UNITA’ 6. SUCCESSIONI E...

Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scientifico “E. Ferdinando” – Mesagne (BR) 1

UNITA’ 6. SUCCESSIONI E PROGRESSIONI

1. Le successioni numeriche.

2. Le rappresentazioni di una successione.

3. Le successioni monotone.

4. Il principio di induzione con applicazioni.

5. Le progressioni aritmetiche.

6. Il termine generico e la ragione di una progressione aritmetica.

7. La relazione fra due termini di una progressione aritmetica.

8. L’inserimento di medi aritmetici fra due numeri assegnati.

9. Le proprietà di una progressione aritmetica.

10. La somma dei termini di una progressione aritmetica.

11. Le progressioni geometriche.

12. Il termine generico e la ragione di una progressione geometrica.

13. La relazione fra due termini di una progressione geometrica.

14. L’inserimento di medi geometrici fra due numeri assegnati.

15. Le proprietà di una progressione geometrica.

16. Il prodotto dei termini di una progressione geometrica.

17. La somma dei termini di una progressione geometrica.

18. Applicazioni delle progressioni all’economia e alla biologia.


1. Le successioni numeriche.

Una successione numerica è una sequenza di numeri reali ottenuti da una funzione a che, ad

ogni numero naturale Nn , associa un numero reale Ran , secondo una certa regola.

Per indicare la funzione a si scrive: RNa :

La variabile indipendente n si chiama indice della successione;

La variabile dipendente na si chiama termine della successione.

La successione è formata da un insieme di numeri infinito e ordinato.


2. Le rappresentazioni di una successione.

Una successione può essere rappresentata in tre modi diversi:

per enumerazione, mediante una espressione analitica o per ricorsione.

Si rappresenta per enumerazione quando si elencano i primi 4 o 5 termini della successione,

dai quali si possono dedurre i termini successivi senza ambiguità.

Per esempio la successione: 4, 8, 12, 16, 20, … è rappresentata per enumerazione.

La successione: 1, 3, 5, 7, 9, …… è rappresentata per enumerazione.

La successione: 0,6; 0,66; 0,666; 0,6666 …. .. è rappresentata per enumerazione.

Si rappresenta mediante una espressione analitica quando si indicano le operazioni che

bisogna eseguire sull’indice n per ottenere il termine corrispondente na .

Per esempio la successione na formata da tutti i numeri reali che si ottengono con questa

regola: 1

n

nan , comprende i seguenti termini:

01

00 a ;

2

11 a ;

3

22 a

4

33 a e così via.

La successione na formata da tutti i numeri reali che si ottengono con questa regola:

3

1

n

nan , comprende i seguenti termini:

3

1

30

100

a ;

4

2

31

111

a ;

5

3

32

122

a e così via.

Si rappresenta per ricorsione quando si indica il primo termine della successione e si fornisce

una relazione che indica il legame fra il termine generico na e quello precedente 1na .

Per esempio la seguente successione è rappresentata per ricorsione:

{𝑎𝑜 = 3

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 5

Essa comprende i seguenti termini: 𝑎𝑜 = 3; 𝑎1 = 8; 𝑎2 = 13; 𝑎3 = 18; ecc…


3. Le successioni monotone.

Una successione si dice monotòna quando è crescente, oppure decrescente, oppure non

decrescente, oppure non crescente, oppure costante.

Una successione si dice crescente se ogni termine è maggiore del suo precedente,

cioè 𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛 ∀𝑛 ∊ ℕ

Per esempio la successione .... 16, 9, 4, 1, 0, :a è crescente.

Una successione si dice decrescente se ogni termine è minore del suo precedente,

cioè 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 ∀𝑛 ∊ ℕ

Per esempio la successione .... ,5

1 ,

4

1 ,

3

1 ,

2

1 1, :a è decrescente.

Una successione si dice non decrescente se ogni termine è maggiore o uguale al suo

precedente, cioè 𝑎𝑛+1 ≥ 𝑎𝑛 ∀𝑛 ∊ ℕ

Per esempio la successione .... 6, 6, 3, 3, 0, 0, :a è non decrescente.

Una successione si dice non crescente se ogni termine è minore o uguale al suo precedente,

cioè 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 ∀𝑛 ∊ ℕ

Per esempio la successione .... ,3

1 ,

3

1 ,

2

1 ,

2

1 1, 1, :a è non crescente.

Una successione si dice costante se ogni termine è uguale al suo precedente,

cioè 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 ∀𝑛 ∊ ℕ

Per esempio la successione .... ... 3, 3, 3, 3, 3, :a è costante.

Esempio 1.

Scrivere i primi cinque termini della successione avente termine generico: nan 2

0020 a 2121 a 4222 a 6323 a 8424 a

.... ... 8, 6, 4, 2, 0, :a è la successione dei numeri pari.

Esempio 2.

Scrivere i primi cinque termini della successione avente termine generico: 12 nan

11020 a 31121 a 51222 a

71323 a 91424 a

.... . .. . 9, 7, 5, 3 1, :a è la successione dei numeri dispari.


Esempio 3.

Data la successione: ... 16, 9, 4, 1, 0, :a scrivere il termine generico na .

Osservando i termini della successione si nota che ognuno di essi è il quadrato di un numero

naturale, perciò: 2nan

Esempio 4.

Data la successione: .... ,9

1 ,

7

1 ,

5

1 ,

3

1 1, :a scrivere il termine generico na .

Osservando i termini della successione si nota che ognuno di essi è il reciproco di un numero

dispari, perciò: 12

1

nan

Tra le successioni più importanti ci sono le progressioni aritmetiche e le progressioni

geometriche, che studieremo in modo più dettagliato.


4. Il principio di induzione con applicazioni.

Il principio di induzione è un teorema che serve per dimostrare alcune formule che riguardano

i numeri naturali.

Questo teorema stabilisce che se una formula che riguarda i numeri naturali 𝑛 ∊ ℕ è vera per

𝑛 = 1, per 𝑛 = 2, per 𝑛 = 3 … e se, supponendola vera per n si riesce a dimostrare che è anche

vera per n+1, allora tale formula risulta vera ∀𝑛 ∊ ℕ.

Per esempio si può verificare che la somma dei primi n numeri naturali vale 𝑛(𝑛+1)

2,

cioè risulta: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛+1)

2

Infatti sostituendo si può controllare che l’uguaglianza è vera per n=1 poiché 1 =1(1+1)

2

Si può anche controllare che è vera per n=2 poiché 1 + 2 =2(2+1)

2

Si può anche controllare che è vera per n=3 poiché 1 + 2 + 3 =3(3+1)

2

Ma come facciamo a essere sicuri che l’uguaglianza è vera ∀𝑛 ∊ ℕ ?

Possiamo applicare il principio di induzione. Supponendo che l’uguaglianza sia vera per un

certo numero intero n, dobbiamo dimostrare che essa è vera anche per l’intero successivo n+1.

Quindi supponiamo che sia vera la relazione: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛+1)

2 (1)

e dobbiamo dimostrare che: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 + (𝑛 + 1) =(𝑛+1)(𝑛+2)

2 (2)

Partendo dalla relazione (1) aggiungiamo ai due membri (n+1) e si ottiene:

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 + (𝑛 + 1) =𝑛(𝑛+1)

2+ (𝑛 + 1) =

𝑛(𝑛+1)+2(𝑛+1)

2=

(𝑛+1)(𝑛+2)

2= 𝑡𝑒𝑠𝑖

Esercizio. Utilizzando il principio di induzione dimostrare che la somma dei primi n numeri

pari risulta n(n+1).

Esercizio. Utilizzando il principio di induzione dimostrare che la somma dei primi n numeri

dispari risulta 𝑛2.


5. Le progressioni aritmetiche.

Una progressione aritmetica è una successione numerica in cui la differenza fra ogni termine

e il suo precedente è un valore costante che si chiama ragione della progressione.

In generale il primo termine della progressione si indica con 1a ,

il secondo termine della progressione si indica con 2a ,

…. ……… …….

l’ennesimo termine della progressione si indica con na ,

la ragione della progressione si indica con d (differenza).

Perciò in una progressione aritmetica risulta: daadaa nnnn 11

Esempio 1. La successione di numeri:

... 14, 11, 8, 5, 2, :a

è una progressione aritmetica in cui il primo termine è 2 e la ragione è 3.

Il suo termine generico è: )1(32 nan


... 36, 31, 26, 21, 16, :a

è una progressione aritmetica in cui il primo termine è 16 e la ragione è 5.

Il suo termine generico è: )1(516 nan

Esempio 3. Nella progressione aritmetica con termine generico: )1(4

1

2

3 nan

il primo termine vale 2

3 e la ragione vale

4

1, perciò si ottiene:

2

31 a

4

7

4

16

4

1

2

32

a

22

4

2

1

2

3

4

2

2

33 a

4

9

4

36

4

3

2

34

a

La progressione aritmetica risulta: ... ,4

9 2, ,

4

7 ,

2

3 :a


6. Il termine generico e la ragione di una progressione aritmetica.

In generale, se indichiamo con 1a il primo termine della progressione aritmetica e con d

(differenza) la ragione della progressione, osserviamo che:.

il secondo termine risulta: daa 12

il terzo termine risulta: daddadaa 21123

il quarto termine risulta: daddadaa 32 1134

……………………… …………………………………

il generico termine ennesimo risulta: dnaan )1(1

Dalla formula precedente è possibile calcolare il generico termine na , oppure la ragione d della

progressione, oppure il posto n che occupa il generico termine na .

Esempio 1. In una progressione aritmetica con 2

31 a e

5

1d calcolare il ventesimo termine

della progressione.

10

53

10

3815

5

19

2

3

5

1)120(

2

320

a

Esempio 2. In una progressione aritmetica con 3

11 a , il dodicesimo termine vale

2

7.

Calcolare la ragione della progressione.

1 )1( )1( 1

11

n

aadaadndnaa n

nn

66

19

11

1

6

19

11

6

19

11

6

221

112

3

1

2

7

d

Esempio 3.

Una progressione aritmetica ha il primo termine uguale a 2 e la ragione uguale ad 2

1.

Calcolare il posto che occupa il termine 2

15.

d

aan

d

aanaadndnaa nn

nn11

11 1 1 )1( )1(

111

2

2

11

2

12

11

2

12

415

2

1

22

15

1

n

Il termine 2

15 occupa l’undicesimo posto nella progressione.


7. La relazione fra due termini di una progressione aritmetica.

Se m ed n sono due numeri interi con, con nm , in una progressione aritmetica risulta che:

dmaam )1(1

dnaan )1(1

Sottraendo queste formule membro a membro si ottiene:

;)1()1( 11 dmadnaaa mn

;11 dmdadndaaa mn

)(1 dmnmdndaa mn dmnaa mn )(

Questa formula permette di calcolare la ragione di una progressione conoscendo due termini

qualsiasi e il posto che essi occupano nella progressione.

Esempio 1. Calcolare la ragione di una progressione aritmetica in cui il settimo termine vale

3

8e il dodicesimo termine vale

4

15.

mn

aadaadmndmnaa mn

mnmn

)( )(

60

13

5

1

12

13

5

12

13

5

12

3245

712

3

8

4

15

d


8. L’inserimento di medi aritmetici fra due numeri assegnati.

Inserire quattro medi aritmetici fra due numeri assegnati x ed y vuol dire trovare quattro numeri

compresi tra x ed y tali che la successione:

yaaaax , , , , , 5432

sia una progressione aritmetica di sei termini.

Per trovare tali numeri bisogna calcolare la ragione della progressione aritmetica applicando la

formula:

5161

)1( )1( 111

xyxy

n

aadaadndnaa n

nn

Esempio 1. Inserire quattro medi aritmetici fra i numeri 7 e 27.

La successione di sei termini deve essere: 27 , , , , ,7 5432 aaaa

Si calcola la ragione: 45

20

5

727

16

xyd

I medi aritmetici sono:

11472 a

15411423 aa

19415434 aa

23419445 aa

Esempio 1. Inserire otto medi aritmetici fra i numeri -2a e 22a.

La successione di dieci termini deve essere:

aaaaaaaaaa 22 , , , , , , , ,2 98765432

Si calcola la ragione: 3

8

9

24

110

)2(22

aaaad

I medi aritmetici sono:

3

2

3

86

3

822

aaaaaa

3

10

3

8

3

223

aaadaa

aaaa

daa 63

18

3

8

3

1034

3

26

3

8

3

1845

aaadaa

3

34

3

8

3

2656

aaadaa a

aaadaa 14

3

42

3

8

3

3467

3

50

3

8

3

4278

aaadaa

3

58

3

8

3

5089

aaadaa


9. Le proprietà di una progressione aritmetica.

Prima proprietà. In una progressione aritmetica ogni termine è uguale alla media aritmetica

tra quello precedente e quello successivo. Per questo motivo tali progressioni si chiamano

aritmetiche.

Infatti, calcoliamo la media aritmetica tra il primo termine e il terzo termine:

2111131

2

22

2

2

2ada

dadaaaa

Calcoliamo la media aritmetica tra il secondo termine e il quarto termine:

3111142 22

42

2

3

2ada

dadadaaa

Calcoliamo la media aritmetica tra il terzo termine e il quinto termine:

4111153 32

62

2

42

2ada

dadadaaa

… e così via.

Seconda proprietà. In una progressione aritmetica la somma di due termini equidistanti dagli

estremi è costante ed è uguale alla somma dei termini estremi.

Infatti, consideriamo sei termini di una progressione aritmetica:

654321 , , , , aaaaaa

Calcoliamo la somma degli estremi 61 e aa :

dadaaaa 525 11161

Calcoliamo la somma dei termini 52 e aa equidistanti dagli estremi:

dadadaaa 524 11152

Calcoliamo la somma dei termini 43 e aa equidistanti dagli estremi:

dadadaaa 5232 11143

Come si vede la somma rimane costante.


10. La somma dei termini di una progressione aritmetica.

La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale al prodotto di n per la

semisomma dei due termini estremi.

Cioè 2

1 nn

aanS

Per la dimostrazione osserviamo che si ottiene la stessa somma scambiando l’ordine degli

addendi:

...... n1-n2-n321 aaaaaaSn

...... 1232-n1-n aaaaaaS nn

Sommando membro a membro in colonna si ottiene:

) ( ) () ( ...... ) ( ) ( )(2 121322-n31-n21 aaaaaaaaaaaaS nnnnn

Al secondo membro ci sono in tutto n termini tra parentesi e sono tutti uguali ad ) ( n1 aa ,

perciò si può scrivere:

) ( ) () ( ...... ) ( ) ( )(2 n1n1n1n1n11 aaaaaaaaaaaaS nn ;

2

)(2 11

nnnn

aanSaanS

Esempio 1. Calcolare la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 100.

5050101502

1001100

2 1

n

n

aanS

Esempio 2. Calcolare la somma di tutti i numeri pari da 22 a 34.

34 .... 262422 nS

2

1 nn

aanS

Bisogna calcolare il numero n di termini.

72

121

2

223411 1 )1( 11

1

d

aan

d

aandnaa nn

n

1962872

567

2

34227

nS


Esempio 3. Calcolare la somma di tutti i numeri dispari da 13 a 257.

257 255 .... 17 1513 nS

2

1 nn

aanS


1232

2441

2

1325711 1 )1( 11

1

d

aan

d

aandnaa nn

n

166051351232

270123

2

25713123

nS

Esempio 4. Calcolare la somma di tutti i multipli di 5 da 1900 a 2015.

2015 .... 1910 19051900 nS

2

1 nn

aanS


245

1151

5

1900201511 1 )1( 11

1

d

aan

d

aandnaa nn

n

469803915122

391524

2

2015190024

nS


11. Le progressioni geometriche.

Una progressione geometrica è una successione numerica in cui il quoziente fra ogni termine

e il suo precedente è un valore costante che si chiama ragione della progressione.

In generale il primo termine della progressione si indica con 1a ,

il secondo termine della progressione si indica con 2a ,

…. ……… …….

l’ennesimo termine della progressione si indica con na ,

la ragione della progressione si indica con q (quoziente).

Perciò in una progressione geometrica risulta: qaaqa

ann

n

n

1

1


... 64, 32, 16, 8, 4, :a

è una progressione geometrica in cui il primo termine è 4 e la ragione è 2.

Il suo termine generico è: 124 n

na


... 81, 27, 9, 3, 1, :a

è una progressione geometrica in cui il primo termine è 1 e la ragione è 3.

Il suo termine generico è: 131 n

na

Esempio 3. Nella progressione geometrica con termine generico:

1

2

13

n

na

il primo termine vale 3 e la ragione vale 2

1, perciò si ottiene:

3132

13

2

13

011

1

a 2

3

2

13

2

13

12

2

a

4

3

4

13

2

13

13

3

a 8

3

8

13

2

13

3

4

a

La progressione geometrica risulta: ... ,16

3 ,

8

3 ,

4

3 ,

2

3 3, :a


12. Il termine generico e la ragione di una progressione geometrica.

In generale, indicando con 1a il primo termine della progressione aritmetica e con q (quoziente)

la ragione della progressione,

il secondo termine risulta: qaa 12

il terzo termine risulta: 2

1123 qaqqaqaa

il quarto termine risulta: 3

1

2

134 qaqqaqaa

……………………… …………………………………

il termine generico ennesimo risulta: 1

1

n

n qaa

Da questa formula è possibile calcolare il generico termine na della progressione, oppure la

ragione q, oppure il posto n che occupa il generico termine na .

Esempio 1. In una progressione geometrica con 21 a e 3q calcolare il quinto termine.

1628123232 4151

15 nqaa

Esempio 2. In una progressione geometrica con 4

51 a , il settimo termine vale

2916

5.

Calcolare la ragione della progressione.

1

1

1 11

1

1

1

1

1

n

nn nn

nnnn

na

aqq

a

aq

a

aqaa

3

1

729

1

729

1

2916

4

5

4

2916

5

4

52916

5

6

6

666171

1

nn

a

aq

Esempio 3.

Una progressione geometrica ha il primo termine uguale a 3 e la ragione uguale a 2.

Calcolare il posto che occupa il termine 192.

761 22 264 23

192 16111

1

1

1 nnqa

aqaa nnnnnn

n

Il termine 192 occupa il settimo posto nella progressione geometrica.


13. La relazione fra due termini di una progressione geometrica.

Se m ed n sono due numeri interi tali che nm , in una progressione geometrica risulta che:

1

1

m

m qaa

1

1

n

n qaa

Dividendo membro a membro si ottiene:

mnmn

m

n

m

n qqqa

qa

a

a

11

1

1

1

1 Cioè:

mn

mn qaa

Questa formula permette di calcolare la ragione di una progressione geometrica conoscendo

due termini qualsiasi e il posto che essi occupano nella progressione.

Esempio 2. Calcolare la ragione di una progressione geometrica in cui il terzo termine è 50 e

il sesto termine è 6250.

512550

6250 336

mn

m

nmn

m

n

a

aqq

a

a

Esempio 2. In una progressione geometrica di ragione 2

1, il settimo termine vale

64

3.

Calcolare il posto che occupa il termine 1024

3.

777

2

1

16

1

2

1

3

64

1024

3

2

1

64

31024

3

nnn

mn

m

n qa

a

11742

1

2

174

nn

n

Il termine 1024

3 occupa l’undicesimo posto della progressione.


14. L’inserimento di medi geometrici fra due numeri assegnati.

Inserire quattro medi geometrici fra due numeri assegnati x ed y vuol dire trovare quattro

numeri compresi tra x ed y tali che la successione:

yaaaax , , , , , 5432

sia una progressione geometrica di sei termini.

Per trovare tali numeri bisogna calcolare la ragione della progressione geometrica applicando

la formula:

5161

11

11

1 x

y

x

y

a

aq

a

aqqaa n

nnnn

n

Esempio 1. Inserire quattro medi geometrici tra i numeri 2 e 486.

486 , , , , ,2 5432 aaaa

32432

486 55 q I medi geometrici sono:

63212 qaa 1836323 aa

54318334 aa 162354345 aa


15. Le proprietà di una progressione geometrica.

Prima proprietà. In una progressione geometrica ogni termine è uguale alla media geometrica

tra quello precedente e quello successivo. Per questo motivo tali progressioni si chiamano

geometriche.

Infatti, calcoliamo la media geometrica tra il primo termine e il terzo termine:

21

22

1

2

1131 aqaqaqaaaa

Calcoliamo la media geometrica tra il secondo termine e il quarto termine:

3

2

1

42

1

3

1142 aqaqaqaqaaa

Calcoliamo la media geometrica tra il terzo termine e il quinto termine:

4

3

1

62

1

4

1

2

153 aqaqaqaqaaa

… e così via.

Seconda proprietà. In una progressione geometrica il prodotto di due termini equidistanti

dagli estremi è costante ed è uguale al prodotto dei termini estremi.

Infatti, consideriamo sei termini di una progressione geometrica:

654321 , , , , aaaaaa

Calcoliamo il prodotto degli estremi 61 e aa :

52

1

5

1161 qaqaaaa

Calcoliamo il prodotto dei termini 52 e aa equidistanti dagli estremi:

52

1

4

1152 qaqaqaaa

Calcoliamo il prodotto dei termini 43 e aa equidistanti dagli estremi:

52

1

3

1

2

143 qaqaqaaa

Come si vede il prodotto rimane costante.


16. Il prodotto dei termini di una progressione geometrica.

Il prodotto di n termini di una progressione geometrica vale: nnn aaP 1

Per la dimostrazione osserviamo che si ottiene lo stesso prodotto scambiando l’ordine dei

fattori:

...... n1-n2-n321 aaaaaaPn

....... 1232-n1-n aaaaaaP nn

Moltiplicando membro a membro in colonna si ottiene:

) ( ) () ( ...... ) ( ) ( )( 121322-n31-n21

2 aaaaaaaaaaaaP nnnnn

Al secondo membro ci sono in tutto n fattori tra parentesi e sono tutti uguali ad ) ( n1 aa , perciò

si può scrivere:

) ( ) () ( ...... ) ( ) ( )( n1n1n1n1n11

2 aaaaaaaaaaaaP nn ;

nnnnn aaaaP 1

n

1

2 P )(

Esempio 1. Una progressione geometrica ha 21 a e 3q .

Calcola il prodotto dei primi 4 termini.

nnn aa 1P 1

1

n

n qaa 5432 314

14 qaa

11664108542)542(P 2244

414 aa


17. La somma dei termini di una progressione geometrica.

La somma di n termini di una progressione geometrica vale: q

qaS

n

n

1

11

Per la dimostrazione osserviamo che:

...... n1-n2-n321 aaaaaaSn Cioè,

..... 1

1

2

1

3

1

2

111

nnn

n qaqaqaqaqaaS (1)

In questa uguaglianza moltiplichiamo ambo i membri per q.

...... 1

1

1

2

1

3

1

2

11

nnn

n qaqaqaqaqaqaSq (2)

Sottraendo membro a membro la (1) e la (2) si semplificano quasi tutti i termini esclusi il primo

e l’ultimo, per cui si ottiene:

q

qaqaqqaaSqS

nnn

nn

1

1S 1)1(S 1n1n11

Esempio 1. Una progressione geometrica ha il primo termine uguale a due e la ragione uguale

a quattro. Calcolare la somma dei primi cinque termini.

6823

10232

3

10232

3

102412

41

412

1

1 55

15

q

qaS


18. Applicazioni delle progressioni ai problemi di economia.

Le progressioni aritmetiche e geometriche trovano importanti applicazioni ai problemi di

economia, nel calcolare l’interesse da versare nelle operazioni finanziarie.

Un’operazione finanziaria è un contratto con cui avviene uno scambio di denaro in tempi

diversi.

Si chiama creditore colui che concede il prestito e debitore colui che riceve il prestito.

Il capitale C è la somma di denaro che il creditore concede al debitore nel momento del

contratto, in cambio di un compenso al termine del contratto.

L’interesse I è il compenso che il debitore si impegna a versare al creditore, alla scadenza del

contratto, in aggiunta al capitale iniziale.

Il tasso d’interesse i è la percentuale dell’interesse annuo sul capitale prestato.

Il montante M è la somma di denaro complessiva che il debitore deve versare al creditore alla

scadenza del contratto. ICM

La capitalizzazione è il procedimento matematico con cui viene calcolato l’interesse I

maturato sul capitale C. Questo procedimento generalmente può essere di due tipi:

la capitalizzazione semplice, che si effettua calcolando la somma dei termini di una

progressione aritmetica;

la capitalizzazione composta, che si effettua calcolando la somma dei termini di una

progressione geometrica.

In certi casi si effettua anche la capitalizzazione mista.


16. La capitalizzazione semplice.

La capitalizzazione semplice è il procedimento matematico utilizzato per calcolare l’interesse

alla fine di ogni anno con la condizione che questo interesse non si somma al capitale investito

e quindi non produce altri interessi l’anno successivo. In pratica il montante ottenuto ogni

anno si calcola sempre sulla base del capitale investito C.

Se si presta un capitale C, ad un tasso d’interesse i,

dopo un anno il montante M diventa: iCCM 1

dopo due anni il montante diventa: iCCM 22

dopo tre anni il montante diventa: iCCM 33

Come si può osservare la differenza fra ogni montante e quello precedente è sempre costante

e vale iC. Perciò tutti i montanti calcolati sono i termini di una progressione aritmetica di

ragione iC.

Generalizzando il risultato precedente si può dire che dopo un numero n di anni il montante

risulta:

niCCMn cioè )1( niCMn

Esempio 1. In un’operazione finanziaria si presta un capitale di 15000,00 € per 5 anni al tasso

d’interesse del 2,3 % annuo. Calcolare il montante con la capitalizzazione semplice.

€ 00,167251,115€ 00,15000)115,0(1)023,051()51()1( CCiCniCMn

Esempio 2. In un’operazione finanziaria si presta un capitale di 15000,00 € per 7 mesi al tasso

d’interesse del 2,3 % annuo. Calcolare il montante con la capitalizzazione semplice.

€25,152010134166,1€ 00,15000023,012

71

12

71)1(

CiCniCM n

Esempio 3. In un’operazione finanziaria si presta un capitale di 8700 € al tasso d’interesse

del 2,5 % annuo. Stabilire quanti anni bisogna attendere per avere un montante di almeno 10000

€ con la capitalizzazione semplice.

Dalla formula )1( niCMn bisogna calcolare il numero n di anni.

976,5025,0

1494,0

025,0

11494,1

025,0

18700

100001

1 1

i

C

M

nniC

Mni

C

Mn

nn

Bisogna attendere circa 6 anni.


17. La capitalizzazione composta.

La capitalizzazione composta è il procedimento matematico utilizzato per calcolare l’interesse

alla fine di ogni anno con la condizione che questo interesse si somma al capitale investito e

quindi produce altri interessi l’anno successivo. In pratica il montante ottenuto ogni anno si

calcola sempre sulla base del montante dell’anno precedente.

Se si presta un capitale C, ad un tasso d’interesse i, dopo un anno il montante M diventa:

)1(1 iCiCCM

Questo montante costituisce il capitale investito per il secondo anno, alla fine del quale il nuovo

montante è:

2

1112 )1()1)(1()1( iCiiCiMiMMM

Questo montante costituisce il capitale investito per il terzo anno, alla fine del quale il nuovo

montante è:

32

2223 )1()1()1()1( iCiiCiMiMMM

Come si può osservare il quoziente fra ogni montante e quello precedente è sempre costante e

vale )1( i . Perciò tutti i montanti calcolati sono i termini di una progressione geometrica di

ragione )1( i .

Generalizzando il risultato precedente si può dire che dopo un numero n di anni il montante

risulta:

n

n iCM )1(

Facendo alcuni esempi si può verificare che se la durata del prestito è superiore all’anno, (cioè

1n ), il montante calcolato con la capitalizzazione composta è maggiore di quello calcolato

con la capitalizzazione semplice; se invece la durata del prestito è inferiore all’anno, (cioè 1n

), il montante calcolato con la capitalizzazione composta è minore di quello calcolato con la

capitalizzazione semplice.

Esempio 1. In un’operazione finanziaria si presta un capitale di 15000,00 € per 5 anni al tasso

d’interesse del 2,3 % annuo. Calcolare il montante con la capitalizzazione composta.

€ 20,168061,12041€ 00,15000)(1,023€ 00,15000)023,01()1( 555 CiCM n

Esempio 2. In un’operazione finanziaria si presta un capitale di 15000,00 € per 7 mesi al tasso

d’interesse del 2,3 % annuo. Calcolare il montante con la capitalizzazione composta.

€ 0,2915201,013353€ 00,00150)023,1()023,01()1( 58333,012

7

CCiCM n

n


18. La capitalizzazione mista.

La capitalizzazione mista è il procedimento matematico utilizzato per calcolare l’interesse che

è più conveniente per il creditore, applicando la capitalizzazione composta per i periodi di

tempo che corrispondono ad interi anni solari e la capitalizzazione semplice per i periodi di

tempo che corrispondono a frazioni di anni solari.

Per esempio, se viene prestato un capitale C, al tasso di interesse i, dal 1 Ottobre 2009 al 30

Giugno 2013, la durata del prestito comprende tre mesi dell’anno 2009, gli interi anni 2010,

2011, 2012 e sei mesi dell’anno 2013.

Dopo i tre mesi dell’anno 2009 il montante, calcolato con la capitalizzazione semplice, risulta:

iCM

12

311 .

Dopo l’intero anno 2010 il montante, calcolato con la capitalizzazione composta, risulta:

)1(12

31)1(1112 iiCiMiMMM

.


2

2223 )1(12

31)1)(1(

12

31)1( iiCiiiCiMiMMM

.


32

3334 )1(12

31)1()1(

12

31)1( iiCiiiCiMiMMM

.

Dopo i sei mesi dell’anno 2013 il montante, calcolato con la capitalizzazione semplice, risulta:

iiiCiMM

12

61)1(

12

31

12

61 3

45 .

Generalizzando questo risultato si può dire che, se indichiamo con:

1f la frazione del primo anno solare;

n il numero intero di anni solari;

2f la frazione dell’ultimo anno solare;

il montante si può calcolare con la formula generale:

ifiifCM n 21 1)1(1

Nell’esempio precedente, se il capitale prestato è di 10.000,00€ e il tasso d’interesse del 2,5%,

il montante risulta:

€10971660125,107689,100625,1€10000025,012

61)025,01(025,0

12

31€10000 3

M

Esercizio 1. Un capitale di 50.000,00€ viene prestato al tasso d’interesse del 2,7% per 5 mesi

dell’anno 2003, per gli interi anni 2004, 2005, 2006, 2007 e per 7 mesi dell’anno 2008.

Calcolare il montante finale.

027,0

12

71027,01027,0

12

51€00,000.50

12

71)1(

12

51

44 iiiCM

€32,5713401575,1112453,101125,1€00,000.50

19. Applicazioni delle progressioni alla biologia.


Le progressioni geometriche hanno importanti applicazioni anche in Biologia, nello studio

della crescita di una popolazione di organismi viventi e, in particolare, della crescita della

popolazione umana.

Già nel 1798 l’economista inglese Thomas Malthus espose una teoria per studiare l’incremento

demografico e prevedere gli sviluppi futuri della società.

Secondo la sua teoria, la popolazione cresce secondo una progressione geometrica e le risorse

disponibili, soprattutto quelle alimentari, non possono sostenere per lungo tempo la crescita

della popolazione.

Di conseguenza, la mancanza di risorse sufficienti, porterebbe periodicamente un aumento del

tasso di mortalità a causa di carestie, epidemie e guerre fino ad una riduzione della popolazione

tale da creare una nuova condizione di equilibrio con le risorse disponibili.

20. La crescita di una popolazione.

Se indichiamo con N il numero degli individui viventi in un certo anno e con c il tasso di crescita

annuale della popolazione, espresso in percentuale, dopo un anno il numero di individui

diventa:

)1(1 cNcNNN

Dopo due anni il numero di individui diventa:

2

1112 )1()1)(1()1( cNccNcNcNNN

Dopo tre anni il numero di individui diventa:

32

2223 )1()1()1()1( cNccNcNcNNN

Come si può osservare il quoziente fra ogni numero e quello precedente è sempre costante e

vale )1( c . Perciò tutti i numeri calcolati sono i termini di una progressione geometrica di

ragione )1( c .

Generalizzando il risultato precedente si può dire che dopo un numero n di anni il numero di

individui risulta:

n

n cNN )1(

Esempio 1. Supponendo che in un determinato anno ci siano 10.000 individui viventi e che la

popolazione abbia un tasso di crescita costante del 3%, calcolare il numero di individui dopo 5

anni.

593.1115927,1000.10)03,1(000.1003,01000.10)1( 555

5 cNN

21. Esercizi vari e problemi di applicazione.

UNITA’ 6. SUCCESSIONI E...

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