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Liceo Lugano 1, 2011-2012 3N (Luca Rovelli)

Capitolo V :Successioni e serie numeriche

La cosiddetta analisi matematica, sviluppata inizialmente in maniera indipendente daNewton e Leibnitz a partire dalla fine del XVII secolo, si occupa dello studio delle pro-prieta delle funzioni reali. In particolare, essa mette a disposizione della scienza i potentistrumenti del calcolo differenziale e del calcolo integrale. Tali strumenti vengono oggicostruiti a partire dal concetto di limite.

Ci occuperemo innanzitutto dello studio dei limiti nel contesto di una famiglia moltoparticolare di funzioni, le successioni, definite nell’insieme N dei numeri naturali. Cioci permettera innanzitutto di familiarizzarci con alcune nozioni fondamentali, e seconda-riamente di introdurre alcuni risultati che potranno essere generalizzati alle funzioni realiper mezzo di un ingegnoso escamotage formale (il cosiddetto principio di trasposizione).

1. Numeri naturali

L’enumerazione (cioe il conteggio) e certamente la piu antica tra le operazioni matematicheconcepite dall’uomo. Appare quindi naturale l’invenzione di simboli e espressioni asso-ciate alle quantita intere positive, che nel tempo hanno dato origine al moderno sistemadi numerazione posizionale. Ma e soltanto a partire dalla fine del XIX secolo (il periododella ”crisi dei fondamenti”) che la matematica ha iniziato ad interrogarsi a propositodell’essenza stessa del concetto di numero, alla ricerca di una sua definizione rigorosa.

La piu celebre e soddisfacente definizione di numero naturale e a tutt’oggi quella assioma-tica, data da Giuseppe Peano1 nel 1889, nel saggio Arithmetices principia, nova methodoexposita:

Definizione 1 (numero naturale)L’insieme dei numeri naturali, denotato con N, e definito come segue:

1) N contiene un elemento, denotato con 0.

2) E definita una funzione

s : N −→ Ni 7−→ s(i) ;

che a i ∈ N associa il suo successore s(i).

1Giuseppe Peano (1858-1932), matematico piemontese, contribuı in modo determinante alla fon-dazione della moderna logica e della teoria degli insiemi. Fu professore all’Universita di Torino e membrodell’Accademia dei Lincei.

Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1) 96 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

3) Se i 6= j, allora s(i) 6= s(j) (cioe: numeri diversi hanno successori diversi).

4) 0 non e successore di nessun numero.

5) Il principio d’induzione: se A e un sottoinsieme di N per cui vale

(i) 0 ∈ A;

(ii) a ∈ A ⇒ s(a) ∈ A(cioe: se un numero naturale e in A, allora lo e anche il suo successore)

allora A = N.

Osservazioni:

(i) Nella notazione correntemente in uso (di origine indo-araba), si scrive

s(0) = 1 , s(s(0)) = s(1) = 2 , s(s(s(0))) = s(s(1)) = s(2) = 3 eccetera.

Vale quindiN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . .} .

(ii) Alcuni autori (specialmente nel campo della teoria dei numeri) non considerano lozero come numero naturale; per essi vale quindi N = {1, 2, 3, . . .}. Essi utilizzanospesso anche la notazione N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . .}.

(iii) L’addizione e definita come segue: i+ 0 = i, e per j 6= 0

i+ j = s(s( . . . s(s︸︷︷︸j volte

(i)) . . .)). In particolare, s(i) = i+ 1.

All’interno della moderna teoria degli insiemi, esistono numerosi modelli per N. Il piucelebre, e per certi versi curioso, e forse quello proposto da Von Neumann2, dove il numerozero viene identificato con l’insieme vuoto:

0 := ∅ = {} ,

e il successore di i viene costruito come l’unione dell’insieme i con l’insieme contenente i:

s(i) = i ∪ {i} .

Vale cioe

• 0 = {}

• 1 = s(0) = 0 ∪ {0} = {} ∪ { {} } = { {} } = {0}

• 2 = s(1) = 1 ∪ {1} = { {} } ∪ {{ {} }} = { {} , {{}} } = {0, 1}

• 3 = s(2) = 2 ∪ {2} = { {} , {{}} , {{}, {{}}} } = {0, 1, 2}e cosı via (cioe: n e definito ricorsivamente come l’insieme dei numeri minori di n). None difficile mostrare che tale modello soddisfa gli assiomi di Peano.

2John (Janos) Von Neumann (1903-1957), matematico statunitense di origini ungheresi, viene consi-derato da taluni ”l’ultimo dei grandi matematici”. Fu un membro del progetto Manhattan e contribuı inmodo determinante allo sviluppo dei primi computer.


2. Il principio d’induzione matematica

Come e facile mostrare, il quinto assioma di Peano, il principio d’induzione, puo essereriscritto nel modo seguente:

Lemma 1: sia n0 ∈ N, e sia S un sottoinsieme di N tale che

• n0 ∈ S;

• se n ∈ S, allora anche n+ 1 ∈ S.

Allora vale n ∈ S ∀ n ≥ n0, cioe {n0, n0 + 1, n0 + 2, . . .} ⊆ S.

In questa forma, esso diventa uno strumento prezioso per la dimostrazione di affermazionisui numeri naturali: supponiamo di voler dimostrare la validita di una data affermazioneAn per ogni n ≥ n0, ad esempio:

1) An: la somma dei primi n numeri naturali e pari a n(n+1)2

(per n ≥ 1);

2) An: il polinomio xn − yn e divisibile per x− y (per n ≥ 1).

Allora sara sufficiente mostrare che

• n = n0 (la base d’induzione3) l’affermazione An0 e valida;

• n→ n+ 1 (il passo d’induzione) se An e valida, allora lo e anche An+1.

In altre parole: sotto l’ipotesi d’induzione ”An e valida” e vera anche la tesid’induzione ”An+1 e valida”.

La spiegazione di questo fatto e molto semplice: basta applicare il Lemma 1 all’insiemeS dei numeri naturali per cui l’affermazione e valida.

Una metafora comunemente in uso e quella dell’effettodomino: la base d’induzione rappresenta la caduta dellaprima tessera, mentre il passo d’induzione rappresentala caduta di ogni successiva tessera.

Esempi:

1) Mostriamo (v.sopra) che valen∑k=1

k =n(n+ 1)

2per n ≥ 1.

• n = 11∑

k=1

k = 1 =1(1 + 1)

2.

3nella lingua tedesca, per indicare la base d’induzione viene utilizzato il suggestivo termine Ver-ankerung, ”ancoraggio”


• n→ n+ 1

Ipotesi d’induzione: l’affermazione e vera per n, cioen∑k=1

k =n(n+ 1)

2.

Tesi d’induzione: l’affermazione e vera per n+1, cioen+1∑k=1

k =(n+ 1)(n+ 2)

2.

Dimostrazione:n+1∑k=1

k =

n∑k=1

k + (n + 1)ip.ind.

=n(n + 1)

2+ (n + 1) =

n(n + 1) + 2(n + 1)

2=

(n + 1)(n + 2)

2�

2) Mostriamo (v.sopra) che xn − yn e divisibile per x− y per n ≥ 1.

• n = 1 x1 − y1 = x− y e ovviamente divisibile per x− y.

• n→ n+ 1

Ipotesi d’induzione: xn − yn e divisibile per x− y.

Tesi: xn+1 − yn+1 e divisibile per x− y.

Dimostrazione:

xn+1 − yn+1 = xn+1−ynx+ ynx︸︷︷︸0

−yn+1 = (xn − yn)︸︷︷︸div. per x− y

x+ yn(x− y) ;

la tesi segue immediatamente dall’ipotesi di induzione �

3) Mostriamo che valen∑k=1

1

k(k + 1)=

n

n+ 1(n ≥ 1),

cioe ad esempio che

1

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+ . . .+

1

99 · 100+

1

100 · 101=

100

101.

• n = 11∑

k=1

1

k(k + 1)=

1

1 · 2=

1

1 + 1.

• n→ n+ 1

Ipotesi:n∑k=1

1

k(k + 1)=

n

n+ 1.

Tesi:n+1∑k=1

1

k(k + 1)=n+ 1

n+ 2.

Dimostrazione:n+1∑k=1

1

k(k + 1)=

n∑k=1

1

k(k + 1)+

1

(n+ 1)(n+ 2)

ip.ind.=

n

n+ 1+

1

(n+ 1)(n+ 2)

=n(n+ 2) + 1

(n+ 1)(n+ 2)=

(n+ 1)�2

��(n+ 1)(n+ 2)�


4) Dimostriamo la disuguaglianza di Bernoulli: per α ∈ R∗, α > −1 e n ∈ N, n ≥ 2vale

(1 + α)n > 1 + nα .

• n = 2 (1 + α)2 = 1 + 2α + α2 > 1 + 2α perche α 6= 0.

• n→ n+ 1

Ipotesi: (1 + α)n > 1 + nα

Tesi: (1 + α)n+1 > 1 + (n+ 1)α

Dimostrazione: moltiplichiamo entrambi i termini dell’ipotesi di induzioneper 1 + α: ricordando che α > −1, e quindi 1 + α > 0, vale

(1 + α)n+1 > (1 + α)(1 + nα) = 1 + nα + α + nα2 = 1 + (n+ 1)α + nα2

> 1 + (n+ 1)α

perche, ovviamente, nα2 > 0 �

5) Dimostriamo che una scacchiera di lato 2n dalla quale viene ri-mossa una casella puo sempre essere ricoperta da figure formate da3 caselle disposte a ”L” (come mostrato a destra per una scacchieradi lato 4 = 22).

• n = 1 Una scacchiera di lato 21 = 2 da cui viene rimossa unacasella consiste proprio in una figura a ”L” (vedi disegno a destra).

• n→ n+ 1

Ipotesi: la tesi e valida per n, e cioe possibile ricoprire una scacchiera di lato2n a meno di una casella con figure a ”L”.

Tesi: la tesi e valida per n+ 1, e cioe possibile agire nello stesso modo con unascacchiera di lato 2n+1 .

Dimostrazione: come mostra il disegno, una scacchiera di lato 2n+1 puoessere suddivisa in 4 scacchiere di lato 2n+1

2= 2n; la casella rimossa appartiene

a una delle quattro. Ricoprendo la parte centrale con una figura a ”L” comeindicato, il problema viene ricondotto al caso n per tutte e 4 le scacchiere, percui l’affermazione e vera per l’ipotesi di induzione �


Una variante del principio d’induzione e il cosiddetto principio d’induzione forte (ocompleta): per dimostrare la validita di una data affermazione An per ogni n ≥ n0 siprocede mostrando che

• n = n0 l’affermazione An0 e valida;

• {n0, . . . , n} → n+ 1 se An0 , An0+1, . . . , An sono valide, allora lo e anche An+1.

Esempio 6): mostriamo che ogni numero naturale n ≥ 2 puo essere scomposto nelprodotto di numeri primi.

• n = 2 e esso stesso un numero primo.

• {n0, . . . , n} → n+ 1

Ipotesi d’induzione: l’affermazione e vera per 2, 3, . . . , n, vale a dire che ogninumero compreso tra 2 e n puo essere scomposto in fattori primi.

Tesi d’induzione: l’affermazione e vera per n+1, cioe n+1 puo essere scomposto.

Dimostrazione: se n+ 1 e un numero primo, non vi e nulla da dimostrare. Se nonlo e, allora puo essere scritto come prodotto di due numeri a e b con 2 ≤ a, b ≤ n, iquali, per l’ipotesi di induzione, possono essere scomposti in fattori primi �

3. Successioni reali

Definizione 2.1 (Successione, versione intuitiva)Una successione reale, indicata con (an)n∈N o piu brevemente con (an), e unasequenza di numeri reali

a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , . . .

numerati da un indice.

Esempi:

1) an = n; si tratta semplicemente della successione degli interi positivi

a1 = 1 , a2 = 2 , a3 = 3 , a4 = 4 , a5 = 5 , . . .

2) bn = n2; si tratta della successione dei quadrati perfetti

b1 = 1 , b2 = 22 = 4 , b3 = 32 = 9 , b4 = 42 = 16 , b5 = 52 = 25 , . . .

3) cn =(n+1n

)n; si tratta della successione

c1 =

(2

1

)1

= 1 , c2 =

(3

2

)2

=9

4= 2, 25 , c3 =

(4

3

)3

=64

27= 2, 370 ,

c4 =

(5

4

)4

=625

256∼= 2, 441 , . . . , c10 ∼= 2, 593 , . . . , c2000 ∼= 2, 718 , . . .


Da un punto di vista piu rigoroso, una successione puo anche essere vista come una ”legge”che associa in modo univoco un numero reale an all’indice n, cioe una funzione:

Definizione 2.2 (Successione, versione formale)Una successione reale, indicata con (an)n∈N o piu brevemente con (an), eun’applicazione

N \ {0} −→ Rn 7−→ an

(che associa quindi un numero reale ad ogni numero naturale maggiore di zero).

I numeri a1, a2, a3, . . . sono i termini della successione.

Una successione (an) e quindi univocamente definita per mezzo di una ”regola” chedefinisce il valore del termine generale an; abitualmente tale regola viene descritta

• in maniera esplicita, cioe tramite una formula che permette di calcolare an a partireda n (come negli esempi 1), 2), 3)),

oppure

• in maniera implicita (o ricorsiva), cioe tramite il primo termine (o i primi termini)e una formula che permetta di calcolare an+1 a partire da an (o da piu termini chelo precedono).

Esempi:

4) La regola

{d1 = 1

dn+1 = dn + 2definisce ricorsivamente la successione

d1 = 1 , d2 = 1 + 2 = 3 , d3 = 5 , d4 = 7 , d5 = 9 , . . .

dei numeri dispari; e facile vedere che vale dn = 2n− 1 .

5) La regola

{e1 = 1

en+1 = n · endefinisce ricorsivamente la successione

e1 = 1 , e2 = 2 · 1 = 2 , e3 = 3 · 2 · 1 = 6 , e4 = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 , . . .

dei numeri fattoriali; come gia sappiamo, essa viene solitamente abbreviata conen = n!

6) La regola

{f1 = 1 , f2 = 1

fn+1 = fn + fn−1 (n ≥ 2)definisce ricorsivamente la successione

f1 = 1 , f2 = 1; , f3 = 2 , f4 = 3 , f5 = 5 , f6 = 8 , f7 = 13 , . . .

dei numeri di Fibonacci. Si puo dimostrare (per induzione, v. esercizi) che vale

fn =1√5

((1 +√

5

2

)n

−

(1−√

5

2

)n)(Formula di Binet) .


7) Sia

{g1 = 1 , g2 = 4

gn+1 = 12(gn + gn−1 + 6n+ 1)

Allora vale

g3 =1

2(a2 + a1 + 6 · 2 + 1) =

1

2(4 + 1 + 12 + 1) = 9

g4 =1

2(a3 + a2 + 6 · 3 + 1) =

1

2(9 + 4 + 18 + 1) = 16

g5 =1

2(a4 + a3 + 6 · 4 + 1) =

1

2(16 + 9 + 24 + 1) = 25

g6 =1

2(a5 + a4 + 6 · 5 + 1) =

1

2(25 + 16 + 30 + 1) = 36

Apparentemente vale gn = n2; lo dimostriamo con il metodo dell’induzione forte:

• n = 3 vedi sopra.

• {3, . . . , n} → n+ 1

Ipotesi: g3 = 32, g4 = 42, . . ., gn = n2.

Tesi: gn+1 = (n+ 1)2

Dimostrazione: vale

gn+1 =1

2(gn + gn−1 + 6n+ 1)

ip.ind=

1

2

(n2 + (n− 1)2 + 6n+ 1

)=

1

2

(2n2 + 4n+ 2

)= n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)2 �

4. Progressioni aritmetiche

Definizione 3 (Progressione aritmetica)Una successione reale (an)n∈N tale che la differenza d tra due termini consecutivi ecostante e detta progressione aritmetica. Tale differenza e detta ragione dellaprogressione aritmetica.

Esempi:

1) Sia a1 = 7 e d = 3; otteniamo la successione

(an) = (7, 10, 13, 16, 19, ...) .

2) Sia b1 = 2 e d = −52; otteniamo la successione

(bn) =

(1,−3

2,−4,−13

2,−9, . . .

).


3) Sia c1 = 1 e d = 2; ; otteniamo la successione

(cn) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...)

dei numeri dispari.

Osservazione: dalla definizione risulta subito una formula per ricorrenza: dati a1 e d,basta porre

an+1 = an + d .

Osserviamo quindi che vale

(an) = ( a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d , a1 + 4d , . . . ) ;

deduciamo immediatamente anche la formula esplicita (che, a onor del vero, dovrebbeessere dimostrata induttivamente):

Lemma 2Sia (an) una progressione aritmetica di ragione d. Allora vale

an = a1 + (n− 1) · d .

Esempi:

4) Qual e il decimo membro della successione (an) dell’es. 1)?

Dal momento che vale

an = a1 + (n− 1) · d = 7 + (n− 1) · 3 = 3n+ 4,

possiamo calcolare a10 = 3 · 10 + 4 = 34 .

5) Qual e il 100-esimo numero dispari?

Dall’es. 3) ricaviamo la formula per l’n-esimo numero dispari:

cn = 1 + (n− 1) · 2 = 2n− 1 ;

quindi c100 = 2 · 100− 1 = 199 .

Il seguente risultato giustifica l’aggettivo aritmetica:

Lemma 3Siano an−1, an e an+1 tre termini consecutivi di una progressione aritmetica. Alloraan e la media aritmetica di an−1 e an+1.

Dimostrazione: e sufficiente calcolare la media dei termini an−1 e an+1 tenendo contodel Lemma 2:

1

2(an−1 + an+1) =

1

2(a1 + (n− 2)d + a1 + nd) =

1

2(2a1 + (2n− 2)d) = a1 + (n− 1)d = an �


Per la somma di una progressione aritmetica vale quanto segue:

Lemma 4Sia (an) una progressione aritmetica. Allora per la somma dei suoi primi n terminivale

n∑i=1

ai = a1 + a2 + . . .+ an−1 + an =n(a1 + an)

2.

Dimostrazione: procediamo tramite un cosiddetto doppio conteggio4; allineiamo dap-prima su due righe i termini da a1 a an, in ordine crescente nella riga superiore e decre-scente nella riga inferiore:

a1 a2 a3 . . . an−2 an−1 anan an−1 an−2 . . . a3 a2 a1

La somma di tutti i valori e chiaramente 2

n∑i=1

ai; osservando che i termini nelle colonne

sono ai e an−i+1 per i = 1 . . . n, e che la somma per ciascuna delle n colonne e uguale a

ai + an−i+1 = (a1 + (i− 1)d) + (a1 + (n− i+ 1− 1)d) = a1 + a1 + (n− 1)d = a1 + an ,

deve valere 2

n∑i=1

ai= n(a1 + an), e la tesi segue.

In alternativa, il lemma puo essere dimostrato induttivamente:

• n = 11∑i=1

ai = a1 =1 · (a1 + a1)

2

• n→ n+ 1 supponiamo (ip.ind.) chen∑i=1

ai =n(a1 + an)

2. Allora

n+1∑i=1

ai =n∑i=1

ai + an+1 =n(a1 + an)

2+ an+1 =

na1 + nan + 2an+1

2=

=na1 + nan + 2(a1 + nd)

2=

(n+1)a1︷︸︸︷na1 + a1 +

an+1︷︸︸︷a1 + nd+

n(an+d)=nan+1︷︸︸︷nan + nd

2=

=(n+ 1)a1 +

(n+1)an+1︷︸︸︷nan+1 + an+1

2=

(n+ 1)(a1 + an+1)

2.

La tesi e quindi valida anche per n+ 1 �

4tale idea viene per tradizione fatta risalire al Princeps mathematicorum Carl Friedrich Gauss (1777-1855) il quale, si dice, dimostro la formula nel caso particolare della somma dei primi n numeri naturali(esempio 9)) all’eta di 9 anni


Esempi:

8) Calcoliamo nuovamente la somma dell’esempio 7), con a1 = 6 e a7 = 6 + 6 · 5 = 36:

7∑i=1

an =7(a1 + a7)

2=

7 · (6 + 36)

2= 147 .

9) Nel caso particolare della somma dei primi n numeri, ponendo a1 = 1, an = n ed = 1 otteniamo la ben nota formula

n∑i=1

i =n(1 + n)

2.

Osservazione: la successione (tn) con tn = 1 + 2 + 3 + . . .+n =n(n+ 1)

2e detta

successione dei numeri triangolari; il motivo puo facilmente essere intuito osservandola seguente figura:

t1 = 1 t2 = 3 t3 = 6 t4 = 10 t5 = 15 t6 = 21

10) Calcolando la somma dei primi n numeri dispari si ottiene un altro risultato bennoto:

n∑i=1

(2i− 1) =n(1 + 2n− 1)

2= n2 .

5. Progressioni geometriche

Definizione 4 (Progressione geometrica)Una successione reale (an)n∈N tale che il quoziente q tra due termini consecutivi ecostante e detta progressione geometrica. Tale quoziente e detto ragione dellaprogressione geometrica.

Esempi:

1) Sia a1 = 3 e q = 2; otteniamo la successione

(an) = (3, 6, 12, 24, 48, ...) .

2) Sia b1 = 10 e d = −12; otteniamo la successione

(bn) =

(10,−5,

5

2,−5

4,5

8, . . .

).


Osservazione: dalla definizione risulta subito una formula per ricorrenza: dati a1 e q,basta porre

an+1 = q · an .

Osserviamo quindi che vale

(an) =(a1 , qa1 , q

2a1 , q3a1 , q

4a1 , . . .)

;

deduciamo immediatamente anche la formula esplicita:

Lemma 5Sia (an) una progressione geometrica di ragione q. Allora vale

an = a1 · qn−1 .

Esempio:

3) Qual e il decimo membro della successione (an) dell’es. 1)?

Dal momento che valean = a1 · qn−1 = 3 · 2n−1,

possiamo calcolare a10 = 3 · 29 = 3 · 512 = 1536 .

Anche nel caso delle successioni geometriche il nome si giustifica con la media di duetermini:

Lemma 6Siano an−1, an e an+1 tre termini consecutivi di una progressione geometrica. Alloraan e la media geometrica di an−1 e an+1.

Dimostrazione: e sufficiente calcolare la media geometrica√an−1 · an+1 tenendo conto

del Lemma 5:

√an−1 · an+1 =

√a1qn−2 · a1qn =

√a21q

2n−2 = a1 qn−1 = an �

Consideriamo nuovamente il problema della somma dei primi n termini:

Lemma 7Sia (an) una progressione geometrica. Allora per la somma dei suoi primi n terminivale

n∑i=1

ai = a1 ·qn − 1

q − 1.

Dimostrazione: notiamo innanzitutto che vale

(1− q)

n∑i=1

qi−1 = (1− q)(1 + q + q2 + . . . + qn−2 + qn−1)

= (1− q) · 1 + (1− q) · q + (1− q) · q2 + . . . + (1− q) · qn−2 + (1− q) · qn−1 =

= 1��−q��+q��−q2�

��+q2 ∓ . . . ��−qn−1��+qn−1 − qn

= 1− qn ,


quindin∑i=1

qi−1 =1− qn

1− q=qn − 1

q − 1e

n∑i=1

ai =n∑i=1

a1qi−1 = a1

n∑i=1

qi−1 = a1 ·qn − 1

q − 1.

Includiamo, come alternativa, anche una dimostrazione induttiva:

• n = 11∑i=1

ai = a1 = a1q1 − 1

q − 1.

• n→ n+ 1 Supponiamo (ip.ind.) chen∑i=1

ai = a1qn − 1

q − 1. Allora

n+1∑i=1

ai =n∑i=1

ai + an+1 = a1qn − 1

q − 1+ qna1 = a1

qn − 1 + qn+1 − qn

q − 1= a1

qn+1 − 1

q − 1.

La tesi e quindi valida anche per n+ 1 �

Esempi:

4) Calcola la somma dei primi 5 termini della successione (bn) dell’esempio 2):

5∑i=1

an = 10 ·(−1

2

)5 − 1

−12− 1

= 10 ·− 1

32− 1

−32

= 10 · 33

32· 2

3=

55

8.

5) Un problema classico: ponendo un chicco di riso sulla prima casella di una scac-chiera, 2 sulla seconda, 4 sulla terza, 8 sulla quarta e cosı via, quanti chicchi sitroverebbero in totale sulla scacchiera?

Calcoliamo innanzitutto la somma delle prime n potenze di 2: con a1 = 1, q = 2vale

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . .+ 2n−1 =n∑i=1

2i−1 = 1 · 2n − 1

2− 1= 2n − 1 .

La risposta al problema e quindi

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . .+ 263 =64∑i=1

2i−1 = 264 − 1 ∼= 9 · 1018 chicchi

(circa 9 miliardi di miliardi!).


6. Complementi sui numeri reali

Come gia sappiamo (vedi programma di I), l’insieme R dei numeri puo essere costruitoper successivi ampliamenti a partire dall’insieme N dei numeri naturali. In particolare:

• affiancando ad ogni numero naturale n il suo opposto (−n), cioe il numero tale chen + (−n) = 0, si ricava l’insieme Z dei numeri interi, nel quale ogni equazionedella forma a+ x = b possiede una soluzione;

• affiancando ad ogni numero intero a 6= 0 il suo reciproco 1a

= a−1, tale che a · 1a

= 1,si ottiene l’insieme Q dei numeri razionali della forma b · 1

a= b

a(a 6= 0), nel quale

ogni equazione della forma ax = b (a 6= 0) possiede una soluzione;

• ogni numero razionale puo essere fatto corrispondere a un punto di una retta, la qualepero non puo essere totalmente ”coperta” dall’insieme Q dei numeri razionali5. Latotalita dei punti della retta corrisponde ad un ulteriore ampliamento del camponumerico, l’insieme R dei numeri reali.

Chiaramente, dal momento che si procede per ampliamenti successivi, varra

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ,

e l’insieme R, corrispondendo in maniera naturale ad una retta, appare come il piu adattotra gli insiemi numerici per operare geometricamente6. Si tratta inoltre del ”piu piccolo”insieme numerico all’interno del quale e possibile dare pienamente un senso al concetto dilimite. Prima di approfondire tale concetto appare quindi opportuno un breve excursussui numeri reali, che ne metta in evidenza le caratteristiche essenziali: algebriche, diordinamento e geometriche (o, meglio, topologiche).

Iniziamo dalle proprieta di calcolo nell’insieme R:

Teorema 8 (Proprieta algebriche di R)

(R,+, ·) e un corpo commutativo (o campo); in particolare

(i) (R,+) e un gruppo abeliano: l’addizione in R

• e associativa: (a+ b) + c = a+ (b+ c)∀ a, b, c ∈ R;

• ammette l’elemento neutro (lo zero): a+ 0 = 0 + a = a ∀ a ∈ R;

• ammette l’elemento simmetrico (l’opposto):∀a ∈ R ∃ (−a) ∈ R: a+ (−a) = (−a) + a = 0;

• e commutativa: a+ b = b+ a∀ a, b ∈ R.

5ad esempio, la diagonale di un quadrato avente lato pari ad un’unita non puo essere espressa nellaforma a

b con a e b interi6ad esempio, le proprieta di R fanno sı che l’equazione parametrica di una retta ne descriva la totalita

dei punti


(ii) (R, ·) e anch’esso gruppo abeliano: la moltiplicazione in R

• e associativa: (a · b) · c = a · (b · c)∀ a, b, c ∈ R;

• ammette l’elemento neutro (l’uno): a · 1 = 1 · a = a ∀ a ∈ R;

• ammette l’elemento simmetrico (il reciproco):∀a ∈ R \ {0} ∃ a−1 ∈ R \ {0}: a · a−1 = a−1 · a = 1;

• e commutativa: a · b = b · a ∀ a, b ∈ R.

(iii) Vale la proprieta distributiva (dell’addizione rispetto alla moltiplicazione):

a · (b+ c) = a · b+ a · c ∀ a, b, c ∈ R .

Osservazioni:

(i) Anche Q, provvisto di addizione e moltiplicazione, possiede la struttura di campo.In Z, invece, soltanto +1 e −1 possiedono un reciproco, e in N soltanto +1. In N,inoltre, soltanto lo zero possiede l’elemento opposto.

(ii) Dagli assiomi di campo, elencati nel Teorema, seguono tutte le regole di calcoloutilizzate per semplificare espressioni algebriche o per la risoluzione di equazioni.

Passiamo ora ad un altro aspetto dell’insieme R, quello dell’ordinamento. Per ordinare inumeri reali, possiamo procedere come segue: innanzitutto distinguiamo in R i sottoin-siemi R+ dei numeri positivi e R− dei numeri negativi, con R = R−∪R+ e R−∩R+ = {0}(lo zero e l’unico numero sia positivo che negativo), e definiamo la relazione

a ≤ b ⇐⇒ b = a+ x con x ∈ R+ .

In particolare, vale a ≤ 0 se a e negativo e 0 ≤ a se a e positivo7.

Teorema 9 (Ordine totale in R)

L’insieme R, munito della relazione ≤, e totalmente ordinato. Vale cioe

(i) a ≤ a ∀ a ∈ R (proprieta riflessiva);

(ii) se a ≤ b e b ≤ a, allora a = b (proprieta antisimmetrica);

(iii) se a ≤ b e b ≤ c, allora a ≤ c (proprieta transitiva);

(iv) dati a, b ∈ R, allora vale a ≤ b, oppure b ≤ a; due numeri reali sono cioesempre confrontabili.

Le proprieta (i)-(iii) contraddistinguono una cosiddetta relazione d’ordine; l’ordine etotale se vale anche (iv).

7cio ci puo apparire ovvio, ma ricordiamo che in questa definizione la nozione di positivita precede ladefinizione della relazione ≤


Osservazioni:

(i) La relazione d’ordine e evidente se R viene identificato con la retta dei numeri: valea ≤ b se a non viene rappresentato a sinistra di b.

(ii) Considerando N, Z e Q come sottoinsiemi di R, e evidente che la relazione ”≤” hasenso anche al loro interno.

(iii) La relazione ”≤” definisce in modo naturale anche una relazione ”≥”, ad esempiomediante la regola a ≥ b ⇐⇒ −a ≤ −b.

Definizione 5

Sia A 6= ∅ un sottoinsieme di R.

(i) x ∈ R e un minorante di A, se vale x ≤ a ∀ a ∈ A;

(ii) x ∈ R e un maggiorante di A, se vale x ≥ a ∀ a ∈ A;

(iii) se x ∈ A e minorante di A, allora x e il minimo di A, denotato minA;

(iv) se x ∈ A e maggiorante di A, allora x e il massimo di A, denotato maxA.

Esempi:

1) Sia A =]1, 5] = {x ∈ R | x > 1 e x ≤ 5}.

• −100, −10, 0, 99100

, 1 sono minoranti di A;

• 5, 2π, 10, 100, 10100 sono maggioranti di A;

• minA non esiste: e facile vedere che per ogni a ∈ A vale 1 < 1+a2< a (cioe che,

dato un numero in a ∈ A, esiste sempre un numero minore di a in A);

• maxA = 5.

2) Sia B = {x ∈ R | x = 1− 1n, n ∈ N\{0}} = {1−1, 1− 1

2, 1− 1

3, 1− 1

4, . . .} l’insieme

dei termini della successione bn = 1 + 1n.

• −100, −10, −1, − 1100

, 0 sono minoranti di B;

• 1, 2, 10, 100, 1000 sono maggioranti di B;

• minB = b1 = 0 (dal momento che la successione e crescente: bn < bn+1 ∀n);

• maxB non esiste, dal momento che vale bn < bn+1 < 2 ∀n.

Definizione 6

Sia A 6= ∅ un sottoinsieme di R.

(i) A e limitato superiormente se ammette un maggiorante;

(ii) A e limitato inferiormente se ammette un minorante;

(iii) A e limitato se e limitato superiormente e inferiormente.


Esempi:

1) A e B (v. sopra) sono limitati;

2) C =]−∞, 5[ e limitato superiormente, ma non limitato;

3) D = {2n+ 1 | n ∈ N} = {1, 3, 5, 7, . . .} e limitato inferiormente ma non limitato;

4) E = {(−1)n · n | n ∈ N} = {0,−1, 2,−3, 4,−5, . . .} non e limitato.

Prima di passare ad un’altra fondamentale proprieta di R dobbiamo introdurre ancoradue nozioni.

Definizione 7

Sia A 6= ∅ un sottoinsieme di un insieme totalmente ordinato.

(i) Se l’insieme dei minoranti di A possiede un massimo, esso e l’infimum (oestremo inferiore) di A, denotato inf A;

(ii) se l’insieme dei maggioranti di A possiede un minimo, esso e il supremum (oestremo superiore) di A, denotato supA.

In altre parole: inf A e il piu piccolo maggiorante, supA e il piu grande minorante.

Esempi:

1) per A =]1, 5] vale inf A = 1 e supA = maxA = 5;

2) per B = {x ∈ R | x = 1− 1n, n ∈ N \ {0}} vale inf B = minB = 0 e supB = 2;

3) C =]−∞, 5[ non ammette infimum, e supC = 5;

4) per D = {2n+ 1 | n ∈ N} vale inf D = minD = 1; supD non esiste.

Osservazione: come mostrano gli esempi, se A ammette il minimo vale inf A = minA,e se A ammette il massimo vale supA = maxA.

Definizione 8

Sia F un corpo totalmente ordinato; allora F e completo se ogni sottoinsieme nonvuoto A ⊆ F limitato superiormente ammette il supremum in F.

(Contro-)Esempio: l’insieme Q dei numeri razionali non e completo. Consideriamo adesempio il sottoinsieme

A = {x ∈ Q+ | x2 < 2} ;

allora (dal momento che in Q+ la funzione x→ x2 e crescente) l’insieme dei suoi maggio-ranti e

B = {x ∈ Q+ | x2 ≥ 2} ;

esso non possiede un minimo: dato x ∈ B, e sempre possibile esibire y < x tale che y2 ≥ 2(cioe un numero piu piccolo di x in B), ad esempio y = x

2+ 1

x, e il numero tale che x2 = 2

non appartiene, come mostrato in I Liceo, all’insieme Q.


Invece,

Teorema 10

L’insieme R dei numeri reali e completo.

E ad esempio intuitivamente chiaro che, utilizzando la nozione intuitiva di R come ”rettadei numeri”, l’insieme

A = {x ∈ R+ | x2 < 2}possiede un supremum: si tratta del numero indicato con

√2, ottenuto geometricamente

come diagonale di un quadrato di lato unitario.

La completezza di R si puo esprimere anche mediante la cosiddetta proprieta degli inter-valli incapsulati:

Teorema 11

Data in R una successione di intervalli chiusi

[a1; b1] ⊆ [a2; b2] ⊆ [a3; b3] ⊆ . . .

tale che an ≤ an+1 e bn+1 ≤ bn per ogni n, allora esiste almeno un x ∈ R comune atutti gli intervalli.

Dimostriamo che il Tm. 11 segue direttamente dal Tm. 10 (al quale e, in realta,equivalente): sia A = {an | n ∈ N} l’insieme di tutti gli an. Dal momento che A elimitato superiormente (vale ad esempio an ≤ b1 ∀n), per il Tm. 10 esso ammette ilsupremum x = sup A. Dalla definizione di supremum segue immediatamente che x ≥ an∀ n; inoltre, dato che ai ≤ bj ∀i, j deve anche valere x ≤ bn ∀ n. Di conseguenza,

x ∈ [an, bn] ∀ n ∈ N ,

come volevasi dimostrare �

La nozione di R come ”insieme dei punti di una retta” non e certo soddisfacente dalpunto di vista matematico. Una costruzione rigorosa dell’insieme dei numeri reali puoessere ottenuta in svariati modi. Ne accenniamo due.

• (L’approccio sintetico) Come abbiamo gia visto, R e un campo, totalmente ordinatoe completo. Si puo dimostrare che due insiemi aventi tali proprieta possono essereidentificati tra loro in modo naturale. Esiste quindi soltanto ”un” insieme che lesoddisfa tutte e tre: cio permette una definizione assiomatica di R.

• (Incapsulamenti) L’insieme R puo essere costruito come l’insieme degli incapsula-menti di numeri razionali, cioe delle successioni di intervalli

[a1; b1] ⊆ [a2; b2] ⊆ [a3; b3] ⊆ . . .

con an, bn ∈ Q ∀n, an ≤ an+1 e bn+1 ≤ bn. In tal modo, R viene costruito comel’insieme che soddisfa il Teorema 11.


Terminiamo il paragrafo con alcune definizioni di carattere tecnico.

Definizione 9 (Intorni)

(i) Sia x ∈ R; un intervallo aperto I(x) =]a, b[ contenente x e un intorno apertodi x; il corrispondente intorno puntato e I(x) = I(x) \ {x} =]a, x[∪]x, b[.

(ii) Sia x ∈ R e sia ε > 0; l’ε-intorno (”epsilon-intorno”) di x e l’intervalloIε(x) =]x−ε, x+ε[; il corrispondente ε-intorno puntato e Iε(x) = Iε(x)\{x}.

Ad esempio, vale I 110

(1) =]

910, 1110

[e I 1

10(1) =

]910, 1110

[\ {1} =

]910, 1[∪]1, 11

10

[.

Osservazione: a ∈ R giace nell’ε-intorno di x se la distanza tra a e x e inferiore a ε:

a ∈ Iε(x) ⇐⇒ |x− a| < ε ,

e a ∈ R giace nell’ε-intorno puntato di x se la distanza tra a e x e superiore a zero einferiore a ε:

a ∈ I(x) ⇐⇒ 0 < |x− a| < ε .

Definizione 10 (Punto di accumulazione)

Sia S ⊆ R un sottoinsieme di R. x ∈ R e un punto di accumulazione di S se perogni ε > 0 vale S ∩ I(x) 6= ∅.

In altre parole: se per ogni ε > 0 (”piccolo a piacere”) esiste s ∈ S la cui distanza da x einferiore a ε. Nota che un punto di accumulazione di S puo anche essere esterno a S.

Esempi:

1) Ogni x ∈ R e punto di accumulazione di R.

2) Sia I =]a, b[; allora l’insieme dei punti di accumulazione di I e l’intervallo chiuso[a, b] (dal momento che anche a e b sono p.d.a. di I).

3) Ogni x ∈ R e punto di accumulazione di Q, dal momento che un numero realepuo essere approssimato a piacere da numeri razionali (ad esempio per mezzo ditroncamenti successivi del suo sviluppo decimale).

4) Considera l’insieme S = { 1n|n ∈ N \ {0}} = {1, 1

2, 13, . . .}. Allora

• 0 e p.d.a. di S, dal momento che per ogni ε > 0 esiste n tale che 1n< ε;

• 1 non e p.d.a. di S, dal momento che vale ad esempio I 12(1) ∩ S = ∅.


7. Convergenza e divergenza

Esempi introduttivi: confrontiamo il comportamento delle successioni

a) an = 1 +1

n=n+ 1

n,

b) bn = n2 − 2 ,

c) cn = (−1)n + 2−n

al crescere di n:

a) (an) =(2, 3

2, 43, 54, 65, 76, . . .

);

al crescere di n il valore di an si avvicina arbitrariamente a 1; scriveremo

limn→∞

an = 1

(”il limite di an per n tendente a infinito e uguale a 1”) e diremo che la successionee convergente. Nota che 1 e p.d.a. della successione8.

b) (bn) = (−1, 2, 7, 14, 23, 34, 47, ...);

al crescere di n il valore di bn diventa arbitrariamente grande; scriveremo

limn→∞

bn = +∞

(”bn tende a infinito per n tendente a infinito”) e diremo che la successione e diver-gente determinata.

c) (cn) =(−1

2, 54,−7

8, 1716,−31

32, . . .

);

al crescere di n il valore di cn si avvicina alternativamente a +1 e -1; diremo che illimite di tale successione non esiste, e quindi che essa a divergente indeterminata.

I numeri reali +1 e −1, attorno ai quali infiniti valori di cn si accumulano, sonop.d.a della successione.

Prendendo spunto dal primo esempio, enunciamo la seguente

Definizione 11.1 (Limite finito, versione qualitativa)Sia (an) una successione reale. Allora a ∈ R e il limite di an (per n tendente ainfinito), denotato

a = limn→∞

an

se an si avvicina arbitrariamente ad a quando n e sufficientemente grande.

Osservazione: sono in uso anche le notazioni ”an → a per n→∞” e ”ann→∞−→ a”.

8per semplicita, chiameremo punto di accumulazione di una successione un punto di accumulazionedell’insieme dei suoi termini


Esempio 1) considera la successione an = 1 + (−1)nn

; essa assume i valori

(an) =

(0, 1 +

1

2, 1− 1

3, 1 +

1

4, 1− 1

5, . . .

);

rappresentiamo graficamente i punti (n, an) per i primi valori di n:

intuitivamente e chiaro che i valori di an oscillano attorno al valore limite a = +1, avvi-cinandosi sempre di piu ad esso. Varra quindi

limn→∞

(1 +

(−1)n

n

)= 1 .

Ragionando in modo piu quantitativo, possiamo affermare quanto segue: limn→∞

an = 1

perche, scelto un qualsiasi ”scarto massimo” ε > 0 (”epsilon maggiore di zero”), esisteun valore N dell’indice n a partire del quale i termini an si troveranno nel ε-intorno di 1;graficamente, ponendo ad esempio ε = 0, 15 = 3

20:

Dal disegno possiamo intuire che a partire da a7 = 1 + 17∼= 1, 14 ogni termine della

successione si trovera ”intrappolato” nell’intorno

I 320

(1) =

]1− 3

20, 1 +

3

20

[= ]0, 85 ; 1, 15[ ,

ossia che per n > 6 si avra |an − 1| < 0, 15 (N = 6, quindi), e che un comportamentosimile si potra osservare sostituendo a 0, 15 qualsiasi valore ε > 0 (piccolo a piacere).

In termini algebrici, cerchiamo i valori n per cui vale |an − 1| < ε:

|an − 1| < ε ⇐⇒∣∣∣∣�1 +

(−1)n

n��−1

∣∣∣∣ < ε ⇐⇒ 1

n< ε

e quindi n > 1ε. Ponendo (come sopra) ε = 3

20otteniamo n > 20

3∼= 6, 67; e quindi chiaro

che deve valere n > N = 6.


Generalizzando quanto visto, siamo pronti a comprendere la seguente

Definizione 11.2 (Limite finito, versione rigorosa)Sia (an) una successione reale. Allora a ∈ R e il limite di an, denotato

a = limn→∞

an

se, scelto ε >, esiste N > 0 (dipendente da ε) tale che la distanza tra a e an e minoredi ε quando n > N . In simboli:

∀ ε > 0 ∃N > 0 : n > N ⇒ |an − a| < ε(cioe an ∈ Iε(a).

)Osservazione: e immediatamente chiaro che a e un punto di accumulazione di (an).

Esempio 2) intuitivamente, e chiaro che limn→∞

2−n = 0, cioe che an = 2−n e una cosidetta

successione nulla, dal momento che essa assume i valori

(an) =

(1

2,1

4,1

8,

1

16,

1

32, . . .

)tendenti a zero. Verifichiamolo rigorosamente:

come sopra, poniamo ε > 0 e risolviamo la disequazione:

|2−n − 0| < ε ⇐⇒∣∣2−n∣∣ < ε ⇐⇒ 2−n < ε ⇐⇒ −n < log2 ε

⇐⇒ n > − log2 ε.

Quindi: per n > − log2 ε vale |2−n − 0| < ε.

Illustrazione (con ε = 110⇐⇒ − log2 ε

∼= 3, 32, quindi N = 3):

Teorema 12 (Unicita del limite)Il limite di una successione, se esiste, e unico.

Dimostrazione: supponiamo che valga

limn→∞

an = A e limn→∞

an = B .

Per la disuguaglianza triangolare (v. sotto) vale, per ogni n,

|A−B| = |A −an + an︸︷︷︸0

−B| ≤ |A− an|+ |an −B| .


Sia ε > 0 (”piccolo a piacere”). Per la definizione di limite,

• esiste N1 tale che |A− an| < ε2

per n > N1;

• esiste N2 tale che |an −B| < ε2

per n > N2.

Ponendo n > max{N1, N2} si mostra che vale |A−B| < ε:

|A−B| ≤ |A− an|+ |an −B| <ε

2+ε

2= ε ;

cioe: la distanza tra A e B e piu piccola di ogni numero reale positivo.In altre parole, A = B �

Osservazione: nella dimostrazione abbiamo fatto uso della cosiddetta disuguaglianzatriangolare

|x+ y| ≤ |x|+ |y| ,

valida per ogni coppia x, y di numeri reali (facilmente dimostrabile ad esempio elevandoal quadrato i due termini).

Passiamo ora al caso dei limiti infiniti; prendendo spunto dal secondo esempio a pag. 115,possiamo enunciare la seguente

Definizione 12.1 (Limite infinito, versione qualitativa)Sia (an) una successione reale. Allora vale

limn→∞

an = +∞ risp. limn→∞

an = −∞

se il valore di an diventa arbitrariamente grande (in senso positivo risp. negativo)quando n e sufficientemente grande.

Osservazione: potremmo anche affermare che vale limn→∞

an = +∞ (risp. −∞) se la

successione cresce (risp. decresce) oltre ogni limite.

Esempio 3) considera la successione an =√n2 − n; essa assume i valori

(an) =(

0,√

2,√

6,√

12,√

20, . . .)

;

risulta intuitivamente chiaro che vale limn→∞

an = +∞, dal momento che il valore di an

supera, per n sufficientemente grande, qualsiasi ”barriera”. In effetti, scegliendo M > 0,e sempre possibile trovare n tale che

an > M ⇐⇒√n2 − n > M ⇐⇒ n2 − n−M2 > 0 ;

risolvendo la disequazione quadratica tenendo conto del fatto che an > 0 e facile vedereche vale an > M per n > 1

2

(1 +√

4M2 + 1).


Ad esempio, per M = 6 vale

1

2

(1 +√

4M2 + 1)

=1

2

(1 +√

145)∼= 6, 52

e quindi an > 6 per n > 6, come mostra l’illustrazione afianco.

Perveniamo quindi ad una definizione piu rigorosa:

Definizione 12.2 (Limite infinito, versione rigorosa)Sia (an) una successione reale. Allora vale

limn→∞

an = +∞ risp. limn→∞

an = −∞

se, scelto M > 0, esiste N > 0 (dipendente da M) tale che an > M risp. an < −Mquando n > N . In simboli:

∀M > 0 ∃N > 0 : n > N ⇒ an > M risp. an < −M .

Esempio 4) mostriamo che vale limn→∞

log1

n= −∞ :

sia M > 0; allora risolviamo

an < −M ⇐⇒ log1

n< −M ⇐⇒ − log n < −M ⇐⇒ log n > M ⇐⇒ n > 10M .

Per n > 10M vale quindi an < −M .

Definizione 13 (Convergenza e divergenza)Una successione (an) e detta

• convergente, se ammette un limite finito;

• divergente determinata, se vale limn→∞

an = +∞ oppure limn→∞

an = −∞;

• divergente indeterminata nei casi restanti.

Esempi di successioni divergenti indeterminate:

a) an = (−1)n ; b) bn = 2(−1)n·n ; c) cn = sin(n · 2π

10

).

(Per esercizio, descrivi il comportamento di ognuna di esse.)


8. Successioni limitate e successioni convergenti

Per convenzione una successione (an) si dice limitata se l’insieme dei suoi termini e limi-tato. Nella lingua italiana, si tratta di una scelta di termini piuttosto infelice9: una suc-cessione limitata non possiede per forza un limite, come mostra l’esempio an = (−1)n+ 1

n.

Per contro, se esiste il limite la successione e certamente limitata:

Teorema 13Una successione convergente e limitata.

Dimostrazione: sia a = limn→∞

an; scegliendo ε = 1 nella definizione di limite, segue che

esiste N > 0 tale che|an − a| < 1 ∀ n > N ;

di conseguenza, per n > N vale

|an| = |an −a+ a︸︷︷︸0

| ≤ |an − a|︸︷︷︸<1

+|a| < 1 + |a| .

Cio dimostra che solo un numero finito di termini della successione puo avere valoreassoluto maggiore di 1 + |a|; in particolare, scegliendo

c = max{|a1|, |a2|, . . . , |aN |, 1 + |a|}

varra certamente −c ≤ an ≤ c per ogni n: la successione e quindi limitata �

Come abbiamo gia rimarcato, una successione limitata non possiede sempre un limite.Intuitivamente e pero chiaro che i suoi (infiniti!) termini debbano addensarsi da qualcheparte:

Teorema 14 (Bolzano-Weierstrass)Una successione limitata ammette almeno un punto di accumulazione.

Dimostrazione: sia (an) una successione limitata. Allora l’insieme dei suoi terminiammette un minorante A e un maggiorante B. Costruiamo ricorsivamente una successionedi intervalli [αn, βn] nel modo seguente:

• [α1, β1] = [A,B] ;

• sia C = A+B2

il punto medio dell’intervallo [A,B]; allora almeno uno degli intervalli[A,C] e [C,B] contiene un’infinita di termini di an; poniamo [α2, β2] = [A,C] se[A,C] contiene un’infinita di termini di an, altrimenti poniamo [α2, β2] = [C,B];

• dato l’intervallo [αn, βn] (n ≥ 2) poniamo [αn+1, βn+1] = [αn,αn+βn

2] se [αn,

αn+βn2

]

contiene un’infinita di termini di an e [αn+1, βn+1] = [αn+βn2

, βn] in caso contrario.

9ad esempio, in inglese limite si traduce in limit, ma limitato si traduce in bounded


Cosı facendo, abbiamo ricavato una successione di intervalli incapsulati

[α1, β1] ⊆ [α2, β2] ⊆ [α3, β3] ⊆ . . .

tale che αn ≤ αn+1 e βn+1 ≤ βn per ogni n. Allora, per il Teorema 11 (pag. 113) esistex ∈ R comune a tutti gli intervalli. Per costruzione, ogni intorno di x contiene almeno untermine di an: si tratta quindi di un p.d.a. di (an) �

Esempio: la successione an = (−1)n + 1n

menzionata sopra e limitata (vale ad esempio−2 < an < 2) e possiede due punti di accumulazione, +1 e −1.

Osservazione: il Tm di Bolzano-Weierstrass non e un’equivalenza: ogni successionelimitata ammette almeno un p.d.a., ma esistono successioni che, pur ammettendo unp.d.a., non sono limitate.

Considera ad esempio la successione an = 2(−1)n·n, vale a dire

an =

{(12

)n= 1

2, 1

8, 1

32, 1

128, . . . se n e dispari

2n = 4 , 16 , 64 , 256 , . . . se n e pari

Essa ammette 0 quale p.d.a. (i termini di indice dispari si avvicinano arbitrariamente a0), ma e chiaramente illimitata (i termini di indice pari crescono arbitrariamente).

Per essere convergente, una successione limitata (an) deve soddisfare un’ulteriore con-dizione: essere monotona (o, meglio, monotona).

Definizione 14 (Monotonia)

Una successione (an) e detta

• monotona crescente, se vale an+1 > an ∀n;

• monotona decrescente, se vale an+1 < an ∀n;

• monotona, se e monotona crescente oppure decrescente.

Esempi:

1) Una progressione aritmetica (an) di ragione d > 0 e crescente: an+1 = an + d > an;e invece decrescente se d < 0.

2) Una progressione geometrica (an) di ragione q > 1 e crescente: an+1 = q · an > an;e invece decrescente se 0 < q < 1.

3) (controesempio) Come e facile verificare esplicitamente, la successione an = (−1)n · 1n

non e monotona.


Teorema 15 (Un criterio di convergenza)Una successione limitata e monotona converge.

Dimostrazione: sia (an) monotona crescente, e sia

a := sup{an | n ∈ N \ {0}}

l’estremo superiore dell’insieme dei suoi termini. Nota che a esiste in virtu della com-pletezza di R (Teorema 10), dal momento che A = {an} e limitato superiormente. Siaε > 0; allora vale Iε(a) ∩ A 6= ∅ (in caso contrario, a− ε sarebbe un maggiorante di A equindi a non sarebbe il supremum di A). In particolare, esiste N tale che aN ∈ Iε(a) e,dato che la successione e crescente, vale

a− ε < aN < an < a ∀n ≥ N .

Abbiamo mostrato che, dato ε > 0, esiste N > 0 con an ∈ Iε(a) ∀n > N , cioe che

limn→∞

an = a = sup{an | n ∈ N \ {0}} .

In maniera analoga, si mostra che se (an) e limitata e monotona decrescente, vale

limn→∞

an = inf{an | n ∈ N \ {0}} �

Il Teorema 15 e un utile criterio per dimostrare l’esistenza di un limite. A titolo diesempio, lo utilizziamo per dimostrare la convergenza di una celebre successione (e quindil’esistenza di una fondamentale costante, la base del logaritmo naturale).

Teorema 16 (Il numero di Eulero)

La successione (en) definita da

en =

(1 +

1

n

)ne convergente; il suo limite

e := limn→∞

(1 +

1

n

)n∼= 2, 71828182845904523536

e noto come numero di Eulero.


Dimostrazione: mostriamo innanzitutto che en e monotona crescente . Sviluppando(1 + 1

n

)ncon la formula binomiale, e ricordando che(

n

k

)=

n!

k!(n− k)!=n(n− 1)(n− 2) . . . (n− k + 1)

k!

si ottiene

en =

(1 +

1

n

)n=

(n

0

)1n +

(n

1

)1n−1 · 1

n+

(n

2

)1n−2 ·

(1

n

)2

+

(n

3

)1n−3 ·

(1

n

)3

+ . . .

(n

n

)(1

n

)n= 1 + n · 1

n+

1

2!· n(n− 1)

n2+

1

3!

n(n− 1)(n− 2)

n3+ . . . +

1

n!

n(n− 1)(n− 2) . . . 2 · 1nn

= 1 + 1 +1

2!· n− 1

n+

1

3!· n− 1

n· n− 2

n+ . . . +

1

n!· n− 1

n· n− 2

n. . .

1

n

= 2 +1

2!

(1− 1

n

)+

1

3!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+ . . . +

1

n!

(1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− n− 1

n

).

In modo simile otteniamo

en+1 =

(1 +

1

n + 1

)n+1

= 2 +1

2!

(1− 1

n + 1

)+

1

3!

(1− 1

n + 1

)(1− 2

n + 1

)+ . . .

. . . +1

(n + 1)!

(1− 1

n + 1

)(1− 2

n + 1

). . .

(1− n

n + 1

).

L’espressione per en ha n termini (tutti positivi), mentre l’espressione per en+1 ne han+ 1. Inoltre, e facile mostrare che vale(

1− k

n+ 1

)≥(

1− k

n

)e quindi che i primi n termini dello sviluppo di en+1 sono maggiori dei corrispondenti ntermini dello sviluppo di en. Cio dimostra che en+1 > en.

Dimostriamo ora che en e limitata : considerando di nuovo lo sviluppo

en = 1+1+1

2!

(1− 1

n

)+

1

3!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+. . .+

1

n!

(1− 1

n

)(1− 1

n

). . .

(1− n− 1

n

)e sfruttando le disuguaglianze 1 − k

n≤ 1 (chiaro) e k! > 2k−1 (vedi Serie 21, es. 1.),

ricaviamo

en ≤ 1+1+1

2!+

1

3!+. . .+

1

n!≤ 1+

1

2+

1

22+. . .+

1

2n−1= 1+

1−(12

)n1−

(12

) = 1+2

(1− 1

2n

)< 1+2 = 3 ,

dove abbiamo sfruttato la formula per la somma di una progressione geometrica (conprimo termine 1 e ragione 1

2). Cio dimostra che en < 3 per ogni n, e quindi, dal momento

che tutti i termini sono positivi, che en e limitata.

Assieme al Teorema 15, cio dimostra l’esistenza del limite e �


9. Calcolo con i limiti

Iniziamo con alcuni limiti elementari, a partire dai quali sara poi possibile trattare suc-cessioni piu complesse. Il caso piu banale e, ovviamente, quello delle successioni costanti:

Lemma 17 (Successioni costanti)

Siaan = k

una successione costante. Allora vale

limn→∞

an = k .

Dimostrazione: nella def. 11.2 (pag.117) scegliamo N = 1 per qualsiasi ε > 0 �

Lemma 18 (Progressioni aritmetiche)

Siaan = a1 + (n− 1)d

una progressione aritmetica di ragione d. Allora vale

limn→∞

an =

+∞ , se d > 0

a1 , se d = 0

−∞ , se d < 0 .

Dimostrazione: notiamo innanzitutto che il caso d = 0 corrisponde ad una successionecostante. Sia quindi d > 0. Verifichiamo la validita della definizione 12.2 (pag. 119).

Sia M > 0; allora vale

an > M ⇐⇒ a1 + (n− 1)d > M ⇐⇒ n >M − a1

d+ 1 .

La definizione e quindi soddisfatta con N =M − a1

d+ 1.

Per d < 0 si procede analogamente (an < −M ecc.) �

Lemma 19 (Progressioni geometriche)

Siaan = a1 · qn−1

una progressione geometrica di ragione q con a1 6= 0. Allora vale

limn→∞

an =

+∞ , se q > 1 e a1 > 0

−∞ , se q > 1 e a1 < 0

a1 , se q = 1

0 , se −1 < q < 1

non esiste , se q ≤ −1 .


Dimostrazione: semplice esercizio. Nota che per q = 1 si tratta di una successionecostante e per q ≤ −1 di una successione divergente indeterminata.

Lemma 20 (Potenze)

Vale

limn→∞

nα =

+∞ , se α > 0

1 , se α = 0

0 , se α < 0 .

Dimostrazione:

• per α > 0, sia M > 0; allora vale

nα > M ⇐⇒ n > M1α =: N ;

• per α = 1 si tratta di una successione costante;

• per α < 0, sia ε > 0; allora

|nα − 0| < ε ⇐⇒ nα < ε ⇐⇒ n > ε1α =: N �

Passiamo ora alle regole di calcolo per le ”quattro operazioni”:

Teorema 21 (Operazioni fondamentali)Siano (an) e (bn) due successioni convergenti, con

limn→∞

an = a e limn→∞

bn = b .

Allora vale

a) limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

bn = a+ b ;

b) limn→∞

(an − bn) = limn→∞

an − limn→∞

bn = a− b ;

c) limn→∞

(an · bn) = limn→∞

an · limn→∞

bn = ab ;

d1) se b 6= 0 e bn 6= 0∀n : limn→∞

1

bn=

1

limn→∞

bn=

1

b;

d2) se b 6= 0 e bn 6= 0∀n : limn→∞

anbn

=limn→∞

an

limn→∞

bn=a

b.


Dimostrazione:

a) sia ε > 0; per definizione esistono N1 e N2 tali che

|an − a| <ε

2per n > N1 e |bn − b| <

ε

2per n > N2 .

Sia N = max{N1, N2} il maggiore dei due numeri; allora per n > N entrambe ledisuguaglianze sono valide, e quindi10

|(an + bn)− (a+ b)| = |(an − a) + (bn − b)| ≤ |an − a|+ |bn − b| <ε

2+ε

2= ε

quando n > N ; vale cioe limn→∞

(an + bn) = a+ b.

b) Analogo (nota che vale anche |x− y| ≤ |x|+ |y|).

c) Dal momento che (bn) e convergente, essa e pure limitata (Tm. 13). Esiste quindiM > 0 tale che |bn| < M ∀n > 0. M puo inoltre essere scelto in modo tale che valga|a| < M .

Sia ε > 0; allora

|anbn − ab| = |anbn −abn + abn︸︷︷︸0

−ab| = |(an − a)bn + a(bn − b)|

≤ |(an − a)bn|+ |a(bn − b)| = |an − a| · |bn|+ |a| · |bn − b|< |an − a| ·M +M · |bn − b| .

Procediamo ora analogamente ad a): esistono N1 e N2 tali che

|an − a| <ε

2Mper n > N1 e |bn − b| <

ε

2Mper n > N2 .

Con N = max{N1, N2} vale, per ogni n > N ,

|anbn − ab| < |an − a| ·M +M · |bn − b| <ε

2��M·��M +��M ·

ε

2��M= ε .

d1) Sia ε > 0; allora vale ∣∣∣∣ 1

bn− 1

b

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣b− bnbbn

∣∣∣∣ =|b− bn||b| · |bn|

;

scegliamo N1 in modo tale che valga |bn| > 12|b| ∀n > N1; allora per n > N1 vale∣∣∣∣ 1

bn− 1

b

∣∣∣∣ < |b− bn||b| · 12|b|

=|b− bn|

12b2

.

Per la definizione di limite, esiste N2 > 0 tale che |bn − b| < 12εb2 ∀n > N2; allora,

per n > N = max{N1, N2}, vale∣∣∣∣ 1

bn− 1

b

∣∣∣∣ < 12εb2

12b2

= ε .

10ricorda che il valore assoluto soddisfa la disuguaglianza triangolare |x + y| ≤ |x|+ |y|


d2) segue da c) e d1:

limn→∞

anbn

= limn→∞

(an ·

1

bn

)= a · 1

b=a

b�

Osservazione: dal Teorema segue, in particolare, che per (an) convergente e k ∈ R vale

limn→∞

(k · an) = k · limn→∞

an .

Esempi:

1) limn→∞

(5 +

1

n2

)= 5 + 0 = 5 ;

2) limn→∞

7n2 + 5n + 1

3n2= lim

n→∞

(7n2

3n2+

5n

3n2+

1

3n2

)= lim

n→∞

(7

3

→0︷︸︸︷−5

3· 1

n+

1

3· 1

n2

)=

7

3;

3) limn→∞

n+ 3

n2 + 8n+ 15= lim

n→∞

��n+ 3

��(n+ 3)(n+ 5)= lim

n→∞

1

n+ 5= lim

n→∞

1

n· 1

1 + 5n

= 0 · 1 = 0;

4) limn→∞

3n3 + 4n2 + 5

9n3 + n + 10= lim

n→∞

��n3

(3 +

→0︷︸︸︷4

n+

5

n3

)��n3

(9 +

1

n2+

10

n3︸︷︷︸→0

) =3

9=

1

3;

5) limn→∞

5n4 + 2n2 + 1

3n2 + 10= lim

n→∞

n4

→5︷︸︸︷(5 +

2

n2+

1

n4

)n2

(3 +

10

n2

)︸︷︷︸

→3

= limn→∞

5

3n2 = +∞ ;

6) limn→∞

n2 + 3n− 2

7n3 − n2 − 8= lim

n→∞

n2

→1︷︸︸︷(1 +

3

n− 2

n2

)n3

(7− 1

n− 8

n3

)︸︷︷︸

→7

=1

7limn→∞

1

n= 0 .

Osservazione: gli esempi 3) - 6) rappresentano quozienti di successioni divergenti de-terminate (che piu tardi indicheremo con l’espressione simbolica ∞∞). Come mostrano taliesempi, non e possibile stabilire a priori il comportamento del quoziente, ma nel caso dinumeratore e denominatore polinomiali risulta efficace la messa in evidenza dei terminidi grado piu elevato. Potremmo riassumere quanto visto come segue:


Corollario 22 (Successioni razionali)Siano

an = Aknk +Ak−1n

k−1 + . . .+A1n+A0 e bn = B`n` +B`−1n

`−1 + . . .+B1n+B0

due successioni polinomiali. Allora vale

limn→∞

anbn

= limn→∞

Aknk + Ak−1n

k−1 + . . .+ A1n+ A0

B`n` +B`−1n`−1 + . . .+B1n+B0

=AkB`

limn→∞

nk−` ,

e quindi:

• k > ` ⇒ limn→∞

anbn

= ±∞ ;

• k = ` ⇒ limn→∞

anbn

=AkBk

;

• k < ` ⇒ limn→∞

anbn

= 0 .

Quindi: i termini di grado inferiore non hanno alcun influsso sul valore del limite.

Esempi:

7) limn→∞

13x7 − 2x6 − x5 + 1

7x4 − 9x2 + 9x= +∞ ;

8) limn→∞

(2n− 1)5(n + 1)9

(3n + 1)4(2n2 + n + 5)5= lim

n→∞

(32n5 + . . .)(n9 + . . .)

(81n4 + . . .)(32n10 + . . .)= lim

n→∞

��32n14

81 ·��32n14 =

1

81.

Dal Teorema segue inoltre il

Corollario 23 (Potenze e radici)Sia (an) una successione convergente, con lim

n→∞an = a, e sia k ∈ N \ {0}. Allora vale

a) limn→∞

(an)k =(

limn→∞

an

)k= ak ;

b) se an ≥ 0 ∀n : limn→∞

k√an = k

√limn→∞

an = k√a .

Dimostrazione:

a) Induzione rispetto a k:

• k = 1 : chiaro;

• k → k + 1 :

limn→∞

(an)k+1 = limn→∞

(an)k · an = limn→∞

(an)k︸︷︷︸ak (ip.ind.)

· limn→∞

an︸︷︷︸a

= ak · a = ak+1 .


b) Presupponendo la convergenza di k√an, vale(

limn→∞

k√an

)k=(k√a)k

= a ,

e quindi limn→∞

k√an = k

√a �

Esempi:

9) limn→∞

√5 +

1

n=

√limn→∞

(5 +

1

n

)=√

5 ;

10) limn→∞

3

√8n+ 1

27n+ 4= 3

√limn→∞

8n+ 1

27n+ 4=

3

√8

27=

2

3;

11) limn→∞

√4n2 + 1 + n+ 1

n+ 2= lim

n→∞

√n2(4 + 1

n2

)+ n+ 1

n+ 2= lim

n→∞

n√

4 + 1n2 + n+ 1

n+ 2=

limn→∞

�n(√

4 + 1n2 + 1 + 1

n

)�n(1 + 2

n

) =

√4 + 0 + 1 + 0

1 + 0= 3 ;

12) limn→∞

3√n3 + 1 + n√

2n2 − 1−√n2 + n

= limn→∞

3

√n3(1 + 1

n3

)+ n√

n2(2− 1

n2

)−√n2(1 + 1

n

) =

limn→∞

�n(

3

√1 + 1

n3 + 1)

�n(√

2− 1n2 −

√1 + 1

n

) =

√1 + 0 + 1√

2− 0−√

1 + 0=

2√2− 1

.

Osservazione: gli esempi 11) e 12) mostrano che anche nel caso di un quoziente difunzioni irrazionali puo essere conveniente mettere in evidenza i termini di grado piuelevato (dopo averli estratti dai radicali).

13) limn→∞

(√n2 + n−

√n2 + 5

)= lim

n→∞

(√n2 + n−

√n2 + 5

)·√n2+n+

√n2+5√

n2+n+√n2+5

=

limn→∞

(n2 + n)− (n2 + 5)√n2 + n+

√n2 + 5

= limn→∞

n− 5√n2 + n+

√n2 + 5

= limn→∞

�n(1− 5n)

�n(√

1 + 1n

+√

1 + 5n2

)=

1− 0√1 + 0 +

√1 + 0

=1

2.

Osservazione: l’esempio 13) consiste in una differenza di successioni divergenti deter-minate (che piu tardi indicheremo con l’espressione simbolica ∞−∞). In casi del generenon e possibile stabilire a priori il valore del limite. Nel caso della differenza di succes-sioni irrazionali, puo pero essere utile amplificare l’espressione facendo uso del prodottonotevole (x+ y)(x− y) = x2− y2, per poi ridursi al calcolo di un limite del tipo descrittodai due esempi precedenti.


10. Forme simboliche e forme di indecisione

Passiamo ora ai limiti infiniti, e quindi allo studio dei limiti delle successioni costruite apartire da successioni sia convergenti che divergenti determinate.

Esempio introduttivo: consideriamo le successioni (an), (bn), (cn) e (dn) con

an = n2 + n , bn = n+ 1 , cn = 2n2 , dn = n3 .

E facile vedere che per tutte e quattro il limite per n→∞ vale +∞. Consideriamo ora ilimiti di alcuni quozienti; con l’aiuto del Corollario 22 vediamo immediatamente quantosegue:

• limn→∞

anbn

= limn→∞

n2 + n

n+ 1= +∞ ;

• limn→∞

ancn

= limn→∞

n2 + n

2n2=

1

2;

• limn→∞

andn

= limn→∞

n2 + n

n3= 0 .

Nel caso del quoziente di due successioni divergenti determinate non e possibile stabilire apriori il comportamento del quoziente, ma occorre stabilirlo volta per volta per mezzo dimetodi ad hoc. Descriveremo tale situazione dicendo che ”∞∞” e una forma di indecisione.

Descriviamo ora, sotto forma di teoremi, alcune situazioni in cui il limite puo esserestabilito a priori:

Teorema 24 (Somma e sottrazione)

a) Sia limn→∞

an = a ∈ R e limn→∞

bn = ±∞; allora vale

limn→∞

(an + bn) = ±∞.

In breve: a±∞ = ±∞ .

b) Sia limn→∞

an = limn→∞


limn→∞

(an + bn) = ±∞.

In breve: (+∞) + (+∞) = +∞ , (−∞) + (−∞) = −∞ .

Nota che, dal momento che ”∞” non e un numero reale, le forme simboliche utilizzatesono semplicemente delle abbreviazioni e non rappresentano delle vere e proprie operazionialgebriche!


Dimostrazione:

a) Siano limn→∞


bn = +∞.

Per il Tm. 13, (an) e limitata (inferiormente): esiste A ∈ R con an > A ∀n.Sia ε > 0; allora esiste N tale che bn > N − A ∀n > N , e di conseguenza

an + bn > A+N − A = N ∀n > N,

cioe limn→∞

(an + bn) = +∞. Il caso ”a−∞” si dimostra analogamente.

b) Siano limn→∞

an = +∞ e limn→∞

bn = +∞.

Sia M > 0; allora esistono N1 e N2 tali che

an >1

2M risp. bn >

1

2M

per n > N1 risp. n > N2. Sia N = max{N1, N2}: per n > N vale

an + bn >1

2M +

1

2M = M ,

cioe limn→∞

(an + bn) = +∞. Il caso ”−∞−∞” si dimostra analogamente �

Osservazione: nella parte a) abbiamo di fatto dimostrato un’affermazione piu generaledi quella dell’enunciato del Teorema: ”se (an) e limitata e lim

n→∞bn = ±∞, allora vale

limn→∞

(an + bn) = ±∞”.

Esempi:

1) limn→∞

(n+ n2) =′′ ∞+∞′′ = +∞ ;

2) limn→∞

(2−n − n3

)=′′ 0−∞′′ = −∞ ;

3) limn→∞

(sin(n) + n) = +∞, dal momento che si tratta della somma di una successione

limitata e di una successione tendente a +∞.

Osservazione: il caso della differenza di due successioni tendenti entrambi allo stessoinfinito (indicato con ”(+∞)−(+∞)” risp. ”(−∞)−(−∞)”) e piu problematico, dal mo-mento che non e possibile stabilire a priori quanto valga il limite. Si tratta di un’ulterioreforma di indecisione. Sono ad esempio di questo tipo i limiti

limn→∞

(n2 − n) e limn→∞

(√n+ 1−

√n)

(v. sotto).


Teorema 25 (Prodotto)

a) Sia limn→∞

an = a ∈ R∗ e limn→∞


• se a > 0: limn→∞

(an · bn) = ±∞, in breve: a · (±∞) = ±∞ ;

• se a < 0: limn→∞

(an · bn) = ∓∞, in breve: a · (±∞) = ∓∞ .

b) • Sia limn→∞

an = limn→∞


limn→∞

(an · bn) = +∞

In breve: (+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞ .

• Sia limn→∞

an = ±∞ e limn→∞

bn = ∓∞; allora vale

limn→∞

(an · bn) = −∞

In breve: (+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞ .

Dimostrazione: svolgiamo, a titolo di esempio, un solo caso di a). Siano limn→∞

an = a > 0

e limn→∞

bn = +∞; allora, dato che (an) e limitata, esiste A > 0 con an > A ∀n.

Sia M > 0; per definizione, esiste N > 0 con bn >MA∀n > N . Allora, sempre per n > N ,

vale

an · bn > A · MA

= M ,

cioe limn→∞

an · bn = +∞ �

Nota che, di fatto, abbiamo dimostrato un’affermazione piu generale: ”se (an) e positivae limitata e lim

n→∞bn = +∞, allora vale lim

n→∞(an · bn) = +∞”.

Esempi:

4) limn→∞

3n(x+ 1) =′′ ∞ ·∞′′ = +∞ ;

5) limn→∞

2n2 + 3

3n2 − 2(1− 2x) =′′

2

3· (−∞)′′ = −∞ ;

6) limn→∞

en · ln 1

n=′′ (+∞) · (−∞)′′ = −∞ ;

7) limn→∞

(3n2 − 5n) = limn→∞

n2

(3− 5

n

)= ”(+∞) · 3” = +∞ .

Osservazione: sono invece di indecisione le forme ”0 · (+∞)” e ”0 · (−∞)”.


L’idea utilizzata nell’esempio 7 puo essere generalizzata alle successioni polinomiali, dellaforma

an = p(n) = Aknk + Ak−1n

k−1 + . . .+ A1n+ A0 con A0, A1, . . . , Ak ∈ R ;

mettendo in evidenza la potenza piu alta di n, si ottiene

limn→∞

p(n) = nk(Ak +

→0︷︸︸︷Ak−1n

+ . . .+A1

nk−1+A0

nk

)= lim

n→∞Akn

k .

Il comportamento per n → ∞ di una successione di questo tipo dipende quindi soltantodal termine di grado piu alto. Vale il

Corollario 26 (Successioni polinomiali)

Siano A0, A1, . . . , Ak ∈ R, con Ak 6= 0, e sia

p(n) = Aknk + Ak−1n

k−1 + . . .+ A1n+ A0 .

Allora valelimn→∞

p(n) = limn→∞

Aknk = ±∞ ,

dove il segno del limite e lo stesso di Ak.

Il seguente teorema, di cui omettiamo la dimostrazione, precisa il comportamento deiquozienti di successioni convergenti e divergenti determinate:

Teorema 27 (Quoziente)

a) Sia limn→∞

an = a ∈ R∗ ∪ {±∞} e limn→∞

bn = 0; allora vale

limn→∞

∣∣∣∣anbn∣∣∣∣ = +∞.

In breve: ”∣∣a0

∣∣ = +∞”, ”∣∣±∞

0

∣∣ = +∞”.

b) Sia limn→∞



limn→∞

anbn

= 0.

In breve: ” a±∞ = 0” .

Osservazioni:

(i) Il caso ”±∞a

” puo essere ricondotto al caso a′ · (±∞) ponendo a′ = 1a;


(ii) In generale, nella parte a), il termine∣∣∣anbn ∣∣∣ non puo essere sostituito dal semplice

quoziente anbn

: considera ad esempio le successioni an = 1 (cost.) e bn = (−1)n ·n−1;allora il limite

limn→∞

anbn

= limn→∞

(−1)n · n

non esiste, mentre vale

limn→∞

∣∣∣∣anbn∣∣∣∣ = lim

n→∞n = +∞ .

(iii) per quanto riguarda il segno del limite limn→∞

anbn

, esso dev’essere determinato tenendo

conto dei segni di an e di bn (ammesso che il limite del quoziente esista);

(iv) le forme ”±∞±∞” e ”00” sono di indecisione.

Esempi:

8) limn→∞

1 + n−1

ex= ′′ 1

+∞′′ = 0 ;

9) limn→∞

log n

e−n= ′′+∞

0′′ = +∞ .

Osservazione: per quanto riguarda le successioni nulle, a volte e comodo precisare ilsenso della convergenza (”da destra” risp. ”da sinistra”) come segue:

• limn→∞

an = 0+ se esiste n0 per cui an > 0 ∀ n > n0;

• limn→∞

an = 0− se esiste n0 per cui an < 0 ∀ n > n0.

Esempi:

10) limn→∞

1n

= 0+ ;

11) limn→∞

−1n

= 0− .

Cio puo essere utile per la forma simbolica a0

: potremmo precisarla distinguendo

1

0+= +∞ ;

1

0−= −∞

(a parole: ”se an si avvicina a 0 da destra, 1an

tende a +∞”, rispettivamente ”se an si

avvicina a 0 da sinistra, 1an

tende a −∞”).

Esempi:

12) limn→∞

2−n − 3

3−n= ′′−3

0+′′ = −∞ ;


13) limn→∞

n2

ln 1n

= ′′+∞0−

′′ = −∞ .

Riassumiamo ora le forme simboliche determinate (abbreviandole senza tener conto deisegni):

a+∞ =∞ ∞+∞ =∞ a · ∞ =∞ (a 6= 0) ∞ ·∞ =∞

a

∞= 0

∣∣∣a0

∣∣∣ =∞ (a 6= 0)∞a

=∞ (a 6= 0)∣∣∣∞

0

∣∣∣ =∞

Per quanto riguarda, invece, le forme di indecisione incontrate finora, esse sono:

∞−∞ 0 · ∞ ∞∞

0

0

Osservazione: nel paragrafo precedente abbiamo gia menzionato qualche tecnica ad hocche permette di trattare alcune forme di indecisione (esempi 4)-8) e 11)-12) per ”∞∞” edesempio 13) per ”∞−∞”).

Altri Esempi:

14) limn→∞

(√n+ 1−

√n)

︸︷︷︸∞−∞

= limn→∞

(√n+ 1−

√n)·√n+1+

√n√

n+1+√n

= limn→∞

�n+ 1��−n√n+ 1 +

√n

= limn→∞

1√n+ 1 +

√n

= ′′ 1

∞′′ = 0 ;

15) limn→∞

n+ 2√4n2 + 7︸︷︷︸

∞∞

= limn→∞

�n

→1︷︸︸︷(1 + 2

n)

�n√

4 + 7n2︸︷︷︸

→2

=1

2;

16) limn→∞

5n − 1

3n︸︷︷︸∞∞

= limn→∞

(5n

3n− 1

3n

)= lim

n→∞

((5

3

)n−(

1

3

)n)= ”(+∞)− 0” = +∞ ;

17) limn→∞

3n + 5n

2n + 7n︸︷︷︸∞∞

= limn→∞

5n((

35

)n+ 1)

7n((

27

)n+ 1) = lim

n→∞

(5

7

)n·(35

)n+ 1(

27

)n+ 1

= 0 · 1 = 0 .

Una tecnica molto efficace per trattare le forme di indecisione, la regola di Bernoulli-DeL’Hopital, verra introdotta in IV nell’ambito dei limiti di funzioni.


11. Serie numeriche: definizioni ed esempi

Ci occupiamo ora dello studio della somma dei termini di una successione, cioe del signi-ficato che il matematico attribuisce ad espressioni del tipo

1 +1

2+

1

3+

1

4+ . . . , 1 +

1

4+

1

8+

1

16+ . . . oppure 1− 1 + 1− 1 + 1± . . .

La prima, fondamentale definizione precisa quanto segue: il modo corretto per interpretareuna somma infinita e considerarla come limite di una successione di somme finite.

Definizione 15 (Serie)Sia (an) una successione.

(i) La successione (sn) delle sue somme parziali, definita da

sn =n∑i=1

ai = a1 + a2 + . . .+ an−1 + an

e una serie (numerica).

(ii) Il limite

limn→∞

sn = s∞ =∞∑i=1

ai︸︷︷︸Notazioni

e detto somma della serie.

(iii) La serie e detta convergente, divergente determinata risp. divergenteindeterminata se la successione (sn) e convergente, divergente determinatarisp. divergente indeterminata.

Osservazione: la notazione∞∑i=1

si puo rappresentare sia la serie (sn) stessa, sia il suo

limite s∞.

Esempi:

1) Sia an =(12

)n. Allora, dal momento che si tratta di una progressione geometrica

con a1 = 1 e ragione q = 12, vale

sn =n∑i=1

(1

2

)i= 1 +

1

2+

1

4+

1

8+ . . .+

(1

2

)n=

1−(12

)n1− 1

2

= 2

(1−

(1

2

)n)(vedi Lemma 7, pag. 107), e quindi

∞∑i=1

(1

2

)i= lim

n→∞2

(1−

(1

2

)n)= 2 · (1− 0) = 2 .


Abbiamo gia incontrato una ”somma infinita” simile nell’ambito del calcolo delleprobabilita (pag. 87), dove l’abbiamo resa plausibile mediante una rappresentazionegrafica:

1 12

14

18

. . .

L’esempio e un caso particolare di serie geometrica. Di tali serie ci occuperemoin modo esteso nel prossimo paragrafo.

2) La serie di Leibnitz

1

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+ . . . =

∞∑i=1

1

i(i+ 1)

converge; come abbiamo mostrato induttivamente a pag. 99, vale∞∑i=1

1

i(i+ 1)= lim

n→∞

n∑i=1

1

i(i+ 1)= lim

n→∞

n

n+ 1= 1 .

3) Vale

1

0!+

1

1!+

1

2!+

1

3!+

1

4!+ . . . =

∞∑i=0

1

i!= e .

Tale relazione puo essere intuita come segue: a pag. 122 abbiamo mostrato permezzo della formula binomiale che per la successione

en =

(1 +

1

n

)nvale

en =1

0!+

1

1!+

1

2!

(1− 1

n

)+

1

3!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+

1

4!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)(1− 3

n

)+ . . . ;

dal momento che per n→∞ vale(1− k

n

)→ 1, e plausibile che valga

limn→∞

n∑i=0

1

i!= lim

n→∞en = e .

4) Come mostreremo in seguito (V.13), la serie

1

12+

1

22+

1

32+

1

42+ . . . =

∞∑i=1

1

i2

converge; per la somma vale, come mostrato da Leonhard Euler nel 1735,∞∑i=1

1

i2=π2

6∼= 1, 644934067

(si tratta della soluzione del celebre problema di Basilea, posto inizialmente dalmatematico bolognese Pietro Mengoli nel 1644).


5) La serie armonica11

1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ . . . =

∞∑i=1

1

i

diverge. Possiamo intuire il perche notando che vale

1 +1

2+

>2· 14︷︸︸︷

1

3+

1

4+

>4· 18︷︸︸︷

1

5+ . . . +

1

8+

>8· 116︷︸︸︷

1

9+ . . . +

1

16+ . . . > 1 +

1

2+

1

2+

1

2+ . . . “ = +∞”.

Piu rigorosamente12: innanzitutto,

s1 = 1 ⇐⇒ s20 = 1 + 0 · 1

2

s2 = s1 +1

2⇐⇒ s21 = 1 + 1 · 1

2

s4 = s2 +1

3+

1

4> 1 +

1

2+

12︷︸︸︷

1

4+

1

4⇐⇒ s22 > 1 + 2 · 1

2

s8 = s4 +1

5+

1

6+

1

7+

1

8> 1 + 2 · 1

2+

12︷︸︸︷

1

8+

1

8+

1

8+

1

8⇐⇒ s23 > 1 + 3 · 1

2

e piu in generale, come puo essere facilmente verificato induttivamente,

s2n ≥ 1 +n

2.

Sia quindi N > 0; dal momento che sn e crescente, per n > 1 +1

2log2(N) varra

sn > N . Cio dimostra chelimn→∞

sn = +∞ �

Osservazione: la serie armonica diverge (seppure molto lentamente), ma si puo di-mostrare che per la successione

an =n∑i=1

1

i− ln(n)

ottenuta sottraendo dalle sue somme parziali il logaritmo naturale vale

limn→∞

an = γ ∼= 0, 5772156649 ,

la cosiddetta costante di Eulero-Mascheroni13.11cosı chiamata perche il termine 1

i e media armonica dei termini 1i−1 e 1

i+112l’idea originale della dimostrazione viene fatta risalore al filosofo e matematico francese Nicola

d’Oresme (1320-1382)13Lorenzo Mascheroni (1750-1800), matematico bergamasco, fu professore a Pavia


12. La serie geometrica

Definizione 16 (Serie geometrica)Sia (an) una PG di ragione q. La serie

∞∑i=1

ai = a1 + a1q + a1q2 + a1q

3 + . . .

e una serie geometrica (SG) di ragione q.

Abbiamo gia mostrato (vedi V.5) che per le somme parziali di una SG vale

sn =n∑i=1

ai = a1 ·1− qn

1− q.

Ricaviamo immediatamente il

Teorema 28 (Limite di una serie geometrica)Sia (sn) una SG di ragione q. Allora

• se |q| < 1, la serie e convergente, con

∞∑i=1

ai =a1

1− q;

• se q ≥ 1, la serie e divergente determinata:

∞∑i=1

ai = ±∞

(il segno e dato dal segno di a1);

• se q ≤ −1, la serie e divergente indeterminata.

Dimostrazione:

• sia |q| < 1; allora vale limn→∞

qn = 0, e quindi

∞∑i=1

ai = limn→∞

n∑i=1

ai = limn→∞

a11− q

·→1︷︸︸︷

(1− qn) =a1

1− q;

• sia q = 1; allora vale sn = a1 + a1 + . . .+ a1︸︷︷︸n volte

= n · a1, e limn→∞

sn = sign(a1) · (+∞);


• sia q > 1; allora vale limn→∞

qn = +∞, e quindi

∞∑i=1

ai = limn→∞

a1q − 1

·→+∞︷︸︸︷

(qn − 1) = sign(a1) · (+∞)

• sia q = −1; allora vale sn = a1 − a1 + . . .± a1︸︷︷︸n volte

∈ {0, a1}, e la serie e divergente

indeterminata;

• sia q < −1; allora vale limn→∞

|qn| = +∞ e il segno di qn e alterno, e di conseguenza

lo stesso vale per (sn) �

Esempi:

1) 1 +1

3+

1

9+

1

27+ . . .︸︷︷︸

SG con a1 = 1, q = 13

=∞∑i=1

(1

3

)i−1=

1

1− 13

=3

2;

2) 1− 1

3+

1

9− 1

27± . . .︸︷︷︸

SG con a1 = 1, q = − 13

=∞∑i=1

(−1

3

)i−1=

1

1− (−13)

=3

4;

3) 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + . . .︸︷︷︸SG con a1 = 1, q = 3

=∞∑i=1

3i−1 = +∞ (e divergente determinata);

4) 1− 3 + 9− 27 + 81∓ . . .︸︷︷︸SG con a1 = 1, q = −3

=∞∑i=1

(−3)i−1 non esiste (e divergente indeterminata).

5) Una spirale viene costruita (vedi figura a lato) con unasequenza infinita di semicirconferenze tali che ognunaabbia il raggio che misura i 3

4del raggio della precedente.

Sapendo che il raggio iniziale misura 1 unita, qual e lalunghezza della spirale? E attorno a quale punto essa”ruota” indefinitamente?

Sia ` la lunghezza della spirale. Ogni semicerchio che la compone ha raggio pari ai34

del semicerchio che lo precede. Quindi vale

` = π + π · 3

4+ π ·

(3

4

)2

+ π ·(

3

4

)3

+ . . .︸︷︷︸SG con a1 = π e q = 3

4

=π

1− 34

= 4π .


Sia ora P (x, 0) il punto cercato. Gli estremi dei semicerchi che compongono laspirale si alternano attorno ad esso, avvicinandosi indefinitamente a P . Vale quindi

x = 2− 2 · 3

4+ 2 ·

(3

4

)2

− 2 ·(

3

4

)3

+ . . .︸︷︷︸SG con a1 = 2 e q = − 3

4

=2

1−(−3

4

) = 2 · 4

7=

8

7.

Il ”centro” della spirale e quindi P(87, 0).

Un’interessante applicazione della serie geometrica e la determinazione della frazionegeneratrice di un numero decimale periodico. Osserviamo innanzitutto ad esempio cheuna scrittura del tipo 7, 7 sottintende una serie geometrica: vale

7, 7 = 7 + 0, 7 + 0, 07 + 0, 007 + . . . = 7 · 1 + 7 · 1

10+ 7 ·

(1

10

)2

+ 7 ·(

1

10

)3

+ . . .︸︷︷︸SG con a1 = 7 e q = 1

10

e quindi

7, 7 =7

1− 110

= 7 · 10

9=

70

9.

Altri esempi:

1) 2, 13 = 2 + 0, 13 + 0, 0013 + 0, 000013 + . . . = 2 +13

100·

(1 +

1

100+

(1

100

)2

+ . . .︸︷︷︸SG con a1 = 1, q = 1

100

)

= 2 +13

100· 1

1− 1100

= 2 +13

��100·�

�100

99=

211

99;

2) 5, 47 = 5, 4 + 0, 07 + 0, 007 + . . . =54

10+

7

100·

(1 +

1

10+

(1

10

)2

+ . . .︸︷︷︸SG con a1 = 1, q = 1

10

)

=27

5+

7

100· 1

1− 110

=27

5+

7

100· 10

9=

27

5+

7

90=

493

90;

3) 0, 9 = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . . =9

10·

(1 +

1

10+

(1

10

)2

+ . . .︸︷︷︸SG con a1 = 1, q = 1

10

)

=9

10· 1

1− 110

=9

10· 10

9= 1 .


13. Criteri di convergenza

Il calcolo della somma di una serie puo rivelarsi problematico. Spesso, pero, e possibilestabilire a priori se una serie converge oppure no.

Iniziamo con un risultato, tutto sommato, ovvio.

Lemma 29

Sia∞∑i=1

ai una serie convergente. Allora (an) e una successione nulla.

Dimostrazione: sia sn =n∑i=1

ai la successione delle somme parziali. Allora vale

an =n∑i=1

ai −n−1∑i=1

ai = sn − sn−1

e quindi

limn→∞

an = limn→∞

(sn − sn−1) = limn→∞

sn − limn→∞

sn−1 = s− s = 0 �

Per contrapposizione, ricaviamo immediatamente il seguente

Corollario 30 (Un criterio di divergenza)

Se limn→∞

an 6= 0, allora la serie∞∑i=1

ai diverge.

Osservazione: purtroppo l’enunciato del corollario non e un’equivalenza: esistono suc-cessioni nulle (ai) per cui la serie corrispondente diverge, come mostra il caso della seriearmonica (vedi es. 5), pag. 138).

Proseguiamo con un utile criterio di confronto.

Teorema 31 (Il criterio della maggiorante risp. della minorante, o di Dirichlet)

Siano∞∑i=1

ai e∞∑i=1

bi due serie a termini positivi (cioe tali che ai ≥ 0 e bi ≥ 0 ∀i).

(i) Se∞∑i=1

bi converge ed esiste n0 tale che an ≤ bn ∀n > n0, allora∞∑i=1

ai converge.

(ii) Se∞∑i=1

ai diverge ed esiste n0 tale che bn ≥ an ∀n > n0, allora∞∑i=1

bi diverge.


In altre parole: una minorante di una serie convergente converge a sua volta, risp. unamaggiorante di una serie divergente diverge a sua volta.

Dimostrazione:

(i) Sia n > n0. Per la successione (sn) delle somme parziali di∑ai vale

sn =n∑i=1

ai = a1 + . . .+ an0 +n∑

i=n0+1

ai ≤ a1 + . . .+ an0 +n∑

i=n0+1

bi .

La successione

(n∑

i=n0+1

bi

)delle somme parziali di (bn) e, per ipotesi, convergente, e

di conseguenza limitata (Tm. 13). Di conseguenza, (sn) =

(n∑

i=n0+1

ai

)e a sua volta

limitata. Dal momento che i termini ai sono tutti positivi, (sn) e inoltre monotonacrescente. Per il Tm. 15 (sn) e quindi convergente, e quindi lo e pure

∑ai.

(ii) Analogo. �

Esempi:

1) (Cfr. Es. 4), pg. 137) Studiamo la convergenza di∞∑i=1

1

i2= 1+

1

4+

1

9+

1

16+

1

25+ . . .

Dal momento che per i > 1 vale i2 > i(i− 1) ⇐⇒ 1

i2<

1

i(i− 1)avremo

∞∑i=1

1

i2= 1 +

1

22+

1

32+

1

42+

1

52+ . . .

< 1 +1

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+

1

4 · 5+ . . .︸︷︷︸

=2 (es. 2), pg. 137)

< 1 + 2 = 3

e quindi la convergenza della serie in questione segue dal confronto con la Serie diLeibnitz (abbiamo gia menzionato che la somma e pari a π2

6∼= 1, 645).

2) Studiamo la convergenza di∞∑i=1

1√i

= 1 +1√2

+1√3

+1

2+

1√5

+ . . .

Dal momento che per i ≥ 1 vale√i ≤ i avremo

∞∑i=1

1√i

= 1 +1√2

+1√3

+1

2+

1√5

+ . . . ≥ 1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ . . . =

∞∑i=1

1

i= +∞

e quindi dal confronto con la serie armonica segue che la serie in questione diverge.


Dal confronto con una serie geometrica emerge un ulteriore criterio:

Teorema 32 (Il criterio del quoziente, o di D’Alembert)

Sia∞∑i=1

ai una serie a termini positivi (cioe tale che ai ≥ 0 ∀i), e sia

q := limn→∞

an+1

an.

Allora

• se q > 1 la serie converge;

• se q < 1 la serie diverge.

Osservazioni:

(i) Se q = 1 il criterio e inconcludente. (cfr. es. 3) e 4) sulle prossime pagine).

(ii) Il criterio non fornisce alcuna informazione sul valore della somma.

Dimostrazione (con q > 1): sia

q = limn→∞

an+1

an< 1 ,

e sia r tale che q < r < 1. Allora, per la definizione di limite, esiste n0 tale che

an+1

an< r ⇐⇒ an+1 < an · r ∀ n > n0 .

Di conseguenza, vale anche

an+2

an+1

< r ⇐⇒ an+2 < an+1 · r < an · r2

e, analogamente, si dimostra induttivamente che

an+k < an · rk .

Per n > n0, i termini an sono quindi maggiorati dai termini di una serie geometrica diragione r < 1, convergente per il Tm. 28. Dal criterio di confronto (Tm. 31) segue che∑an e a sua volta convergente.

Per q > 1 la dimostrazione procede in maniera analoga. �


Esempi:


i

2i=

1

2+

2

4+

3

8+

4

16+

5

32+ . . .

Vale an =n

2ne

q = limn→∞

n+12n+1

n2n

= limn→∞

n+ 1

2n+1· 2n

n=

1

2limn→∞

n+ 1

n=

1

2< 1 ,

e quindi la serie converge.

Nota che vale∞∑i=1

i

2i= 2 (dimostrazione tralasciata).


2i

i2 + 1. Vale

q = limn→∞

2n+1

(n+ 1)2 + 1· n

2 + 1

2n= 2 > 1

e quindi la serie diverge (in questo caso si potrebbe applicare anche il Cor. 30).

3) Applichiamo il Teorema alla serie armonica∞∑i=1

1

i. Vale

q = limn→∞

1

n+ 1· n = 1 ;

il Criterio non permette di trarre nessuna conclusione, ma sappiamo che la seriediverge.

4) Applichiamo il Teorema alla serie∞∑i=1

1

i2. Vale

q = limn→∞

1

(n+ 1)2· n2 = 1 ;

il criterio e nuovamente inconcludente, ma il questo caso la serie converge (es. 1),pag. 143).

5) Consideriamo la serie ottenuta dai reciproci dei numeri di Fibonacci

{f1 = f2 = 1

fn+1 = fn + fn−1 (n ≥ 2)∞∑i=1

1

fi=

1

1+

1

1+

1

2+

1

3+

1

5+

1

8+

1

13+

1

21+ . . .


Ricordando (cfr. Serie 24, es. 5.) che limn→∞

fn+1

fn= φ =

1 +√

5

2∼= 1, 618 otteniamo

q = limn→∞

1fn+1

1fn

= limn→∞

fnfn+1

=1

limn→∞

fn+1

fn

=1

φ= φ− 1 ∼= 0, 618 < 1 .

La serie e quindi convergente. Il suo limite e la costante reciproca di Fibonacci

ψ ∼= 3, 359885666 .

Il seguente criterio puo essere dimostrato in maniera analoga al Tm. 32:

Teorema 33 (Il criterio della radice, o di Cauchy)

Sia∞∑i=1

ai una serie a termini positivi, e sia

r := limn→∞

n√an .

Allora

• se r > 1 la serie converge;

• se r < 1 la serie diverge.

Ad esempio, la serie∞∑i=1

i

ei=

1

e+

2

e2+

3

e3+ . . . converge: vale

r = limn→∞

n

√n

en= lim

n→∞

n√n

e=

1

e< 1 .

Per la somma (calcolata con Maple) vale approssimativamente∞∑i=1

n

en∼= 0, 9206735945.

Per completezza, menzioniamo un ultimo risultato:

Teorema 34 (Il criterio di Leibnitz)

Se (an) e una successione alternata (cioe tale che i segni di an e an+1 differiscono)

con limn→∞

|an| = 0, la serie∞∑i=1

ai converge.

Ad esempio, la serie armonica alternata∞∑i=1

(−1)i+1

iconverge; per la sua somma vale

(dim. tralasciata)

∞∑i=1

(−1)i+1

i= 1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− 1

6± . . . = ln 2 .


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