre dal Teorema 2.1 si ricava un altro utile criterio di convergenza:

Teorema 2.7. (Criterio della radice) Sia∑∞

n=0 an una serie a termini positivi. Allora:

(i) se esistono λ ∈]0, 1[, ν ∈ N t.c. n√an < λ per ogni n > ν,∑∞

n=0 an converge;(ii) se esiste ν ∈ N t.c. n√an > 1 per ogni n > ν, allora


Dimostrazione. Simile a quella del Teorema 2.3. �

Corollario 2.8. Sia∑∞

n=0 an una serie a termini positivi t.c.

limn

n√an = l ∈ [0,+∞].

Allora:

(i) se l < 1,∑∞

n=0 an converge;(ii) se l > 1,


Anche in questo caso, se l = 1 non riusciamo a stabilire il carattere della serie.

Esempio 2.9. Studiamo il carattere delle seguenti serie:∞∑n=1

n!

(2n)!,∞∑n=1

n

2n.

6 A. IANNIZZOTTO

La prima converge per il Corollario 2.4, in quanto

(n+ 1)!

(2n+ 2)!

(2n)!

n!=

n+ 1

(2n+ 1)(2n+ 2)→ 0.

La seconda converge per il Corollario 2.8, in quanto

n

√n

2n=

n√n

2→ 1

2.

La serie armonica∞∑n=1

1

n

sfugge sia al Teorema 2.3 che al Teorema 2.7, ma può essere studiata mediante il seguente risultato(che non dimostriamo), e risulta divergente.

Teorema 2.10. (Criterio di condensazione) Sia∑∞

n=0 an una serie a termini positivi t.c. (an) ènon-crescente. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

(i)∑∞

n=0 an converge;(ii)

∑∞n=0 2

na2n converge.

Esempio 2.11. La serie armonica generalizzata con esponente α > 0 ha il seguente carattere∞∑n=1

1

nα

{converge se α > 1

diverge se α 6 1.

Infatti, per il Teorema 2.10, essa ha lo stesso carattere della serie geometrica∞∑n=0

(21−α)n.

Esempio 2.12. Consideriamo la serie a termini positivi∞∑n=1

sin( 1n

).

Poiché

limn

sin(1/n)

1/n= 1,

per confronto asintotico essa ha lo stesso carattere della serie armonica, cioè diverge.

Esempio 2.13. Studiamo la seguente serie:∞∑n=1

( 1n− ln

(n+ 1n

)).

Si vede facilmente che

(2.1)1

n+ 1< ln

(n+ 1n

)<

1

n,

cos̀ı che la serie data è a termini positivi. Studiamo la successione delle somme parziali:

Sk =(1− ln(2)

)+(1

2− ln

(32

))+ . . .+

(1k− ln

(k + 1k

))= 1 +

(12− ln(2)

)+ . . .+

(1k− ln

( kk − 1

))− ln

(k + 1k

)6 1− ln

(k + 1k

)(per (2.1)),


e l’ultimo termine tende a 1 per k →∞. Dunque la serie è convergente e la sua somma è un numeroγ ∈]0, 1] detto costante di Eulero-Mascheroni (non si sa se γ sia razionale o irrazionale).

Esercizio 2.14. Dimostrare la formula (2.1).

Esercizio 2.15. Studiare il carattere delle seguenti serie a termini positivi:

∞∑n=1

1

n3 + n,∞∑n=1

ln(

1 +1

n

),∞∑n=1

1√n!,

∞∑n=2

1

n ln(n),

∞∑n=1

ln(n)

n,

∞∑n=2

√n+ 1−

√n

n ln(n),

∞∑n=1

2nn!

nn,∞∑n=1

sin( 1√

n2 + ln(n)

),∞∑n=1

(e

1n2 − 1

).

Esercizio 2.16. Studiare la convergenza delle seguenti serie a termini positivi:

∞∑n=0

en − 1(2e)n

,∞∑n=1

(1− cos

( 1n

)),∞∑n=1

4n( 2n2

+ 1),

∞∑n=1

1 + sin(n2)

1 + n2,

∞∑n=0

4n sin( 1

2n

),

∞∑n=0

2n sin( 1

4n

),

∞∑n=2

ln(n)2 + 1

n ln(n)2 + n2 ln(n),∞∑n=1

ln( n3 + 1n3 − 3n

)ln(n),

∞∑n=1

(n!)2

(2n)!,

∞∑n=1

√n− ln(n)5n4 − 1

,

∞∑n=1

arctan(n)

n2 + 1.

3. Serie a termini di segno variabile e convergenza assoluta

In mancanza di informazioni sul segno dei termini, il carattere di una serie può essere qualunque.Per ricordurne lo studio a quello di una serie a termini positivi, si introduce una nozione più forte diconvergenza.

Definizione 3.1. Una serie∑∞

n=0 an è detta assolutamente convergente se la serie∑∞

n=0 |an|converge.

Una serie assolutamente convergente è anche (semplicemente) convergente. Infatti, posto per ognin ∈ N

a±n = max{±an, 0},si ha an = a

+n − a−n , |an| = a+n + a−n . Le serie

∑∞n=0 a

±n , a termini non negativi, sono convergenti per

il Teorema 2.1, dunque lo è anche∑∞

n=0 an per il Lemma 1.6.

Esempio 3.2. La serie∞∑n=1

sin(n)

n2

è assolutamente convergente per confronto con∑∞

n=11n2

(ved. Esempio 2.11).

Tuttavia, l’implicazione non si inverte. Un caso particolare è quello delle serie a termini di segnoalterno, per le quali la convergenza (semplice) può essere acquisita sotto ipotesi generali.

8 A. IANNIZZOTTO

Teorema 3.3. (Criterio di Leibniz) Sia (an) una successione non-crescente, a termini positivi, t.c.an → 0. Allora la serie

∞∑n=0

(−1)nan

è convergente.

Dimostrazione. Sia (Sk) la successione delle somme parziali. La sotto-successione (S2k) è decrescentee inferiormente limitata, in quanto per ogni k ∈ N si ha

S2k+2 = S2k − a2k+1 + a2k+2 6 S2k,S2k = a1 + (a2 − a3) + . . .+ (a2k − a2k−1) > a1,

dunque S2k → S ∈ R (ved. [2]). Similmente si prova che (S2k+1) è crescente e superiormente limitata,da cui S2k+1 → S′. Infine osserviamo che

S′ − S = limk

(S2k+1 − S2k) = limka2k+1 = 0,

cos̀ı che Sk → S. �


(−1)n

n

converge ma non assolutamente.

La somma (di un insieme finito di numeri reali) gode delle proprietà associativa e commutativa.Vediamo ora se, e sotto quali condizioni, esse si possano estendere a quelle ’somme infinite’ che sonole serie.


n=0 an una serie regolare, e siano (kn) una successione crescente in N, conk0 = 0. Sia b0 = 0 e per ogni n ∈ N0

bn =

kn∑j=kn−1+1

aj .

Allora la serie∑∞

n=0 bn ha lo stesso carattere (e la stessa somma in caso di convergenza) di∑∞

n=0 an.

Dimostrazione. Sia (Sk) la successione delle somme parziali di∑∞

n=0 an. Allora, la successione dellesomme parziali di

∑∞n=0 bn è una sotto-successione di (Sk), che ha lo stesso limite. �

Esempio 3.6. La serie∑∞

n=1(−1)nn è convergente. Raccogliendo opportunamente i suoi termini, si

ottiene l’opposto della serie di Mengoli (ved. Esempio 1.2), che converge a 1. Dunque si ha∞∑n=1

(−1)n

n= −1.

Le serie irregolari, invece, non godono della proprietà associativa:

Esempio 3.7. Consideriamo la serie∑∞

n=0(−1)n, che è irregolare. Associando i suoi termini a duea due (kn = 2n), si ottiene la serie a termini nulli, che è convergente a 0.

Per la proprietà commutativa occorre richiedere la convergenza assoluta (omettiamo la dimostrazione).


n=0 an una serie assolutamente convergente, e siano σ : N→ N una funzionebiunivoca e bn = aσ(n) per ogni n ∈ N2. Allora la serie

∑∞n=0 bn ha lo stesso carattere (e la stessa

somma in caso di convergenza) di∑∞

n=0 an.

2Questo tipo di funzione è detto permutazione, e la serie cos̀ı prodotta è un riordinamento di∑∞

n=0 an.


La convergenza semplice non è sufficiente, come prova il seguente (sorprendente) risultato:

Teorema 3.9. (Riemann-Dini) Sia∑∞

n=0 an una serie convergente, t.c.∑∞

n=0 |an| = +∞. Allora,per ogni S ∈ R esiste σ : N→ N biunivoca t.c.

∞∑n=0

aσ(n) = S.

Per ’moltiplicare’ due serie occorre introdurre una forma di convoluzione3.

Definizione 3.10. Siano∑∞

n=0 an,∑∞

n=0 bn due serie. Il loro prodotto secondo Cauchy è la serie∞∑n=0

cn, cn =n∑k=0

akbn−k.

Il prodotto di serie convergenti può non convergere.


(−1)n√n+ 1

converge per il Teorema 3.3, ma il suo prodotto per se stessa ha termine generale

cn = (−1)nn∑k=0

1√nk − k2 + n+ 1

,

che non tende a 0 per n→∞, quindi la serie∑∞

n=0 cn non converge (Lemma 1.4 (i)).

Anche in questo caso, la convergenza assoluta risolve il problema (omettiamo la dimostrazione):

Teorema 3.12. (Mertens) Siano∑∞

n=0 an assolutamente convergente,∑∞

n=0 bn convergente. Allorail loro prodotto secondo Cauchy è una serie convergente e si ha

∞∑n=0

cn =( ∞∑n=0

an

)( ∞∑n=0

bn

).

Esempio 3.13. Siano q, r ∈ R t.c. 0 < |q| < |r| < 1. Allora il prodotto secondo Cauchy delle seriegeometriche di ragioni q, r risp. è convergente e ha somma 1(1−q)(1−r) .

Esempio 3.14. Riprendiamo e generalizziamo l’Esempio 5.11, dimostrando che per ogni p ∈ N0 siha

(3.1)

∞∑n=0

pn

n!= ep.

Procediamo per induzione. Il caso p = 1 è noto. Supponiamo che (3.1) valga per p ∈ N0, econsideriamo il prodotto secondo Cauchy delle serie assolutamente convergenti

∑∞n=0

pn

n! ,∑∞

n=01n! , il

cui termine generale è

cn =n∑k=0

pk

k!(n− k)!=

1

n!

n∑k=0

(nk

)pk =

(p+ 1)n

n!

per la formula del binomio di Newton (ved. [1]). Dunque, per il Teorema 3.12 e l’ipotesi induttiva siha

∞∑n=0

(p+ 1)n

n!=( ∞∑n=0

pn

n!

)( ∞∑n=0

1

n!

)= ep+1,

il che conclude la dimostrazione. In effetti, (3.1) vale anche per ogni p ∈ R (ved. Sezione 6).3La convoluzione è maggiormente legata alla teoria dell’integrazione, ved. [4].

10 A. IANNIZZOTTO

Figura 1. Approssimazione di x mediante funzioni costanti a tratti.

Esercizio 3.15. Determinare il carattere delle seguenti serie:∞∑n=1

cos(nπ) sin( 1n

),∞∑n=1

(−1)n arcsin(√ n

n2 + 1

),∞∑n=1

(−1)n ln(n+ 1

n

).

Esercizio 3.16. Studiare la convergenza semplice e assoluta delle seguenti serie:∞∑n=1

(−1)n(e

1n − 1

),

∞∑n=1

√n+ (−1)nn

n2,

∞∑n=1

(−1)n

n+ sin(n).

4. Successioni di funzioni

Una successione di funzioni è una successione (fn) i cui elementi sono funzioni definite tutte nellostesso intervallo I4. Formalmente, si può pensare tale successione come una funzione di due variabiliF : (N× I)→ R t.c. F (n, x) = fn(x) per ogni (n, x) ∈ N× I.

Esempio 4.1. Per ogni n ∈ N0 consideriamo la decomposizione dell’intervallo [0, 1[ in n intervallitutti di ampiezza 1n , quindi definiamo fn : [0, 1[→ R ponendo

fn(x) =i− 1n

per ogni i ∈ {1, . . . n}, x ∈[ i− 1

n,i

n

[(fig. 1). Per ogni x ∈ [0, 1[ si ha

limnfn(x) = x,

ovvero ogni scelta di x determina una successione numerica (fn(x)), che converge a x per n→∞.Infatti, per ogni x ∈ I e n ∈ N0 si ha

|fn(x)− x| 61

n.

La nozione di convergenza per una successione di funzioni si può definire in due modi. Come vedremo,il secondo è più significativo (anche se meno naturale).

Definizione 4.2. Siano (fn) una successione di funzioni, f : I → R:(i) (fn) converge puntualmente a f se per ogni ε > 0 e ogni x ∈ I esiste ν ∈ N t.c. |fn(x)−

f(x)| < ε per ogni n ∈ N, n > ν;(ii) (fn) converge uniformemente a f se per ogni ε > 0 esiste ν ∈ N t.c. |fn(x)− f(x)| < ε per

ogni n ∈ N, n > ν, e ogni x ∈ I.4Nella presente esposizione tratteremo sempre successioni di funzioni definite in un intervallo, il caso di un insieme

di definizione generico si studia con ovvi adattamenti.


Figura 2. La successione difunzioni (xn).

Figura 3. La successione difunzioni (sin(nx)).

La condizione (i) è anche detta convergenza semplice, indicata col simbolo fn → f , ed esprime ilfatto che per ogni x ∈ I la successione numerica (fn(x)) converge a f(x). La condizione (ii), indicatacol simbolo fn ⇒ f , significa invece che fn(x)→ f(x) indipendentemente da x ∈ I (formalmente, ladifferenza fra le due forme di convergenza è rappresentata dalla dipendenza di ν: ν = ν(ε, x) in (i),ν = ν(ε) in (ii)).

Ovviamente (ii) implica (i), mentre l’implicazione inversa è in generale falsa.

Esempio 4.3. Sia fn(x) = xn per ogni n ∈ N0, x ∈ [0, 1]. Definiamo f : [0, 1]→ R ponendo

f(x) =

{0 se x ∈ [0, 1[1 se x = 1.

Si vede facilmente che (fn) converge puntualmente a f (fig. 2). D’altra parte, questa convergenza

non è uniforme. Infatti, fissato ε ∈]0, 1[, scegliendo per ogni n ∈ N0 xn ∈]ε1n , 1[ si ha fn(xn) > ε.

Esempio 4.4. Sia fn(x) = sin(nx) per ogni x ∈ R, n ∈ N (fig. 3). Per ogni x ∈ R, x 6= kπ (k ∈ Z),la successione (sin(nx)) è irregolare, quindi la successione di funzioni (fn) non converge puntualmente(né uniformemente).

Esempio 4.5. Sia fn(x) = sin(xn) per ogni x ∈ R, n ∈ N. Si vede facilmente che fn → 0, ma la

convergenza non è uniforme.

Forniamo una caratterizzazione della convergenza uniforme:

Lemma 4.6. Siano (fn) una successione di funzioni definite in I, f : I → R. Allora le seguentiaffermazioni sono equivalenti:

(i) fn ⇒ f ;(ii) lim

nsupx∈I|fn(x)− f(x)| = 0.

Dimostrazione. Proviamo che (i) implica (ii). Per ogni ε > 0 esiste ν ∈ N t.c. per ogni n > ν, x ∈ Isi ha

|fn(x)− f(x)| < ε.Dunque, ε è un maggiorante per la funzione x 7→ |fn(x)− f(x)| e si ha per ogni n > ν

supx∈I|fn(x)− f(x)| 6 ε,

da cui (ii).

Similmente si prova che (ii) implica (i). �

12 A. IANNIZZOTTO

Figura 4. La convergenza uniforme.

Esempio 4.7. Sia (fn) definita ponendo per ogni n ∈ N, x ∈ [1,+∞[

fn(x) =n

1 + nx.

Chiaramente fn(x)→ 1x . Per verificare se la convergenza è uniforme, calcoliamo per ogni n ∈ N

supx>1

∣∣∣ n1 + nx

− 1x

∣∣∣ = 11 + n

,

che converge a 0 per n→∞. Per il Lemma 4.6 si ha fn(x)⇒ 1x .

L’interpretazione grafica del Lemma 4.6 è la seguente: fissato ε > 0, definiamo l’insieme

Sε = {(x, y) ∈ I × R : |y − f(x)| < ε}

(detto ε-dilatazione di gr(f)). Per n ∈ N abbastanza grande, si ha gr(fn) ⊆ Sε (fig. 4).Un’altra caratterizzazione è offerta dal seguente risultato:

Teorema 4.8. (Criterio di Cauchy) Sia (fn) una successione di funzioni definite in I. Allora leseguenti affermazioni sono equivalenti:

(i) (fn) converge uniformemente;(ii) per ogni ε > 0 esiste ν ∈ N t.c. |fn(x) − fm(x)| < ε per ogni n,m ∈ N, n,m > ν, e ogni

x ∈ I.

Dimostrazione. Segue dal Criterio di Cauchy per le successioni numeriche (ved. [2]). �

Osservazione 4.9. I precedenti risultati si possono leggere alla luce dell’Analisi funzionale, ladisciplina che studia le funzioni come elementi di spazi astratti. Per semplicità assumiamo Icompatto e fn, f continue. Sullo spazio delle funzioni continue in I, denotato C

0(I), si definisce unametrica ponendo

d(f, g) = maxx∈I|f(x)− g(x)| per ogni f, g ∈ C0(I).

Il numero d(f, g) misura la ’distanza’ fra f e g. Per il Lemma 4.6 si ha

fn ⇒ f ⇐⇒ d(fn, f)→ 0,

ovvero la convergenza uniforme equivale alla convergenza nello spazio C0(I) dotato della metricad(·, ·). Il Teorema 4.8 invece esprime il fatto che tale spazio è completo (ved. [7]).

La convergenza uniforme permette di ’passare al limite’ (per n→∞) nelle operazioni fondamentalidell’Analisi matematica: limite (in un punto), integrale, derivata.


Teorema 4.10. (Scambio dei limiti) Siano (fn) una successione di funzioni definite in I, f : I → R,x0 ∈ DI t.c.

(i) fn ⇒ f ;(ii) lim

x→x0fn(x) = ln, ln ∈ R, per ogni n ∈ N.

Allora esiste l ∈ R t.c.limnln = lim

x→x0f(x) = l.

Dimostrazione. Fissiamo ε > 0. Per (i) e il Teorema 4.8 esiste ν ∈ N t.c. per ogni n,m > ν, x ∈ I siha

|fn(x)− fm(x)| <ε

3.

Inoltre, per (ii) esiste δ > 0 t.c. per ogni x ∈ I, 0 < |x− x0| < δ si ha

max{|fn(x)− ln|, |fm(x)− lm|

}<ε

3.

Pertanto abbiamo

|ln − lm| 6 |ln − fn(x)|+ |fn(x)− fm(x)|+ |fm(x)− lm| < ε,quindi (ln) soddisfa la condizione di Cauchy. Per il Criterio di Cauchy per le successioni (ved. [2])esiste l ∈ R t.c. ln → l.Dimostriamo ora che f(x)→ l per x→ x0. Fissato (un altro) ε > 0, esiste ν ∈ N t.c. per ogni n > νsi ha

|ln − l| <ε

3,

e per il Lemma 4.6 e (i)

supx∈I|fn(x)− f(x)| <

ε

3.

Fissato n > ν, per (ii) esiste δ > 0 t.c. per ogni x ∈ I, 0 < |x− x0| < δ si ha

|fn(x)− ln| <ε

3.

Dunque, per ogni x ∈ I, 0 < |x− x0| < δ abbiamo|f(x)− l| 6 |f(x)− fn(x)|+ |fn(x)− ln|+ |ln − l| < ε,

il che conclude la dimostrazione. �

Un’immediata conseguenza del Teorema 4.10:

Corollario 4.11. Siano (fn) una successione di funzioni definite in I, f : I → R, x0 ∈ I t.c.(i) fn ⇒ f ;

(ii) fn è continua in x0 per ogni n ∈ N.Allora f è continua in x0.

Grazie al Corollario 4.11 abbiamo la conferma che la successione dell’Esempio 4.3 non convergeuniformemente: infatti la funzione limite non è continua.

Esempio 4.12. Sia (fn) definita ponendo per ogni n ∈ N, x ∈ Rfn(x) = arctan(nx).

Allora fn → f , dove

f(x) =

−π

2se x < 0

0 se x = 0π

2se x > 0.

14 A. IANNIZZOTTO

La convergenza non è uniforme, infatti fn è continua in R per ogni n ∈ N mentre f è discontinua in0.

Teorema 4.13. (Passaggio al limite sotto il segno di integrale) Siano (fn) una successione difunzioni definite in [a, b], f : [a, b]→ R t.c.

(i) fn ⇒ f ;

(ii) per ogni n ∈ N, fn è integrabile secondo Riemann e∫ bafn(x) dx = An.

Allora f è integrabile secondo Riemann e

limnAn =

∫ baf(x) dx.

Dimostrazione. Per semplicità supponiamo fn continua per ogni n ∈ N. Allora, per il Corollario4.11, f è continua, in particolare integrabile secondo Riemann (ved. [4]). Fissato ε > 0, per (i) e ilLemma 4.6 esiste ν ∈ N t.c. per ogni n > ν

supx∈[a,b]

|fn(x)− f(x)| <ε

b− a.

Dunque, per ogni n > ν abbiamo∣∣∣ ∫ ba

(fn(x)− f(x)) dx∣∣∣ 6 ∫ b

a|fn(x)− f(x)| dx < ε,

da cui la tesi. �

L’ipotesi (i) non può essere rimossa:

Esempio 4.14. Sia (fn) definita ponendo per ogni n ∈ N0, x ∈ [0, 1]

fn(x) =

0 se x ∈

[0,

1

n

[1

xse x ∈

[ 1n, 1].

Per ogni n ∈ N0, la funzione fn è integrabile in [0, 1] con∫ 10fn(x) dx =

∫ 11n

1

xdx = ln(n),

Inoltre fn(x)→ 1x in ]0, 1] e fn(0)→ 0, con convergenza non uniforme. Infatti la funzione limite nonè integrabile in [0, 1].

Esempio 4.15. Sia (fn) definita ponendo per ogni n ∈ N0, x ∈ [0, 1]

fn(x) =

n2x se x ∈

[0,

1

n

[2n− n2x se x ∈

[ 1n,

2

n

[0 se x ∈

[ 2n, 1].

Per ogni n ∈ N0, fn è integrabile e ∫ 10fn(x) dx = 1

(fig. 5). D’altra parte, fn(x) → 0 puntualmente (non uniformemente), e chiaramente la tesi delTeorema 4.13 non è verificata in quanto l’integrale della funzione limite è 0.


Figura 5. L’integrale di fn èuguale all’area di un triangolo.

Figura 6. La funzione limite|x| non è derivabile in 0.

Il rapporto fra convergenza uniforme e derivazione, più delicato, è regolato dal seguente risultato(che non dimostriamo):

Teorema 4.16. Siano (fn) una successione di funzioni definite in [a, b], g : [a, b]→ R t.c.(i) fn è derivabile per ogni n ∈ N;

(ii) Dfn ⇒ g.

Allora esiste f : [a, b]→ R derivabile t.c. fn ⇒ f e Df(x) = g(x) per ogni x ∈ [a, b].

La derivabilità di fn e la convergenza uniforme non implicano che la funzione limite f sia derivabile:

Esempio 4.17. Sia (fn) definita ponendo per ogni n ∈ N0, x ∈ [−1, 1]

fn(x) =

−x se x ∈

[− 1,− 1

n

[n

2x2 +

1

2nse x ∈

[− 1n,

1

n

]x se x ∈

] 1n, 1].

Per ogni n ∈ N0, fn è derivabile e si ha fn(x)⇒ |x| (fig. 6). Tuttavia x 7→ |x| non è derivabile in 0.

I seguenti risultati (che non dimostriamo) forniscono condizioni sufficienti per la convergenza uniforme,basate sulla monotonia:

Teorema 4.18. (Dini) Siano (fn) una successione di funzioni continue in [a, b], f : [a, b] → Rcontinua, t.c.

(i) fn → f ;(ii) fn(x) 6 fn+1(x) per ogni x ∈ [a, b], n ∈ N.

Allora fn ⇒ f .

Teorema 4.19. (Pólya) Siano (fn) una successione di funzioni continue in [a, b], f : [a, b] → Rcontinua, t.c.

(i) fn → f ;(ii) fn(x1) 6 fn(x2) per ogni x1, x2 ∈ [a, b], x1 < x2, e ogni n ∈ N.

Allora fn ⇒ f .

Naturalmente, esistono versioni dei Teoremi 4.18 e 4.19 con ipotesi di monotonia non-crescente.

16 A. IANNIZZOTTO

Esempio 4.20. Sia (fn) definita ponendo per ogni n ∈ N0, x ∈ R

fn(x) =(

1 +x

n

)n.

Sappiamo che fn(x) → ex per ogni x ∈ R (ved. [2]). Inoltre, per ogni n ∈ N0 la funzione fn ècrescente, quindi per il Teorema 4.19 la convergenza è uniforme su ogni intervallo compatto.

Esercizio 4.21. Studiare la convergenza puntuale e uniforme delle seguenti successioni di funzioni:

n ln(

1 +x

n

), n sin

(xn

).

Esercizio 4.22. Sia (fn) definita ponendo per ogni n ∈ N0, x ∈ R

fn(x) = |x|n+1n .

Studiare la convergenza puntuale e uniforme e la derivabilità della funzione limite in 0.

Esercizio 4.23. Calcolare il seguente limite:

limn

∫ 10

sin(nx)

n2xdx.

5. Serie di funzioni

Esattamente come nel caso delle serie numeriche, una serie di funzioni si costruisce a partire da unasuccessione (fn) di funzioni definite in I. Per ogni k ∈ N definiamo la somma parziale di indice kponendo per ogni x ∈ I

Sk(x) =k∑

n=0

fn(x).

La serie di funzioni∞∑n=0

fn(x)

è detta puntualmente convergente alla funzione somma S : I → R se Sk(x)→ S(x), uniformementeconvergente se Sk(x)⇒ S(x). Introduciamo un’ulteriore nozione di convergenza:

Definizione 5.1. La serie∑∞

n=0 fn(x) è detta totalmente convergente se esiste una serie numerica∑∞n=0Mn t.c.

(i) |fn(x)| 6Mn per ogni n ∈ N, x ∈ I;(ii)

∑∞n=0Mn è convergente.

Esempio 5.2. Consideriamo la serie∞∑n=1

sin(nx)

n2.

Essa converge totalmente in R, come si vede ponendo Mn = 1n2 .

Esempio 5.3. Consideriamo la serie∞∑n=1

ln(x)

n2,

definita in ]0,+∞[. Sappiamo dall’Esempio 2.11 che essa converge puntualmente. Tuttavia, poichéla funzione x 7→ ln(x) non é limitata, la serie non converge totalmente in ]0,+∞[. Invece, per ognia, b ∈ R t.c. 0 < a < b, si pone

Mn =max{|ln(a)|, | ln(b)|}

n2,

e si vede facilmente che la serie soddisfa la Definizione 5.1 in [a, b].


Si vede facilmente che, se∑∞

n=0 fn(x) converge totalmente, allora essa converge uniformemente (equindi anche puntualmente) in I:

Totale ⇒ uniforme ⇒ puntuale.

Le implicazioni inverse non valgono in generale.

Alcune serie dipendenti da un parametro reale si possono riesaminare come serie di funzioni:

Esempio 5.4. La serie geometrica∑∞

n=0 xn5 converge puntualmente in ]−1, 1[ alla funzione somma

x 7→ 11− x

.

Inoltre, per ogni δ ∈]0, 1[, essa converge totalmente in [−δ, δ].

Dal Corollario 4.11 e dai Teoremi 4.13, 4.16 seguono i prossimi risultati:

Teorema 5.5. Siano∑∞

n=0 fn(x) una serie di funzioni definite in I, x0 ∈ I t.c.(i)∑∞

n=0 fn(x) converge uniformemente a S(x);(ii) fn è continua in x0 per ogni n ∈ N.

Allora S è continua in x0.

Teorema 5.6. Sia∑∞

n=0 fn(x) una serie di funzioni definite in [a, b] t.c.

(i)∑∞

n=0 fn(x) converge uniformemente a S(x);

(ii) fn è integrabile secondo Riemann e

∫ bafn(x) dx = An per ogni n ∈ N.

Allora S è integrabile secondo Riemann e

∞∑n=0

An =

∫ baS(x) dx.

Teorema 5.7. Siano∑∞

n=0 fn(x) una serie di funzioni definite in I, x0 ∈ I t.c.(i)∑∞

n=0 fn(x0) converge;(ii) fn è derivabile per ogni n ∈ N;

(iii)∑∞

n=0Dfn(x) converge uniformemente a T (x).

Allora∑∞

n=0 fn(x) converge uniformemente a una funzione S : I → R derivabile t.c. DS(x) = T (x)per ogni x ∈ I.

La classe più usata di serie di funzioni è quella costituita dalle serie di potenze, definite da

(5.1)

∞∑n=0

an(x− x0)n,

dove x0 ∈ R e (an) è una successione di coefficienti in R6. L’insieme di definizione dei termini dellaserie è R. Chiaramente essa converge almeno in x0 (con somma a0). La particolarità di questo tipodi serie è che il suo insieme di convergenza è simmetrico rispetto al centro x0 (a parte gli estremi).

Lemma 5.8. Siano x0 ∈ R, (an) una successione in R. Allora esiste R ∈ [0,+∞] t.c.(i) la serie (5.1) converge puntualmente in ]x0 −R, x0 +R[;

(ii) la serie (5.1) non converge puntualmente in R \ [x0 −R, x0 +R];(iii) la serie (5.1) converge totalmente in [x0 − r, x0 + r] per ogni r ∈]0, R[.5Adottiamo, qui e nel seguito, la convenzione 00 = 1, 1/0 = ∞, 1/∞ = 0.6Svolgiamo la teoria delle serie di potenze in R, ma questa è sostanzialmente analoga in C (ved. [7]).

18 A. IANNIZZOTTO

Dimostrazione. Sappiamo che (5.1) converge almeno per x = x0. Poniamo dunque

(5.2) S ={r > 0 :

∞∑n=0

anrn converge

},

denotando R = supS. Supponiamo R ∈]0,+∞[ (gli altri casi si studiano in modo analogo).Dimostriamo (i). Per ogni x ∈]x0 −R, x0 +R[ esiste r ∈ S t.c. |x− x0| < r < R ovvero la serie

∞∑n=0

anrn

converge. In particolare, si ha definitivamente |anrn| < 1, da cui∣∣an(x− x0)n∣∣ < ∣∣∣x− x0r

∣∣∣n,e il secondo membro è il termine generale di una serie geometrica convergente (Esempio 5.4). Per ilTeorema 2.1, la serie (5.1) converge (assolutamente).

Dimostriamo (ii). Per ogni x ∈ R \ [x0 − R, x0 + R], esiste r ∈]R, |x − x0|[ (in particolare r /∈ S),cos̀ı che se (5.1) convergesse, allora convergerebbe anche la serie di termine generale anr

n, assurdo.

Dimostriamo (iii). Per ogni r ∈]0, R[ si ha r ∈ S. Pertanto, la serie (5.1) converge totalmente in[x0 − r, x0 + r] (ponendo Mn = |anrn|). �

Il numero R introdotto nel Lemma 5.8 è detto raggio di convergenza della serie (5.1). Se R = 0, laserie converge solo in x0. Se invece R = +∞, la serie converge puntualmente in R e totalmente in ogniintervallo compatto. Osserviamo che, nel caso R ∈]0,+∞[, il Lemma 5.8 non fornisce informazionisul comportamento della serie nei punti di frontiera x0 ±R.I prossimi risultati (in cui adottiamo la convenzione 10 = +∞) forniscono dei metodi per calcolare ilraggio di convergenza di una serie di potenze.

Teorema 5.9. Siano x0 ∈ R, (an) una successione in R, L ∈ [0,+∞] t.c.

limn

n√|an| = L.

Allora il raggio di convergenza della serie (5.1) è 1L .

Dimostrazione. Supponiamo L ∈]0,+∞[, e definiamo l’insieme S come in (5.2). Per ogni r ∈]0, 1L [la serie

∑∞n=0 anr

n converge assolutamente per il Corollario 2.8, in quanto

limn

n√|anrn| = rL < 1.

Dunque r ∈ S. Per ragioni analoghe, scelto ad arbitrio r > 1L si vede che r /∈ S. Dunque

supS = 1L,

il che conclude la dimostrazione. �

Teorema 5.10. Siano x0 ∈ R, (an) una successione in R, L ∈ [0,+∞] t.c.

limn

∣∣∣an+1an

∣∣∣ = L.Allora il raggio di convergenza della serie (5.1) è 1L .

Dimostrazione. Analoga a quella del Teorema 5.9. �


Esempio 5.11. Consideriamo la serie esponenziale

∞∑n=0

xn

n!.

Dal Teorema 5.10 risulta che il suo raggio di convergenza è +∞. Dunque, la serie convergepuntualmente in R e totalmente in ogni intervallo compatto. Inoltre, ragionando come nell’Esempio3.14 sappiamo che la sua funzione somma è x 7→ ex. La stessa conclusione si può raggiungereponendo

f(x) =∞∑n=0

xn

n!

e applicando il Teorema 4.16: si ha f(0) = 1 e per ogni x ∈ R

Df(x) =

∞∑n=0

D(xnn!

)=

∞∑n=1

xn−1

(n− 1)!= f(x).

Dalla teoria delle equazioni differenziali ordinarie (ved. [5]) sappiamo che f(x) = ex.

Esempio 5.12. Consideriamo la serie

∞∑n=1

n

2n(x− 3)n.

Si ha

limn

n

√n

2n=

1

2.

Per il Teorema 5.9, il raggio di convergenza è 2. La serie converge in ]1, 5[ (in 5 diverge, in 1 èirregolare).

Un’altra caratteristica notevole delle serie di potenze è la seguente: la serie delle derivate e quelladelle primitive di (5.1) sono ancora serie di potenze, precisamente

∞∑n=1

nan(x− x0)n−1,∞∑n=0

ann+ 1

(x− x0)n+1,

con lo stesso raggio di convergenza. Pertanto, se una funzione è nota come somma di una serie dipotenze, è possibile derivarla e integrarla sotto tale forma.

Esempio 5.13. Sia f :]− 1, 1[→ R definita da

f(x) =∞∑n=1

ln(n)

nxn.

Il raggio di convergenza di questa serie di potenze è 1, per il Teorema 5.10:

limn

ln(n+ 1)

n+ 1

n

ln(n)= lim

n

ln(n+ 1)

ln(n)= lim

n

[1 +

ln(1 + 1/n)

ln(n)

]= 1.

Si ha per ogni x ∈]− 1, 1[

Df(x) =∞∑n=1

ln(n)xn−1,

in particolare Df(0) = 0.

20 A. IANNIZZOTTO

Esempio 5.14. Consideriamo la serie di potenze∞∑n=1

(n!)2

(2n)!xn.

In primo luogo calcoliamo

limn

((n+ 1)!)2

(2n+ 2)!

(2n)!

(n!)2= lim

n

(n+ 1)2

(2n+ 2)(2n+ 1)=

1

4,

dunque il raggio di convergenza è 4 (Teorema 5.10). Per x = 4 abbiamo la serie a termini positivi∞∑n=1

(n!)2

(2n)!4n,

divergente per il Teorema 2.5 in quanto

limnn[(n!)24n

(2n)!

(2n+ 2)!

((n+ 1)!)24n+1− 1]

= limn

−n2 − 12n2 + 4n+ 2

= −12.

Per x = −4 abbiamo∞∑n=1

(n!)2

(2n)!(−4)n,

che non converge in quanto i suoi termini non tendono a 0. Pertanto, l’insieme di convergenza è[−4, 4[.Esercizio 5.15. Studiare la convergenza puntuale, uniforme e totale delle seguenti serie di funzioni:

∞∑n=1

ln(1 + x)

n3,∞∑n=1

sin(x)

n,∞∑n=1

enx

n.

Esercizio 5.16. Sia f : R→ R definita da

f(x) =∞∑n=1

cos(nx)

n3.

La funzione f è derivabile? In caso affermativo, quanto vale Df(0)?

Esercizio 5.17. Dimostrare il Teorema 5.10.

Esercizio 5.18. Applicare i Teoremi 5.9, 5.10 per dimostrare che il raggio di convergenza della seriegeometrica è 1.

Esercizio 5.19. Determinare l’insieme di convergenza delle seguenti serie di potenze:∞∑n=0

xn

2n,

∞∑n=1

(x+ 1)n

n,

∞∑n=1

xn

ln(1 + n),

∞∑n=1

sin( 1n2

)xn.

6. La serie di Taylor

In quest’ultima sezione affrontiamo il problema inverso rispetto a quello visto fin qui: data unafunzione f , trovare una serie di potenze la cui somma sia f(x). Lo strumento principale è un’estensionedella formula di Taylor, introdotta in [3].

Definizione 6.1. Siano f ∈ C∞(I), x0 ∈ I. La serie di Taylor di f centrata in x0 è la serie dipotenze

∞∑n=0

Dnf(x0)

n!(x− x0)n.

Se x0 = 0, essa è detta serie di Maclaurin.


Chiaramente la serie di Taylor converge in x0 con somma f(x0).

Definizione 6.2. Una funzione f ∈ C∞(I) è detta analitica in x0 ∈ I se(i) la serie di Taylor di f centrata in x0 ha raggio di convergenza R ∈]0,+∞];

(ii)∞∑n=0

Dnf(x0)

n!(x− x0)n = f(x) per ogni x ∈]x0 −R, x0 +R[.

Inoltre, f è detta analitica in I se lo è in ogni punto di I.

Dall’Esempio 5.11 sappiamo che la funzione x 7→ ex è analitica in R. Tuttavia, la sola regolarità C∞non è sufficiente a garantire l’analiticità di una funzione.

Esempio 6.3. Sia f : R→ R definita da

f(x) =

{e−

1x2 se x 6= 0

0 se x = 0.

Si vede facilmente che f ∈ C∞(R) e in particolare Dnf(0) = 0 per ogni n ∈ N. Tuttavia f non èanalitica in 0, in quanto la sua serie di Maclaurin converge a 0 in ogni punto di R, verificando lacondizione (i) ma violando (ii).

Il seguente risultato fornisce una condizione sufficiente per l’analiticità di una funzione:

Lemma 6.4. Siano f ∈ C∞(I), M,L > 0 t.c. |Dnf(x)| 6MLn per ogni n ∈ N, x ∈ I. Allora f èanalitica in I.

Dimostrazione. Fissiamo x0 ∈ I e verifichiamo le condizioni della Definizione 6.2. Per ogni x ∈ I,|x− x0| 6 1L si ha, per ogni n ∈ N, ∣∣∣Dnf(x0)

n!(x− x0)n

∣∣∣ 6 Mn!,

e il secondo membro è il termine generale di una serie convergente. Pertanto il raggio di convergenzadella serie di Taylor di f in x0 è R > 1L e (i) è soddisfatta.

Fissiamo ora x ∈ I, 0 < |x− x0| < R. Per la formula di Taylor con resto di Lagrange (ved. [3]), perogni k ∈ N esiste x̃ ∈ I t.c.∣∣∣f(x)− k∑

n=0

Dnf(x0)

n!(x− x0)n

∣∣∣ = ∣∣∣Dk+1f(x̃)(k + 1)!

(x− x0)k+1∣∣∣

6M(LR)k+1

(k + 1)!.

Passando al limite per k →∞, si ha∞∑n=0

Dnf(x0)

n!(x− x0)n = f(x),

cos̀ı che (ii) è soddisfatta. �

Esempio 6.5. La serie di Maclaurin della funzione x 7→ sin(x) è∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1,

e poiché

limn

(−1)n+1

(2n+ 3)!

(2n+ 1)!

(−1)n= 0,

22 A. IANNIZZOTTO

il suo raggio di convergenza è +∞. Inoltre, per il Lemma 6.4 la funzione è analitica in R. Pertantosi può scrivere, per ogni x ∈ R,

sin(x) =

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1.

Similmente si dimostra la formula

cos(x) =

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2n.

Osserviamo che, derivando termine a termine la serie di Maclaurin di sin(x), si ottiene quella dicos(x), in accordo col Teorema 5.7 e con l’identità D sin(x) = cos(x).

Esempio 6.6. Consideriamo la funzione x 7→ ln(1 + x). Per il Lemma 6.4 essa è analitica. La seriedi Maclaurin è

∞∑n=1

(−1)n+1

nxn,

e dal Teorema 5.10 risulta che il suo raggio di convergenza è 1. Pertanto si ha, per ogni x ∈]− 1, 1[,

ln(1 + x) =

∞∑n=1

(−1)n+1

nxn,

inoltre la serie risulta convergente per x = 1 e divergente per x = −1 (in accordo con l’identitàprecedente).

Identità come quelle ottenute negli esempi precedenti sono dette sviluppi in serie di Taylor (o diMaclaurin) per le funzioni elementari. Tali sviluppi rendono le funzioni trascendenti (esponenziali,logaritmi, funzioni trigonometriche...) calcolabili con approssimazione arbitraria mediante unalgoritmo che richiede solo l’esecuzione di somme e prodotti. Inoltre, alcune funzioni che nonammettono un’espressione mediante le funzioni elementari, come quelle viste in [4], possono essererappresentate (e calcolate) mediante sviluppi in serie.

Esempio 6.7. La funzione degli errori di Gauß f : R→ R è definita da

f(x) =

∫ x0e−t

2dt.

Chiaramente f ∈ C∞(R) e Df(x) = e−x2 . Quest’ultima funzione è analitica e il suo sviluppo inserie di Maclaurin si deduce da quello dell’Esempio 5.11:

Df(x) =

∞∑n=0

(−x2)n

n!.

Integrando termine a termine, per il Teorema 5.6 si ha

f(x) =

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)n!x2n+1.

Esempio 6.8. La funzione seno integrale f : R→ R è definita da

f(x) =

∫ x0

sin(t)

tdt.

Anche in questo caso, lo sviluppo in serie della derivata segue dall’Esempio 6.5:

sin(x)

x=∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n.


Integrando termine a termine si ha

f(x) =

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)(2n+ 1)!x2n+1.

La serie di Taylor si può usare per (ri)-dimostrare alcune note identità relative alle funzioni analitiche.Per esempio

(6.1) ex · ey = ex+y per ogni x, y ∈ R.

Il prodotto secondo Cauchy delle serie di Maclaurin di ex, ey ha termine generale

cn =n∑h=0

xh

h!

yn−h

(n− h)!=

1

n!

n∑h=0

(nh

)xhyn−h =

(x+ y)n

n!.

Inoltre, per il Teorema 3.12 la serie∑∞

n=0 cn converge e ha per somma il prodotto ex · ey, da cui

(6.1).

Osservazione 6.9. La serie di Taylor (che, in quanto serie di potenze, è definita in modo naturalein C come in R, ved. [1]) rappresenta anche un utile strumento per estendere le funzioni elementarial campo complesso, senza rinunciare alle loro proprietà fondamentali. Per esempio, per ogni z ∈ Cponiamo

ez =∞∑n=0

zn

n!, sin(z) =

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!z2n+1, cos(z) =

∞∑n=0

(−1)n

2n!z2n.

Con questa espressione è agevole dimostrare la formula di Eulero:

(6.2) eix = cos(x) + i sin(x) per ogni x ∈ R.

Infatti, sviluppando le funzioni nel punto z = ix, si ha

eix =

∞∑n=0

(ix)n

n!

=

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2n +

∞∑n=0

i(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1

= cos(x) + i sin(x),

da cui (6.2) (per un’esposizione completa di questo argomento, ved. [6]). In particolare si ha

eiπ + 1 = 0.

Esercizio 6.10. Scrivere lo sviluppo in serie di Maclaurin della funzione x 7→ 11+x e stabilire se essaè analitica.

Esercizio 6.11. Scrivere gli sviluppi in serie di Maclaurin per le funzioni sinh(x), cosh(x). Quindiverificare, mediante tali sviluppi, che

D sinh(x) = cosh(x), D cosh(x) = sinh(x).

Esercizio 6.12. Usando gli sviluppi in serie di Maclaurin delle funzioni ln(1+x), ln(1−x), dimostrareche per ogni x ∈]0, 1[

ln(1− x2) = ln(1 + x) + ln(1− x).

24 A. IANNIZZOTTO

Riferimenti bibliografici

[1] A. Iannizzotto, Insiemi numerici. 5, 9, 23

[2] A. Iannizzotto, Limiti e continuità. 1, 3, 4, 8, 12, 13, 16

[3] A. Iannizzotto, Calcolo differenziale. 20, 21

[4] A. Iannizzotto, Calcolo integrale. 9, 14, 22

[5] A. Iannizzotto, Equazioni differenziali ordinarie. 19

[6] C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli (2015). 23

[7] C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli (2016). 12, 17

Dipartimento di Matematica e Informatica

Università degli Studi di Cagliari

Via Ospedale 72, 09124, Cagliari, Italy

E-mail address: [email protected]

1. Serie numeriche2. Serie a termini di segno costante3. Serie a termini di segno variabile e convergenza assoluta4. Successioni di funzioni5. Serie di funzioni6. La serie di TaylorRiferimenti bibliografici

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